行列式的计算方法-计算行列式的格式
行列式的计算技巧和方法总结
行列式的计算技巧和方法总结行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于数学、物理、工程等领域。
正确计算行列式有助于解决线性方程组、特征值等问题。
下面将总结行列式的计算技巧和方法。
一、行列式的定义和性质：行列式是一个数，是由方阵中元素按照一定规律排列所组成的。
设A为n阶方阵，行列式记作det(A)或，A，定义如下：det(A) = ，A， = a11*a22*...*ann - a11*a23*...*a(n-1)n +a12*a23*...*ann-1*n + ... + (-1)^(n-1)*a1n*a2(n-1)*...*ann 其中，a_ij表示A的第i行第j列的元素。
行列式具有以下性质:1. 若A = (a_ij)为n阶方阵，若将A的第i行和第j行互换位置，则det(A)变为-det(A)。
2. 若A = (a_ij)为n阶方阵，若A的其中一行的元素全为0，则det(A) = 0。
3. 若A = (a_ij)为n阶三角形矩阵，则det(A) = a11*a22*...*ann。
4. 若A = (a_ij)和B = (b_ij)为n阶方阵，则det(AB) = det(A)* det(B)。
5. 若A = (a_ij)为n阶可逆方阵，则det(A^(-1)) = 1/det(A)。
二、行列式计算的基本方法：1.二阶行列式：对于2阶方阵A = (a_ij)，有det(A) = a11*a22 - a12*a212.三阶行列式：对于3阶方阵A = (a_ij)，有det(A) = a11*a22*a33 +a12*a23*a31 + a13*a21*a32 - a13*a22*a31 - a12*a21*a33 -a11*a23*a323.高阶行列式：对于n阶方阵A，可以利用行列式按行展开的性质来计算。
选择其中一行（列）展开，计算每个元素乘以其代数余子式的和，即：det(A) = a1j*C1j + a2j*C2j + ... + anj*Cnj其中，Cij为A的代数余子式，表示去掉第i行第j列后所得子矩阵的行列式。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中非常重要的概念，它可以帮助我们理解矩阵的性质和求解线性方程组。
行列式的计算方法有多种，下面将详细介绍几种常用的计算方法。
一、按定义式计算行列式：按照定义式计算行列式是最基本的一种方法。
对于一个n阶矩阵A，其行列式记作det(A)，可以按照以下公式进行计算：det(A) = Σ(−1)^σ(π_1,π_2,…,π_n)a_{1π_1}a_{2π_2}⋯a_{nπ_n}σ(π_1,π_2,…,π_n)是排列(π_1,π_2,…,π_n)的符号，a_{iπ_i}表示矩阵A的第i行第π_i列的元素，Σ表示对所有可能的排列进行求和。
按照定义式计算行列式需要对所有可能的排列进行求和，计算量较大，对于较大阶的矩阵来说并不实用。
我们通常会采用其他方法来计算行列式。
计算行列式时，我们可以利用其性质来简化计算过程。
行列式有一些基本的性质，如行列式中某一行（列）所有元素都乘以一个数k，行列式的值也要乘以k；行列式中某一行（列）元素乘以某个数加到另一行（列）上去后，行列式的值不变等。
利用这些性质，我们可以通过变换行列式中的元素或行列式本身，从而简化计算过程。
对于一个3阶矩阵A，我们可以利用做行列变换将其变换为上三角矩阵，这样计算其行列式就会变得非常简单。
具体地，我们可以通过交换行或列，将矩阵A变换为上三角矩阵，然后利用上三角矩阵的行列式的性质求解行列式的值。
三、按矩阵的余子式和代数余子式计算行列式：对于一个n阶矩阵A，其(i,j)位置的余子式M_{ij}定义为将A的第i行第j列划去后，剩下的元素按原来的次序组成的(n-1)阶行列式。
即M_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot \det(A_{ij})其中A_{ij}是将矩阵A的第i行第j列元素划掉后得到的(n-1)阶子式矩阵。
矩阵的代数余子式A_{ij}定义为A_{ij} = (-1)^{i+j} \cdot M_{ij}。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中一个重要的概念，它在矩阵运算中起着至关重要的作用。
在实际应用中，我们经常会遇到需要计算行列式的情况，因此掌握行列式的计算方法对于线性代数的学习和应用都是非常重要的。
本文将介绍行列式的几种常用的计算方法，希望能够对读者有所帮助。
1. 二阶行列式的计算方法我们来看二阶行列式的计算方法。
对于一个二阶行列式，其表示形式为：D = |a b||c d|a、b、c、d为任意实数。
二阶行列式的计算方法非常简单，只需用左上角的元素乘以右下角的元素，再减去左下角的元素乘以右上角的元素即可，即：这就是二阶行列式的计算方法。
通过这个公式，我们可以很容易地计算出任意给定二阶行列式的值。
同样地，a、b、c、d、e、f、g、h、i为任意实数。
三阶行列式的计算方法稍微复杂一些，但也是很容易理解的。
我们通过第一行的元素a、b、c与其余两行的元素d、e、f 和g、h、i构成的二阶行列式来计算出一个值，即a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)。
这样，我们就得到了原三阶行列式的值。
这个计算方法的核心就是利用代数余子式来计算三阶行列式的值。
代数余子式是指把一个元素及其所在的行和列去掉后所剩下的元素构成的二阶行列式的值。
通过不断地利用代数余子式，我们就可以顺利地计算出任意给定三阶行列式的值。
除了二阶行列式和三阶行列式之外，我们还可以通过递归的方法来计算其他阶行列式的值。
递归的思想在计算机科学中非常常见，它可以大大简化复杂问题的求解过程。
在计算行列式的情况下，递归的思想同样适用。
具体来说，我们可以通过下述公式来递归地计算n阶行列式的值：D = a1* A11 + a2* A12 + ... + an* A1na1、a2、... an为第一行的元素，A11、A12、... A1n为以a1、a2、... an为第一行元素的n-1阶行列式。
通过不断地利用代数余子式，我们就可以层层递归地计算出任意给定阶数的行列式的值。
行列式的几种计算方法
行列式的几种计算方法行列式是线性代数中的重要概念，通常用于计算矩阵的逆、解线性方程组等问题。
本文将介绍行列式的几种计算方法，帮助读者更好地理解和应用这一概念。
二阶行列式就是二阶矩阵的行列式，计算公式为：$$\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12}\\a_{21} & a_{22}\end{vmatrix} = a_{11}a_{22} - a_{12}a_{21}$$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{21}$、$a_{22}$ 分别表示矩阵的四个元素。
计算二阶行列式时，可以直接套用上面的公式进行计算。
$$ \begin{vmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13}\\ a_{21} & a_{22} & a_{23}\\ a_{31} & a_{32} & a_{33} \end{vmatrix} = a_{11}a_{22}a_{33} + a_{12}a_{23}a_{31} +a_{13}a_{21}a_{32} - a_{31}a_{22}a_{13} - a_{32}a_{23}a_{11} - a_{33}a_{21}a_{12} $$其中，$a_{11}$、$a_{12}$、$a_{13}$、$a_{21}$、$a_{22}$、$a_{23}$、$a_{31}$、$a_{32}$、$a_{33}$ 分别表示矩阵的九个元素。
计算三阶行列式时，可以采用如下方法：（1）按照第一行、第一列、第二列的顺序计算，得到三个二阶行列式；（2）按照上述公式计算三个二阶行列式对应的乘积和。
3. 拉普拉斯展开法拉普拉斯展开法是一种通用的行列式计算方法。
它的基本思想是，将行列式按照一行或一列进行展开，转化为若干个小的行列式之和。
具体步骤如下：（1）选择一行或一列作为基准行（列）；（2）对于基准行（列）中的每个元素，求它所在子矩阵的行列式，乘以对应的余子式（代数余子式）；（3）将所有乘积相加。
行列式的几种计算方法7篇
行列式的几种计算方法7篇第1篇示例：行列式是线性代数中的一个重要概念，它是一个方阵中的一个数值，可以帮助我们判断矩阵的性质，计算行列式的值是线性代数中的基础技能之一。
下面我们将介绍几种行列式的计算方法以及其应用。
一、直接展开法计算行列式最基本的方法就是直接展开法。
以3阶行列式为例，一个3阶方阵的行列式可以表示为：\[\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix}\]通过公式展开，可以得到：\[\begin{aligned}\begin{vmatrix}a &b &c \\d &e &f \\g & h & i\end{vmatrix} & = aei + bfg + cdh - ceg - bdi - afh \\& = a(ei - fh) - b(di - fg) + c(dh - eg)\end{aligned}\]这样就可以直接计算出行列式的值。
但是这种方法比较繁琐，不适用于高阶行列式的计算。
二、拉普拉斯展开法\[\begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2n} \\\vdots & \vdots & & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nn} \\\end{vmatrix}\]以第一行为例，可以按照以下公式展开：\[ \text{det}(A) = a_{11}C_{11} + a_{12}C_{12} + \cdots +a_{1n}C_{1n} \]C_{ij}表示元素a_{ij}的代数余子式，通过递归计算代数余子式，最终可以得到行列式的值。
行列式的计算方法及其应用
行列式的计算方法及其应用行列式是线性代数中一种非常重要的概念，出现在许多领域中，如数学、物理、工程等。
它是一个方阵中各个元素的代数和，具有非常重要的几何和代数特征，因此也是线性代数学习的基础之一。
一、行列式的定义设有n阶行列式，写成如下形式：$$\Delta_n = \begin{vmatrix}a_{11} & a_{12} & a_{13} & \cdots & a_{1n} \\a_{21} & a_{22} & a_{23} & \cdots & a_{2n} \\\vdots &\vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\a_{n1} & a_{n2} & a_{n3} &\cdots & a_{nn}\\\end{vmatrix}$$其中，$a_{ij}$代表矩阵中第i行第j列的元素。
行列式的定义是这样的：设$A$为$n$阶方阵，$a_{i,j}$是$A$的元素，那么行列式$\Delta(A)$定义为：$$\Delta(A) =\sum_{\sigma}{(-1)^\sigma\cdot{a_{1,{\sigma(1)}}}\cdot{a_{2,{\sigma(2)}}}\cdots{a_ {n,{\sigma(n)}}}}$$其中，$\sum_{\sigma}$代表对所有$n$个元素的所有排列求和，$\sigma$是一个排列，并且$\sigma(k)$表示k在$\sigma$中的位置。
二、行列式的计算方法计算行列式有三种方法：直接定义法、代数余子式法和高斯消元法。
直接定义法随着矩阵维度的增加，计算量呈指数级增长，因此较少使用。
代数余子式法和高斯消元法可以将计算行列式的时间复杂度降低到$O(n^3)$，被广泛应用于实际问题中。
1. 直接定义法直接定义法是按照定义计算行列式的方法。
行列式的计算技巧与方法总结
行列式的计算技巧与方法总结行列式是线性代数中的重要概念，广泛应用于各个领域，如线性方程组的求解、线性变换的判断等。
在实际应用中，计算行列式是一个必不可少的环节。
本文将对行列式的计算技巧和方法进行总结，以便读者能够更加轻松地解决行列式相关问题。
一、行列式的定义行列式是一个数。
行列式的定义通常有多种不同的形式，其中最常见的是按照矩阵的形式定义的。
对于一个n阶方阵A=(a_ij)，其行列式记作det(A)，可以通过以下方式计算：det(A) = a_11 * C_11 + a_12 * C_12 + ... + (-1)^(n+1) * a_1n * C_1n其中，C_ij是指元素a_ij的代数余子式。
二、行列式的计算方法1.二阶行列式的计算对于2阶方阵A=(a_11,a_12;a_21,a_22)，其行列式可以直接通过以下公式计算：det(A) = a_11 * a_22 - a_12 * a_212.三阶行列式的计算对于3阶方阵A=(a_11,a_12,a_13;a_21,a_22,a_23;a_31,a_32,a_33)，可以通过Sarrus法则来计算行列式：det(A) = a_11*a_22*a_33 + a_12*a_23*a_31 + a_13*a_21*a_32 -a_13*a_22*a_31 - a_12*a_21*a_33 - a_11*a_23*a_323.高阶行列式的计算对于n(n>3)阶方阵A，一般采用高斯消元法将矩阵转化为上三角矩阵，然后再计算行列式的值。
具体操作如下：a)对第一列进行第二行、第三行、..、第n行的倍加，使得第一列除了第一个元素外的其他元素都为0。
b)接着在第二列中对第三行、第四行、..、第n行的倍加，使得第二列除了第二个元素外的其他元素都为0。
c)重复以上步骤，直到将矩阵转化为上三角矩阵。
d)上三角矩阵的行列式等于主对角线上的元素相乘。
4.行列式的性质行列式具有以下性质，可以在计算中灵活运用：a)行互换或列互换，行列式的值不变，其符号变为相反数。
行列式的计算方法总结
行列式的计算方法总结行列式是矩阵的一个重要的数值性质，它将一个矩阵映射为一个数。
行列式的计算方法有多种，包括按定义展开、按行（列）展开、按特定行（列）展开、按相似行变化展开、按行列变换展开等等。
下面将总结行列式的计算方法。
1. 按定义展开法：行列式的定义是通过求和的形式给出的，具体计算步骤如下：a. 对于1×1的矩阵，直接返回矩阵元素的值。
b. 对于n×n的矩阵A，选择第一行或第一列，如第一行，则有det(A) = a_{11} * det(A_{11}) - a_{12} * det(A_{12}) + ... + (-1)^(1+n) * a_{1n} * det(A_{1n})，其中A_{ij}表示删去第i行第j列后的（n-1）×（n-1）的矩阵。
c. 迭代调用行列式计算函数，直到矩阵规模变为1×1，然后返回最终的计算结果。
2. 按行（列）展开法：选择任意一行（列），对于这一行（列）的每个元素aij，计算aij*（-1）^(i+j)*Det(Aij)，其中Det(Aij)表示矩阵A删去第i行第j列后的（n-1）×（n-1）的矩阵的行列式。
将所有结果相加即可获得行列式的值。
3. 按特定行（列）展开法：对于任意一行（列）i，选择元素a_{ik}，其中k≤n。
根据特定行（列）展开的性质，行列式的值可以表示为det(A) =a_{ik} * C_{ik}，其中C_{ik}表示A中删去第i行第k列后的（n-1）×（n-1）的矩阵的行列式。
简而言之，即选取矩阵中的某个元素，用这个元素乘以它的代数余子式（或称余子式）再相加。
4. 按相似行变化展开法：相似行是指行向量的倍数，对于具有相似行的矩阵A，其行列式的值为零。
因此，可以选择特定的行对矩阵进行行变换，使得相似行变成0，从而简化计算。
这需要根据具体的矩阵进行分析，选择合适的行变换方式。
5. 按行列变换展开法：行列变换可以通过交换两行（列）或某行（列）乘以一个非零数加到另外一行（列）上进行。
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本文依据行列式的繁杂程度，以及行列式中字母和数字的特征，给出了计算行列式的几种常用方法：利用行列式的定义直接计算、化为三角形法、降阶法、镶边法、递推法，并总结了几种较为简便的特殊方法：矩阵法、分离线性因子法、借用“第三者”法、利用范德蒙德行列式法、利用拉普拉斯定理法，而且对这些方法进行了详细的分析，并辅以例题。
关键词：行列式矩阵降阶The Methods of Determinant CalculationAbstract：Solving multiple linear equations is the main content of the linear algebra, determinants produced in solving linear equations, determinant calculation is an important issue.This article is based on the complexity degree of the determinant, and the characteristics of letters and numbers of the determinant ,and then gives several commonly used methods to calculate the determinant: direct calculation using the definition of determinant, into the triangle, reduction method, edging method , recursion, and summarizes several relatively simple and specific methods: matrix, linear separation factor method, to borrow "the third party" method, using Vandermonde determinant method, using Laplace theorem,also analyze these methods in detail,and supported by examples.Keywords: determinant matrix reduction.1．引言线性代数主要内容就是求解多元线性方程组，行列式产生于解线性方程组,然而它除了用于研究线性方程组、矩阵、特征多项式等代数问题外,还在各种工程领域有着广泛的应用,是一种不可缺少的运算工具，所以说行列式的计算是一个重要的问题。
二阶行列式：⑴三阶行列式：⑵由此可以看出二阶、三阶行列式计算结果的一些规律：eq \o\ac(○,1) ⑵中每项都是三个数的乘积，并由行标与列标可以看出，这三个数分别取自行列式的不同行与不同列；eq \o\ac(○,2) ⑵式正好有6项，它恰好是1，2，3全排列的个数。
eq \o\ac(○,3) 每项前面的符号为，其中为的逆序数。
这就是比较简单的采用对角线的方法计算行列式。
在行列式的定义中，虽然计算结果的每一项是个元素的乘积，但是由于这个元素是取自不同的行与列，所以对于某一确定的行中的个元素譬如来说，每一项都含有其中的一个且只含有其中的一个元素，而级行列式一共有项，计算它就需要做个乘法。
当较大时，是一个相当大的数字，直接从定义采用对角线法计算行列式几乎是不可能的事，[1]本文依据行列式元素间的规律和行列式的性质总结了计算行列式几种常用和特殊的方法。
2. 计算行列式的常用方法2.1 利用行列式的定义直接计算根据行列式的定义=，可以利用行列式的定义直接计算低阶稀疏行列式。
利用行列式的定义计算阶行列式=解：根据行列式的定义，行列式展开后等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积，通过观察可知的展开式中只有一个非零项，这一项行标排列具有自然顺序排列，对应的列标排列为，其逆序数为,故当行列式的元素中有较多0时，可以利用定义法进行计算，但如果元素中出现较多非0元素时，这种方法就不易求解。
2.2 利用化为三角形的方法计算利用行列式的性质把行列式通过一系列的变换转化成位于主对角线一侧的元素全为零的行列式,这样得到的行列式的值就等于主对角线上所有元素的乘积。
而对于非零元素位于次对角线的情形,行列式的值等于与次对角线上所有元素的乘积。
例2 利用上三角形法计算阶行列式解：在例2中，行列式的每一行对应元素中包含有相同的元素，这样使用化三角形法较为简便，但当行列式的元素不相同且无规律时，计算量就会增加不少，此时这种方法并不简单。
2.3 利用降阶法计算行列式在计算行列式的时候可以根据行列式元素间的规律，依据行列式的性质或行列式按行（列）展开定理，将一个阶行列式化为个阶行列式来计算。
若再继续使用按行（列）展开法，可以将阶行列式降阶然后一直化为多个2阶行列式来计算。
例3. 利用降阶法计算阶行列式解：依据行列式按行（列）展开的定理，将按第一行展开，即得：然后将后面的行列式按第一列展开，即得(-1)值得注意的是，根据行列式的性质利用降阶法时，应该将某行（列）元素尽可能多地变成零，之后再按行（列）展开，这样计算才能体现出降阶法计算行列式的简便性，但是针对一些构造特殊的行列式，因为阶行列式的第行构成的级子式有个，故一般行列式只是能降阶而不能减少其计算量，这种方法往往无效。
[2]利用降阶法可以计算行列式，那是不是也可以通过加边使其变成一个相等的阶行列式呢？2.4 镶边法一个阶行列式，如果或中除了外其余元素全为0，那么该行列式便可利用行列式按行（列）展开定理将其转化为一个计算阶行列式。
反过来，也可以利用相同的方法把一个阶行列式转化为一个与之相等的阶行列式，这就是镶边法。
2.4.1 镶边法解题步骤eq \o\ac(○,1) 通过加边（列）的方法把一个级行列式转化为一个与之相等的阶行列式；eq \o\ac(○,2) 根据行列式的性质把添加进去的行（列）的适当的倍数加到其它行（列）使其它行（列）出现更多的0元素后再进行计算。
2.4.2 镶边的一般方式eq \o\a c(○,1) 首行首列 eq \o\ac(○,2) 首行末列 eq\o\ac(○,3) 末行首列 eq \o\ac(○,4) 末行末列。
[3]当然也可以添加在行列式任意某一行与某一列的位置，但是等价变形后，总变成上述四种情况之一。
利用镶边法计算阶行列式解：2.5 递推法递推法就是利用行列式元素间的规律，在阶与阶（或更低阶）行列式之间建立递推关系，再利用所得的关系式计算行列式的值。
递推法主要是降阶递推法，常见的有两种类型：1.型；这时根据递推关系可推出关系式2.型；这时可设、是方程的根，则由根与系数的关系可得，于是有：- (Ⅰ)(Ⅱ)若，则由（Ⅰ）和（Ⅱ）得注意又由（Ⅰ）和（Ⅱ）递推可得若，则（Ⅰ）和（Ⅱ）可变成，即，故=====……以此类推，最后可得：例5 利用递推法计算阶行列式=解：由于，则不妨设、是方程的根，则：。
于是其中：；所以：即原式上面介绍的几种计算行列式的方法都是比较常用的，同时通过上面的例题分析和解题过程可以发现，上述几种计算方法只是适用一些行列式较为简单和行列式元素间具有明显规律的情况，而对于一些比较特殊或行列式元素间的关系隐藏较深的行列式，就要通过其它的途径来解决问题，下面给出几种计算行列式的特殊方法。
3．计算行列式的几种特殊方法3．1 矩阵法如果一个行列式的对应矩阵可以转化为两个矩阵的乘积，而且这两个矩阵所对应的行列式都比较容易计算，即可利用公式=计算出阶行列式的值。
[4] 例6 利用矩阵法计算阶行列式解：该行列式的第行第列元素可化为所以该行列式可转化为两个矩阵乘积的行列式，即==3.2 分离线性因子法3.2.1 分离线性因子法分离线性因子法就是把行列式看成含有一个或一些字母的多项式，将它变换，如果它可被一些因子互素的线性因子所整除，同时它也可被这些因子的积所整除，就可将行列式的某些项与线性因子的项进行比较，继而找出多相式的所有因子，然后用这些因子的乘积除行列式的商，从而求得行列式的表达式。
3.2.2 一般的解题思路eq \o\ac(○,1) 如果行列式有些元素是某一变量（参数）的多项式，不妨设此变量为，那么可将该行列式看作关于的多项式，然后找出因子互素的线性因子，即；eq \o\ac(○,2) 在和中选出一个特殊项进行比较，如果与的次数相等，就用待定系数法，确定出的值；如果的次数比的次数小，继续找出的线性因子，直至将的所有线性因子全部找出，从而求出行列式的值。
例7 利用分离线性因子法计算阶行列式其中解：将行列式最后一行乘以（-1）后再加到上一行去，并以此类推，直至第2行为止，得显而易见，是一个关于的多项式，且=0由行列式的性质知……所以的根为0，故进而可得的次项系数，令其为，即=综上可得：=3.2.3 利用分离线性因子法的注意能够利用分离线性因子法进行计算的行列式大都是含有字母变量（参数）的行列式，当某个变量（参数）取某个特定值的时候行列式的值为0，则该行列式必含有某个特定因子。
[3]类如：、、等3.3 借用“第三者”法借用“第三者”法计算行列式，就是当所给的行列式不易计算时，乘以一个适当的值不为0的行列式，且,使其转化为求乘积的行列式。
使用这种方法有优越，但的选取不易，需要有足够的知识和经验。
例8 计算阶行列式解：取，=上题中不但计算出了行列式的值，而且同时也证明了相似于一个对角矩阵。
3.4 利用范德蒙德行列式来计算范德蒙德行列式是一类比较特殊的行列式，通过观察其中的任一列可以发现，它都是某个数（字母）的不同方幂，且从上至下其幂次数由0递增至，通过证明已经得知阶范德蒙德行列式的值就等于组成这个行列式的个元素的所有可能差的乘积。
利用范德蒙德行列式的时候，应先根据范德蒙德行列式的特点，将所给的行列式转化为范德蒙德行列式，再利用其结果计算出所给行列式的值。
例9 利用范德蒙德行列式计算阶行列式解：镶边得再将第一列的（-1）倍加到其它各列得：将此行列式拆分为两项即得-===3.5 利用拉普拉斯定理展开计算拉普拉斯定理：设在行列式中任意取定了个行，由这行元素所组成的一切级子式与它们的代数余子式的乘积的和等于行列式。