关系代数一
关系代数
第二章关系代数教学目的：本章实际上研究的是关系的运算。
学习目的：关系运算是设计关系数据库操作语言的基础，因为其中的每一个询问往往表示成一个关系运算表达式，在我们的课程中，数据及联系都是用关系表示的，所以实现数据间的联系也可以用关系运算来完成。
通过本章学习，应重点掌握：(1)关系数据库的基本概念；(2)如何用关系代数表达式来表达实际查询问题；(3)如何用元组演算表达式来表达实际查询问题；(4)如何用域演算表达式来表达实际查询问题；(5)如何将关系代数表达式转换为元组演算表达式或转换为域演算表达式。
了解和掌握关系数据结构中涉及到的域、笛卡儿积、关系模式等有关内容的含义；掌握关系的实体完整性和参照完整性的定义；掌握关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学重点：关系的实体完整性和参照完整性的定义；关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学难点：关系代数中的并、交、差、笛卡儿积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学方法：实例法教学内容：如下：关系模型关系模型是一种简单的二维表格结构，每个二维表称做一个关系，一个二维表的表头，即所有列的标题称为一个元组，每一列数据称为一个属性，列标题称估属性名。
同一个关系中不允许出现重复元组和相同属性名的属性。
1．关系模型组成关系模型由关系数据结构、关系操作集合和关系完整性约束三部分组成。
关系操作分为两大部分如图所示。
2．关系操作的特点关系操作的特点是操作对象和操作结果都是集合。
而非关系数据模型的数据操作方式则为一次一个记录的方式。
关系数据语言分为三类： (1)关系代数语言：如ISBL ；(2)关系演算语言：分为元组关系演算语言(如Alpha ，Quel)、域关系演算语言(如QBE)； (3)具有关系代数和关系演算双重特点的语言：如SQL 。
3．关系数据结构及其形式化定义 （1）域定义 域是一组具有相同数据类型的值的集合。
数据库关系代数运算例题
数据库关系代数运算例题摘要：1.关系代数简介2.数据库关系代数运算例题详解a.并运算b.交运算c.差运算d.笛卡尔积运算e.投影运算f.选择运算g.连接运算3.总结与展望正文：一、关系代数简介关系代数是一种对关系数据库进行操作的数学理论。
它利用基本的集合运算和关系运算对关系数据库中的数据进行查询、插入、更新和删除等操作。
关系代数的基本运算包括并、交、差、笛卡尔积、投影、选择和连接等。
二、数据库关系代数运算例题详解1.并运算例题1：给定关系R和S，求R并S的结果。
解：设R={1, 2, 3, 4}, S={3, 4, 5, 6}，则R并S={1, 2, 3, 4, 5, 6}。
2.交运算例题2：给定关系R和S，求R交S的结果。
解：设R={1, 2, 3, 4}, S={3, 4, 5, 6}，则R交S={3, 4}。
3.差运算例题3：给定关系R和S，求R差S的结果。
解：设R={1, 2, 3, 4}, S={3, 4, 5, 6}，则R差S={1, 2}。
4.笛卡尔积运算例题4：给定关系R和S，求R与S的笛卡尔积。
解：设R={1, 2}, S={a, b}，则R与S的笛卡尔积为{（1, a），（1, b），（2, a），（2, b）}。
5.投影运算例题5：给定关系T，求T中属性A的投影。
解：设T={（1, 2, 3），（2, 3, 4），（3, 4, 5）}，则T中属性A的投影为{（1，3），（2，3），（3，5）}。
6.选择运算例题6：给定关系T，求满足条件“属性B大于2”的选择结果。
解：设T={（1, 2, 3），（2, 3, 4），（3, 4, 5）}，则满足条件“属性B大于2”的选择结果为{（2，3，4），（3，4，5）}。
7.连接运算例题7：给定关系R和S，求R与S的连接结果。
解：设R={（1, 2），（3, 4）}，S={（2, 3），（4, 5）}，则R与S的连接结果为{（1，2，3），（3，4，5）}。
关系代数除运算
关系代数除运算
关系代数是一种用于对关系进行操作的代数系统。
除运算是关系代数中的一种运算，它用于从一个关系中除去另一个关系的元组。
除运算可以通过如下公式进行表示：
R1 ÷ R2 = {t | t∈R1 ∧ u(u∈R2 ∧
t[R1∩R2]=u[R1∩R2])}
其中，R1和R2都是关系，t表示一个元组，∧表示逻辑“与”，表示任意一个，∈表示属于，[R1∩R2]表示R1和R2的交集。
除运算的意义在于从一个关系中排除掉另一个关系的元组，可以理解为对R1中的元组，从中“减去”在R2中出现的元组。
举个例子，假设有两个关系：
R1 (name, age, gender)：(Alice, 20, F), (Bob, 25, M), (Charlie, 30, M)
R2 (name, age, gender)：(Bob, 25, M), (Charlie, 30, M) 则R1除以R2的结果为：
R1 ÷ R2：(Alice, 20, F)
因为R1中只有一个元组(Alice, 20, F)，而这个元组在R2中没有出现，因此它是R1除以R2的结果。
除运算的应用场景很多，比如在数据库中，可以利用除运算来实现查询符合某种条件的元组，同时排除不符合条件的元组。
- 1 -。
第3章 关系代数
关系代数
第3章 关系代数 章
2.1 关系代数概述 2.2 传统的集合运算 2.3 专门的关系运算
第2章
关系代数
2.1 关系代数概述
关系操作采用集合操作方式，即操作的对象和结果都是集合。 这种操作方式也称为一次一集合的方式 。 关系模型中常用的关系操作 关系操作包括： 关系操作 选择、投影、连接、 增加、 选择、投影、连接、除、并、交、差等查询操作和增加、删除、 增加 删除、 修改等。 修改 关系数据语言可以分为三类： 关系数据语言可以分为三类：
第2章
关系代数
三、连接（Join） 连接（ ） 连接也称为θ连接。 连接也称为 连接。它是从两个关系的笛卡尔积中 连接 选取属性间满足一定条件的元组。记作： 选取属性间满足一定条件的元组。记作：
其中A和 分别为 分别为R和 上度数相等且可比的属性组 上度数相等且可比的属性组。 其中 和B分别为 和S上度数相等且可比的属性组。 θ是比较运算符。连接运算从 和S的笛卡尔积 ×S中选 是比较运算符。 的笛卡尔积R× 中选 是比较运算符 连接运算从R和 的笛卡尔积 关系） 属性组上的值与（ 关系 关系） 取（R关系）在A属性组上的值与（S关系）在B属性组 关系 属性组上的值与 属性组 上值满足比较关系θ的元组 的元组。 上值满足比较关系 的元组。 连接运算中有两种最为重要也最为常用的连接，一 种是等值连接（equi-join）， 等值连接（ ），另一种是自然连接 自然连接 等值连接 ）， （Natural join）。 ）。
tr ts表示由两元组tr和ts前后有序连接而成的一个元 组。 任取元组tr和ts,当且仅当tr属于R且ts属于S时,tr和ts的 有序连接即为R×S的一个元组。
第2章
关系代数
24 关系代数
2.4 关系代数--------------------------------------------------------------------- 关系代数是一组施加于关系上的高级运算，每个运算都以一个或多个关系作为它的运算对象，并生成另一个关系作为该运算的结果。
由于它的运算直接施加于关系之上而且其运算结果也是关系，所以也可以说它是对关系的操作；从数据操作的观点来看，也可以说关系代数是一种查询语言。
---------------------------------------------------------------------关系代数是一种抽象的查询语言，是关系数据操纵语言的一种传统表达方式，它是用对关系的运算来表达查询的。
任何一种运算都是将一定的运算符作用于一定的运算对象上，得到预期的运算结果。
所以运算对象、运算符、运算结果是运算的三大要素。
关系代数的运算对象是关系，运算结果亦为关系。
关系代数用到的运算符包括四类:集合运算符、专门的关系运算符、算术比较符和逻辑运算符，如表2·4所示。
关系代数的运算按运算符的不同可分为传统的集合运算和专门的关系运算两类。
其中传统的集合运算将关系看成元组的集合，其运算是从关系的"水平"方向即行的角度来进行。
而专门的关系运算不仅涉及行而且涉及列。
比较运算符和逻辑运算符是用来辅助专门的关系运算符进行操作的。
2.4.1 传统的集合运算传统的集合运算是二目运算，包括并、差、交、广义笛卡尔积四种运算。
设关系R和关系S具有相同的目n(即两个关系都有n个属性)，且相应的属性取自同一个域，则可以定义并、差、交运算如下:1.并 (Union)关系R与关系S的并记作:R ∪ S = {t|t∈R ∨ t∈S}其结果仍为n目关系，由属于R或属于S的元组组成。
(注:等式右边大括号中的t是一个元组变量,表示结果集合由元组t构成。
竖线“|”右边是对t约束条件,或者说是对t的解释。
数据库关系代数表达式学习
数据库关系代数表达式学习关系代数是关系数据库系统查询语言的理论基础一、关系代数的9种操作：关系代数中包括了：并、交、差、乘、选择、投影、联接、除、自然联接等操作。
五个基本操作：并(∪)、差(-)、笛卡尔积(×)、投影(σ)、选择(π)四个组合操作：交(∩)、联接(等值联接)、自然联接(R S)、除法(÷)注2：等值连接表示先做笛卡尔积(×)之后，对相应列进行选择或等值关联后的结果(仅筛选行、不筛选列) 注2：自然连接表示两个关系中若有相同名称的属性，则自动作为关联条件，且仅列出一列二、关系代数表达式：由关系代数运算经有限次复合而成的式子称为关系代数表达式。
这种表达式的运算结果仍然是一个关系。
可以用关系代数表达式表示对数据库的查询和更新操作。
三、举例说明：设教学数据库中有3个关系：学生关系S(SNO, SNAME,AGE,SEX)学习关系SC(SNO,CNO,GRADE)课程关系C(CNO,CNAME,TEACHER)(1) 检索学习课程号为C2的学生学号与成绩------------------------------------SELECT SNO,GRADEFROM SCWHERE CNO='C2'------------------------------------π SNO, GRADE (σ CNO='C2' (SC))************************************(2) 检索学习课程号为C2的学生学号与姓名------------------------------------SELECT SC.SNO,S.SNAMEFROM SC,SWHERE SC.SNO=S.SNOAND O='C2'------------------------------------π SNO,SNAME (σ CNO='C2' (S SC))此查询涉及S和SC，先进行自然连接，然后再执行选择投影操作。
关系代数——精选推荐
关系代数第⼆章关系代数教学⽬的：本章实际上研究的是关系的运算。
学习⽬的：关系运算是设计关系数据库操作语⾔的基础，因为其中的每⼀个询问往往表⽰成⼀个关系运算表达式，在我们的课程中，数据及联系都是⽤关系表⽰的，所以实现数据间的联系也可以⽤关系运算来完成。
通过本章学习，应重点掌握：(1)关系数据库的基本概念；(2)如何⽤关系代数表达式来表达实际查询问题；(3)如何⽤元组演算表达式来表达实际查询问题；(4)如何⽤域演算表达式来表达实际查询问题；(5)如何将关系代数表达式转换为元组演算表达式或转换为域演算表达式。
了解和掌握关系数据结构中涉及到的域、笛卡⼉积、关系模式等有关内容的含义；掌握关系的实体完整性和参照完整性的定义；掌握关系代数中的并、交、差、笛卡⼉积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学重点：关系的实体完整性和参照完整性的定义；关系代数中的并、交、差、笛卡⼉积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学难点：关系代数中的并、交、差、笛卡⼉积运算，以及选择、投影和连接运算。
教学⽅法：实例法教学内容：如下：关系模型关系模型是⼀种简单的⼆维表格结构，每个⼆维表称做⼀个关系，⼀个⼆维表的表头，即所有列的标题称为⼀个元组，每⼀列数据称为⼀个属性，列标题称估属性名。
同⼀个关系中不允许出现重复元组和相同属性名的属性。
1．关系模型组成关系模型由关系数据结构、关系操作集合和关系完整性约束三部分组成。
关系操作分为两⼤部分如图所⽰。
2．关系操作的特点关系操作的特点是操作对象和操作结果都是集合。
⽽⾮关系数据模型的数据操作⽅式则为⼀次⼀个记录的⽅式。
关系数据语⾔分为三类： (1)关系代数语⾔：如ISBL ；(2)关系演算语⾔：分为元组关系演算语⾔(如Alpha ，Quel)、域关系演算语⾔(如QBE)； (3)具有关系代数和关系演算双重特点的语⾔：如SQL 。
3．关系数据结构及其形式化定义（1）域定义域是⼀组具有相同数据类型的值的集合。
元组演算与关系代数
元组演算与关系代数元组演算与关系代数是两种常用的数据处理和查询语言，它们在数据库领域起着重要的作用。
本文将从人类的视角出发，描述这两种语言的基本概念和应用。
一、元组演算元组演算是一种基于元组的查询语言，它通过对数据元组的操作和筛选来实现数据查询和处理。
元组是数据库中的一行数据，而元组演算则通过对这些元组的操作来实现对数据库的查询。
它可以进行选择、投影、连接、并、交、差等操作，从而实现复杂的数据查询和处理任务。
选择操作是元组演算中最基本的操作之一，它通过指定一定的条件来筛选符合条件的元组。
例如，我们可以使用选择操作来查询某个特定条件下的数据，如查询年龄大于20岁的学生信息。
投影操作是另一个常用的操作，它用于从元组中提取指定的属性。
例如，我们可以使用投影操作来查询只包含姓名和年龄的学生信息，而忽略其他属性。
连接操作是将两个元组集合按照某个共同属性进行合并的操作。
例如，我们可以使用连接操作将学生表和课程表按照学生ID连接起来，得到学生选课的信息。
并、交、差操作分别用于求两个元组集合的并集、交集和差集。
例如，我们可以使用并操作将两个选课表的结果合并在一起，得到所有学生的选课信息。
二、关系代数关系代数是一种基于关系的查询语言，它通过对关系的操作和组合来实现数据查询和处理。
关系是一种具有固定结构的数据表，关系代数则通过对这些关系的操作来实现对数据库的查询。
它可以进行选择、投影、连接、并、交、差等操作，与元组演算非常相似。
选择操作、投影操作、连接操作、并、交、差操作在关系代数中的含义与元组演算中的相应操作相同，不再赘述。
除了上述操作外，关系代数还引入了其他一些操作，如除法操作。
除法操作用于查询满足某一条件的关系元组。
例如，我们可以使用除法操作来查询同时选修了所有课程的学生信息。
三、应用场景元组演算与关系代数在数据库领域有着广泛的应用。
它们可以用于数据查询、数据处理、数据分析等方面。
例如，在一个学生选课系统中，我们可以使用元组演算或关系代数来查询某个学生的选课信息，或者统计某门课程的选课人数。
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数据库技术及应用
一、并运算
两个已知关系R和S的并将产生一个包含R、S中所有不同元组的新关系。
记作：
R∪S = { t|t ∈R∨t∈ S }
结果为n目关系，由属于R或属于S的元组组成。
进行并运算的关系必须具有相容性。
在实际应用中，并运算可实现插入新元组的操作。
并运算的示意图，如图所示。
例
两个班学生的信息要合并，已知A1011001班的学生信息为学生A，A1021001班的学生信息为学生B，两班学生的信息若想合并在一起，可采用并运算来进行数据集成。
学生A
学号姓名性别出生年月籍贯A101100102赵盘男1988/2/4 北京A101100109江鑫男1988/1/9 内蒙古….….….….….
学生B
学号姓名性别出生年月籍贯A102100101 罗旭女1988/5/23 海南A102100114 周康男1988/3/9 上海A102100123 邓平女1988/6/9 北京A102100132 白涛男1988/5/18 上海….….….….….
学生A ∪学生B
学号姓名性别出生年月籍贯A101100102赵盘男1988/2/4 北京A101100109江鑫男1988/1/9 内蒙古….….….….…. A102100101 罗旭女1988/5/23 海南A102100114 周康男1988/3/9 上海A102100123 邓平女1988/6/9 北京A102100132 白涛男1988/5/18 上海….….….….….
二、差运算
两个已知关系R和S的差，是所有属于R但不属于S的元组组成的新关系。
记作：
R-S = { t|t∈R∧t∉S }
结果：为n目关系，由属于R而不属于S的所有元组组成。
差运算使用的关系也必须具有相容性。
差运算是有序，R-S不等于S-R。
差运算的示意图，如图所示。
例
现要将学生信息按照性别分开，将男女生的信息表分别给男女宿舍的管理员，已经有女学生信息表，现在要将女学生信息从学生信息表中删除，得到男学生信息表。
已知学生信息表，学生（学号，姓名，性别，出生年月，籍贯）。
学号姓名性别出生年月籍贯
A101100102 赵盘男1988/2/4 北京
A101100109 江鑫男1988/1/9 内蒙古
A101100113 刘鹏男1988/3/8 北京
A102100101 罗旭女1988/5/23 海南
A102100114 周康男1988/3/9 上海
A102100123 邓平女1988/6/9 北京
A102100132 白涛男1988/5/18 上海
已知女学生（学号，姓名，性别，出生年月，籍贯）
学号姓名性别出生年月籍贯
A102100101 罗旭女1988/5/23 海南
A102100123 邓平女1988/6/9 北京
通过关系“学生”与关系“女学生”的差运算，得到新的关系：男学生（学号，姓名，性别，出生年月，籍贯）学号姓名性别出生年月籍贯
A101100102 赵盘男1988/2/4 北京
A101100109 江鑫男1988/1/9 内蒙古
A101100113 刘鹏男1988/3/8 北京
A102100114 周康男1988/3/9 上海
A102100132 白涛男1988/5/18 上海
三、交运算
两个已知关系R和S的交，是属于R而且也属于S的元组组成的新关系。
记作：
R∩S = { t|t ∈R∧t ∈S }
结果：为n目关系，由既属于R又属于S的元组组成。
学号姓名性别班级编号A102100132白涛男A1021001 F601100109邵琛男F6011001 F601100113崔秀军男F6011001
学号姓名性别班级编号F601100109邵琛男F6011001 A101100136李鑫女A1011001
学号姓名性别班级编号F601100109邵琛男F6011001
S = {tr ts |tr
学号姓名A101100102赵盘A101100109江鑫A101100113刘鹏
学号课程编号成绩A101100109A101-0197 A101100102A101-0489 A101100113A101-0156
学生×成绩
学号姓名学号课程编号成绩A101100102赵盘A101100109A101-0197
A101100109江鑫A101100109A101-0197
A101100113刘鹏A101100109A101-0197
A101100102赵盘A101100102A101-0489
A101100109江鑫A101100102A101-0489
A101100113刘鹏A101100102A101-0489
A101100102赵盘A101100113A101-0156
A101100109江鑫A101100113A101-0156
A101100113刘鹏A101100113A101-0156。