上海市上海中学2017-2018学年高三10月月考数学试题 Word版含答案
2017-2018学年第一学期高三数学第一次测验试
卷
高三年级数学试卷（共4页）
一．填空题
1、已知全集U=R，集合P=x|x-2
{³1}，则C U P=
2、设复数z1=1+i,z2=-2+xi(xÎR),若z1·z2ÎR，则x的值等于
3、已知圆C: x2+y2=r2与直线3x-4y+10=0相切，则圆C的半径r=
4、如图，在正四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD的
边长为3，BD1与底面所成的角的大小为arctan 2
3
，则该
正四棱柱的高等于
5、已知抛物线C的顶点在坐标原点，焦点与双曲线: x2
7
-
y2
2
=1的右焦点
重合，则抛物线C的方程是
6、在二项式(x2-2
x
)5的展开式中，x的一次项系数为。
（用数字作答）
7、已知角a的顶点在坐标原点，始边与x轴的正半轴重合，角a的终边与圆心在原点的单
位圆（半径为1的圆）交于第三象限内的点A(x
A ,-
4
5
)，则sin2a=。
（用数值
表示）
8、设无穷等比数列{a n}(nÎN*)的公比q=-1
3
,a
1
=1,
则
n®¥
lim(a2+a4+a6+···+a2n)=
9、某几何体的三视图如图所示（单位：cm），
则该几何体的体积是cm3
10、在D ABC中，已知
且D ABC的面积S=1，则的值为
11、现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-2为公比的等不数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是
12、设f(x)是定义域在R上且周期为2的函数，在区间[-1,1]上, f(x)=
ax+1,-1£x£0 bx+2
x+1
,0£x£1ì
í
ï
îï
其中a,bÎR，若f(1
2
)=f(
3
2
)，则b
a3
的值为
13、定义：曲线C上的点到直线L的距离的最小值称为曲线C到直线L的距离。
已知曲线C1：y=x2+a到直线L: y=x的距离等于C2: x2+(y+4)2=2到直线L: y=x的距离，则实数a=
14、已知xÎR，定义：A(x)表示不小于x的最小整数。
如A(3)=2,A(-0.4)=0,A(-1.1)=-1等。
若A(3x·A(x))=7，则正实数x的取值范围是
二、选择题
15、已知直线l和平面a，无论直线l与平面a具有怎样的位置关系，在平面a内总存在一条直线与直线l（）
A、相交
B、垂直
C、平行
D、异面
16、已知向量，则下列能使成立的一组向量是（）
A、B、
C、D
、
17、若x,y满足
2x-y£0
x+y£3
x³0
ì
í
ï
î
ï
，则2x+y的最大值为（）
A、4
B、5
C、0
D、3
18、设函数f(x)=a x+b x-c x,其中c>a>0,c>b>0。
若a,b,c是D ABC的三条边长，则下列结论中正确的是（）
（1）、对一切xÎ(-¥,1)都有f(x)>0；
（2）、存在xÎR+，使xa x,b x,c x不能构成一个三角形三条边长；
（3）、若D ABC为钝角三角形，则存在xÎ(1,2)，使f(x)=0。
A、（1）（2）
B、（1）（3）
C、（2）（3）
D、（1）（2）（3）
三、解答题
19、如图,四棱锥P-ABC中，PA^面ABCD，AD//BC，AB=AD=AC=3，PA=BC=4，M为线段AD上一点，AM=2MD，N为PC的中点。
（1）证明MN//平面PAB；
（2）求直线AN与平面PMN所成角的正弦值。
20、D ABC的内角A，B，C的对边分别是a,b,c
，已知
2cos C (a cos B +b cos A )=c
（1）求C ； （2）若c =7，D ABC 的面积为
33
2
，求D ABC 的周长。
21、如图，圆O 与长轴是短轴两倍的椭圆T ：x 2a 2+y 2
b
2=1(a >b >0)相切与点M （0，1）。
（1）求椭圆T 与圆O 的方程；
（2）过点M 引两条互相垂直的两直线l 1,l 2与两曲线分别交于点A ，C 与点B ，D （均不重合）。
若P 为椭圆上任意一点，记点P 到两直线的距离分别
为d 1,d 2，求d 12+d 22的最大值，并求出此时P 的坐标。
22、已知集合A =x
2x +1x +2<1,x ÎR ìíîü
ýþ
，函数f (x )=mx +1(m ÎR )，函
数g (x )=x 2+ax +b (a ,b ÎR )的值域为0,+¥[)。
（1）若不等式
f (x )<3的解集为A ，求m 的值；
（2）在（1）的条件下，若f (x )-2f (x
2
)£k 恒成立，求k 的取值范围； （3）若关于x 的不等式g (x )<c 的解集为（m , m+6）,求实数c 的值。
23、记U ={1,2,···,100}。
对数列{a n }(n ÎN *
)和U 的子集T 。
若T =Æ，定义S T =0；
若T
={t 1,t 2,···,t k }，定义S T =a t 1+a t 1+···+a t k
例如：T ={1,3,66}时，S T =a 1+a 3+a 66.现设{a n }(n ÎN *
)是公比为3的等比数列，且当T ={2,4}时，S T =30。
（1）求数列{a n }的通项公式；
（2）对任意正整数k (1£k £100)，若T Í{1,2,···,k }，求证：S T <a k +1；
（3）设C ÍU ,D ÍU ,S C
³S D ，求证：S C +S C ÇD ³2S D 。
参考答案：
1、1,3()
2、2
3、2
4、22
5、y =12x
6、-80
7、
2425 8、-38
9、40 10、±2 11、
7
10
12、-10 13、
9
4
14、1,76æèçùûú
15、B 16、C 17、A 18、D 19、（1）略 （2）85
25
20、（1）C =
p
3
(2)
5+7
21、(1) x 2
4
+y 2=1,x 2+y 2=1
(2) (d 12
+d 22
)max =163,P =(±423,-1
3
) 22、（1）m=2 (2) k ³1 （3）C=9
23、（1）
a n =3n -1 (2)略
（3）略。
普陀区高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题(1)
普陀区高中2018-2019学年上学期高三数学10月月考试题 班级__________ 座号_____ 姓名__________ 分数__________一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1． 定义在R 上的偶函数()f x 满足(3)()f x f x -=-，对12,[0,3]x x ∀∈且12x x ≠，都有1212()()0f x f x x x ->-，则有（ ）A ．(49)(64)(81)f f f <<B ．(49)(81)(64)f f f << C. (64)(49)(81)f f f << D ．(64)(81)(49)f f f << 2． 给出函数()f x ，()g x 如下表，则(())f g x 的值域为（ ）A ．{}4,2B ．{}1,3C ．{}1,2,3,4D ．以上情况都有可能 3． 直角梯形OABC 中,,1,2AB OC AB OC BC ===,直线:l x t =截该梯形所得位于左边图 形面积为，则函数()S f t =的图像大致为（ ）4． 执行右面的程序框图，如果输入的[1,1]t ∈-，则输出的S 属于（ ） A.[0,2]e - B. (,2]e -? C.[0,5] D.[3,5]e -【命题意图】本题考查程序框图、分段函数等基础知识，意在考查运算能力和转化思想的运用． 5． 如图，棱长为的正方体1111D ABC A B C D -中，,E F 是侧面对角线11,BC AD 上一点，若 1BED F 是菱形，则其在底面ABCD 上投影的四边形面积（ ）A ．12 B ．34C. 2 D ．34-6． 已知复数z 满足（3+4i ）z=25，则=（ ） A ．3﹣4iB ．3+4iC ．﹣3﹣4iD ．﹣3+4i7． 点A 是椭圆上一点，F 1、F 2分别是椭圆的左、右焦点，I 是△AF 1F 2的内心．若，则该椭圆的离心率为（ ）A ．B ．C ．D ．8． 已知函数()cos (0)f x x x ωωω=+>，()y f x =的图象与直线2y =的两个相邻交点的距离等于π，则()f x 的一条对称轴是（ ）A ．12x π=-B ．12x π=C ．6x π=-D ．6x π=9． 向高为H 的水瓶中注水，注满为止．如果注水量V 与水深h 的函数关系如图，那么水瓶的形状是图中的（ ）A． B． C． D．10．集合{}1,2,3的真子集共有（ ）A ．个B ．个C ．个D ．个 11．已知数列{}n a 的各项均为正数，12a =，114n n n na a a a ++-=+，若数列11n n a a +⎧⎫⎨⎬+⎩⎭的前n 项和为5，则n =（ ）A ．35B ． 36C ．120D ．12112．设F 为双曲线22221(0,0)x y a b a b-=>>的右焦点，若OF 的垂直平分线与渐近线在第一象限内的交点到另一条渐近线的距离为1||2OF ，则双曲线的离心率为（ ）A． BC． D ．3【命题意图】本题考查双曲线方程与几何性质，意在考查逻辑思维能力、运算求解能力、方程思想．二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填写在横线上）13．设函数()()()31321x a x f x x a x a x π⎧-<⎪=⎨--≥⎪⎩，，，若()f x 恰有2个零点，则实数的取值范围是 ．14．f （x ）=x （x ﹣c ）2在x=2处有极大值，则常数c 的值为．14．已知集合，若3∈M ，5∉M ，则实数a 的取值范围是 ．15()23k x =-+有两个不等实根，则的取值范围是 ．16．设,y x 满足约束条件2110y x x y y ≤⎧⎪+≤⎨⎪+≥⎩，则3z x y =+的最大值是____________．三、解答题（本大共6小题，共70分。
上海市复旦大学附中2018届高三上学期10月月考数学试题
绝密★启用前 上海市复旦大学附中2018届高三上学期10月月考数学试题 试卷副标题 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上 第I 卷（选择题) 请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题 1．集合2{|,}A y y x x R ==∈，{2,1,1,2}B =--，则下列结论正确的是（ ） A ．(0,)A B ⋃=+∞ B ．()(,0]R C A B =-∞U C ．[0,)R A C B =+∞I D ．(){2,1}R C A B =--I 2．在612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式中，4x 的系数为（ ） A ．-3 B ．-0.5 C ．3 D ．6 3．已知0a b >>，且1ab =，如果把4b a 、()2a b -+、4a b 按从小到大的顺序排列，那么排在中间的数是（ ） A ．4b a B ．()2a b -+ C ．4a b D ．不能确定 4．已知定义是R 上的偶函数()f x 在[)0,+∞上递增，记函数()()g x xf x =，对于如下两个命题：①存在函数()f x ，使函数()g x 在R 上递增；②存在函数()f x ，使函数()g x 在R 上递减.下列判断正确的是（ ） A ．①与②均为真命题 B ．①与②均为假命题 C ．①为真命题，②为假命题 D ．①为假命题，②为真命题请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题 5．已知集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-则A B =I __________． 6．函数211y x =+的值域是______. 7．程4220x x --=的解为______. 8．已知球的表面积是2484cm π，则该球的体积是______3cm （结果中保留π）9．函数212log (43)y x x =-+-的单调递增区间是 .10．在五个数字1、2、3、4、5中，若随机取出三个数字，则剩下的两个数字都是奇数的概率是 .11．设函数213,0()2log ,01x x f x x x -≤⎧⎪=⎨>⎪+⎩的反函数为1()y f x -=，则1(2)f --=________．12．已知0x ≥,0y ≥,且1x y +=,则22x y +的取值范围是_____.13．在平面直角坐标系xOy 中，角α与角β均以x 轴的正半轴为始边，它们的终边关于y 轴对称，若1sin 3α=，则cos 2β=______.14．已知函数()22x x x af x x x a ⎧--≤=⎨->⎩，若函数()f x无最大值，则实数a 的取值范围为______.15．若对于任意x R ∈，不等式1234x ax -≤+--≤恒成立,则实数a 的值为______. 16．已知定义在R 上函数()f x 满足，对一切实数x 、y ，均有()()22223f x y y f x y ++≥+，且()100100f =，则()200f =______.三、解答题17．已知函数()()2sin cos cos 2f x x x x =++.（1）求()f x 的最小正周期；…………线………………线……（2）已知ABC ∆的三个内角为A 、B 、C ，且()2f A =，求()cos B C +的值. 18．如图所示，在棱长为2的正方体1111ABCD A B C D -中，E 、F 分别为线段1DD 、BD 的中点.（1）求异面直线EF 与BC 所成的角； （2）求三棱锥11C B D F -的体积. 19．甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求110x ≤≤），每小时可获得利润是3100(51)x x +-元. (1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x 的取值范围； (2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润. 20．已知a R ∈，函数()24log 2a x f x ⎛⎫=+ ⎪-⎝⎭. （1）求实数a 的值，使得()f x 为奇函数； （2）若关于x 的方程()()2log 2175f x a x a =-+-⎡⎤⎣⎦有两个不同实数解，求a 的取值范围； （3）若关于x 的不等式()()2log 21f x x a >-+对任意[]3,6x ∈恒成立，求a 的取值范围. 21．对于函数()()f x x D ∈，若存在正常数T ，使得对任意的x D ∈，都有()()f x T f x +≥成立，我们称函数()f x 为“T 同比不减函数”． （1）求证：对任意正常数T ，()2f x x =都不是“T 同比不减函数”； （2）若函数()sin f x kx x =+是“2π同比不减函数”，求k 的取值范围； （3）是否存在正常数T ，使得函数()11f x x x x =+--+为“T 同比不减函数”，若存在，求T 的取值范围；若不存在，请说明理由．参考答案1．D【解析】因为2{|,}[0,)A y y x x R ==∈=+∞，{2,1,1,2}B =--，所以(){}2,1R C A B ⋂=--，故选D.2．A【解析】【分析】 把612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭按照二项式定理展开，可得展开式的通项公式6161()2r r r r T C x x -+=-，根据通项公式可求解．【详解】 将612x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭展开得通项公式66216611()=22rr r r r r r T C x C x x --+⎛⎫=-- ⎪⎝⎭, 含4x ，则令624r -=，得1r =， 所以4x 的系数为：116132C ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭故选：A【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，属于基础题．3．B【解析】【分析】 0a b >> ，且1ab =，则1b a=，可得22222222a a b b b b b a b ⋅>⋅>⋅>⋅⋅．化简即可得出结论【详解】 由0a b >> ，且1ab =，有10>>>a b ，1b a= 222222222=2a a b b b b b b a b b ⋅>⋅>⋅>⋅⋅⋅即22222=22a a b a b b a b +⋅>⋅>⋅，即22111222a a b ba b +<<⋅⋅ 21124a a b a =⋅⋅ ，21124b b a b =⋅⋅ 所以有1424a ab b b a +<< 所以按从小到大的顺序排列，()2a b -+排在中间.故选：B【点睛】本题考查了不等式的性质及其应用和指数的运算性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．4．A【解析】【分析】根据g()x 的奇偶性可知只需判断g()x 在[0,)+∞的单调性即可，令2()f x x =可判断①，根据()1(0)x f x ex -=--≥可判断②．【详解】 g()()()()x xf x xf x g x -=--=-=-，则()g x 为奇函数,所以()g x 在[0,)+∞上的单调性与在R 上的单调性相同．(1) 若2()f x x =，则3()g x x =，显然()g x 在上是增函数，所以①为真命题.(2) 若当0x ≥时，若1()(0)x f x e x --=-≥，则()x g x xe x -=--1()11x x xx g x e xe e ---'=-+-=- 2()x x g x e -''= 当02x ≤<时，()0g x ''>，当2x >时，()0g x ''<所以()g x '在[0,2)上单调递增，在(2,)+∞上单调递减. 所以21()(2)10g x g e ''≤=-< 所以g()x 在[0,)+∞上单调递减，又()g x 为奇函数且g(0)0=，所以函数()g x 在R 上递减.故选：A【点睛】本题考查了函数奇偶性与单调性的判断，属于中档题．5．{}12－，【解析】【分析】直接利用集合交集的定义求解即可.【详解】因为集合{}{}1,1,2,4,1,0,2,A B =-=-两个集合的公共元素为1,2-所以{}1,2A B =-I ．故答案为{}1,2-.【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 6．(]0,1【解析】【分析】根据2x 的范围可直接求出函数211y x =+的值域。
2017-2018年上海市复旦附中高一上10月月考数学试卷(有答案)
上海市复旦附中 高一月考 2017.10一.填空题(每题3分)1、 若集合{}2,,2A a a =+，集合{}2,3,5,8B =，且A B ≠⊂，则a 为_____________. 2、 已知集合{}2,3,5,8A =，集合{}2,3,5,8,12,11B =，若集合M 满足A M B ≠⊂⊆，则这样的集合M 共有______________个3、 设全集为R ，若集合{}{}3,12,A x x B x x =≥=-≤<则U U C A C B ⋃=_____________.4、 若集合{}2(1)0,A x k x x k x R =+--=∈中只有一个元素，则实数k 的值为_____________.5、 若集合{}{}21,46,A x y x B y y x x x R ==+==-+∈，则A B =_____________. 6、若 3030a b -<<<，则2a b -范围为_____________. 7、设全集{}8,,I x x x N =≤∈{}2,8U A C B = U U C A C B {}1,5,6=，{}3,7U C A B =则集合A ＝_____________；.B ＝_____________.8、“2x >”的_____________条件是“24x >”。
9、已知{}{}234010A x x x B x ax a B A =+-==-+=⊆且,则实数a 的值为_____________.10、设α：2x ≥或5x ≤-，β：21x m ≥-+或23x m ≤-，m R ∈，α是β的充分非必要条件，则m 的取值范围为_____________.11、设集合{}32A x x =-≤<，{}10B x mx =+=，若A B ，则m 的取值范围为_____________.12、已知命题p:方程24420x x m ++-=有两个不等的负根；命题q:方程()21210x m x m +++-=无实根.若p,q 两命题一真一假,则m 的取值范围为_____________.二.解答题13、(6分)写出“若0a ≠或0b ≠，则220a b +>”的逆命题，否命题，逆否命题，分别判断真假。
上海市金山中学2017_2018学年高二数学10月月考试题 (1)
如果您喜欢这份文档，欢迎下载！祝您成绩进步，学习愉快！ 上海市金山中学2017-2018学年高二数学10月月考试题（时间120分钟 满分150分）一、填空题(本大题满分54分)本大题共有12题，其中第1题至第6题每小题4分，第7题至第12题每小题5分，考生应在答题纸上相应编号的空格内直接填写结果，否则一律得零分． 1．不等式21≥-xx 的解集为 。
2．如果行列式12334152--=aD 中元素1的代数余子式为5，则=a 。
3．已知=(1,2)，=(x,1)，且2+与-2平行，则x= 。
4．直线5=x 与直线062=-+y x 的夹角为 。
5．已知a =(3,1-），b =(1,3-),则向量a 在b 方向上的投影为 。
6．等比数列}{n a 的公比0q >,若2a =1，216n n n a a a +++=，则}{n a 的前10项和=10S 。
7．若扇形的圆心角弧度数为2，其所对的弦长也是2，则此扇形的弧长是 。
8．若一条直线过点(－2,－1），且在两坐标轴上的截距相等，则此直线方程为 。
9．如图，四个边长为1的小正方形构成一个大正方形，AB 是大正方形的一条边，)7,6,5,4,3,2,1(=i P i 是小正方形的其余顶点，则i ⋅的不同值的个数为 。
10．若关于x 的方程09222=-+⋅+a a x x有实根，则实数a 的取值范围为 。
11. 在平行四边形ABCD 中，3=⋅=⋅，则线段AC 的长为_______。
12．已知函数21()()log 3xf x x =-，正实数a b c 、、成公差为正数的等差数列，满足：()()()0f a f b f c <，且实数d 是方程()0f x =的一个解。
给出下列四个不等式：P 5P 7P 3BP 6P 1P 2AP 4① d a <；②d b >；③d c <；④d c >，其中有可能成立的不等式的个数是 。
上海市宜川中学2017-2018学年高三上学期10月月考数学试题
上海市宜川中学2020-2021学年高三上学期10月月考数学试题学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、填空题1．已知集合{}4|12,|lg 1A x x B x y x ⎧⎫⎛⎫=-≤==-⎨⎬⎪⎝⎭⎩⎭，则A B =_____________． 2．已知幂函数()y f x =存在反函数，若其反函数的图像经过点1,93⎛⎫⎪⎝⎭，则该幂函数的解析式()f x =______.3．“0a b +>”是“任意的[]0,1x ∈，0ax b +>恒成立”的______条件.4．角α0y +=与曲线y =()cos πα-=______5．方程()()233log 45log 1x x x --=+的解集是______6．若一元二次不等式20ax ax b -+<的解集为(,1)m m +，则实数b ＝_________． 7．两位同学一起去一家单位应聘，面试前单位负责人对他们说：“我们要从面试的人中招聘3人，如果每人被录用的可能性相同，那么你们俩同时被招聘进来的概率是170”，根据负责人的话，可以推断除参加面试的人数为______ 8．已知函数()12x f x a+=-（0a >且1a ≠）的反函数()1f x -，若()1y f x -=在[]0,1上的最大值和最小值恰是互为相反数，则a 的值为______9．设x ，y 满足约束条件1210,0y x y x x y ≤+⎧⎪≥-⎨⎪≥≥⎩，则目标函数11y z x +=+的最大值为______10．记{},min ,{,a a b a b b a b ≤=>当时当时，已知函数{}222()min 21,43f x x tx t x x =++--+是偶函数（为实常数），则函数的零点为__________．（写出所有零点）11．已知集合{}0,1,2,3,4,5,6,7,8,9S =，集合A 是S 的含有5个元素的子集，若A 中任意两个元素的和都不等于9，则满足条件的集合A 共有______个. 12．问题：当()0,x ∈+∞时，求22x x+的最小值. 解：()2221121x x x x x ⎛⎫+=-++- ⎪⎝⎭， 因为()210x -≥，12x x+≥，两个不等式等号取到时都为1x =， 故当1x =时，22x x+有最小值3. 利用上述方法，可计算得函数21y x x=+，()0,x ∈+∞取得最小值时x 为______二、单选题13．已知,,a b c ∈R ，给出下列命题： ①若a b >，则22ac bc >；②若0a b >>，*n N ∈，则n n a b >； ③若0ab ≠，则2a b ba+≥；④若log 0a b <（0a >，1a ≠），则a ，b 中至少有一个不大于1. 其中真命题的个数为（ ） A ．1B ．2C ．3D ．414．函数()y f x =的定义域为R ，对于任意实数x 都有()()()133f x f x f x -=-=-，当[]1,2x ∈时，()lg f x x =，则()y f x =的单调递减区间是（ ） A ．[]2,21k k +，k Z ∈ B ．[]21,2k k -，k Z ∈ C ．[]2,22k k +，k Z ∈D ．[]22,2k k -，k Z ∈15．已知定义在区间(0,2)上的函数()y f x =的图象如图所示，则(2)y f x =--的图象为A ．B ．C ．D ．16．定义在()1,+∞上的函数()f x 同时满足下列两个条件：①对任意的()1,x ∈+∞恒有()()22f x f x =成立；②当(]1,2x ∈时，()2f x x =-.记函数()()()1g x f x k x =--，若函数()g x 恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（ ）A ．[)1,2B ．4,23⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．4,23⎛⎫⎪⎝⎭D ．4,23⎡⎫⎪⎢⎣⎭三、解答题17．如图，直三棱柱111ABC A B C -的底面是边长为2的正三角形，E ，F 分别是BC ，1CC 的中点.（1）证明：AE ⊥平面11B BCC ；（2）若直线1A C 与平面11A ABB 所成的角为45︒，求三棱锥F AEC -的体积.18．在ABC ∆中，角A ，B ，C 所对的边长分别为a ，b ，c ，向量()2sin ,2cos m B B =，()3cos ,cos n B B =-，且1m n ⋅=.（1）求角B 的大小；（2）若2b =，求ABC ∆面积的最大值.19．某地政府为改善居民的住房条件，集中建设一批经适楼房．用了1400万元购买了一块空地，规划建设8幢楼，要求每幢楼的面积和层数等都一致，已知该经适房每幢楼每层建筑面积均为250平方米，第一层建筑费用是每平方米3000元，从第二层开始，每一层的建筑费用比其下面一层每平方米增加80元．（1）若该经适楼房每幢楼共x 层，总开发费用为()y f x =万元，求函数()y f x =的表达式（总开发费用=总建筑费用+购地费用）；（2）要使该批经适房的每平方米的平均开发费用最低，每幢楼应建多少层？20．已知()()221x x af x a R -=∈+的图像关于坐标原点对称.（1）求a 的值；（2）若函数()()221xx bh x f x =+-+在[]0,1内存在零点，求实数b 的取值范围； （3）设()4log 1k x g x x +=-，若不等式()()1f xg x -≤在12,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，求满足条件的最小整数k 的值.21．设()f x 是定义在D 上的函数，若对任何实数(0,1)α∈以及D 中的任意两数1x 、2x ，恒有()1212(1)()(1)()fx x f x f x αααα+-≤+-，则称()f x 为定义在D 上的C 函数．（1）证明函数21()f x x =是定义域上的C 函数；（2）判断函数21()(0)f x x x=<是否为定义域上的C 函数，请说明理由； （3）若()f x 是定义域为R 的函数，且最小正周期为T ，试证明()f x 不是R 上的C 函数．参考答案1．{}|03x x <≤ 【分析】利用绝对值不等式的解法化简集合A ，利用对数函数的定义域以及分式不等式的解法化简集合B ，由交集的定义可得结果. 【详解】因为1221213x x x -≤⇒-≤-≤⇒-≤≤， 所以{}|13A x x =-≤≤， 因为4410004x x x x-->⇒>⇒<<， 所以{}|04B x x =<<，所以A B ⋂={}|03x x <≤，故答案为{}|03x x <≤. 【点睛】研究集合问题，一定要抓住元素，看元素应满足的属性.研究两集合的关系时，关键是将两集合的关系转化为元素间的关系，本题实质求满足属于集合A 且属于集合B 的元素的集合. 2．()120xx ->【分析】设出幂函数解析式，由于点1,93⎛⎫⎪⎝⎭在()f x 反函数图像上，所以可知19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭在幂函数()f x 图像上，由此可求解出()f x . 【详解】设()f x x α=，因为点1,93⎛⎫ ⎪⎝⎭在()f x 反函数图像上，所以()f x 图像经过19,3⎛⎫ ⎪⎝⎭，所以193α=，解得：12α=-，所以()()120f x x x -=>.故答案为()120x x ->.【点睛】本题主要考查反函数与原函数的关系，难度较易.互为反函数的两个函数的图像关于y x =对称.3．必要不充分 【分析】根据充分条件和必要条件的定义进行判断即可． 【详解】解：若任意的x ∈[0，1]，ax +b ＞0恒成立”， 则设f （x ）＝ax +b ，则满足()()0010f b f a b ⎧=⎪⎨=+⎪⎩＞＞，即a +b ＞0，b ＞0，则“a +b ＞0”是“任意的x ∈[0，1]，ax +b ＞0恒成立”的必要不充分条件， 故答案为：必要不充分． 【点睛】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数关系是解决本题的关键． 4．3【分析】由题意求得交点的坐标，结合三角函数定义得到cos α=，再利用诱导公式可得结果. 【详解】由题意可得：0y y +==⎪⎩ ，∴1x y =-⎧⎪⎨=⎪⎩∴cos 3α==， ()cos πα-=cos 3α-=【点睛】本题考查三角函数定义，考查诱导公式，考查计算能力，属于基础题.5．{}6 【分析】利用对数函数的性质，化对数方程为二次方程，解之即可. 【详解】∵()()233log 45log 1x x x --=+，∴2245010451x x x x x x ⎧-->⎪+>⎨⎪--=+⎩解之得到：6x =，∴方程()()233log 45log 1x x x --=+的解集是{}6，故答案为：{}6 【点睛】本题考查对数方程的解法，考查等价变形，易错点是忽视真数大于零. 6．0 【解析】试题分析：由根与系数的关系可知()11{0,01m m m b b m m a++=∴==+=考点：三个二次关系 7．21 【分析】设共有n 个人，然后根据每人被招的可能性相同得到二人同时被招的概率，使其等于170即可求出n 的值，得到答案． 【详解】解：设共有n 个人参加面试，从n 个人中招聘3人的所有结果数共有∁n 3()()126n n n --=种则此两个人同时被招进的结果有C n ﹣21C 22＝n ﹣2 P ()()()()626112170n n n n n n -===---∴n （n ﹣1）＝420即n 2﹣n ﹣420＝0 ∴n ＝21 故答案为：21 【点睛】本题主要考查古典概率以及其概率的计算公式．考查对基础知识的灵活运用．8 【分析】欲求原函数f （x ）＝a x +1﹣2的反函数，即从原函数式中反解出x ，后再进行x ，y 互换，即得反函数的解析式．先研究f ﹣1（x ）在[0，1]的单调性，得到当x 取何值时，此函数取得最值，最后得到等式：()10f -+()11f -＝0，解此关于a 方程即可求得a 值【详解】 因为a x +1＞0，所以f （x ）的值域是{y |y ＞﹣2}． 设y ＝a x +1﹣2，解得x ＝log a （y +2）﹣1． 当a ＞0且a 1≠时，()1f x -＝log a （x +2）﹣1为（﹣2，+∞）上是单调函数，∴()1fx -的最值必在x =0与x =1处取到，所以()10f-+()11f -＝0，即（log a 2﹣1）+（log a 3﹣1）＝0解得a =【点睛】本题考查反函数，考查函数的最值及其几何意义，属于基础题． 9．2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦【分析】由约束条件作出可行域，再由11y z x +=+的几何意义，即可行域内的动点与定点P （﹣1，﹣1）连线的斜率得答案．【详解】解：由约束条件作出可行域如图，11y z x +=+的几何意义为可行域内的动点与定点P （﹣1，﹣1）连线的斜率． 0121312PCk +==+，11201PBk +==+ 故答案为：2,23⎡⎤⎢⎥⎣⎦．【点睛】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法和数学转化思想方法，是中档题． 10．1,3x x =±=± 【详解】因为{}222()min 21,43f x x tx t x x =++--+是偶函数（为实常数），{}{222222()min 2143min 21,43}()2f x x tx t x x x tx t x x f x t ∴-=-+-++=++--+=∴={}222()min 43,434||3(||3)(||1)f x x x x x x x x x ∴=++-+=+=--()f x 的零点是1,3x x =±=±11．32 【分析】两个元素的和等于9，包括： 09182736459+=+=+=+=+=，共5种情况，从而得到结果. 【详解】两个元素的和等于9，包括： 09182736459+=+=+=+=+=，共5种情况， ∴A 中任意两个元素的和都不等于9只需在5种情况的每一种情况中取一个数即可，所以共有：5232= ， 故答案为：32 【点睛】本题考查分步计算原理，考查分析问题解决问题的能力. 12【分析】根据题意设()222112,0a y x a x a a x x x ⎛⎫⎛⎫=+=-++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，结合最小值得到x . 【详解】根据题意设()222112,0a y x a x a a x x x ⎛⎫⎛⎫=+=-++-> ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 要取到最小值，则21,2ax x a⎧=⎪⎨⎪=⎩ 即x=，【点睛】本题考查函数的最值问题，考查类比思想，考查待定系数法，属于中档题. 13．B 【分析】根据不等式的性质分别进行判断即可． 【详解】解：①若a ＞b ，当c ＝0时，不等式ac 2＞bc 2不成立． ②若a ＞b ＞0，n ∈N *，则a n ＞b n 成立．③若ab ≠0，当ab ＞0时，不等式2a b b a+≥，成立，当ab ＜0时，不等式不成立． ④若log a b ＜0（a ＞0，a ≠1），当a ＞1时，0＜b ＜1，当0＜a ＜1，则b ＞1，∴a ，b 中至少有一个不大于1成立．故正确的是②④，故选：B ．【点睛】本题主要考查不等式性质的应用，要求熟练掌握不等式的性质，比较基础．14．A【分析】根据对任意实数x 满足f （x ﹣1）＝f （3﹣x ），且f （x ﹣1）＝f （x ﹣3），可以得出函数的奇偶性和周期性，再根据当1≤x ≤2时，f （x ）＝lgx 可得函数的单调性，故可求得R 上函数的单调减区间．【详解】解：∵对任意实数x 满足()()()133f x f x f x -=-=-，∴函数f （x ）是偶函数，x ＝1是一条对称轴，周期函数，周期为2．又∵1≤x ≤2时，f （x ）＝lgx∴函数f （x ）在区间[1，2]上单调递增．∴函数f （x ）在区间[0，1]上单调递减．∴f （x ）的单调减区间是[2k ，2k +1]（k ∈Z ）．故选：A ．【点睛】本题考查函数的单调性，对称性和周期性，考查逻辑推理能力与转化思想，属中档题． 15．B【解析】设g(x)＝－f(2－x)，由已知函数图象可知f(1)＝1，令2－x ＝1，解得x ＝1，故g(1)＝－f(2－1)＝－f(1)＝－1<0，故排除A 、C.由已知函数图象可得f(0)＝0，令2－x ＝0，解得x ＝2，故g(2)＝－f(2－2)＝－f(0)＝0，故排除D.综上选B.16．D【分析】根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）＝﹣x+2b，x∈（b，2b]，又因为f（x）＝k（x ﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可．【详解】解：∵对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立，且当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x，∴f（x）＝﹣x+2b，x∈（b，2b]．由题意得f（x）＝k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，如图所示红色的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合），∴可得k的范围为：423⎡⎫⎪⎢⎣⎭，，故选：D．【点睛】解决此类问题的关键是熟悉求函数解析式的方法以及函数的图象与函数的性质，数形结合思想是高中数学的一个重要数学数学，是解决数学问题的必备的解题工具．17．（1）证明见解析（2【分析】（1）证明AE⊥BB1，AE⊥BC，BC∩BB1＝B，推出AE⊥平面B1BCC1；（2）取AB的中点G，说明直线A1C与平面A1ABB1所成的角为45°，就是∠CA1G，求出棱锥的高与底面面积即可求解几何体的体积．【详解】（1）证明：∵几何体是直棱柱，∴BB 1⊥底面ABC ，AE ⊂底面ABC ，∴AE ⊥BB 1， ∵直三棱柱ABC ﹣A 1B 1C 1的底面是边长为2的正三角形，E 分别是BC 的中点， ∴AE ⊥BC ，BC ∩BB 1＝B ，∴AE ⊥平面B 1BCC 1；（2）解：取AB 的中点G ，连结A 1G ，CG ，由（1）可知CG ⊥平面A 1ABB 1，直线A 1C 与平面A 1ABB 1所成的角为45°，就是∠CA 1G ，则A 1G ＝CG =∴AA 1==CF 2=．三棱锥F ﹣AEC 的体积：111113232212CE AE CF ⨯⨯⋅⋅=⨯⨯=．【点睛】本题考查几何体的体积的求法，直线与平面垂直的判定定理的应用，考查空间想象能力以及计算能力．18．（1）3π（2 【解析】【分析】（1）利用数量积的运算法则、倍角公式、两角和差的正弦余弦公式及三角函数的单调性即可得出；（2）利用余弦定理和基本不等式即可得出ac ≤4，再利用三角形的面积计算公式即可得出．【详解】解：（1）∵1m n ⋅=，∴2221sinB cos B -=，222B cos B -=，216sin B π⎛⎫-= ⎪⎝⎭，又0＜B ＜π，∴112666B πππ--＜＜， ∴262B ππ-=， ∴3B π=．（2）∵b ＝2，b 2＝a 2+c 2﹣2ac •cos B ， ∴22423a c ac cos π=+-⋅，即4＝a 2+c 2﹣ac ，∴4＝a 2+c 2﹣ac ≥2ac ﹣ac ＝ac ，即ac ≤4，当且仅当a ＝c ＝2时等号成立．∴124S ac sinB ac =⋅=≤当a ＝b ＝c ＝2时，()ABC max S=【点睛】 熟练掌握数量积的运算法则、倍角公式、两角和差的正弦余弦公式及三角函数的单调性、余弦定理和基本不等式、三角形的面积计算公式是解题的关键．19．（1）()2*85921400,f x x x x N =++∈；（2）13 【分析】（1）利用等差数列的前n 项和公式可得()f x ．（2）由（1）可得()()24074175x x g x x ++=，利用基本不等式可得x =因1314<<且()()1314g g <，故可得经适楼建为13层时，每平方米平均开发费用最低．【详解】（1）由已知，每幢经适楼房最下面一层的总建筑费用为：300025075000075⨯==（万元）， 从第二层开始，每幢每层的建筑总费用比其下面一层多：80250200002⨯==万元）， 每幢经适楼房从下到上各层的总建筑费用构成以75为首项，2 为公差的等差数列， 所以函数表达式为：()()2187521400859214002x x y f x x x x -⎡⎤==+⨯+=++⎢⎥⎣⎦，*x ∈N ． （2）由（1）知经适楼房每平方米平均开发费用为：()()()24074175100008250x x f x g x x x++=⨯=⨯⨯ ()175407440744018x x ⎛⎫=++≥≈ ⎪⎝⎭（元） 当且仅当175x x=，即13.2x ≈时等号成立， 但由于*x ∈N ，验算：当13x =时，()175401374401813g x ⎛⎫=++≈ ⎪⎝⎭， 当14x =时，()175401474402014g x ⎛⎫=++≈ ⎪⎝⎭． 答：该经适楼建为13层时，每平方米平均开发费用最低．【点睛】本题是以等差数列为背景的应用题，解题时注意数学模型的合理构建，求数学模型的最值时，应该借助基本不等式寻找函数在*N 上的最小值．20．（1）1a =（2）27b ≤≤（3）8【分析】（1）根据函数的图像关于坐标原点对称，可得()f x 是定义在R 的奇函数，图像必过原点，即()00f =，即可求出a 值．（2）函数()()221x x b h x f x =+-+在[]0,1内存在零点，方程()212210x x b ++--=在[]0,1内有解，分析()21221x x b +=+-在[]0,1的单调性以及端点值的函数值符号，进而根据零点存在定理得到结论．（3）由不等式()()1f x g x -≤在12,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上恒成立，利用基本不等式可求出满足条件的k 的范围，进而求出最小整数k 的值．【详解】解：（1）由题意知()f x 是R 上的奇函数，∴()00f =，得1a =．（2）()()21221212212121x x x x x x x b b h x ++---=+-=+++，由题设知()0h x =在[]0,1内有解，即方程()212210xx b ++--=在[]0,1内有解． ∴()()221221212x x x b +=+-=+-在[]0,1内单调递增，∴27b ≤≤； 故当27b ≤≤时，函数()()221x x b h x f x =+-+在[]0,1内存在零点． （3）由()()1f x g x -≤，得241log log 11x k x x x ++≤--，()211x k x x+∴+≥-， 显然12,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，0k x +>，即2211x x k x++≥-． 设1m x =-，由于12,23x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，11,32m ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦； 于是2221254423254,13x x m m m x m m ++-+⎡⎤==+-∈⎢⎥-⎣⎦，233k ∴≥； 故满足条件的最小整数k 的值是8．【点睛】本题考查了奇函数的特征、零点存在定理以及求函数的值域，此题运用了化归与转化思想，综合性比较强．21．（1）证明见解析；（2）不是C 函数；（3）证明见解析．【详解】（1）证明如下：对任意实数12,x x 及()0,1α∈，有()()()()()121211f x x f x f x αααα+----()()()222121211x x x x αααα=+---- ()()()2212121121x x x x αααααα=----+-()()21210x x αα=---≤， 即，∴()21f x x =是C 函数；（2）()()210f x x x=<不是C 函数， 说明如下（举反例）：取13x =-，21x =-，12α=， 则()()()()()121211f x x f x f x αααα+---- ()()()11111231022262f f f =-----=-++>， 即， ∴()()210f x x x=<不是C 函数； （3）假设()f x 是R 上的C 函数，若存在m n <且[),0,m n T ∈，使得()()f m f n ≠（i ）若()()f m f n <，记1x m =，2x m T =+，1n m Tα-=-，则01α<<，且()121n x x αα=+-， 那么()()()()()()121211f n f x x f x f x αααα=+-≤+- ()()()()1f m f m T f m αα=+-+=，这与()()f m f n <矛盾；（ii ）若()()f m f n >，记1x n =，2x n T =-，1n m Tα-=-，同理也可得到矛盾； ∴()f x 在[)0,T 上是常数函数，又因为()f x 是周期为T 的函数，所以()f x 在R 上是常数函数，这与()f x 的最小正周期为T 矛盾. 所以()f x 不是R 上的C 函数.。
上海市大同中学2017-2018学年高三上学期10月月考数学试题
…○…………装…学校:___________姓名：…○…………装…绝密★启用前上海市大同中学2017-2018学年高三上学期10月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．设a b R ∈，，则“4a b +>”是“1a >且3b >”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分又不必要条件2．三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如下图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（ ）.A ．如果a b >，b c >，那么a c >B ．如果0a b >>，那么22a b >C ．对任意实数a 和b ，有222a b ab +≥，当且仅当a b =时等号成立D ．如果a b >，0c >那么ac bc >3．平面α过正方体1111ABCD A B C D -的顶点A ，//α平面11CB D ，αI 平面ABCD m =，αI 平面11ABB A n =，则,m n 所成角的正弦值为（ ）A B ．C D ．14．在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足DA u u u r =DB u u u r =DC u u u r ,DA ⋅u u u r DB u u u r =DB ⋅u u u r DC u u u r =DC ⋅u u u r DA u u u r =–2，动点P ，M 满足AP u u u r =1，PM u u u u r =MC u u uu r ，则2BM u u u u r 的最大值是A ．434B ．494C ．374+ D ．374+第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．设函数y =A ，函数()ln 1y x =-的定义域为B ，则A B =I __________．6．设a R ∈，若复数(1)()i a i ++在复平面内对应的点位于实轴上，则a =__________． 7．若1cos 3α=，则sin()2πα-=________. 8．若关于,x y 的方程组2436x y x ay +=⎧⎨+=⎩无解，则实数a =________9．已知各项都为正数的等比数列{}n a ，且满足7562a a a =+，若存在两项,m n a a ，使14a =，则14m n+的最小是为________ 10．已知命题：“非空集合M 的元素都是集合P 的元素”是假命题，给出下列四个命题： ①M 的元素不都是P 的元素； ②M 的元素都不是P 的元素； ③M 中有P 的元素； ④ 存在x M ∈，使得x P ∉； 其中真命题的序号是________（将正确的序号都填上）.11．将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有1，2，3，4，5，6个点的正方体玩具)先后抛掷2次，则出现向上的点数之和小于10的概率是________．12．如图，某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条互相垂直的半径．若该几何体的体积是283π，则它的表面积是________…………○………………○……13．已知实数,x y 满足240220330x y x y x y -+≥⎧⎪+-≥⎨⎪--≤⎩，则22x y +的取值范围是________14．以抛物线C 的顶点为圆心的圆交C 于A B 、两点，交C 的准线于D E 、两点.已知AB =,DE =C 的焦点到准线的距离为______.15．设()f x 是定义在R 且周期为1的函数，在区间[)0,1上，()2,,x x D f x x x D ⎧∈=⎨∉⎩其中集合1,n D x x n N n *⎧⎫-==∈⎨⎬⎩⎭，则方程()lg 0f x x -=的解的个数是____________ 16．几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件，为激发大家的学习兴趣，他们推出了“解数学题获取软件激活码”的活动，这款软件的激活码为下列数学问题的答案：已知数列1、1、2、1、2、4、8、1、2、4、8、16、……，其中第一项是02，接下来的两项是0122、，再接下来的三项是012222、、，……，以此类推，求满足如下条件的最小整数:100N N >且该数列的前N 项和为2的整数幂，那么该软件的激活码是________。
上海市上海中学2017届高三10月月考数学试题Word版含答案
2016学年 第一学期高三数学第一次测验试卷高三年级 数学试卷（共4页）一．填空题1、已知全集U =R ，集合P =x |x -2{³1}，则C U P = 2、设复数z 1=1+i ,z 2=-2+xi (x ÎR ),若z 1·z 2ÎR ，则x 的值等于3、已知圆C: x 2+y 2=r 2与直线3x -4y +10=0相切，则圆C 的半径r =4、如图，在正四棱柱ABCD -A 1B 1C 1D 1中，底面ABCD 的 边长为3，BD 1与底面所成的角的大小为arctan 23，则该 正四棱柱的高等于5、已知抛物线C 的顶点在坐标原点，焦点与双曲线: x 27-y 22=1的右焦点重合，则抛物线C 的方程是6、在二项式(x 2-2x)5的展开式中，x 的一次项系数为 。
（用数字作答） 7、已知角a 的顶点在坐标原点，始边与x 轴的正半轴重合，角a 的终边与圆心在原点的单位圆（半径为1的圆）交于第三象限内的点A (x A ,-45)，则sin2a = 。
（用数值表示）8、设无穷等比数列{a n }(n ÎN *)的公比q =-13,a 1=1, 则n ®¥lim (a2+a 4+a 6+···+a 2n )=9、某几何体的三视图如图所示（单位：cm ）， 则该几何体的体积是 cm 3 10、在D ABC 中，已知且D ABC 的面积S=1，则的值为11、现有10个数，它们能构成一个以1为首项，-2为公比的等不数列，若从这10个数中随机抽取一个数，则它小于8的概率是12、设f (x )是定义域在R 上且周期为2的函数，在区间[-1,1]上, f (x )=ax +1,-1£x £0bx +2x +1,0£x £1ìíïîï其中a ,b ÎR ，若f (12)=f (32)，则b a 3 的值为13、定义：曲线C 上的点到直线L 的距离的最小值称为曲线C 到直线L 的距离。
2017-2018学年上海市曹杨二中高三10月月考数学试卷
2017-2018学年上海市曹杨二中高三10月月考数学试卷2017.10一. 填空题1. 已知集合2{|230}A x x x =--≤，{||2|2}B x x =-<，则A B = 2. 已知1sin()23πα+=，则cos()πα-=3. 若(12)n x +（*n N ∈）展开式中各项系数和为243，则n =4. 满足方程2lg lg 1121x x -=的实数解x =5. 若x R ∈，则不等式||(1)0x x +>的解集是6. 函数12()12xx f x -=+的值域是 7. 若线性方程组(3)305(3)30a x y x a y ++-=⎧⎨-+-+=⎩有解，则实数a 的取值范围是8. 若函数2()21f x ax x =-+在[0,1]x ∈上存在唯一零点，则实数a 的取值范围是 9. 已知一个球的球心O 到过球面上A 、B 、C 三点的截面的距离等于此球半径的一半，若 3AB BC CA ===，则球的体积为10. 从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a ，从{1,2,3}中随机选取一个数b ，则关于x 的方程2220x ax b ++=有两个虚根的概率是11. 已知121122sin 2sin αα+=++，其中12,R αα∈，则12|10|παα--的最小值为12. 已知数列{}n a 的通项公式为52n n a -=，数列{}n b 的通项公式为n b n k =+，设n n n n n n n b a b c a a b ≤⎧=⎨>⎩，若在数列{}n c 中，5n c c ≤对任意*n N ∈恒成立，则实数k 的取值范围 是二. 选择题13. 已知a 、b 为实数，则22a b >是22log log a b >的（）A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件14. 数列{}n a 的通项22(cos sin )33n n n a n ππ=-，其前n 项和为n S ，则10S 为（）A. 0B. 1- C. 12 D. 12-15. 已知集合{(,)|log log 0}a a A x y x y =+>，{(,)|}B x y y x a =+<，若A B =∅ ，则a 的取值范围是（）A. ∅B. 0a >且1a ≠C. 02a <≤且1a ≠D. 12a <≤16. 已知函数()1||x f x x =+（x R ∈）时，则下列结论：①()f x 是R 上的偶函数；②()f x 是R 上的增函数；③不等式|()|1f x <在R 上恒成立；④函数()()g x f x x =-在R 上有三个零点；其中错误的个数是（）A. 1B. 2C. 3D. 4三. 解答题17. 在ABC ∆中，a 、b 、c 分别为内角A 、B 、C 所对的边，且满足2c o s 3(c o s c o s )b Ac A a C =+； （1）求A 的大小；（2）若2a =，c =b c >，求ABC ∆的面积；18. 如图，在四棱锥P ABCD -中，底面为直角梯形，AD ∥BC ，90BAD ∠=︒，PA 垂直于底面ABCD ，22PA AD AB BC ====，M 、N 分别为PC 、PB 的中点；（1）求证：M 、N 、A 、D 四点共面，并证明PB M D ⊥；（2）求直线PC 与平面MNAD 所成角的大小（用反三角函数值表示）；19. 已知直线1y kx =+与双曲线2231x y -=相交于A 、B 两点，O 为坐标原点； （1）若0OA OB ⋅=，求实数k 的值；（2）是否存在实数k ，使得A 、B 两点关于12y x =对称？若存在，求k 的值，若不存在， 说明理由；20. 已知点列11(1,)B y 、22(2,)B y 、⋅⋅⋅、(1,)n n B y 、⋅⋅⋅（*n N ∈）为函数x y a =（1a >）图像上的点，点列11(,0)A x 、22(,0)A x 、⋅⋅⋅、(,0)n n A x 、⋅⋅⋅（*n N ∈）顺次为x 轴上的点，其中1x m =（01m <<），对任意*n N ∈，点n A 、n B 、1n A +构成以n B 为顶点的等腰三角形；（1）证明：数列{}n y 是等比数列； （2）若数列{}n y 中任意连续三项能构成等边三角形的三边，求a 的取值范围；（3）求证：对任意*n N ∈，2n n x x +-是常数，并求数列{}n x 的通项公式；21. 设定义在R 上的函数()f x 满足：对任意的1x 、2x R ∈，当12x x <时，都有12()()f x f x ≤；（1）若3()1f x ax =+，求实数a 的取值范围；（2）若()f x 为周期函数，证明：()f x 是常值函数；（3）若(0)0f =，()(1)1f x f x +-=，1()()52x f f x =， ①记1()5n n a f =（*n N ∈），求数列{}n a 的通项公式；②求1()2017f 的值；参考答案一. 填空题1. (0,3]2. 13-3. 54. 105. (1,0)(0,)-+∞6. (1,1)-7. 2a ≠-，a R ∈8. (,1]-∞9. 323π10. 15 11. 4π12. [5,3]--二. 选择题13. B 14. D 15. D 16. B三. 解答题17.（1）6A π=；（2）18.（1）证明略；（2）arctan19.（1）1k =±；（2）不存在；20.（1）证明略；（2）112a +<<； （3）22n n x x +-=，当n 为偶数时，n x n m =-，当n 为奇数时，1n x n m =+-；21.（1）0a ≥；（2）证明略；（3）①1()2nn a =；②11()201732f =；。
上海市延安中学2017-2018学年高三上学期10月月考数学试题
○…………外○…………内绝密★启用前上海市延安中学2017-2018学年高三上学期10月月考数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．已知,a b 都是实数，那么“22a b >”是“a b >”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件2．若数列{}n a 的通项公式1,1,211,3,3n nn n a n n N *⎧=⎪⎪+=⎨⎪≥∈⎪⎩前n 项和为n S ，则下列结论中正确的是（ ） A ．lim n n a →∞不存在 B ．8lim 9n n S →∞=C ．lim 0n n a →∞=或1lim 3n n a →∞=D ．1lim 18n n S →∞=3．有一塔形几何体由若干个正方体构成，构成方式如图所示，上层正方体下底面的四个顶点是下层正方体上底面各边的中点．已知最底层正方体的棱长为2，且该塔形的表面积(含最底层正方体的底面面积)超过39，则该塔形中正方体的个数至少是○…………外○…………内4．对任意一个复数z ，定义集合{}21,n z M z n N αα-==∈，设12ω=-+（i 为虚数单位），则集合M ω与2M ω的关系是（ ） A ．{}21,M M ωωω=I B ．2M M ωω⊆ C ．2M M ωω= D ．M ω和2M ω没有关系第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明 二、填空题5．已知集合{}{}1,3,,3,4A m B ==，且B A ⊆，则实数m 的值是__________. 6．函数()f x =的定义域是_________. 7．如果圆锥的底面积为π，母线长为2，那么该圆锥的高为___________. 8．在()1521x +的二项展开式中，含5x 的项是二项展开式的第__________项.9．已知复数03z i =+（i 为虚数单位），复数z 满足003z z z z ⋅=+，则z =__________. 10．等差数列{a n }的前10项和为30，则14710a a a a +++=________11．已知双曲线与椭圆221166x y +=有相同的焦点，且双曲线的渐进线方程为12y x =±，则此双曲线方程为_________12．某班从4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运会的点名签到工作，则选出的志愿者中既有男生又有女生的概率的是__________.（结果用最简分数表示） 13．如图，将四个边长为1的小正方形拼成一个大正方形，,A B 是原来小正方形的其中两个顶点，()1,2,7i P i =L 是小正方形的其余顶点，在所有()1,2,7i AB AP i ⋅=u u u r u u u rL 中，不同的数值有__________个.……○…………订________班级：___________考……○…………订14．函数()()()1,01,0x x x f x x x x ⎧-≥⎪=⎨-+<⎪⎩，()()21g x f x =-+，若()3g a =，则()4g a -=__________.15．已知实数数列{}n a 满足()2123n n n a a a n N *+=-+∈，n S 是数列{}n a 的前n 项和.若()32k a k N *=∈，则2017k S +=__________. 16．已知a b vv、是平面内两个互相垂直的单位向量，且此平面内另一向量c v在满足()()340a c b c +-=v v v v，均能使c b k v v -≤成立 ，则k 的最小值是_________.三、解答题17．如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，12AA AB BC ===，且AB BC ⊥.求：（1）四棱锥11C ABB A -的体积； （2）AC 与平面11A B C 所成角的大小.18．设函数()4sin ,0,3f x x x x π⎡⎤=+∈⎢⎥⎣⎦.（1）求函数()f x 的单调递减区间；（2）ABC ∆中，1,2AB AC ==,且()f A =ABC ∆为直角三角形. 19．某公司进行共享单车的投放与损耗统计，到去年2016年底单车的市场保有量（已投入市场且能正常使用的单车数量）为10000辆，预计今后每年新增单车1000辆，随着单车的频繁使用，估计每年将有200辆车的损耗，并且今后若干年内，年平均损耗在上一年损耗基础上增加10％.（1）预计2019年底单车的市场保有量是多少？（2）到哪一年底，市场的单车保有量达到最多？该年的单车保有量是多少辆（最后结…………线……………………线…………20．如图，过抛物线24y x=焦点F的直线与抛物线交于,A B（其中A点在x轴的上方）两点.（1）若线段AF的长为3，求O到直线AB的距离；（2）证明：OAB∆为钝角三角形；（3）已知AF FBλ=uu u r uu r且[]2,3λ∈，求三角形OAB的面积S的取值范围.21．A是定义在[]1,2上且满足如下条件的函数()xϕ组成的集合：①对任意的[]1,2x∈，都有()()1,2xϕ∈；②存在常数()01L L<<，使得对任意的[]12,1,2x x∈，都有()()1212x x L x xϕϕ-≤-.（1）设()[]211,1,25x x xϕ=+∈，问()xϕ是否属于A？说明你的判断理由；（2）若()x Aϕ∈，如果存在()1,2x∈，使得()00x xϕ=，证明这样的x是唯一的；（3）设,k b为正实数，是否存在函数()[]1,2x xϕ=∈，使()x Aϕ∈？作出你的判断，并说明理由.参考答案1．D 【解析】 【分析】举反例说明既不充分也不必要. 【详解】当2,1a b =-=时，满足22a b >，但a b >不成立；所以不充分； 当1,2a b ==-时，满足a b >，但22a b >不成立；所以不必要； 故选：D 【点睛】本题考查充要关系的判定，考查基本分析判断能力，属基础题. 2．B 【解析】 【分析】先利用等比数列求和公式求和，再求极限得结果. 【详解】1lim lim03n nn n a →∞→∞==3234211(1)11111551133+++(1)1233336618313n n n n S ---=++=+=+--L因此2511518lim lim[(1)]61836189n n n n S -→∞→∞=+-=+=故选：B 【点睛】本题考查数列解析以及等比数列求和公式，考查基本分析求解能力，属中档题. 3．C 【解析】 【分析】根据相邻正方体的关系得出个正方体的棱长为等比数列，求出塔形表面积n S 的通项公式，令39n S >，即可得出n 的范围． 【详解】设从最底层开始的第n 层的正方体棱长为n a ，则{}n a 是以2为首项，以2为公比的等比数列. ∴{}2na 是以4为首项，以12为公比的等比数列 ∴塔形的表面积为222222222123123114(1)32264444444248401212n n n n n S a a a a a a a a a -=+++⋅⋅⋅=+++⋅⋅⋅+=⨯+=--. 令3240392n ->，解得5n >. ∴塔形正方体最少为6个. 故选C. 【点睛】此题考查了立体图形的表面积问题以及等比数列求和公式的应用．解决本题的关键是得到上下正方体的棱长之间的关系，从而即可得出依次排列的正方体的一个面的面积，这里还要注意把最下面的正方体看做是6个面之外，上面的正方体都是露出了4个面． 4．C 【解析】 【分析】根据ω的性质化简集合M ω与2M ω，再进行判定选择. 【详解】因为12ω=-，所以231,12ωω=-={}{}212,,1,n M n N ωααωωω-==∈=，{}{}2422,,1,n M n N ωααωωω-==∈=所以2M M ωω=， 故选：C 【点睛】本题考查ω的性质以及集合相等的判定，考查基本分析化简判断能力，属基础题. 5．4 【解析】 【分析】根据集合包含关系确定方程，解得结果. 【详解】因为B A ⊆，所以{3,4}{1,3,}4m m ⊆∴= 故答案为：4 【点睛】本题考查根据集合包含关系求参数，考查基本分析求解能力，属基础题. 6．()[),02,-∞+∞U 【解析】 【分析】 由210x -≥，化为20x x-≥,解分式不等式可得结果. 【详解】要使函数()f x =有意义， 则210x -≥， 即20x x-≥,解得0x <或2x ≥,即函数()f x =的定义域是()[),02,-∞+∞U ， 故答案为()[),02,-∞+∞U . 【点睛】本题主要考查抽象函数的定义域、不等式的解法，属于中档题.定义域的三种类型及求法：(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解；(2) 对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解；(3) 若已知函数()f x 的定义域为[],a b ，则函数()()f g x 的定义域由不等式()a g x b ≤≤求出.7【解析】 【分析】由底面积求出底面半径，利用勾股定理可得结果. 【详解】设圆锥底面半径为r , 因为圆锥的底面积为π， 所以21,r r ππ=⇒=又因为母线长为2=【点睛】本题主要考查圆锥的性质，意在考查对基础知识的掌握情况，考查了空间想象能力，属于基础题. 8．11 【解析】 【分析】根据二项展开式通项公式即可确定结果. 【详解】15115(2)15510rr r T C x r r -+=∴-=∴=Q ,即含5x 的项是二项展开式的第11项.故答案为：11 【点睛】本题考查二项展开式通项公式，考查基本分析求解能力，属基础题. 9【解析】 【分析】变形003z z z z ⋅=+可得0033z iz z i+==-，分子分母同乘以i ，可得13i z =-，利用复数模的公式可得结果.Q 复数03z i =+，复数z 满足003z z z z ⋅=+，()020333i iz i z z i i ++∴===-13131ii -+==--，z ==.【点睛】复数是高考中的必考知识，主要考查复数的概念及复数的运算．要注意对实部、虚部的理解，掌握纯虚数、共轭复数、复数的模这些重要概念，复数的运算主要考查除法运算，通过分母实数化转化为复数的乘法，运算时特别要注意多项式相乘后的化简，防止简单问题出错，造成不必要的失分. 10．12 【解析】 【分析】利用等差数列的前n 项和公式即可得到a 1+a 10=6．由等差数列的性质可得a 1+a 10=a 4+a 7，进而可得答案． 【详解】∵等差数列{a n }的前10项和为30，∴()11010302a a +=，解得a 1+a 10=6．由等差数列的性质可得a 1+a 10=a 4+a 7， ∴a 1+a 4+a 7+a 10=2（a 1+a 10）=2×6=12． ∴a 1+a 4+a 7+a 10=12． 故答案为12． 【点睛】熟练掌握等差数列的前n 项和公式、等差数列的性质是解题的关键．11．22182x y -=【分析】根据双曲线的渐进线方程为12y x =±，设双曲线222214x y b b-=，计算椭圆焦点为()，根据双曲线焦点公式得到答案. 【详解】221166x y +=的焦点为：()双曲线的渐进线方程为12y x =±，则设双曲线方程为：222214x y b b-=，焦点为()故2224102b b b +=∴= ，双曲线方程为22182x y -=故答案为：22182x y -=【点睛】本题考查了求双曲线方程，根据渐近线设双曲线为222214x y b b-=是解题的关键.12．3435【解析】 【分析】“4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运会的点名签到工作，若这4人中必须既有男生又有女生”的对立事件是“只有男生”，利用组合知识求出总事件数，根据古典概型概率公式以及对立事件的概率公式可得结果. 【详解】“4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运会的点名签到工作，若这4人中必须既有男生又有女生”的对立事件是“只有男生”，事件“只有男生”只包含一个基本事件，而总的基本事件数是4735C =，故事件“只有男生”的概率是135， 事件“4位男生和3位女生志愿者选出4人参加校运会的点名签到工作，若这4人中必须既有男生又有女生”的概率是13413535-=，故答案为3435. 【点睛】本题主要考查对立事件的概率公式以及古典古典概型概率公式的应用，属于基础题. 在求解有关古典概型概率的问题时，首先求出样本空间中基本事件的总数n ，其次求出概率事件中含有多少个基本事件m ，然后根据公式mP n=求得概率. 13．5 【解析】 【分析】建立直角坐标系，根据向量数量积坐标计算，再统计不同结果个数. 【详解】建立如图所示直角坐标系，则123(2,1)(2,0)4,(2,1)(0,1)1,(2,1)(1,1)3,AB AP AB AP AB AP ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u r 4567(2,1)(1,0)2,(2,1)(0,2)2,(2,1)(1,2)4,(2,1)(2,2)6,AB AP AB AP AB AP AB AP ⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=⋅=u u u r u u u u r u u u r u u u r u u u r u u u u r u u u r u u u u r所以有5个不同的数值， 故答案为：5 【点睛】本题考查向量数量积坐标计算，考查基本分析求解能力，属基础题. 14．1- 【解析】 【分析】先根据分段函数求a 的值，再代入求()2f a -的值，即得结果. 【详解】因为()3g a =，所以()()()21322g a f a f a =-+=∴-=因此20(2)(3)2a a a -≥⎧⎨--=⎩或20(2)(1)2a a a -<⎧⎨---=⎩解得4a =或a ∈∅从而()()()2(2)24211f a f g a f a -=-=-∴-=-+=- 故答案为：1- 【点睛】本题考查求分段函数值，考查基本分析求解能力，属基础题. 15．32【解析】 【分析】根据递推关系求各项，再求和. 【详解】2211323232()02n n n k k k k k a a a a a a a a ++=-+∴=-+=--=Q当1n k ≥+时，0n a =若2k ≥，则由2123n n n a a a +=-+得2211111323232k k k k k k a a a a a a -----=-+∴-+=∴∈∅，因此=1k ，从而20173,133+02220,2n k n a S n +⎧=⎪=∴==⎨⎪≥⎩， 故答案为：32【点睛】本题考查根据递推关系求通项，考查基本分析求解能力，属中档题. 16．52+ 【解析】根据题意，()()()1,0,0,1,,a b c x y v v v===，利用()()340a c b c +⋅-=r r r r ，求得,x y 的关系，利用圆的几何性质，再求出c b -vv 的最大值，从而求出k 的最小值.【详解】因为a b v v 、是平面内两个互相垂直的单位向量，所以可设 ()()()1,0,0,1,,a b c x y v v v===， ()33,a c x y ∴+=+r r， ()4,4b c x y -=--r r，又()()340a c b c +⋅-=r r r r，()()340x x y y ∴-++-=， 即()22325224x y ⎛⎫++-= ⎪⎝⎭， 它表示的圆心在3,22M ⎛⎫-⎪⎝⎭，半径为52的圆，c b -vv 表示圆上的点到(0,1)B 的距离，圆心M 到点(0,1)B 的距离为d =c b ∴-r r的最大值为52=，要使c b k -≤r r 恒成立，52k +≥即k 的最小值是52+，故答案为52. 【点睛】本题主要考查向量模的几何意义、轨迹方程的应用以及圆的几何意义，考查了转化思想的应用，属于难题. 转化是数学解题的灵魂，合理的转化不仅仅使问题得到了解决，还可以使解决问题的难度大大降低，本题将不等式恒成立问题转化为圆上动点到定点距离的最值问题是17．（1）83；（2）6π【解析】 【分析】（1）先证线面垂直得高，再根据锥体体积公式求结果；（2）先补成正方体，再根据线面垂直确定线面角，最后解三角形得结果. 【详解】（1）因为直三棱柱111ABC A B C -，所以1AA ⊥平面ABC ∴1AA BC ⊥1,AB BC AB AA A BC ⊥=∴⊥Q I 平面11ABB A因此四棱锥11C ABB A -的体积为11118=222333ABB A BC S ⋅⋅⨯⨯⨯=矩形； （2）先补成正方体1111ABCD A B C D -,则AC 与平面11A B C 所成角为AC 与平面11A B CD 所成角，因为1AD ⊥平面11A B CD ,设11A O AD D =I ,则ACO ∠为AC 与平面11A B C 所成角, 因为1sin 26AO ACO ACO AC π∠==∴∠=,因此AC 与平面11A B C 所成角为6π.【点睛】本题考查锥体体积公式、线面角以及线面垂直判定定理，考查基本分析求解能力，属中档题.18．（1）766ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，（2）详见解析【解析】 【分析】（1）先根据辅助角公式化简函数，再根据正弦函数性质求单调区间；（2）先根据()f A A ，再根据余弦定理求BC ，最后根据勾股定理证结论. 【详解】（1）()sin 2sin(),3f x x x x π==+由322,()232k x k k Z πππππ+≤+≤+∈得722,()66k x k k Z ππππ+≤≤+∈ 因为40,3x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以7,66x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，即单调递减区间为766ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦，；（2）因为()f A =2sin()sin()33A A ππ+=+因为(0,)A π∈，所以2333A A πππ+=∴= 222211221232BC AC AB ∴=+-⨯⨯⨯==- 因此ABC ∆为直角三角形. 【点睛】本题考查辅助角公式、正弦函数性质以及余弦定理，考查基本分析求解能力，属基础题. 19．（1）12338（2）2033年底；最多18891辆 【解析】 【分析】（1）根据等差数列与等比数列进行列式计算；（2）根据题意先列市场的单车保有量函数关系式，再根据数列单调性确定单车保有量最大值. 【详解】（1）2019年底单车的市场保有量是210000+10003200200 1.1200 1.112338⨯--⨯-⨯=（2）到2016n +年底，市场的单车保有量为2110000+1000200200 1.1200 1.1200 1.1n n a n -=⨯--⨯-⨯--⨯L1 1.110000+100020010200+10002000 1.11 1.1n n n n -=-⨯=-⨯-11000200 1.1200(5 1.1)n n n n a a +-=-⨯=-Q1116,;17,;n n n n n a a n a a ++∴≤>≥<即17,n n a =取最大值18891，此时为2033年底；即到2033年底，市场的单车保有量达到最多，为18891辆. 【点睛】本题考查数列单调性以及等比数列再实际问题中的应用，考查综合分析求解能力，属中档题.20．（1（2）详见解析；（3）⎣⎦ 【解析】 【分析】（1）先根据抛物线定义求出A 点坐标，再根据点斜式求直线AB 的方程，最后根据点到直线距离公式求结果；（2）先设直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理化简OA OB ⋅u u u r u u u r ,根据OA OB ⋅u u u r u u u r为负证明结果；（3）先设直线方程，与抛物线方程联立，结合韦达定理以及面积公式表示三角形OAB 的面积S ，再根据对勾函数单调性求值域. 【详解】（1）设111(,),(0)A x y y >，因为3AF =，所以111132x x y +=∴=∴=因此:(1),021AB y x y =----从而O 到直线AB3=； （2）设直线AB 的方程为1x my =+，11122(,),(0)(,),A x y y B x y ，>由214x my y x=+⎧⎨=⎩得211124404,4y my y y m y y --=∴+==- 从而22121212123016y y OA OBx x y y y y u u u r u u u r ?+=+=-<，因此OAB ∆为钝角三角形；（3）因为AF FB λ=uu u r uu r，所以12y y λ=-，由（2）得124y y =-，所以2224|y y λ=，12211||1(1)||22S y y y λ=-⨯=+==因为[]2,3λ∈，而1y tt =+在上单调递增，所以S ∈= 【点睛】本题考查抛物线定义、点到直线距离公式、抛物线中三角形面积以及直线与抛物线位置关系，考查综合分析求解与论证能力，属中档题.21．（1）是，详见解析（2）详见解析（3）详见解析 【解析】 【分析】（1）根据定义逐一验证，即求函数在[]1,2上值域，再判断是否为()1,2子集；根据不等式寻找满足条件的常数()01L L <<；（2）利用反证法，假设存在两个，根据条件得到1L ≥，即假设不成立，原命题成立； （3）先根据条件①解不等式确定13k <<，再根据条件②利用恒成立转化为对应函数最值，再解不等式确定12k <<.b 的条件由k 确定. 【详解】（1）因为()2115x x ϕ=+在[]1,2上单调递增，所以()69[,](1,2)55x ϕ∈⊆；()()121212121455x x x x x x x x ϕϕ-=-+≤-Q ， 所以存在常数45，使得对任意的[]12,1,2x x ∈，都有()()121245x x x x ϕϕ-≤-， 综上()x ϕ属于A ；（2）设存在()12121,,2,x x x x ≠∈，满足()()1122,x x x x ϕϕ==， 因为()x A ϕ∈，所以存在常数()01L L <<，使得()()1212x x L x x ϕϕ-≤-， 即12121201x x L x x x x L -≤-->∴≥Q ，与01L <<矛盾，因此满足条件的0x 是唯一的；（3）假设存在，则因为()x A ϕ∈，且()x ϕ=[]1,2上单调递增，所以12<121210222b bb k k b b ∴+<<+∴>+>+∴<<，2411243k b k k k k ∴-<<-∴->-∴<，因此13k <<；存在常数()01L L <<，使得对任意的[]12,1,2x x ∈，12L x x ≤-，12L x x ≤-，所以k ≤<，≥>=因此2416022k k k k <+-<∴--<<从而12k <<即当12241,0k k b k b <<-<<->，时存在函数()[]1,2x x ϕ=∈，使()x A ϕ∈；否则不存在.【点睛】本题考查函数新定义、反证证以及恒成立问题，考查综合分析求解与论证能力，属难题.。
2017-2018学年上海交大附中高三(上)10月月考数学试卷(解析版)
2017-2018学年上海交大附中高三（上）10月月考数学试卷一、填空题（本大题满分66分，其中第1-6题每题5分，第7-12每题6分）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={﹣1，0，2}，则A∩B=．2．计算：=．3．某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x=．4．若复数z满足（其中i是虚数单位），为z的共轭复数，则=．5．若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=．6．已知，则x=（用反正弦表示）7．在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）15的展开式中，x2项的系数是（用数字作答）8．若双曲线=1的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为．9．已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为．10．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是．11．已知等差数列{a n}中公差d≠0，a1=1，若a1，a2，a5成等比数列，且a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，若对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m=．12．对于函数f（x）=，有下列5个结论：①任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2；②函数y=f（x）在区间[4，5]上单调递增；），对一切x∈[0，+∞）恒成立；③f（x）=2kf（x+2k）（k∈N+④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；⑤若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则x1+x2=3．则其中所有正确结论的序号是．（请写出全部正确结论的序号）二、选择题（本大题满分20分，每题5分）13．若i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣2，c=314．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（A．17πB．22πC．68πD．88π15．设O为坐标原点，第一象限内的点M（x，y）的坐标满足约束条件，，若的最大值为40，的最小值为（）A．B．C．1 D．416．定义区域[x1，x2]的长度为x2﹣x1（x2＞x1），函数的定义域与值域都是[m，n]（n＞m），则区间[m，n]取最大长度时实数a的值为（）A．B．﹣3 C．1 D．3三、解答题（本大题满分76分，共5大题，14+14+14+16+18=76）17．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．18．已知函数．（1）求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求a+c的值；（3）请叙述余弦定理（写出其中一个式子即可）并加以证明．19．某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n天的利润a n=（单位：万元，n∈N*），记第n天的利润率b n=，例如b3=．（1）求b1，b2的值；（2）求第n天的利润率b n；（3）该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．20．（16分）如图，已知椭圆，A、B为椭圆的左右顶点，焦点F（c，0）到短轴端点的距离为2，且，P、Q为椭圆E上异于A、B的两点，直线BQ的斜率等于直线AP斜率的2倍．（1）求直线BP与直线BQ的斜率乘积值；（2）求证：直线PQ过定点，并求出该定点；（3）求三角形APQ的面积S的最大值．21．（18分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（1）试判断函数与是否是“L函数”；（2）若函数g（x）=3x﹣1+a（3﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）为“L函数”，且f（1）=1，求证：对任意x∈（2k﹣1，2k）（k ∈N*），都有．2017-2018学年上海交大附中高三（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题满分66分，其中第1-6题每题5分，第7-12每题6分）1．已知集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={﹣1，0，2}，则A∩B={0} ．【分析】根据交集的定义即可求出．解：集合A={x|﹣1＜x＜1}，B={﹣1，0，2}，则A∩B={0}，故答案为{0}【点评】本题考查了集合的运算，属于基础题．2．计算：=．【分析】所求表达式分子、分母同除n2，然后求解即可．解：===．故答案为：．【点评】本题考查数列的极限的求法，基本知识的考查．3．某校有男教师80人，女教师100人现按男、女比例采用分层抽样的方法从该校教师中抽取x人参加教师代表大会，若抽到男教师12人，则x=27．【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论解：由题意可得=，即x=27，故答案为：27【点评】本题主要考查分层抽样的应用，根据条件建立比例关系即可得到结论．4．若复数z满足（其中i是虚数单位），为z的共轭复数，则=．【分析】先由复数的代数形式的乘除运算，求出=1﹣3i，故=1+3i，由此能求出||．解：∵====1﹣3i，∴=1+3i，∴||==．故答案为：．【点评】本题考查复数的代数形式的乘除运算，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．5．若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2=16．【分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．【点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．6．已知，则x=（用反正弦表示）【分析】本题是一个知道三角函数值及角的取值范围，求角的问题，由于本题中所涉及的角不是一个特殊角，故需要用反三角函数表示出答案解：由于arcsin表示[﹣，]上正弦值等于的一个锐角，由，则x=，故答案为：．【点评】本题考查反三角函数的运用，解题的关键理解反三角函数的定义，用正确的形式表示出符号条件的角，本题重点是理解反三角函数定义，难点表示出符合条件的角，反三角函数在新教材省份已经不是高中数学学习内容．7．在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）15的展开式中，x2项的系数是560（用数字作答）【分析】由题意可得x2项的系数是+++…+，再利用二线式系数的性质化简可得结果．解：在（1+x）+（1+x）2+…+（1+x）15的展开式中，x2项的系数是+++…+==560，故答案为：560．【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二线式系数的性质，属于基础题．8．若双曲线=1的一条渐近线被圆（x﹣2）2+y2=4所截得的弦长为2，则该双曲线的实轴长为2．【分析】求出双曲线的渐近线方程，求得圆心到渐近线的距离，再由直线和圆相交的弦长公式，解方程即可得到a=1，进而得到实轴长．解：双曲线=1的渐近线方程为y=±，即±ay=0，圆（x﹣2）2+y2=4的圆心为C（2，0），半径为r=2，由圆的弦长公式得弦心距|CD|==，另一方面，圆心C到双曲线的渐近线﹣ay=0的距离为d==，所以d==，解得a2=1，即a=1，该双曲线的实轴长为2a=2．故答案为：2．【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查直线和圆相交的弦长公式，考查点到直线的距离公式，属于基础题．9．已知点A（1，﹣1），B（3，0），C（2，1）．若平面区域D由所有满足（1≤λ≤2，0≤μ≤1）的点P组成，则D的面积为3．【分析】设P的坐标为（x，y），根据，结合向量的坐标运算解出，再由1≤λ≤2、0≤μ≤1得到关于x、y的不等式组，从而得到如图的平行四边形CDEF及其内部，最后根据坐标系内两点间的距离公式即可算出平面区域D的面积．解：设P的坐标为（x，y），则=（2，1），=（1，2），=（x﹣1，y+1），∵，∴，解之得∵1≤λ≤2，0≤μ≤1，∴点P坐标满足不等式组作出不等式组对应的平面区域，得到如图的平行四边形CDEF及其内部其中C（4，2），D（6，3），E（5，1），F（3，0）∵|CF|==，点E（5，1）到直线CF：2x﹣y﹣6=0的距离为d==∴平行四边形CDEF的面积为S=|CF|×d=×=3，即动点P构成的平面区域D的面积为3故答案为：3【点评】本题在平面坐标系内给出向量等式，求满足条件的点P构成的平面区域D的面积．着重考查了平面向量的坐标运算、二元一次不等式组表示的平面区域和点到直线的距离公式等知识，属于中档题．10．甲、乙两位同学玩游戏，对于给定的实数a1，按下列方法操作一次产生一个新的实数：由甲、乙同时各抛一枚均匀的硬币，如果出现两个正面朝上或两个反面朝上，则把a1乘以2后再减去12；如果出现一个正面朝上，一个反面朝上，则把a1除以2后再加上12，这样就可得到一个新的实数a2，对a2仍按上述方法进行一次操作，又得到一个新的实数a3，当a3＞a1时，甲获胜，否则乙获胜．若甲获胜的概率为，则a1的取值范围是（﹣∞，12]∪[24，+∞）．【分析】按要求操作一次产生一个新的实数，实际上这是一个新定义问题，列举得到新的实数的途径，列出不等式，根据所给的甲获胜的概率为，可求a1的取值范围．解：由题意得，a3的结果有四种：1．a1→2a1﹣12→2（2a1﹣12）﹣12=4a1﹣36=a3，2．a1→2a1﹣12→（2a1﹣12）+12=a1+6=a3，3．a1→a1+12→（a1+12）+12=a1+18=a3，4．a1→a1+12→2（a1+12）﹣12=a1+18=a3，每一个结果出现的概率都是∵a1+18＞a1，a1+6＞a1，∴要使甲获胜的概率为，即a3＞a1的概率为，∴4a1﹣36＞a1，a1+18≤a1，或4a1﹣36≤a1，a1+18＞a1，解得a1≥24或a1≤12．故a1的取值范围是（﹣∞，12]∪[24，+∞）故答案为：（﹣∞，12]∪[24，+∞）【点评】本题考查新定义，考查生分析问题、解决问题，理解题意有些麻烦，属于中档题．11．已知等差数列{a n}中公差d≠0，a1=1，若a1，a2，a5成等比数列，且a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，若对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m=1或2．【分析】由已知求出等差数列的公差，得到等差数列的通项公式，再由a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，得=3n+1．由a n=2n﹣1，得，可得2k n﹣1=3n+1．即k n=（3n+1+1），由对任意n∈N*，恒有≤（m ∈N*），可得≤恒成立，然后结合数列的函数特性求得m值．解：根据题意，等差数列{a n}中a1=1，a1，a2，a5成等比数列，∴（1+d）2=1×（1+4d），d≠0，解得d=2．∴a n=1+2（n﹣1）=2n﹣1．∵a1，a2，a k1，a k2，…，a kn，…成等比数列，首项为1，公比为3．∴=3n+1．由a n=2n﹣1，得，∴2k n﹣1=3n+1．∴k n=（3n+1+1）∵对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），即≤恒成立，令f（n）=＞0，则≤1．∴当n=1或n=2时，f（n）最大，当n≥2时，f（n）为减函数，则要使对任意n∈N*，恒有≤（m∈N*），则m=1或2．故答案为：1或2．【点评】本题考查数列递推式，考查了等比数列的性质，考查数列的函数特性，是中档题．12．对于函数f（x）=，有下列5个结论：①任取x1，x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2；②函数y=f（x）在区间[4，5]上单调递增；），对一切x∈[0，+∞）恒成立；③f（x）=2kf（x+2k）（k∈N+④函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；⑤若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则x1+x2=3．则其中所有正确结论的序号是①④⑤．（请写出全部正确结论的序号）【分析】作出f（x）=的图象，分别利用函数的性质进行判断即可．解：f（x）=的图象如图所示：①∵f（x）的最大值为1，最小值为﹣1，∴任取x1、x2∈[0，+∞），都有|f（x1）﹣f（x2）|≤2恒成立，故①正确；②函数在区间[4，5]上的单调性和[0，1]上的单调性相同，则函数y=f（x）在区间[4，5]上不单调；故②错误；③f（）=2f（+2）=4f（+4）=6f（+6）≠8f（+8），故不正确；故③错误，④如图所示，函数y=f（x）﹣ln（x﹣1）有3个零点；故④正确，⑤当1≤x≤2时，函数f（x）关于x=对称，若关于x的方程f（x）=m（m＜0）有且只有两个不同实根x1，x2，则=，则x1+x2=3成立，故⑤正确，故答案为：①④⑤．【点评】本题主要考查命题的真假判断，涉及函数的性质，利用分段函数的表达式，作出函数的图象，利用数形结合是解决本题的关键．综合性较强，有一定的难度．二、选择题（本大题满分20分，每题5分）13．若i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0的一个复数根，则（）A．b=2，c=3 B．b=2，c=﹣1 C．b=﹣2，c=﹣1 D．b=﹣2，c=3【分析】由题意，将根代入实系数方程x2+bx+c=0整理后根据得数相等的充要条件得到关于实数a，b的方程组，解方程得出a，b的值即可选出正确选项解：由题意1+i是关于x的实系数方程x2+bx+c=0∴1+2i﹣2+b+bi+c=0，即∴，解得b=﹣2，c=3故选：D．【点评】本题考查复数相等的充要条件，解题的关键是熟练掌握复数相等的充要条件，能根据它得到关于实数的方程，本题考查了转化的思想，属于基本计算题14．如图，网络纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的外接球的表面积为（A．17πB．22πC．68πD．88π【分析】由已知三视图得到几何体是长宽高分别为2，2，3的长方体，计算其体对角线长度，得知其外接球的直径，计算球表面积．解：原因是得到几何体是长宽高分别为2，2，3的长方体，所以外接球的直径为，所以外接球表面积为：4π（）2=68π；故选：A．【点评】本题考查了由几何体的三视图求外接球的表面积；关键是还原几何体，明确外接球的半径．15．设O为坐标原点，第一象限内的点M（x，y）的坐标满足约束条件，，若的最大值为40，的最小值为（）A．B．C．1 D．4【分析】作出不等式对应的平面区域，利用z的几何意义以及基本不等式的应用进行求解．解：∵=ax+by，∴设z=ax+by，则z的最大值为40．作出不等式组的对应的平面区域如图：（阴影部分）由z=ax+by，得y=，由图象可知当直线y=，经过点A时，直线y=的截距最大，此时z最大（∵b＞0），由，解得，即A（8，10），代入z=ax+by，得40=8a+10b，即，∴=（）（）=1+，当且仅当，即4a2=25b2，2a=5b时取等号，∴的最小值为，故选：B．【点评】本题主要考查线性规划和基本不等式的基本应用，利用z的几何意义是解决线性规划的关键，注意利用数形结合来解决．16．定义区域[x1，x2]的长度为x2﹣x1（x2＞x1），函数的定义域与值域都是[m，n]（n＞m），则区间[m，n]取最大长度时实数a的值为（）A．B．﹣3 C．1 D．3【分析】将函数f（x）化简，首先考虑f（x）的单调性，由题意可得f（m）=n，f（n）=m．，故m，n是方程f（x）的同号的相异实数根．利用韦达定理和判别式，求出m，n的关系．在求最大值解：解：函数的定义域是{x|x≠0}，则[m，n]是其定义域的子集，∴[m，n]⊆（﹣∞，0）或（0，+∞）．化简得f（x）=在区间[m，n]上是单调递增，则有，故m，n是方程f（x）==x的同号相异的实数根，即m，n是方程（ax）2﹣（a2+a）x+1=0同号相异的实数根．那么mn=，m+n=，只需要△＞0，即（a2+a）2﹣4a2＞0，解得：a＞1或a＜﹣3．那么：n﹣m==，故n﹣m的最大值为，此时解得：a=3．故选：D．【点评】本题考查了函数性质的方程的运用，有一点综合性，利用函数关系，构造新的函数解题．属于中档题，分类讨论思想的运用，增加了本题的难度，解题时注意．三、解答题（本大题满分76分，共5大题，14+14+14+16+18=76）17．如图，几何体是圆柱的一部分，它是由矩形ABCD（及其内部）以AB边所在直线为旋转轴旋转120°得到的，G是的中点．（Ⅰ）设P是上的一点，且AP⊥BE，求∠CBP的大小；（Ⅱ）当AB=3，AD=2时，求二面角E﹣AG﹣C的大小．【分析】（Ⅰ）由已知利用线面垂直的判定可得BE⊥平面ABP，得到BE⊥BP，结合∠EBC=120°求得∠CBP=30°；（Ⅱ）法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，可得四边形BEGH为菱形，取AG中点M，连接EM，CM，EC，得到EM⊥AG，CM⊥AG，说明∠EMC为所求二面角的平面角．求解三角形得二面角E﹣AG﹣C的大小．法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．求出A，E，G，C的坐标，进一步求出平面AEG与平面ACG的一个法向量，由两法向量所成角的余弦值可得二面角E﹣AG﹣C的大小．解：（Ⅰ）∵AP⊥BE，AB⊥BE，且AB，AP⊂平面ABP，AB∩AP=A，∴BE⊥平面ABP，又BP⊂平面ABP，∴BE⊥BP，又∠EBC=120°，因此∠CBP=30°；（Ⅱ）解法一、取的中点H，连接EH，GH，CH，∵∠EBC=120°，∴四边形BECH为菱形，∴AE=GE=AC=GC=．取AG中点M，连接EM，CM，EC，则EM⊥AG，CM⊥AG，∴∠EMC为所求二面角的平面角．又AM=1，∴EM=CM=．在△BEC中，由于∠EBC=120°，由余弦定理得：EC2=22+22﹣2×2×2×cos120°=12，∴，因此△EMC为等边三角形，故所求的角为60°．解法二、以B为坐标原点，分别以BE，BP，BA所在直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系．由题意得：A（0，0，3），E（2，0，0），G（1，，3），C（﹣1，，0），故，，．设为平面AEG的一个法向量，由，得，取z1=2，得；设为平面ACG的一个法向量，由，可得，取z2=﹣2，得．∴cos＜＞=．∴二面角E﹣AG﹣C的大小为60°．【点评】本题考查空间角的求法，考查空间想象能力和思维能力，训练了线面角的求法及利用空间向量求二面角的大小，是中档题．18．已知函数．（1）求函数f（x）的值域；（2）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，，，求a+c的值；（3）请叙述余弦定理（写出其中一个式子即可）并加以证明．【分析】（1）推导出f（x）=﹣cosx=2sin（x﹣），由此能求出函数f（x）的值域．（2）由f（B）=2，得到f（B）=2sin（B﹣）=2，B∈（0，π），求出B=，由余弦定理得：3=a2+c2﹣2accos，由△ABC面积S得ac=1，由此能求出a+c．（3）建立坐标系，用解析法即可证明余弦定理．解：（1）∵．∴f（x）=sinx﹣cosx=2sin（x﹣），∴由x∈R，可得：f（x）=2sin（x﹣）∈[﹣2，2]；（2）∵△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，f（B）=2，∴f（B）=2sin（B﹣）=2，B∈（0，π），∴B=，∵b=，∴由余弦定理得：3=a2+c2﹣2accos，∵△ABC面积S=，∴acsinB=ac×=，解得ac=1，∴a2+c2=3+2accos=3﹣ac=2，∴（a+c）2=a2+c2+2ac=2+2=4，∴a+c=2．（3）证明：余弦定理为：a2=b2+c2﹣2bccosA．下用解析法证明：以A为原点，射线AB为x轴正向，建立直角坐标系，则得A （0，0），B（c，0），C（bcosA，bsinA）．由两点距离公式得：a2=|BC|2=（c﹣bcosA）2+（﹣bsinA）2=b2+c2﹣2bccosA．【点评】本题考查三角函数的值域的求法，考查三角形中两边和的求法，考查二倍角公式、余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．19．某商店投入38万元经销某种纪念品，经销时间共60天，为了获得更多的利润，商店将每天获得的利润投入到次日的经营中，市场调研表明，该商店在经销这一产品期间第n天的利润a n=（单位：万元，n∈N*），记第n天的利润率b n=，例如b3=．（1）求b1，b2的值；（2）求第n天的利润率b n；（3）该商店在经销此纪念品期间，哪一天的利润率最大？并求该天的利润率．【分析】（1）当n=1时，；当n=2时，．（2）当1≤n≤25时，a1=a2=…=a n﹣=a n=1.=．当26≤n≤60时，1=，由此能求出第n天的利润率．（3）当1≤n≤25时，是递减数列，此时b n的最大值为；当26≤n≤60时，，由此能求出利润率最大值．解：（1）当n=1时，；当n=2时，．（2）当1≤n≤25时，a1=a2=…=a n﹣1=a n=1．∴=．当26≤n≤60时，==，∴第n天的利润率（3）当1≤n≤25时，是递减数列，此时b n的最大值为；当26≤n≤60时，（当且仅当n=，即n=50时，“=”成立）．又∵，∴n=1时，．【点评】本题考查数列的性质和综合运用，具有一定的难度，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化和分类讨论思想的运用．20．（16分）如图，已知椭圆，A、B为椭圆的左右顶点，焦点F（c，0）到短轴端点的距离为2，且，P、Q为椭圆E上异于A、B的两点，直线BQ的斜率等于直线AP斜率的2倍．（1）求直线BP与直线BQ的斜率乘积值；（2）求证：直线PQ过定点，并求出该定点；（3）求三角形APQ的面积S的最大值．【分析】（1）由题意可得：a=2，，a2=b2+c2，联立解出可得椭圆E的方程为：=1．设P点坐标（x，y），y2=（4﹣x2），则A（﹣2，0），B （2，0），利用斜率计算公式可得k AP•k BP==﹣，由k BQ=2k AP，可得k BP•k BQ．（2）当直线PQ的斜率存在时，设l PQ：y=kx+t与x轴的交点为M，与椭圆方程联立得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），由k BP•k BQ=﹣1，即=0，利用数量积运算性质、根与系数的关系可得结论．（3）由（2）可知：当直线PQ的斜率存在时，设l PQ：y=kx+t与x轴的交点为M，=S△APM+S 与椭圆方程联立整理得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4=0，又t=﹣．S=S△APQ=|y1﹣y2|==，利用△AQM根与系数的关系、函数的单调性可得S＜．当当直线PQ的斜率不存在时，直线PQ的方程为：把x=代入椭圆方程可得：+=1，解得y．可得|PQ|=，可得S．【解答】（1）解：由题意可得：a=2，，a2=b2+c2，联立解得a=2，b=c=．∴椭圆E的方程为：=1．设P点坐标（x，y），y2=（4﹣x2），则A（﹣2，0），B（2，0），则k AP=，k BP=，则k AP•k BP==﹣，由k BQ=2k AP，故k BP•k BQ=﹣1．∴直线BP与直线BQ的斜率乘积为﹣1为定值．（2）证明：当直线PQ的斜率存在时，设l PQ：y=kx+t与x轴的交点为M，联立，整理得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4=0，设P（x1，y1），Q（x2，y2），则x1+x2=﹣，x1x2=，由k BP•k BQ=﹣1，即=0，则y1y2+x1x2﹣2（x1+x2）+4=0，得（k2+1）x1x2+（kt﹣2）（x1+x2）+4+t2=0，4k2+8kt+3t2=0，得t=﹣2k或t=﹣k．y=k（x﹣2）或y=k（x﹣），所以过定点（2，0）或（，0），A（2，0）为椭圆的右顶点，舍去，∴直线PQ过定点M（，0）．（3）解：由（2）可知：当直线PQ的斜率存在时，设l PQ：y=kx+t与x轴的交点为M，与椭圆方程联立整理得：（2k2+1）x2+4ktx+2t2﹣4=0，又t=﹣．S=S△APQ=S△APM+S△AQM=|y1﹣y2|====，令=m∈（0，1），则S=＜=，当当直线PQ的斜率不存在时，直线PQ的方程为：把x=代入椭圆方程可得：+=1，解得y=±．∴|PQ|=，可得S==．综上可得：当PQ⊥x轴时，三角形APQ的面积S取得最大值．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、一元二次方程的根与系数的关系、斜率计算公式、数量积运算性质、二次函数的性质、直线过定点问题、三角形面积计算公式、分类讨论方法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21．（18分）若函数f（x）满足：对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），则称函数f（x）为“L函数”．（1）试判断函数与是否是“L函数”；（2）若函数g（x）=3x﹣1+a（3﹣x﹣1）为“L函数”，求实数a的取值范围；（3）若函数f（x）为“L函数”，且f（1）=1，求证：对任意x∈（2k﹣1，2k）（k ∈N*），都有．【分析】（1）根据定义逐一判断即可，利用特殊值，举出反例；（2）根据定义可知g（t）=3t﹣1+a（3﹣t﹣1）＞0，即（3t﹣1）（3t﹣a）＞0对一切正数t恒成立，可得a≤1，由g（t）+g（s）＜g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a （3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）＞0，得出a≥﹣1，最后求出a的范围；（3）根据定义，令s=t，可知f（2s）＞2f（s），即，故对于正整数k 与正数s，都有，进而得出结论．解：（1）对于函数，当t＞0，s＞0时，，又，所以f1（s）+f1（t）＜f1（s+t），故是“L函数”．…对于函数，当t=s=1时，，故不是“L函数”．…（2）当t＞0，s＞0时，由g（x）=3x﹣1+a（3﹣x﹣1）是“L函数”，可知g（t）=3t﹣1+a（3﹣t﹣1）＞0，即（3t﹣1）（3t﹣a）＞0对一切正数t恒成立，又3t﹣1＞0，可得a＜3t对一切正数t恒成立，所以a≤1．…由g（t）+g（s）＜g（t+s），可得3s+t﹣3s﹣3t+1+a（3﹣s﹣t﹣3﹣s﹣3﹣t+1）＞0，故（3s﹣1）（3t﹣1）（3s+t+a）＞0，又（3t﹣1）（3s﹣1）＞0，故3s+t+a＞0，由3s+t+a＞0对一切正数s，t恒成立，可得a+1≥0，即a≥﹣1．…综上可知，a的取值范围是[﹣1，1]．…（3）由函数f（x）为“L函数”，可知对于任意正数s，t，都有f（s）＞0，f（t）＞0，且f（s）+f（t）＜f（s+t），令s=t，可知f（2s）＞2f（s），即，…故对于正整数k与正数s，都有，…对任意x∈（2k﹣1，2k）（k∈N*），可得，又f（1）=1，所以，…（16分）同理，故．…（18分）【点评】本题考查了新定义函数的理解和应用新定义函数解决实际问题，综合性强，难度较大．。