专题08 解析几何中的向量共线问题(解析版)

专题08 解析几何中的向量共线问题常见考点考点一 向量共线问题典例1．如图1F ，2F 分别是椭圆C ：()222210x ya b a b+=>>的左，右焦点，点P 在椭圆C 上，1PF x⊥轴，点A 是椭圆与x 轴正半轴的交点，点B 是椭圆与y 轴正半轴的交点，且AB OP ∥，12PF PF +=(1)求椭圆C 的方程；(2)已知M ，N 是椭圆C 上的两点，若点5,04Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，716QM QN ⋅=-，试探究点M ，1F ，N 是否一定共线？说明理由.【答案】(1)2212x y +=(2)不一定共线，理由见解析 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义可得a ，利用1PF O ∆∽△BOA 可解；（2）考察MN x ⊥轴时的情况，分析可知M ，1F ，N 不一定共线. (1)由题意得122PF PF a +=，a 设()1,0F c -，x c =-， 代入椭圆C 的方程得，22221c y a b +=，可得()2224222b a c b y a a-==.可得21b PF a=.由AB OP ∥，1PF BO ∥，所以1PF O ∆∽△BOA ，所以11PF FOBO OA=，即2b c a b a=，可得b c =. 又a =222abc =+，得1b c ==.所以椭圆C 的方程为2212x y +=.(2)当MN x ⊥轴时，5,04Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭，设()11,M x y ，()11,N x y -，则22111111555,,444QM QN x y x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+-=+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭由已知条件和方程221112x y +=，可得22115714216x x ⎛⎫⎛⎫+--=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得，2113520x x ++=，解得11x =-或123x =-.由于()11,0F -，所以当11x =-时，点M ，1F ，N 共线； 所以当123x =-时，点M ，1F ，N 不共线. 所以点M ，1F ，N 不一定共线.变式1-1．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的长轴长为6，离心率为23，长轴的左，右顶点分别为A ，B ．(1)求椭圆C 的方程；(2)已知过点()0,3D -的直线l 交椭圆C 于M 、N 两个不同的点，直线AM ，AN 分别交y 轴于点S 、T ，记DS DO λ=，DT DO μ=（O 为坐标原点），当直线l 的倾斜角θ为锐角时，求λμ+的取值范围．【答案】(1)22195x y +=(2)4,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【解析】【分析】（1）根据椭圆的长轴和离心率，可求得22,a b ，进而得椭圆方程；（2）先判断直线斜率为正，然后设出直线方程，和椭圆方程联立，整理得根与系数的关系，利用直线方程求出点S 、T 的坐标，再根据,DS DO DT DO λμ==确定λμ， 的表达式，将根与系数的关系式代入化简，求得结果. (1)由题意可得：2222623a c e a a b c=⎧⎪⎪==⎨⎪=+⎪⎩解得：222954a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，所以椭圆C 的方程：22195x y+= (2)当直线l 的倾斜角θ为锐角时，设()()1122,,M x y N x y ，， 设直线():3,0l y kx k =->，由223195y kx x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩得22(59)54360k x kx +-+=，从而22(54)436(59)0k k ∆=-⨯⨯+>，又0k >，得23k >， 所以1212225436,9595k x x x x k k +==++， 又直线AM 的方程是：()1133y y x x =++，令0x =， 解得1133y y x =+，所以点S 为1130,3y x ⎛⎫⎪+⎝⎭； 直线AN 的方程是：()2233y y x x =++，同理点T 为2230,3y x ⎛⎫⎪+⎝⎭· 所以()1212330,3,0,3,0,333y y DS DT DO x x ⎛⎫⎛⎫=+=+= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭， 因为,DS DO DT DO λμ==，所以12123333,3333y y x x λμ+=+=++，所以()()()12121212121212122311833222333339kx x k x x y y kx kx x x x x x x x x λμ+-+---+=++=++=++++++++()222223654231181019595223654921399595k k k k k k k k k k k ⎛⎫⋅+-- ⎪+++⎝⎭=+=-⨯+++⎛⎫+⨯+ ⎪++⎝⎭()()2110101229911k k k +=-⨯+=-⨯+++． ∵23k >，∴4,23λμ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，综上，所以λμ+的范围是4,23⎛⎫⎪⎝⎭．变式1-2．已知抛物线2:4C x y =，过点()0,2P 的直线与x 轴交于点M ，与C 交于两点A ､B ､O 为坐标原点，直线BO 与直线()0y m m =->交于点N . (1)若直线AN 平行于y 轴.求m ； (2)设MA AP λ=､MB BP μ=，求λμ+. 【答案】(1)2m =； (2)1λμ+=- 【解析】 【分析】（1）由题意，设直线AB 的方程为2(0)y kx k =+≠，求得,M N 的坐标，再将直线与抛物线联立，由直线AN 平行于y 轴，可得124x x m =-，结合韦达定理即可求解. （2）利用向量的坐标运算即可求解. (1)由题意知直线AB 的斜率存在且不为0，设其方程为2(0)y kx k =+≠ 令0y =，解得2x k=-，故2,0M k ⎛⎫- ⎪⎝⎭设1122(,),(,)A x y B x y 联立224y kx x y=+⎧⎨=⎩，整理得2480x kx --= 其中216320k ∆=+>，124x x k +=，128x x =-，则120,0x x ≠≠直线BO 的方程为22222244x y x y x x x x x ===令y m =-，解得24m x x =-，则24,m N m x ⎛⎫-- ⎪⎝⎭若直线AN 平行于y 轴，则124mx x =-，即1248x x m =-=，解得2m =. (2)112,MA x y k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，11(,2)AP x y =--，222,MB x y k ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭，22(,2)BP x y =--若MA AP λ=，则11112,(,2)x y x y k λ⎛⎫+=-- ⎪⎝⎭，则112x x k λ+=-，即121kx λ=--同理可得221kx μ=--121212********* 1.8x x kk x x k x x k λμ⎛⎫+∴+=--⋅+=--⋅=--⋅=- ⎪-⎝⎭变式1-3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左顶点为A ，右焦点为F ，过点A 作倾斜角为30的直线与C 相交于A ，B ，且90∠=︒ABO ，其中O 为坐标原点．(1)求椭圆的离心率e ；(2)若1b =，过点F 作与直线AB 平行的直线l ，l 与椭圆C 相交于P ，Q 两点． ①求OP OQ k k ⋅的值；②点M 满足2OM OP =，直线MQ 与椭圆的另一个交点为N ，若NM NQ λ=，求λ的值． 【答案】(2)①15-；②38.【解析】 【分析】（1）根据,,602a OA a OB BOA ==∠=，求得点B 得到坐标，代入椭圆方程求解；（2）①易知椭圆方程为：2215x y +=，设直线方程为：2x =+，与椭圆方程联立22215x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，结合韦达定理，由1212OP OQ k y y x x k ⋅=⋅⋅求解；②设()33,N x y ，根据2OM OP =，得到11,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，由NM NQ λ=，得到()()()()31231212211221x x x y y y λλλλ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩，根据P ，Q ，N 在椭圆上，将点的在坐标代入椭圆方程化简求解. (1)解：由题意得：,,602aOA a OB BOA ==∠=，所以4a B ⎛- ⎝⎭，代入椭圆方程得2222311616a a a b +=，即225a b =，所以椭圆的离心率是c e a ==(2)①由（1）知：b =1, 25a =，则椭圆方程为：2215x y +=，设直线方程为：2x =+，与椭圆方程联立22215x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩，消去x得2810y +-=， 设()()1122,,,P x y Q x y ，则121218y y y y +=⋅=-，则)121222x x ⋅=++，)12125348y y y y =⋅+++=， 所以121215OP OQ y y k x x k ⋅==-⋅⋅；②设()33,N x y ，因为2OM OP =，所以11,22x y M ⎛⎫⎪⎝⎭，则()11332323,,,22xyNM x y NQ x x y y ⎛⎫=--=-- ⎪⎝⎭，因为NM NQ λ=，所以()()1323132322x x x x y y y y λλ⎧-=-⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩，则()()()()31231212211221x x x y y y λλλλ⎧=-⎪-⎪⎨⎪=-⎪-⎩，因为P ，Q ，N 在椭圆上，所以22222211223355,55,55x y x y x y +=+=+=，则()()()()2212122225254141x x y y λλλλ--+=--，即()()()2222221122121254545201x y x y x x y y λλλ+++-+=-，由①知121250x x y y +=，所以()221441λλ+=-，解得38λ=.典例2．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的左､右顶点分別为12,A A ，右焦点为F （1，0），且椭圆C的离心率为12，M ，N 为椭圆C 上任意两点，点P 的坐标为（4，t ）（t ≠0），且满足1122,AM MP A N NP λλ==. (1)求椭圆C 的方程； (2)证明：M ，F ，N 三点共线.【答案】(1)22143x y +=；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦点坐标及离心率求椭圆参数，写出椭圆方程即可.（2）设()()1122,,,M x y N x y ，由题设易知1,,A M P 共线，2,,A N P 共线，利用向量共线的坐标表示有()()22112222292x y y x +=-，再由M ，N 在椭圆上可得()12122580x x x x -++=，最后由11(1,)FM x y =-，22(1,)FN x y =-结合分析法证明结论.(1)椭圆C 的右焦点为(1,0)F ，且离心率为12， ∴a =2，c =1，则b 2=a 2-c 2=3，∴椭圆C 的方程为22143x y +=.(2)由（1）知，12,A A 的坐标分别为(2,0),(2,0)-，设()()1122,,,M x y N x y ，∴111(2,)AM x y =+，1(6,)A P t =，222(2,)A N x y =-，2(2,)A P t =， ∵11AM MP λ=，22A N NP λ=， ∴1,,A M P 三点共线，2,,A N P 三点共线，即()()11226222y t x y t x ⎧=+⎪⎨=-⎪⎩，整理得1122322y x y x +=-，两边平方得()()22112222292x y y x +=-，① 又M ，N 在椭圆上，则22112222334334y x y x ⎧=-⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，代入①并化简得()12122580x x x x -++=，又11(1,)FM x y =-，22(1,)FN x y =-，∴要证M ，F ，N 三点共线，只需证()()211211y x y x -=-，即112211y x y x -=-，只需证()112221321x x x x +-=--，整理得()12122580x x x x -++=， ∴M ，F ，N 三点共线. 【点睛】关键点点睛：第二问，设()()1122,,,M x y N x y ，由向量共线得1122322y x y x +=-，利用分析法结合向量共线的坐标表示只需证112211y x y x -=-，最后由M ，N 在椭圆上求证即可.变式2-1．设1F ，2F ，分别为椭圆C ：22221x ya b+=（1a b >>）的左、右焦点，过2F 的直线l 与椭圆C相交于A 、B 两点，直线l 的倾斜角为45，1F 到直线l的距离为 (1)求椭圆C 的焦距；(2)如果223AF F B =，求椭圆C 的方程． 【答案】(1)26c =(2)221189x y +=【解析】 【分析】（1）由题意可设直线l 的方程为y x c =-，再利用点到直线的距离公式即可求解.（2）由（1）可得3y x =-，联立方程222231y x x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩消x ，再由223AF F B =得出两交点纵坐标的关系，再结合韦达定理求解即可. (1)解：因为直线l 的倾斜角为45且过点2F ， 所以直线l 的方程为y x c =-，()1,0F c -到直线l的距离为=3c =，∴椭圆C 的焦距26c =.(2)由（1）可得y x c =-，设()11,A x y ，()22,B x y ，联立222231y x x y ab =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理可得()2222222690ab y b y b a b +++-=，解得212226b y y a b -+=+①，22212229b b a y y a b-=+②，因为223AF F B =，即()()11223,33,x y x y --=-，所以123y y -=③，由①③得22223b y a b =+，21229b y a b-=+④，将④代入②得22222222222939b b a b b a b a b a b --=⋅+++，整理得2222279b a a b--=+⑤，因为3c =，所以()22229a a c b -=--=-，代入⑤得2227a b +=，因为22a b 9-=，所以2218,9a b ==，故椭圆C 的方程为221189x y +=.变式2-2．已知E F 、是x 轴上的点，坐标原点O 为线段EF 的中点，G ，P 是坐标平面上的动点，点P 在线段FG 上，||10,|6|FG EF ==，1()02PE EG EG +⋅=.(1)求P 的轨迹C 的方程；(2)A 、B 为轨迹C 上任意两点，且(1)OE OA OB αα=+-，Ｍ为AB 的中点，求OEM △面积的最大值.【答案】(1)2212516x y +=；(2)95. 【解析】 【分析】(1)根据给定的向量关系可得10PE PF +=，再借助椭圆定义即可求解.(2)由已知可得直线AB 过点E ，设出直线AB 方程，与椭圆C 的方程联立求出点M 的纵坐标即可列式计算作答. (1)取EG 的中点为H ，如图，则12PE EG PH +=，由1()02PE EG EG +⋅=得：0PH EG ⋅=，则PH GE ⊥，于是得PH 是线段EG 的垂直平分线， 因此，PE PG =，10PE PF GF +==从而得P 点的轨迹是以点E ，F 为左右焦点，长轴长210a =的椭圆，而26c =，则22216b a c =-=， 所以P 的轨迹C 的方程为2212516x y +=.(2)(1)OE OA OB OA OB OB αααα=+-=+-，则()OE OB OA OB α-=-，即BE BA α=，因此， A 、B 、E 三点共线，而(3,0)E -，依题意，直线AB 不垂直于坐标轴，则设AB 所在直线方程为3(0)x my m =-≠， 由2231625400x my x y =-⎧⎨+=⎩消去x 并整理得：22(1625)962560m y my +--=，设1122(,),(,)A x y B x y ， 则122961625m y y m +=+，M 点的纵坐标为122My y y +==2481625m m +，于是得Δ21348||729|||25221625516|||||OEM M m S OE y m m m ==⋅==++，当且仅当2516||||m m =，即54m =±时取“=”， 所以OEM △面积的最大值为95.变式2-3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>P 在椭圆上.(1)求椭圆C 方程；(2)已知O 为坐标原点，A B 、为椭圆C 上非顶点的不同两点，且直线AB 不过原点，不垂直于坐标轴.在下面两个条件中任选一个作为已知：①直线OA 与直线OB 斜率之积OA OB k k ⋅为定值22b a-；②OAB的面积为定值12ab ，证明：存在常数0λ>，使得OA OB OM λ+=，且点M 在椭圆C 上，并求出λ的值.注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分.【答案】(1)22142x y +=(2)证明见解析，λ=【解析】 【分析】（1）根据离心率，将点代入椭圆方程，解得答案.（2）设直线方程，联立椭圆方程，根据韦达定理得到根与系数的关系，根据题目条件化简得到2221k m +=，根据向量关系计算M 点坐标，代入椭圆方程，计算得到答案.(1)依题意22222211a b c a b a c ⎧+=⎪⎪⎪⎨⎪=-⎪⎪⎩,解得2,a b ==22142x y +=.椭圆方程为22142x y +=. (2)设直线:AB l y kx m =+，由22142y kx m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得222(21)4240k x kmx m +++-=，2216(21)02m k ∆=+-=，22212m k +>，2121222424,2121km m x x x x k k --+==++，若选①：2212121212()()()y y kx m kx m k x x km x x m =++=+++222222222444212121m km m k k km m k k k ---=⋅+⋅+=+++，22222212222122441212424221OA OBm k y y m k b k k k m x x m a k --+⋅====-=---+. 整理得2221k m +=. 由OA OB OM λ+=得122114()21M kmx x x k λλ-=+=+，2121222111412()[()2](2)2121M k m my y y k x x m m k k λλλλ-=+=++=⋅+=⋅++，因为点M 在椭圆C 上，所以2222222222222224241412121(21)(21)2M M k m m k x y k m k λλλλ+⋅+⋅==+++==，λ= 若选②：1211||||||22OABS m x x m =-=△1||2m == 22222(42)(21)m k m k +-=+，整理得，22224(21)2(21)0k m k m +-++=，222(21)0k m +-=，2221k m +=.由OA OB OM λ+=得122114()21M kmx x x k λλ-=+=+2121222111412()[()2](2)2121M k m my y y k x x m m k k λλλλ-=+=++=⋅+=⋅++，因为点M 在椭圆C 上，所以2222222222222224241412121(21)(21)2M M k m m k x y k m k λλλλ+⋅+⋅==+++==，λ= 【点睛】本题考查了椭圆的标准方程，椭圆中的向量求参数问题，意在考查学生的计算能力和综合应用能力，本题计算量较大，需要学生扎实的计算功底和细心，需要平时多练习.巩固练习练习一 向量共线问题1．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的左、右焦点分别为1F ，2F ，B 为上顶点，2BF =O 到直线2BF (1)求椭圆的方程；(2)设斜率不为0的直线l 过点2F ，与椭圆交于M ，N 两点，若椭圆上一点P 满足263MN OP =，求直线l 的方程.【答案】(1)2212x y +=(2)10x y +-=或10x y --= 【解析】 【分析】（1）根据2BF =2BF 的距离可求,a b ，从而可求椭圆的方程.（2）设直线l 的方程为1x my =+，()11,M x y ，()22,N x y ，可用所设两点的坐标表示P ，联立直线方程和椭圆方程 ，消元后利用韦达定理结合P 在椭圆上可求直线的方程. (1)由题意得()2,0F c ，()0,B b ，因为2BF =2222b c a +==，由原点O 到直线2BF ：0bx cy bc +-=可得bc a =1b c ==， 所以椭圆的方程为2212x y +=.(2)因为直线l 的斜率不为0，且过点21,0F ，所以设直线l 的方程为1x my =+， 设点()11,M x y ，()22,N x y ，联立方程222201x y x my ⎧+-=⎨=+⎩，得()222210m y my ++-=，则12222m y y m +=-+，12212y y m =-+，因为263MN OP =，所以))2121P x x y y ⎫--⎪⎪⎝⎭， 将点P 的坐标代入椭圆方程得()()22212133+22088x x y y -⨯--=，而22221122220,220x y x y +-=+-=，整理得到1212223x x y y +=-，即()()()()2212121212122222122112212133223m my my y y m y y m y y y y m m m m --+++=-⇔++++=-⇔+⨯+⨯+=-++， 解得1m =±，所以直线l 的方程为10x y +-=或10x y --=.2．已知22Γ:12x y +=，12,F F 是其左右焦点，()(,0P m m <，直线l 过点P 交Γ于,A B 两点，A B 、在x 轴上方，且A 在线段BP 上，(1)若B 是上顶点，11BF PF =，求m ；(2)若1213F A F A ⋅=，且原点O 到直线l l ； (3)证明：对于任意m <，使得12//F A F B 的直线有且仅有一条.【答案】(1)1m =(2)3x y =(3)证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据椭圆方程确定1(1,0)F -，以及1||BF =11BF PF =，即可求得答案;（2）设,sin )A θθ，利用1213F A F A ⋅=结合向量的坐标运算，求得A 坐标，再利用原点O 到直线l （3）设直线l 的斜率为k ，取AB 中点C ，利用点差法求出k 与直线OC 的斜率之间的关系，即可证明结论. (1)由题意知：1(1,0)F - ,11||||BF PF=，因为1||BF因为1||PF 1m --所以1m =；(2)设,sin )A θθ，其中(cos 0)θ<， 因为1(21,sin )F A θθ=+，2(21,sin )F A θθ=-，所以222122cos 1sin cos F A F A θθθ⋅=-+=，所以21cos 3θ=，cos θ=，所以sinθ=故(A，则直线方程可以设为(y k x =， 又因为O 到直线l所以d所以231030k k -+=，得3k =或13k =，当3k =时，直线方程为3y x =m =>， 所以直线方程为3x y =.(3)设11(,)A x y ，22(,)B x y ，设直线l 的斜率为k ，连接1AF ，2BF ，取AB 中点C ，连接OC ，可知OC 为梯形12F F BA 的中位线， 因为12OC AF BF ∥∥，令121oc AFBF k k k k ===.由点差法得221122221212x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，得21122121()()()()02x x x x y y y y -+++-=，化简得211221211122c cx y y x x k x x y y y -+==-=--+，即11122c c xk yk =-=-，故当1k 确定时，也就只有唯一k 与1k 对应，故对任意m <.3．已知抛物线C ：24y x =的焦点为F ，过点F 的直线l 与抛物线C 交于P ，A 两点，且PF λFA =． (1)若λ＝1，求直线l 的方程；(2)设点E （a ，0），直线PE 与抛物线C 的另一个交点为B ，且PE EB μ=．若λ＝4μ，求a 的值. 【答案】(1)1x =； (2)4. 【解析】 【分析】（1）根据抛物线的对称性可以判断PA x ⊥轴，进而解出答案；（2）设出点的坐标和直线,PA PB 的方程，将直线方程代入抛物线方程并化简，进而根据平面向量间的关系及根与系数的关系得到,λμ间的关系. (1)由PF FA →→=，知焦点()1,0F 是PA 的中点，又抛物线C ：24y x =关于x 轴对称，所以PA x ⊥轴，所以直线l 的方程1x =.(2)设点()()000,0P x y y ≠，()()111,0A x y y ≠，由PF λFA →→=得01y y λ=-①， 设直线l ：1x my =+与抛物线C ：24y x =联立得2440y my --=，所以()21610m ∆=+>，014y y =-②， 由①②可得204y λ=，设点()22,B x y ，由PE EB μ→→=得02y y μ=-③，直线PB ：x ny a =+与抛物线C ：24y x =联立得2440y ny a --=，所以需要满足()2160n a ∆=+>，024y y a =-④，由③④可得204y aμ=，又4λμ=，所以2200444y y a=⋅，因为00y ≠，解得4a =，此时()()22161640n a n ∆=+=+>.所以a 的值为4. 【点睛】本题为压轴题，注意本题的突破口. 根据PF λFA→→=得到01y y λ=-之后会发现，本题应该涉及根与系数的关系，当得到204y λ=之后，应该确定了最终方向，即得到20,y μ间的关系，最后解决问题.4．已知()0,0M x ，()00,N y 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1MN=，若动点G 满足2OG OM ON =+，动点G 的轨迹为E . (1)求E 的方程；(2)已知不垂直于x 轴的直线l 与轨迹E 交于不同的A 、B两点，Q ⎫⎪⎪⎝⎭总满足AQO BQO ∠=∠，证明：直线l 过定点.【答案】(1)2214x y +=；(2)证明见解析. 【解析】 【分析】(1)根据平面向量的坐标运算可得002xx y y ==、，结合1MN=和两点坐标求距离公式可得22001x y +=，将002x x y y ==、代入计算即可；(2)设直线l 的方程为：y kx m =+、()()1122A x y B x y ，、，，联立椭圆方程并消去y ，根据韦达定理表示出1212+、x x x x ，利用两点求斜率公式求出AQ BQ k k 、，结合题意可得AQ BQ k k =-，列出关于k 和m 的方程，化简计算即可. (1)因为2OG OM ON =+，即0000(,)2(,0)(0,)(2,)x y x y x y =+=， 所以002x x y y ==，，则002x x y y ==，， 又1MN=，得22001x y +=，即22()12x y +=，所以动点G 的轨迹方程E 为：2214x y +=；(2) 由题意知，设直线l 的方程为：y kx m =+，()()1122A x y B x y ，，，， 则1122y kx m y kx m =+=+，，2214x y y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩，消去y ，得222(41)8440k x kmx m +++-=， 由22226416(41)(1)0k m k m ∆=-+->，得2241m k <+，21212228444141km m x x x x k k --+==++，， 直线AQ的斜率为AQ k =BQ的斜率为BQ k =又AQO BQO ∠=，所以AQ k =BQ k -=整理，得1212120y x x y y y +=，12122()()0kx x m x x ++=，2222228(1)80414141k m km k m k k k --+=+++， 由2410k +≠，化简得m =，所以(y kx k x ==，故直线过定点.5．设1F ，2F 分别是椭圆E ：()222210x y a b a b +=>>的左、右焦点，E()0,1是E 上一点.(1)求椭圆E 的方程；(2)过点1F 的直线l 交椭圆E 于A ，B 两点，且112BF F A =，求直线l 的方程.【答案】(1)2212x y +=(2)770x ++=或770x += 【解析】 【分析】(1)按照所给的条件带入椭圆方程以及e 的定义即可； （2）联立直线与椭圆方程，表达出112BF F A =，解方程即可. (1)由题意知，1b =，且22222212c a b e a a -===，解得22a =，1c = ，所以椭圆E 的方程为2212x y +=. (2)由题意知，直线AB 的斜率存在且不为0，故可设直线AB 的方程为1x my =-，设 ()11,A x y ，()22,B x y . 由221,21,x y x my ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩得()222210m y my +--=， 则12222m y y m +=+……①，12212y y m =-+……②， 因为()11,0F -，所以()1221,BF x y =---，()1111,F A x y =+， 由112BF F A =可得212y y -=……()()2221212212141222y y y m y y m y +--===-+- ③ 由①②③可得()()2221212212141222y y y m y y m y +--===-+-， 解得227m =，m =，所以直线l的方程为770x +=或770x +=，故答案为：2212x y +=，770x +=或770x +=.6．已知()11,0F -，()21,0F 是椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点．椭圆C过点⎛ ⎝⎭． (1)求椭圆C 的方程；(2)过点2F 的直线l （不过坐标原点）与椭圆C 交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，点B 在x 轴下方，若222BF F A =，求直线l 的斜率．【答案】(1)22165x y +=【解析】 【分析】（1）根据已知直接列方程组可得；（2）由已知得A 、B 坐标的关系，结合韦达定理可解. (1)由条件知222214513a b ab ⎧-=⎪⎨+=⎪⎩，解得2265a b ⎧=⎨=⎩，因此椭圆C 的方程为22165x y +=． (2)解法一：设()11,A x y ，()22,B x y ，则10y >，20y <，设直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆C 的方程消去x ，得()225610250m y my ++-=，由韦达定理得1221056m y y m -+=+，1222556y y m -=+，由222BF F A =，知2120y y +=，即212y y =-，代入上式得121056m y m =+，21225256y m =+，所以222102525656m m m ⎛⎫= ⎪++⎝⎭，解得m =结合图形知m l． 解法二：设()11,A x y ，()22,B x y ，则10y >，20y <，设直线l 的方程为1x my =+，代入椭圆C 的方程消去x ，得()225610250m y my ++-=，因此1y =，2y =222BF F A =，知2120y y +=，代入上式得(5250m m ---+=，解得m =m故直线l7．已知1F 、2F 是椭圆E ：()222210x ya b a b+=>>的左、右焦点，且椭圆E 经过点12M ⎫⎪⎭，又2MF x⊥轴.(1)求椭圆E 的方程；(2)经过点()0,2A 的直线l 与椭圆E 相交于点C ，D ，并且35AC AD =，求直线l 的方程.【答案】(1)2214x y +=(2)2y x =±+ 【解析】 【分析】（1）由条件可得c =212b a =，然后结合222a bc =+可解出答案；（2）设直线l 的方程为2y kx =+，它与椭圆E 交于()11,C x y 、()22,D x y ，联立直线与椭圆的方程消元，然后韦达定理可得12x x +，12x x ，然后由35AC AD =得1235x x =，然后可解出答案. (1)由2MF x ⊥轴，得c =又由椭圆的通径知212b a =，即22a b =，代入222a bc =+中，得4243b b =+，得()()221430b b -+=，得1b =，2a =，所以椭圆E 的方程为2214x y +=；(2)设直线l 的方程为2y kx =+，它与椭圆E 交于()11,C x y 、()22,D x y ， 联立直线与椭圆22244y kx x y =+⎧⎨+=⎩得：()221416120k x kx +++=，1221614k x x k +=-+①，1221214x x k =+②， 又由35AC AD =，得1235x x =③，将③代入①②得：221014kx k =-+④，2222014x k =+⑤， 再④将代入⑤并约分化简得：21k =，即1k =±，将1k =±代入（*）中得0>， 故这样的直线l 存在，且其方程为2y x =±+.8．曲线22:1C mx ny +=的左、右焦点分别为12,F F ，左、右顶点分别为12,A A ，C 上的点M 满足124MF MF +=，且直线12,MA MA 的斜率之积等于34-．(1)求C 的方程；(2)过点(4,0)-S 的直线l 交C 于A ，B 两点，若,==AS BS AT TB λλ，其中1λ<，证明：22∠=∠A TB TSO ． 【答案】(1)22143x y +=(2)证明见解析 【解析】 【分析】（1）由椭圆定义可得到14m =，再利用斜率公式及直线12,MA MA 的斜率之积等于34-，列出方程，化简对比系数可得；（2）分直线l 的斜率为0和不为0两种情况讨论，利用,==AS BS AT TB λλ可得到T 在定直线上，且该直线是2SA 的中垂线即可得到证明. (1)因为C 上的点M 满足124MF MF +=，所以C 表示焦点在x 轴上的椭圆，且24a =，即2a =，14m =， 所以12(2,0),(2,0)A A -，设00(,)M x y ，则220014x ny +=，① 所以直线1MA 的斜率1002MA y k x =+，直线1MA 的斜率2002MA y k x =-，由已知得1MA k 200003224MA y y k x x ⋅=⨯=-+-， 即22003412x y +=，②由①②得13n =，所以C 的方程为22143x y +=(2)当直线l 的斜率为0时，A 与1A 重合，B 与2A 重合，20A TB ∠=，0TSO ∠=，22∠=∠A TB TSO 成立.当直线l 的斜率不为0时，设l 的方程为4x py =-联立方程组221434x y x py ⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，消x 整理得22(34)24360p y py +-+=所以22(24)4(34)360p p ∆=--⨯+⨯>，解得2p >或2p <- 设1122(,),(,)A x y B x y ，则1222434p y y p +=+，1223634y y p =+ 由AS BS λ=，得12y y λ-=-，所以12y y λ= 设(,)t t T x y ，由AT TB λ=，得12()t t y y y y λ-=-，所以2121121122236222334241134t y y y y y p y y p y y p y p λλ⨯++=====++++，所以3441t t x py p p=-=⨯-=-， 所以点T 在直线1x =-上，且0t y ≠， 所以2TSA 是等腰三角形，且22TSA TA S ∠=∠， 所以22∠=∠A TB TSO ， 综上，22∠=∠A TB TSO【点睛】关键点点晴：本题第二问突破点是证明T 在定直线1x =-上，且该直线是2SA 的垂直平分线，从而得到22TSA TA S ∠=∠，考查学生的数学运算能力，转化化归思想.。