第24章圆复习课件

做圆的内接三角形，这个圆叫做三角形的外接圆，圆 心叫做三角形的外心） 反证法的三个步骤： 1、提出假设 2、由题设出发，引出矛盾 3、由矛盾判定假设不成立，肯定结论正确
圆内接四边形的性质：
（1）对角互补；（2）任意一个外角都等于它的内
对角
二、过三点的圆及外接圆
无数 个 1.过一点的圆有________ 无数 个，这些圆的圆心 2.过两点的圆有_________ 的都在_______________ 连结着两点的线段的垂直平分线 上. 0或1 3.过三点的圆有______________ 个
．
O A l
∟
∵OA是半径,OA⊥ l ∴直线l是⊙O的切线.
切线的性质: (1)圆的切线垂直于经过切点的半径.
(2)经过圆心垂直于切线的直线必经过切点.
(3)经过切点垂直于切线的直线必经过圆心.
． O ．
A
∟
∵直线l是⊙O的切线,切 点为A
l
∴ OA⊥ l
切线的判定定理的两种应用
1、如果已知直线与圆有交点，往往要 作出过这一点的半径，再证明直线垂直 于这条半径即可； 2、如果不明确直线与圆的交点，往往要 作出圆心到直线的垂线段，再证明这条 垂线段等于半径即可．
在同圆或等圆中,同弧或等弧所对的所有的 圆周角相等.相等的圆周角所对的弧相等.
D E
∵∠ADB与∠AEB 、∠ACB C 是同弧所对的圆周角 ∴∠ADB=∠AEB =∠ACB
B
O A
圆周角的性质: 性质 3:半圆或直径所对的圆周角都 相等,都等于900(直角). 性质4: 900的圆周角所对的弦是圆的直径.
C
∵AB是⊙O的直径 ∴ ∠ACB=900
B
A
O
∵ ∠ACB=900 ∴AB是⊙O的直径
练习
• 判断: (1) 相等的圆心角所对的弧相等. (×) • (2)相等的圆周角所对的弧相等. (×) • (3) 等弧所对的圆周角相等. (√)
练习：
在⊙O中,弦AB=1.8cm，圆周角∠ACB=30°， 则⊙O的直径等于_______cm.
切线长定理：P99
从圆外一点引圆的两条切线，它们 的切线长相等；这点与圆心的连线平分 这两条切线的夹角。
125
C D A O B
图1
图2
练习：
5. 在⊙O中，弦AB所对的圆心角∠AOB=100°，则 弦AB所对的圆周角为____________. 500或1300
6.如图，AB是⊙O的直径,BD是 ⊙O的弦，延长BD到点C,使 DC=BD,连接AC交⊙O与点F. （1）AB与AC的大小有什么关 系?为什么? （2）按角的大小分类, 请你判断 △ABC属于哪一类三角形， 并说明理由.
C
∵DE是圆的切线，OB⊥BC即 BC是圆切线 ∴BE=DE ∴∠EDB=∠EBD 连接BD，AB是直径，那么 ∠ADB=∠CDB=90° ∵∠EDC+∠EDB=∠CDB=90° ∠C+∠EBD=∠CDB=90° ∴∠EDC=∠C ∴DE=CE ∴BE=CE
D
3 2 1
E
A
O
·
B
5、如图，⊿ABC是⊙O的内接三角形，AC=BC，D为⊙O 中弧AB上一点，延长DA至点E，使CE=CD． （1）求证：AE=BD； Ｃ （2）若AC⊥BC，求证：AD+BD= 2 CD．
O
2.两条弦在圆心的两侧
A
●
A
C
●
B
D
O
B D
C
3.同圆或等圆中圆心角、弧、弦之间的关 系:P84
(1)在同圆或等圆中,如果圆心角相等,那么它 所对的弧相等,所对的弦相等. (2)在圆中,如果弧相等,那么它所对的圆心角 相等,所对的弦相等. (3)在一个圆中,如果弦相等,那么它所对的弧 相等,所对的圆心角相等.
C
只要连接OC， 而后证明OC 垂直CD
A
O
B
D
3.AB是⊙O的弦,C是⊙O外一点,BC是 ⊙O的切线,AB交过C点的直径于点D, OA⊥CD,试判断△BCD的形状,并 说明你的理由.
证 ∠CDB = ∠CBD △BCD是等腰三角形
4. Rt△ ABC中，∠ABC=90°，交AC于D，过D作 ⊙O的切线DE，交BC于E。求证：BE=CE
1）∵AC=BC ∴ ∠CAB=∠CBA 又 ∵EC=CD ∴ ∠CED=∠CDE 又 ∵∠CBA=∠EDC=弧AC ∴ ∠CAB=∠CBA=∠CED=∠CDE ∴∠ECD=∠ACB 即：∠ECA=∠DCB 在 △CEA与△CDB中 ∠ECA=∠DCB EC=CD CA=CB ∴△CEA全等于△CDB ∴AE=BD
关于弦的问题，常常需 B 要过圆心作弦的垂线段， 这是一条非常重要的辅 助线。 圆心到弦的距离、半径、 弦长构成直角三角形， 便将问题转化为直角三 角形的问题。

M O
A
P
练习：
3.⊙O的半径为10cm，弦AB∥CD，
AB=16，CD=12，则AB、CD间的
2cm 或14cm . 距离是___
1.两条弦在圆心的同侧
Ｅ Ｏ Ａ Ｄ Ｂ
(2)∵CD=CE, ∴∠CDA=∠CEA ∵弧AC=弧BC, ∴∠CDA=∠CDB, ∴∠CEA=∠CDB ∵ADBC四点共圆, ∴∠CAE=∠CBD ∵AC=BC, ∴△ACE=△BCD, ∴AE=BD, ∠ACE=∠BCD ∵AC⊥BC===>∠ACD+∠BCD=90º∴∠ECD=90º , ∴△ECD为等腰直角三角形 ∴EA+AD=ED=√2CD ∴AD+BD=√2CD
1、两个同心圆的半径分别为3 cm和4 cm，大圆的 弦BC与小圆相切，则BC=_____ 2 7 cm； 2、如图2，在以O为圆心的两个同心圆 中，大圆的弦AB是小圆的切线，P为切点， P C B 设AB=12，则两圆构成圆环面积为_____ 36π ； O 3、下列四个命题中正确的是（ ）． C ①与圆有公共点的直线是该圆的切线 ； ②垂直于圆的半径的直线是该圆的切线 ； ③到圆心的 距离等于半径的直线是该圆的切线 ；④过圆直径的端 点，垂直于此直径的直线是该圆的切线． A.①② B.②③ C.③④ D.①④
A P O B
1.在Rt△ABC中,∠B=90°,∠A的平分线交BC于 D,以D为圆心,DB长为半径作⊙D. 试说明:AC是⊙D的切线.
过D点作DF ^AC 于F点，然后证明 DF等于圆D的半 径BD
F
2 、如图， AB 在⊙ O 的直径，点 D 在 AB 的 延 长 线 上 , 且 BD=OB, 点 C 在 ⊙ O 上,∠CAB=30°. (1)CD是⊙O的切线吗？说明你的理由; (2)AC=_____，请给出合理的解释.
第24章《圆》整章复习
本章知识结构图
圆的对称性 圆的基本性质 弧、弦圆心角之间的关系 同弧上的圆周角与圆心角的关系
点和圆的位置关系 与圆有关的位置关系 直线和圆的位置关系 三角形的外接圆 切线
三角形内切圆
圆
正多边形和圆
圆和圆的位置关系
等分圆
弧长 有关圆的计算 扇形的面积
圆锥的侧面积和全面积
一.圆的基本概念:
．
2.垂径定理:P82
垂直于弦的直径平分这条弦,并且 平分弦所对的两条弧.
C
．
A P D
∵CD是圆O的直 径,CD⊥AB ∴AP=BP, AD = B
平分弦（不是直径）的直径垂直于弦,并且平 分弦所对的两条弧.
C
A
┗
●
B
O

M
●
由 ① CD是直径 ③ AM=BM
4.如何作过不在同一直线上的三点的圆（或三 角形的外接圆、找外心、破镜重圆、到三个村 庄距离相等） 内 ，直角三角 5.锐角三角形的外心在三角形____ 在斜边的中点上 _，钝角 形的外心在三角形___ 外。 三角形的外心在三角形____
3.如图,是某机械厂的一种零件平面图. (1)请你根据所学的知识找出该零件所在圆的 圆心(要求正确画图,不写做法,保留痕迹).
A F O
B
D
C
三.与圆有关的位置关系:P92 1.点和圆的位置关系 (1)点在圆内 (2)点在圆上 (3)点在圆外 如果规定点与圆心的距离为d,圆的半径 为r,则d与r的大小关系为:
点与圆的位置关系
d与r的关系
．
C
．
A ．
． B
点在圆内 点在圆上 点在圆外
d＜r d＝r d＞r
圆
不在同一直线上的三个点确定一个 P94 （这个三角形叫
(2)若弦AB=80cm,AB的中点C到AB的距离是 20cm,求该零件所在的半径长.
1、⊙O的半径为R，圆心到点A的距离为d，且R、d分 2 别是方程x －6x＋8＝0的两根，则点A与⊙O的位置关系是 （ D） A．点A在⊙O内部 B．点A在⊙O上 C．点A在⊙O外部 D．点A不在⊙O上 2、M是⊙O内一点，已知过点M的⊙O最长的弦为10 cm，最短的弦长为8 cm，则OM= _____ 3 cm. 3、圆内接四边形ABCD中，∠A∶∠B∶∠C∶∠D可 以是（D ） A、1∶2∶3∶4 B、1∶3∶2∶4 C、4∶2∶3∶1 D、4∶2∶1∶3
O •
A
B
2.直线和圆的位置关系:P96
．
O
．
O l
．
O l
l (1) 相离: 一条直线与一个圆没有公共点,叫做 直线与这个圆相离. (2) 相切: 一条直线与一个圆只有一个公共点,叫 做直线与这个圆相切. (3) 相交: 一条直线与一个圆有两个公共点,叫 做直线与这个圆相交.
直线与圆位置关系的识别:
1.圆的定义:到定点的距离等于定长的点的 集合叫做圆. 2.有关概念: (1)弦、直径(圆中最长的弦)