导数中双变量处理策略

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导数中双变量问题的四种策略

导数中双变量问题的四种策略双变量问题的几种处理策略策略一：合并思想已知函数$f(x)=\ln x$的图像上任意不同的两点的中点为$A(x_1,y_1)$。

$B(x_2,y_2)$，线段$AB$的中点为$C(x,y)$，记直线$AB$的斜率为$k$，试证明：$k>f'(x)$。

解析：因为$f(x)=\ln x$，所以$f'(x)=\frac{1}{x}$。

又因为k=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}=\frac{\ln x_2-\lnx_1}{x_2-x_1}=\frac{\ln\frac{x_2}{x_1}}{x_2-x_1}$$不妨设$x_2>x_1$，要比较$k$与$f(x)$的大小，即比较frac{\ln\frac{x_2}{x_1}}{x_2-x_1}\text{和}\frac{1}{x_1}$$的大小，即比较ln\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^{\frac{1}{x_2-x_1}}\text{和}e^{\frac{1}{x_2-x_1}}$$的大小。

又因为$x_2>x_1$，所以frac{x_2-x_1}{x_2+1}<\ln\left(\frac{x_2}{x_1}\right)^{\frac{1}{x_2-x_1}}<\frac{x_2-x_1}{x_1}$$因此frac{x_2-x_1}{x_2+1}<k<\frac{x_2-x_1}{x_1}$$又因为$x_2>x_1$，所以$\frac{x_2-x_1}{x_2+1}>\frac{1}{2}$，因此$k>f'(x)$。

策略二：分离思想问题2：若$g(x)=\ln x+\frac{1}{x}$，求$a$的取值范围，使得对任意的$x_1,x_2\in(1,2)$，都有$g(x_2)-g(x_1)<-1$。

导数中双变量问题的处理策略

导数中双变量问题的处理策略
程春民
【期刊名称】《高中数理化》
【年(卷),期】2023()3
【摘要】导数中的双变量问题是高考的热点,这类问题综合性比较强,常常出现在试卷的压轴位置.掌握这类问题的基本思想和基本策略是解决双变量问题的关键.其实处理双变量问题的基本思想就是把双变量问题转化为单变量问题,本文以例题来说明处理双变量问题的各种常见策略.
【总页数】3页(P61-63)
【作者】程春民
【作者单位】江西省永丰中学
【正文语种】中文
【中图分类】G63
【相关文献】
1.借力导数,处理函数类“双变量”问题
2.例谈导数中双变量问题的常见处理策略
3.谈谈导数压轴题中的双变量问题处理方法
4.导数视角下双变量问题的多角度处理方法
5.导数双变量不等式问题的变量转化处理策略探究
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导数中双变量问题的四种策略

双变量问题的几种处理策略策略一：合的思想问题1：已知函数x x f ln )(=的图象上任意不同的两点，，线段的中点为，记直线的斜率为，试证明：．解析：因为∴, ∴,又不妨设，要比较与的大小，即比较与的大小，又∵，∴ 即比较与的大小．令,则, ∴在上位增函数．又，∴， ∴，即二：分的思想问题2：若1ln )(++=x a x x g ，且对任意的(]2,1,21∈x x ，，都有，求a 的取值范围．解析∵ ，∴由题意得在区间(]2,1上是减函数． ∴ ()11,y x A ()22,y x B AB),(00y x C AB k )(0x f k '>x x f ln )(=xx f 1)(='210021)(x x x x f +=='121212121212ln ln ln )()(x x x x x x x x x x x f x f k -=--=--=12x x >k )(0x f '1212lnx x x x -212x x +12x x >12lnx x 1)1(2)(212122112+-=+-x x x x x x x x )1(1)1(2ln )(≥+--=x x x x x h 0)1()1()1(41)(222≥+-=+-='x x x x x x h )(x h [)+∞,1112>x x 0)1()(12=>h x x h 1)1(2ln 121212+->x x x x x x )(0x f k '>21x x ≠1)()(1212-<--x x x g x g 1)()(1212-<--x x x g x g []0)()(121122<-+-+x x x x g x x g x x g x F +=)()(1)1(1)(2++-='x ax x F由在恒成立．设，，则 ∴在上为增函数，∴.策略3：变得思想设函数x x x f ln )(=，若，求证解析：, ,所以在上是增函数，上是减函数.因为，所以即,同理. 所以又因为当且仅当“”时，取等号. 又，, 所以,所以，所以：.问题4：已知函数()21ln ,2f x x x mx x m R =--∈，若函数()f x 有两个极值点12,x x ,求证: 212x x e >解析：欲证212x x e >,需证: 12ln ln 2x x +>,若()f x 有两个极值点12,x x ,即函数()'f x 有两个零点,又()'ln f x x mx =-, 所以12,x x 是方程()'0f x =的两个不同实根313)1()1(0)(222+++=+++≥⇒≤'xx x x x x a x F []2,1∈x =)(x m 3132+++x x x []2,1∈x 0312)(2>+-='xx x m )(x m []2,1227)2(=≥m a 1),1,1(,2121<+∈x x e x x 42121)(x x x x +<x x xx f x g ln )()(==e x x x g 1,0ln 1)(==+=),1(+∞e )(x g )1,0(e11211<+<<x x x e111212121ln )()ln()()(x x x g x x x x x x g =>++=+)ln(ln 211211x x x x x x ++<)ln(ln 212212x x x x x x ++<)ln()2()ln()(ln ln 2112212112122121x x x xx x x x x x x x x x x x +++=++++<+,421221≥++x x x x 21x x =1),1,1(,2121<+∈x x ex x 0)ln(21<+x x )ln(4)ln()2(21211221x x x x x x x x +≤+++)ln(4ln ln 2121x x x x +<+42121)(x x x x +<于是,有1122ln 0{ln 0x mx x mx -=-=,解得1212ln ln x x m x x +=+,另一方面,由1122ln 0{ln 0x mx x mx -=-=,得()2121ln ln x x m x x -=-,从而可得21122112ln ln ln ln x x x x x x x x -+=-+,于是()()222121111222111lnln ln ln ln 1x x x x x x x x x x x x x x ⎛⎫+ ⎪-+⎝⎭+==--.又120x x <<, 设21x t x =,则1t >.因此, ()121ln ln ln ,1t t x x t ++=-1t >. 要证12ln ln 2x x +>,即证:()1ln 2,11t t t t +>>-.即当1t >时,有()21ln 1t t t ->+. 设函数()()21ln ,11t h t t t t -=-≥+,则()()()()()()222212111011t t t h t t t t t +---'=-=≥++, 所以, ()h t 为()1,+∞上的增函数.注意到, ()10h =,因此, ()()10h t h ≥=.于是,当1t >时,有()21ln 1t t t ->+. 所以,有12ln ln 2x x +>成立, 212x x e >.问题5：x m x x x f x --=221ln )(已知函数，若()x f 有两个极值点x 1，x 2，（x 1<x 2),且x x x x x a 12112ln 2ln ->-恒成立，求整数a 的最大值。

导数压轴-双变量问题的探讨

引言导数中有一类问题涉及到两个变量，例如m 和n 、a 和b 、1x 和2x 。

显然涉及两个变量的问题我们是不会处理的，如何把两个变量转化为一个变量就成了我们问题解决的关键。

方法点睛方法一：也是最核心、最常见的方法。

就是进行式子齐次化，进行了齐次化后可以将12x x 或者12x x -作为单元，这样就达到了减元的目的。

方法二：一般可以通过联立12,x x 的等式，通过对两式进行相加（相减）等操作，对所求式等进行化简。

方法三：对于等价双变量不等式问题，我们先令如12x x >，再通过适当的变形，使得等式两边均只含有一个变量，且形式相同，这样我们可以令这个相同的形式为()g x ，问题也许就转化成了()g x 的单调性问题。

还有其他的一些方法技巧性较强，我们在后面的题目中进行详细剖析。

例题讲解【例题1】已知函数(1)()ln 1a x f x x x -=-+. （Ⅰ）若函数()f x 在(0,)+∞上为单调增函数，求a 的取值范围（Ⅱ）设m ，n +∈R ，且m n ≠，求证：ln ln 2m n m nm n -+<- 对话与解答：（Ⅰ）2a ≤（Ⅱ）不妨设m n >，证明原不等式成立等价于证明()2ln m n mm n n-<+成立，也就是证明第六课：关于导数中双变量问题的探讨21ln 1m m n m n n⎛⎫- ⎪⎝⎭<+成立。

令,1m t t n =>，即证()()21ln 01t g t t t -=->+。

运用（Ⅰ）的结论，()g t 在()0+∞，上单调递增，故()()10g t g >=，不等式得证。

本题我们用到方法一。

看到解答，你可能会觉得将()2m n m n -+处理成211m n m n⎛⎫- ⎪⎝⎭+真是神来之笔，也是解决整个问题的关键。

那么这个处理究竟有没有思路可循呢？当然是有的，不难发现()2ln m n mm n n-<+的右边已经出现了m n 的形式，同时右边分子分母都死其次式，如果一开始就有“转化成一个变量”的思想，就会迅速锁定mn整体换元。

第11讲利用导数研究双变量问题(学生版) 备战2025年高考数学一轮复习学案(新高考通用)

第11讲利用导数研究双变量问题（核心考点精讲精练）命题规律及备考策略【命题规律】本节内容是新高考卷的常考内容，设题稳定，难度较大，分值为15-17分【命题预测】题型分析　双变量问题运算量大，综合性强，解决起来需要很强的技巧性，解题总的思想方法是化双变量为单变量，然后利用函数的单调性、最值等解决．破解双参数不等式的方法:一是转化，即由已知条件入手，寻找双参数满足的关系式，并把含双参数的不等式转化为含单参数的不等式:二是巧构函数，再借用导数，判断函数的单调性，从而求其最值;三是回归双参的不等式的证明，把所求的最值应用到双参不等式，即可证得结果1．（2024·天津·高考真题）设函数()ln f x x x =．(1)求()f x 图象上点()()1,1f 处的切线方程；(2)若()(f x a x ³-在()0,x Î+¥时恒成立，求a 的值；(3)若()12,0,1x x Î，证明()()121212f x f x x x -£-．2．（2022·北京·高考真题）已知函数()e ln(1)x f x x =+．(1)求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；(2)设()()g x f x ¢=，讨论函数()g x 在[0,)+¥上的单调性；(3)证明：对任意的,(0,)s t Î+¥，有()()()f s t f s f t +>+．3．（2021·全国·高考真题）已知函数()()1ln f x x x =-.（1）讨论()f x 的单调性；（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且ln ln b a a b a b -=-，证明：112e a b<+<.1．（2024·江苏盐城·模拟预测）已知函数()2e ax xf x =，其中0a >．(1)若()f x 在(]0,2上单调递增，求a 的取值范围；(2)当1a =时，若124x x +=且102x <<，比较()1f x 与()2f x 的大小，并说明理由2．（23-24高三下·江苏苏州·阶段练习）已知函数()(1)1f x x x aa =+--，其中1,1x a >->.(1)讨论()f x 的单调性；(2)若01b a <£<，证明：a b b a a b a b +³+.3．（23-24高三下·北京·开学考试）已知()()1e ,0kx f x x k =+¹.(1)若1k =，求()f x 在()()0,0f 处的切线方程；(2)设()()g x f x ¢=，求()g x 的单调区间；(3)求证：当0k >时，()()()(),0,,1m n f m n f m f n ¥"Î+++>+.4．（22-23高三下·四川成都·开学考试）已知函数()1()e ln 1x f x a x x x -=--+-，0a ³．(1)求证：()f x 存在唯一零点；(2)设1()e 1x g x a x -=+-，若存在12,(1,)x x Î+¥，使得()()()211g x g x f x =-，求证：12111ln121x x x +-+>-．5．（23-24高三上·江西·阶段练习）已知函数()()()2ln 11R f x x x ax a =+---Î.(1)当2a =-时，存在[]12,0,1x x Î，使得()()12f x f x M -³，求M 的最大值；(2)已知m ，n 是()f x 的两个零点，记()f x ¢为()f x 的导函数，若()0,m n Î+¥,，且m n £，证明：02m n f +æö<ç÷èø¢.1．（2023·甘肃定西·模拟预测）已知函数21()ln(1)()2f x a x x x a =++-ÎR ．(1)若a ＝1，求函数()f x 的单调区间；(2)若函数()f x 有两个极值点12,x x ，且12x x <，求证：()122x f x >．2．（2024·四川德阳·二模）已知函数()2ln 2,R f x x x ax a =+-Î，(1)当0a >时，讨论()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有两个极值点()1212,x x x x <，求()()122f x f x -的最小值.3．（2023·福建龙岩·模拟预测）设函数()n e l xxf x x x =+-.(1)求()f x 的极值；(2)已知()()()1212f x f x x x =<，12kx x +有最小值，求k 的取值范围.4．（2024·河南商丘·模拟预测）已知函数()f x 的定义域为()0,¥+，其导函数()()()222112f x x a a f a x¢=+-Î=-R ,．(1)求曲线()y f x =在点()()1,1f 处的切线l 的方程，并判断l 是否经过一个定点；(2)若12,x x $，满足120x x <<，且()()120f x f x ¢¢==，求()()122f x f x -的取值范围．5．（2022·四川泸州·一模）已知函数()1ln f x ax x x =+-的图像在1x =处的切线与直线0x y -=平行．(1)求函数()f x 的单调区间；(2)若()12,0,x x "Î+¥，且12x x >时，()()()221212f x f x m x x ->-，求实数m 的取值范围．6．（2023·河南郑州·三模）已知函数()()2ln 1f x x a x =+-，R a Î．(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)若函数()f x 有两个极值点1x ，2x ，且12x x <，求证：()12f x ax a ->-．7．（2023·福建龙岩·二模）已知函数()ln f x x =，2()g x x x=-．(1)若0x 满足()00011x f x x +=-，证明：曲线()y f x =在点()00,ln A x x 处的切线也是曲线e x y =的切线；(2)若()()()F x f x g x =-，且()()()1212F x F x x x ¢=¹¢，证明：()()124ln 27F x F x +<-．8．（23-24高三上·天津宁河·期末）已知函数()2ln 2a f x x x =+，a ÎR ．(1)当1a =时，求曲线()y f x =在()()1,1f 处的切线方程；(2)求()f x 的单调区间；(3)设()1212,0x x x x <<是函数()()g x f x ax =-的两个极值点，证明：()()12ln 2ag x g x a -<-．9．（2024·河北保定·二模）已知函数()ln ,()f x ax x x f x ¢=-为其导函数．(1)若()1f x £恒成立，求a 的取值范围；(2)若存在两个不同的正数12,x x ，使得()()12f x f x =，证明：0f ¢>．10．（2023·广西·模拟预测）已知函数()2()e ln R x f x x x x ax a =-+-Î．(1)若1a =，求()y f x =在1x =处的切线方程；(2)若()f x 有两个不同零点1x ，2x 证明：()()1212e 1f x x a x x >+-．11．（2023·全国·模拟预测）已知函数()()ln 1x af x a x x=++-，a ÎR ．(1)讨论()f x 的单调性；(2)若()()12f x f x =，当12112x a x <<<<时，证明：()()21212112a a x x x x a +æö++>ç÷èø．12．（2023·海南·模拟预测）已知函数()()2ln ,af x x x b a b x=--+ÎR 在()0,¥+上单调递增.(1)求a 的取值范围；(2)若存在正数()1212,x x x x ¹满足()()12f x f x b ¢¢==（()f x ¢为()f x 的导函数），求证：()()120f x f x +>.13．（2024高三下·全国·专题练习）设3x =是函数()23()e ()x f x x ax b a -=++ÎR 的一个极值点．(1)求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；(2)设0a >，225()e 4xg x a æö=+ç÷èø．若存在1x ，24[]0,x Î，使得()()121f x g x -£，求实数a 的取值范围．14．（2024·浙江绍兴·三模）若函数()x a 有且仅有一个极值点m ，函数()x b 有且仅有一个极值点n ，且m n >，则称()x a 与()x b 具有性质//m n a b ->．(1)函数21()sin x x x j =-与()2e xx x j =-是否具有性质120//0x j j ->？并说明理由．(2)已知函数()()e ln 1x f x a x =-+与()()ln e 1xg x x a =+-+具有性质12//f g x x ->．（i ）求a 的取值范围；（ii ）证明：()12g x x >．15．（2023·全国·模拟预测）已知函数()212ln xf x x +=.(1)设函数()()1e 0kx g x k kx=->，若()()f x g x £恒成立，求k 的最小值；(2)若方程()f x m =有两个不相等的实根1x 、2x ，求证：()122121ln m x x x x m-+<.1．（重庆·高考真题）设函数()()()1f x x x x a =--，()1a >.（1）求导数()f x ¢，并证明()f x 有两个不同的极值点1x ､2x ；（2）若不等式()()120f x f x +≤成立，求a 的取值范围.2．（湖南·高考真题）设函数1()ln ()f x x a x a R x=--Î（1）讨论()f x 的单调性；（2）若()f x 有两个极值点1x 和2x ，记过点1122(,()),(,())A x f x B x f x 的直线的斜率为k ，问：是否存在a ，使得2k a =-？若存在，求出a 的值，若不存在，请说明理由．3．已知函数22()ln (0)f x x a x x x =++>，()f x 的导函数是()f x ¢．对任意两个不相等的正数1x 、2x ，证明：(1)当0a …时，1212()()()22f x f x x x f ++>；(2)当4a …时，1212|()()|||f x f x x x ¢-¢>-．。

函数导数中双变量问题的四种转化化归思想

处理函数双变量问题的六种解题思想吴享平（福建省厦门第一中学）361000在解决函数综合题时，我们经常会遇到在某个范围内都可以任意变动的双变量问题，由于两个变量都在变动，因此不知把那个变量当成自变量进行函数研究，从而无法展开思路，造成无从下手的之感，正因为如此，这样的问题往往穿插在试卷压轴题的某些步骤之中，是学生感到困惑的难点问题之一，本文笔者给出处理这类问题的六种解题思想，希望能给同学们以帮助和启发。

一、改变“主变量”思想例１.已知时在｜2|,1)(2≤≥-+=m m mx x x f 恒成立，求实数x 的取值范围.分析：从题面上看，本题的函数式)(x f 是以x 为主变量，但由于该题中的“恒”字是相对于变量m 而言的，所以该题应把m 当成主变量，而把变量x 看成系数，我们称这种思想方法为改变“主变量”思想。

解： 01)1(122≥-+-⇔≥-+x x m m mx x 时在｜2|≤m 恒成立，即关于m 为自变量的一次函数=)(m h 1)1(2-+-x m x 在]2,2[-∈m 时的函数值恒为非负值{0)2(0)2(≥-≥⇔h h 得{1301203222≥-≤⇔≥+-≥-+x x x x x x 或。

对于题目所涉及的两个变元，已知其中一个变元在题设给定范围内任意变动，求另一个变元的取值范围问题，这类问题我们称之为“假”双变元问题，这种“假”双变元问题，往往会利用我们习以常的x 字母为变量的惯性“误区”来设计，其实无论怎样设计，只要我们抓住“任意变动的量”为主变量，“所要求范围的量”为常数，便可找到问题所隐含的自变量，而使问题快速获解。

二、指定“主变量”思想例２.已知,0n m <≤试比较)1ln(++-m e m n 与)1ln(1++n 的大小，并给出证明.分析：本题涉及到两个变量m,n ，这里不妨把m 当成常数，指定n 为主变量x ，解答如下解：构造函数),[),1ln(1)1ln()(+∞∈+--++=-m x x m e x f m x ，0≥m ，由0)1()1(1111)(>+-+=+-=+-='-m mx m x m x ex e e x x e e x e x f 在),[+∞∈m x 上恒成立，∴)(x f 在),[+∞m 上递增，∴0)()(min ==m f x f ，于是，当n m <≤0时，0)1ln(1)1ln()(>+--++=-n m e n f m n 即)1ln(++-m e m n >)1ln(1++n 。

导数双元问题处理技巧

导数双元问题处理技巧
导数双元问题是指同时涉及到两个变量的导数问题，这类问题通常比较复杂，需要一定的技巧来处理。

以下是一些处理导数双元问题的技巧：
1. 建立关系式：首先需要建立两个变量之间的关系式，以便将两个变量联系起来。

可以通过代数方法或者图形方法来建立关系式。

2. 确定导数的定义域：在处理导数问题时，需要先确定函数的定义域，特别是对于双元问题，需要特别注意定义域的限制条件。

3. 求导：根据题目要求，对函数进行求导。

在求导过程中，需要注意变量的替换和链式法则的应用。

4. 寻找极值点：通过求导数等于零的点，可以找到函数的极值点。

在双元问题中，需要分别对两个变量求导，然后令导数等于零，解出对应的值。

5. 判断单调性：通过判断导数的正负性，可以确定函数的单调性。

在双元问题中，需要分别对两个变量求导，然后根据导数的正负性来判断函数的单调性。

6. 求解最值：在找到极值点和单调性后，可以求解函数的最值。

在双元问题中，需要分别对两个变量求最值，然后根据实际情况进行取舍。

7. 验证答案：最后需要对答案进行验证，确保答案的正确性和合理性。

可以通过代入法或者图形法来进行验证。

总之，处理导数双元问题需要一定的技巧和耐心，需要综合考虑函数的定义域、导数的计算、极值点的寻找、单调性的判断以及最值的求解等多个方面。

同时需要注意细节和计算准确性，以免出现错误。

函数导数中双变量问题的四种转化化归思想-厦门一中

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导数-双变量问题处理策略
1.构造函数利用单调性证明
2.任意性与存在性问题
3.整体换元—双变单
4.极值点偏移
【构造函数利用单调性证明】
形式如：1212|()()|||f x f x m x x -≥-
例1、设函数221()(2)ln (0)ax f x a x a x
+=-+<． (1)讨论函数()f x 在定义域内的单调性；
(2)当(3,2)a ∈--时，任意12,[1,3]x x ∈，12(ln 3)2ln 3|()()|m a f x f x +->-恒成立，求实数m 的取值范围．
【任意与存在性问题】
例2、已知函数()2
a f x x x
=+，()ln g x x x =+，其中0a >．（1）若函数()x f y =在[]e ,1上的图像恒在()x g y =的上方，求实数a 的取值范围．
（2）若对任意的[]12,1x x e ∈，（e 为自然对数的底数）都有()1f x ≥()2g x 成立，求实数a 的取值范围．
【整体换元——双变单】
例3、已知函数x x x f ln )(=的图象为曲线C , 函数b ax x g +=2
1)(的图象为直线l . (Ⅰ) 当3,2-==b a 时, 求)()()(x g x f x F -=的最大值;
(Ⅱ) 设直线l 与曲线C 的交点的横坐标分别为21,x x , 且21x x ≠, 求证:
2)()(2121>++x x g x x .
【对称轴问题12x x +的证明】
例4、已知函数11()(x x f x x e
--=∈R). ⑴求函数()f x 的单调区间和极值；
⑵已知函数()y g x =对任意x 满足()(4)g x f x =-，证明：当2x >时，()();f x g x > ⑶如果12x x ≠，且12()()f x f x =，证明：12 4.x x +>
【实战演练】
1.已知函数f (x )=2
1x 2－ax +(a －1)ln x ，1a >. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）证明：若5a <，则对任意x 1,x 2∈(0,)+∞，x 1≠x 2，有1212
()()1f x f x x x ->--.
2.设3x =是函数()()
()23,x f x x ax b e x R -=++∈的一个极值点. （1）求a 与b 的关系式（用a 表示b ），并求()f x 的单调区间；
（2）设()2250,4x a g x a e ⎛
⎫>=+ ⎪⎝⎭
，若存在[]12,0,4ξξ∈，使得()()121f g ξξ-< 成立，求a 的取值范围.
3.已知函数21()ln (1)(0)2
f x x ax a x a R a =-+-∈≠，. ⑴求函数()f x 的单调增区间；
⑵记函数()F x 的图象为曲线C ，设点1122(,)(,)A x y B x y 、是曲线C 上两个不同点，如果曲线C 上存在点00(,)M x y ，使得：①1202
x x x +=；②曲线C 在点M 处的切线平行于直线AB ，则称函数()F x 存在“中值相依切线”.试问：函数()f x 是否存在中值相依切线，请说明理由.
4.(2018届高三咸阳市二模理科）.已知函数2
()2ln (,0)x f x x a R a a
=-∈≠. （1）讨论函数()f x 的单调性；
（2）若函数()f x 有两个零点1x ，2x 12()x x <，且2a e =，证明：122x x e +>.
（注：文档可能无法思考全面，请浏览后下载，供参考。

）。

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