高考数学 热点难点突破技巧 第07讲 导数中的双变量存在性和任意性问题

第07讲：导数中的双变量存在性和任意性问题的处理【知识要点】在平时的数学学习和高考中，我们经常会遇到不等式的双变量的存在性和任意性问题，学生由于对于这类问题理解不清，很容易和不等式的恒成立问题混淆，面对这类问题总是感到很棘手，或在解题中出现知识性错误. 1、双存在性问题“存在．．．),(1b a x ∈，存在．．),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立”．称为不等式的双存在性问题，存在．．),(1b a x ∈，存在．．),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立，即)(x f 在区间),(b a 内至少有一个值．．．．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的一个函数值．．．．．小.，即max min )()(x g x f <.（见下图1）“存在．．),(1b a x ∈，存在．．),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f >成立”，即在区间),(b a 内至少有．．．一个值．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的一个函数值．．．．．大，即min max )()(x g x f >.（见下图2）2、双任意性问题“任意．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立” 称为不等式的双任意性问题. 任意．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立，即)(x f 在区间),(b a 任意一个值．．．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的任意．．一个函数值都要小，即max min ()()f x g x <.“任意．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f >成立”，即)(x f 在区间),(b a 内任意一．．．个值．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的任意．．一个函数值都要大,即min max ()()f x g x >. 3、存在任意性问题“存在．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立” 称为不等式的存在任意性问题. 存在．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立，即)(x f 在区间),(b a 内至少有一个值．．．．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的任意．．一个函数值都要小，即min min )()(x g x f <. （见下图3）“存在．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f >成立”，即)(x f 在区间),(b a 内至少有一个值．．．．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的任意．．一个函数值都要大，即max max )()(x g x f >.（见下图4）【方法讲评】 题型一 双存在性问题使用情景不等式中的两个自变量属性都是存在性的.解题理论存在．．),(1b a x ∈，存在．．),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立” 称为不等式的双存在性问题，存在．．),(1b a x ∈，存在．．),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立，即)(x f 在区间),(b a 内至少有一个值．．．．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的一．个函数值．．．．小，即max min )()(x g x f <. “存在．．),(1b a x ∈，存在．．),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f >成立”，即在区间【例1】已知函数()()34ln 0a f x x ax a x+=-+≥. （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）当1a ≥时，设()242x g x e x a =-+，若存在1x ，2122x ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，，使()()12f x g x >，求实数a 的取值范围.（e 为自然对数的底数，271828e =L ）当01a <<时，0∆>，1240x x a +=>，1230a x x a+⋅=>10x =>,20x =>当()10x x ∈，时，()0h x <，()f x 单调递减， 当()12x x x ∈，时，()0h x >，()f x 单调递增， 当()2x x ∈+∞，时，()0h x <，()f x 单调递减，所以当0a =时，()f x 的减区间为304⎛⎤ ⎥⎝⎦，，增区间34⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭，.当1a ≥时，()f x 的减区间为()0+∞，.当01a <<时，()f x 的减区间为0⎛ ⎝，⎫⎪+∞⎪⎭增区间为. （Ⅱ）由（Ⅰ）可知()f x 在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最大值为134ln 2622f a ⎛⎫=-++ ⎪⎝⎭，()24x g x e =-，令()0g x =，得ln 2x =. 1ln 22x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭，时，()0g x <，()g x 单调递减， (]ln 22x ∈，，()0g x >，()g x 单调递增，所以()g x 在122⎡⎤⎢⎥⎣⎦，上的最小值为()ln 244ln 22g a =-+，由题意可知34ln 2644ln 222a a -++>-+，解得4a <, 所以14a ≤<.【点评】（1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点），也可以这样记忆，双存在性问题两边的最值相反. 【反馈检测1】设函数2()()()xf x x ax b e x R =++∈，（1）若1=x 是函数)(x f 的一个极值点，试求出b 关于a 的关系式（用a 表示b ）,并确定)(x f 的单调区间；（2）在（1）的条件下，设0>a ，函数42)14()(++=x ea x g ，若存在]4,0[,21∈ξξ使得1|)()(|21<-ξξg f 成立，求a 的取值范围.【例2】已知函数()ln f x x =．若不等式()mf x a x ≥+对所有[]0,1m ∈，21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立，求实数a 的取值范围．【解析】则ln a m x x ≤-对所有的[]0,1m ∈，21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦都成立， 令()ln H x x m x =-g ，[]0,1m ∈，21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦是关于m 的一次函数，因为21,x e e ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，所以1ln 2x -≤≤【点评】（1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点），也可以这样记忆，双任意性问题，两边的最值相反.【反馈检测2】已知函数，，，.（Ⅰ）讨论的单调性；（Ⅱ）对于任意，任意，总有，求的取值范围.题型三 存在任意性使用情景不等式的两个自变量一个属性是存在性的，一个是任意性的.解题理论“存在．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立”称为不等式的存在任意性问题. 存在．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f <成立，即)(x f 在区间),(b a 内至少有一个值．．．．．．)(x f 比函数)(x g在区间),(d c 内的任意．．一个函数值都要小，即min min )()(x g x f <. “存在．．),(1b a x ∈，对任意．．的),(2d c x ∈，使得)()(21x g x f >成立”，即)(x f 在区间),(b a 内至少有一个值．．．．．．)(x f 比函数)(x g 在区间),(d c 内的任意．．一个函数值都要大，即max max )()(x g x f >.【例3】（2010高考山东理数第22题）已知函数1()ln 1af x x ax x-=-+-()a R ∈. (Ⅰ)当12a ≤时，讨论()f x 的单调性； （Ⅱ）设2()2 4.g x x bx =-+当14a =时，若对任意1(0,2)x ∈，存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，求实数b 取值范围.（1）当0a =时，()1(0)h x x x =-+>，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增. (2)当0a ≠时，由()0f x '=，即210ax x a -+-=，解得1211,1x x a==-. 当12a =时12x x =，()0h x ≥恒成立，此时()0f x '≤，函数()f x 单调递减； 当102a <<时，1110a ->>，(0,1)x ∈时()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减；1(1,1)x a ∈-时，()0,()0h x f x '<>，函数()f x 单调递增；1(1,)x a∈-+∞时，()0,()0h x f x '><，函数()f x 单调递减.当0a <时110a-<，当(0,1),()0,()0x h x f x '∈><,函数()f x 单调递减；当(1,),()0,()0x h x f x '∈+∞<>，函数()f x 单调递增.综上所述：当0a ≤时，函数()f x 在(0,1)单调递减，(1,)+∞单调递增； 当12a =时12x x =，()0h x ≥恒成立，此时()0f x '≤，函数()f x 在(0,)+∞单调递减；当102a <<时，()f x 在(0,1)单调递减，1(1,1)a -单调递增，1(1,)a -+∞单调递减. （Ⅱ）当14a =时，()f x 在（0，1）上是减函数，在（1，2）上是增函数，所以对任意1(0,2)x ∈，有,21)1()(min -==f x f又已知存在[]21,2x ∈，使12()()f x g x ≥，所以21()2g x -≥，[]21,2x ∈，（※）又22()()4,[1,2]g x x b b x =-+-∈当1b <时，min ()(1)520g x g b ==->与（※）矛盾； 当[]1,2b ∈时，2min ()(1)40g x g b ==-≥也与（※）矛盾； 当2b >时，min 117()(2)84,28g x g b b ==-≤-≥. 综上所述，实数b 的取值范围是17[,)8+∞. 【点评】（1）存在性问题和任意性问题都是最值关系问题，关键是是什么样的最值关系，所以务必理解清楚,不能含糊.(2)对于存在性问题和任意性问题的理解可以数形结合理解（见前面的知识要点），也可以这样记忆，存在任意性问题，两边的最值相同. 【反馈检测3】已知函数.（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；（Ⅱ）已知，函数.若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.高中数学热点难点突破技巧第07讲：导数中的双变量存在性和任意性问题的处理参考答案【反馈检测1答案】（1）5[ )3+∞，；（2） 1(0 ]3，.令()0f x '=，得11x =或23x a =-- ∵1x =是极值点，∴31a --≠，即4a ≠- 当31a -->即4a <-时，由()0f x '>得(3,)x a ∈--+∞或(,1)x ∈-∞ 由()0f x '<得(1,3)x a ∈--当31a --<即4a >-时，由()0f x '>得(1,)x ∈+∞或(,3)x a ∈-∞-- 由()0f x '<得(3,1)x a ∈--综上可知：当4a <-时，函数()f x 的单调递增区间为(,1)-∞和(3,)a --+∞，单调递减区间为(1,3)a --；当4a >-时，函数()f x 单调递增区间为(,3)a -∞--和(1,)+∞，单调递减区间为(3,1)a --.（2）由（1）知，当a >0时，()f x 在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1，4）上单调递增，∴函数()f x 在区间[0,4]上的最小值为(1)(2)f a e =-+ 又∵(0)f =(23)xbe a =-+0<，4(4)(213)0f a e =+>，∴函数()f x 在区间[0，4]上的值域是[(1),(4)]f f ，即4[(2),(213)]a e a e -++ 又24()(14)x g x a e+=+在区间[0，4]上是增函数，且它在区间[0，4]上的值域是2428[(14),(14)]a e a e ++∵24(14)a e +－4(213)a e +＝24(21)a a e -+＝24(1)0a e -≥， ∴存在12,[0,4]ξξ∈使得12()()1f g ξξ-<成立只须仅须24(14)a e +－4(213)a e +<124241(1)1(1)a e a e ⇒-<⇒-<221111a e e ⇒-<<+【反馈检测2答案】（Ⅰ）当时，递减区间为，不存在增区间；当时，递减区间为，递增区间；（Ⅱ）.∴递减区间为，递增区间；综上：当时，递减区间为，不存在增区间；当时，递减区间为，递增区间； （Ⅱ）令，由已知得只需即若对任意，恒成立，即令，则设，则∴在递减，即∴在递减∴即的取值范围为．【反馈检测3答案】（I ）详见解析；（II ）.【反馈检测3详细解析】当时，或，在上递增，在和上递减；，在上递减.(II)由（2）知在内单调递减，内单调递增，内单调递减，又，故有，只需在[0,2]上最小值小于等于-1即可.即时最小值，不合题意，舍去；即时最小值；即时最小值；综上所述：.。