高中数学函数单调性和最值专题

函数专题：单调性与最值

一、增函数

1、观察下列各个函数的图象，并说说它们分别反映了相应函数的哪些变化规律：

y 的值有什么变化？ ○

2 能否看出函数的最大、最小值？ ○

3 函数图象是否具有某种对称性？ 2、从上面的观察分析，能得出什么结论？

不同的函数，其图象的变化趋势不同，同一函数在不同区间上变化趋势也不同，函数图象的这种变化规律就是函数的单调性。

3.增函数的概念

一般地，设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1

注意：

① 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质；

②必须是对于区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2；当x 1

二、函数的单调性

如果函数y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数，那么就说函数y=f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，区间D 叫做y=f(x)的单调区间。

【判断函数单调性的常用方法】

1、根据函数图象说明函数的单调性．

例1、 如图是定义在区间[－5，5]上的函数

y=f(x)，根据图象说出函数的单调区间，以

及在每一单调区间上，它是增函数还是减函数？

y

x 1 -1 1 -1 y x 1 -1 1 -1 y x

1 -1 1 -1

【针对性练习】

下图是借助计算机作出函数y =－x 2 +2 | x | + 3的图象，请指出它的的单调区间．

2．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D 上的单调性的一般步骤：

① 任取x 1，x 2∈D ，且x 1

② 作差f(x 1)－f(x 2)；

③变形（通常是因式分解和配方）；

④定号（即判断差f(x 1)－f(x 2)的正负）；

⑤下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D 上的单调性）．

例2、证明函数x

x y 1+

=在（1，+∞）上为减函数．

例3、函数f (x )=－x 3＋1在R 上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R 上是增函数还是

减函数？试证明你的结论．

例4、已知f(x)是定义在(－2，2)上的减函数，并且f(m－1)－f(1－2m)＞0，求实数m的取值范围．

例5、判断一次函数y kx b

=+(0)

k≠单调性.

例6、利用函数单调性的定义，证明函数在区间（0，1]上是减函数．

【归纳小结】

函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差→变形→定号→下结论

〖针对性练习〗

1.函数

1

y

x

=-的单调区间是（）

A．（-∞，+∞） B.（-∞，0）（1，∞，）C.（-∞，1）、（1，∞） D. （-∞，1）U（1，∞）

2. 下列函数中,在区间（0,2）上为增函数的是( ).

A．32

y x

=-+B．

3

y

x

= C．245

y x x

=-+D．2

3810

y x x

=+-

3．函数y=的增区间是（）。

A．[-3，-1] B．[-1,1] C．

1

1

3

a

-<<-(,3)

-∞- D．(1,)

-∞

4、已知函数

1

()

f x x

x

=+

，

判断()

f x在区间〔0，1〕和（1，+∞）上的单调性。

5、定义在（－1，1）上的函数()

f x是减函数，且满足：(1)()

f a f a

-<，求实数a的取值范围。

6、函数f(x)=－x3＋1在R上是否具有单调性？如果具有单调性，它在R上是增函数还是减

函数？试证明你的结论．

☆☆☆复合函数的单调性☆☆☆

1、定义：

设y=f(u),u=g(x),当x在u=g(x)的定义域中变化时，u=g(x)的值在y=f(u)的定义域内变化，因此变量x与y之间通过变量u形成的一种函数关系，记为

y=f(u)=f[g(x)]称为复合函数，其中x称为自变量，u为中间变量，y为因变量(即函数)

2、复合函数f[g(x)]的单调性与构成它的函数u=g(x)，y=f(u)的单调性密切相关，其规律如下：

函数单调性

()u g x = 增 增 减 减

()y f u = 增 减 增 减

[]()y f g x = 增 减 减 增

例1、已知()1,()32y f u u u g x x ==+==-+，求[]()y f g x =的单调性。

例2、已知2()1,()1y f u u u g x x ==+==+，求函数[]()y f g x =的单调性。

〖针对性训练〗

1、已知2()1,()1y f u u u g x x ==+==-+，求函数[]()y f g x =的单调性。

2、已知2()82f x x x =+-，如果2()(2)g x f x =-，那么()g x （ ）

A. 在区间（-1，0）上是减函数

B. 在区间（0，1）上是减函数

C. 在区间（-2，0）上是增函数

D. 在区间（0，2）上是增函数

三、函数的最大（小）值

1．函数最大（小）值定义

1）最大值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：

（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≤； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =． 那么，称M 是函数()y f x =的最大值．

2）最小值：一般地，设函数()y f x =的定义域为I ，如果存在实数M 满足：

（1）对于任意的x I ∈，都有()f x M ≥； （2）存在0x I ∈，使得0()f x M =． 那么，称M 是函数()y f x =的最小值．

注意：①函数最大（小）首先应该是某一个函数值，即存在0x I ∈，使得0()f x M =； ②函数最大（小）应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x I ∈，都有()(())f x M f x m ≤≥．

2．利用函数单调性来判断函数最大（小）值的方法．

①配方法 ②换元法 ③数形结合法

例1、求函数223y x x x =-+当自变量在下列范围内取值时的最值．

①10x -≤≤ ② 03x ≤≤ ③(,)x ∈-∞+∞

例2、求函数y x =+

例3、求函数2

1y x =-在区间[2，6] 上的最大值和最小值．

【针对性练习】

一、选择题

1．函数y ＝4x －x 2，x ∈[0，3]的最大值、最小值分别为( )

(A)4，0 (B)2，0 (C)3，0 (D)4，3

2．函数21

x x y -=的最小值为( ) (A)21

(B)1 (C)2 (D)4

3、函数3

(2)2y x x =≠+ 在区间〔0，5〕上的最大值、最小值分别是（

） A. 3

,07 B.3,02 C. 33,27 D. 最大值3

7，无最小值。

二、填空题

1．函数y ＝2x 2－4x －1 x ∈(－2，3)的值域为______．

2．函数22x x y -=的值域为______．

3、函数[])245(0,3y x x x =-+∈的值域是 。

4、函数23y x =-的值域是 。

三、解答题

1．求函数???<-≥=0,0,2)(x x x x f x 的值域．

2．设函数f(x)＝(x＋a)2对于任意实数t∈R都有f(1－t)＝f(1＋t)．

(1)求a的值；

(2)如果x∈[0，5]，那么x为何值时函数y＝f(x)有最小值和最大值?并求出最小值与最

大值．

3．如图，在边长是a的等边三角形内作一个内接矩形，求内接矩形的面积的最大值．

4．已知函数y＝－3x2＋2ax－1，x∈[0，1]，记f(a)为其最小值，求f(a)的表达式，并求f(a)的最大值．