2020届高考数学(理)课标版二轮课件：重难考点专题四第2讲 概率、离散型随机变量及其分布
解析 (1)由题意知,X所有可能取值为200,300,500,由表格数据知,
P(X=200)= 2 16=0.2,P(X=300)= 36=0.4,P(X=500)= 25 7 4=0.4.
90
90
90
因此X的分布列为
X
200
300
500
P
0.2
0.4
0.4
(2)由题意知,这种酸奶一天的需求量至多为500瓶,至少为200瓶,因此只需考
A.p1=p2 B.p1=p3 C.p2=p3 D.p1=p2+p3
答案 A 不妨设BC=5,AB=4,AC=3,则△ABC三边所围成的区域Ⅰ的面积S1
=
1 2
×3×4=6,区域Ⅲ的面积S3=
π 2
×
5 2
2
-S1=
25π 8
-6,区域Ⅱ的面积S2=
π 2
×22+
π 2
×
3 2
画出不等
式组表示的平面区域如图中阴影部分(梯形OABD)所示,易得D(1,4),所以 S = 梯形OABD 1 ×(4+3)×4=14,正方形OABC的面积S=4×4=16,所以函数f(x)在[2,+∞)上
2 14 7
单调递增的概率P=16 = 8 ,故选D.
考点二 相互独立事件和独立重复试验
1.(2019课标全国Ⅰ,15,5分)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一
1.(2019山东济南模拟)2019年1月1日,济南轨道交通1号线试运行,济南轨道交
通集团面向广大市民开展“参观体验,征求意见”活动.市民可以通过济南地
铁APP抢票,小陈抢到了三张体验票,准备从四位朋友小王、小张、小刘、小
李中随机选择两位与自己一起去参加体验活动,则小王和小李至多有一人被
选中的概率为 ( D )
数的和”,如30=7+23.在不超过30的素数中,随机选取两个不同的数,其和等
于30的概率是 ( C )
A. 1
12
B. 1
14
C. 1
15
D. 1
18
答案 C 不超过30的素数有2,3,5,7,11,13,17,19,23,29,共10个,从这10个素数 中随机选取两个不同的数,有C120=45种情况,其和等于30的情况有3种,则所求 概率等于 3 = 1 .故选C.
解析 (1)设事件A={抽出的3人中至少有1人是“很幸福”的},则 A表示{3人
都认为不是很幸福},
所以P(A)=1-P(
A)=1-
C36 C138
=1-
5 204
=
199 204
.
(2)样本中,幸福度为“很幸福”的概率为12 = 2 .
18 3
根据题意知,随机变量X~B
3,
2 3
,X的所有可能取值为0,1,2,3.
在[2,+∞)上单调递增的概率为 ( D )
A.1 B. 3 C.5 D. 7
8
8
8
8
答案 D 当a=0时, f(x)=-bx+1在[2,+∞)上不可能单调递增.当a≠0时,由已知
0 a 4,
及二次函数的单调性知-
-b 2a
≤2,即b≤4a,所以由题意可得0
b
b 4a,
4,
为事件A2,恰转动3次中奖为事件A3.每次抽奖相互独立,每次抽奖中奖的概率
均为1 ,
3
∴P(A)=P(A1)+P(A2)+P(A3)=
1+
3
2×
3
1+
3
2×
3
2×
3
1=
3
19 ,故选D.
27
2.(2019东北四市联合体模拟)若8件产品中包含6件一等品,在其中任取2件,则
在已知取出的2件产品中有1件不是一等品的条件下,另1件是一等品的概率
答案 B 由题意知X~B(10,p),则DX=10×p×(1-p)=2.4,解得p=0.4或0.6.∵P(X =4)<P(X=6),即 C140p4(1-p)6< C160p6(1-p)4⇒(1-p)2<p2⇒p>0.5,∴p=0.6,故选B.
2.(2017课标全国Ⅲ,18,12分)某超市计划按月订购一种酸奶,每天进货量相同, 进货成本每瓶4元,售价每瓶6元,未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当 天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:℃)有 关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间[20,25),需 求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶.为了确定六月份的订购 计划,统计了前三年六月份各天的最高气温数据,得下面的频数分布表:
1 27
+1×
2 9
+2×
4 9
+3×
8 27
=2.
或E(X
)
3
2 3
2
考点三 随机变量的分布列、均值与方差
命题角度一 随机变量的均值与方差 1.(2018课标全国Ⅲ,8,5分)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p, 各成员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人 数,DX=2.4,P(X=4)<P(X=6),则p= ( B ) A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3
P(X=0)=
C30
1 3
3=
1 27
,
P(X=1)=
C13×
2 3
×
1 3
2
=
2 9
,
P(X=2)=
C32×
2 3
2
×
1 3
=
4 9
,
P(X=3)=
C33
2 3
3=
8 27
,
所以随机变量X的分布列为
X
0
1
2
3
1
2
4
8
P
27
9
9
27
所以X的期望E(X)=0×
=C12
×0.6×0.4×0.52=2×3
5
×2
5
×1
4
=3
25
;第二类:第1场、第2场甲胜,第3场、第4场
中甲胜1场,则P2=0.62×C12
×0.5×0.5=
3 5
2
×2×
1 4
=9
50
,所以甲队以4∶1获胜的概率
为P=
3 25
9 50
×0.6=0.18.
2.(2019课标全国Ⅱ,18,12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成 10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两 位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的 概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打 了X个球该局比赛结束. (1)求P(X=2); (2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
总结提升 求相互独立事件的概率的两种方法 (1)直接法:正确分析复杂事件的构成,将复杂事件转化为几个彼此互斥的事 件的和事件或几个相互独立事件同时发生的积事件或独立重复试验问题,然 后用相应概率公式求解. (2)间接法:当复杂事件正面情况较多,反面情况较少时,可利用其对立事件进 行求解.“至少”“至多”等问题往往也用这种方法求解.
=
7 13
=
12 13
.
3.(2019山西运城二模,18)每年3月20日是国际幸福日,某电视台随机调查某一 社区人们的幸福度.现从该社区群众中随机抽取18人,用“10分制”记录了他 们的幸福度指数,结果如茎叶图所示,其中以小数点前的一位数字为茎,小数 点后的一位数字为叶.若幸福度不低于8.5分,则称该人的幸福度为“很幸福”. (1)求从这18人中随机选取3人,至少有1人是“很幸福”的概率; (2)以这18人的样本数据来估计整个社区的总体数据,若从该社区(人数很多) 任选3人,记X表示抽到“很幸福”的人数,求X的分布列及E(X).
解析 (1)X=2就是10∶10平后,两人又打了2个球该局比赛结束,则这2个球均 由甲得分,或者均由乙得分.因此P(X=2)=0.5×0.4+(1-0.5)×(1-0.4)=0.5. (2)X=4且甲获胜,就是10∶10平后,两人又打了4个球该局比赛结束,且这4个 球的得分情况为:前两球是甲、乙各得1分,后两球均为甲得分. 因此所求概率为[0.5×(1-0.4)+(1-0.5)×0.4]×0.5×0.4=0.1.
为
.
答案 12
13
解析 设事件“从8件产品中取出的2件产品中有1件不是一等品”为A,事件
“从8件产品中取出的2件产品中有1件是一等品”为B,则P(A)=
C12C16 C82
C22
=
3
13 28
,P(AB)=
C16C12 C82
=
12 28
=
3 7
,所以另1件是一等品的概率为P(B|A)=
P(AB) P(A)
第2讲 概率、离散型随机变量及其 分布
总纲目录
考点一 古典概型与几何概型 考点二 相互独立事件和独立重复试验 考点三 随机变量的分布列、均值与方差
考点一 古典概型与几何概型
1.(2018课标全国Ⅱ,8,5分)我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得
了世界领先的成果.哥德巴赫猜想是“每个大于2的偶数可以表示为两个素
2
-
25π 8
-6
=6,所以S1=S2>S3,由几何概型的概率公式可知p1=p2>p3,故选A.
2020新课标高考数学(理)二轮总复习课件：1-4-2 概率及随机变量分布列
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
3．离散型随机变量的分布列 (1)设离散型随机变量 ξ 可能取的值为 x1，x2，…，xi，…，ξ 取每一个值 xi 的概率 为 P(ξ＝xi)＝pi，则称表：
ξ x1 x2 x3 … xi … P p1 p2 p3 … pi … 为离散型随机变量 ξ 的分布列．
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
＝0.6×0.52×(1－0.4)＋(1－0.6)×0.52×0.4＋(1－0.6)×2×0.52×(1－0.4)＝0.25， (8 分) P(X＝4)＝P(A2·B·C)＝P(A2)P(B)P(C)＝0.52×0.6×0.4＝0.06，(9 分) P(X＝3)＝P(D)－P(X＝4)＝0.25，(10 分) P(X＝2)＝1－P(X＝0)－P(X＝1)－P(X＝3)－P(X＝4) ＝1－0.06－0.25－0.25－0.06＝0.38，(11 分) 数学期望 E(X)＝0×P(X＝0)＋1×P(X＝1)＋2×P(X＝2)＋3×P(X＝3)＋4×P(X＝ 4) ＝0.25＋2×0.38＋3×0.25＋4×0.06＝2. (12 分)
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新课标高考第二轮总复习•理科数学
1．(2019·高考北京卷)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，
移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月 A，B 两种移动支付方
2020届高考数学(理)课标版二轮课件：重难考点专题四第2讲 概率、离散型随机变量及其分布
画出不等
式组表示的平面区域如图中阴影部分(梯形OABD)所示,易得D(1,4),所以 S = 梯形OABD 1 ×(4+3)×4=14,正方形OABC的面积S=4×4=16,所以函数f(x)在[2,+∞)上
2 14 7
单调递增的概率P=16 = 8 ,故选D.
考点二 相互独立事件和独立重复试验
1.(2019课标全国Ⅰ,15,5分)甲、乙两队进行篮球决赛,采取七场四胜制(当一
=C12
×0.6×0.4×0.52=2×3
5
×2
5
×1
4
=3
25
;第二类:第1场、第2场甲胜,第3场、第4场
中甲胜1场,则P2=0.62×C12
×0.5×0.5=
3 5
2
×2×
1 4
=9
50
,所以甲队以4∶1获胜的概率
为P=
3 25
9 50
×0.6=0.18.
2.(2019课标全国Ⅱ,18,12分)11分制乒乓球比赛,每赢一球得1分,当某局打成 10∶10平后,每球交换发球权,先多得2分的一方获胜,该局比赛结束.甲、乙两 位同学进行单打比赛,假设甲发球时甲得分的概率为0.5,乙发球时甲得分的 概率为0.4,各球的结果相互独立.在某局双方10∶10平后,甲先发球,两人又打 了X个球该局比赛结束. (1)求P(X=2); (2)求事件“X=4且甲获胜”的概率.
1 27
+1×
2 9
+2×
4 9
+3×
8 27
=2.
或E(X
)
3
2 3
2
考点三 随机变量的分布列、均值与方差
2020最新高考数学概率课件新人教版ppt--高中数学
些小球除标注的数字外完全相同，现从中随3/机1取0 出2个小球，
则取出的小球标注的数字之和为3或6的概率是__________
。
4/9
（2）：已知关于x的一元二次函数f(x)=ax2-4bx+1设集合P={-1，
1，2，3，4，5} Q={-2,-1,1,2,3,4},分别从集合P和Q中随机
取一个数作为a和b求函数y=f(x)在区间[1, +∞)上是增函数
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例3：已知关于的一元二次方程x2-2(a-2)x-b2+16. （Ⅰ）若a,b是一枚骰子掷两次所得到的点数，求方程 有两正根的概率； （Ⅱ）若a∈[2,6]， b∈[0,4]求方程没有实根的概率.
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巩固练习
(1)在一个袋子中装有标注数字1、2、3、4、5的五个小球，这
的概率
频率/组距
(3)某校从参加高二学业水平测试0.0的30 学生中抽取 80名学生，其数
0.025
学 成 绩 均 为 整 数 的 频 率 分 布0直.020方 图 如 图 所 示 ( 1 ) 估 计 这 次 测
0.015
试数学成绩的平均分（2）假0.01设0 在[90，100]学生的成绩都
0.005
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2020年第二轮专题
概率复习课
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知识结构
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例题讲解
例1:现有8名志愿者中有3人通晓日语，有3人通 晓俄语，有2人通晓韩语。从中选出通晓日语、 俄语和韩语的志愿者各1名，组成一个小组。
①求某人通晓日语被选中的概率
②求某人通晓俄语和某人通晓韩语不全被选中 的概率
高考数学二轮复习 第一部分 保分专题四 概率与统计 第2讲 概率及应用课件 文
8分
包括 A1 但不包括 B1 的事件所包含的基本事件有：{A1，B2}，{A1，
B3}，共 2 个，则所求事件的概率为 P＝29.
12 分
[规范解释] 列举事件空间． 找出所研究的事件，求概率． 列举总的事件． 找出所研究事件，求概率．
求古典概型概率的方法 正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数． (1)对于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不 重不漏． (2)当直接求解有困难时，可考虑求出所求事件的对立事件的概 率．
其中数学成绩优秀的人数比及格的人数少的有： (10,21)，(11,20)，(12,19)，(13,18)，(14,17)，(15,16)共 6 组． ∴数学成绩为优秀的人数比及格的人数少的概率为164＝37.
考点考查题型 已知两个变量的某些数据，求频率、求概率
考点应用方法 利用频率求概率，利用古典概型求概率
个适花合坛题中意，的则只红有色2和种紫，色其的概花率不P在＝同23. 一花坛的概率是( C )
A.13
B.12
2
5
C.3
D.6
技法：无限元素用几何．一个变量为长度．二个变量是平 行人在红灯亮起的 25 秒内到达该路口，即满足至少需要等待 面．变量之比为概率． 15 秒才出现绿灯，根据几何概型的概率公式知所求事件的概 (1)(2016·高考全国卷Ⅱ改编)某路口人行横道的信号灯为红灯 和率绿P灯＝交2450替＝出58. 现，红灯持续时间为 40 秒．若一名行人来到该
解析：(1)当 X＝8 时，由茎叶图可知，乙组四名同学的植树棵 数分别是 8,8,9,10，故 x ＝8＋8＋49＋10＝345，s2＝14× 8－3452×2＋9－3452＋10－3452＝1116.
2020高考数学总复习随机事件的概率PPT课件
如果事件 A 与事件 B 互斥，则 P(A∪B)＝P(A)＋P(B) ．
若事件 A 与 B 互为对立事件，则 A∪B 为必然事件．
P(A∪B)＝1，P(A)＝ 1－P(B) ．
1．概率和频率有什么区别和联系？
提示：频率随着试验次数的变化而变化，概率却是一个常 数，它是频率的科学抽象．当试验次数越来越大时，频率也越 来越向概率接近，只要次数足够多，所得频率就近似地看作随 机事件的概率．
(3)“取出 3 只红球”与“取出 3 只球中至少有一只白球”不 可能同时发生，故互斥．其中必有一个发生，故对立．
(4)“取出 3 只红球”与“取出 3 只球中至少有 1 只红球”可 能同时发生，故不是互斥事件，也不可能是对立事件.
1．随机事件的频率与概率有着一定的联系，在统计学中， 可通过计算事件发生的频率去估算事件的概率，因此，它们也 成为近几年高考的命题热点．多以解答题的形式出现，有时也 会以选择、填空题的形式出现．多为容易题或中档题．
解析：乙不输的事件为两人和棋或乙获胜，因此乙不输的 概率为12＋13＝56.
答案：56
5．给出下列三个命题： ①有一大批产品，已知次品率为 10%，从中任取 100 件， 必有 10 件是次品； ②做 7 次抛硬币的试验，结果 3 次出现正面，因此正面出 现的概率是37； ③随机事件发生的频率就是这个随机事件发生的概率． 其中错误的命题有________个． 解析：①错，不一定是 10 件次品；②错，37是频率而非 概率；③错，频率不等于概率，这是两个不同的概念．
2．高考对该部分内容的考查主要有以下几个命题角度： (1)列出频率分布表； (2)由频率估计概率； (3)由频率计算某部分的数量．
[例 2] 某人在如图所示的直角边长为 4 米的三角形地块的 每个格点(指纵、横直线的交叉点以及三角形的顶点)处都种了一 株相同品种的作物．根据历年的种植经验，一株该种作物的年收 获量 Y(单位：kg)与它的“相近”作物株数 X 之间的关系如下表 所示：
2020版高考数学大二轮复习第二部分专题4概率与统计第2讲概率、离散型随机变量及其分布课件理
[题组练透] 1．(2019·甘肃质检)某精准扶贫帮扶单位，为帮助定点扶贫村真正脱贫，坚持扶贫同扶 智相结合，帮助精准扶贫户利用互联网电商渠道销售当地特产苹果．苹果单果直径不 同单价不同，为了更好的销售，现从该精准扶贫户种植的苹果树上随机摘下了 50 个苹 果测量其直径，经统计，其单果直径分布在区间[50,95]内(单位： mm)，统计的茎叶 图如图所示：
(1)试判断谁的计算结果正确？求回归方程． (2)若由线性回归方程得到的估计数据与检测数据的误差不超过 1，则该检测数据是 “理想数据”．现从检测数据中随机抽取 3 个，求“理想数据”的个数 X 的分布列和 数学期望．
解析：(1)已知变量 x，y 具有线性负相关关系，故甲不对， ∵ x ＝6.5， y ＝79，代入两个回归方程，验证乙同学正确， 故回归方程为^y ＝－4x＋105. (2)
则 P(A)＝130，P(AB)＝130×79＝370，
7 则所求概率为 P(B|A)＝PPAAB＝330＝79.
10 法二：第 1 次抽到螺口灯泡后还剩余 9 只灯泡，其中有 7 只卡口灯泡，故第 2 次抽到 卡口灯泡的概率为CC7119＝79. 答案：D
3．某企业有甲、乙两个研发小组，他们研发新产品成功的概率分别为23和35.现安排甲 组研发新产品 A，乙组研发新产品 B.设甲、乙两组的研发相互独立． (1)求至少有一种新产品研发成功的概率； (2)若新产品 A 研发成功，预计企业可获利润 120 万元；若新产品 B 研发成功，预计企 业可获利润 100 万元，求该企业可获利润的分布列．
按方案 B：设收购价格为 X，则
P(X＝6)＝0.83＝0.512，
P(X＝5)＝C13×0.82×0.2＝0.384， P(X＝4.5)＝C23×0.8×0.22＝0.096， P(X＝4)＝0.23＝0.008，
2020年高考数学专题复习离散型随机变量及其分布列
离散型随机变量及其分布列1．随机变量的有关概念(1)随机变量：随着试验结果的变化而变化的变量，常用字母X ，Y ，ξ，η，…表示． (2)离散型随机变量：所有取值可以一一列出的随机变量． 2．离散型随机变量的分布列及其性质(1)概念：一般地，若离散型随机变量X 可能取的不同值为x 1，x 2，…，x i ，…，x n ，X 取每一个值x i (i ＝1，2，…，n )的概率P (X ＝x i )＝p i ，则下表称为离散型随机变量X 的概率分布列，简称为X 的分布列，有时为了表达简单，也用等式P (X ＝x i )＝p i ，i ＝1，2，…，n 表示X 的分布列．(2)离散型随机变量的分布列的性质 ①p i ≥0(i ＝1，2，…，n )；②∑ni ＝1p i ＝1． 3．常见的离散型随机变量分布列 (1)两点分布若随机变量X 服从两点分布，则其分布列为其中p ＝P (X ＝1)称为成功概率． (2)超几何分布一般地，在含有M 件次品的N 件产品中，任取n 件，其中恰有X 件次品，则P (X ＝k )＝C k M C n －kN －MC n N，k ＝0，1，2，…，m ，即：其中m ＝min{M ，n }，且n ≤N ，M ≤N ，n ，M ，N ∈N *.如果随机变量X 的分布列具有上表的形式，则称随机变量X 服从超几何分布.判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)随机变量和函数都是一种映射，随机变量把随机试验的结果映射为实数．( ) (2)抛掷均匀硬币一次，出现正面的次数是随机变量．( ) (3)离散型随机变量的各个可能值表示的事件是彼此互斥的．( )(4)离散型随机变量在某一范围内取值的概率等于它取这个范围内各个值的概率之和．( )(5)从4名男演员和3名女演员中选出4人，其中女演员的人数X 服从超几何分布．( ) (6)由下表给出的随机变量X 的分布列服从两点分布．( )答案：(1)√ (2)√ (3)√ (4)√ (5)√ (6)×(教材习题改编)设随机变量X 的分布列如下表所示，则p 4的值是( )A.1 B ．12 C ．14D ．18解析：选D.由分布列的性质，得12＋14＋18＋p 4＝1，所以p 4＝18.设随机变量X 的分布列为P (X ＝k )＝k 15，k ＝1，2，3，4，5，则P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝________．解析：P ⎝ ⎛⎭⎪⎫12<X <52＝P (X ＝1)＋P (X ＝2)＝115＋215＝15. 答案：15在含有3件次品的10件产品中任取4件，则取到次品数X 的分布列为________． 解析：由题意知，X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝3，n ＝4，所以分布列为P (X ＝k )＝C k3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3.答案：P(X ＝k )＝C k 3·C 4－k7C 410，k ＝0，1，2，3离散型随机变量的分布列的性质设离散型随机变量X 的分布列为求：(1)2X ＋1的分布列； (2)|X －1|的分布列．【解】 由分布列的性质知：0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m ＝1， 解得m ＝0.3. (1)2X ＋1的分布列为(2)|X －1|的分布列为在本例条件下，求P (1<X ≤4)． 解：由本例知，m ＝0.3，P (1<X ≤4)＝P (X ＝2)＋(X ＝3)＋P (X ＝4)＝0．1＋0.3＋0.3＝0.7.离散型随机变量分布列的性质的应用(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负值；(2)若X 为随机变量，则2X ＋1仍然为随机变量，求其分布列时可先求出相应的随机变量的值，再根据对应的概率写出分布列．1．设随机变量X 等可能地取1，2，3，…，n ，若P (X ＜4)＝0.3，则n 的值为( ) A ．3 B ．4 C ．10D ．不确定解析：选C.“X ＜4”的含义为X ＝1，2，3，所以P (X ＜4)＝3n＝0.3，所以n ＝10.2．随机变量X 的分布列如下：其中a ，b ，c 成等差数列，则P (|X |＝1)＝________，公差d 的取值范围是________． 解析：因为a ，b ，c 成等差数列，所以2b ＝a ＋c . 又a ＋b ＋c ＝1，所以b ＝13，所以P (|X |＝1)＝a ＋c ＝23.又a ＝13－d ，c ＝13＋d ，根据分布列的性质，得0≤13－d ≤23，0≤13＋d ≤23，所以－13≤d≤13. 答案：23 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，13离散型随机变量的分布列(高频考点)离散型随机变量的分布列是高考命题的热点，多以解答题的形式出现，试题难度不大，多为容易题或中档题．主要命题角度有：(1)用频率代替概率的离散型随机变量的分布列； (2)古典概型的离散型随机变量的分布列；(3)与独立事件(或独立重复试验)有关的分布列的求法．(下一讲内容)角度一 用频率代替概率的离散型随机变量的分布列某商店试销某种商品20天，获得如下数据：试销结束后(假设该商品的日销售量的分布规律不变)，设某天开始营业时有该商品3件，当天营业结束后检查存货，若发现存量少于2件，则当天进货补充至3件，否则不进货，将频率视为概率．(1)求当天商店不进货的概率；(2)记X 为第二天开始营业时该商品的件数，求X 的分布列． 【解】 (1)P (当天商店不进货)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为1件)＝120＋520＝310.(2)由题意知，X 的可能取值为2，3.P (X ＝2)＝P (当天商品销售量为1件)＝520＝14；P (X ＝3)＝P (当天商品销售量为0件)＋P (当天商品销售量为2件)＋P (当天商品销售量为3件)＝120＋920＋520＝34.所以X 的分布列为角度二 古典概型的离散型随机变量的分布列(2019·浙江省名校协作体高三联考)一个盒子里装有大小均匀的6个小球，其中有红色球4个，编号分别为1，2，3，4；白色球2个，编号分别为4，5，从盒子中任取3个小球(假设取到任何一个小球的可能性相同)．(1)求取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率；(2)在取出的3个小球中，小球编号的最大值设为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)“设取出的3个小球中，含有编号为4的小球”为事件A ， P (A )＝C 12C 24＋C 22C 14C 36＝45，所以取出的3个小球中，含有编号为4的小球的概率为45. (2)X 的可能取值为3，4，5.P (X ＝3)＝1C 36＝120；P (X ＝4)＝C 12C 23＋C 22C 13C 36＝920； P (X ＝5)＝C 35C 36＝12，所以随机变量X 的分布列为离散型随机变量分布列的求解步骤(1)明取值：明确随机变量的可能取值有哪些，且每一个取值所表示的意义． (2)求概率：要弄清楚随机变量的概率类型，利用相关公式求出变量所对应的概率． (3)画表格：按规范要求形式写出分布列．(4)做检验：利用分布列的性质检验分布列是否正确．[提醒] 求随机变量某一范围内取值的概率，要注意它在这个范围内的概率等于这个范围内各概率值的和．某校校庆，各届校友纷至沓来，某班共来了n 位校友(n >8且n ∈N *)，其中女校友6位，组委会对这n 位校友登记制作了一份校友名单，现随机从中选出2位校友代表，若选出的2位校友是一男一女，则称为“最佳组合”．(1)若随机选出的2位校友代表为“最佳组合”的概率不小于12，求n 的最大值；(2)当n ＝12时，设选出的2位校友代表中女校友人数为X ，求X 的分布列． 解：(1)由题意可知，所选2人为“最佳组合”的概率为C 1n －6C 16C 2n ＝12（n －6）n （n －1），则12（n －6）n （n －1）≥12，化简得n 2－25n ＋144≤0，解得9≤n ≤16， 故n 的最大值为16.(2)由题意得，X 的可能取值为0，1，2，则P (X ＝0)＝C 26C 212＝522，P (X ＝1)＝C 16C 16C 212＝611，P (X ＝2)＝C 26C 212＝522，X 的分布列为超几何分布一个袋中有大小相同的黑球和白球共10个．已知从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球的概率是79.(1)求白球的个数；(2)从袋中任意摸出3个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列． 【解】 (1)记“从袋中任意摸出2个球，至少得到1个白球”为事件A ，设袋中白球的个数为x ，则P (A )＝1－C 210－x C 210＝79，得到x ＝5.故白球有5个．(2)X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝3， P (X ＝k )＝C k 5C 3－k5C 310，k ＝0，1，2，3.于是可得其分布列为在本例条件下，若从袋中任意摸出4个球，记得到白球的个数为X ，求随机变量X 的分布列．解：X 服从超几何分布，其中N ＝10，M ＝5，n ＝4， P (X ＝k )＝C k 5C 4－k5C 410，k ＝0，1，2，3，4，于是可得其分布列为超几何分布的特点(1)对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可直接应用公式给出．(2)超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数，随机变量取值的概率实质上是古典概型．为推动乒乓球运动的发展，某乒乓球比赛允许不同协会的运动员组队参加．现有来自甲协会的运动员3名，其中种子选手2名；乙协会的运动员5名，其中种子选手3名．从这8名运动员中随机选择4人参加比赛．(1)设A 为事件“选出的4人中恰有2名种子选手，且这2名种子选手来自同一个协会”，求事件A 发生的概率；(2)设X 为选出的4人中种子选手的人数，求随机变量X 的分布列． 解：(1)由已知，有P (A )＝C 22C 23＋C 23C 23C 48＝635. 所以，事件A 发生的概率为635. (2)随机变量X 的所有可能取值为1，2，3，4. P (X ＝k )＝C k 5C 4－k3C 48(k ＝1，2，3，4)．所以，随机变量X 的分布列为对于随机变量X 的研究，需要了解随机变量取哪些值以及取这些值或取某一个集合内的值的概率，对于离散型随机变量，它的分布正是指出了随机变量X 的取值范围以及取这些值的概率．求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列、组合与概率知识求出X 取各个值的概率．易错防范(1)确定离散型随机变量的取值时，易忽视各个可能取值表示的事件是彼此互斥的． (2)对于分布列易忽视其性质p 1＋p 2＋…＋p n ＝1及p i ≥0(i ＝1，2，…，n )，其作用可用于检验所求离散型随机变量的分布列是否正确．[基础达标]1．设某项试验的成功率是失败率的2倍，用随机变量X 去描述1次试验的成功次数，则P (X ＝0)等于( )A ．0B ．12C ．13D ．23解析：选C.设X 的分布列为即“X ＝0”表示试验失败，“X ＝1”表示试验成功．由p ＋2p ＝1，得p ＝13，故应选C.2．(2019·绍兴调研)在15个村庄中有7个村庄交通不方便，现从中任意选10个村庄，用X 表示这10个村庄中交通不方便的村庄数，则下列概率中等于C 47C 68C 1015的是( )A ．P (X ＝2)B ．P (X ≤2)C ．P (X ＝4)D ．P (X ≤4)解析：选C.X 服从超几何分布，P (X ＝k )＝C k 7C 10－k8C 1015，故k ＝4，故选C.3．设随机变量Y 的分布列为则“32≤Y ≤72”的概率为( )A ．14B ．12C ．34D ．23解析：选C.依题意知，14＋m ＋14＝1，则m ＝12.故P ⎝ ⎛⎭⎪⎫32≤Y ≤72＝P (Y ＝2)＋P (Y ＝3)＝12＋14＝34.4．设随机变量X 的概率分布列如下表所示：若F (x )＝P (X ≤x )，则当x 的取值范围是[1，2)时，F (x )等于( ) A ．13 B ．16 C ．12D ．56解析：选D.由分布列的性质，得a ＋13＋16＝1，所以a ＝12.而x ∈[1，2)，所以F (x )＝P (X ≤x )＝12＋13＝56.5．已知离散型随机变量X 的分布列为则P (X ∈Z )＝( ) A ．0.9 B ．0.8 C ．0.7D ．0.6解析：选A.由分布列性质得0.5＋1－2q ＋13q ＝1，解得q ＝0.3，所以P (X ∈Z )＝P (X ＝0)＋P (X ＝1)＝0.5＋1－2×0.3＝0.9，故选A.6．抛掷2颗骰子，所得点数之和X 是一个随机变量，则P (X ≤4)＝________． 解析：抛掷2颗骰子有36个基本事件，其中X ＝2对应(1，1)；X ＝3对应(1，2)，(2，1)；X ＝4对应(1，3)，(2，2)，(3，1)．所以P (X ≤4)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＋P (X ＝4)＝136＋236＋336＝16.答案：167．已知随机变量ξ只能取三个值：x 1，x 2，x 3，其概率依次成等差数列，则公差d 的取值范围是________．解析：设ξ取x 1，x 2，x 3时的概率分别为a －d ，a ，a ＋d ，则(a －d )＋a ＋(a ＋d )＝1，所以a ＝13，由⎩⎪⎨⎪⎧13－d ≥0，13＋d ≥0，得－13≤d ≤13.答案：⎣⎢⎡⎦⎥⎤－13，138．若离散型随机变量X 的分布列为则常数c ＝________，P (X ＝1)＝________． 解析：依分布列的性质知，⎩⎪⎨⎪⎧9c 2－c ≥0，3－8c ≥0，9c 2－c ＋3－8c ＝1，解得c ＝13，故P (X ＝1)＝3－8×13＝13.答案：13 139．在一个口袋中装有黑、白两个球，从中随机取一球，记下它的颜色，然后放回，再取一球，又记下它的颜色，则这两次取出白球数X 的分布列为________．解析：X 的所有可能值为0，1，2. P (X ＝0)＝C 11C 11C 12C 12＝14，P (X ＝1)＝C 11C 11×2C 12C 12＝12，P (X ＝2)＝C 11C 11C 12C 12＝14.所以X 的分布列为答案：10.(2019·温州市高考模拟)袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是________，设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则P (X ＝k )取最大值时，k 的值为________．解析：袋中有6个编号不同的黑球和3个编号不同的白球，这9个球的大小及质地都相同，现从该袋中随机摸取3个球，则这三个球中恰有两个黑球和一个白球的方法总数是：n ＝C 26C 13＝45.设摸取的这三个球中所含的黑球数为X ，则X 的可能取值为0，1，2，3， P (X ＝0)＝C 33C 39＝184，P (X ＝1)＝C 16C 23C 39＝1884，C 984P (X ＝3)＝C 36C 39＝2084，所以P (X ＝k )取最大值时，k 的值为2. 答案：45 211．抛掷一枚质地均匀的硬币3次． (1)写出正面向上次数X 的分布列； (2)求至少出现两次正面向上的概率． 解：(1)X 的可能取值为0，1，2，3. P (X ＝0)＝C 0323＝18；P (X ＝1)＝C 1323＝38；P (X ＝2)＝C 2323＝38；P (X ＝3)＝C 3323＝18.所以X 的分布列为(2)至少出现两次正面向上的概率为P (X ≥2)＝P (X ＝2)＋P (X ＝3)＝38＋18＝12. 12．(2019·台州高三质检)在一次购物活动中，假设每10张券中有一等奖券1张，可获得价值50元的奖品；有二等奖券3张，每张可获得价值10元的奖品；其余6张没有奖．某顾客从这10张券中任取2张．(1)求该顾客中奖的概率；(2)求该顾客获得的奖品总价值X (元)的分布列． 解：(1)该顾客中奖的概率P ＝1－C 04C 26C 210＝1－1545＝23.(2)X 的所有可能取值为0，10，20，50，60，且 P (X ＝0)＝C 04C 26C 210＝13，P (X ＝10)＝C 13C 16C 210＝25，P (X ＝20)＝C 23C 210＝115，P (X ＝50)＝C 11C 16C 210＝215，C 1015故X 的分布列为[能力提升]1．(2019·浙江高中学科基础测试)一个袋子装有大小形状完全相同的9个球，其中5个红球编号分别为1，2，3，4，5；4个白球编号分别为1，2，3，4，从袋中任意取出3个球．(1)求取出的3个球编号都不相同的概率；(2)记X 为取出的3个球中编号的最小值，求X 的分布列．解：(1)设“取出的3个球编号都不相同”为事件A ，“取出的3个球中恰有两个球编号相同”为事件B ，则P (B )＝C 14C 17C 39＝2884＝13，所以P (A )＝1－P (B )＝23.(2)X 的取值为1，2，3，4，P (X ＝1)＝C 12C 27＋C 22C 17C 39＝4984，P (X ＝2)＝C 12C 25＋C 22C 15C 39＝2584， P (X ＝3)＝C 12C 23＋C 22C 13C 39＝984，P (X ＝4)＝1C 39＝184. 所以X 的分布列为2.(2019·惠州市第三次调研考试)某大学志愿者协会有6名男同学，4名女同学．在这10名同学中，3名同学来自数学学院，其余7名同学来自物理、化学等其他互不相同的七个学院．现从这10名同学中随机选取3名同学，到希望小学进行支教活动(每位同学被选到的可能性相同)．(1)求选出的3名同学是来自互不相同学院的概率；(2)设X 为选出的3名同学中女同学的人数，求随机变量X 的分布列．解：(1)设“选出的3名同学是来自互不相同的学院”为事件A ，则P (A )＝C 13·C 27＋C 03·C 37C 310＝4960. 所以选出的3名同学是来自互不相同学院的概率为4960.(2)随机变量X 的所有可能值为0，1，2，3. P (X ＝k )＝C k4·C 3－k6C 310(k ＝0，1，2，3)． 所以随机变量X 的分布列为3.小波以游戏方式决定是参加学校合唱团还是参加学校排球队．游戏规则为：以O 为起点，再从A 1，A 2，A 3，A 4，A 5，A 6，A 7，A 8(如图)，这8个点中任取两点分别为终点得到两个向量，记这两个向量的数量积为X .若X ＝0就参加学校合唱团，否则就参加学校排球队．(1)求小波参加学校合唱团的概率； (2)求X 的分布列．解：(1)从8个点中任取两点为向量终点的不同取法共有C 28＝28(种)，当X ＝0时，两向量夹角为直角，共有8种情形，所以小波参加学校合唱团的概率为P (X ＝0)＝828＝27. (2)两向量数量积X 的所有可能取值为－2，－1，0，1，X ＝－2时，有2种情形；X ＝1时，有8种情形；X ＝－1时，有10种情形．所以X 的分布列为4.袋中装有黑球和白球共7个，从中任取2个球都是白球的概率为17.现在甲、乙两人从袋中轮流摸取1球，甲先取，乙后取，然后甲再取……取后不放回，直到两人中有一人取到白球为止，每个球在每一次被取出的机会是相等的，用X 表示终止时所需要的取球次数．(1)求袋中原有白球的个数； (2)求随机变量X 的分布列； (3)求甲取到白球的概率． 解：(1)设袋中原有n 个白球，由题意知17＝C 2nC 27＝n （n －1）27×62＝n （n －1）7×6，所以n (n －1)＝6，解得n ＝3或n ＝－2(舍去)． 即袋中原有3个白球．(2)由题意知X 的可能取值为1，2，3，4，5.P (X ＝1)＝37； P (X ＝2)＝4×37×6＝27； P (X ＝3)＝4×3×37×6×5＝635；P (X ＝4)＝4×3×2×37×6×5×4＝335；P (X ＝5)＝4×3×2×1×37×6×5×4×3＝135.所以取球次数X 的分布列为(3)因为甲先取，所以甲只可能在第1次、第3次和第5次取球． 设“甲取到白球”的事件为A ， 则P (A )＝P (X ＝1或X ＝3或X ＝5)．因为事件“X ＝1”“X ＝3”“X ＝5”两两互斥，所以P (A )＝P (X ＝1)＋P (X ＝3)＋P (X ＝5)＝37＋635＋135＝2235.。
2024届新教材高考数学二轮复习 概率 课件(69张)
A.15
B．13
C．25
D．23
【解析】 从 6 张卡片中无放回抽取 2 张，共有(1,2)，(1,3)，(1,4)，
(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，
(5,6)，15 种情况，其中数字之积为 4 的倍数的有(1,4)，(2,4)，(2,6)，(3,4)，
2.古典概型 一般地，设试验 E 是古典概型，样本空间 Ω 包含 n 个样本点，事件 A 包含其中的 k 个样本点，则定义事件 A 的概率 P(A)＝nk＝nnΩA. 其中，n(A)和 n(Ω)分别表示事件 A 和样本空间 Ω 包含的样本点个数．
多 维 题 组·明 技 法
角度1：随机事件的关系 1. (2023·柳州模拟)从数学必修一、二和政治必修一、二共四本书中 任取两本书，那么互斥而不对立的两个事件是( D ) A．至少有一本政治与都是数学 B．至少有一本政治与都是政治 C．至少有一本政治与至少有一本数学 D．恰有1本政治与恰有2本政治
A．采用单次传输方案，若依次发送1,0,1，则依次收到1,0,1的概率 为(1－α)(1－β)2
B．采用三次传输方案，若发送1，则依次收到1,0,1的概率为β(1－ β)2
C．采用三次传输方案，若发送1，则译码为1的概率为β(1－β)2＋(1 －β)3
D．当0＜α＜0.5时，若发送0，则采用三次传输方案译码为0的概率 大于采用单次传输方案译码为0的概率
【解析】 由题意可得事件1表示{1,3,5}，事件2表示{2,4,6}，事件3 表示{4,5,6}，事件4表示{1,2}，所以事件1与事件2为对立事件，事件1与 事件3不互斥，事件2与事件3不互斥，事件3与事件4互斥不对立，故选 项A，C，D错误，选项B正确．故选B.
2020版高考理数：专题(12)概率与统计ppt课件四
考点四 统计与统计案例
3．系统抽样
(1)定义：当总体中的个体数较多时，可以将总体分成均衡的几部分，然后 按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个个体，得到所需的样本，这种 抽样的方法叫做系统抽样． (2)特点：①系统抽样适用于总体容量较大的情况； ②系统抽样是不放回抽样；
③系统抽样中，每个个体被抽到的可能性相等，均为 (N为总体的个体数， n为抽取的样本容量，n≤N)；
③若x1，x2，…，xn的方差为s2，则ax1＋b，ax2＋b，…，axn＋b的方差为a2s2.
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考点四 统计与统计案例
8．线性回归方程及其应用
(1)变量间的相关关系 变量间的关系常见的有两类，一类是确定性关系，即函数关系；另一类是 变量与变量之间虽然确定存在关系，但是却不具有函数关系所要求的确定 性，它们的关系是当一变量取值一定时，另一变量的取值带有一定的随机 性的两个变量间的关系，我们把这种关系称为相关关系．
(4)茎叶图：茎叶图也是用来表示数据的一种图，茎是指中间的一列数，叶 是指从茎的旁边生长出来的数．
各种统计图表的优点与不足：
分类 频率分布表 频率分布直方图 频率分布折线图
茎叶图
优点
表示数据较确切 表示数据分布情况非常直观
能反映数据的变化趋势 一是所有的信息都可以从这个 茎叶图中得到；二是茎叶图便 于记录和表示，能够展示数据
(5)相关系数r ①|r|≤1，当r>0时，两个变量正相关；
当r<0时，两个变量负相关． ②|r|越接近于0，两个变量的线性相关关系越弱．通常当|r|>0.75时，我们认 为两个变量之间存在较强的线性相关关系．当|r|＝1时，所有点均在直线上． (6)相关指数R2 用越小，即模型的拟合效果越好；R2越小，残差平方和越大，即模型的拟合效果 越差．在线性回归模型中，R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率
2020版高考数学大二轮复习专题四概率与统计第二讲概率与统计课件文20191128271
(ⅱ)从计算结果看，相对于 2016 年的环境基础设施投资额 220 亿元，由模型①看到的预测值 226.1 亿元的增幅明显偏低，而 利用模型②得到的预测值的增幅比较合理，说明利用模型②得 到的预测值更可靠． ……………………12 分 (以上给出了 2 种理由，考生答出其中任意一种或其他合理理由 均可得分)
(2019·高考全国卷Ⅲ)(12 分)为了解甲、乙两种离子在 小鼠体内的残留程度，进行如下试验：将 200 只小鼠随机分成 A，B 两组，每组 100 只，其中 A 组小鼠给服甲离子溶液，B 组小鼠给服乙离子溶液．每只小鼠给服的溶液体积相同、摩尔 浓度相同．经过一段时间后用某种科学方法测算出残留在小鼠 体内离子的百分比．根据试验数据分别得到如下直方图：
(2)
y
＝
1 100
×(
－
0.10×2 ＋
0.10×24
＋
0.30×53
＋
0.50×14 ＋
0.70×7)＝0.30，
s2＝1010i＝51ni(yi－ y )2＝1100×[(－0.40)2×2＋(－0.20)2×24＋02×53
＋0.202×14＋0.402×7] ＝0.029 6， s＝ 0.029 6＝0.02× 74≈0.17. 所以，这类企业产值增长率的平均数与标准差的估计值分别为 0.30,0.17.
(2)由茎叶图知 m＝79＋2 81＝80.………………6 分
列联表如下：
超过 m 不超过 m
第一种生产方式 15
5
Hale Waihona Puke 第二种生产方式 515
…………8 分
(3)因为 K2＝402×0×152×0×152－0×5×2052＝10>6.635，