2018高考数学新课标3理科真题与答案
1.(2018年新课标Ⅲ理)已知集合A ＝{x |x －1≥0},B ＝{0,1,2},则A ∩B ＝( ) A .{0}
B .{1}
C .{1,2}
D .{0,1,2}
C 【解析】A ＝{x |x －1≥0}＝{x |x ≥1},则A ∩B ＝{x |x ≥1}∩{0,1,2}＝{1,2}.
2.(2018年新课标Ⅲ理)(1＋i)(2－i)＝( ) A .－3－i
B .－3＋i
C .3－i
D .3＋i
D 【解析】(1＋i)(2－i)＝2－i ＋2i －i 2＝3＋i .
3.(2018年新课标Ⅲ理)中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来.构件的凸出部分叫榫头,凹进部分叫卯眼,图中木构件右边的小长方体是榫头.若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是( )
A
B
C D
A 【解析】由题意可知木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体,小的长方体是榫头,从图形看出轮廓是长方形,内含一个长方形,且一条边重合,另外3边是虚线.故选A .
4.(2018年新课标Ⅲ理)若sin α＝1
3,则cos 2α＝( )
A .89
B .79
C .－79
D .－8
9
B 【解析】cos 2α＝1－2sin 2α＝1－2×19＝79
.
5.(2018年新课标Ⅲ理)????x 2＋2
x 5的展开式中x 4的系数为( ) A .10
B .20
C .40
D .80
C 【解析】????x 2＋2x 5的展开式的通项为T r +1＝C r 5(x 2)5－r ????2x r ＝2r C r 5x 10－3r .由10－3r ＝4,解得r ＝2.∴????x 2＋2x 5的展开式中x 4的系数为22C 25＝40.
6.(2018年新课标Ⅲ理)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴,y 轴交于A ,B 两点,点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上,则△ABP 面积的取值范围是( )
A .[2,6]
B .[4,8]
C .[2,32]
D .[22,32]
A 【解析】易得A (－2,0),
B (0,－2),|AB |＝22.圆的圆心为(2,0),半径r ＝2.圆心(2,0)到直线x ＋y ＋2＝0的距离d ＝
|2＋0＋2|
12＋12
＝22,∴点P 到直线x ＋y ＋2＝0的距离h 的取值范围为[22－r ,22＋r ],即[2,32].又△ABP 的面积S ＝1
2|AB |·h ＝2h ,∴S 的取值范围是
[2,6].
7.(2018年新课标Ⅲ理)函数y ＝－x 4＋x 2＋2的图象大致为( )
A B
C D
D 【解析】函数过定点(0,2),排除A ,B ；函数的导数y ′＝－4x 3＋2x ＝－2x (2x 2－1),由y ′＞0解得x ＜－22或0＜x ＜2
2
,此时函数单调递增,排除C .故选D .
8.(2018年新课标Ⅲ理)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,各成员的支付方式相互独立.设X 为该群体的10位成员中使用移动支付的人数,DX ＝2.4,P (X ＝4)＜P (X ＝6),
则p ＝( ) A .0.7
B .0.6
C .0.4
D .0.3
B 【解析】某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p ,为独立重复事件,满足X ～B (10,p ).由P (X ＝4)＜P (X ＝6),可得
C 410p 4(1－p )6＜C 610p 6(1－p )4
,解得p ＞12.因为DX ＝2.4,所以10p (1－p )＝2.4,解得p ＝0.6或p ＝0.4(舍去).
9.(2018年新课标Ⅲ理)△ABC 的内角A ,B ,C 的对边分别为a ,b ,c .若△ABC 的面积为a 2＋b 2－c 2
4,则C ＝( ) A .π2 B .π3
C .π
4
D .π
6
C 【解析】S △ABC ＝1
2ab sin C ＝a 2＋b 2－c 24,则sin C ＝a 2＋b 2－c 22bc ＝cos C .因为0＜C ＜π,所以
C ＝π
4.
10.(2018年新课标Ⅲ理)设A ,B ,C ,D 是同一个半径为4的球的球面上四点,△ABC 为等边三角形且面积为93,则三棱锥D -ABC 体积的最大值为( ) A .12 3 B .18 3 C .24 3
D .54 3 B 【解析】由△ABC 为等边三角形且面积为93,得S △ABC ＝
3
4
·|AB |2＝93,解得AB ＝6.设半径为4的球的球心为O ,△ABC 的外心为O ′,显然D 在O ′O 的延长线与球的交点处(如图).O ′C ＝23×3
2×6＝23,OO ′＝42－(23)2＝2,则三棱锥D -ABC 高的最大值为6,则三棱
锥D -ABC 体积的最大值为13×3
4
×63＝183.
11.(2018年新课标Ⅲ理)设F 1,F 2是双曲线C :x 2a 2－y 2
b 2＝1(a >0,b >0)的左,右焦点,O 是坐标原点.
过F 2作C 的一条渐近线的垂线,垂足为P ,若|PF 1|＝6|OP |,则C 的离心率为( )
A . 5
B .2
C . 3
D . 2
C 【解析】双曲线C 的一条渐近线方程为y ＝b a x ,∴点F 2到渐近线的距离d ＝bc
a 2＋
b 2＝b ,
即|PF 2|＝b ,∴|OP |＝|OF 2|2－|PF 2|2＝c 2－b 2＝a ,cos ∠PF 2O ＝b
c .∵|PF 1|＝6|OP |,∴|PF 1|
＝6a .△F 1PF 2中,由余弦定理得|PF 1|2＝|PF 2|2＋|F 1F 2|2－2|PF 2|·|F 1F 2|cos ∠PF 2O ,即6a 2＝b 2＋4c 2－2×b ×2c ×b c ＝4c 2－3b 2＝4c 2－3(c 2－a 2),化简得3a 2＝c 2,∴e ＝c
a
＝c 2
a 2
＝3.
12.(2018年新课标Ⅲ理)设a ＝log 0.20.3,b ＝log 20.3,则( ) A .a ＋b ＜ab ＜0
B .ab ＜a ＋b ＜0
C .a ＋b ＜0＜ab
D .ab ＜0＜a ＋b
B 【解析】∵a ＝log 0.20.3＝
lg 0.3－lg 5
,b ＝log 20.3＝lg 0.3lg 2,∴a ＋b ＝lg 0.3lg 2－lg 0.3
lg 5＝
lg 0.3(lg 5－lg 2)lg 2·lg 5＝lg 0.3·lg 52lg 2·lg 5,ab ＝－lg 0.3lg 2·lg 0.3lg 5＝lg 0.3·lg
10
3lg 2·lg 5.∵lg 103＞lg 52,
lg 0.3
lg 2·lg 5＜0,∴ab ＜a ＋b ＜0.故选B .
13.(2018年新课标Ⅲ理)已知向量a ＝(1,2),b ＝(2,－2),c ＝(1,λ).若c ∥(2a ＋b ),则λ＝________.
12 【解析】(2a ＋b )＝2(1,2)＋(2,－2)＝(4,2),由c ∥(2a ＋b ),得14＝λ2,解得λ＝1
2.
14.(2018年新课标Ⅲ理)曲线y ＝(ax ＋1)e x 在点(0,1)处的切线的斜率为－2,则a ＝________. －3 【解析】由y ＝(ax ＋1)e x ,可得y ′＝a e x ＋(ax ＋1)e x .∵y ′|x ＝0＝a ＋1,∴a ＋1＝－2,解得a ＝－3.
15.(2018年新课标Ⅲ理)函数f (x )＝cos ?
???3x ＋π
6在[0,π]的零点个数为________. 3 【解析】令f (x )＝cos ????3x ＋π6＝0,得3x ＋π6＝π2＋k π(k ∈Z ),解得x ＝π9＋k π
3(k ∈Z ).当k ＝0时,x ＝π9；当k ＝1时,x ＝4π9；当k ＝2时,x ＝7π9；当k ＝3时,x ＝10π9.∵x ∈[0,π],∴x ＝π
9,或x
＝4π9,或x ＝7π
9.∴f (x )的零点的个数为3.
16.(2018年新课标Ⅲ理)已知点M (－1,1)和抛物线C :y 2＝4x ,过C 的焦点且斜率为k 的直线与C 交于A ,B 两点.若∠AMB ＝90°,则k ＝________.
2 【解析】∵抛物线的焦点为F (1,0),∴过A ,B 两点的直线方程为y ＝k (x －1).联立
?
????y 2＝4x ，y ＝k (x －1)，化简得k 2x 2－2(2＋k 2)x ＋k 2＝0.设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),则x 1＋x 2＝4＋2k 2
k 2,x 1x 2＝
1.∴y 1＋y 2＝k (x 1＋x 2－2)＝4
k ,y 1y 2＝k 2(x 1－1)(x 2－1)＝k 2[x 1x 2－(x 1＋x 2)＋1]＝－4.∵M (－
1,1),∴MA →＝(x 1＋1,y 1－1),MB →＝(x 2＋1,y 2－1).∵∠AMB ＝90°＝0,∴MA →·MB →
＝0,即(x 1＋1)(x 2＋1)＋(y 1－1)(y 2－1)＝0,整理得x 1x 2＋(x 1＋x 2)＋y 1y 2－(y 1＋y 2)＋2＝0,∴1＋2＋4
k 2－4－
4
k ＋2＝0,即k 2－4k ＋4＝0,解得k ＝2.
17.(2018年新课标Ⅲ理)等比数列{a n }中,a 1＝1,a 5＝4a 3. （1）求{a n }的通项公式；
（2）记S n 为{a n }的前n 项和.若S m ＝63,求m . 【解析】（1）设等比数列{a n }的公比为q .
由a 1＝1,a 5＝4a 3,得1×q 4＝4×(1×q 2),解得q ＝±2. 当q ＝2时,a n ＝2n －
1； 当q ＝－2时,a n ＝(－2)n －
1.
（2）当q ＝－2时,S n ＝1×[1－(－2)n ]1－(－2)＝1－(－2)n 3.由S m ＝63,得1－(－2)m
3＝63,m ∈N ,无解；
当q ＝2时,S n ＝1×(1－2n )1－2＝2n
－1.由S m ＝63,得2m －1＝63,解得m ＝6.
18.(2018年新课标Ⅲ理)某工厂为提高生产效率,开展技术创新活动,提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率,选取40名工人,将他们随机分成两组,每组20人.第一组工人用第一种生产方式,第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间(单位:min)绘制了如下茎叶图:
（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高?并说明理由；
（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数m ,并将完成生产任务所需时间超过m 和不超过m 的工人数填入下面的列联表:
超过m 不超过m
第一种生产方式 第二种生产方式
（3）根据（2）中的列联表,能否有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异? 附:K 2＝
n (ad －bc )2
(a ＋b )(c ＋d )(a ＋c )(b ＋d )
P (K 2≥k )
0.050 0.010 0.001 k
3.841
6.635
10.828
【解析】（1）根据茎叶图中的数据知第一种生产方式的工作时间主要集中在72～92之间,第二种生产方式的工作时间主要集中在65～85之间, ∴第二种生产方式的工作时间较少,效率更高.
（2）这40名工人完成生产任务所需时间按从小到大的顺序排列后,排在中间的两个数据是79和81,m ＝79＋81
2＝80.
由此填写列联表如下:
超过m 不超过m
总计 第一种生产方式 15 5 20 第二种生产方式
5 15 20 总计
20
20
40
（3）K 2＝
40(15×15－5×5)2
20×20×20×20
＝10＞6.635,
∴有99%的把握认为两种生产方式的效率有差异.
19.(2018年新课标Ⅲ文)如图,边长为2的正方形ABCD 所在的平面与半圆弧⌒
CD 所在平面垂
直,M 是⌒
CD 上异于C ,D 的点. （1）求证:平面AMD ⊥平面BMC ；
（2）当三棱锥M ﹣ABC 体积最大时,求面MAB 与面MCD 所成二面角的正弦值.
【解析】（1）证明:在半圆中,DM ⊥MC .
∵正方形ABCD 所在的平面与半圆弧⌒
CD 所在平面垂直,∴AD ⊥平面DCM . 又MC ?平面DCM ,∴AD ⊥MC . 又AD ∩DM ＝D ,∴MC ⊥平面ADM . ∵MC ?平面MBC ,∴平面AMD ⊥平面BMC .
（2）∵△ABC 的面积为定值,∴要使三棱锥M ﹣ABC 体积最大,则三棱锥的高最大,此时M 为圆弧的中点.
以O 为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系.
∵正方形ABCD 的边长为2,∴A (2,－1,0),B (2,1,0),M (0,0,1),则平面MCD 的一个法向量为m ＝(1,0,0).
设平面MAB 的一个法向量为n ＝(x ,y ,z ),则AB →＝(0,2,0),AM →
＝(－2,1,1). ∴?????n ·AB →＝2y ＝0，
n ·AM →＝－2x ＋y ＋z ＝0.
令x ＝1,则y ＝0,z ＝2,∴n ＝(1,0,2). ∴cos 〈m ,n 〉＝m ·n |m |·|n |＝11×5＝5
5
.
设面MAB 与面MCD 所成的二面角为α,则sin α＝
1－??
?
?552＝255.
20.(2018年新课标Ⅲ文)已知斜率为k 的直线l 与椭圆C :x 24＋y 2
3＝1交于A ,B 两点,线段AB
的中点为M (1,m )(m ＞0). （1）求证:k ＜－1
2
；
（2）设F 为C 的右焦点,P 为C 上一点,且FP →＋F A →＋FB →＝0,求证:|F A →|,|FP →|,|FB →
|成等差数列,并求该数列的公差.
【解析】（1）设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2).
∵线段AB 的中点为M (1,m ),∴x 1＋x 2＝2,y 1＋y 2＝2m . 将A (x 1,y 1),B (x 2,y 2)代入x 24＋y 2
3
＝1中,
化简得3(x 1＋x 2)(x 1－x 2)＋4(y 1＋y 2)(y 1－y 2)＝0,即6(x 1－x 2)＋8m (y 1－y 2)＝0, ∴k ＝y 1－y 2x 1－x 2
＝－68m ＝－34m .
点M (1,m )在椭圆内,即14＋m 23＜1(m ＞0),解得0＜m ＜3
2.
∴k ＝－34m ＜－1
2
.
（2）证明:设(x 3,y 3),可得x 1＋x 2＝2.
∵FP →＋F A →＋FB →
＝0,F (1,0),∴x 1－1＋x 2－1＋x 3－1＝0,y 1＋y 2＋y 3＝0. ∴x 3＝1,y 3＝－(y 1＋y 2)＝－2m . ∵m ＞0,∴P 在第四象限.
∴y 3＝－32,m ＝3
4
,k ＝－1.
∵|F A |＝2－12x 1,|FB |＝2－12x 2,|FP |＝2－12x 3＝3
2,
则|F A |＋|FB |＝4－1
2(x 1＋x 2)＝3.
∴2|FP →|＝|F A →|＋|FB →|.
联立???y ＝－x ＋7
4
，
x 2
4＋y
2
3＝1，
化简得28x 2
－56x ＋1＝0.
∴x 1＋x 2＝2,x 1x 2＝1
28
.
∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2＝321
7
.
∴该数列的公差d 满足2d ＝±12|x 1－x 2|＝±321
14.
∴该数列的公差为±321
28
.
21.(2018年新课标Ⅲ理)已知函数f (x )＝(2＋x ＋ax 2)ln(1＋x )－2x . （1）若a ＝0,求证:当－1＜x ＜0时,f (x )＜0；当x ＞0时,f (x )＞0； （2）若x ＝0是f (x )的极大值点,求a .
【解析】（1）证明:当a ＝0时,f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x (x ＞－1),则f ′(x )＝ln(1＋x )－x
1＋x .
令g (x )＝f ′(x )＝ln(1＋x )－x 1＋x ,则g ′(x )＝x
(1＋x )2.
当x ∈(－1,0)时,g ′(x )≤0；当x ∈(0,＋∞)时,g ′(x )≥0. ∴f ′(x )在(－1,0)递减,在(0,＋∞)递增. ∴f ′(x )≥f ′(0)＝0.
∴f (x )＝(2＋x )ln(1＋x )－2x 在(－1,＋∞)上单调递增. 又f (0)＝0,∴当－1＜x ＜0时,f (x )＜0；当x ＞0时,f (x )＞0. （2）由f (x )＝(2＋x ＋ax 2)ln(1＋x )－2x ,
得f ′(x )＝(1＋2ax )ln(1＋x )＋2＋x ＋ax 21＋x －2＝ax 2－x ＋(1＋2ax )(1＋x )ln(1＋x )
1＋x .
令h (x )＝ax 2－x ＋(1＋2ax )(1＋x )ln(1＋x ), 则h ′(x )＝4ax ＋(4ax ＋2a ＋1)ln(1＋x ).
当a ≥0,x ＞0时,h ′(x )＞0,h (x )单调递增. ∴h (x )＞h (0)＝0,即f ′(x )＞0.
∴f (x )在(0,＋∞)上单调递增,∴x ＝0不是f (x )的极大值点,不合题意. 当a ＜0时,令u (x )＝h ′(x )＝4ax ＋(4ax ＋2a ＋1)ln(1＋x ), 则u ′(x )＝8a ＋4a ln(1＋x )＋1－2a
1＋x ,显然u ′(x )单调递减.
①令u ′(x )＝0,解得a ＝－1
6
.
∴当－1＜x ＜0时,u ′(x )＞0；当x ＞0时,u ′(x )＜0. ∴h ′(x )在(－1,0)上单调递增,在(0,＋∞)上单调递减. ∴h ′(x )≤h ′(0)＝0,则h (x )在(0,＋∞)上单调递减.
又h (0)＝0,∴当－1＜x ＜0时,h (x )＞0,即f ′(x )＞0；当x ＞0时,h (x )＜0,即f ′(x )＜0. ∴f (x )在(－1,0)上单调递增,在(0,＋∞)上单调递减. ∴x ＝0是f (x )的极大值点,符合题意.
②若－16＜a ＜0,则u ′(x )＝1＋6a ＞0,u ′???
?e －1＋
6a 4a －1＝(2a －1)(1－e 1＋6a 4a )＜0,
∴u ′(x )＝0在(0,＋∞)上有唯一一个零点,设为x 0.
∴当0＜x ＜x 0时,u ′(x )＞0,h ′(x )单调递增,h ′(x )＞h ′(0)＝0,即f ′(x )＞0. ∴f (x )在(0,x 0)上单调递增,不合题意；
③若a ＜－16,则u ′(x )＝1＋6a ＜0,u ′????1e 2－1＝(1－2a )e 2＞0, ∴u ′(x )＝0在(－1,0)上有唯一一个零点,设为x 1.
∴当x 1＜x ＜0时,u ′(x )＜0,h ′(x )单调递减,h ′(x )＞h ′(0)＝0,h (x )单调递增,h (x )＜h (0)＝0,即f ′(x )＜0.
∴f (x )在(x 1,0)上单调递减,不合题意. 综上,a ＝－16.
22.(2018年新课标Ⅲ理)在平面直角坐标系xOy 中,⊙O 的参数方程为?????x ＝cos θ，
y ＝sin θ
(θ为参数),
过点(0,－2)且倾斜角为α的直线l 与⊙O 交于A ,B 两点. （1）求α的取值范围；
（2）求AB 中点P 的轨迹的参数方程.
【解析】（1）将⊙O 的参数方程化为普通方程,得为x 2＋y 2＝1,圆心为O (0,0),半径r ＝1. 当α＝π
2时,过点(0,－2)且倾斜角为α的直线l 的方程为x ＝0,成立；
当α≠π
2时,过点(0,－2)且倾斜角为α的直线l 的方程为y ＝tan α·x ＋2.
∵直线l 与⊙O 交于A ,B 两点,∴圆心O (0,0)到直线l 的距离d ＝|2|
1＋tan 2α
＜1.
∴tan 2α＞1,解得tan α＞1或tan α＜－1. ∴π4＜α＜π2或π2＜α＜3π4. 综上,α的取值范围为????π4，3π4.
（2）由（1）知直线l 的斜率不为0,设直线l 的方程为x ＝m (y ＋2). 设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),P (x 3,y 3).
联立???x ＝m (y ＋2)，x 2＋y 2＝1，
化简得(m 2＋1)y 2＋22m 2y ＋2m 2－1＝0.
∴y 1＋y 2＝－22m 2
m 2＋1,y 1y 2＝2m 2－1m 2＋1
.
∴x 1＋x 2＝m (y 1＋2)＋m (y 2＋2)＝－22m 3
m 2＋1＋22m ,
x 3＝x 1＋x 22＝2m m 2＋1,y 3＝y 1＋y 22＝2m 2m 2＋1
.
∴AB 中点P 的轨迹的参数方程为?????x ＝2m
m 2
＋1，
y ＝2m 2m 2
＋1
(m 为参数),(－1＜m ＜1).
23.(2018年新课标Ⅲ理)设函数f (x )＝|2x ＋1|＋|x －1|. （1）画出y ＝f (x )的图象；
（2）当x ∈[0,＋∞)时,f (x )≤ax ＋b ,求a ＋b 的最小值.
【解析】（1）当x ≤－1
2
时,f (x )＝－(2x ＋1)－(x －1)＝－3x ；
当－1
2＜x ＜1,f (x )＝(2x ＋1)－(x －1)＝x ＋2；
当x ≥1时,f (x )＝(2x ＋1)＋(x －1)＝3x .
∴f (x )＝????
?－3x ，x ≤－12
，
x ＋2，－12
＜x ＜1，
3x ，x ≥1.
对应的图象如图所示.
（2）当x ∈[0,＋∞)时,f (x )≤ax ＋b . 当x ＝0时,f (0)＝2≤0·a ＋b ,∴b ≥2；
当x ＞0时,要使f (x )≤ax ＋b 恒成立,则f (x )的图象恒在直线y ＝ax ＋b 的下方或在直线上. ∵f (x )的图象与y 轴的交点的纵坐标为2,且各部分直线的斜率的最大值为3,
∴当且仅当a≥3且b≥2时,不等式f(x)≤ax＋b在[0,＋∞)上成立,∴a＋b的最小值为5.