局部均布荷载作用下四边支承矩形板的内力计算
四边支承矩形薄板自振频率计算
四边支承矩形薄板自振频率计算1. 基本假定及振动微分方程弹性板是假定其厚度远小于其他两尺寸的板，且材料假设为各向同性。
板的振动理论是以以下几个假定为基础的：1）板中原来在中面法线上的各点，在板弯曲变形后仍在中面的法线上。
这个假设称为直法线假设，表示横向剪切变形忽略不计。
2）板的挠度比板厚小很多，板弯曲时中面不产生变形，即中面为中性面。
3）板的横向正应力与其他两个方向正应力相比较，可以忽略不计。
在此基础上，若假定板的挠度不从平面位置算起，而从平衡位置算起，对板内平行六面体进行微元分析，由平衡条件、变形协调条件和物理方程得板的弯曲平衡方程式，然后分析板在振动过程中的动力平衡，可得板的自由振动微分方程[1]：022********=∂∂+∂∂+∂∂+∂∂twm y x w D y w D x w D （1） 等式中)1(1223ν-=Eh D ，式中： m 为板的单位面积的质量；D 为板的弯曲刚度,E ,ν分别为板的弹性模量和泊松比，h 为板的厚度。
微分方程(1)的解答形式为薄板上每一点),(y x 的挠度),()sin cos (1y x W t B t A w m m m m m m ωω+=∑∞=。
被表示成无数多个简谐振动下的挠度相叠加，而每一个简谐振动的圆频率是m ω。
另一方面，薄板在每一瞬时t 的挠度，则表示成为无数多种振形下的挠度相叠加，而每一种振形下的挠度是由振形函数),(y x W m 表示的，为求出各种振形下的振形函数m W ，以及与之相应的圆频率m ω，我们取),()sin cos (y x W t B t A w ωω+=代入方程（1）消除因子)sin cos (t B t A ωω+得到振形微分方程：0222244444=-∂∂+∂∂+∂∂W m yx WD y W D x W D ω (2) 2. 边界条件振形函数需要满足各边界条件，板的边界一般有固支边，简支边，自由边三种情况，这里以x=0的边为例，其相应的边界条件为：固定边：沿固定边的位移和转角为0，即0)(0==x W ，0)(0=∂∂=x xW； 简支边：沿简支边的位移和弯矩为0，即0)(0==x W ，0)(022=∂∂=x xW；自由边：沿自由边的弯矩和剪力为0，即0)(02222=∂∂+∂∂=x y W x W ν，0))2((02333=∂∂∂-+∂∂=x yx Wx W ν 对于四边支承板有如下6中不同边界条件：（a ） （b ）（c ） （d ）（e ） （f ）一般而言，假定合适的位移函数，利用边界条件可以求解上述微分方程。
四边简支矩形板计算
四边简支矩形板计算项目名称_____________日期_____________设计者_____________校对者_____________一、构件编号: LB-1二、示意图三、依据规范《建筑结构荷载规范》 GB50009-2001《混凝土结构设计规范》 GB50010-2010四、计算信息1.几何参数计算跨度: Lx = 11000 mm; Ly = 7500 mm板厚: h = 400 mm2.材料信息混凝土等级: C30 fc=mm2 ft=mm2 ftk=mm2Ec=×104N/mm2钢筋种类: HRB400 fy = 360 N/mm2Es = ×105 N/mm2最小配筋率: ρ= %纵向受拉钢筋合力点至近边距离: as = 55mm保护层厚度: c = 40mm3.荷载信息(均布荷载)永久荷载分项系数: γG =可变荷载分项系数: γQ =准永久值系数: ψq =永久荷载标准值: ｑgk = m2可变荷载标准值: ｑqk = m24.计算方法:弹性板5.边界条件(上端/下端/左端/右端):简支/简支/简支/简支6.设计参数结构重要性系数: γo =泊松比:μ =五、计算参数:1.计算板的跨度: Lo = 7500 mm2.计算板的有效高度: ho = h-as=400-55=345 mm六、配筋计算(lx/ly=11000/7500=< 所以按双向板计算):向底板钢筋1) 确定X向板底弯矩Mx = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= +***+**= kN*m2) 确定计算系数αs = γo*Mx/(α1*fc*b*ho*ho)= *×106/**1000*345*345)=3) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2* =4) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = **1000*345*360= 354mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 354/(1000*400) = %ρ<ρmin = % 不满足最小配筋要求所以取面积为As = ρmin*b*h = %*1000*400 = 800 mm2采取方案⌲12@140, 实配面积807 mm2向底板钢筋1) 确定Y向板底弯矩My = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= +***+**= kN*m2) 确定计算系数αs = γo*My/(α1*fc*b*ho*ho)= *×106/**1000*345*345)=3) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2* =4) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = **1000*345*360= 638mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 638/(1000*400) = %ρ<ρmin = % 不满足最小配筋要求所以取面积为As = ρmin*b*h = %*1000*400 = 800 mm2采取方案⌲12@100, 实配面积1131 mm2七、跨中挠度计算：Mk -------- 按荷载效应的标准组合计算的弯矩值Mq -------- 按荷载效应的准永久组合计算的弯矩值1.计算荷载效应Mk = Mgk + Mqk= +**+* = kN*mMq = Mgk+ψq*Mqk= +**+** = kN*m2.计算受弯构件的短期刚度 Bs1) 计算按荷载荷载效应的两种组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsk = Mk/*ho*As) 混规(7.1.4-3)= ×106/*345*1131) = N/mmσsq = Mq/*ho*As) 混规(7.1.4-3)= ×106/*345*1131) = N/mm2) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积: Ate = *b*h = *1000*400= 200000mm2ρte = As/Ate 混规(7.1.2-4)= 1131/200000 = %3) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψk = 混规(7.1.2-2)= =因为ψ不能小于最小值，所以取ψk =ψq = 混规(7.1.2-2)= =因为ψ不能小于最小值，所以取ψq =4) 计算钢筋弹性模量与混凝土模量的比值αEαE = Es/Ec = ×105/×104 =5) 计算受压翼缘面积与腹板有效面积的比值γf矩形截面，γf=06) 计算纵向受拉钢筋配筋率ρρ = As/(b*ho)= 1131/(1000*345) = %7) 计算受弯构件的短期刚度 BsBsk = Es*As*ho2/[ψk++6*αE*ρ/(1+ γf')](混规(7.2.3-1)) = ×105*1131*3452/[*++6**%/(1+*]= ×104 kN*m2Bsq = Es*As*ho2/[ψq++6*αE*ρ/(1+ γf')](混规(7.2.3-1)) = ×105*1131*3452/[*++6**%/(1+*]= ×104 kN*m23.计算受弯构件的长期刚度B1) 确定考虑荷载长期效应组合对挠度影响增大影响系数θ当ρ'=0时，θ= 混规(7.2.5)2) 计算受弯构件的长期刚度 BBk = Mk/(Mq*(θ-1)+Mk)*Bs (混规(7.2.2-1))= *+*×104= ×104 kN*m2Bq = Bsq/θ (混规(7.2.2-2))= ×104/= ×104 kN*m2B = min(Bk,Bq)= min,=4.计算受弯构件挠度f max = f*(q gk+q qk)*Lo4/B= *+*×104=5.验算挠度挠度限值fo=Lo/250=7500/250=fmax=≤fo=，满足规范要求!八、裂缝宽度验算:1.跨中X方向裂缝1) 计算荷载效应Mx = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= +**+**= kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=3) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/*ho*As) 混规(7.1.4-3)=×106/*345*807)=mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=*b*h=*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=807/200000 =因为ρte= < ,所以让ρte=6) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ= 混规(7.1.2-2)= =7) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/140=78) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=7*12*12/(7**12)=129) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es**C+*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1)=**×105**40+*12/= ≤ , 满足规范要求2.跨中Y方向裂缝1) 计算荷载效应My = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= +**+**= kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=3) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/*ho*As) 混规(7.1.4-3)=×106/*345*1131)=mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=*b*h=*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=1131/200000 =因为ρte= < ,所以让ρte=6) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ= 混规(7.1.2-2)= =7) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/100=108) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=10*12*12/(10**12)=129) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es**C+*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1)=**×105**40+*12/= ≤ , 满足规范要求。
四边简支矩形板计算
四边简支矩形板计算项目名称_____________日期_____________设计者_____________校对者_____________一、构件编号: LB-1二、示意图三、依据规范《建筑结构荷载规范》 GB50009-2001《混凝土结构设计规范》 GB50010-2010四、计算信息1.几何参数计算跨度: Lx = 11000 mm; Ly = 7500 mm板厚: h = 400 mm2.材料信息混凝土等级: C30 fc=14.3N/mm2 ft=1.43N/mm2 ftk=2.01N/mm2Ec=3.00×104N/mm2钢筋种类: HRB400 fy = 360 N/mm2Es = 2.0×105 N/mm2最小配筋率: ρ= 0.200%纵向受拉钢筋合力点至近边距离: as = 55mm保护层厚度: c = 40mm3.荷载信息(均布荷载)永久荷载分项系数: γG = 1.200可变荷载分项系数: γQ = 1.400准永久值系数: ψq = 1.000永久荷载标准值: ｑgk = 15.000kN/m2可变荷载标准值: ｑqk = 0.000kN/m24.计算方法:弹性板5.边界条件(上端/下端/左端/右端):简支/简支/简支/简支6.设计参数结构重要性系数: γo = 1.00泊松比:μ = 0.200五、计算参数:1.计算板的跨度: Lo = 7500 mm2.计算板的有效高度: ho = h-as=400-55=345 mm六、配筋计算(lx/ly=11000/7500=1.467<2.000 所以按双向板计算):1.X向底板钢筋1) 确定X向板底弯矩Mx = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= (0.0287+0.0707*0.200)*(1.200*15.000+1.400*0.000)*7.52 = 43.374 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*Mx/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*43.374×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.0253) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.025) = 0.0264) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.026/360= 354mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 354/(1000*400) = 0.088%ρ<ρmin = 0.200% 不满足最小配筋要求所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.200%*1000*400 = 800 mm2采取方案⌲12@140, 实配面积807 mm22.Y向底板钢筋1) 确定Y向板底弯矩My = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= (0.0707+0.0287*0.200)*(1.200*15.000+1.400*0.000)*7.52 = 77.430 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*My/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*77.430×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.0453) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.045) = 0.0474) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.047/360= 638mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 638/(1000*400) = 0.160%ρ<ρmin = 0.200% 不满足最小配筋要求所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.200%*1000*400 = 800 mm2采取方案⌲12@100, 实配面积1131 mm2七、跨中挠度计算：Mk -------- 按荷载效应的标准组合计算的弯矩值Mq -------- 按荷载效应的准永久组合计算的弯矩值1.计算荷载效应Mk = Mgk + Mqk= (0.0707+0.0287*0.200)*(15.000+0.000)*7.52 = 64.525 kN*mMq = Mgk+ψq*Mqk= (0.0707+0.0287*0.200)*(15.000+1.0*0.000)*7.52 = 64.525 kN*m2.计算受弯构件的短期刚度 Bs1) 计算按荷载荷载效应的两种组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsk = Mk/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)= 64.525×106/(0.87*345*1131) = 190.077 N/mmσsq = Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)= 64.525×106/(0.87*345*1131) = 190.077 N/mm2) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积: Ate = 0.5*b*h = 0.5*1000*400= 200000mm2ρte = As/Ate 混规(7.1.2-4)= 1131/200000 = 0.566%3) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψk = 1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk) 混规(7.1.2-2)= 1.1-0.65*2.01/(0.566%*190.077) = -0.115因为ψ不能小于最小值0.2，所以取ψk = 0.2ψq = 1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)= 1.1-0.65*2.01/(0.566%*190.077) = -0.115因为ψ不能小于最小值0.2，所以取ψq = 0.24) 计算钢筋弹性模量与混凝土模量的比值αEαE = Es/Ec = 2.0×105/3.00×104 = 6.6675) 计算受压翼缘面积与腹板有效面积的比值γf矩形截面，γf=06) 计算纵向受拉钢筋配筋率ρρ = As/(b*ho)= 1131/(1000*345) = 0.328%7) 计算受弯构件的短期刚度 BsBsk = Es*As*ho2/[1.15ψk+0.2+6*αE*ρ/(1+ 3.5γf')](混规(7.2.3-1)) = 2.0×105*1131*3452/[1.15*-0.115+0.2+6*6.667*0.328%/(1+3.5*0.0)]= 4.798×104 kN*m2Bsq = Es*As*ho2/[1.15ψq+0.2+6*αE*ρ/(1+ 3.5γf')](混规(7.2.3-1)) = 2.0×105*1131*3452/[1.15*-0.115+0.2+6*6.667*0.328%/(1+3.5*0.0)]= 4.798×104 kN*m23.计算受弯构件的长期刚度B1) 确定考虑荷载长期效应组合对挠度影响增大影响系数θ当ρ'=0时，θ=2.0 混规(7.2.5)2) 计算受弯构件的长期刚度 BBk = Mk/(Mq*(θ-1)+Mk)*Bs (混规(7.2.2-1))= 64.525/(64.525*(2.0-1)+64.525)*4.798×104= 2.399×104 kN*m2Bq = Bsq/θ (混规(7.2.2-2))= 4.798×104/2.0= 2.399×104 kN*m2B = min(Bk,Bq)= min(23990.371,23990.371)= 23990.3714.计算受弯构件挠度f max = f*(q gk+q qk)*Lo4/B= 0.00752*(15.000+0.000)*7.54/2.399×104= 14.879mm5.验算挠度挠度限值fo=Lo/250=7500/250=30.000mmfmax=14.879mm≤fo=30.000mm，满足规范要求!八、裂缝宽度验算:1.跨中X方向裂缝1) 计算荷载效应Mx = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= (0.0287+0.0707*0.200)*(15.000+1.00*0.000)*7.52= 36.145 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=36.145×106/(0.87*345*807)=149.222N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=807/200000 = 0.0040因为ρte=0.0040 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0100*149.222)=0.2247) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/140=78) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=7*12*12/(7*1.0*12)=129) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.224*149.222/2.0×105*(1.9*40+0.08*12/0.0100)=0.0547mm ≤ 0.20, 满足规范要求2.跨中Y方向裂缝1) 计算荷载效应My = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= (0.0707+0.0287*0.200)*(15.000+1.00*0.000)*7.52= 64.525 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=64.525×106/(0.87*345*1131)=190.077N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=1131/200000 = 0.0057因为ρte=0.0057 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0100*190.077)=0.4137) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/100=108) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=10*12*12/(10*1.0*12)=129) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.413*190.077/2.0×105*(1.9*40+0.08*12/0.0100)=0.1282mm ≤ 0.20, 满足规范要求。
四边简支矩形板的内力系数表
四边简支矩形板的内力系数表引言在工程结构力学中，研究材料和结构在外力作用下的内力分布是非常重要的。
本文将详细探讨四边简支矩形板的内力分布，并给出相应的内力系数表。
二级标题四边简支矩形板的力学性质四边简支矩形板是指在四条边都被简支支撑的矩形板。
在矩形板的自由变形过程中，存在正应力和正应变的产生。
正应力是指作用在单位面积上的力，而正应变是指单位长度的变形量。
四边简支矩形板的内力分布与其几何形状、材料性质以及外力大小和方向等有关。
四边简支矩形板的内力分析方法四边简支矩形板的内力分析可以采用经典的弹性理论进行计算。
其中，主要的分析方法包括： - Navier法：利用弹性理论中得出的假设和方程，求解四边简支矩形板的内力分布。
- 其他方法：如有限元法等，通过将矩形板分割为小区域，利用数值方法求解内力分布。
四边简支矩形板的内力系数定义为了便于分析和计算，我们引入内力系数来描述四边简支矩形板的内力分布。
内力系数是指单位长度或单位面积上的内力与外力的比值。
不同的内力系数可以用来描述不同类型的内力，如正应力系数、弯矩系数和剪力系数等。
二级标题正应力系数表正应力系数是描述四边简支矩形板正应力分布的重要参数。
在研究中常将矩形板的长边定义为x轴，短边定义为y轴。
根据弹性理论，可以得到四边简支矩形板的正应力系数表。
位置正应力系数(0,0) 0.25(a,0) 0.25(0,b) 0.25(a,b) 0.25其中，a是矩形板的长，b是矩形板的宽。
弯矩系数表弯矩系数是描述四边简支矩形板弯曲内力分布的重要参数。
弯矩系数与正应力系数相关，可以通过正应力系数计算得到。
位置弯矩系数(0,0) 0(a,0) -0.25(0,b) 0(a,b) -0.25剪力系数表剪力系数是描述四边简支矩形板剪切内力分布的重要参数。
剪力系数也与正应力系数相关，可以通过正应力系数计算得到。
位置剪力系数(0,0) 0.25(a,0) -0.25(0,b) -0.25(a,b) 0.25结论通过上述的内力系数表，我们可以清晰地了解四边简支矩形板的内力分布情况。
集中载荷作用下四边固接矩形薄板的刚度计算方法
集中载荷作用下四边固接矩形薄板的刚度计算方法作者：***来源：《计算机辅助工程》2022年第01期摘要：为研究集中载荷作用下四边固接矩形薄板的刚度，将矩形弹性薄板等效成双向正交板条，以板条宽与板宽的比和载荷作用位置为参数，研究板的长宽比与板刚度的关系。
以实际工程中常见的剪力墙尺寸为例，给出计算板刚度的拟合公式，并进行有限元验证，证明拟合公式误差较小。
关键词：四边固接; 薄板; 刚度; 双向正交板条中图分类号： TU392; TB115.1文献标志码： BStiffness calculation method of rectangular thin plate withfour edges fixed under concentrated loadSU Zhe（College of Civil Engineering， Shandong Jianzhu University， Jinan 250101， China）Abstract： To study the stiffness of rectangular thin plates with four edges fixed， the rectangular elastic thin plate is equivalent to a two-way orthogonal strips. Taking the strip width to plate width ratio and load action position as parameters， the relationship between length-width ratio and plate stiffness is studied. Taking the common shear wall size in practical engineering as examples， the fitting formula for calculating plate stiffness is given. The fitting formula is verified by finite element， and the error of the fitting formula is small.Key words： four edges fixed; thin plate; stiffness; twoway orthogonal strips作者簡介：苏哲（1990—），男，山东东营人，硕士研究生，研究方向为钢结构受力，（E-mail）******************引言高层建筑塔式起重机需要通过附着装置连接到建筑结构上，当起重机与剪力墙相连时，剪力墙要给起重机附着装置以支撑约束，而剪力墙刚度将直接决定支撑力大小，因此有必要提供一种计算刚度的简便算法。
(整理)(一)双向板按弹性理论的计算方法.
(一)双向板按弹性理论的计算方法1．单跨双向板的弯矩计算为便于应用，单跨双向板按弹性理论计算，已编制成弯矩系数表，供设计者查用。
在教材的附表中，列出了均布荷载作用下，六种不同支承情况的双向板弯矩系数表。
板的弯矩可按下列公式计算：M = 弯矩系数×(g+p)l x2式中M 为跨中或支座单位板宽内的弯矩(kN·m/m)；g、p为板上恒载及活载设计值(kN/m2)；l x为板的跨度(m)。
显示更多隐藏2．多跨连续双向板的弯矩计算(1)跨中弯矩双向板跨中弯矩的最不利活载位置图多跨连续双向板也需要考虑活载的最不利位置。
当求某跨跨中最大弯矩时，应在该跨布置活载，并在其前后左右每隔一区格布置活载，形成如上图(a)所示棋盘格式布置。
图(b)为A-A剖面中第2、第4区格板跨中弯矩的最不利活载位置。
为了能利用单跨双向板的弯矩系数表，可将图(b)的活载分解为图(c)的对称荷载情况和图(d)的反对称荷载情况，将图(c)与(d)叠加即为与图(b)等效的活载分布。
在对称荷载作用下，板在中间支座处的转角很小，可近似地认为转角为零，中间支座均可视为固定支座。
因此，所有中间区格均可按四边固定的单跨双向板计算；如边支座为简支，则边区格按三边固定、一边简支的单跨双向板计算；角区格按两邻边固定、两邻边简支的单跨双向板计算。
在反对称荷载作用下，板在中间支座处转角方向一致，大小相等接近于简支板的转角，所有中间支座均可视为简支支座。
因此，每个区格均可按四边简支的单跨双向板计算。
将上述两种荷载作用下求得的弯矩叠加，即为在棋盘式活载不利位置下板的跨中最大弯矩。
(2)支座弯矩支座弯矩的活载不利位置，应在该支座两侧区格内布置活载，然后再隔跨布置，考虑到隔跨活载的影响很小，可假定板上所有区格均满布荷载(g+p)时得出的支座弯矩，即为支座的最大弯矩。
这样，所有中间支座均可视为固定支座，边支座则按实际情况考虑，因此可直接由单跨双向板的弯矩系数表查得弯矩系数，计算支座弯距。
楼面等效均布活荷载的计算方法
楼面等效均布活荷载的计算方法楼面等效均布活荷载的计算方法建筑结构荷载规范关于双向板楼面等效荷载计算方法的表达比较含糊，引起了对规范说明不同的理解，本文根据对规范的理解提出两种不同的计算方式，经过比较分析提出正确的计算方式根据《建筑结构荷载规范》GB50009-2012附录B“楼面等效均布活荷载的确定方法”的规定，对于单向板的计算已经有比较明确的公式和规定，本文不进行叙述，对于双向板的等效均布荷载计算方法，规范仅指出可按与单向板相同的原则，按四边简支板的绝对最大弯矩等值来确定。
这样对规范的表述就有了不同理解，第一种理解为：按与单向板相同的计算方式进行计算；第二种理解：按四边简支板绝对最大弯矩等值的原则进行计算。
两种方法计算比较如下：1 按与单向板相同的计算原则进行计算计算简图 11.1 基本资料周边支承的双向板，板的跨度Lx＝2800mm，板的跨度Ly＝3500mm，板的厚度h ＝150mm；局部集中荷载N＝42kN，荷载作用面的宽度btx＝1000mm，荷载作用面的宽度bty ＝1000mm；垫层厚度s＝100mm ；荷载作用面中心至板左边的距离x＝1400mm，最左端至板左边的距离x1＝900mm，最右端至板右边的距离x2＝900mm荷载作用面中心至板下边的距离y＝1750mm，最下端至板下边的距离y1＝1250mm，最上端至板上边的距离y2＝1250mm1.2 计算结果1.2.1 荷载作用面的计算宽度bcx＝btx+2*s+h＝1000+2*100+150＝1350mmbcy＝bty+2*s+h＝1000+2*100+150＝1350mm1.2.2 局部荷载的有效分布宽度按上下支承考虑时局部荷载的有效分布宽度当bcy≥bcx，bcx≤0.6Ly 时，取bx＝bcx+0.7Ly＝1350+0.7*3500＝3800mm按左右支承考虑时局部荷载的有效分布宽度当bcx≥bcy，bcy≤0.6Lx 时，取by＝bcy+0.7Lx＝1350+0.7*2800＝3310mm1.2.3 绝对最大弯矩1.2.3.1 按两端简支计算Y 方向绝对最大弯矩将局部集中荷载转换为Y 向线荷载qy＝N*btx/(btx*bty)＝42*1/(1*1)＝42kN/m根据静力计算手册得出简支梁局部均布荷载作用下的弯矩：MmaxY＝qy*bty*Ly(2-bty/Ly)/8=42*1*3.5*(2-1/3.5)/8=31.5kN·m1.2.3.2 按两端简支计算X 方向绝对最大弯矩，将局部集中荷载转换为X 向线荷载qx＝N*bty/(btx*bty)＝42*1/(1*1)＝42kN/m 根据静力计算手册得出简支梁局部均布荷载作用下的弯矩：MmaxX＝qx*btx*Lx(2-btx/Lx)/8=42*1*2.8*(2-1/2.8)/8=24.15kN·m1.2.4 由绝对最大弯矩等值确定的等效均布荷载按上下支承考虑时的等效均布荷载qey＝8MmaxY/(bx*Ly^2)＝8*31.5/(3.8*3.5^2)＝5.41kN/m.按左右支承考虑时的等效均布荷载qex＝8MmaxX/(by*Lx^2)＝8*24.15/(3.31*2.8^2)＝7.44kN/m.等效均布荷载qe＝Max{qex,qey}＝Max{5.41,7.44}＝7.44kN/m.2 按四边简支板绝对最大弯矩等值的原则进行计算2.1 按四边简支计算跨中最大弯矩，计算条件同第一种计算方式2.1.1 根据计算条件，应用建筑结构静力计算手册(p227)中局部均布荷载作用下的弯矩系数表查出弯矩系数如下：泊松比μ=0；X 方向表中系数=0.1268,Y 方向表中系数=0.1017；计算跨中弯矩：Mx=表中系数×q×btx×bty=0.1268×42×1×1=5.33kN/m.My=表中系数×q×btx×bty=0.1017×42×1×1=4.27kN/m.调整为钢筋混凝土泊松比，重新计算跨中弯矩，μ=1/6Mx(μ)=Mx+μMy=5.33+4.27/6=6.04kN/m.My(μ)=My+μMx=4.27+5.33/6=5.16kN/m.2.2 根据跨中弯矩相等原则用查表法反算等效均布荷载2.2.1 根据计算条件，应用建筑结构静力计算手册(p216 页)中均布荷载作用下的弯矩系数表查出弯矩系数如下：泊松比μ=0；X 方向表中系数=0.0561,Y 方向表中系数=0.0334；计算跨中弯矩：(据公式M=表中系数×qL2，L 为Lx 与Ly 中较小者)Mx=表中系数×q×L2=0.0561×q×2.82My=表中系数×q×L2=0.0334×q×2.82调整为钢筋混凝土泊松比，重新计算跨中弯矩，μ=1/6,带入局部荷载作用下的最大弯矩得：Mx(μ)=Mx+μMy=0.0561×q×2.82+0.0334×q×2.82/6=6.04(1) My(μ)=My+μMx=0.0334×q×2.82+0.0561×q×2.82/6=5.16(2)由（1）式得q=12.49kN/m.；由（2）式得q=15.39kN/m.；取大值，等效均布荷载q=15.39kN/m.3 结果比较及结语由计算结果可以明显看出，第一种计算方法得出的计算结果比第二种小很多，根据内力等值的原则，第二种计算方法应该是合理的，应该选用第二种计算方法。
四边固定矩形板计算书
LB-1矩形板计算项目名称_____________日期_____________设计者_____________校对者_____________一、构件编号: LB-1二、示意图三、依据规范《建筑结构荷载规范》 GB50009-2001《混凝土结构设计规范》 GB50010-2010四、计算信息1.几何参数计算跨度: Lx = 11400 mm; Ly = 8500 mm板厚: h = 400 mm2.材料信息混凝土等级: C30 fc=14.3N/mm2 ft=1.43N/mm2 ftk=2.01N/mm2Ec=3.00×104N/mm2钢筋种类: HRB400 fy = 360 N/mm2Es = 2.0×105 N/mm2最小配筋率: ρ= 0.200%纵向受拉钢筋合力点至近边距离: as = 55mm保护层厚度: c = 40mm3.荷载信息(均布荷载)永久荷载分项系数: γG = 1.200可变荷载分项系数: γQ = 1.400准永久值系数: ψq = 1.000永久荷载标准值: ｑgk = 39.500kN/m2可变荷载标准值: ｑqk = 0.000kN/m24.计算方法:弹性板5.边界条件(上端/下端/左端/右端):固定/固定/固定/固定6.设计参数结构重要性系数: γo = 1.00泊松比:μ = 0.200五、计算参数:1.计算板的跨度: Lo = 8500 mm2.计算板的有效高度: ho = h-as=400-55=345 mm六、配筋计算(lx/ly=11400/8500=1.341<2.000 所以按双向板计算):1.X向底板钢筋1) 确定X向板底弯矩Mx = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= (0.0129+0.0298*0.200)*(1.200*39.500+1.400*0.000)*8.52 = 64.434 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*Mx/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*64.434×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.0383) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.038) = 0.0394) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.039/360= 529mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 529/(1000*400) = 0.132%ρ<ρmin = 0.200% 不满足最小配筋要求所以取面积为As = ρmin*b*h = 0.200%*1000*400 = 800 mm2采取方案⌲14@150, 实配面积1026 mm22.Y向底板钢筋1) 确定Y向板底弯矩My = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= (0.0298+0.0129*0.200)*(1.200*39.500+1.400*0.000)*8.52 = 110.923 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*My/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*110.923×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.0653) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.065) = 0.0674) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.067/360= 924mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 924/(1000*400) = 0.231%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案⌲14@125, 实配面积1231 mm23.X向支座左边钢筋1) 确定左边支座弯矩M o x = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0565*(1.200*39.500+1.400*0.000)*8.52= 193.613 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o x/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*193.613×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.1143) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.114) = 0.1214) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.121/360 = 1659mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 1659/(1000*400) = 0.415%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案⌲20@100, 实配面积3142 mm24.X向支座右边钢筋1) 确定右边支座弯矩M o x = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0565*(1.200*39.500+1.400*0.000)*8.52= 193.613 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o x/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*193.613×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.1143) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.114) = 0.1214) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.121/360 = 1659mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 1659/(1000*400) = 0.415%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案⌲20@100, 实配面积3142 mm25.Y向上边支座钢筋1) 确定上边支座弯矩M o y = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0704*(1.200*39.500+1.400*0.000)*8.52= 241.089 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o y/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*241.089×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.1423) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.142) = 0.1534) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.153/360= 2102mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 2102/(1000*400) = 0.526%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案⌲20@100, 实配面积3142 mm26.Y向下边支座钢筋1) 确定下边支座弯矩M o y = 表中系数(γG*ｑgk+γQ*ｑqk)*Lo2= 0.0704*(1.200*39.500+1.400*0.000)*8.52= 241.089 kN*m2) 确定计算系数αs = γo*M o y/(α1*fc*b*ho*ho)= 1.00*241.089×106/(1.00*14.3*1000*345*345)= 0.1423) 计算相对受压区高度ξ = 1-sqrt(1-2*αs) = 1-sqrt(1-2*0.142) = 0.1534) 计算受拉钢筋面积As = α1*fc*b*ho*ξ/fy = 1.000*14.3*1000*345*0.153/360= 2102mm25) 验算最小配筋率ρ = As/(b*h) = 2102/(1000*400) = 0.526%ρ≥ρmin = 0.200% 满足最小配筋要求采取方案⌲20@100, 实配面积3142 mm2七、跨中挠度计算：Mk -------- 按荷载效应的标准组合计算的弯矩值Mq -------- 按荷载效应的准永久组合计算的弯矩值1.计算荷载效应Mk = Mgk + Mqk= (0.0298+0.0129*0.200)*(39.500+0.000)*8.52 = 92.436 kN*mMq = Mgk+ψq*Mqk= (0.0298+0.0129*0.200)*(39.500+1.0*0.000)*8.52 = 92.436 kN*m 2.计算受弯构件的短期刚度 Bs1) 计算按荷载荷载效应的两种组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsk = Mk/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)= 92.436×106/(0.87*345*1231) = 250.174 N/mmσsq = Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)= 92.436×106/(0.87*345*1231) = 250.174 N/mm2) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积: Ate = 0.5*b*h = 0.5*1000*400= 200000mm2ρte = As/Ate 混规(7.1.2-4)= 1231/200000 = 0.615%3) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψk = 1.1-0.65*ftk/(ρte*σsk) 混规(7.1.2-2)= 1.1-0.65*2.01/(0.615%*250.174) = 0.252ψq = 1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)= 1.1-0.65*2.01/(0.615%*250.174) = 0.2524) 计算钢筋弹性模量与混凝土模量的比值αEαE = Es/Ec = 2.0×105/3.00×104 = 6.6675) 计算受压翼缘面积与腹板有效面积的比值γf矩形截面，γf=06) 计算纵向受拉钢筋配筋率ρρ = As/(b*ho)= 1231/(1000*345) = 0.357%7) 计算受弯构件的短期刚度 BsBsk = Es*As*ho2/[1.15ψk+0.2+6*αE*ρ/(1+ 3.5γf')](混规(7.2.3-1)) = 2.0×105*1231*3452/[1.15*0.252+0.2+6*6.667*0.357%/(1+3.5*0.0)]= 4.637×104 kN*m2Bsq = Es*As*ho2/[1.15ψq+0.2+6*αE*ρ/(1+ 3.5γf')](混规(7.2.3-1)) = 2.0×105*1231*3452/[1.15*0.252+0.2+6*6.667*0.357%/(1+3.5*0.0)]= 4.637×104 kN*m23.计算受弯构件的长期刚度B1) 确定考虑荷载长期效应组合对挠度影响增大影响系数θ当ρ'=0时，θ=2.0 混规(7.2.5)2) 计算受弯构件的长期刚度 BBk = Mk/(Mq*(θ-1)+Mk)*Bs (混规(7.2.2-1))= 92.436/(92.436*(2.0-1)+92.436)*4.637×104= 2.318×104 kN*m2Bq = Bsq/θ (混规(7.2.2-2))= 4.637×104/2.0= 2.318×104 kN*m2B = min(Bk,Bq)= min(23184.291,23184.291)= 23184.2914.计算受弯构件挠度f max = f*(q gk+q qk)*Lo4/B= 0.00198*(39.500+0.000)*8.54/2.318×104= 17.630mm5.验算挠度挠度限值fo=Lo/250=8500/250=34.000mmfmax=17.630mm≤fo=34.000mm，满足规范要求!八、裂缝宽度验算:1.跨中X方向裂缝1) 计算荷载效应Mx = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= (0.0129+0.0298*0.200)*(39.500+1.00*0.000)*8.52= 53.695 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=53.695×106/(0.87*345*1026)=174.360N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=1026/200000 = 0.0051因为ρte=0.0051 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0100*174.360)=0.3517) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/150=68) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=6*14*14/(6*1.0*14)=149) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.351*174.360/2.0×105*(1.9*40+0.08*14/0.0100)=0.1092mm ≤ 0.30, 满足规范要求2.跨中Y方向裂缝1) 计算荷载效应My = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= (0.0298+0.0129*0.200)*(39.500+1.00*0.000)*8.52= 92.436 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=92.436×106/(0.87*345*1231)=250.174N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=1231/200000 = 0.0062因为ρte=0.0062 < 0.01,所以让ρte=0.016) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0100*250.174)=0.5787) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/125=88) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=8*14*14/(8*1.0*14)=149) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.578*250.174/2.0×105*(1.9*40+0.08*14/0.0100)=0.2582mm ≤ 0.30, 满足规范要求3.支座上方向裂缝1) 计算荷载效应M o y = 表中系数((ｑgk+ψｑqk)*Lo2)= 0.0704*(39.500+1.00*0.000)*8.52= 200.908 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=200.908×106/(0.87*345*3142)=213.036N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=3142/200000 = 0.01576) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0157*213.036)=0.7107) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/100=108) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=10*20*20/(10*1.0*20)=209) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.710*213.036/2.0×105*(1.9*40+0.08*20/0.0157)=0.2554mm ≤ 0.30, 满足规范要求4.支座下方向裂缝1) 计算荷载效应M o y = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= 0.0704*(39.500+1.00*0.000)*8.52= 200.908 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=200.908×106/(0.87*345*3142)=213.036N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=3142/200000 = 0.01576) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0157*213.036)=0.7107) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/100=108) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=10*20*20/(10*1.0*20)=209) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.710*213.036/2.0×105*(1.9*40+0.08*20/0.0157)=0.2554mm ≤ 0.30, 满足规范要求5.支座左方向裂缝1) 计算荷载效应M o x = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= 0.0565*(39.500+1.00*0.000)*8.52= 161.344 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=161.344×106/(0.87*345*3142)=171.084N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=3142/200000 = 0.01576) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0157*171.084)=0.6147) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/100=108) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=10*20*20/(10*1.0*20)=209) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.614*171.084/2.0×105*(1.9*40+0.08*20/0.0157)=0.1774mm ≤ 0.30, 满足规范要求6.支座右方向裂缝1) 计算荷载效应M o x = 表中系数(ｑgk+ψｑqk)*Lo2= 0.0565*(39.500+1.00*0.000)*8.52= 161.344 kN*m2) 带肋钢筋,所以取值v i=1.03) 因为C > 65，所以取C = 654) 计算按荷载效应的准永久组合作用下，构件纵向受拉钢筋应力σsq=Mq/(0.87*ho*As) 混规(7.1.4-3)=161.344×106/(0.87*345*3142)=171.084N/mm5) 计算按有效受拉混凝土截面面积计算的纵向受拉钢筋配筋率矩形截面积，Ate=0.5*b*h=0.5*1000*400=200000 mm2ρte=As/Ate 混规(7.1.2-4)=3142/200000 = 0.01576) 计算裂缝间纵向受拉钢筋应变不均匀系数ψψ=1.1-0.65*ftk/(ρte*σsq) 混规(7.1.2-2)=1.1-0.65*2.010/(0.0157*171.084)=0.6147) 计算单位面积钢筋根数nn=1000/dist = 1000/100=108) 计算受拉区纵向钢筋的等效直径d eqd eq= (∑n i*d i2)/(∑n i*v i*d i)=10*20*20/(10*1.0*20)=209) 计算最大裂缝宽度ωmax=αcr*ψ*σsq/Es*(1.9*C+0.08*Deq/ρte) (混规(7.1.2-1) =1.9*0.614*171.084/2.0×105*(1.9*40+0.08*20/0.0157)=0.1774mm ≤ 0.30, 满足规范要求。
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局部均布荷载作用下四边支承矩形板的内力计算作者：杨成永马文辉韩薛果程霖来源：《湖南大学学报·自然科学版》2020年第11期摘要：以矩形板的Navier解為基础，采用带补充项的傅里叶级数作为挠度函数，研究了局部均布荷载作用下四边支承矩形薄板的弯曲问题. 推导了确定待定系数的线性代数方程组，给出了简支边和固支边不同组合条件下的统一计算公式. 讨论了带补充项法级数解的收敛速度，并与叠加法级数解及有限元数值解分别进行了精度和计算量的对比. 结果表明，带补充项法的级数解达到收敛的级数项数约为40项. 带补充项法的级数解与叠加法级数解具有同样的求解精度. 有限元解随网格的细分，计算结果逐渐接近级数法解. 级数解法的计算量与有限元解法相比是微不足道的. 研究成果适于进行构筑物顶板受局部均布荷载作用的结构计算.关键词：矩形板;四边支承;局部均布荷载;级数解;求解精度中图分类号：U411 文献标志码：AInternal Force Calculation of Four Edges Supported RectangularPlates under Local Uniformly Distributed LoadYANG Chengyong，MA Wenhui†，HAN Xueguo，CHENG Lin（School of Civil Engineering，Beijing Jiaotong University，Beijing 100044，China）Abstract：On the basis of Navier’s s olution to rectangular plates， the bending problem was studied for the four edges supported thin plates under local uniformly distributed load， where the double Fourier series with additional terms was adopted as the deflection function of the plates. Linear algebraic equations for solving the undetermined coefficients were derived. A unified solution was obtained to the rectangular plates with clamped and simply supported edges. The rate of convergence was discussed on the solution of the series method with additional terms. The proposed method was compared both with superposition series method on accuracy， and with finite element numerical method on computational cost. The results show that 40 terms should be employed for a convergence of the series. The method with additional terms shows the same accuracy of solution as superposition series method does. The solution by finite element method gradually approaches that by the series method as the mesh gets finer and finer. In comparison with finite element method， the computational time by the series method is negligible. This work is applicable for structural analysis of the top plates of underground buildings under truck wheel pressure.Key words：rectangular plate;four supported edges;locally uniformly distributed load;series solution;solution accuracy地铁、热力和燃气等地下工程中，地下构筑物的顶板多为四边支承的薄板，板上常承受局部均布荷载如汽车轮压作用. 为了确定像汽车轮压这类荷载在板内产生的最大挠度和内力，需要进行任意位置局部均布荷载作用下挠度和内力的计算.对四边支承的矩形薄板问题，可以从四边简支板的Navier解出发，采用叠加方法[1-2]或加补充项的方法[3-4]解决. 如：蔡长安等[5-6]以带附加补充项的Fourier级数作为挠度函数，求解了Winkler地基及Pasternak地基上自由边矩形板的弯曲问题. 许琪楼等[7-8]采用一种能满足自由角点条件的挠度表达式，解决了二邻边支承二邻边自由矩形板和二邻边及对角点支承矩形板的弯曲问题. 他们还采用叠加方法[9-10]，提出了四边支承矩形板及一边固定一角点或二角点支承的矩形板的统一求解方法. 岳建勇等[11-12]采用一种双三角级数形式的挠度函数，得到了三边固定一边自由及两对边固定两对边自由矩形板的精确解. 钟阳等[13]在辛几何空间中利用分离变量法推导出了四边固支弹性矩形薄板的精确解析表达式. 于天崇等[14]假定矩形板的抗弯刚度沿板的宽度方向按照一般幂函数形式变化，研究了四边简支一对边受弯作用下面内变刚度矩形板的弯曲问题. 肖闪闪等[15]采用载荷叠加法研究了集中载荷下四边固支正交各向异性矩形板的线性弯曲，并讨论了经典Kirchhoff薄板假设对于集中载荷的适用性.可以看出，目前已有的研究成果中，叠加方法应用较多. 而补充项的方法公式简单，能够对各种边界条件进行统一处理.既有研究工作存在以下不足：1）没有直接给出局部均布荷载作用下四边支承板内力计算公式，致使工程技术人员在实践中对级数解的研究成果难以利用. 2）对级数解的收敛速度讨论不充分，不清楚究竟需要取多少项级数才能满足精度要求. 3）级数解与有限元数值解在计算精度和速度方面没有进行仔细对比. 不了解两种解法在精度上能达到多高的吻合程度;不清楚级数解法的计算速度比有限元法具体快多少.为了探讨上述问题，本文采用补充项方法进行四边支承板计算，提出了挠度及弯矩的计算公式;讨论了解法的收敛速度，并与既有文献进行了求解结果正确性的验证;最后与有限元数值结果在求解精度和计算量上进行了对比.1 微分方程及右端荷载采用图1所示的坐标系. 图中a、b为板的长度和宽度，m;x0、y0为局部均布荷载中心的坐标，m;c、d为局部均布荷载的分布长度和宽度，m.式中：[Δ]2为拉普拉斯算子，[Δ]2 = + ;D为板的抗弯刚度，D = ;h为板的厚度，m;E为板的弹性模量，kPa;μ为板的泊松比.为了对公式（1）按傅里叶级数法求解，对其右端荷载q（x，y）进行傅里叶级数展开为：对局部均布荷载，公式（2）中的傅里叶系数qij为（参见文献[1]第111页上的公式（a））[1]：式中：q0为局部均布荷载，kPa.2 挠度和弯矩计算对不同支承条件下的矩形板，文献[3]给出了带补充项的挠度表达式. 针对本文的四边支承矩形板，有简化的挠度表达式为：3 待定系数的确定公式（5）～（10）中待定系数Aj、Bj、Ci、Di需要根据板边的支承条件确定. 由于Aj、Bj、Ci、Di分别为左边、右边、前边及后边法向弯矩正弦级数的待定系数，因此当板的某边为简支边时，按公式（8）可知，相应的待定系数取为0. 某边为固支时，按如下方法计算待定系数.当板左边（x = 0边）为固支时，由式（4）在x = 0处取w对x的偏导数：在利用公式（17）～（20）确定待定系数Aj、Bj、Ci、Di时，若某一边、某二边甚至某三边为简支，则舍弃相应的方程，留下剩余的方程组成方程组解出待定系数. 以板左边及前边固支其余两边简支为例，此时由于右边和后边简支，故待定系数Bj = Di = 0;舍弃公式（18）及（20）所列方程，剩下公式（17）及（19）所列方程组成方程组，并且在留下的方程中，置Bj及Di为0，进而解出左边及前边两个固支边的待定系数Aj和Ci即可.4 计算与分析4.1 计算步骤采用本文公式计算四边支承板挠度和弯矩的步骤如下：1）若板的四边全为简支边，则取Aj = Bj = Ci = Di = 0. 若板存有固支边，则从公式（17）～（20）中选择相应的公式组成方程组，计算待定系数Aj、Bj、Ci或Di.2）确定系数Aj、Bj、Ci及Di后，按公式（7）计算挠度的傅里叶系数wij .3）最后，按公式（4）计算挠度，按公式（9）及（10）计算弯矩.本文后续计算中，线性方程组的求解采用克劳特（Crout）分解法. 计算程序采用C語言编写，程序中实型变量采用双精度.4.2 计算参数取板沿x方向长度a = 5 m，y方向长度b = 7 m，厚h = 0.1 m;板弹性模量E = 3 × 107 kPa，泊松比μ =0.3;荷载按公路桥涵设计通用规范（JTG D60—2015）取一个汽车轮压传递到板上形成的局部均布荷载. 轴重取120 kN，单轮地面分布尺寸0.6 m × 0.2 m，轮压扩散角35°，板埋深0.714 m. 由此得作用在板上的局部均布荷载q0 = 31.25 kPa，荷载x方向分布长度c = 1.6 m，y方向分布长度d = 1.2 m;荷载中心坐标x0 = 2.5 m，y0 = 3.5 m.4.3 收敛速度的讨论采用4.2节的计算参数，板四边均固支，取级数项数为5项、10项、20项、30项、40项、50项、60项及80项，计算结果列于表1.表1及后续表格中，“板中心挠度”“板中心x方向弯矩”“板中心y方向弯矩”“长边中点x 方向弯矩”分别为无量纲量、、、.从表1看出，30项后，挠度计算结果的前5位有效数字不再发生变化;40项后，弯矩计算结果的前4位有效数字不再发生变化. 因此可得出，40项时，级数已可视为收敛. 后续计算中采用40项级数的计算结果.4.4 计算结果与既有文献对比4.4.1 与文献[1]对比文献[1]中有四边固支板受满布均布荷载作用的计算结果. 为与之对比，采用4.2节的计算参数，板四边均固支，荷载改为满布，荷载强度不变，仍为q0 = 31.25 kPa. 计算结果列于表2.由表2看出，2种方法的结果前2位有效数字相同. 由于文献[1]表格的有效数字只有3位，可以认为表2中2种结果是一致的.可以看出，目前已有的研究成果中，叠加方法应用较多. 而补充项的方法公式简单，能够对各种边界条件进行统一处理.既有研究工作存在以下不足：1）没有直接给出局部均布荷载作用下四边支承板内力计算公式，致使工程技术人员在实践中对级数解的研究成果难以利用. 2）对级数解的收敛速度讨论不充分，不清楚究竟需要取多少项级数才能满足精度要求. 3）级数解与有限元数值解在计算精度和速度方面没有进行仔细对比. 不了解两种解法在精度上能达到多高的吻合程度;不清楚级数解法的计算速度比有限元法具体快多少.为了探讨上述问题，本文采用补充项方法进行四边支承板计算，提出了挠度及弯矩的计算公式;讨论了解法的收敛速度，并与既有文献进行了求解结果正确性的验证;最后与有限元数值结果在求解精度和计算量上进行了对比.1 微分方程及右端荷载采用图1所示的坐标系. 图中a、b为板的长度和宽度，m;x0、y0为局部均布荷载中心的坐标，m;c、d为局部均布荷载的分布长度和宽度，m.式中：[Δ]2为拉普拉斯算子，[Δ]2 = + ;D为板的抗弯刚度，D = ;h为板的厚度，m;E为板的弹性模量，kPa;μ为板的泊松比.为了对公式（1）按傅里叶级数法求解，对其右端荷载q（x，y）进行傅里叶级数展开为：对局部均布荷载，公式（2）中的傅里叶系数qij为（参见文献[1]第111页上的公式（a））[1]：式中：q0为局部均布荷载，kPa.2 挠度和弯矩计算对不同支承条件下的矩形板，文献[3]给出了带补充项的挠度表达式. 针对本文的四边支承矩形板，有简化的挠度表达式为：3 待定系数的确定公式（5）～（10）中待定系数Aj、Bj、Ci、Di需要根据板边的支承条件确定. 由于Aj、Bj、Ci、Di分别为左边、右边、前边及后边法向弯矩正弦级数的待定系数，因此当板的某边为简支边时，按公式（8）可知，相应的待定系数取为0. 某边为固支时，按如下方法计算待定系数.当板左边（x = 0边）为固支时，由式（4）在x = 0处取w对x的偏导数：在利用公式（17）～（20）确定待定系数Aj、Bj、Ci、Di时，若某一边、某二边甚至某三边为简支，则舍弃相应的方程，留下剩余的方程组成方程组解出待定系数. 以板左边及前边固支其余两边简支为例，此时由于右边和后边简支，故待定系数Bj = Di = 0;舍弃公式（18）及（20）所列方程，剩下公式（17）及（19）所列方程组成方程组，并且在留下的方程中，置Bj及Di为0，进而解出左边及前边两个固支边的待定系数Aj和Ci即可.4 计算与分析4.1 计算步骤采用本文公式计算四边支承板挠度和弯矩的步骤如下：1）若板的四边全为简支边，则取Aj = Bj = Ci = Di = 0. 若板存有固支边，则从公式（17）～（20）中选择相应的公式组成方程组，计算待定系数Aj、Bj、Ci或Di.2）确定系数Aj、Bj、Ci及Di后，按公式（7）计算挠度的傅里叶系数wij .3）最后，按公式（4）计算挠度，按公式（9）及（10）计算弯矩.本文后续计算中，线性方程组的求解采用克劳特（Crout）分解法. 计算程序采用C语言编写，程序中实型变量采用双精度.4.2 计算参数取板沿x方向长度a = 5 m，y方向长度b = 7 m，厚h = 0.1 m;板弹性模量E = 3 × 107 kPa，泊松比μ =0.3;荷载按公路桥涵设计通用规范（JTG D60—2015）取一个汽车轮压传递到板上形成的局部均布荷载. 轴重取120 kN，单轮地面分布尺寸0.6 m × 0.2 m，轮压扩散角35°，板埋深0.714 m. 由此得作用在板上的局部均布荷載q0 = 31.25 kPa，荷载x方向分布长度c = 1.6 m，y方向分布长度d = 1.2 m;荷载中心坐标x0 = 2.5 m，y0 = 3.5 m.4.3 收敛速度的讨论采用4.2节的计算参数，板四边均固支，取级数项数为5项、10项、20项、30项、40项、50项、60项及80项，计算结果列于表1.表1及后续表格中，“板中心挠度”“板中心x方向弯矩”“板中心y方向弯矩”“长边中点x 方向弯矩”分别为无量纲量、、、.从表1看出，30项后，挠度计算结果的前5位有效数字不再发生变化;40项后，弯矩计算结果的前4位有效数字不再发生变化. 因此可得出，40项时，级数已可视为收敛. 后续计算中采用40项级数的计算结果.4.4 计算结果与既有文献对比4.4.1 与文献[1]对比文献[1]中有四边固支板受满布均布荷载作用的计算结果. 为与之对比，采用4.2节的计算参数，板四边均固支，荷载改为满布，荷载强度不变，仍为q0 = 31.25 kPa. 计算结果列于表2.由表2看出，2种方法的结果前2位有效数字相同. 由于文献[1]表格的有效数字只有3位，可以认为表2中2种结果是一致的.可以看出，目前已有的研究成果中，叠加方法应用较多. 而补充项的方法公式简单，能够对各种边界条件进行统一处理.既有研究工作存在以下不足：1）没有直接给出局部均布荷载作用下四边支承板内力计算公式，致使工程技术人员在实践中对级数解的研究成果难以利用. 2）对级数解的收敛速度讨论不充分，不清楚究竟需要取多少项级数才能满足精度要求. 3）级数解与有限元数值解在计算精度和速度方面没有进行仔细对比. 不了解两种解法在精度上能达到多高的吻合程度;不清楚级数解法的计算速度比有限元法具体快多少.为了探讨上述问题，本文采用补充项方法进行四边支承板计算，提出了挠度及弯矩的计算公式;讨论了解法的收敛速度，并与既有文献进行了求解结果正确性的验证;最后与有限元数值结果在求解精度和计算量上进行了对比.1 微分方程及右端荷载采用图1所示的坐标系. 图中a、b为板的长度和宽度，m;x0、y0为局部均布荷载中心的坐标，m;c、d为局部均布荷载的分布长度和宽度，m.式中：[Δ]2为拉普拉斯算子，[Δ]2 = + ;D为板的抗弯刚度，D = ;h为板的厚度，m;E为板的弹性模量，kPa;μ为板的泊松比.为了对公式（1）按傅里叶级数法求解，对其右端荷载q（x，y）进行傅里叶级数展开为：对局部均布荷载，公式（2）中的傅里叶系数qij为（参见文献[1]第111页上的公式（a））[1]：式中：q0为局部均布荷载，kPa.2 挠度和弯矩计算对不同支承条件下的矩形板，文献[3]给出了带补充项的挠度表达式. 针对本文的四边支承矩形板，有简化的挠度表达式为：3 待定系数的确定公式（5）～（10）中待定系数Aj、Bj、Ci、Di需要根据板边的支承条件确定. 由于Aj、Bj、Ci、Di分别为左边、右边、前边及后边法向弯矩正弦级数的待定系数，因此当板的某边为简支边时，按公式（8）可知，相应的待定系数取为0. 某边为固支时，按如下方法计算待定系数.当板左边（x = 0边）为固支时，由式（4）在x = 0处取w对x的偏导数：在利用公式（17）～（20）确定待定系数Aj、Bj、Ci、Di时，若某一边、某二边甚至某三边为简支，则舍弃相应的方程，留下剩余的方程组成方程组解出待定系数. 以板左边及前边固支其余两边简支为例，此时由于右边和后边简支，故待定系数Bj = Di = 0;舍弃公式（18）及（20）所列方程，剩下公式（17）及（19）所列方程组成方程组，并且在留下的方程中，置Bj及Di为0，进而解出左边及前边两个固支边的待定系数Aj和Ci即可.4 计算与分析4.1 计算步骤采用本文公式计算四边支承板挠度和弯矩的步骤如下：1）若板的四边全为简支边，则取Aj = Bj = Ci = Di = 0. 若板存有固支边，则从公式（17）～（20）中选择相应的公式组成方程组，计算待定系数Aj、Bj、Ci或Di.2）确定系数Aj、Bj、Ci及Di后，按公式（7）计算挠度的傅里叶系数wij .3）最后，按公式（4）计算挠度，按公式（9）及（10）计算弯矩.本文后续计算中，线性方程组的求解采用克劳特（Crout）分解法. 计算程序采用C语言编写，程序中实型变量采用双精度.4.2 计算参数取板沿x方向长度a = 5 m，y方向长度b = 7 m，厚h = 0.1 m;板弹性模量E = 3 × 107 kPa，泊松比μ =0.3;荷载按公路桥涵设计通用规范（JTG D60—2015）取一个汽车轮压传递到板上形成的局部均布荷载. 轴重取120 kN，单轮地面分布尺寸0.6 m × 0.2 m，轮压扩散角35°，板埋深0.714 m. 由此得作用在板上的局部均布荷载q0 = 31.25 kPa，荷载x方向分布长度c = 1.6 m，y方向分布长度d = 1.2 m;荷载中心坐标x0 = 2.5 m，y0 = 3.5 m.4.3 收敛速度的讨论采用4.2节的计算参数，板四边均固支，取级数项数为5项、10项、20项、30项、40项、50项、60项及80项，计算结果列于表1.表1及后续表格中，“板中心挠度”“板中心x方向弯矩”“板中心y方向弯矩”“长边中点x 方向弯矩”分别为无量纲量、、、.从表1看出，30项后，挠度计算结果的前5位有效数字不再发生变化;40项后，弯矩计算结果的前4位有效数字不再发生变化. 因此可得出，40项时，级数已可视为收敛. 后续计算中采用40项级数的计算结果.4.4 计算结果与既有文献对比4.4.1 与文献[1]对比文献[1]中有四边固支板受满布均布荷载作用的计算结果. 为与之对比，采用4.2节的计算参数，板四边均固支，荷载改为满布，荷载强度不变，仍为q0 = 31.25 kPa. 计算结果列于表2.由表2看出，2种方法的结果前2位有效数字相同. 由于文献[1]表格的有效数字只有3位，可以认为表2中2種结果是一致的.。