陕西省高三下学期(理科)数学模拟考试卷附带答案解析

陕西省高三下学期(理科)数学模拟考试卷附带答案解析班级:___________姓名：___________考号：___________一、单选题1．设复数z 满足()12i 34i z ⋅+=-+，则z 的虚部是（ ） A ．2B ．2iC ．2-D ．2i -2．已知集合{}2A =≤和{}1B x x =<，则A B =（ ） A ．(]1,4-B ．[)0,1C ．(]0,1D ．[)1,43．已知i 为虚数单位，()2i 12i z -⋅=- 则复数z =（ ） A ．3i 5-B ．32i 55+C ．4i 5-D ．43i 554．已知函数1()sin (0)2f x x x ωωω=>在(0,)π上恰有三个零点，则正数ω的取值范围为（ ）A ．710,33⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．1013,33⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．713,66⎛⎤ ⎥⎝⎦D ．1319,66⎛⎤ ⎥⎝⎦5．若43x =和823y=，则2x y +的值为（ ）A ．2B ．1C ．8D ．36．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间没有发生在规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”.根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是A ．甲地：总体均值为3，中位数为4B ．乙地：总体均值为1，总体方差大于0C ．丙地：中位数为2，众数为3D ．丁地：总体均值为2，总体方差为37．等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，若36S =与621S =，则9S =（ ）． A ．27B ．45C ．18D ．368．数列{an }是递增数列，则{an }的通项公式可以是下面的（ ） A ．1n a n=-B ．23n a n n =-C ．2nn a -=D ．()nn a n =-9．圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是（ ） A ．6B ．4C ．5D ．110．一个球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回到原高度的一半再落下，当它第10 次着地时经过的路程是（ ）A ．100＋200(1－2－9) B ．100＋100(1－2－9) C ．200(1－2－9)D ．100(1－2－9)11．点M 、N 是正方体1111ABCD A B C D -的两棱1AA 与11A B 的中点，P 是正方形ABCD 的中心，则MN 与平面1PCB 的位置关系是（ ） A ．平行B ．相交C ．MN ⊆平面1PCBD ．以上三种情况都有可能12．双曲线2222:1(00)x y C a b a b-=>>，的两个焦点为12,F F ，点)A在双曲线C 上，且满足120AF AF ⋅=，则双曲线C 的离心率为（ ）AB C ．2D 13．设函数()f x 的定义域为R ，满足()3(1)f x f x =-，且当(0,1]x ∈时()(1)f x x x =-.若对任意(,]x m ∈-∞，都有54()25f x ≥-，则m 的最大值是（ ） A ．125 B ．73C ．94D ．52二、填空题14．已知两个非零向量a ，b 满足2a b a b ==-=，则a 在b 方向上的投影为______． 15．()3231x x ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭的展开式中常数项为________．16．已知0ω>，函数()sin()4f x x πω=+在(,)2ππ上单调递增，则ω的取值范围是__．17．斐波那契螺旋线，也称“黄金螺旋”，是根据斐波那契数列画出来的螺旋曲线．它的画法是：以斐波那契数：1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的扇形，连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．下图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一个扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的体积为______．三、解答题18．已知ABC 的三个内角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ，且满足)2222sin sin sin 2a b c a B C A +-=． (1)求角C 的值； (2)若2a =，b=5，且13A A DB =，求CD 的长度． 19．有关研究表明，正确佩戴安全头盔，规范使用安全带能够将交通事故死亡风险大幅降低，对保护群众生命安全具有重要作用.2020年4月，“一盔一带”安全守护行动在全国各地开展．行动期间，公安交管部门加强执法管理，依法查纠摩托车和电动自行车骑乘人员不佩戴安全头盔，汽车驾乘人员不使用安全带的行为，助推养成安全习惯．该行动开展一段时间后，某市针对电动自行车骑乘人员是否佩戴安全头盔问题进行调查，在随机调查的1000名骑行人员中年龄低于40岁的占60%，记录其年龄和是否佩戴头盔情况，得到如下列联表：(1)完成上面的列联表；(2)通过计算判断是否有99%的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关？附：()()()()22()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．20．如图，在直三棱柱111ABC A B C 中90ACB ∠=︒，1AC BC ==且12AA =，D ，E 分别是棱1AA ，BC 的中点.(1)证明：//AE 平面1BC D ； (2)求二面角1A BD C --的余弦值.21．已知函数()2e xf x ax x =+-.(1)若0a =，求函数()f x 的单调区间；(2)若0x ≠时方程()1f x =有3个不同的实数解，求实数a 的取值范围.22．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左，右顶点分别为,A B ，上顶点M 与左，右顶点连线,MA MB 的斜率乘积为14-，焦距为(1)求椭圆C 的方程；(2)设过点()0,4D 的直线l 与椭圆C 交于,E F 两点，O 为坐标原点，若90EOF ∠=︒，求直线l 的方程. 23．在平面直角坐标系xOy 中以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线1l 与曲线C 的极坐标方程分别为cos 2ρθ=，4sin ρθ=点P 的极坐标为π4,4⎛⎫⎪⎝⎭．(1)求直线1l 以及曲线C 的直角坐标方程；(2)在极坐标系中已知射线2π:02l θαα⎛⎫=<< ⎪⎝⎭与1l ，C 的公共点分别为A ，B ，且16OA OB ⋅=+求POB的面积．24．已知函数()f x x =． (1)求不等式()21f x x <-的解集；(2)已知函数()()221g x f x x =+-的最小值为m ，且a 、b 、c 都是正数，2a b c m ++=，证明114a b b c+≥++． 参考答案与解析1．C【分析】先求出34i -+的值，然后两边同除12i +，最后用复数的除法运算求解. 【详解】()12i 34i z ⋅+=-+()12i 5z ∴⋅+=，即()()()()512i 512i 512i 12i 12i 12i 5z --====-++- 所以z 的虚部是2-. 故选：C 2．B【分析】先求出集合A 、B ，再结合交集的定义求解即可.【详解】因为{}{}204A x x ==≤≤ {}{}111B x x x x =<=-<<所以[)0,1A B ⋂=． 故选：B. 3．D【分析】根据复数的除法运算化简即可求解. 【详解】由()2i 12i z -⋅=-得()()()()12i 2i 12i 43i2i 2i 2i 5z -+--===--+ 故选：D 4．A【分析】由(0,)x π∈，可得(,)333x πππωπω-∈--，结合三角函数的性质可得233πππωπ<-≤，从而得解.【详解】由()sin (0)3f x x πωω⎛⎫=-> ⎪⎝⎭由(0,)x π∈，可得(,)333x πππωπω-∈--若函数()f x 恰有3个零点，只需要233πππωπ<-≤，得71033ω<≤. 故选：A 5．D【分析】将43x =，823y=转化为对数的形式求出,x y ，然后代入2x y +化简求值即可【详解】因为43x =，所以421log 3log 32x ==；又823y=，所以28log 3y =所以2222188log 3log log 3log 22332x y +++⨯==32228log 3log 8log 233⎛⎫=⨯=== ⎪⎝⎭故选：D. 6．D【详解】试题分析：由于甲地总体均值为，中位数为，即中间两个数（第天）人数的平均数为，因此后面的人数可以大于，故甲地不符合.乙地中总体均值为，因此这天的感染人数总数为，又由于方差大于，故这天中不可能每天都是，可以有一天大于，故乙地不符合，丙地中中位数为，众数为，出现的最多，并且可以出现，故丙地不符合，故丁地符合. 考点：众数、中位数、平均数、方差 7．B故选：B ． 8．A【分析】根据数列通项公式的性质，由数列{an }是递增数列，根据各个函数的单调性，逐个选项进行判断即可.【详解】对于A ，因为1y x=-为单调递增函数，所以，1n a n =-为递增数列，A 正确；对于B ，因为122a a =-=，所以不是递增数列，B 错误对于C ，因为2xy -=为递减函数，所以，2n n a -=为递减数列，C 错误；对于D ，()nn a n =-为摆动数列，D 错误. 故选：A 9．B【分析】先求圆心到直线的距离，再减去半径即可.【详解】圆的圆心坐标()0,0，到直线34250x y +-=的距离是2555＝所以圆221x y +=上的点到直线34250x y +-=的距离的最小值是514-= 故选：B ． 10．A【分析】表示出第10 次着地时经过的路程，利用等比数列的求和公式化简，即得解 【详解】由题意，第10 次着地时经过的路程是 91291002(50251002)1002100(222)----+⨯+++⨯=+⨯⨯+++19912(12)100200100200(12)12----⨯-=+⨯=+-- 故选：A 11．A【分析】推导出MN ∥AB 1从而MN 与平面PCB 1的位置关系是平行． 【详解】∵点M ，N 是正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1中A 1A ，A 1B 1的中点，∴MN ∥AB 1 ∵P 是正方形ABCD 的中心，延展平面PCB 1即为平面AB 1C 又AB 1 ⊂平面PB 1C ，MN ⊄平面PB 1C 所以MN ∥平面PB 1C ．∴MN 与平面PCB 1的位置关系是平行． 故选：A ．【点睛】本题考查线面关系的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查线面平行的判定定理，是中档题．12．A【分析】设()()12,0,,0Fc cF-，进而根据向量垂直的坐标表示得2c=，再根据点)A在双曲线C上待定系数求解即可.【详解】解：由题，设()()12,0,,0Fc cF-，因为)A所以()()1213,1,AF A cc F=----=-因为12AF AF⋅=所以212310AF AF c=⋅-+=，解得2c=因为22222311a bb a c⎧-=⎪⎨⎪+=⎩，解得222a b==所以，双曲线C的离心率为cea===故选：A13．A【详解】解：因为()3(1)f x f x=-，所以()()13f x f x+=当(]0,1x∈时2()f x x x=-的最小值为14-；当(]1,0x∈-时(]10,1x+∈2(1)(1)(1)f x x x+=+-+由3()(1)f x f x =+知 1()(1)3f x f x =+所以此时21()[(1)(1)]3f x x x =+-+，其最小值为112-； 同理，当(1x ∈，2]时2()3[(1)(1)]f x x x =---，其最小值为34-；当(2x ∈，3]时2()9[(2)(2)]f x x x =---的最小值为94-；作出如简图因为95434254-<-<-要使54()25f x -则有2549[(2)(2)]25x x ----． 解得125x或135x 要使对任意(,]x m ∈-∞，都有54()25f x - 则实数m 的取值范围是12,5⎛⎤-∞ ⎥⎝⎦． 故选：A ．14．1【分析】把已知式2a b -=平方，转化为数量积的运算，根据数量积定义可得投影． 【详解】解：由2a b -=，得2224a a b b -⋅+=又2a b ==，∴44222cos ,4a b +-⨯⨯<>=，即1cos ,2a b <>=∴a 在b 方向上的投影为1cos ,212a ab <>=⨯=．故答案为：1． 15．3-【解析】利用二项展开式通项公式直接求解. 【详解】()()()3332231311x x x x x⎛⎫-+=+-+ ⎪⎝⎭展开式中常数项为03121332311363C C x x⋅⋅-⋅⋅⋅=-=-故答案为：3-.【点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n 和r 的隐含条件，即n ，r 均为非负整数，且n ≥r ，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项． (2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解． 16．104ω<≤【详解】试题分析：本题已知函数()sin()f x A x ωϕ=+的单调区间，求参数ω的取值范围，难度中等．由22242k x k ππππωπ-≤+≤+，Z k ∈得32244k x k πππωπ-≤≤+，又函数()f x 在(,)2ππ上单调递增，所以3242{24k k ππωπππωπ-≤≤+，即342{124k k ωω≥-≤+，注意到22T π≥，即02ω<≤，所以取0k =，得104ω<≤．考点：函数()sin()f x A x ωϕ=+的图象与性质．【方法点晴】已知函数()sin()4f x x πω=+为单调递增函数，可得变量x 的取值范围，其必包含区间(,)2ππ，从而可得参数ω的取值范围，本题还需挖掘参数ω的隐含范围，即函数()f x 在(,)2ππ上单调递增，可知T π≥，因此02ω<≤，综合题设所有条件，便可得到参数ω的精确范围．17【分析】先判断接下来扇形的半径，再求其围成圆锥的底面半径和高，最后代入求体积即可.【详解】接下来的一个扇形半径为358R =+=，故围成的圆锥母线长为8l =因为扇形的圆心角为90°，所以其弧长为π84π2L R α==⋅=，也即底面圆周长2π4πC r ==所以底面圆半径为2r =，则圆锥的高为h =所以圆锥的体积为21π3V r h ==空白公式+ 18．(1)π3C =【分析】（1）根据正弦定理与余弦定理即可得tan C =C 的值；（2）根据向量共线定理可得1233CD CB CA =+，利用向量的模长运算即可得CD 的长度．【详解】（1）解：由正弦定理sin sin a b A B =得：sin sin B b A a =，因为)2222sin sin sin 2a b c a B C A +-=所以)2222sin 2a b c a b C a +-=，即)222sin 2a b c ab C +-=又由余弦定理得222cos 2a b c C ab +-=，则)222sin 2a b c C C ab+-==化简得tan C =()0,πC ∈，所以π3C =. （2）解：由13A A D B =可得1233CD CB CA =+ 所以222212142||233999CD CB CA a b CB CA ⎛⎫=+=++⨯⋅ ⎪⎝⎭41002π124225cos 99939=++⨯⨯⨯⨯=∴231||3CD =CD . 19．(1)填表见解析(2)没有【分析】（1）根据题意求出年龄低于40岁的人数，再结合列联表中数据即可完成列联表；（2）求出2K，再对照临界值表，即可得出结论.【详解】（1）年龄低于40岁的有100060%600⨯=人完成的列联表如下：（2）221000(6054060340)1255.6826.63560040088012022K⨯-⨯==≈<⨯⨯⨯∴没有99%的把握认为遵守佩戴安全头盔与年龄有关．20．(1)证明见解析(2)设平面1DBC 的法向量为(),,n x y z =，则10,0,n BD n BC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩即0,20,x y z y z -+=⎧⎨-+=⎩取1z =，则()1,2,1n =. 取AB 的中点G ，连接CG .由1AC BC ==得CG AB ⊥.在直三棱柱111ABC A B C 中1AA ⊥平面ABC ，CG ⊂平面ABC ，所以1AA ⊥CG又1AB AA A ⋂=，1,AB AA ⊂平面11ABB A ，所以CG ⊥平面11ABB A .所以11,,022CG ⎛⎫= ⎪⎝⎭为平面11ABB A 的一个法向量 ||cos ,|126|||CG n CG n CG n ⋅〈+⨯〉===易得二面角1A BD C --为钝角，故二面角1A BD C --的余弦值为. 21．(1)单调递增区间为(),0∞-，单调递减区间为()0,∞+(2)2e 1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭【分析】（1）求出函数的导函数，利用导函数与原函数单调性的关系即可求解；（2）求出导函数，讨论单调性，求出极值即可求解.【详解】（1）若0a =，则()e x f x x =-，∴()1e x f x '=-.令0fx ，得0x <；令()0f x '<，得0x >.∴函数()f x 的单调递增区间为(),0∞-，单调递减区间为()0,∞+.（2）当0x ≠时方程()1f x =等价于2e 1x x a x-+= 令()2e 1x x g x x -+=，则()()()32e 1x x g x x-'+=. 当()0g x '>时则0x <或2x >，()g x 在(),0∞-，()2,+∞上单调递增；当()0g x '<，则02x <<，()g x 在()0,2上单调递减.当x →-∞时()0g x →；当0x →时()g x ∞→+；当2x =时()2e 1204g -=>；当x →+∞时()g x ∞→+. 综上，实数a 的取值范围为2e 1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭. 22．(1)2214x y +=(2)4y =+【分析】（1）根据题意列出关于,a b 的方程，求得其值，即得答案.（2）设直线l 方程，与椭圆方程联立，可得根与系数的关系式，结合90EOF ∠=︒可得12120x x y y +=，化简求值，求得k 的值，即得答案.【详解】（1）由题意知()0,M b (,0),(,0)A a B a -2c =c 22001004MA MBb b b k k a a a --⋅=⋅=-=-+- ∴2214b a = ∵223a b =+ ∴24a =，21b = ∴椭圆C 的方程为2214x y +=. （2）由已知过点()0,4D 满足题意的直线l 的斜率存在，设:4l y kx =+ 联立22144x y y kx ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y 得()221432600k x kx +++=()()222322401464240k k k ∆=-+=-，令0∆>，解得2154k >. 设()11,E x y ，()22,F x y ，则1223214k x x k +=-+ 1226014x x k =+∵90EOF ∠=︒，∴0OE OF ⋅=，即12120x x y y +=∴()()2121214160k x x k x x ++++=，∴()222215132401414k k k k ⨯+-+=++解得k =2154k >∴直线l 的方程为4y =+.23．(1)2x = 2240x y y +-=【分析】（1）利用极坐标方程和直角坐标方程的转化关系即可；（2）利用极坐标方程的几何意义和三角形的面积公式即可.【详解】（1）因为cos 2ρθ=，所以2x =即直线1l 的直角坐标方程为2x =．由4sin ρθ=，得24sin ρρθ=代入公式cos ,sin ,x y ρθρθ=⎧⎨=⎩得224x y y += 所以曲线C 的直角坐标方程为2240x y y +-=．（2）设点A ，B 的极坐标分别为()1,ρα和()2,ρα 由题意可得12cos ρα=与24sin ρα=．则128tan 16OA OB ρρα⋅===+tan 2α=因为π02α<<，所以sin α=cos α=πππ1sin sin cos cos sin 4442ααα⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭则24sin ρα=因为点P 的极坐标为π4,4⎛⎫ ⎪⎝⎭故1π4sin 24POB S α⎛⎫=⨯⨯-= ⎪⎝⎭△ 24．(1)()1,+∞(2)证明见解析【分析】（1）分0x ≥、0x <两种情况解不等式()21f x x <-，综合可得出原不等式的解集；（2）由绝对值三角不等式可得出1m =，由此可得出()()1a b b c +++=，将代数式11+++a b b c 与()()a b b c +++相乘，展开后利用基本不等式可证得结论成立.【详解】（1）解：由()21f x x <-可得21x x <-当0x ≥时则有21x x <-，解得1x >，此时1x >；当0x <时则有21x x -<-，解得13x >，此时x ∈∅. 综上所述，不等式()21f x x <-的解集为()1,+∞.（2）解：由绝对值三角不等式可得()()2212211g x x x x x =+-≥--=当且仅当021x ≤≤时即当102x ≤≤时等号成立，故1m = 所以()()21a b b c a b c +++=++=又因为a 、b 、c 均为正数 所以，()()11112a b b c a b b c a b b c a b b c b c a b ++⎛⎫⎡⎤+=++++=++ ⎪⎣⎦++++++⎝⎭24≥+= 当且仅当12a b b c +=+=时等号成立，故114a b b c+≥++.。