数学垂线的知识点总结
数学垂线的知识点总结
知识要领：当两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，即两条直线互相垂直。
垂线
垂线的定义
其中一条直线叫做另一直线的垂线(perpendicular line)，交点叫垂足(foot of a perpendicular)。
显然，垂线是指两条直线的特殊位置关系。
点到直线的距离：从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离。
垂线的性质
1.在连接直线外一点与直线上的所有点的连线中，垂线段最短。
简称垂线段最短。
2.过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
知识归纳：显然，垂线段是指以直线外一点与垂足为两端点的线段。
初中数学知识点总结：平面直角坐标系
下面是对平面直角坐标系的内容学习，希望同学们很好的掌握下面的内容。
平面直角坐标系
平面直角坐标系：在平面内画两条互相垂直、原点重合的数轴，组成平面直角坐标系。
水平的数轴称为x轴或横轴，竖直的数轴称为y轴或纵轴，两坐标轴的交点为平面直角坐标系的原点。
平面直角坐标系的要素：①在同一平面②两条数轴③互相垂直④原点重合
三个规定：
①正方向的规定横轴取向右为正方向，纵轴取向上为正方向
②单位长度的规定；一般情况，横轴、纵轴单位长度相同；实际有时也可不同，但同一数轴上必须相同。
③象限的规定：右上为第一象限、左上为第二象限、左下为第三象限、右下为第四象限。
相信上面对平面直角坐标系知识的讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们都能考试成功。
初中数学知识点：平面直角坐标系的构成
对于平面直角坐标系的构成内容，下面我们一起来学习哦。
平面直角坐标系的构成
在同一个平面上互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，简称为直角坐标系。
通常，两条数轴分别置于水平位置与铅直位置，取向右与向上的方向分别为两条数轴的正方向。
水平的数轴叫做X轴或横轴，铅直的数轴叫做Y轴或纵轴，X轴或Y轴统称为坐标轴，它们的公共原点O称为直角坐标系的原点。
通过上面对平面直角坐标系的构成知识的讲解学习，希望同学们对上面的内容都能很好的掌握，同学们认真学习吧。
初中数学知识点：点的坐标的性质
下面是对数学中点的坐标的性质知识学习，同学们认真看看哦。
点的坐标的性质
建立了平面直角坐标系后，对于坐标系平面内的任何一点，我们可以确定它的坐标。
反过来，对于任何一个坐标，我们可以在坐标平面内确定它所表示的一个点。
对于平面内任意一点C，过点C分别向Ｘ轴、Ｙ轴作垂线，垂足在Ｘ轴、Ｙ轴上的对应点a，b分别叫做点C的横坐标、纵坐标，有序实数对（a，b）叫做点C的坐标。
一个点在不同的象限或坐标轴上，点的坐标不一样。
希望上面对点的坐标的性质知识讲解学习，同学们都能很好的掌握，相信同学们会在考试中取得优异成绩的。
初中数学知识点：因式分解的一般步骤
关于数学中因式分解的一般步骤内容学习，我们做下面的知识讲解。
因式分解的一般步骤
如果多项式有公因式就先提公因式，没有公因式的多项式就考虑运用公式法；若是四项或四项以上的多项式，
通常采用分组分解法，最后运用十字相乘法分解因式。
因此，可以概括为：“一提”、“二套”、“三分组”、“四十字”。
注意：因式分解一定要分解到每一个因式都不能再分解为止，否则就是不完全的因式分解，若题目没有明确指出在哪个范围内因式
分解，应该是指在有理数范围内因式分解，因此分解因式的结果，必须是几个整式的积的形式。
相信上面对因式分解的一般步骤知识的内容讲解学习，同学们已经能很好的掌握了吧，希望同学们会考出好成绩。
初中数学知识点：因式分解
下面是对数学中因式分解内容的知识讲解，希望同学们认真学习。
因式分解
因式分解定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫把这个多项式因式分解。
因式分解要素：①结果必须是整式②结果必须是积的形式③结果是等式④
因式分解与整式乘法的关系：m(a+b+c)
公因式：一个多项式每项都含有的公共的因式，叫做这个多项式各项的公因式。
公因式确定方法：①系数是整数时取各项最大公约数。
②相同字母取最低次幂③系数最大公约数与相同字母取最低次幂的积就是这个多项式各项的公因式。
提取公因式步骤：
①确定公因式。
②确定商式③公因式与商式写成积的形式。
分解因式注意；
①不准丢字母
②不准丢常数项注意查项数
③双重括号化成单括号
④结果按数单字母单项式多项式顺序排列
⑤相同因式写成幂的形式
⑥首项负号放括号外
⑦括号内同类项合并。
人教版七年级数学下册最新习题课件：5.1.2_第2课时_垂线段
基础过关
1．中学生体育测试项目——立定跳远，立定跳远成绩的测
定，利用数学原理的是
( B)
A．两点之间线段最短 B．点到定义
2．【2019·江苏常州中考】如图，在线段PA、PB、PC、
PD中，长度最小的是
(B )
A．PA C．PC
B．PB D．PD
解：如题图所示，AE、BF就是村庄A、村庄B修筑水渠的最 短路线图．
7．如图，AC⊥BC，AC＝9，BC＝12，AB＝15. (1)试说出点A到直线BC的距离，点B到直线AC的距离； (2)点C到直线AB的距离是多少？你是怎样求得的？
解：(1)点 A 到直线 BC 的距离是 9，点 B 到直线 AC 的距离是 12. (2)过点 C 作 CD⊥AB，垂足为点 D，则 S△ABC＝12BC·AC＝12AB·CD，即12×12×9 ＝12×15CD，所以 CD＝356.故点 C 到直线 AB 的距离为356.
(1)该汽车行驶到公路AB上的某一位置C′时距离村庄 C最近，行驶到D′位置时，距离村庄D最近，请在公 路AB上作出C′、D′的位置(保留作图痕迹)；
(2)当汽车从A出发向B行驶时，在哪一段路上距离村 庄C越来越远，而离村庄D越来越近？(只叙述结论， 不必说明理由)
解：(1)如图所示． (2)在C′D′段路上距离村庄C越来越远，而离村庄D越来越近．
(1)表示点到直线(或线段)距离的线段共有___2__条，它们分别是 ____A__C_、__B_C____； (2)AC___<___AB(填“＞”“＜”或“＝”)，依据是 ___垂__线__段__最__短___．
6．如图，村庄A、村庄B分别要从河流L引水入 村庄，各需修筑一水渠，请你画出修筑水渠的 最短路线图．
七下数学垂直线知识点总结
七下数学垂直线知识点总结一、几何学中的垂直线1. 垂直线的定义在几何学中，垂直线是相交的两条直线之间的一种特殊关系。
当两条直线相交并且它们的交角为 90 度时，我们就可以说这两条直线是垂直线。
在几何图形中，垂直线通常用符号“⊥”来表示，比如直线 AB ⊥直线 CD，表示直线 AB 和直线 CD 是垂直线。
2. 垂直线的性质垂直线有一些重要的性质，下面我们来逐一介绍：（1）垂直线的交角为 90 度这是垂直线的基本性质，也是定义垂直线的重要条件。
当两条直线相交的交角为90 度时，这两条直线就是垂直线。
（2）垂直线上的点到另一条直线的距离相等如果一条垂直线上的点到另一条直线的距离相等，那么这两条直线是垂直的。
这条性质可以用来判断一个点到一条直线的垂直距离。
（3）两条平行线与一条垂直线的交角相等如果两条平行线中的一条线与另一条垂直线相交，那么这两条平行线与垂直线的交角相等。
这是数学中的一个重要定理，也是几何学中常用的知识点。
3. 垂直线的应用在几何学中，垂直线的应用非常广泛。
比如在构图、定位、平面图形判断等方面都需要用到垂直线的概念。
在建筑、工程、地理等领域中，垂直线也有着重要的应用价值。
了解垂直线的性质和应用可以帮助我们更好地理解和应用几何学的知识。
二、代数学中的垂直线1. 垂直线的坐标表示在代数学中，我们可以通过坐标系和坐标表示来描述垂直线。
如果一条直线的方程为 ax + by + c = 0，那么通过这个方程我们可以判断这条直线的斜率和交点，进而确定两条直线是否垂直。
两条直线垂直的条件是它们的斜率的乘积为 -1，即 k1 * k2 = -1，其中 k1 和 k2 分别为两条直线的斜率。
2. 垂直线的方程通过坐标系和坐标表示，我们可以得到一条直线的方程。
对于垂直线来说，它们的斜率相乘为 -1，根据这个性质我们可以得到两条直线垂直的条件。
比如两条直线的方程分别为 y = k1x + b1 和 y = k2x + b2，那么它们垂直的条件可以表示为 k1 * k2 = -1。
高三数学复习三垂线定理
【教学目标】正确理解和熟练掌握三垂线定理及其逆定理，并能运用它解决有关垂直问题。
【知识梳理】 1．斜线长定理从平面外一点向这个平面所引的垂线段和斜线段中，①射影相等的两条斜线段相等，射影较长的斜线段也较长；②相等的斜线段的射影相等，较长的斜线段的射影也较长；③垂线段比任何一条斜线段都短． 2．重要公式 如图，已知OB ⊥平面α于B ，OA 是平面α的斜线，A 为斜足，直线AC ⊂平面α，设∠OAB =θ1，又∠CAB =θ2，∠OAC =θ．那么cos θ=cos θ1⋅cos θ2．3．直线和平面所成的角①平面斜线与它在平面内的射影所成的角，是这条斜线和这个平面内任一条直线所成的角中最小的角．②一个平面的斜线和它在这个平面内的射影的夹角，叫做斜线和平面所成的角(或斜线和平面的夹角)．如果直线和平面垂直，那么就说直线和平面所成的角是直角；如果直线和平面平行或在平面内，那么就说直线和平面所成的角是0︒的角．三垂线定理和三垂线定理的逆定理的主要应用是证明两条直线垂直，尤其是证明两条异面直线垂直，此外，还可以作出点到直线的距离和二面角的平面角．在应用这两个定理时，要抓住平面和平面的垂线，简称“一个平面四条线，线面垂直是关键”．【点击双基】1．下列命题中，正确的是 ( )(A )垂直于同一条直线的两条直线平行(B )平行于同一平面的两条直线平行(C )平面的一条斜线可以垂直于这个平面内的无数条直线(D )a 、b 在平面外，若a 、b 在平面内的射影是两条相交直线，则a 、b 也是相交直线2．直线a 、b 在平面α内的射影分别为直线a 1、b 1，下列命题正确的是 ( )(A )若a 1⊥b 1，则a ⊥b (B )若a ⊥b ，则a 1⊥b 1(C )若a 1//b 1，则a 与b 不垂直 (D )若a //b ，则a 1与b 1不垂直3．直线a 、b 在平面外，若a 、b 在平面内的射影是一个点和不过此点的一条直线，则a 与b 是 ( )(A )异面直线 (B )相交直线(C )异面直线或相交直线 (D )异面直线或平行直线4．P 是△ABC 所在平面外一点，若P 点到△ABC 各顶点的距离都相等，则P 点在平面ABC 内的射影是△ABC 的 ( )(A )外心 (B )内心 (C )重心 (D )垂心C αD A B OC A P BD M N Q l 5．P 是△ABC 所在平面外一点，若P 点到△ABC 各边的距离都相等，且P 点在平面ABC 内的射影在△ABC 的内部，则射影是△ABC 的 ( )(A )外心 (B )内心 (C )重心 (D )垂心6．P 是△ABC 所在平面外一点，连结P A 、PB 、PC ，若P A ⊥BC ，PB ⊥AC ，则P 点在平面ABC 内的射影是△ABC 的 ( )(A )外心 (B )内心 (C )重心 (D )垂心7．从平面外一点向这个平面引两条斜线段，它们所成的角为θ．这两条斜线段在平面内的射影成的角为α(90︒≤α<180︒)，那么θ与α的关系是 ( )(A )θ<α (B )θ>α (C )θ≥α (D )θ≤α8．已知直线l 1与平面α成30︒角，直线l 2与l 1成60︒角，则l 2与平面α所成角的取值范围是( )(A )[0︒,60︒] (B )[60︒,90︒] (C )[30︒,90︒] (D )[0︒,90︒]【典例剖析】例1．如果四面体的两组对棱互相垂直，求证第三组对棱也互相垂直．已知：四面体ABCD 中，AB ⊥CD ，AD ⊥BC ；求证：AC ⊥BD ；证法一：作AO ⊥平面BCD 于O ， 连OB 、OC 、OD ，∵AB ⊥CD ，∴OB ⊥CD ，同理，由AD ⊥BC 得OD ⊥BC ，∴O 是△BCD 的垂心，∴OC ⊥BD ，从而AC ⊥BD ．证法二：设AB =a ，AC =b ，AD =c ，则BC =b -a ，BD =c -a ，CD =c -b ，∵AB ⊥CD ，AD ⊥BC ，∴a ⋅(c -b )=0，c ⋅(b -a )=0，则a ⋅c =a ⋅b ，a ⋅c =c ⋅b ．∴a ⋅b =c ⋅b ，即a ⋅b -c ⋅b =0，从而有b ⋅(c -a )=0，故AC ⊥BD ．例2．如图，在三棱锥P -ABC 中，∠ACB =90︒，∠ABC =60︒，PC ⊥平面ABC ，AB =8，PC =6，M 、N 分别是P A 、PB 的中点，设△MNC 所在平面与△ABC 所在平面交于直线l ．(1)判断l 与MN 的位置关系，并进行证明； (2)求点M 到直线l 的距离．解：(1)l //MN ，证明如下： ∵M 、N 分别是P A 、PB 的中点，∴MN //AB ，MN ⊄平面ABC ，AB ⊂平面ABC ， ∴MN //平面ABC ．又∵MN ⊂平面MNC ，平面MNC 平面ABC =l ，∴MN //l ．(2)取AC 的中点Q ，连MQ ，则MQ //PC ，而PC ⊥平面ABC ，∴MQ ⊥平面ABC ．作QD ⊥直线l 于D ，连MD ，则MD ⊥直线l ．线段MD 的长即为M 到直线l 的距离．在Rt △ABC 中，可求得AC =43，∴QC =23．又MQ =21PC =3，∠QCD =30︒，∴QD =21QC =3． 于是 MD =22QD MQ +=23．例3.如图，P 是ΔABC 所在平面外一点，且PA ⊥平面ABC 。
初中数学易考知识点平行线与垂直线的性质
初中数学易考知识点平行线与垂直线的性质初中数学易考知识点：平行线与垂直线的性质平行线与垂直线是初中数学中非常基础且重要的概念。
在几何图形的研究和问题解决中，平行线与垂直线的性质经常被应用。
本文将详细介绍平行线与垂直线的定义、性质以及一些常见的推理方法与例题。
一、平行线的性质平行线是指在同一个平面上永远不会相交的两条直线。
其性质主要包括以下几点：1. 平行线的定义：给定平面上的两条直线AB和CD，如果AB // CD，表示AB与CD是平行线。
2. 平行线与平行线：如果AB // CD，且CD // EF，则可以推断出AB // EF。
即，如果两条直线分别与另一条直线平行，则这两条直线也是平行的。
3. 平行线的性质：平行线之间的距离永远相等。
例如，如果AB // CD，那么点A到直线CD的距离等于点B到直线CD的距离。
4. 平行线上的角：平行线所形成的对应角相等。
对应角是指位置相对应的两个角，一个在内部，一个在外部。
对应角的特性使得我们能够进行很多角度方面的推理。
5. 平行线的证明方法：常用的证明方法有反证法、等价角、转换角和同旁内角等。
通过灵活运用这些证明方法，能够有效地证明两条直线是否平行。
通过对平行线的性质的学习，我们可以应用到许多问题中，如平行四边形和三角形的性质推导、证明两条直线平行或垂直等。
二、垂直线的性质垂直线是指两条直线，它们的夹角为90度。
垂直线的性质如下：1. 垂直线的定义：给定平面上的两条直线AB和CD，如果∠ABC=90°，表示AB与CD是垂直线。
2. 垂直线的性质：垂直线之间是相互垂直的，如果两条直线相互垂直，则它们之间的夹角为90度。
3. 垂直线与平行线：如果AB ⊥ CD，且CD // EF，则可以推断出AB ⊥ EF。
即，如果一条线与平行于另一条线的直线垂直，那么这两条直线也是垂直的。
4. 垂直线的推理方法：常用的推理方法有同位角、转换角和同旁内角等。
这些方法能够帮助我们判断两条直线是否垂直，或者解决一些垂直线的性质问题。
线段中垂线知识点总结
线段中垂线知识点总结线段垂线是初中数学中的重要概念，它是指一个线段与另外一个线段或平面相交，并且交点与被交线段上某一点的连线垂直。
线段垂线的性质和定理是数学学习中需要深入理解和掌握的内容。
下面将对线段垂线的定义、性质和相关定理进行详细的总结和解释。
一、线段垂线的定义线段垂线的定义比较简单，即一个线段与另一个线段或平面相交，并且交点与被交线段上某一点的连线垂直。
在平面几何中，我们通常说两条线段或线段与平面的相交是指它们有一个交点。
当两条线段相交，并且交点与被交线段上某一点的连线垂直时，我们称这个连线是线段的垂线。
二、线段垂线的性质线段垂线有一些重要的性质：1. 垂线的性质：线段的垂线是垂直于它的。
2. 垂直的判定：如果两条线段的垂线互相垂直，则这两条线段也是垂直的。
3. 角的性质：线段的垂线和被交线段所构成的角是直角。
4. 长度的性质：在线段的垂线上分割线段成为两个互相垂直的线段，这两个线段的长度之积等于原线段的长度之积。
5. 完全性质：一个平面内经过一点的线段的垂线只有一条。
这些性质是线段垂线的基本性质，能够帮助我们更好地理解和应用线段垂线的知识。
三、线段垂线的相关定理线段垂线的知识点主要还包括一些相关的定理，能够帮助我们解决一些具体的问题。
1. 线段垂线定理：在一个直角三角形中，三角形的任意一条边上的高都是这条边的垂线。
2. 垂心定理：在一个三角形中，三条高的交点叫做垂心，它是这个平面三角形的一个特殊点。
3. 垂直平分线定理：在一个平面几何中，如果一个线段的中点到另一个线段的两个端点的连线是这个线段的垂线，那么这个线段被中点垂直平分。
4. 垂直平分线的唯一性：在一个平面几何中，一个线段只有一条通过它中点且与它垂直的直线。
这些定理是线段垂线知识点的有力补充，它们有利于我们深入理解和应用线段垂线的相关知识。
四、线段垂线的应用线段垂线的知识点不仅在学习中有重要的地位，也在实际生活和工作中有着广泛的应用。
数学人教版《垂线》_ppt1
（2）几何语言： 因为 AB ⊥CD， 所以 ∠AOC = 90°（垂线的定义）
反之，因为 ∠AOC = 90°，
所以 AB⊥CD（垂线的定义）
应用垂直的定义： ∠AOD =∠DOB =∠BOC = 90°
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小试身手1. 如图所示，直线 AB ⊥ CD 于点 O ，直线 EF经过 点 O ，若∠1 = 26°，则∠2 的度
学习垂线的画法探究垂线的性质，
或者AB⊥CD于点O 当两条直线相交所成的四个角中有一个角为 90°时，这两条直线互相垂直， 其中一条直线叫做另一条直线的垂线
在相交线的模型中，固定木条 a ，转动木条 b．当b 的位置发生变化时，
“⊥”读作“垂直于” ①两条直线相交，交点叫做垂足；
垂线的定义：当两条直线相交所成的四个角中有一个角是 90°时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线， 他们的交点叫做垂足 如图所示，若 AB ⊥ CD 于点 O ，则∠AOD = _____； 并会利用所 学知识进行简单的推理. 垂线性质：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． 1．学习垂线的定义，学会用几何的语言表示
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所以 ∠AOC = 90°（垂线的定义）
A B （2）几何语言： 因为 AB ⊥CD，
如图所示，直线 AB ⊥ CD 于点 O ，直线 EF经过点 O ，若∠1 = 26°，则∠2 的度数是（ ） 在相交线的模型中，固定木条 a ，转动木条 b．当b 的位置发生变化时， ⑥若l1⊥l2，则l1是 l2的垂线，l2不是 l1的垂线. 在相交线的模型中，固定木条 a ，转动木条 b．当b 的位置发生变化时， 下列说法正确的有（ ）
③在同一平面内，一条直线有且只有一条垂线；
2023-2024年小学数学四年级上册期末考点复习 第八单元《垂线与平行线》(苏教版原卷)
期末知识大串讲苏教版数学四年级上册期末章节考点复习讲义第八单元《垂线与平行线》知识点01：垂直与平行的特征及性质1.认识垂直：两条直线相交成直角时，这两条直线，其中一条直线是另一条直线的，这两条直线的交点叫作。
2.认识平行：在同一平面内，不相交的两条直线，其中一条直线是。
3.点到直线的距离：点到直线的距离是。
从直线外一点到这条直线所画的线段中，最短。
知识点02：垂线的画法画垂线有两个重合：一是三角尺的一条直角边与；二是点在直线上时，三角尺的直角顶点与这一点，点在直线外时，经过这一点。
知识点03：平行线的画法画平行线：（1）过直线外一点，画已知直线的平行线的方法：①使三角尺的；②使直尺靠在三角尺；③移动三角尺，使其一条直角边经过直线外，沿着三角尺另一条直角边。
（2）过直线外一点，画已知直线的平行线。
考点01：平行与垂直的特征及性质1．过A点画已知直线的平行线，过B点画直线的垂线。
2．两条直线互相垂直，这两条直线相交的角一定是（）。
A．锐角B．直角C．钝角3．（2022四上·惠州月考）画一画。
（1）画出线段AB的垂线。
（2）在方格纸上画出一组平行线。
4．（2022四上·惠州月考）汽车灯照出来的光线，可以看作是一条（填“直线”“射线”或“线段"）。
当两条直线相交成时，它们就互相垂直。
5．钟面上时整，时针与分针互相垂直。
6．（）在图中，线段（）最短。
A．PA B．PB C．PC D．PD 7．（2022四上·微山期末）下图是由直线a、b、c、d、e、f组成，按要求完成下面各题。
（1）直线和互相平行，记作；直线和互相垂直，记作。
（2）已知∠1=130°，那么∠2= ，∠3= 。
（3）图中有个平行四边形，个梯形。
8．（2021四上·郯城期中）请用你学过的知识，来检验一下a和b这两条直线是否是一组平行线？请把你的思路写出来。
9．（2020四上·沽源期末）量一量，画一画。
人教版七年级数学下册相交线,垂线(基础)知识讲解
相交线，垂线（基础）知识讲解【学习目标】1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质；2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质；3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离；4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算.【要点梳理】知识点一、邻补角与对顶角1．邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两个角叫做互为邻补角．要点诠释：(1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系：“邻”指的是位置相邻，“补”指的是两个角的和为180°．(2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角．(3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角．(4)邻补角满足的条件：①有公共顶点；②有一条公共边，另一边互为反向延长线.2.对顶角及性质：（1）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．要点诠释：(1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角．(2)对顶角满足的条件：①相等的两个角；②有公共顶点且一角的两边是另一角两边的反向延长线.【高清课堂：相交线两条直线垂直】知识点二、垂线1．垂线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足．要点诠释：⊥；(1)记法：直线a与b垂直，记作：a b直线AB和CD垂直于点O，记作：AB⊥CD于点O.(2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有：∠=°判定90AOCCD⊥AB．性质2．垂线的画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则所画直线就为已知直线的垂线(如图所示)．要点诠释：(1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长线上，也可能在线段的延长线上．(2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段．3．垂线的性质：（1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直．（2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短．简单说成：垂线段最短．要点诠释：（1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内”，“有”表示存在，“只有”表示唯一，“有且只有”说明了垂线的存在性和唯一性．（2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段中，垂线段最短．”实际上，连接直线外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短．在实际问题中经常应用其“最短性”解决问题．4．点到直线的距离：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离．要点诠释：（1）点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离；（2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度．【典型例题】类型一、邻补角与对顶角1．如图所示，M、N是直线AB上两点，∠1＝∠2，问∠1与∠2，∠3与∠4是对顶角吗? ∠1与∠5，∠3与∠6是邻补角吗？【答案与解析】解：∠1和∠2，∠3和∠4都不是对顶角．∠1与∠5，∠3与∠6也都不是邻补角．【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角．举一反三：【变式】判断正误：（1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角. （）（2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（）(3)有一条公共边的两个角是邻补角. （）(4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互补. （）(5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（）【答案】(1)×（2）×（3）×（4）√（5）×，反例：∠AOC为120°，射线OB为∠AOC的角平分线，∠AOB与∠AOC互补，且有边公共为AO，公共顶点为O，但它们不是邻补角.2.如图所示，直线AB、CD相交于点O，∠1＝65°，求∠2、∠3、∠4的度数【答案与解析】解：∵∠1是∠2的邻补角，∠1＝65°，∴∠2＝180°－65°＝115°．又∵∠1和∠3是对顶角，∠2与∠4是对顶角∴∠3＝∠1＝65°，∠4＝∠2＝115°．【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角；(2)求出∠2后用“对顶角相等”，求∠3和∠4．举一反三：【变式】（2015•梧州）如图，已知直线AB与CD交于点O，ON平分∠DOB，若∠BOC=110°，则∠AON的度数为度．【答案】145．解：∵∠BOC=110°，∴∠BOD=70°，∵ON为∠BOD平分线，∴∠BON=∠DON=35°，∵∠BOC=∠AOD=110°，∴∠AON=∠AOD+∠DON=145°.3. 任意画两条相交的直线，在形成的四个角中，两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位置关系？根据这种位置关系将它们分类．【答案与解析】解：如图，任意两条相交直线，两两相配共组成6对角，在这6对角中，它们的位置关系有两种：①有公共顶点，一边重合，另一边互为反向延长线；②有公共顶点，角的两边互为反向延长线．这6对角为∠1与∠2，∠1与∠3，∠1与∠4，∠2与∠3，∠2与∠4，∠3与∠4，其中∠1＝∠3，∠2＝∠4，∠1+∠2＝180°，∠3+∠4＝180°，∠1+∠4＝180°，∠2+∠3＝180°．在位置上∠1与∠3，∠2与∠4是对顶角，∠1与∠2，∠3与∠4，∠l与∠4，∠2与∠3是邻补角．【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成6对角，这6对角中有：4对邻补角，2对对顶角类型二、垂线4．下列语句中，正确的有 ( )①一条直线的垂线只有一条；②在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直；③两直线相交，则交点叫垂足；④互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】C【解析】正确的是：②④【总结升华】充分理解垂直的定义与性质.举一反三：【变式1】直线l外有一点P，则点P到直线l的距离是( ).A．点P到直线l的垂线的长度.B．点P到直线l的垂线段.C．点P到直线l的垂线段的长度.D．点P到直线l的垂线.【答案】C5.（2015•河北模拟）如图，已知点O在直线AB上，CO⊥DO于点O，若∠1=145°，则∠3的度数为（）A．35°B．45°C．55°D．65°【答案】C．【解析】解：∵∠1=145°，∴∠2=180°﹣145°=35°，∵CO⊥DO，∴∠COD=90°，∴∠3=90°﹣∠2=90°﹣35°=55°.【总结升华】本题考查了垂线和邻补角的定义；弄清两个角之间的互补和互余关系是解题的关键．【高清课堂：相交线403101经典例题3】举一反三：【变式】如图, 直线AB和CD交于O点, OD平分∠BOF, OE ⊥CD于点O, ∠AOC=40 ,则∠EOF=_______.【答案】130°．6.（2016春•抚州校级期中）如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，请你在铁路线上选一点来建火车站，应建在（）A．A点 B．B点 C．C点 D．D点【思路点拨】根据垂线段最短可得答案．【答案】A．【解析】解：根据垂线段最短可得：应建在A处，故选：A．【总结升华】此题主要考查了垂线段的性质，关键是掌握从直线外一点到这条直线所作的垂线段最短．举一反三：【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条?(2)经过直线l上一点A画l的垂线，这样的垂线能画出几条?(3)经过直线l外一点B画l的垂线，这样的垂线能画出几条?【答案】解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条．。
人教版七年级数学下册：垂线【精品课件】
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B
C
课堂检测
2.如图, AC⊥BC, ∠C=90° ,线段AC、BC、CD中最短的是（ ) C
A. AC B. BC
C. CD
D. 不能确定
C
A
D
B
课堂检测
3.若点P是直线m外一点，点A，B，C分别是直线m上不同的
三点，且PA＝5，PB＝6，PC＝7，则点P到直线m的距离不 可能是 ( D)
垂线段是垂线上的一部分，它是线段，一端是一个点， 另一端是垂足.
垂线
P
垂线段
A
B
D
探究新知
点到直线的距离的概念：
直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到
直线的距离.
P
例如：如图，PA⊥m于点A ，垂线段
PA的长度叫做点P到直线m的距离.
m
例 如图，是一个同学跳远的位 置，跳远成绩怎么表示?
A
m
课堂小结 两 条 直 线 相 交
一 般 情 况
特殊 情况 垂 相交成 线 直角
对顶角：相等 邻补角：互补
垂线的存在 性和唯一性
人教版 数学 七年级 下册
导入新知
在灌溉时，要把河里的水引到农田里的P处，如何挖渠能 使渠道最短呢？
素养目标
3. 掌握垂线段最短的性质，并会利用所学知识解 决简单的实际问题. 2. 掌握点到直线的距离的概念，并会度量点到直 线的距离. 1. 理解垂线段的概念，会用三角尺或量角器 过一点画已知直线的垂线段 .
根据以上操
1.放
作，你能得
2.靠
B
出什么结论？
3.移
4.画
l
C
0
1
2
3
4
小学数学平行与垂直知识点总结
小学数学平行与垂直知识点总结在小学数学的学习中，“平行与垂直”是非常重要的几何概念。
理解和掌握这些知识，对于孩子们建立空间观念、提高几何思维能力有着至关重要的作用。
接下来，咱们就详细地来梳理一下这部分的知识点。
一、平行的概念平行，简单来说就是两条直线永远不会相交。
想象一下，在一个无限大的平面上，有两条直直的线，它们朝着相同的方向延伸，并且不管延伸多远，它们之间的距离始终保持不变，这样的两条线就是平行的。
我们可以用数学符号“∥”来表示平行。
比如直线 a 平行于直线 b，就可以写成“a∥b”。
生活中也有很多平行的例子，像马路上的白色车道线、黑板的对边、窗户的对边等等，都是平行的。
判断两条直线是否平行，有以下几个关键要点：1、两条直线必须在同一平面内。
如果不在同一平面，即使它们不相交，也不能称为平行。
2、两条直线之间的距离处处相等。
二、平行的性质1、经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行。
2、如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
三、垂直的概念垂直则是两条直线相交成直角的情况。
当两条直线相交，所形成的四个角中有一个角是 90 度，我们就说这两条直线互相垂直。
垂直可以用数学符号“⊥”来表示。
比如直线 a 垂直于直线 b，就写成“a⊥b”。
像墙角、十字架、长方形的相邻两边，都是互相垂直的。
判断两条直线是否垂直，关键要看它们相交的角是否为直角。
四、垂直的性质1、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。
2、直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。
五、平行与垂直的关系平行和垂直是两种不同的位置关系，但它们又有着密切的联系。
在同一平面内，两条直线要么平行，要么相交。
而垂直是相交的一种特殊情况。
六、画平行线和垂线1、画平行线可以借助直尺和三角尺来画。
先将三角尺的一条直角边与已知直线重合，再将直尺与三角尺的另一条直角边重合，然后沿着直尺平移三角尺，最后沿着三角尺的直角边画出平行线。