高等数学习题答案(同济第六版下)
第八章 多元函数微分法及其应用
第一节 多元函数的基本概念
本节主要概念，定理，公式和重要结论
理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域； 理解二重极限概念，注意A y x f y x y x =→),(lim )
,(),(00是点),(y x 以任何方式趋于),(00y x ;
注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。
习题 8－1
1.求下列函数表达式:
(1)x
y y x y x f +=),(，求),(y x xy f +
解：(,)()x y
xy f xy x y xy
x y ++=++
(2)2
2
),(y x y x y x f -=-+，求),(y x f
解：(,)()()(,)f x y x y x y x y f x y xy +-=-+?= 2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形: (1)2
2
1)1ln(y
x x y x z --+
-+=
解：22
22
10
11010
x y x y x y x y x +->?+>??-->???+
(2))12ln(2
+-=y x z
解：2
210x y -+>
(3) |)|||1ln(),(y x y x f --= 解：1||||0||||1x y x y -->?+< 3.求下列极限:
(1)
2
2)1,0(),(1lim
y x xy
x y x ++-→
解：22
(,)(0,1)1lim
1x y x xy
x y →-+=+ (2)
xy xy y x 4
2lim
)0,0(),(+-→
解一：(,)(0,0)(,)(0,0)(,)(0,0)18lim
2lim
2lim 4
x y x y x y xy
xy →→→=-=-=-
解二：
(,)(0,0)(,)(,)1
lim
lim lim 4x y x y x y →→→===-
(3)y
xy x y x )
sin()2(lim )0,1(),(+→
(4)2
2220
11lim
y x y x y x +-+→→
解一：
(,)(1,0)(,)(1,0)sin()sin()
lim (2)
lim [(2)]3x y x y xy xy x x x y xy
→→+=+=
解二：(,)(1,0)(,)(1,0)(,)(1,0)
sin()lim (2)
lim (2)lim (2)3x y x y x y xy xy
x x x x y y →→→+=+=+= (4)2
2
220
011lim
y
x y x y x +-+→→
解一：2222
2222000000
11lim lim()022x x x y y y x y y x x y x y →→→→→→==?=++
解二：22222200000
0x x x y y y y x y →→→→→→===+ 4.证明下列函数当)0,0(),(→y x 时极限不存在:
(1)2
22
2),(y
x y x y x f +-=
解：222222
222222001lim lim 1x x y kx
x y x k x k x y x k x k →→=---==+++ (2)2
2222)
(),(y x y x y x y x f -+= 解：224
222400lim lim 1()x x y x x y x x y x y x →→===+-
22
22200
lim 0()x y x y x y x y →==+- 5.下列函数在何处是间断的? (1) y
x z -=
1
解：x y =
(2)x y x
y z 2222-+=
解：2
2y x =
第二节 偏导数
本节主要概念，定理，公式和重要结论
1.偏导数：设),(y x f z =在),(00y x 的某一邻域有定义，则
x
y x f y x x f y x f x x ???)
,(),(lim
),(0000000-+=→， y
y x f y y x f y x f y y ???)
,(),(lim ),(0000000-+=→. ),(00y x f x 的几何意义为曲线?
??==0)
,(y y y x f z 在点)),(,,(0000y x f y x M 处的切线对x 轴
的斜率.
),(y x f 在任意点),(y x 处的偏导数),(y x f x 、),(y x f y 称为偏导函数，简称偏导数.求
),(y x f x 时，只需把y 视为常数，对x 求导即可.
2.高阶偏导数
),(y x f z =的偏导数),(),,(y x f y x f y x 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称
为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下4个：
x
y z
y x z y z x z ??????????22222
2,,,，其中后两个称为混合偏导数. 若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.
习题 8－2
1.求下列函数的一阶偏导数:
(1)xy y x
z +=
解：
21,z z x
y x x y y y
??=+=-+?? (2)x
y
z arctan =
解：22222
22111,1()1()z y y z x y y x x x y y x x y x x
?--?=?==?=
?+?+++ (3))ln(22y x x z ++
=
解：(1z x ?=+=
?
z y ?==
? (4))ln(2
2
2
z y x u ++= 解：
222222222
222,,u x u y u z x x y z y x y z z x y z ???===?++?++?++ (5)?
=
yz
xz
t dt e u 2
解：22222222
,,x z y z y z x z u u u ze ze ye xe x y z
???=-==-??? (6)x y y x z cos sin = 解：
2211cos cos sin sin ,cos cos sin sin z x y y x y u x x y x y x y y x x y x y y y x x y x ??=+=--?? (7)y x xy z ++=)1( (8))cos(?θ?θ-=+e u
解：(1)[ln(1)],(1)[ln(1)]11x y x y z x y u x y xy xy y xy xy x x xy y xy ++?+?+=+++=+++?+?+ (8))cos(?θ?θ-=+e u
解：[cos()sin()],[cos()sin()]u u e e θ?θ?θ?θ?θ?θ?θ?
++??=---=-+-?? 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数: （1）y
x
y x z arcsin
)1(2
-+=，求)1,0(x z 解：2
0(0,1)lim
0x x x z x
?→?==? （2）x
y
x e x z y
arctan
)1(2
-+=，求)0,1(y z 解：01
(1,0)lim
1y y y e z y
??→-==-? 3.求下列函数的高阶偏导数:
(1))ln(xy x z =， 求22x z ??，22y
z ??，y x z
???2
解：ln()1,z z x xy x y y
??=+=?? 22222211,,z z x z x x y y x y y
???==-=???? (2))2(cos 2
y x z +=，求22x z ??，22y
z ??，y x z ???2，x y z ???2
解：2cos(2)sin(2)sin 2(2)z
x y x y x y x ?=-++=-+? 4cos(2)sin(2)2sin 2(2)z
x y x y x y y
?=-++=-+? 222222cos 2(2),8cos 2(2),4cos 2(2)z z z
x y x y x y x y x y
???=-+=-+=-+???? (3)?
+=
2
2 y x x
t
dt e z ， 求22x z ??， y
x z
???2
解：
22222222
222,2(12),4x y x x y x x y z z z xe e x e e xye x x x y
+++???=-=+-=???? 4.设?????=+≠++-=0 0
0),(222
222
33y x y x y x xy y x y x f ，求)0,0(xy f 和)0,0(yx f .
解：00(0)(0,0)00
(0,0)lim lim 0x x x f x f f x x ?→?→?--===??，
00(0,)(0,0)00
(0,0)lim lim 0y y y f y f f y y ?→?→?--===??
422422
222
4(,),0()
x x x y y f x y y x y x y +-=+≠+ 422422
222
4(,),0()
y x x y y f x y x x y x y --=+≠+ 5
4
000(0,)(0,0)(0,0)lim lim 1x x xy y y y f y f y
f y y
?→?→-?-?-?===-??
5
4000(,0)(0,0)
(0,0)lim lim 1x x yx x x x f x f x f x x ?→?→?-?-?===??
5.设)11(y x e z +-=， 求证z y z y x z x
222=??+?? 解: 11
11
()()
2211,x y x y z z e e
x x y y
-+-+??==?? 11
11
11
()()()2222221122x y
x y x y z z x y x e y e e z x y x y
-+-+-+??+=?+?==?? 6.设2
22z y x r ++=， 证明r z
r y r x r 2222222=??+??+??
证明
: 2
2222223,r x r x r r x r r x x r x r x r r r ?--
??-?=====?? 由轮换对称性, 222222
2323,r r y r r z y r z r ?-?-==??
222222222223321
r r r r x y z r x y z r r r
???---++===??? 第三节 全微分
本节主要概念，定理，公式和重要结论 1.全微分的定义
若函数),(y x f z =在点),(00y x 处的全增量z ?表示成
22),(y x o y B x A z ?+?=+?+?=?ρρ
则称),(y x f z =在点),(00y x 可微，并称Bdy Adx y B x A +=+??为),(y x f z =在点),(00y x 的全微分，记作dz .
2.可微的必要条件：若),(y x f z =在),(00y x 可微，则 （1）),(y x f 在),(00y x 处连续；
（2）),(y x f 在),(00y x 处可偏导，且),(),,(0000y x f B y x f A y x ==，从而
dy y x f dx y x f dz y x ),(),(0000+=.
一般地，对于区域D 内可微函数， dy y x f dx y x f dz y x ),(),(+=.
3.可微的充分条件：若),(y x f z =在),(00y x 的某邻域内可偏导，且偏导数在),(00y x 处连续，则),(y x f z =在),(00y x 可微。
注：以上定义和充分条件、必要条件均可推广至多元函数。
习题 8－3
1.求下列函数的全微分 (1)22ln
y x z +=
(2)xy
y
x z --=1arctan
解: 2222
2222
11d()d d d d ln ()22x y x x y y z x y x y x y ++=+==++
(2)xy y
x z --=1arctan
解: 21d d 11()
1x y
z x y xy xy
-=--+-
22222222(1)(1)(d d )()(d d )(1)d (1)d (1)()(1)(1)()
xy xy x y x y y x x y y x x y xy x y xy xy x y ---+-+-+-==-+---+- (3)0,
sin >=y y z x
解: sin ln sin ln sin sin d d d(sin ln )(cos ln d d )x y
x y x x z e
e x y y x y x y y
===+ (4)22y
x z
u +=
解
: d u === 223222
()d (d d )
()
x y z z x x y y x y +-+=
+
(5))
(222
z y x
x e u ++=
解: 2
222
2
2
()
()222d d d[()]x x
y z x x y z u e e x x y z ++++==++
222222d[()]()d (2d 2d 2d )x x y z x y z x x x x y y z z ++=+++++ 222(3)d 2d 2d )x y z x xy y xz z =++++
所以2
222
22()
()
222d d [(3)d 2d 2d )]x x y z x x
y z u e e x y z x xy y xz z ++++===++++
(6)yz x u = 解: ln ln d d d (
d ln d ln d )yz
yz x yz x yz
u x
e e x z x y y x z x
===++ (
d ln d ln d )yz yz
x x z x y y x z x
=++ 2.求函数)1ln(2
2y x z ++=，当2,1==y x 时的全微分.
解: 22
2(d d )
d 1x x y y z x y +=++
(1,2)2(d 2d )2
d |(d 2d )1143x y z x y +==+++
3.求函数x y
z =，当 2.0,1.0,1,2-====y x y x ??时的全增量与全微分.
解: (2,1)2
d d 20.20.1
d d |0.1254
x y y x z z x --?-=?==- (20.1,10.2)(2,1)0.81 1.6 2.10.5||0.1192.12 4.2 4.2
y y z x x +---?=-=-===-
4.研究函数?????=≠++=)0,0(),( 0
)0,0(),(1sin )(),(2
2
22y x y x y x y x y x f 在点)0,0(处的可微性. 解: 由于22
2200001lim (,)lim()sin 0(0,0)x x y y f x y x y f x y →→→→=+==+，所以(,)f x y 在点(0,0)连续，又2220001
sin
0(,0)(0,0)1(0,0)lim lim lim sin 0x x x x x f x f x f x x x x
?→?→?→?-?-?===?=???
2220001
sin 0
(0,)(0,0)1(0,0)lim lim lim sin 0y y x x y f y f y
f y y y y
?→?→?→?-?-?===?=???
又22
22
1(,)(0,0)()sin f x y f x y x y ??-=?+??+?
22(,)(0,0)(0,0)(0,0)1
f x y f f x f y x y ??--?-?=?+?
22
(,)(0,0)(0,0)(0,0)1
lim
lim 0x x y y f x y f f x f y
x y ?→?→?→?→??--?-?==?+?
所以(,)f x y 在点(0,0)处可微 5.计算3
3
)97.1()02.1(+的近似值.
解：令(,)f x y =22
d (,)f x y =，
再设00(,)(1,2),0.02,0.03x y x y =?=?=-
0000(,)(,)d f x x y y f x y f =+?+?≈+
0.060.36
3 2.956
-==+
=
6.已知边长8m m,6==y x 的矩形，如果x 边增加5cm ，而y 边减少10cm ，求这个矩形的对
角线的长度变化的近似值.
解：对角线长为(,)f x y =
d (,)f x y =
，
所以
(6,8)0.5
(6.05,7.9)(6,8)d |109.9510
f f f ≈+=
=-
= 第四节 多元复合函数的求导法则
本节主要概念，定理，公式和重要结论 复合函数的求导法则（链式法则）如下： 1.设),(),
,(y x v y x u ψ?==在),(y x 可偏导，),(v u f z =在相应点有连续偏导数，则
[]),(),,(y x y x f z ψ?=在),(y x 的偏导数为
y
v v f y u u f y z x v v f x u u f x z ????+????=??????+????=??; 2.推广：
(1)多个中间变量：设),(),
,(y x v y x u ψ?==， ),,(),,(w v u f z y x w ==ω则
[]),(),,(),,(y x y x y x f z ωψ?=且 y
w w f y v v f y u u f y z x w w f x v v f x u u f x z ????+????+????=??????+????+????=??; (2)只有一个中间变量：设),,(),,(u y x f z y x u ==?则[]),(,,y x y x f z ?=且
y
f y u u f y z x f x u u f x z ??+????=????+????=??; (3)只有一个自变量：设)(),(t v t u ψ?==，)(t w ω=则[])(),(),(t t t f z ωψ?=且
dt
dw
w f dt dv v f dt du u f dt dz ??+
??+??= 习题8－4
1.求下列复合函数的一阶导数 (1)32,sin ,
t y t x e z y x ===-
解：3
2222sin 2d d d cos 23(cos 6)d d d x y x y t t z z x z y e t e t t t e t x t y t
---??=+=-=-?? (2)34,3),
arcsin(t y t x y x z ==-= 解：22
d d d d d d z z x z y t x t y t ??=+==
?? (3)x e y xy z ==),
arctan(
解：2222d d (1)d d 1()1()1x x
x
z z y z xe y x e x y x x xy xy x e ??+=+=+=??+++ (4)x z x a y a z y e u ax cos ,sin ,1
)
(2
==+-= 解：222
d d d ()cos sin d d d 111ax ax ax u u u y u z a
e y z e a x e x x x y x z x a a a ???-=++=++???+++ 2
222(sin cos cos sin )(1)sin sin 11ax ax ax e e a x a x a x x a x e x a a
=-++=+=++ 2.求下列复合函数的一阶偏导数 (1)y x v y x u v u z -=+=+=,,22
解：
222()4z
u v u v x x
?=+=+=? 222()4z
u v u v y y
?=-=-=? (2)t s y t s x y x z 23,,ln 2
-===
解：2
2222132ln 32ln(32)3[2ln(32)](32)32z x s s s s x y s t s t s t y t t s t t s t ?=+=-+=-+?-- 222223222ln(32)12ln 22ln(32)2[](32)32z s x s s s s t x y s t t t y t t s t t t s t
?--=-=---=-+?-- 3.求下列复合函数的一阶偏导数（f 是)1(C 类函数） (1)),(2
2
xy
e y x
f z -=
解：
122xy z
xf ye f x
?''=+?，122xy z yf xe f y ?''=-+?
(2)),(y xy f z =
解：
1z
yf x
?'=?，12z xf f y ?''=+? (3))
(22y x f y
z -=
解：22z xyf x f '?-=?，22
2z f y f y f
'?+=?
(4))(x
y zf xy u +=
解：22u y yzf y zf y x x x '?-'=+?=-?，1z zf x zf x y x x '?'=+?=+?，u f z
?=? 4.设),,(xyz xy x f u =且f 具有二阶连续偏导数，求z
x u
x u ?????2, 解：123u f yf xzf x ?'''=++?
212
132222333233[][]u
xf zxf f y xf zxf zf yz xf zxf x y
?''''''''''''''=+++++++?? 5.已知)(2)(y x y x y xf z ?+=，其中?,f 有二阶连续导数，求y
x z
x z ?????2,
解：2122z y y
f xf y f f x x y x
???-''''=+?+?=-?+? 222211122z y x y x f f f f x y x x x x y x y ???-''''''''''=?--?+=--?? 6.设)(),(x y g y x xy f z +=，其中g f ,有连续二阶偏导数，求y
x z ???2
解：12122211z y y yf f g yf f g x y x y x
?-''''''=++?=+-? 2111
12
221222323
11z x
x x y
f xyf f f f f
g g x y y
y y y x x ?'''''''''''''=+--+---?? 111
2222323
1
1x y
f xyf f f
g g y y x x '''''''''=+---- 第五节 隐函数的求导公式
本节主要概念，定理，公式和重要结论 1.一个方程的情形
（1）若方程0),(=y x F 确定隐函数)(x y y =， 则
y
x F F dx dy
-=. （2）若方程0),,(=z y x F 确定隐函数),(y x z z =，则z
x F F x z
-=??；z y F F y z -
=??. 2.方程组的情形 （1）若??
?==0
),,(0),,(z y x G z y x F 确定)(x y y =，)(x z z =，则
),(),(),(),(z y G F z x G F dx dy ????-=，)
,(),()
,(),(z y G F x y G F dx dz ????-
=. （2）若???==0),,,(0),,,(v u y x G v u y x F 确定?
??==)
,(),(y x v v y x u u ，则
),(),(),(),(v u G F v x G F x u ????-=??，),(),(),(),(v u G F v y G F y u ????-=??；),(),(),(),(v u G F x u G F x v ????-=??，)
,(),()
,(),(v u G F y u G F y v ????-
=??. 习题8—5
1．求下列方程所确定的隐函数)(x y y =的一阶导数dx
dy
(1)02
=-+y
e xy x
解：d 22d d d d 0()d (2)d d y
y
y
y x y
x x y x x y e y e x y x y x x e x
+++-=?-=+?=- (2)0sin 2
=-+xy e y x
解：22
sin d d d 2d 0(sin 2)d ()d x x
y y e x y x xy y y xy y y e x +--=?-=-
2d d sin 2x
y y e x y xy -?=
- (3)x
y y x =
解：22ln ln ln d d ln d d ln d d ln d d y x
y x x y x y x y x y xy x y y x xy y x x y x y
=?+
=+?+=+ d (ln )
(ln )d (ln )d d (ln )
y y x y y x y x x y y x y y x x x y x x --=-?=-
(4)x y y x arctan ln 2
2=+
解：2222
2
2d d 1d d d d ln arctan 1()y x x y y x y y x x y y x y x x y x x y x
+--=?=?=+++ d d d d d d y x y
x x y y x y y x x x y
+?+=-?=-
2．求下列方程所确定的隐函数),(y x z z =的一阶偏导数
y
z x z ????, (1)023
=+-y xz z
解：3
2
2
203d 2d 2d d 0(32)d 2d d z xz y z z z x x z y z x z z x y -+=?--+=?-=-
2221,3232z z z x z x y z x ??-==?-?- (2)z y x z y x ++=++2)2sin(3
解：3sin(2)23cos(2)(d 2d d )d 2d d x y z x y z x y z x y z x y z ++=++?++++=++
[3cos(2)1]d [13cos(2)](d 2d )x y z z x y z x y ?++-=-+++ 1,2z z
x y ??=-=-?? (3)y
z z x ln =
解：ln ln d (1ln )d ln d d z
x z z z y x z z y z y y
=-?=+--
(1ln ln )d d d y z y z y x z y ?+-=+，1,1ln ln (1ln ln )
z z z
x z y y y z y ??=
=?+-?+- (4)022=-++xyz z y x
解：20d 2d d d d d )0x y z x y z yz x xz y xy z ++-=?++++=
)d ((xy z yz x xz y ?=+
z z x y ??==
?? 3．求下列方程所确定的隐函数的指定偏导数
(1)设22
,0x
z xyz e z
??=-求 解：0d d d d 0()d d d z z z
e xyz e z yz x xz y xy z e xy z yz x xz y -=?---=?-=+ ,z z z yz z xz x e xy y e xy
??==?-?- 22222
(1)()(1)()()()z z z z
z z z xz z z z ze zy z e y ze zy z e xy x x x y y y x e xy e xy e xy ???-+---+?-???===?--- 22223223
(1)()(1)z z z x xze ye xy z xyz y z y yz e xy x y z -+--+-==--
(2)设y
x z a xyz z ???=-23
3
,3求 解：3322
33d 3(d d d )0()d d d z xyz a z z yz x xz y xy z z xy z yz x xz y -=?---=?-=+ 22,z yz z xz x z xy y z xy
??==?-?- 22
222
2222()()(2)()()(2)()()z z xz xz z y z xy yz z x z y z xy yz z x z y y z xy z xy
x y z xy z xy ??+---+---???--==??--22253222323
[()]()[(2()]2()()
z z xy yxz z xy yz zxz x z xy z xyz x y z
z xy z xy -+------==--
(3)设y
x z z x e y
x ???=++2
,1)sin(求
解：sin()1sin()(d d )cos()(d d )0x y x y x y
e x z e x z x y e x z x z ++++=?+++++=
cos()d [sin()cos()]d sin()d x z z x z x z x x z y ?+=-+++-+ tan()1,tan()z z
x z x z x y ??=-+-=-+?? 2223
sin()
sec ()sec ()tan()cos ()
z z x z x z x z x z x y y x z ??+=-+=++=???+ (4)设????=-+-x y t y x z dt e z z 2
,0ln 2求
解：222
1ln 0(1)d d d 0x t x y y z z e dt z e x e y z ---+-=?+-+=?
22
,11x y
z ze z ze x z y z
--??==
?+?+ 2
22
2222
23
(1)1(1)(1)(1)y x y x x z z ze z z z ze y y z e e x y z z z -----??+-???+===??+++ 4．设32z xy u =，而),(y x z z =是由方程xyz z y x 32
22=++所确定的隐函数，求)
1,1,1(x
u
??
解：23
23
3
22
d d 2d 3d u xy z u y z x xyz y xy z z =?=++
又2
2
232d 2d 2d 3(d d d )x y z xyz x x y y z z yz x xz y xy z ++=?++=++
(1,1,1)d |d d z x y =--，(1,1,1)(1,1,1)d |d 2d 3d |u x y z =++ (1,1,1)(1,1,1)d |d 2d 3d |2d d u x y z x y =++=--
所以
(1,1,1)
2u x
?=-?
5.求由下列方程组所确定的隐函数的导数或偏导数
（1）设???=+++=20
322
222
2z y x y x z ，求 dx dz dx dy , 解：d d d 2d 2d d 2d 2d 13(16)2d 4d 6d 03d 2d d d d 2(13)x z x z x x y y z y y x x z x z x x y y z z z z y y x x y x y z ?
=?=+-=??+?
?????
+++=+=-???=-+??
d d (16),d 13d 2(13)
z x y x z x z x y z +==-++ (2)设?
??-=+=v u e y v
u e x u
u cos sin ，求 y v x v y u x u ????????,,, 解：d (sin )d cos d d (cos )d sin d u u
x e v u u v v y e v u u v v
?=++??=-+??
sin d cos d d [(sin cos )1]cos d sin d d [(sin cos )1]u u u v x u v y u u e v v u v x u v y v u e v v -?=?-+?
??
-+?=?-+?
sin cos ,(sin cos )1(sin cos )1cos sin ,(sin cos )1(sin cos )1
u u u
u
u v u v x e v v y e v v v v v v x e v v y e v v ??-?==??-+?-+?
?
?-??==??-+?-+? 6.设uv z v e y v e x u
u ===,sin ,cos ，求
y
z x z ????, 解：d cos d sin d d (cos d sin d )d sin d cos d d (sin d cos d )
u u u u u u
x e v u e v v u e v x v y y e v u e v v v e v x v y --??=-=-?
????=+=-+???? 又d d d (cos d sin d )(sin d cos d )u u
z v u u v ve v x v y ue v x v y --=+=-+-+ (cos sin )d (cos sin )d u u e v v u v x e u v v v y --=-+-
所以(cos sin ),(cos sin )u u z z
e v v u v e u v v v x y
--??=-=-?? 7.设),(t x f y =，而t 是由方程0),,(=t y x F 所确定的y x ,的函数，其中F f ,都具有一阶连续偏导数.试证明
t F y F t f x F
t f t F x f dx
dy ??+????????-
????=
解：由),(t x f y =，12d d d y f x f t '
'=+ 又1231231
(,,)0d d d 0d (d d )F x y t F x F y F t t F x F y F '''''=?++=?=-
+'
21221322312133d d d d ()d ()d f F f F y f x x y F f F y F f f F x F F ''
''''''''''=-
-?+=-''
所以3121322d d F f f F y x F f F ''''-=''
'+ 第六节 多元函数微分学的几何应用
本节主要概念，定理，公式和重要结论
1.空间曲线的切线与法平面 设点Γ∈),,(0000z y x M ， (1)参数方程情形： 若)(),(),(:t z z t y y t x x ===Γ，
则切向量为))(),(),((000t z t y t x '''=τ；其中0)()()(02
0202≠'+'+'t z t y t x ；
切线方程为
)
()()(00
0000t z z z t y y y t x x x '-='-='-；
法平面方程为
0))(())(())((000000=-'+-'+-'z z t z y y t y x x t x .
(2)一般方程情形：若 ??
?==0
),,(0
),,(:z y x G z y x F Γ ，
则切向量为)0(),(),(,),(),(,),(),()
,,(),,(0
000≠=??? ????????=z y x M z y x z y x z y x M G
G G F F F y x G F x z G F z y G F k
j i τ； 切线方程为
)
,(),()
,(),()
,()
,(000M M M y x G F z z x z G F y y z y G F x x ??-=
??-=
??-；
法平面方程为
0)()
,(),()()
,(),()()
,(),(0000
=-??+
-??+
-??z z y x G F y y x z G F x x z y G F M M M .
2.空间曲面的切平面与法线 设点∑∈),,(0000z y x M . (1)隐式方程情形 若0),,(:=∑z y x F ，
则法向量为)0)(()}(),(),({0000≠?==M F M F M F M F z y x n ； 切平面为 0))(())(())((000000=-+-+-z z M F y y M F x x M F z y x ；
法线为
)
()()(00
0000M F z z M F y y M F x x z y x -=
-=-. (2)显式方程情形 若),(:y x f z =∑，
则法向量为}1),,(),,({0000-=y x z y x z y x n ， 切平面为 ))(,())(,(0000000y y y x z x x y x z z z y x -+-=-；
法线为
1
),(),(0
000000--=
-=-z z y x z y y y x z x x y x . (3)参数方程情形 若),(),,(),,(:v u z z v u y y v u x x ===∑，
则法向量)0(),(),(,),(),(,),(),()
,()
,(0000≠???? ????????==v u v u v
v
v
u u u
v u y x v u x z v u z y z y x z y x k j
i
n ， 切平面为
0)(),()
,()(),(),()(),(),(0)
,(0),(0),(000000=-??+-??+-??z z v u y x y y v u x z x x v u z y v u v u v u ；
法线为
0),()
,(),()
,(),()
,()
,(0)
,(0)
,(0000000=??-+
??-+
??-v u v u v u v u y x z z v u x z y y v u z y x x .
习题8—6
1．求曲线2
,1,1t z t t y t t x =+=+=
对应1=t 的点处的切线和法平面方程.
解：122
111
(,,2)|(1,,2)(1)4
t t t t τ==-=-+
切线：1
212418
y x z -
--==- 法平面：11
4(2)8(1)04822
x y z x y z --+-+-=?-++=
2．求下列曲面在指定点处的切平面与法线方程 （1）3=+-xy z e z
，点)0,1,2( 解：(2,1,0)(,,1)|(1,2,0)z n y x e =-= 切平面：22(1)024x y x y -+-=?+=
法线：
21120x y z
--== （2）22
22b
y a x c z +=，点),,(000z y x
解：00000(,,)2222222211
(,,)|(,,)x y z x y x y n a b c a b c =-=-
切平面：0000022221
()()()0x y x x y y z z a b c
-+---=
22
000
000022222222()()xx yy x y z z x x y y a b c a b c ?-+--=+-
即000002222()()xx yy z z x x y y a b c c -+--=
法线：22000000000022
()()()
221221x x y y z z a x x b y y c z z x y x y c a b
------==?==-- 3．求出曲线t z t y t x ===,,2
3上的点，使在该点的切线平行于平面62=++z y x .
解：设曲线t z t y t x ===,,2
3在点(,,)|t x y z 的切向量为2(3,2,1)t t τ=
平面62=++z y x 的法向量为(1,2,1)n =，由题意可知
221(3,2,1)(1,2,1)3410,13
n t t t t t t τ?=?=++=?=-=-
所以，该点为111
(,,),(1,1,1)2793-
--- 4．求椭球面932
22=++z y x 上平行于平面02=+-z y x 的切平面方程.
解：设曲面932
2
2
=++z y x 在点000(,,)x y z 处的法向量为n ，则
000(3,,)n x y z =，由题意可知，
000
3121
x y z ==- 令
0000003,2,1213x y z t t x y t z t ===?==-=-，又222
0039x y z ++=，所以
22224916273t t t t t ++=?=?=
00033,2
x y z ===
x y z
=
或0
x y z +=
即20x y z -+-=或20x y z -++= 5．试证曲面1=++
z y x 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于1.
证明：设(,,)P x
y z
为曲面1=++
z y x 上任一点，则曲面在该点处的法向量为
n =
))
)0X x Y y
Z z
-+-+
-=
1X Z
+
==，该平面在三个坐标轴上的截距为
1=
6．求曲线x m z mx y -==2
2
,2在点),,(000z y x 处的切线和法平面方程. 解：曲线x m z mx y -==2
2
,2在点),,(000z y x 处的切向量为00
1
(1,,)2m y z τ=- 所以切线的方程为
00000()2()
11x x y y y z z z m ---==
- 法平面为000001()()02m x x y y z z y z -+---=，即0001122
m x y z x m y z +-=+- 第七节 方向导数与梯度
本节主要概念，定理，公式和重要结论
1.方向导数
(1)定义 设),(y x f z =在点),(y x P 的某邻域内有定义，l 是任一非零向量，),(b a l =e ，则),(y x f 在点P 处沿l 的方向导数定义为
t
y x f bt y at x f l f t )
,(),(lim
0-++=??→ l
f
??表示函数),(y x f 在点P 处沿方向l 的变化率. (2)计算公式
若),(y x f 在点),(y x P 处可微，则对任一单位向量),(b a l =e ，有
b y x f a y x f l
f
y x ),(),(+=??（此也为方向导数存在的充分条件）. 2.梯度
(1)定义 设)
1(),(C
y x f ∈，则梯度grad ),(y x f 为下式定义的向量：
grad ),(y x f （或),(y x f ?）)),(),,((y x f y x f y x =.
(2)方向导数与梯度的关系
l y x f l
f
e ??=??),( (3)梯度的特征刻画
梯度是这样的一个向量，其方向为),(y x f 在点),(y x P 处增长率最大的一个方向；其模等于最大增长率的值.
习题8—7
1．求下列函数在指定点0M 处沿指定方向l 的方向导数
(1)l ,)2,1(,
02
2M y x z +=为从点（1，2）到点（2，2+3）的方向
解：方向l 为1(1,3)2(2l ==，而(1,2)(1,2)|2,|4z z
x y
??==??
所以
(1,2)(1,2)(1,2)1||cos |cos 24122
z z z x y αβ???=+=?+=+???l (2))1,1,1(,)2,2,1(,arctan 0-=-=l M z
y
x u
解：(1,1,1)=-=l (1,2,2)(1,2,2)(1,2,2)(1,2,2)||cos |cos |cos u z z z
x y z αβγ----????=++????l 而2222arctan ,,u y u xz u xy x z y z y z z y
???-===??+?+
所以
(1,2,2)11|cos cos cos 444u παβγ-?=---=?l 2．求函数)ln(y x z +=在抛物线x y 42
=上点（1，2）处，沿着这抛物线在该点处偏向x
轴正向的切线方向的方向导数.
解：抛物线x y 42
=在点(1,2)处的切向量为(1,2)2(1,
)|(1,1)x y ==l =
(1,2)(1,2)(1,2)||cos |cos u z z x y αβ???=+==
???l 3．求函数xyz z xy u -+=3
2 在点)2,1,1(处沿方向角为3
,4,3πγπβπα===的方向的方向导
数. 解：
(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)||cos |cos |cos u z z z
x y z
αβγ????=++????l 22(1,1,2)(1,1,2)(1,1,2)()|cos
(2)|cos
(3)|cos
343
y yz xy xz z xy πππ
=-+-+-111
522=-+=
4．设),(y x f 具有一阶连续的偏导数，已给四个点)15,6(),7,1(),3,3(),3,1(D C B A ，若),(y x f
在点A 处沿方向的方向导数等于3，而沿AC 方向的方向导数等于26，求),(y x f 在点A 处沿AD 方向的方向导数.
解：512
(2,0)2(1,0),(0,4)4(0,1),(5,12)13(
,)1313
AB AC AD ====== (,)||cos |cos |3A A A A f x y f f f
x y x AB
αβ????=+==????
(,)||cos |cos |26A A A A f x y f f f
x y y AC
αβ????=+==????
所以
(,)5122
||cos |cos 32625131313A A A f x y f f x y AD
αβ???=+=?+?=+??? 5．设z y x xy z y x z y x f 62332),,(2
22--++++=，求grad )0,0,0(f 及grad )1,1,1(f 解：(0,0,0)grad (0,0,0)(23,42,66)|(3,2,6)f x y y x z =+++--=-- (1,1,1)grad (1,1,1)(23,42,66)|(6,3,0)f x y y x z =+++--=
6．问函数z xy u 2
=在点)2,1,1(-P 处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值. 解：沿梯度方向的方向的方向导数最大
22(1,2,2)(1,2,2)grad (1,2,2)(
,,)|(,2,)|(8,8,4)u u u
u y z xyz xy x y z
--???-===-???
||grad (1,2,2)|12max u
u ?=-==?l
第八节 多元函数的极值及其求法
本节主要概念，定理，公式和重要结论
1.极大（小）值问题
必要条件. 若),(y x f 在点),(00y x 有极值且可偏导，则
0),(),(0000==y x f y x f y x .
使偏导数等于零的点),(00y x 称为f 的驻点（或稳定点）.驻点与不可偏导点都是可疑极值点，还须用充分条件检验.
充分条件. 设),(y x f z =在区域D 内是)
2(C
类函数，驻点D y x ∈),(00，记
,),(,),(,),(000000y x f C y x f B y x f A yy xy xx ===
（1）当02
>-=?B AC 时，),(00y x f 是极值，且)0(0<>A 是极小（大）值；
（2）当0
首先找出),(y x f 在D 上的全部可疑极值点（设为有限个），算出它们的函数值，并与D 的边界上f 的最大.最小值进行比较，其中最大、最小者即为f 在D 上的最大、最小值.
对于应用问题，若根据问题的实际意义，知目标函数),(y x f 在D 内一定达到最大（小）值，而在D 内),(y x f 的可疑极值点唯一时，无须判别，可直接下结论：该点的函数值即为f 在D
内的最大（小）值.
3.条件极值（拉格朗日乘子法）
求目标函数),(y x f z =在约束方程0),(=y x ?下的条件极值，先作拉格朗日函数
),(),(),,(y x y x f y x L λ?λ+=,
然后解方程组0,0,0===λL L L y x ，则可求得可疑极值点),(00y x .
对于二元以上的函数和多个约束条件，方法是类似的。
习题 8—8
1．求下列函数的极值
（1）)2(),(2
2y y x e y x f x
++=
解：22222
2(,)2(2)(2241)012(,)(22)01x x x x f x y e x y y e e x y y x x f x y e y y y
??=+++=+++=??=
?????????=+==-????
222222
(,)(,)(4483),4(1)0,x x f x y f x y A e x y y e B e y x y x ??==+++===+=??? 222
(,)22x f x y C e e y
?===?，22
20,0B AC e A e -=-<=> 故(,)f x y 在1(,1)2-处取得极大值111
(,1)(12)222
f e e -=+-=-
（2）2333),(2
232+--+=y x y y x y x f
解：2222(,)
660(1)001,1,(,)0,21203360f x y xy x x y x x x
f x y y y x y y x y y y
??=-=?-===-????????????==+-=???
?=+-=??? 可疑极值点有四个，即(0,0),(0,2),(1,1),(1,1)O A B C -
22222
(,)(,)(,)
66,6,66f x y f x y f x y y x y x x y y ???=-==-????
(0,0)2,(0,2)81222f f ==-+=-
2．求下列函数在约束方程下的最大值与最小值 （1）14,
2),(22=++=y x y x y x f