范老师(fdx)-第11讲：数列(3)、矩阵、行列式
矩阵与行列式解析矩阵与行列式的性质与运算规律
矩阵与行列式解析矩阵与行列式的性质与运算规律矩阵和行列式是线性代数中重要的概念和工具。
它们在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
本文将详细解析矩阵与行列式的性质和运算规律。
一、矩阵的性质与运算规律1. 矩阵的定义矩阵是一个按照长方阵列排列的数。
它由m行n列元素组成，记作A=(a_ij),其中1≤i≤m，1≤j≤n。
矩阵的行数和列数分别称为矩阵的阶数或维数。
2. 矩阵的运算规律2.1 矩阵的加法和减法设A=(a_ij)和B=(b_ij)是两个同阶矩阵，则它们的和C=A+B的定义为C=(c_ij)，其中c_ij=a_ij+b_ij。
矩阵的减法定义类似。
2.2 矩阵的数乘设A=(a_ij)是一个矩阵，k是一个数，则kA的定义为kA=(ka_ij)，其中ka_ij=ka_ij。
2.3 矩阵的乘法设A=(a_ij)是一个m行n列的矩阵，B=(b_ij)是一个n行p列的矩阵，则它们的乘积C=AB的定义为C=(c_ij)，其中c_ij=a_i1b_1j+...+a_inb_nj。
3. 矩阵的性质3.1 矩阵的转置设A=(a_ij)是一个m行n列的矩阵，A的转置记作A^T，定义为A^T=(a_ji)是一个n行m列的矩阵。
3.2 矩阵的逆设A是一个n阶方阵，若存在一个n阶方阵B，使得AB=BA=I，其中I为单位矩阵，则称矩阵A可逆，B为A的逆矩阵。
若A不可逆，则称为奇异矩阵。
3.3 矩阵的行列式矩阵A的行列式记作|A|，行列式是一个标量，它由矩阵元素按一定规则计算而得。
行列式的性质包括行列式的加法性、数乘性、转置性等。
二、行列式的性质与运算规律1. 行列式的定义行列式是一个方阵的特征值之一。
设A=(a_ij)是一个n阶方阵，行列式的定义为|A|=a_11a_22...a_nn-a_11a_23...a_n(n-1)-...-a_1n-1a_2n...a_n。
2. 行列式的运算规律2.1 行列式的数乘若k是数，A是n阶方阵，则kA的行列式等于k的n次方乘以A 的行列式，即|kA|=k^n|A|。
矩阵与行列式知识点总结
矩阵与行列式知识点总结矩阵和行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、计算机科学等领域。
本文将对矩阵和行列式的定义、性质以及相关运算进行总结，以便读者对这两个概念有更深入的了解。
一、矩阵的定义与性质矩阵是一个由数字组成的矩形阵列，包含m行n列，用记号A[m×n]表示。
其中，每个数字称作矩阵的元素，用aij表示第i行第j列的元素。
矩阵可以是实数矩阵、复数矩阵或其他数域上的矩阵。
矩阵的性质包括以下几点：1. 矩阵的大小由它的行数和列数决定，记作m×n。
2. 矩阵可以进行加法和数乘运算。
3. 矩阵的转置将行和列对换。
4. 矩阵可以相乘，但乘法不满足交换律。
5. 矩阵对应的行向量和列向量也有相应的定义和运算。
二、行列式的定义与性质行列式是一个与矩阵相关的特殊函数，对于方阵A[n×n]，其行列式记作det(A)或|A|。
行列式是一个标量值，可以用于衡量矩阵的性质。
行列式的性质包括以下几点：1. 行列式的值可以是实数、复数或其他数域上的元素。
2. 行列式的值表示了矩阵所包含的信息，可用于判断矩阵的可逆性、线性相关性等。
3. 行列式满足代数运算的规律，如加法、数乘、转置等。
4. 行列式可以通过对换行或列、倍乘行或列等行列变换来计算。
5. 行列式的值等于其转置矩阵的值。
三、矩阵与行列式的运算矩阵与行列式之间存在着紧密的联系，它们可以进行多种运算。
1. 矩阵的加法和数乘运算：两个矩阵相加（减）时，先确定它们的大小是否一致，然后逐个对应元素相加（减）。
数乘运算即将一个矩阵的每个元素乘以一个常数。
2. 矩阵的乘法运算：两个矩阵相乘时，第一个矩阵的列数要等于第二个矩阵的行数。
将第一个矩阵的每一行与第二个矩阵的每一列进行对应元素的乘法运算，并求和得到结果矩阵的相应元素。
3. 矩阵的转置运算：矩阵的转置是将其行和列交换得到的新矩阵。
转置后的矩阵行数与原矩阵的列数相等，列数与原矩阵的行数相等。
高等数学中的矩阵与行列式
高等数学中的矩阵与行列式矩阵与行列式是高等数学中的两个重要概念，也是线性代数的基础部分。
通过对这两个概念的深入学习和理解，不仅可以帮助我们更好地理解和掌握线性代数的知识，还可以在实际应用中起到重要的作用。
一、矩阵矩阵是线性代数中的基本概念，通常用方括号表示。
矩阵是一个由数（也可以是变量或者函数）排成的矩形阵列，形式如下：$\begin{matrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{m1} & a_{m2} & \cdots & a_{mn} \end{matrix}$其中 $m$ 表示矩阵的行数，$n$ 表示矩阵的列数，$a_{ij}$ 表示矩阵中第 $i$ 行第 $j$ 列的元素。
矩阵可以进行加法、数乘、乘法等运算。
两个相同大小的矩阵可以进行加法和减法运算，两个矩阵可以进行乘法运算，但是矩阵的大小必须满足一定的条件，即第一个矩阵的列数等于第二个矩阵的行数。
二、行列式行列式是矩阵的一种特殊形式，它是由矩阵中的元素按照特定的方式组合成的一个标量。
行列式可以看作是一个矩阵的体积或者面积，它表示的是矩阵所围成的平行六面体或平面的大小。
行列式的求解需要使用到一系列的性质和方法，包括代数余子式、余子式、代数余子式按行（列）展开式等。
在实际应用中，行列式常用于解决线性方程组、计算矩阵的逆矩阵、求解特征值和特征向量等问题。
三、矩阵与行列式的应用矩阵和行列式在实际应用中有着广泛的应用，特别是在计算机科学、统计学、物理学、工程学、经济学等领域。
在计算机科学中，矩阵和行列式常用于图形计算、数字信号处理等方面。
比如，图像处理过程中常常需要对图像进行矩阵变换，如旋转、平移、缩放等操作。
行列式矩阵
第一讲 行列式与矩阵一、内容提要（一）n 阶行列式的定义∑-=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=nn j j j njn j j j j j nn n n n n a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21212211)(212222111211)1(τ（二）行列式的性质1．行列式与它的转置行列式相等，即T D D =； 2．交换行列式的两行（列），行列式变号；3．行列式中某行（列）元素的公因子可提到行列式外面来； 4．行列式中有两行（列）元素相同，则此行列式的值为零；5．行列式中有两行（列）元素对应成比例，则此行列式的值为零； 6．若行列式中某行（列）的元素是两数之和，即nm n n in in i i i i n a a a b a b a b a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21221111211+++=， 则nnn n in i n nn n n in i na a ab b b a a a a a a a a a a a a D ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ21121112112112111211+= 7．将行列式某行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，行列式的值不变。
（三）行列式依行（列）展开 1．余子式与代数余子式（1）余子式的定义去掉n 阶行列式D 中元素ij a 所在的第i 行和第j 列元素，剩下的元素按原位置次序所构成的n-1阶行列式称为元素ij a 的余子式，记为ij M（2）代数余子式的定义ij a 的代数余子式的记为ij j i ij ij M A A +-=)1(,2．n 阶行列式D 依行（列）展开 （1）按行展开公式∑=⎩⎨⎧≠==nj kj ij ki ki DA a 10 （2）按列展开公式∑=⎩⎨⎧≠==ni is ij sj sj DA a 10 （四）范德蒙行列式∏≤<≤----==nj i i jn nn n nnx xx x x x x x x x x D 1112112222121)(111ΛΛΛΛΛΛΛ（五）矩阵的概念1．矩阵的定义由m×n 个数),,2,1;,,2,1(n j m i a ij ΛΛ==组成的m 行n 列的矩形数表⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=mn m m n n a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛ212222111211 称为m×n 矩阵，记为n m ij a A ⨯=)(2．特殊的矩阵（1）方阵：行数与列数相等的矩阵；（2）上（下）三角阵：主对角线以下（上）的元素全为零的方阵称为上（下）三角阵； （3）对角阵：主对角线以外的元素全为零的方阵； （4）数量矩阵：主对角线上元素相同的对角阵；（5）单位矩阵：主对角线上元素全是1的对角阵，记为E ； （6）零矩阵：元素全为零的矩阵。
线性代数PPT行列式
性质
行列式的计算公式具有高度的对称性，可以方便地 计算出n阶行列式的值。
计算方法
根据行列式的展开式，将n阶行列式展开成n 个代数余子式的乘积之和。
特殊行列式的计算
01
对角线型行列式
如果一个n阶行列式的主对角线上的元素都是1，其他元素都是0，则该
该行列式称为下三角型行列式。下三角型行列式的值等于副对角线上元
素的乘积的相反数。
03
行列式在几何中的应用
行列式与向量叉积的关系
01
行列式可以表示为三个向量的叉积的线性组合，即行列式值 等于三个向量叉积的代数和。
02
当行列式值为零时，三个向量共面，即它们之间存在线性关 系。
03
行列式可以用来判断向量的叉积是否为零，从而判断三个向 量是否共面。
消元法
将方程组中的系数行列式化为0， 然后利用代数余子式求出方程组 的解。
递推法
利用递推关系式求解方程组，通 过将系数行列式展开，得到一系 列递推关系式，从而求解方程组。
克拉默法则
克拉默法则是一种利用行列 式解线性方程组的方法，其 基本思想是将方程组的解表
示为系数行列式的比值。
1
克拉默法则的前提是系数行列 式不为0，否则方程组无解。
程组无解或有无穷多解。
行列式可以用来判断方程组的解 的情况，也可以用来求解方程组 的解。
03
行列式的性质和计算方法在方程 组的求解过程中具有重要的作用
。
04
05
行列式的应用实例
利用行列式求平面上的点
确定点的位置
通过给定的行列式，我们可以确定平面上的一个点。例如，给 定一个行列式$D$和两个向量$vec{a}$和$vec{b}$，我们可以 使用行列式来找到满足$vec{a} cdot vec{x} = D$和$vec{b} cdot vec{x} = 0$的点$vec{x}$。
线性代数-行列式(完整版)
01
对于二元一次方程组，可以直接应用克拉默法则求解
未知数。
02
对于三元一次方程组，需要先判断系数矩阵的行列式
是否为零，若不为零，则可以使用克拉默法则求解。
03
对于更高元次的线性方程组，克拉默法则同样适用，
但计算量会随着元次的增加而急剧增大。
矩阵可逆性判别方法
01
一个方阵可逆的充分必要条件是其行列式不等于零。
行列式基本性质
行列式中如果有两行（或两列）元素成比例，则此行列式等于零。
若行列式的某一行（或某一列）的元素都是两数之和，例如第i行的元素都是两数之 和：$a_{ij}=b_{ij}+c_{ij}$，则此行列式等于两个行列式之和，这两个行列式的第i行 分别为$b_{ij}$和$c_{ij}$，其余各行与原行列式的相应的行相同。
对于一个n阶方阵A，其行列式记作|A|或det(A)， 是一个数值。
行列式的值可以通过对矩阵元素进行特定的运算 得到，该运算满足一定的性质。
行列式基本性质
行列式与它的转置行列式相等。
交换行列式的两行（或两列），行列式变号。 行列式的某一行（或某一列）中所有的元素都乘以同一数k，等于用数k乘 此行列式。
克拉默法则介绍
克拉默法则（Cramer's Rule）是线性 代数中一个关于求解线性方程组的定理。
该法则适用于具有相同数量方程的方程组， 且系数矩阵的行列式不为零的情况。
克拉默法则通过计算系数矩阵的行 列式以及将系数矩阵的某一列替换 为常数项列后得到的新矩阵的行列 式，来求解方程组的解。
克拉默法则在方程组求解中应用
应用领域
范德蒙德行列式在多项式插值、数值分析等领域有广 泛应用。
范德蒙德行列式在多项式拟合中应用
2016考研数学行列式、矩阵、向量知识点详解
2016考研数学行列式、矩阵、向量知识点详解(1)行列式：行列式这个章节的核心考点主要分为两大块，一是行列式的计算，二是行列式的应用。
行列式计算的主要方法有：第一，利用行列式的相关性质化行列式为上三角或下三角来进行计算;第二，利用行列式的行展开或列展开定理来进行计算;第三，利用特殊行列式来进行计算，如范德蒙行列式，行(列)和相等行列式，广义对角行列式等等，第四，利用特征值来计算行列式。
行列式的应用主要体现在利用克莱姆法则判断方程组解的情况以及如何求解整个方程组，在判断方程组解的情况时只要方程组满足是方形的也就是方程组的个数和未知数的个数相等时往往利用克莱姆法则来判断解的情况来的更快，更简捷。
总之，行列式这个章节整体的落脚点还是在行列式的计算上，在后面章节中求解特征值时都要用到行列式的相关计算。
同学们在复习这个章节的时候一定要多练习，多做习题，特别是具有特殊形式的行列式的计算常用的解题方法和技巧一定要熟记于心，比如说行(列)和相等行列式，处理方法一般都是将其他各行(或各列)都加到第一行(或第一列)上去，然后再做处理。
针对于行列式这个章节，做到多练，多练!向量其实它的本质也就是特殊的矩阵，这个章节的核心考点主要包括：线性相关性的判定、极大无关组的求法、向量组秩的相关性质、施密特正交法。
相关性的判定要掌握定义法、以及线性相关的几个充要条件，掌握利用化行阶梯型求解极大无关组，掌握向量组秩的求法，要会利用施密特正交法把已知的向量组标准正交化。
(2)矩阵：矩阵可以说是贯穿整个线代部分的一条基线，矩阵有对应的方阵行列式，矩阵有对应线性方程组的系数矩阵，矩阵有对应的行向量、列向量形式，矩阵有对应的二次型矩阵等等。
矩阵这个章节是学好整个线代部分的基础，同样也是后面章节所常用的一种工具，当然也是整个线代部分的重点所在。
矩阵这个章节的核心考点主要有：第一，矩阵的运算，包括线性运算(矩阵加法，数乘)、矩阵乘法;第二，矩阵的求逆，求逆的方法主要包括：定义法、伴随矩阵法、初等变换法、分块矩阵法;第三，分块矩阵，其中分块矩阵所对应的分块行列式的计算是分块矩阵的重点所在，拉普拉斯展开定理的几个常用的分块行列式的计算公式一定得掌握;第四，矩阵的秩，矩阵秩的求解方法以及秩的相关不等式性质，这个是考研的常考点，也是必考点!这个章节复习的时候，需要注意的就是在进行矩阵的运算时一定要非常小心、细心，特别是在对矩阵作初等变换时一步错就步步错，总之这个章节同学们在做题时一定要做到细心，细心!(3)向量：向量其实它的本质也就是特殊的矩阵，这个章节的核心考点主要包括：线性相关性的判定、极大无关组的求法、向量组秩的相关性质、施密特正交法。
范老师fdx-第11讲：数列(3)、矩阵、行列式
第十一讲：数列（3）、矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，概率统计
主讲老师：范端喜
矩阵、行列式
一、概述
就近几年自主招生来看，只有复旦有这方面的题目。
而且，复旦近三年都考。
请准备考复旦的同学注意！
复旦自主招生考试，有关矩阵、行列式题目并不难。
重点是矩阵的运算、行列式在方程组中的运用及行列式的计算。
二、真题精析
排列组合、二项式定理、及概率统计
一、概述
排列组合、二项式定理、及概率统计也是自主招生很受重视的内容之一。
在近几年复旦自主招生中一般有4—5道左右的试题，占10%比例。
难度一般不大，大多数是比较常规的问题。
二、真题精析。
行列式内容归纳要点.ppt
排列及性质
矩阵的定义
行列式概念
方阵行列式 矩阵初等变换
行列式性质
行式计算
行列式 按行、 列展开
Laplace 定理
行列式 乘法规
则
线性方 程组求
解
习题类型要点提示
A 排列于逆序问题 B 行列式的计算（主要计算方法分类）
一 行列式定义计算行列式； 二 化成上(下)三角形行列式计算； 三 递推法计算行列式； 四 数学归纳法计算行列式； 五 加边法计算行列式； 六 分行(列)成比例法计算行列式； 七 Laplace定理计算行列式； 八 Vandermonde行列式计算行列式. C Cramer的应用
n ( n 1)
n (n 1)
(1) (n(n1) 21) (1) 2 → 原行列式的值为 (1) 2 n ! .
2) 此行列式只有一个非零项 a12a23 an1nan1 n !，其符号为 (1)n1 ，故
行列式的值为 (- 1) (23 n1)n! (1)n 1 n!.
3) 行列式只含一个非零项 a1n1a2n2 an11ann n ! , 其符号为
2 1, 2, …, xi , xi , , n 比xi 大的数为 n xi个, 它们在两个排列中的分布为：
n xi
x1x2 xi1 xi xi1 xn1xn xn xn1 xi1 xi xi1 x2 x1 , 即 xi 所 能 构成的逆 序在
k个
(n xi )k个
(n xi )k个
k个
前一排列中占 k 个，后一排列中占 (n xi ) k 个
习题 3 解： 12435 (1,2) 21435 (1,5) 25431 (3,4) 25341.
数学中的矩阵和行列式
数学中的矩阵和行列式矩阵和行列式在数学中扮演着重要的角色。
它们是线性代数的基础概念，被广泛应用于各个领域，包括物理学、计算机科学和工程等。
本文将详细介绍矩阵和行列式的定义、性质和应用，以期为读者提供全面的了解。
1. 矩阵的定义与性质矩阵是一个矩形的数组，由水平排列的行和竖直排列的列组成。
一个m行n列的矩阵被称为m×n矩阵。
矩阵中的每个元素可以是任意的数，包括实数、复数或变量。
矩阵的运算包括矩阵的加法、减法和数乘。
加法是指两个矩阵对应元素相加，减法是指两个矩阵对应元素相减，数乘是指将矩阵的每个元素乘以一个数。
矩阵的转置是指将矩阵的行和列互换位置，得到的新矩阵称为原矩阵的转置矩阵。
转置矩阵具有许多重要的性质，比如转置矩阵的转置等于原矩阵、转置矩阵的和等于原矩阵的和等等。
矩阵的乘法是指矩阵与矩阵之间的一种运算，它将一个矩阵的行与另一个矩阵的列对应元素相乘，并将结果进行求和。
矩阵乘法不满足交换律，即AB≠BA。
单位矩阵是一个特殊的矩阵，它的对角线元素都为1，其余元素都为0。
对于任意矩阵A，有AA^-1=I，其中I为单位矩阵，A^-1为A 的逆矩阵。
2. 行列式的定义与性质行列式是一个与矩阵相关的标量值，用于描述矩阵的一些重要性质。
对于一个n×n的矩阵，其行列式表示为|A|或det(A)。
行列式的计算涉及到对矩阵的元素进行排列组合。
行列式的计算方法有多种，比如余子式展开法、Laplace展开法和递推法等。
不同的计算方法适用于不同的情况，读者可根据实际需要选择合适的方法。
行列式有许多重要的性质。
其中，若矩阵A的某一行（列）的元素全为0，则其行列式等于0；若矩阵A的两行（列）互换位置，则其行列式变号；若矩阵A的两行（列）相等，则其行列式为0；若矩阵A的某一行（列）的元素都乘以一个数k，则其行列式等于原行列式乘以k等等。
3. 矩阵和行列式的应用矩阵和行列式在数学中具有广泛的应用。
在线性代数中，它们是求解线性方程组的重要工具。
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第十一讲：数列（3）、矩阵、行列式、排列组合，二项式定理，概率统计
主讲老师：范端喜
矩阵、行列式
一、概述
就近几年自主招生来看，只有复旦有这方面的题目。
而且，复旦近三年都考。
请准备考复旦的同学注意！
复旦自主招生考试，有关矩阵、行列式题目并不难。
重点是矩阵的运算、行列式在方程组中的运用及行列式的计算。
二、真题精析
排列组合、二项式定理、及概率统计
一、概述
排列组合、二项式定理、及概率统计也是自主招生很受重视的内容之一。
在近几年复旦自主招生中一般有4—5道左右的试题，占10%比例。
难度一般不大，大多数是比较常规的问题。
二、真题精析。