竖直面内的圆周运动

v0 2 m R ，解得 v0＝3 m/s.
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2
3
4
解析
答案
(2)当小球在最高点的速度分别为6 m/s和1.5 m/s时，球对杆的作用力.
答案 6 N，方向竖直向上
解析
1.5 N，方向竖直向下 v1 2 v1＞v0，由牛顿第二定律得：mg＋F1＝m R ，
由牛顿第三定律得：F1′＝F1，解得F1′＝6 N，方向竖直向上.
v2 2 v2＜v0，由牛顿第二定律得：mg－F2＝m R ，
由牛顿第三定律得：F2′＝F2，解得：F2′＝1.5 N，方向竖直向下.
1
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解析
答案
以水桶中的水为研究对象，在最高点恰好不流出来，说明水的重
力恰好提供其做圆周运动所需的向心力，此时桶的速率最小.
v0 2 此时有：mg＝m l ， 则所求的最小速率为：v0＝ gl≈2.24 m/s.
解析
答案
(2)若在最高点水桶的速率v＝3 m/s，求水对桶底的压
力大小.
答案 4 N
解析 此时桶底对水有一向下的压力，设为 FN，则由牛顿第二定律有：
1 2 3 4
图10
解析
答案
3.(球在管形轨道中的运动)(多选) 如图11所示，小
球 m 在竖直放置的光滑的圆形管道内做圆周运动，
下列说法正确的是
A.小球通过最高点时的最小速度是 Rg B.小球通过最高点时的最小速度为零 √ C.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定无作用力 D.小球在水平线ab以下的管道中运动时外侧管壁对小球一定有作用力 √
当 v> gR时，FN>0，即上管壁对球有向下的压力；
当 0<v< gR时，FN<0，即 FN 竖直向上，下管壁对球有向上的支持力.
答案
知识深化 细杆和管形轨道模型 1.最高点的最小速度 如图 6 所示，细杆上固定的小球和管形轨道内运动的小球，由于杆和管 在最高处能对小球产生向上的支持力，故小球恰能到达最高点的最小速 度v＝0，此时小球受到的支持力FN＝mg.
v2 FN＋mg＝m l ，
代入数据可得：FN＝4 N. 由牛顿第三定律，水对桶底的压力：FN′＝4 N.
解析
答案
针对训练
(多选)如图4所示，用长为l的细绳拴着质量
为 m 的小球在竖直平面内做圆周运动，则下列说法中
正确的是
A.小球在圆周最高点时所受的向心力一定为重力 图4
gl
B.小球在最高点时绳子的拉力不可能为零
图11
1
2
3
4
解析
答案
4.(杆拉球在竖直面内的运动)质量为0.2 kg的小球固定在长为0.9 m的轻杆 一端，杆可绕过另一端O点的水平轴在竖直平面内转动.(g＝10 m/s2)求： (1)当小球在最高点的速度为多大时，球对杆的作用力为零？
答案 3 m/s
解析 当小球在最高点对杆的作用力为零ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ，重力提供向心力，则 mg＝
答案 44 N
v2 2 42 解析 代入数据 v2＝4 m/s，可得 F′＝m( L －g)＝2×(0.5－10) N＝44 N，
即A受到杆的拉力为44 N.根据牛顿第三定律可得A对杆的作用力为拉力，
大小为44 N.
解析 答案
例3 (多选)如图8所示，半径为L的圆管轨道(圆管内径 远小于轨道半径)竖直放置，管内壁光滑，管内有一个 小球(小球直径略小于管内径)可沿管转动，设小球经过 最高点P时的速度为v，则 B.v若增大，球所需的向心力也增大 √ C.当v由 gL 逐渐减小时，轨道对球的弹力也减小 D.当v由 √ A.v的最小值为 gL
答案 mv2 2 最高点：FT2＝ L －mg
答案
图1
(3)小球过最高点的最小速度是多大？
答案 由于绳不可能对球有向上的支持力，只能产生向下的拉力，
mv2 2 由 FT2＋mg＝ L 可知，当 FT2＝0 时，v2 最小，最小速度为 v0＝ gL.
答案
(4)假设绳拉球过最高点时最小速度小于 gL，则会产 生什么样的后果？请总结绳拉球过最高点的条件.
图8
gL 逐渐增大时，轨道对球的弹力也增大
解析
答案
1.(轻绳作用下物体的运动)杂技演员表演“水流星”，在长为 1.6 m的细绳的一端，系一个与水的总质量为m＝0.5 kg的盛 水容器，以绳的另一端为圆心，在竖直平面内做圆周运动， 如图9所示，若“水流星”通过最高点时的速率为4 m/s，则下列 说法正确的是(g＝10 m/s2) A.“水流星”通过最高点时，有水从容器中流出 B.“水流星”通过最高点时，绳的张力及容器底部受到的压力均为零 √
图9
C.“水流星”通过最高点时，处于完全失重状态，不受力的作用
D.“水流星”通过最高点时，绳子的拉力大小为5 N
1 2 3 4
解析
答案
2.( 轨道约束下小球的运动 )( 多选 ) 如图 10 所示，质量为 m 的 小球在竖直平面内的光滑圆环内侧做圆周运动 .圆环半径为 R，小球经过圆环内侧最高点时刚好不脱离圆环，则其通过 最高点时下列表述正确的是 A.小球对圆环的压力大小等于mg B.重力mg充当小球做圆周运动所需的向心力 √ C.小球的线速度大小等于 gR √ D.小球的向心加速度大小等于g √
图6
2.小球通过最高点时，轨道对小球的弹力情况 (1) v> Rg，杆或管的外侧对球产生向下的拉力或弹力，F随v 增大而增大. (2) v＝ Rg， 球在最高点只受重力，不受杆或管的作用力，F＝0.
(3) 0<v< Rg， 杆或管的内侧对球产生向上的弹力，F随v的增大而减小.
3.小球能过最高点的条件：v＝0.
即轻绳模型的临界速度为 v 临＝ gr.
例1
一细绳与水桶相连，水桶中装有水，水桶与细绳一
起在竖直平面内做圆周运动，如图3所示，水的质量m＝ 0.5 kg，水的重心到转轴的距离l＝50 cm.(g取10 m/s2)
(1)若在最高点水不流出来，求桶的最小速率；(结果保留
三位有效数字)
图3
答案
解析
2.24 m/s
轻绳模型(如图2所示)的最高点问题
图2
1.绳(内轨道)施力特点：只能施加向下的拉力(或压力).
v2 2.在最高点的动力学方程 FT＋mg＝m . r
v2 3.在最高点的临界条件 FT＝0，此时 mg＝m r ，则 v＝ gr.
v＝ gr时，拉力或压力为零.
v> gr时，小球受向下的拉力或压力.
v< gr时，小球不能达到最高点.
内表面做圆周运动，分析小球在最高点A的速度应满足什么条件？ v2 答案 与绳拉球模型相似，在最高点 A 时，有 FN＋mg＝m r ，
当 FN＝0 时，v 最小为 v0＝ gr，
当v＝v0时，小球刚好能够通过最高点，当v<v0时，
球偏离轨道，不能过最高点.当v>v0时，小球能够通
过最高点.
答案
知识深化
C.若小球刚好能在竖直平面内做圆周运动，则其在最高点的速率为 √ D.小球过最低点时绳子的拉力一定大于小球重力 √
解析
答案
二、竖直面内圆周运动的轻杆(管)模型
导学探究 长为L的轻杆一端固定着一质量为 m的小球，使小球在竖 直面内做圆周运动.(如图5) (1)当小球在最高点B的速度为v1 时，求杆对球的作用力. 图5
例2
长L＝0.5 m的轻杆，其一端连接着一个零件A，A
的质量 m ＝ 2 kg.现让 A 在竖直平面内绕 O 点做匀速圆周 运动，如图7所示 .在 A通过最高点时，求下列两种情况
下A对杆的作用力大小(g＝10 m/s2).
(1)A的速率为1 m/s； 答案 16 N
图7
解析
答案
(2)A的速率为4 m/s.
习题课
竖直面内的圆周运动
学习目标 1.了解竖直面上圆周运动的两种基本模型. 2.掌握轻绳约束下圆周运动的两个特殊点的相关分析. 3.学会分析圆周运动问题的一般方法.
一、竖直面内圆周运动的轻绳(过山车)模型
导学探究
如图1所示，长为L的细绳拴着质量为m的小球在竖直面内 做圆周运动.试分析： (1)当小球在最低点A的速度为v1时，求绳的拉力FT1. mv1 2 答案 最低点：FT1＝mg＋ L (2)当小球在最高点B的速度为v2时，求绳的拉力FT2.
mv2 答案 当 v< gL时，所需的向心力 Fn＝ L <mg.
此时，重力 mg 的一部分提供向心力，剩余的另一部分力会使小球向下 偏离圆周轨道，即小球此时不能过最高点做圆周运动，这之前已经脱离 圆周轨道了.
绳拉球过最高点的条件是：v≥ gL.
答案
(5)有一竖直放置、内壁光滑的圆环，其半径为r，质量为m的小球沿它的
答案
(2)杆拉球过最高点的最小速度为多少？
答案
由 (1) 中的分析可知，杆拉球过最高点
的最小速度为零.
答案
(3)试分析光滑圆管竖直轨道中，小球过最高点时受管壁 的作用力与速度的关系？ 答案 设管壁对球的作用力向下，为FN.
mv2 mv2 则有 FN＋mg＝ R 即 FN＝ R －mg
当 v＝ gR时，FN＝0，