2018-2019学年湖北省武汉市高一上期末数学试卷(含答案解析)
2018-2019学年湖北省部分重点中学高三(上)第一次联考数学试卷(文科)(解析版)
2018-2019学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数学试卷（文科）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．若复数z满足zi=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1D．12．下列四个结论：①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；②若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题；③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充要条件；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减其中正确的是（）A．①④B．②③C．①③D．②④3．已知集合A=（﹣2，5]，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，3]B．[﹣3，3]C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，3）4．已知函数，则以下说法正确的是（）A．f（x）的对称轴为B．f（x）的对称中心为C．f（x）的单调增区间为D．f（x）的周期为4π5．已知数列{a n}的前n项之和S n=n2﹣4n+1，则|a1|+|a2|+…+|a10|的值为（）A．61B．65C．67D．686．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=acosC+c，则角A为（）A．60°B．120°C．45°D．135°7．若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．8．等差数列{a n}的前9项的和等于前4项的和，若a1=1，a k+a4=0，则k=（）A．3B．7C．10D．49．已知函数f（x）=e x﹣2mx+3的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．（）B．（]C．（）D．（]10．已知（x+y+4）＜（3x+y﹣2），若x﹣y＜λ+恒成立，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（9，+∞）B．（1，9）C．（0，1）∪（9，+∞）D．（0，1]∪[9，+∞）11．若a，b，c＞0且（a+c）（a+b）=4﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1B． +1C．2+2D．2﹣212．已知函数f（x）=，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式＜0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，e）C．D．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知数列{a n}满足a1=1，a n﹣a n+1=2a n a n+1，且n∈N*，则a8=．14．已知向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，则在方向上的投影等于．15．设实数x，y满足，则的取值范围是．16．设P是边长为a的正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则；类比到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4=．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．设函数f（x）=，其中=（2sin（+x），cos2x），=（sin（+x），﹣），x∈R（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[]上有解，求实数m的取值范围．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．19．已知首项为1的等差数列{a n}中，a8是a5，a13的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是单调数列，且数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前项和T n．20．已知等差数列{a n}满足（n+1）a n=2n2+n+k，k∈R．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．21．（2分）已知函数f（x）=ax+lnx（a∈R）（1）若a=2，求曲线y=f（x）在x=1处的切线方程；（2）求f（x）的单调区间和极值；（3）设g（x）=x2﹣2x+2，若对任意x1∈（0，+∞），均存在x2∈[0，1]，使得f（x1）＜g（x2），求实数a的取值范围．22．（理科）已知函数f（x）=e x+（a≠0，x≠0）在x=1处的切线与直线（e﹣1）x ﹣y+2018=0平行（Ⅰ）求a的值并讨论函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）上的单调性（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣﹣x+m+1（m为常数）有两个零点x1，x2（x1＜x2）①求实数m的取值范围；②求证：x1+x2＜0．2018-2019学年湖北省部分重点中学高三（上）第一次联考数学试卷（文科）参考答案与试题解析一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1．若复数z满足zi=1+2i，则z的共轭复数的虚部为（）A．i B．﹣i C．﹣1D．1【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义即可得出．【解答】解：iz=1+2i，∴﹣i•iz=﹣i（1+2i），z=﹣i+2则z的共轭复数=2+i的虚部为1．故选：D．【点评】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．2．下列四个结论：①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；②若p∧q是真命题，则￢p可能是真命题；③“a＞5且b＞﹣5”是“a+b＞0”的充要条件；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减其中正确的是（）A．①④B．②③C．①③D．②④【分析】利用命题的否定判断①的正误；命题的否定判断②的正误；充要条件判断③的正误；幂函数的形状判断④的正误；【解答】解：①命题“∃x0∈R，sinx0+cosx0＜1”的否定是“∀x∈R，sinx+cosx≥1”；满足命题的否定形式，正确；②若p∧q是真命题，p是真命题，则￢p是假命题；所以②不正确；③“a＞5且b＞﹣5”可得“a+b＞0”成立，“a+b＞0”得不到“a＞5且b＞﹣5”所以③不正确；④当a＜0时，幂函数y=x a在区间（0，+∞）上单调递减，正确，反例：y=，可知：x∈（﹣∞，0）时，函数是增函数，在（0，+∞）上单调递减，所以④正确；故选：A．【点评】本题考查命题的真假的判断与应用，涉及命题的否定，复合命题的真假，充要条件的应用，是基本知识的考查．3．已知集合A=（﹣2，5]，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，若B⊆A，则实数m的取值范围是（）A．（﹣3，3]B．[﹣3，3]C．（﹣∞，3]D．（﹣∞，3）【分析】当B=∅时，m+1＞2m﹣1，当B≠∅时，，由此能求出实数m的取值范围．【解答】解：∵集合A=（﹣2，5]，B={x|m+1≤x≤2m﹣1}，B⊆A，∴当B=∅时，m+1＞2m﹣1，解得m＜2，成立；当B≠∅时，，解得2≤m≤3．综上，实数m的取值范围是（﹣∞，3]．故选：C．【点评】本题考查实数的取值范围的求法，考查子集、不等式的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．4．已知函数，则以下说法正确的是（）A．f（x）的对称轴为B．f（x）的对称中心为C．f（x）的单调增区间为D．f（x）的周期为4π【分析】由题意利用正弦函数的图象和性质，逐一判断各个选项是否正确，从而得出结论．【解答】解：对于函数，令2x+=kπ+，求得x=+，k∈Z，故它的图象的对称轴为x=+，k∈Z，故A不正确．令2x+=kπ，求得x=﹣，k∈Z，故它的图象的对称中心为（﹣，0 ），k∈Z，故B正确．令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，求得kπ﹣≤x≤kπ﹣，k∈Z，故它增区间[kπ﹣，kπ﹣]，k∈Z，故C不正确．该函数的最小正周期为=π，故D错误，故选：B．【点评】本题主要考查正弦函数的图象和性质，属于基础题．5．已知数列{a n}的前n项之和S n=n2﹣4n+1，则|a1|+|a2|+…+|a10|的值为（）A．61B．65C．67D．68【分析】首先运用a n=求出通项a n，判断正负情况，再运用S10﹣2S2即可得到答案．【解答】解：当n=1时，S1=a1=﹣2，当n≥2时，a n=S n﹣S n﹣1=（n2﹣4n+1）﹣[（n﹣1）2﹣4（n﹣1）+1]=2n﹣5，故a n=，据通项公式得a1＜a2＜0＜a3＜a4＜…＜a10∴|a1|+|a2|+…+|a10|=﹣（a1+a2）+（a3+a4+…+a10）=S10﹣2S2=102﹣4×10+1﹣2（﹣2﹣1）=67．故选：C．【点评】本题主要考查数列的通项与前n项和之间的关系式，注意n=1的情况，是一道基础题．6．在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若b=acosC+c，则角A为（）A．60°B．120°C．45°D．135°【分析】利用正弦定理把已知等式转化成角的关系，根据三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，同角三角函数基本关系式可求cosA的值，结合A的范围即可得解A的值．【解答】解：∵b=acosC+c．∴由正弦定理可得：sinB=sinAcosC+sinC，可得：sinAcosC+sinCcosA=sinAcosC+sinC，可得：sinCcosA=sinC，∵sinC≠0，∴cosA=，∵A∈（0°，180°），∴A=60°．故选：A．【点评】本题主要考查了正弦定理的应用，三角函数恒等变换的应用．注重了对学生基础知识综合考查，属于基础题．7．若均α，β为锐角，=（）A．B．C．D．【分析】由题意求出cosα，cos（α+β），利用β=α+β﹣α，通过两角差的余弦函数求出cosβ，即可．【解答】解：α，β为锐角，则cosα===；＜sinα，∴，则cos（α+β）=﹣=﹣=﹣，cosβ=cos（α+β﹣α）=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα==．故选：B．【点评】本题考查两角和与差的三角函数的化简求值，注意角的范围与三角函数值的关系，考查计算能力．8．等差数列{a n}的前9项的和等于前4项的和，若a1=1，a k+a4=0，则k=（）A．3B．7C．10D．4【分析】由“等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和”可求得公差，再由a k+a4=0可求得结果．【解答】解：∵等差数列{a n}前9项的和等于前4项的和，∴9+36d=4+6d，其中d为等差数列的公差，∴d=﹣，又∵a k+a4=0，∴1+（k﹣1）d+1+3d=0，代入可解得k=10，故选：C．【点评】本题考查等差数列的前n项和公式及其应用，涉及方程思想，属基础题．9．已知函数f（x）=e x﹣2mx+3的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=垂直的切线，则实数m的取值范围是（）A．（）B．（]C．（）D．（]【分析】求函数的导数，利用导数的几何意义以及直线垂直的等价条件，转化为e x﹣2m=﹣3有解，即可得到结论．【解答】解：函数的f（x）的导数f′（x）=e x﹣2m，若曲线C存在与直线y=x垂直的切线，则切线斜率k=e x﹣2m，满足（e x﹣2m）=﹣1，即e x﹣2m=﹣3有解，即2m=e x+3有解，∵e x+3＞3，∴m＞，故选：A．【点评】本题主要考查导数的几何意义的应用，以及直线垂直的关系，结合指数函数的性质是解决本题的关键．10．已知（x+y+4）＜（3x+y﹣2），若x﹣y＜λ+恒成立，则λ的取值范围是（）A．（﹣∞，1）∪（9，+∞）B．（1，9）C．（0，1）∪（9，+∞）D．（0，1]∪[9，+∞）【分析】根据已知得出x，y的约束条件，画出满足约束条件的可行域，再用角点法，求出目标函数z=x﹣y的最大值，再根据最值给出λ的求值范围．【解答】解：由题意得x，y的约束条件．画出不等式组表示的可行域如图示：在可行域内平移直线z=x﹣y，当直线经过3x+y﹣2=0与x=3的交点A（3，﹣7）时，目标函数z=x﹣y有最大值z=3+7=10．x﹣y＜λ+恒成立，即：λ+≥10，即：．解得：λ∈（0，1]∪[9，+∞）故选：D．【点评】用图解法解决线性规划问题时，分析题目的已知条件，找出约束条件和目标函数是关键，可先将题目中的量分类、列出表格，理清头绪，然后列出不等式组（方程组）寻求约束条件，并就题目所述找出目标函数．然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．11．若a，b，c＞0且（a+c）（a+b）=4﹣2，则2a+b+c的最小值为（）A．﹣1B． +1C．2+2D．2﹣2【分析】利用基本不等式的性质即可得出．【解答】解：∵a，b，c＞0且（a+b）（a+c）=4﹣2，则2a+b+c=（a+b）+（a+c）≥=2=2，当且仅当a+b=a+c=﹣1时取等号．故选：D．【点评】本题考查了基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．已知函数f（x）=，x∈（0，+∞），当x2＞x1时，不等式＜0恒成立，则实数a的取值范围为（）A．（﹣∞，e]B．（﹣∞，e）C．D．【分析】根据题意可得函数g（x）=xf（x）=e x﹣ax2在x∈（0，+∞）时是单调增函数，求导，分离参数，构造函数，求出最值即可【解答】解：∵x∈（0，+∞），∴x1f（x1）＜x2f（x2）．即函数g （x ）=xf （x ）=e x ﹣ax 2在x ∈（0，+∞）时是单调增函数． 则g′（x ）=e x ﹣2ax ≥0恒成立． ∴2a ≤，令，则，x ∈（0，1）时m'（x ）＜0，m （x ）单调递减， x ∈（1，+∞）时m'（x ）＞0，m （x ）单调递增， ∴2a ≤m （x ）min =m （1）=e ， ∴．故选：D ．【点评】本题考查了函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，考查转化思想，考查导数的应用，属于中档题．二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13．已知数列{a n }满足a 1=1，a n ﹣a n +1=2a n a n +1，且n ∈N*，则a 8=．【分析】直接利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步根据通项公式求出结果． 【解答】解：数列{a n }满足a 1=1，a n ﹣a n +1=2a n a n +1，则：（常数），数列{}是以为首项，2为公差的等差数列．则：，所以：，当n=1时，首项a 1=1， 故：．所以：．故答案为：【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用．14．已知向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，则在方向上的投影等于﹣3．【分析】由已知中向量的模为1，且，满足|﹣|=4，|+|=2，我们易求出•的值，进而根据在方向上的投影等于得到答案．【解答】解：∵||=1，|﹣|=4，|+|=2，∴|+|2﹣|﹣|2=4•=﹣12∴•=﹣3=||||cosθ∴||cosθ=﹣3故答案为：﹣3【点评】本题考查的知识点是平面向量数量积的含义与物理意义，其中根据已知条件求出•的值，是解答本题的关键．15．设实数x，y满足，则的取值范围是[﹣，] ．【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求z的最值．【解答】解：由实数x，y满足，得到可行域如图：由图象得到的范围为[k OB，k OA]，A（1，1），B（，）即∈[，1]，∈[1，7]，﹣ [﹣1，]．所以则的最小值为﹣；m最大值为：；所以的取值范围是：[﹣，]故答案为：[﹣，]．【点评】本题考查了简单线性规划问题；关键是正确画出可行域，利用目标函数的几何意义求出其最值，然后根据对勾函数的性质求m的范围．16．设P是边长为a的正△ABC内的一点，P点到三边的距离分别为h1、h2、h3，则；类比到空间，设P是棱长为a的空间正四面体ABCD内的一点，则P点到四个面的距离之和h1+h2+h3+h4=．【分析】由平面图形的性质向空间物体的性质进行类比时，常用的思路有：由平面图形中点的性质类比推理出空间里的线的性质，由平面图形中线的性质类比推理出空间中面的性质，由平面图形中面的性质类比推理出空间中体的性质．固我们可以根据已知中平面几何中，关于线的性质“正三角形内任意一点到三边距离之和是一个定值”，推断出一个空间几何中一个关于面的性质．【解答】解：类比P是边长为a的正△ABC内的一点，本题可以用一个正四面体来计算一下棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和，如图：由棱长为a可以得到BF=a，BO=AO=，在直角三角形中，根据勾股定理可以得到BO2=BE2+OE2，把数据代入得到OE=a，∴棱长为a的三棱锥内任一点到各个面的距离之和4×a=a，故答案为：a．【点评】本题考查的知识点是类比推理，类比推理的一般步骤是：（1）找出两类事物之间的相似性或一致性；（2）用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，得出一个明确的命题（猜想）．三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17．设函数f（x）=，其中=（2sin（+x），cos2x），=（sin（+x），﹣），x∈R（1）求f（x）的最小正周期和对称轴；（2）若关于x的方程f（x）﹣m=2在x∈[]上有解，求实数m的取值范围．【分析】（1）用向量数量积公式计算后再化成辅助角形式，最后用正弦函数的周期公式和对称轴的结论可求得；（2）将方程有解转化为求函数的值域，然后用正弦函数的性质解决．【解答】解：（1）∵f（x）=•=2sin（+x）•sin（+x）﹣cos2x=2sin2（+x）﹣cos2x=1﹣cos[2（+x）]﹣cos2x=sin2x﹣cos2x+1=2sin（2x﹣）+1，∴最小正周期T=π，由2x﹣=+kπ，得x=+，k∈Z，所以f（x）的对称轴为：x=+，k∈Z，（2）因为f（x）﹣m=2可化为m=2sin（2x﹣）﹣1在x∈[，]上有解，等价于求函数y=2sin（2x﹣）﹣1的值域，∵x∈[，]，∴2x﹣∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[，1]∴y∈[0，1]故实数m的取值范围是[0，1]【点评】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算．属基础题．18．在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且（Ⅰ）求角A的大小；（Ⅱ）若a=2，求△ABC面积的最大值．【分析】（Ⅰ）由已知及正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用可得，结合sinB≠0，可得，结合A为三角形内角，可求A 的值．（Ⅱ）由余弦定理，基本不等式可得，根据三角形面积公式即可计算得解．【解答】解：（Ⅰ）由正弦定理可得：，从而可得：，即，又B为三角形内角，所以sinB≠0，于是，又A为三角形内角，所以．（Ⅱ）由余弦定理：a2=b2+c2﹣2bccosA，得：，所以，所以≤2+，即△ABC面积的最大值为2+．【点评】本题主要考查了正弦定理，三角形内角和定理，三角函数恒等变换的应用，余弦定理，基本不等式，三角形面积公式在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．19．已知首项为1的等差数列{a n}中，a8是a5，a13的等比中项．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）若数列{a n}是单调数列，且数列{b n}满足b n=，求数列{b n}的前项和T n．【分析】（1）根据等差数列的通项公式和等比数列的性质列出关于公差d的方程，利用方程求得d，然后写出通项公式；（2）根据单调数列的定义推知a n=2n﹣1，然后利用已知条件求得b n的通项公式，再由错位相减法求得答案．【解答】解：（1）∵a8是a5，a13的等比中项，{a n}是等差数列，∴（1+7d）2=（1+4d）（1+12d）解得d=0或d=2，∴a n=1或a n=2n﹣1；（2）由（1）及{a n}是单调数列知a n=2n﹣1，（i）当n=1时，T1=b1===．（ii）当n＞1时，b n==，∴T n=+++…+……①∴T n=+++…++……②①﹣②得T n=+++…+﹣=﹣，∴T n=﹣．综上所述，T n=﹣．【点评】本题考查了等差数列与等比数列的通项公式及其前n项和公式、“错位相减法”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题综上所述，20．已知等差数列{a n}满足（n+1）a n=2n2+n+k，k∈R．（1）求数列{a n}的通项公式；（2）设b n=，求数列{b n}的前n项和S n．【分析】（1）直接利用等差数列的性质求出数列的通项公式．（2）利用裂项相消法求出数列的和．【解答】解：（1）等差数列{a n}满足（n+1）a n=2n2+n+k，k∈R．令n=1时，，n=2时，， n=3时，，由于2a 2=a 1+a 3， 所以，解得k=﹣1． 由于=（2n ﹣1）（n +1），且n +1≠0， 则a n =2n ﹣1；（2）由于===，所以S n =+…+=+n==．【点评】本题考查的知识要点：数列的通项公式的求法及应用，裂项相消法在数列求和中的应用．21．（2分）已知函数f （x ）=ax +lnx （a ∈R ） （1）若a=2，求曲线y=f （x ）在x=1处的切线方程； （2）求f （x ）的单调区间和极值；（3）设g （x ）=x 2﹣2x +2，若对任意x 1∈（0，+∞），均存在x 2∈[0，1]，使得f （x 1）＜g （x 2），求实数a 的取值范围．【分析】（1）利用导数的几何意义，可求曲线y=f （x ）在x=1处切线的斜率，从而求出切线方程即可；（2）求导函数，在区间（0，﹣）上，f'（x ）＞0；在区间（﹣，+∞）上，f'（x ）＜0，故可得函数的单调区间；求出函数的极值即可；（3）由已知转化为f （x ）max ＜g （x ）max ，可求g （x ）max =2，f （x ）最大值﹣1﹣ln （﹣a ），由此可建立不等式，从而可求a 的取值范围．【解答】解：（1）由已知f′（x）=2+（x＞0），…（2分）∴f'（1）=2+1=3，f（1）=2，故曲线y=f（x）在x=1处切线的斜率为3，故切线方程是：y﹣2=3（x﹣1），即3x﹣y﹣1=0…（4分）（2）求导函数可得f′（x）=a+=（x＞0）．…当a＜0时，由f'（x）=0，得x=﹣．在区间（0，﹣）上，f'（x）＞0；在区间（﹣，+∞）上，f'（x）＜0，所以，函数f（x）的单调递增区间为（0，﹣），单调递减区间为（﹣，+∞），=﹣1﹣ln（﹣a）…（10分）故f（x）极大值=f（﹣）（3）由已知转化为f（x）max＜g（x）max．∵g（x）=x2﹣2x+2=（x﹣1）2+1，x2∈[0，1]，∴g（x）max=2…（11分）由（2）知，当a≥0时，f（x）在（0，+∞）上单调递增，值域为R，故不符合题意．（或者举出反例：存在f（e3）=ae3+3＞2，故不符合题意．）当a＜0时，f（x）在（0，﹣）上单调递增，在（﹣，+∞）上单调递减，故f（x）的极大值即为最大值，f（﹣）=﹣1+ln（﹣）=﹣1﹣ln（﹣a），所以2＞﹣1﹣ln（﹣a），所以ln（﹣a）＞﹣3，解得a＜﹣．…（14分）【点评】本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查函数的单调性，考查求参数的值，解题的关键是转化为f（x）max＜g（x）max．22．（理科）已知函数f（x）=e x+（a≠0，x≠0）在x=1处的切线与直线（e﹣1）x ﹣y+2018=0平行（Ⅰ）求a的值并讨论函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）上的单调性（Ⅱ）若函数g（x）=f（x）﹣﹣x+m+1（m为常数）有两个零点x1，x2（x1＜x2）①求实数m的取值范围；②求证：x1+x2＜0．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可；（Ⅱ）根据函数的单调性求出函数的最小值，求出m的范围，构造函数m（x）=g（x）﹣g（﹣x）=g（x）﹣g（﹣x）=e x﹣e﹣x﹣2x，（x＜0）则m'（x）=e x+e﹣x﹣2＞0，根据函数的单调性证明即可．【解答】解：（Ⅰ）∵，∴∴a=1，∴f（x）=e x，f令h（x）=x2e x﹣1，h'（x）=（2x+x2）e x，h（x）在（﹣∞，﹣2）上单调递增，在（﹣2，0）上单调递减，所以x∈（﹣∞，0）时，h（x），即x∈（﹣∞，0）时，f'（x）＜0，所以函数y=f（x）在x∈（﹣∞，0）上单调递减．（Ⅱ） 由条件可知，g（x）=e x﹣x+m+1，①g'（x）=e x﹣1，∴g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，要使函数有两个零点，则g（x）min=g（0）=m+2＜0，∴m＜﹣2．‚②证明：由上可知，x1＜0＜x2，∴﹣x2＜0，∴构造函数m（x）=g（x）﹣g（﹣x）=g（x）﹣g（﹣x）=e x﹣e﹣x﹣2x，（x＜0）则m'（x）=e x+e﹣x﹣2＞0，所以m（x）＞m（0）即g（x2）=g（x1）＞g（﹣x1）又g（x）在（﹣∞，0）上单调递减，所以x1＜﹣x2，即x1+x2＜0．【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用以及转化思想，属于中档题．。
湖北省武汉市部分重点中学2018-2019学年高一(下)期末数学试卷(理科)Word版含解析.pdf
13．已知四面体 OABC 各棱长为 1，D 是棱 OA 的中点，则异面直线 BD 与 AC 所成角的余
弦值是
．
14．若正实数
a 使得不等式
|2x﹣
1|+|3x﹣
2
2|≥a
对于任意实数
x 恒成立，则实数
a 的取值范围
是
．
15．长方体 ABCD ﹣ A1B 1C1D 1 中，已知 AB=AD=2 ， AA 1=3，棱 AD 在平面 α内，则长方
③ CN 与 BM 成 60°角 ④ DM 与 BN 是异面直线
以上四个中，正确的序号是（
）
D． 2
A ． ①②③
B． ②④
C． ③④
D． ②③④
7．如图，取一个底面半径和高都为 R 的圆柱，从圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，
下底面圆心为顶点的圆锥， 把所得的几何体与一个半径为 R 的半球放在同一水平面 α上．用
一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有
一项是满足题目要求的． ）
1．设 a， b∈R，若 a﹣ |b|＞ 0，则下列不等式中正确的是（
）
A ． b﹣ a＞ 0
B． a3+b3＜0
C． a2﹣b2＜ 0
D． b+a＞0
2．若 a、 b、c 为实数，则下列正确的是（ A ． 若 a＞ b，则 ac2＞ bc2
（Ⅰ）求 B ；
（Ⅱ）若 A ? B 时，求实数 a 的取值范围．
18．如图， 在水平放置的直径与高相等的圆柱内， 放入两个半径相等的小球 圆柱的底面直径为 2+ ，向圆柱内注满水，水面刚好淹没小球 B （Ⅰ）求球 A 的体积； （Ⅱ）求圆柱的侧面积与球 B 的表面积之比．
2018-2019学年湖北省武汉市部分学校高一上学期期末数学试题(解析版)
2018-2019学年湖北省武汉市部分学校高一上学期期末数学试题一、单选题1．sin(210)-的值为 A ．12-B ．12C． D．2【答案】B【解析】【详解】试题分析：由诱导公式得()()1sin 210sin 210sin 18030sin 302︒︒︒︒︒-=-=-+==，故选B ． 【考点】诱导公式．2．已知集合{}21,A y y x x Z ==-∈，{}sin ,B y y x x R ==∈，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}1,0-【答案】D【解析】根据三角函数的值域与交集的运算求解即可. 【详解】{}{}sin ,|11B y y x x R y y ==∈=-≤≤,又{}{}21,1,0,3,8....A y y x x Z y ==-∈=-.故AB ={}1,0-.故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数的值域以及集合的交集运算,属于基础题型.3．已知函数f （x ）2233x x log x x ⎧=⎨≥⎩，＜，，则f [f （2）]＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】B【解析】根据分段函数的表达式求解即可. 【详解】由题[]22(2)(2)(4)log 42f f f f ====.故选：B 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值,属于基础题型. 4．要得到函数πsin(2)3y x =+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移3π个单位D ．向右平移6π个单位【答案】B【解析】试题分析：sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此只需将函数y = sin2x 的图象向左平移6π个单位 【考点】三角函数图像平移5．已知函数f （x ）＝ax |x |+bsinx +1，若f （3）＝2，则f （﹣3）＝（ ） A ．﹣2 B ．﹣1C ．0D ．1【答案】C【解析】根据函数的对称性求解即可. 【详解】由()sin 1f x ax x b x =++,()()()sin 1sin 1f x a x x b x ax x b x -=--+-+=--+. 故()()2f x f x +-=.又(3)2f =故(3)2(3)0f f -=-=.故选：C 【点睛】本题主要考查了函数性质的运用,属于基础题型. 6．下列关于函数f （x ）＝tanx 的说法正确的是（ ） A ．是偶函数B ．最小正周期为2πC ．对称中心为（kπ，0），k ∈ZD ．f （4π）+f （34π）＝0【答案】D【解析】根据正切函数的图像与性质判断即可. 【详解】()tan f x x =为奇函数,最小正周期为π,对称中心为,0,2k k Z π⎛⎫∈⎪⎝⎭.故A,B,C 错误. 又33()()tan tan 1104444f f ππππ+=+=-=.故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了正切函数的性质,属于基础题型.7．若sin 76°＝m ，则cos 7°可用含m 的式子表示为（ ）A B C D 【答案】B【解析】分析角度关系利用降幂公式求解即可. 【详解】由题,cos14sin 76m ︒=︒=,又21cos14cos 7cos 72+︒︒=⇒=︒=故选：B 【点睛】本题主要考查了诱导公式与降幂公式的运用,属于基础题型.8．已知函数f （x ）＝Asin （ωx +φ）（其中A ＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示，则ω和φ的值分别为（ ）A ．ω＝1，φ3π=-B ．ω＝1，φ6π=-C ．ω＝2，φ3π=-D ．ω＝2，φ6π=-【答案】D【解析】先利用周期求ω再代入最高点求得ϕ即可. 【详解】由题三角函数半个周期为362πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭,故12==222ππωω⨯⇒.易得2A =,又函数过2,23π⎛⎫⎪⎝⎭,故2sin(2)22,36k k Z ππϕϕπ⨯+=⇒=-+∈,又πϕπ-<<, 故6πϕ=-.故选：D 【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解析式的方法,属于基础题型.9．已知函数f （x ）220x x x x ⎧≤=⎨⎩，，＞，若函数g （x ）＝f （x ）+x ﹣a 恰有一个零点，则实数a 的取值范围（ ） A ．（﹣∞，0] B ．（1，+∞）C ．[0，1）D ．（﹣∞，0]∪（1，+∞）【答案】D【解析】画出函数()f x 的图像再数形结合求()f x x a =-+ 只有一个交点的情况即可. 【详解】画出函数220()0x x f x x x ⎧≤=⎨⎩，，＞的图像,易得若()()g x f x x a =+-恰有一个零点则()f x x a =-+恰有一个根,即()f x 与y x a =-+恰有一个交点.故(](),01,a ∈-∞⋃+∞.故选：D 【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,属于中等题型. 10．如表为某港口在某季节中每天水深与时刻的关系：若该港口水深y（单位：m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y＝Asin（ωt+φ）+h来近似描述，则该港口在11：00的水深（单位：m）为（）A．4 B．5C．5D．3【答案】A【解析】根据表格可计算出对应的函数关系()siny A t hωϕ=++的解析式,再代入11t=计算即可.【详解】由表格知函数最大值为7,最小值为3.故73A hA h+=⎧⎨-+=⎩,即2,5A h==.又相邻两个最大值之间的距离为15312T=-=.故2126ππωω=⇒=.此时2sin56y tπϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭,又当3t=时32sin5=76yπϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭,故22ππϕ+=,即0ϕ=.故2sin56y tπ⎛⎫=+⎪⎝⎭.故当11t=时,112sin546yπ⎛⎫=+=⎪⎝⎭.故选：A【点睛】本题主要考查了正弦函数的实际运用,需要根据题意代入对应的点求解函数解析式,属于中等题型.11．已知函数f（x）6404214xx xxx-⎧-≤⎪=⎨⎪-⎩，＜，＞，若三个互不相同的正实数a，b，c满足f（a）＝f（b）＝f（c），则abc的取值范围是（）A．（0，16）B．（4，24）C．（16，24）D．（0，24）【答案】C【解析】画出函数()f x的图像再分析当()()()f a f b f c==时的情况即可.【详解】画出函数()f x 的图像,设()()()f a f b f c m ===,()0,3m ∈. 则64421c a b m a b --+=-=-=.故1144a b ab a b ⎛⎫+=+⇒= ⎪⎝⎭. 故4abc c =.又()4,6c ∈,故()416,24c ∈.故选：C 【点睛】本题主要考查了数形结合以及函数的综合运用,需要根据题意画出对应的函数图像,再分析abc 中的定量关系进行化简从而求得范围.属于中等题型.12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（其中ω＞0，﹣π＜φ＜π），若该函数在区间（63ππ-，）上有最大值而无最小值，且满足f （6π-）+f （3π）＝0，则实数φ的取值范围是（ ）A ．（56π-，6π） B ．（23π-，3π） C ．（3π-，23π） D ．（6π-，56π）【答案】D【解析】根据题意可画图分析确定()f x 的周期,再列出在区间端点满足的关系式求解即可. 【详解】由题该函数在区间（63ππ-，）上有最大值而无最小值可画出简图,又063f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故周期T 满足()236T T πππ=--⇒=.故22ππωω=⇒=.故()sin(2)f x x ϕ=+.又πϕπ-<<,故322325662262πππϕππϕπππϕ⎧<⨯+<⎪⎪⇒-<<⎨⎛⎫⎪-<⨯-+< ⎪⎪⎝⎭⎩.故选：D 【点睛】本题主要考查了正弦型函数图像的综合运用,需要根据题意列出端点处的函数对应的表达式求解.属于中等题型.二、填空题13．设扇形的半径长为4cm ，面积为16cm 2，则其圆心角的弧度数是_____． 【答案】2．【解析】根据面积公式直接求解即可. 【详解】由题意,设圆心角的弧度数为α则2116422αα=⨯⇒=. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式,属于基础题型.14．定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2+x ）＝f （2﹣x ），当0≤x ≤2时，f （x ）＝x 2，则f （10）＝_____． 【答案】4【解析】根据奇函数以及()()22f x f x +=-,将(10)f 中自变量变换到[]0,2内求解即可. 【详解】因为奇函数()f x 满足()()22f x f x +=-,故(10)(28)(28)(6)(6)(24)(24)f f f f f f f =+=-=-=-=-+=--2(2)(2)24f f =--===.故答案为：4 【点睛】本题主要考查了函数性质求解函数值的问题,需要根据题中所给的性质将自变量转换到已知解析式的定义域中进行计算.属于中等题型.15．若sin （4πα+）13=，则24cos sin απα=-（）_____． 【答案】23-【解析】利用和差角以及二倍角公式展开求解即可. 【详解】)2222sin cos 2sin 4342cos sin απαααπα⎛⎫==+=-+=- ⎪⎝⎭-（）. 故答案为：23- 【点睛】本题主要考查了和差角公式以及二倍角公式等.属于中等题型. 16．若函数f （x ）＝sin 211x x +-是区间[a ，+∞）上的单调函数，则实数a 的最小值为_____．【答案】2334ππ+-【解析】讨论211x x +-的单调性,再利用复合函数的单调性分析,利用恒成立问题的求解方法求解即可. 【详解】根据题意,f （x ）＝sin 211x x +-, 设t 211x x +=-,则y ＝sint , t 211x x +==-231x +-,在区间（1,+∞）上为减函数,且t ＞2在（1,+∞）上恒成立, y ＝sint 在区间[2,32π]上为减函数,若函数f （x ）＝sin211x x +-是区间[a ,+∞）上的单调函数,必有21312a a π+≤-,解可得：a 2334ππ+≥-,即a 的最小值为2334ππ+-；故答案为：2334ππ+- 【点睛】本题主要考查了三角函数的综合运用,需要根据题意分析自变量的范围以及单调性对正弦函数的影响等.属于中等题型.三、解答题17．已tanθ＝3，求值： （1）23sin cos sin cos θθθθ-+；（2）sin 2θ+3sinθcosθ﹣2cos 2θ．【答案】（1）110（2）85【解析】(1)上下同时除以cosθ再代入tanθ＝3求解即可.(2)将原式化简为222232sin sin cos cos sin cos θθθθθθ+-+再上下同时除以2cos θ代入tanθ＝3求解即可. 【详解】 （1）∵tanθ＝3,2232133133110sin cos tan sin cos tan θθθθθθ---===++⨯+,（2）sin 2θ+3sinθcosθ﹣2cos 2θ222232sin sin cos cos sin cos θθθθθθ+-=+, 22321tan tan tan θθθ+-=+, 9928915+-==+．【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及其运用等.属于基础题型.18．已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （﹣3，1）． （1）求sinα的值；（2）已知角β为钝角，且满足cos （α+β）35=，求cosβ的值．【答案】（1）10（2）50-【解析】(1)根据正弦值的定义求解即可.(2)根据凑角的方法得cosβ＝cos [（α+β）﹣α]再求解即可. 【详解】（1）由题意可知：sinα==；（2）由（1）可知cosα==,∴2παπ＜＜, ∵β为钝角,∴2πβπ＜＜,∴π＜α+β＜2π, ∵cos （α+β）35=,∴sin （α+β）45=-,∴cosβ＝cos [（α+β）﹣α]＝cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα50=- 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义求解以及余弦函数差角公式等.属于中等题型.19．函数f （x ）＝（cosx ）cosx ． （1）求函数的最小正周期和单调增区间； （2）求函数在区间[75126ππ，]上的最小值，以及取得该最小值时x 的值． 【答案】（1）函数的最小正周期为T =π，函数f （x ）的单调增区间为[k 36k ππππ-+，]，（k ∈Z ）（2）x 23π=时，f （x ）取得最小值12- 【解析】(1)利用降幂公式与和差角公式将函数化简成()()sin f x A x B ωϕ=++ 的结构再求解即可.(2)根据三角函数图像性质求解即可. 【详解】（1）f （x ）＝cos 2x 2122cos x +=+sin 2x ＝sin （2x 6π+）12+ ∴函数的最小正周期为T 22π==π, 由2kπ2π-≤2x 6π+≤2kπ2π+（k ∈Z ）,解得k 36x k ππππ-≤≤+,∴函数f （x ）的单调增区间为[k 36k ππππ-+，],（k ∈Z ）；（2）当x ∈[712π,56π]时,可得：4112366x πππ≤+≤,∴当2x 362ππ+=时,即x 23π=时,f （x ）取得最小值12-．【点睛】本题主要考查了降幂公式与和差角公式化简三角函数的方法,同时也考查了根据函数图像与性质求最值的方法等.属于中等题型.20．已知函数f （x ）2222x x -=+．（1）求f （﹣1）+f （3）的值； （2）求证：f （x +1）为奇函数；（3）若锐角α满足f （2﹣si nα）+f （cosα）＞0，求α的取值范围． 【答案】（1）0（2）证明见解析（3）04πα∈（，） 【解析】(1)直接求解(1),(3)f f -求和即可. (2)令()(1)g x f x =+证明()()g x g x -=-即可.(3)根据()(1)g x f x =+的奇偶性与单调性化简f （2﹣sinα）+f （cosα）＞0求解即可. 【详解】（1）331355f f -=-=（），（）,故f （﹣1）+f （3）＝0； （2）证明：：令g （x ）＝f （x +1）,则2121x x g x -=+（）,此时21122112x xx xg x g x -----===-++（）（）, ∴函数g （x ）为奇函数,即f （x +1）为奇函数；（3）由（2）可得函数21212121x x xg x -==-++（）, 函数g （x ）的定义域为R ,任取x 1＜x 2∈R ,122112122222*********x x x x x x g x g x --=-=++++（）（）（）（）（）, ∵x 1＜x 2,∴12220x x -＜,则g （x 1）﹣g （x 2）＜0,∴函数g （x ）在R 上为增函数,且f （2﹣sinα）＝g （1﹣sinα）,f （cosα）＝g （cosα﹣1）,∴f （2﹣sinα）+f （cosα）＞0即为g （1﹣sinα）+g （cosα﹣1）＞0, 又∵奇函数g （x ）在R 上为增函数,∴1102sin cos πααα--∈＞，（，）,解得4πα∈（0，）．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性判定以及利用奇偶性与单调性求不等式的方法等.属于中等题型.21．如图，OB 、CD 是两条互相平行的笔直公路，且均与笔直公路OC 垂直（公路宽度忽略不计），半径OC ＝1千米的扇形COA 为该市某一景点区域，当地政府为缓解景点周边的交通压力，欲在圆弧AC 上新增一个入口E （点E 不与A 、C 重合），并在E 点建一段与圆弧相切（E 为切点）的笔直公路与OB 、CD 分别交于M 、N ．当公路建成后，计划将所围成的区域在景点之外的部分建成停车场（图中阴影部分），设∠CON ＝θ，停车场面积为S 平方千米．（1）求函数S ＝f （θ）的解析式，并写出函数的定义域；（2）为对该计划进行可行性研究，需要预知所建停车场至少有多少面积，请计算当θ为何值时，S 有最小值，并求出该最小值． 【答案】（1）f （θ）11224tan sin πθθ=+-（），θ∈（0，4π）（2）6πθ=时，S 取得最【解析】(1) 连接OE ,根据平面几何的性质分析边角关系即可.(2)根据(1)中的函数表达式,令tanθ＝t ,再化简利用基本不等式,根据“一正二定三相等”的方法求得最小值以及取最小值时的角度大小即可. 【详解】（1）连接OE ,∵∠CON ＝θ,∴22EOM π∠θ=-,CN ＝NE ＝tanθ,OM 11222sin cos πθθ==-（）, ∴1122OMNC S tan sin θθ=+四边形（）, 则f （θ）11224tan sin πθθ=+-（）,θ∈（0,4π）； （2）由f （θ）11224tan sin πθθ=+-（）,θ∈（0,4π）． 令tanθ＝t ,θ∈（0,4π）,则t ∈（0,1）,则S 21131322443444t t t t t πππ+=+-=+-≥⋅=（）（）当且仅当13t t =,即t =时,S此时tanθ=,6πθ=．【点睛】本题主要考查了三角函数在平面几何中的运用,同时也考查了利用基本不等式求解函数的最值问题等.属于中等题型.22．定义在R 上的两个函数f 1（x ）＝|sinx ﹣a |和f 2（x ）＝cos 2x ，其中a ∈R ． （1）当a ＝0时，若存在实数x 0使得f 1（x 0）＝f 2（x 0）＝k ，求实数k 的值； （2）设函数f （x ）＝f 1（x ）﹣f 2（x ），求f （x ）最小值g （a ）的表达式．【答案】（1）k =2）g （a ）＝25142514211122a a a a a a ⎧-⎪⎪⎪---⎨⎪⎪--≤≤⎪⎩，＞，＜， 【解析】(1)利用题目条件列出|sinx 0|＝cos 2x 0＝k ,再根据关于二次函数的复合函数方法求解即可.(2)分a ≥1, a ≤﹣1与﹣1＜a ＜1三种情况进行分析,同时结合正弦函数的取值范围进行讨论,再分段讨论函数的最值即可. 【详解】（1）当a ＝0时,f 1（x ）＝|sinx |,f 2（x ）＝cos 2x ； 由f 1（x 0）＝f 2（x 0）＝k ,得|sinx 0|＝cos 2x 0＝k ,∴|sinx 0|＝1﹣sin 2x 0＝120sinx -,解得|sinx 0|＝1|sinx 0|=（不合题意,舍去）,所以k =； （2）由题意知,函数f （x ）＝f 1（x ）﹣f 2（x ）＝|sinx ﹣a |﹣cos 2x ,①当a ≥1时,f （x ）＝a ﹣sinx ﹣cos 2x ,即f （x ）＝sin 2x ﹣sinx +a ﹣1,此时g （a ）＝f （x ）min 21122=-+（）a ﹣1＝a 54-； ②当a ≤﹣1时,f （x ）＝sinx ﹣a ﹣cos 2x ,即f （x ）＝sin 2x +sinx ﹣a ﹣1,此时g （a ）＝f （x ）min 21122=---（）a ﹣1＝﹣a 54-； ③当﹣1＜a ＜1时,f （x ）2211sin x sinx a sinx asin x sinx a sinx a⎧+--≥=⎨-+-⎩，，＜；若12＜a ＜1,则g （a ）＝f （x ）min 21122=-+（）a ﹣1＝a 54-； 若﹣1＜a 12-＜,则g （a ）＝f （x ）min 212=-+（）（12-）﹣a ﹣1＝﹣a 54-； 若1122a -≤≤,则g （a ）＝f （x ）min ＝a 2﹣a +a ﹣1＝a 2﹣1；综上知,f （x ）最小值g （a ）的表达式为g （a ）＝f （x ）min 25142514211122a a a a a a ⎧-⎪⎪⎪=---⎨⎪⎪--≤≤⎪⎩，＞，＜，．【点睛】本题主要考查了关于正弦函数的二次复合函数问题,包括二次函数的求根以及最值范围的问题以及分类讨论的思想等.属于难题.。
【优质文档】2018-2019学年高一(上)期末数学试卷(含答案)
18．已知向量 =（ x，﹣ 1）， =（ x﹣2 ，3）， =（ 1﹣ 2x， 6）． （ 1）若 ⊥（ 2 + ），求 | | ； （ 2）若 ? ＜ 0，求 x 的取值范围．
2
19．已知函数 f（ x）=Asinx+cosx， A＞ 0． （ 1）若 A=1，求 f （ x）的单调递增区间；
．
22. 解： Ⅰ）若 a=1，则 f（ x）=
，
函数 f （ x）的图象如下图所示：
；
（Ⅱ）若 f（ x） ≥２﹣ x 对任意 x∈[1，2] 恒成立， 即 x2﹣ 4ax+3a2≥２﹣ x 对任意 x∈[1 ，2] 恒成立， 即 x2+（ 1﹣4 a） x+（3a2﹣ 2） ≥０对任意 x∈[1 ， 2]恒成立，
（ 2）函数 f（ x）在 x=x0 处取得最大值
，求 cosx0 的值．
20．已知 f （ x）是定义在 R上的偶函数，当 x ≥０时， f（ x） =xa（ a∈R），函数 f（ x）的图象经过点（ （ 1）求函数 f （ x）的解析式； （ 2）解不等式 f （ x2）﹣ f（﹣ x2+x﹣ 1）＞ 0．
4， 2）．
3
21．已知向量 =（ sinx ，﹣ 1）， =（ cosx ， m），m∈ R．
（ 1）若 m= ，且 ∥ ，求
的值；
（ 2）已知函数 f （ x） =2（ + ） ? ﹣2m2﹣ 1，若函数 f（ x）在 [ 0， ] 上有零点，求 m 的取值范围．
22. 设函数 f （ x） =
由 y=x2+（ 1﹣ 4a） x+（ 3a2﹣ 2）的图象是开口朝上，且以直线 x=
为对称轴的抛物线，
湖北省武汉市部分学校2018-2019学年高一上学期期末数学试题
绝密★启用前湖北省武汉市部分学校2018-2019学年高一上学期期末数学试题试卷副标题注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题)请点击修改第I 卷的文字说明 一、单选题1．sin(210)-的值为 A ．12-B ．12C ．D ．22．已知集合{}21,A y y x x Z ==-∈，{}sin ,B y y x x R ==∈，则A B =（ ）A ．{}1,0,1-B ．{}0,1C ．{}1,1-D ．{}1,0-3．已知函数f （x ）2233x x log x x ⎧=⎨≥⎩，＜，，则f [f （2）]＝（ ）A ．1B ．2C ．3D ．44．要得到函数πsin(23y x =+的图象，只需将函数sin 2y x =的图象（ ） A ．向左平移3π个单位 B ．向左平移6π个单位C ．向右平移3π个单位D ．向右平移6π个单位5．已知函数f （x ）＝ax |x |+bsinx +1，若f （3）＝2，则f （﹣3）＝（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．0D ．1……订…………○…※※内※※答※※题※※……订…………○…6．下列关于函数f（x）＝tanx的说法正确的是（）A．是偶函数B．最小正周期为2πC．对称中心为（kπ，0），k∈Z D．f（4π）+f（34π）＝07．若sin76°＝m，则cos7°可用含m的式子表示为（）A B C D8．已知函数f（x）＝Asin（ωx+φ）（其中A＞0，ω＞0，﹣π＜φ＜π）的部分图象如图所示，则ω和φ的值分别为（）A．ω＝1，φ3π=-B．ω＝1，φ6π=-C．ω＝2，φ3π=-D．ω＝2，φ6π=-9．已知函数f（x）220x xx x⎧≤=⎨⎩，，＞，若函数g（x）＝f（x）+x﹣a恰有一个零点，则实数a的取值范围（）A．（﹣∞，0] B．（1，+∞）C．[0，1）D．（﹣∞，0]∪（1，+∞）10．如表为某港口在某季节中每天水深与时刻的关系：若该港口水深y（单位：m）和时刻t（0≤t≤24）的关系可用函数y＝Asin（ωt+φ）+h来近似描述，则该港口在11：00的水深（单位：m）为（）A．4 B．5C．5D．311．已知函数f （x ）6404214x x x x x -⎧-≤⎪=⎨⎪-⎩，＜，＞，若三个互不相同的正实数a ，b ，c 满足f （a ）＝f （b ）＝f （c ），则abc 的取值范围是（ ） A ．（0，16）B ．（4，24）C ．（16，24）D ．（0，24）12．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（其中ω＞0，﹣π＜φ＜π），若该函数在区间（63ππ-，）上有最大值而无最小值，且满足f （6π-）+f （3π）＝0，则实数φ的取值范围是（ ） A ．（56π-，6π） B ．（23π-，3π） C ．（3π-，23π） D ．（6π-，56π）第II 卷（非选择题)请点击修改第II 卷的文字说明二、填空题13．设扇形的半径长为4cm ，面积为16cm 2，则其圆心角的弧度数是_____．14．定义在R 上的奇函数f （x ）满足f （2+x ）＝f （2﹣x ），当0≤x ≤2时，f （x ）＝x 2，则f （10）＝_____．15．若sin （4πα+）13=，则24cos sin απα=-（）_____． 16．若函数f （x ）＝sin 211x x +-是区间[a ，+∞）上的单调函数，则实数a 的最小值为_____．三、解答题17．已tanθ＝3，求值： （1）23sin cos sin cos θθθθ-+；（2）sin 2θ+3sinθcosθ﹣2cos 2θ．18．已知角α的顶点与平面直角坐标系的原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，它的终边过点P （﹣3，1）． （1）求sinα的值；（2）已知角β为钝角，且满足cos （α+β）35=，求cosβ的值． 19．函数f （x ）＝（cosx ）cosx ．…………装…………○…………※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※…………装…………○…………（1）求函数的最小正周期和单调增区间； （2）求函数在区间[75126ππ，]上的最小值，以及取得该最小值时x 的值． 20．已知函数f （x ）2222x x -=+．（1）求f （﹣1）+f （3）的值； （2）求证：f （x +1）为奇函数；（3）若锐角α满足f （2﹣sinα）+f （cosα）＞0，求α的取值范围．21．如图，OB 、CD 是两条互相平行的笔直公路，且均与笔直公路OC 垂直（公路宽度忽略不计），半径OC ＝1千米的扇形COA 为该市某一景点区域，当地政府为缓解景点周边的交通压力，欲在圆弧AC 上新增一个入口E （点E 不与A 、C 重合），并在E 点建一段与圆弧相切（E 为切点）的笔直公路与OB 、CD 分别交于M 、N ．当公路建成后，计划将所围成的区域在景点之外的部分建成停车场（图中阴影部分），设∠CON ＝θ，停车场面积为S 平方千米．（1）求函数S ＝f （θ）的解析式，并写出函数的定义域；（2）为对该计划进行可行性研究，需要预知所建停车场至少有多少面积，请计算当θ为何值时，S 有最小值，并求出该最小值．22．定义在R 上的两个函数f 1（x ）＝|sinx ﹣a |和f 2（x ）＝cos 2x ，其中a ∈R ． （1）当a ＝0时，若存在实数x 0使得f 1（x 0）＝f 2（x 0）＝k ，求实数k 的值； （2）设函数f （x ）＝f 1（x ）﹣f 2（x ），求f （x ）最小值g （a ）的表达式．参考答案1．B 【解析】 【详解】试题分析：由诱导公式得()()1sin 210sin 210sin 18030sin 302︒︒︒︒︒-=-=-+==，故选B ．考点：诱导公式． 2．D 【解析】 【分析】根据三角函数的值域与交集的运算求解即可. 【详解】{}{}sin ,|11B y y x x R y y ==∈=-≤≤,又{}{}21,1,0,3,8....A y y x x Z y ==-∈=-.故AB ={}1,0-.故选：D 【点睛】本题主要考查了三角函数的值域以及集合的交集运算,属于基础题型. 3．B 【解析】 【分析】根据分段函数的表达式求解即可. 【详解】由题[]22(2)(2)(4)log 42f f f f ====.故选：B 【点睛】本题主要考查了分段函数的求值,属于基础题型. 4．B 【解析】试题分析：sin 2sin 236y x x ππ⎛⎫⎛⎫=+=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，因此只需将函数y = sin2x 的图象向左平移6π个单位考点：三角函数图像平移 5．C 【解析】 【分析】根据函数的对称性求解即可. 【详解】由()sin 1f x ax x b x =++,()()()sin 1sin 1f x a x x b x ax x b x -=--+-+=--+. 故()()2f x f x +-=.又(3)2f =故(3)2(3)0f f -=-=.故选：C 【点睛】本题主要考查了函数性质的运用,属于基础题型. 6．D 【解析】 【分析】根据正切函数的图像与性质判断即可. 【详解】()tan f x x =为奇函数,最小正周期为π,对称中心为,0,2k k Z π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭.故A,B,C 错误. 又33()()tan tan 1104444f f ππππ+=+=-=.故D 正确. 故选：D 【点睛】本题主要考查了正切函数的性质,属于基础题型. 7．B 【解析】 【分析】分析角度关系利用降幂公式求解即可.【详解】由题,cos14sin 76m ︒=︒=,又21cos14cos 7cos 72+︒︒=⇒=︒=. 故选：B 【点睛】本题主要考查了诱导公式与降幂公式的运用,属于基础题型. 8．D 【解析】 【分析】先利用周期求ω再代入最高点求得ϕ即可. 【详解】由题三角函数半个周期为362πππ⎛⎫--= ⎪⎝⎭,故12==222ππωω⨯⇒.易得2A =, 又函数过2,23π⎛⎫⎪⎝⎭,故2sin(2)22,36k k Z ππϕϕπ⨯+=⇒=-+∈,又πϕπ-<<,故6πϕ=-.故选：D 【点睛】本题主要考查了根据三角函数图像求解析式的方法,属于基础题型. 9．D 【解析】 【分析】画出函数()f x 的图像再数形结合求()f x x a =-+ 只有一个交点的情况即可. 【详解】画出函数220()0x x f x x x ⎧≤=⎨⎩，，＞的图像,易得若()()g x f x x a =+-恰有一个零点则()f x x a =-+恰有一个根,即()f x 与y x a =-+恰有一个交点.故(](),01,a ∈-∞⋃+∞.故选：D 【点睛】本题主要考查了数形结合求解函数零点个数的问题,属于中等题型. 10．A 【解析】 【分析】根据表格可计算出对应的函数关系()sin y A t h ωϕ=++的解析式,再代入11t =计算即可.【详解】由表格知函数最大值为7,最小值为3.故73A h A h +=⎧⎨-+=⎩ ,即2,5A h == .又相邻两个最大值之间的距离为15312T =-=.故2126ππωω=⇒=.此时2sin 56y t πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭,又当3t =时32sin 5=76y πϕ⎛⎫=++⎪⎝⎭,故22ππϕ+=, 即0ϕ=.故2sin 56y t π⎛⎫=+⎪⎝⎭. 故当11t=时, 112sin 546y π⎛⎫=+=⎪⎝⎭. 故选：A 【点睛】本题主要考查了正弦函数的实际运用,需要根据题意代入对应的点求解函数解析式,属于中等题型. 11．C 【解析】【分析】画出函数()f x 的图像再分析当()()()f a f b f c ==时的情况即可. 【详解】画出函数()f x 的图像,设()()()f a f b f c m ===,()0,3m ∈.则64421ca b m a b --+=-=-=.故1144a b ab a b ⎛⎫+=+⇒= ⎪⎝⎭.故4abc c =.又()4,6c ∈,故()416,24c ∈.故选：C 【点睛】本题主要考查了数形结合以及函数的综合运用,需要根据题意画出对应的函数图像,再分析abc 中的定量关系进行化简从而求得范围.属于中等题型.12．D 【解析】 【分析】根据题意可画图分析确定()f x 的周期,再列出在区间端点满足的关系式求解即可. 【详解】由题该函数在区间（63ππ-，）上有最大值而无最小值可画出简图,又063f f ππ⎛⎫⎛⎫-+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故周期T 满足()236T T πππ=--⇒=.故22ππωω=⇒=.故()sin(2)f x x ϕ=+.又πϕπ-<<,故322325662262πππϕππϕπππϕ⎧<⨯+<⎪⎪⇒-<<⎨⎛⎫⎪-<⨯-+< ⎪⎪⎝⎭⎩ .故选：D 【点睛】本题主要考查了正弦型函数图像的综合运用,需要根据题意列出端点处的函数对应的表达式求解.属于中等题型. 13．2． 【解析】 【分析】根据面积公式直接求解即可. 【详解】由题意,设圆心角的弧度数为α则2116422αα=⨯⇒=. 故答案为：2 【点睛】本题主要考查了扇形的面积公式,属于基础题型. 14．4 【解析】 【分析】根据奇函数以及()()22f x f x +=-,将(10)f 中自变量变换到[]0,2内求解即可. 【详解】因为奇函数()f x 满足()()22f x f x +=-,故(10)(28)(28)(6)(6)(24)(24)f f f f f f f =+=-=-=-=-+=--2(2)(2)24f f =--===.故答案为：4 【点睛】本题主要考查了函数性质求解函数值的问题,需要根据题中所给的性质将自变量转换到已知解析式的定义域中进行计算.属于中等题型. 15．23-【解析】 【分析】利用和差角以及二倍角公式展开求解即可. 【详解】)2222sin cos 2sin 4342cos sin απαααπα⎛⎫==+=-+=- ⎪⎝⎭-（）. 故答案为：23- 【点睛】本题主要考查了和差角公式以及二倍角公式等.属于中等题型. 16．2334ππ+-【解析】 【分析】 讨论211x x +-的单调性,再利用复合函数的单调性分析,利用恒成立问题的求解方法求解即可. 【详解】根据题意,f （x ）＝sin 211x x +-, 设t 211x x +=-,则y ＝sint , t 211x x +==-231x +-,在区间（1,+∞）上为减函数,且t ＞2在（1,+∞）上恒成立,y ＝sint 在区间[2,32π]上为减函数, 若函数f （x ）＝sin 211x x +-是区间[a ,+∞）上的单调函数,必有21312a a π+≤-, 解可得：a 2334ππ+≥-,即a 的最小值为2334ππ+-；故答案为：2334ππ+-【点睛】本题主要考查了三角函数的综合运用,需要根据题意分析自变量的范围以及单调性对正弦函数的影响等.属于中等题型. 17．（1）110（2）85【解析】 【分析】(1)上下同时除以cosθ再代入tanθ＝3求解即可.(2)将原式化简为222232sin sin cos cos sin cos θθθθθθ+-+再上下同时除以2cos θ代入tanθ＝3求解即可. 【详解】 （1）∵tanθ＝3,2232133133110sin cos tan sin cos tan θθθθθθ---===++⨯+,（2）sin 2θ+3sinθcosθ﹣2cos 2θ222232sin sin cos cos sin cos θθθθθθ+-=+, 22321tan tan tan θθθ+-=+, 9928915+-==+．【点睛】本题主要考查了同角三角函数的关系及其运用等.属于基础题型.18．（1（2）【解析】【分析】(1)根据正弦值的定义求解即可.(2)根据凑角的方法得cosβ＝cos [（α+β）﹣α]再求解即可. 【详解】（1）由题意可知：sinα==；（2）由（1）可知cosα==,∴2παπ＜＜, ∵β为钝角,∴2πβπ＜＜,∴π＜α+β＜2π, ∵cos （α+β）35=,∴sin （α+β）45=-,∴cosβ＝cos [（α+β）﹣α]＝cos （α+β）cosα+sin （α+β）sinα50=- 【点睛】本题主要考查了三角函数的定义求解以及余弦函数差角公式等.属于中等题型. 19．（1）函数的最小正周期为T =π，函数f （x ）的单调增区间为[k 36k ππππ-+，]，（k ∈Z ）（2）x 23π=时，f （x ）取得最小值12- 【解析】 【分析】(1)利用降幂公式与和差角公式将函数化简成()()sin f x A x B ωϕ=++ 的结构再求解即可.(2)根据三角函数图像性质求解即可. 【详解】（1）f （x ）＝cos 2x 212cos x +=+2x ＝sin （2x 6π+）12+ ∴函数的最小正周期为T 22π==π, 由2kπ2π-≤2x 6π+≤2kπ2π+（k ∈Z ）,解得k 36x k ππππ-≤≤+,∴函数f （x ）的单调增区间为[k 36k ππππ-+，],（k ∈Z ）；（2）当x ∈[712π,56π]时,可得：4112366x πππ≤+≤,∴当2x 362ππ+=时,即x 23π=时,f （x ）取得最小值12-．【点睛】本题主要考查了降幂公式与和差角公式化简三角函数的方法,同时也考查了根据函数图像与性质求最值的方法等.属于中等题型.20．（1）0（2）证明见解析（3）04πα∈（，）【解析】 【分析】(1)直接求解(1),(3)f f -求和即可.(2)令()(1)g x f x =+证明()()g x g x -=-即可.(3)根据()(1)g x f x =+的奇偶性与单调性化简f （2﹣sinα）+f （cosα）＞0求解即可. 【详解】（1）331355f f -=-=（），（）,故f （﹣1）+f （3）＝0； （2）证明：：令g （x ）＝f （x +1）,则2121x x g x -=+（）,此时21122112x xx xg x g x -----===-++（）（）, ∴函数g （x ）为奇函数,即f （x +1）为奇函数；（3）由（2）可得函数21212121x x xg x -==-++（）, 函数g （x ）的定义域为R ,任取x 1＜x 2∈R ,122112122222*********x x x x x x g x g x --=-=++++（）（）（）（）（）, ∵x 1＜x 2,∴12220x x -＜,则g （x 1）﹣g （x 2）＜0, ∴函数g （x ）在R 上为增函数,且f （2﹣sinα）＝g （1﹣sinα）,f （cosα）＝g （cosα﹣1）, ∴f （2﹣sinα）+f （cosα）＞0即为g （1﹣sinα）+g （cosα﹣1）＞0, 又∵奇函数g （x ）在R 上为增函数,∴1102sin cos πααα--∈＞，（，）,解得4πα∈（0，）．【点睛】本题主要考查了函数的奇偶性判定以及利用奇偶性与单调性求不等式的方法等.属于中等题型.21．（1）f （θ）11224tan sin πθθ=+-（），θ∈（0，4π）（2）6πθ=时，S 【解析】 【分析】(1) 连接OE ,根据平面几何的性质分析边角关系即可.(2)根据(1)中的函数表达式,令tanθ＝t ,再化简利用基本不等式,根据“一正二定三相等”的方法求得最小值以及取最小值时的角度大小即可. 【详解】（1）连接OE ,∵∠CON ＝θ,∴22EOM π∠θ=-,CN ＝NE ＝tanθ,OM 11222sin cos πθθ==-（）, ∴1122OMNC S tan sin θθ=+四边形（）, 则f （θ）11224tan sin πθθ=+-（）,θ∈（0,4π）； （2）由f （θ）11224tan sin πθθ=+-（）,θ∈（0,4π）． 令tanθ＝t ,θ∈（0,4π）,则t ∈（0,1）,则S 21131322443444t t t t t πππ+=+-=+-≥⋅=（）（）当且仅当13t t =,即t =时,S取得最小值为4π,此时tanθ=,6πθ=．【点睛】本题主要考查了三角函数在平面几何中的运用,同时也考查了利用基本不等式求解函数的最值问题等.属于中等题型.22．（1）k =（2）g （a ）＝25142514211122a a a a a a ⎧-⎪⎪⎪---⎨⎪⎪--≤≤⎪⎩，＞，＜，【解析】 【分析】(1)利用题目条件列出|sinx 0|＝cos 2x 0＝k ,再根据关于二次函数的复合函数方法求解即可. (2)分a ≥1, a ≤﹣1与﹣1＜a ＜1三种情况进行分析,同时结合正弦函数的取值范围进行讨论,再分段讨论函数的最值即可. 【详解】（1）当a ＝0时,f 1（x ）＝|sinx |,f 2（x ）＝cos 2x ； 由f 1（x 0）＝f 2（x 0）＝k ,得|sinx 0|＝cos 2x 0＝k , ∴|sinx 0|＝1﹣sin 2x 0＝120sinx -,解得|sinx 0|＝1|sinx 0|=,舍去）,所以k =； （2）由题意知,函数f （x ）＝f 1（x ）﹣f 2（x ）＝|sinx ﹣a |﹣cos 2x , ①当a ≥1时,f （x ）＝a ﹣sinx ﹣cos 2x ,即f （x ）＝sin 2x ﹣sinx +a ﹣1, 此时g （a ）＝f （x ）min 21122=-+（）a ﹣1＝a 54-； ②当a ≤﹣1时,f （x ）＝sinx ﹣a ﹣cos 2x ,即f （x ）＝sin 2x +sinx ﹣a ﹣1, 此时g （a ）＝f （x ）min 21122=---（）a ﹣1＝﹣a 54-； ③当﹣1＜a ＜1时,f （x ）2211sin x sinx a sinx asin x sinx a sinx a ⎧+--≥=⎨-+-⎩，，＜；若12＜a ＜1,则g （a ）＝f （x ）min 21122=-+（）a ﹣1＝a 54-； 若﹣1＜a 12-＜,则g （a ）＝f （x ）min 212=-+（）（12-）﹣a ﹣1＝﹣a 54-； 若1122a -≤≤,则g （a ）＝f （x ）min ＝a 2﹣a +a ﹣1＝a 2﹣1；综上知,f （x ）最小值g （a ）的表达式为g （a ）＝f （x ）min 25142514211122a a a a a a ⎧-⎪⎪⎪=---⎨⎪⎪--≤≤⎪⎩，＞，＜，．【点睛】本题主要考查了关于正弦函数的二次复合函数问题,包括二次函数的求根以及最值范围的问题以及分类讨论的思想等.属于难题.。
湖北省武汉市华中师大一附中2018-2019学年高一上期末检测数学试题(无答案)
华中师大一附中2018-2019学年度上学期高一期末检测数学试题一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.已知集合{}{}{}，，，，，，，，，，，54532654321===N M U 则集合{}=61，A.N MB.N MC.()N M C UD.()N M C U2.若幂函数()x f y =的图像经过点(-2,4),则在定义域内函数()x fA.有最小值B.有最大值C.为增函数D.为减函数3.如图所示,已知，b 2====则下列等式中成立的是 A.a b c 2123-= B.-=2 C.-=2 D.b a c 2123-= 4.若()()，ππππ2cos sin 4cos 224sin -=+-++⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-θθθθ则=θtan A.41- B.21- C.23 D.41 5.若向量与向量()12，-=为共线向量,，53=则向量的坐标为 A.(-6,3) B.(6,-3) C.(6,-3)或(-6,3) D.(-6,-3)或(6,3)6.函数bx ax y +=2与x y ab log =(0≠ab 且b a ≠)在同一直角坐标系中的图象可能是7.设函数()x f 是定义在R 上的奇函数,且()x f 是以π为周期的周期函数,当26ππ≤≤x 时， ()，a x x f +=sin 则=⎪⎭⎫ ⎝⎛-65πf A.23 B.21- C.21 D.23- 8.如图,一个大风车的半径长为8m,每12min 旋转一周,最低点离地面为2m,若风车翼片从如图所示的点0P 处按逆时针方向开始旋转，已知点0P 离地面6m,则该翼片的端点离地面的距离y (m)与时间x (min)之间的函数关系是A.1036cos 8+⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=ππx yB.1036cos 8+⎪⎭⎫ ⎝⎛--=ππx y C.1063sin 8+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππx y D.1036sin 8+⎪⎭⎫ ⎝⎛-=ππx y 9.已知函数()x e x x f --=ln (e 是自然对数的底数),若实数c b a 、、满足，＜＜＜c b a 0且 ()()()，＜0c f b f a f ∙∙则关于函数()x f 的零点，0x 的下列说法一定正确的是A.()b a x ，∉0B.()c a x ，∉0C.()e a x ，∉0D.()c b x ，∉010.将函数()x f 的图像向左平移3π个单位,再将所得图像上所有点的横坐标伸长到原来的23倍，纵坐标不变,所得图像对应的函数解析式为，x x y 34cos 334sin +=则函数()x f 的解析式为A.()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=321sin 2πx x fB.()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=621sin πx x f C.()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=32sin 2πx x f D.()⎪⎭⎫ ⎝⎛-=62sin 2πx x f11.已知向量a 为单位向量,()，，43=+b a 则a +2的最大值为 A.3 B.4 C.5 D.612.若函数()x f 是R 上的单调函数,且对任意实数，x 都有()，31122=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++x x f f 则 ()=3log 2f A.21 B.1 C.54 D.0 二、填空题(本大题共4小题,每小题5分,共20分。
2018-2019学年湖北省武汉二中高一(上)10月月考数学试卷
2018-2019学年湖北省武汉二中高一（上）10月月考数学试卷试题数：22.满分：01.（单选题.5分）方程组{x+y=2x−y=0的解构成的集合是（）A.{1}B.（1.1）C.{（1.1）}D.{1.1}2.（单选题.5分）若全集U={0.1.2.3}且∁U A={2}.则集合A的真子集共有（）A.3个B.5个C.7个D.8个3.（单选题.5分）已知函数f（x）=x5+ax3+bx+8.且f（-2）=10.那么f（2）等于（）A.-18B.-10C.6D.104.（单选题.5分）在映射f：A→B中.A=B={（x.y）|x.y∈R}.且f：（x.y）→（x-y.x+y）.则与A 中的元素（-1.2）对应的B中的元素为（）A.（-3.1）B.（1.3）C.（-1.-3）D.（3.1）5.（单选题.5分）设集合A={x|x参加自由泳的运动员}.B={x|x参加蛙泳的运动员}.对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为（）A.A∩BB.A⊇BC.A∪BD.A⊆B6.（单选题.5分）已知集合A={-1.0.1}.B={x|x2-x-2=0}.那么A∩B=（）A.{0}B.{-1}C.{1}D.∅7.（单选题.5分）A={x|x=2k.k∈Z}.B={x|x=2k+1.k∈Z}.C={x|x=4k+1.k∈Z}.又a∈A.b∈B.则（）A.a+b∈AB.a+b∈BC.a+b∈CD.a+b∈A.B.C中的任一个8.（单选题.5分）下列各组函数是同一函数的是（）① f（x）= √−2x3与g（x）=x √−2x；② f（x）=|x|与g（x）= √x2；③ f（x）=x+1与g（x）=x+x0；④ f（x）=x2-2x-1与g（t）=t2-2t-1．A. ① ③B. ① ④C. ① ②D. ② ④9.（单选题.5分）下列表述中错误的是（）A.若A⊆B.则A∩B=AB.若A∪B=B.则A⊆BC.（A∩B）⫋A⫋（A∪B）D.∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）10.（单选题.5分）设全集U={x|x≤8.x∈N+}.若A⊆U.B⊆U.B∩（∁U A）={2.6}.A∩{∁U B}={1.8}.（∁U A）∩（∁U B）={4.7}.则（）A.A={1.6}.B={2.8}B.A={1.3.5.6}.B={2.3.5.8}C.A={1.6}.B={2.3.5.8}D.A={1.3.5.8}.B={2.3.5.6}11.（单选题.5分）已知奇函数f（x）定义在（-1.1）上.且对任意x1.x2∈（-1.1）（x1≠x2）都有f(x2)−f(x1)x2−x1＜0成立.若f（2x-1）+f（3x-2）＞0成立.则x的取值范围为（）A.（0.1）B.（13，1）C.（13，35）D.（0. 35 ）12.（单选题.5分）若函数f （x ）是定义在R 上的偶函数.在（-∞.0]上是增函数.且f （3）=0.则使得f （x ）＞0的x 的取值范围是（ ）A.（-∞.-3）B.（3.+∞）C.（-3.3）D.（-∞.-3）∪（3.+∞）13.（填空题.5分）如果奇函数f （x ）在区间[3.7]上是减函数.值域为[-2.5].那么2f （3）+f （-7）=___ ．14.（填空题.5分）已知函数f （n ）= {n −3(n ≥10)f [f (n +5)](n ＜10).其中n∈N .则f （8）等于___ ． 15.（填空题.5分）设A={1.2.3.4.5.6.7}.B={1.2.6.8}.定义A 与B 的差集为A-B={x|x∈A .且x∉B}.则A-（A-B ）=___16.（填空题.5分）已知函数f （x ）= {1x ，x ≥10kx +1，x ＜10 .若f （x ）在R 上是减函数.则实数k 的取值范围为___ ．17.（问答题.0分）已知集合A={x|-1＜x ＜3}.B={x|x-m ＞0}．（Ⅰ）若A∩B=∅.求实数m 的取值范围；（Ⅱ）若A∩B=A .求实数m 的取值范围．18.（问答题.0分）已知集合A={x|0＜ax+1≤5}.函数f （x ）= √2−x √2x+1B ．（Ⅰ）求集合B ．（Ⅱ）当a=-1时.若全集U={x|x≤4}.求∁U A 及A∩（∁U B ）；（Ⅲ）若A⊆B .求实数a 的取值范围．19.（问答题.0分）已知函数f （x ）= { 1+1x ，x ＞1x 2+1，−1≤x ≤12x +3，x ＜−1． （Ⅰ）求f （1+ √2−1 .f （f （f （-4）））的值； （Ⅱ）求f （8x-1）；（Ⅲ）若f （4a ）= 32 .求a ．20.（问答题.0分）已知函数f （x ）= x−b x+a .且f （2）= 14 .f （3）= 25 ．（Ⅰ）求f （x ）的函数解析式；（Ⅱ）求证：f （x ）在[3.5]上为增函数；（Ⅲ）求函数f （x ）的值域．21.（问答题.0分）已知函数f （x ）为定义在R 上的奇函数.且当x ＞0时.f （x ）=-x 2+4x （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）求函数f （x ）在区间[-2.a]（a ＞-2）上的最小值．22.（问答题.0分）函数f （x ）的定义域为R.且对任意x.y∈R .有f （x+y ）=f （x ）+f （y ）.且当x ＞0时.f （x ）＜0.（Ⅰ）证明f （x ）是奇函数；（Ⅱ）证明f （x ）在R 上是减函数；（Ⅲ）若f （3）=-1.f （3x+2）+f （x-15）-5＜0.求x 的取值范围．2018-2019学年湖北省武汉二中高一（上）10月月考数学试卷参考答案与试题解析试题数：22.满分：01.（单选题.5分）方程组 {x +y =2x −y =0的解构成的集合是（ ） A.{1}B.（1.1）C.{（1.1）}D.{1.1}【正确答案】：C【解析】：通过解二元一次方程组求出解.利用集合的表示法：列举法表示出集合即可．【解答】：解： {x +y =2x −y =0解得 {x =1y =1 所以方程组 {x +y =2x −y =0的解构成的集合是{（1.1）} 故选：C ．【点评】：本题主要考查了集合的表示法：注意集合的元素是点时.一定要以数对形式写.属于基础题．2.（单选题.5分）若全集U={0.1.2.3}且∁U A={2}.则集合A 的真子集共有（ ）A.3个B.5个C.7个D.8个【正确答案】：C【解析】：利用集合中含n 个元素.其真子集的个数为2n -1个.求出集合的真子集的个数．【解答】：解：∵U={0.1.2.3}且C U A={2}.∴A={0.1.3}∴集合A 的真子集共有23-1=7【点评】：求一个集合的子集、真子集的个数可以利用公式：若一个集合含n个元素.其子集的个数为2n.真子集的个数为2n-1．3.（单选题.5分）已知函数f（x）=x5+ax3+bx+8.且f（-2）=10.那么f（2）等于（）A.-18B.-10C.6D.10【正确答案】：C【解析】：由函数的解析式是一个非奇非偶函数.且偶函数部分是一个常数.故可直接建立关于f （-2）与f（2）的方程.解出f（2）的值【解答】：解：由题.函数f（x）=x5+ax3+bx+8.且f（-2）=10.则f（-2）+f（2）=8+8=16解得f（2）=6故选：C．【点评】：本题考查函数奇偶性的性质.根据函数解析式的特征建立关于f（-2）与f（2）的方程.对解答本题最为快捷.本方法充分利用了函数奇偶性的性质.达到了解答最简化的目的.题后应注意总结本方法的使用原理4.（单选题.5分）在映射f：A→B中.A=B={（x.y）|x.y∈R}.且f：（x.y）→（x-y.x+y）.则与A 中的元素（-1.2）对应的B中的元素为（）A.（-3.1）B.（1.3）C.（-1.-3）D.（3.1）【正确答案】：A【解析】：根据已知中映射f：A→B的对应法则.f：（x.y）→（x-y.x+y）.将A中元素（-1.2）代入对应法则.即可得到答案．【解答】：解：由映射的对应法则f：（x.y）→（x-y.x+y）.故A中元素（-1.2）在B中对应的元素为（-1-2.-1+2）故选：A．【点评】：本题考查的知识点是映射的概念.属基础题型.熟练掌握映射的定义.是解答本题的关键．5.（单选题.5分）设集合A={x|x参加自由泳的运动员}.B={x|x参加蛙泳的运动员}.对于“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为（）A.A∩BB.A⊇BC.A∪BD.A⊆B【正确答案】：A【解析】：根据集合交集的定义.结合已知中集合A={x|x参加自由泳的运动员}.B={x|x参加蛙泳的运动员}.可得“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为A.B的交集．【解答】：解：∵集合A={x|x参加自由泳的运动员}.B={x|x参加蛙泳的运动员}.∴“既参加自由泳又参加蛙泳的运动员”用集合运算表示为A∩B.故选：A．【点评】：本题考查的知识点是集合的表示法.集合交集的定义.正确理解集合交集的概念是解答的关键．6.（单选题.5分）已知集合A={-1.0.1}.B={x|x2-x-2=0}.那么A∩B=（）A.{0}B.{-1}C.{1}D.∅【正确答案】：B【解析】：可以求出集合B.然后进行交集的运算即可．【解答】：解：∵A={-1.0.1}.B={-1.2}∴A∩B={-1}．故选：B．【点评】：考查列举法、描述法的定义.一元二次方程的解法.以及交集的运算．7.（单选题.5分）A={x|x=2k.k∈Z}.B={x|x=2k+1.k∈Z}.C={x|x=4k+1.k∈Z}.又a∈A.b∈B.则（）A.a+b∈AB.a+b∈BC.a+b∈CD.a+b∈A.B.C中的任一个【正确答案】：B【解析】：利用集合元素和集合之间的关系.表示出a.b.然后进行判断即可．【解答】：解：∵a∈A.b∈B.∴设a=2k1.k1∈Z.b=2k2+1.k2∈Z.则a+b=2k1+2k2+1=2（k1+k2）+1∈B．故选：B．【点评】：本题主要考查集合元素和集合之间的关系的判断.比较基础．8.（单选题.5分）下列各组函数是同一函数的是（）① f（x）= √−2x3与g（x）=x √−2x；② f（x）=|x|与g（x）= √x2；③ f（x）=x+1与g（x）=x+x0；④ f（x）=x2-2x-1与g（t）=t2-2t-1．A. ① ③B. ① ④C. ① ②D. ② ④【正确答案】：D【解析】：根据两个函数的定义域相同.对应关系也相同.即可判断它们是同一函数．【解答】：解：对于① .f（x）= √−2x3 =-x √−2x（x≤0）.与g（x）=x √−2x（x≤0）的对应关系不同.不是同一函数；对于② .f（x）=|x|的定义域为R.g（x）= √x2 =|x|的定义域为R.两函数的定义域相同.对应关系也相同.是同一函数；对于③ .f（x）=x+1的定义域是R.g（x）=x+x0=x+1的定义域是{x|x≠0}.定义域不同.不是同一函数；对于④ .f（x）=x2-2x-1的定义域为R.g（t）=t2-2t-1的定义域是R.两函数的定义域相同.对应关系也相同.是同一函数；综上知.是同一函数的为② ④ ．故选：D．【点评】：本题考查了判断两个函数是否为同一函数的应用问题.是基础题．9.（单选题.5分）下列表述中错误的是（）A.若A⊆B.则A∩B=AB.若A∪B=B.则A⊆BC.（A∩B）⫋A⫋（A∪B）D.∁U（A∩B）=（∁U A）∪（∁U B）【正确答案】：C【解析】：根据题意.做出图示.由图二知.A与B两个选项正确.由图一可得选项D正确.当A=B 时.A∩B=A∪B=A=B.所以.C选项是错误的．【解答】：解：根据题意.作图可得：（一）（二）通过画示意图可得 A、B、D、是正确的.C 是错误的.因为当A=B时.A∩B=A∪B=A=B.故只有C 是错误的.案选 C故选：C．【点评】：本题考查几何间包含关系的判断及应用.可以采用举反例、排除、画示意图等手段.找出错误的选项．10.（单选题.5分）设全集U={x|x≤8.x∈N+}.若A⊆U.B⊆U.B∩（∁U A）={2.6}.A∩{∁U B}={1.8}.（∁U A）∩（∁U B）={4.7}.则（）A.A={1.6}.B={2.8}B.A={1.3.5.6}.B={2.3.5.8}C.A={1.6}.B={2.3.5.8}D.A={1.3.5.8}.B={2.3.5.6}【正确答案】：D【解析】：作出维恩图.结合图形能求出集合A 和集合B ．【解答】：解：∵全集U={x|x≤8.x∈N +}={1.2.3.4.5.6.7.8}.A⊆U .B⊆U .B∩（∁U A ）={2.6}.A∩{∁U B}={1.8}.（∁U A ）∩（∁U B ）={4.7}.∴作出维恩图如下：结合图形得：A={1.3.5.8}.B={2.3.5.6}．故选：D ．【点评】：本题考查集合的的求法.考查补集、交集定义、维恩图性质等基础知识.考查运算求解能力.是基础题．11.（单选题.5分）已知奇函数f （x ）定义在（-1.1）上.且对任意x 1.x 2∈（-1.1）（x 1≠x 2）都有 f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1 ＜0成立.若f （2x-1）+f （3x-2）＞0成立.则x 的取值范围为（ ）A.（0.1）B.（ 13，1 ）C.（ 13，35 ）D.（0. 35 ）【正确答案】：C【解析】：根据题意.分析可得f （x ）在（-1.1）上为减函数.结合函数的奇偶性可得原不等式等价于 {−1＜2x −1＜1−1＜2−3x ＜12x −1＜2−3x.解可得项的取值范围.即可得答案．【解答】：解：根据题意.f （x ）满足对任意x 1.x 2∈（-1.1）（x 1≠x 2）都有 f (x 2)−f (x 1)x 2−x 1＜0成立.则f （x ）在（-1.1）上为减函数.又由函数f （x ）定义在（-1.1）上的奇函数.则f （2x-1）+f （3x-2）＞0⇒f （2x-1）＞-f （3x-2）⇒f （2x-1）＞f （2-3x ）⇒ {−1＜2x −1＜1−1＜2−3x ＜12x −1＜2−3x. 解可得： 13 ＜x ＜ 35 .即不等式的解集为（ 13 . 35 ）. 故选：C ．【点评】：本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用.涉及不等式的解法.属于基础题． 12.（单选题.5分）若函数f （x ）是定义在R 上的偶函数.在（-∞.0]上是增函数.且f （3）=0.则使得f （x ）＞0的x 的取值范围是（ ） A.（-∞.-3） B.（3.+∞） C.（-3.3）D.（-∞.-3）∪（3.+∞） 【正确答案】：C【解析】：由偶函数f （x ）在[0.+∞）上单调递减.且f （3）=0.f （x ）＞0可化为|x|＜3.从而求解．【解答】：解：∵偶函数f （x ）在（-∞.0]上是增函数. ∴在[0.+∞）上单调递减. ∵f （3）=0.∴f （x ）＞0可化为f （x ）＞f （3）. ∴|x|＜3. ∴-3＜x ＜3. 故选：C ．【点评】：本题考查了函数的性质应用.属于基础题．13.（填空题.5分）如果奇函数f （x ）在区间[3.7]上是减函数.值域为[-2.5].那么2f （3）+f （-7）=___ ．【正确答案】：[1]12【解析】：根据函数奇偶性和值域之间的关系进行转化求解即可．【解答】：解：由f （x ）在区间[3.7]上是递减函数.且最大值为5.最小值为-2. 得f （3）=5.f （7）=-2.∵f （x ）是奇函数.∴f （-7）=2.∴2f （3）+f （-7）=12． 故答案为：12．【点评】：本题主要考查函数值的计算.利用好函数奇偶性和单调性的关系是解决本题的关键． 14.（填空题.5分）已知函数f （n ）= {n −3(n ≥10)f [f (n +5)](n ＜10) .其中n∈N .则f （8）等于___ ．【正确答案】：[1]7【解析】：根据解析式先求出f （8）=f[f （13）].依次再求出f （13）和f[f （13）].即得到所求的函数值．【解答】：解：∵函数f （n ）= {n −3 (n ≥10)f [f (n +5)] (n ＜10) .∴f （8）=f[f （13）]. 则f （13）=13-3=10. ∴f （8）=f[f （13）]=10-3=7. 故答案为：7．【点评】：本题是分段函数求值问题.对应多层求值按“由里到外”的顺序逐层求值.一定要注意自变量的值所在的范围.然后代入相应的解析式求解．15.（填空题.5分）设A={1.2.3.4.5.6.7}.B={1.2.6.8}.定义A 与B 的差集为A-B={x|x∈A .且x∉B}.则A-（A-B ）=___ 【正确答案】：[1]{1.2.6}【解析】：根据差集的定义进行运算即可．【解答】：解：∵A={1.2.3.4.5.6.7}.B={1.2.6.8}. 根据差集的定义得.A-B={3.4.5.7}.A-（A-B ）={1.2.6}． 故答案为：{1.2.6}．【点评】：考查列举法的定义.以及差集的定义及运算．16.（填空题.5分）已知函数f （x ）= {1x ，x ≥10kx +1，x ＜10.若f （x ）在R 上是减函数.则实数k 的取值范围为___ ．【正确答案】：[1][- 9100 .0） 【解析】：若函数f （x ）= {1x ，x ≥10kx +1，x ＜10.在R 上是减函数.列出不等式组.解得实数k 的取值范围．【解答】：解：若函数f （x ）= {1x ，x ≥10kx +1，x ＜10.在R 上是减函数. 则 {k ＜010k +1≥110 .解得：k∈[- 9100 .0）． 故答案为：[- 9100 .0）．【点评】：本题考查的知识点是分段函数的应用.正确理解分段函数的单调性是含义是解答的关键.是中档题．17.（问答题.0分）已知集合A={x|-1＜x ＜3}.B={x|x-m ＞0}． （Ⅰ）若A∩B=∅.求实数m 的取值范围； （Ⅱ）若A∩B=A .求实数m 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）可以求出B={x|x ＞m}.根据A∩B=∅即可得出m≥3； （Ⅱ）根据A∩B=A 可得出A⊆B .从而得出m≤-1．【解答】：解：（Ⅰ）∵A={x|-1＜x ＜3}.B={x|x ＞m}.且A∩B=∅. ∴m≥3.∴m 的取值范围为[3.+∞）； （Ⅱ）∵A∩B=A∴A⊆B ∴m≤-1.∴实数m 的取值范围为（-∞.-1]．【点评】：考查描述法、区间的定义.交集的定义及运算.空集、子集的定义． 18.（问答题.0分）已知集合A={x|0＜ax+1≤5}.函数f （x ）= √2−x √2x+1B ．（Ⅰ）求集合B ．（Ⅱ）当a=-1时.若全集U={x|x≤4}.求∁U A 及A∩（∁U B ）； （Ⅲ）若A⊆B .求实数a 的取值范围．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）解 {2−x ≥02x +1＞0 即可得出f （x ）的定义域B= (−12，2] ；（Ⅱ）a=-1时.得出集合A.然后进行交集、补集的运算即可；（Ⅲ）根据A⊆B 即可讨论a ：a=0时.不满足题意；a ＞0时.求出 A ={x|−1a＜x ≤4a} .从而得出 {−1a ≥−124a ≤2 ；a ＜0时.求出 A ={x|4a ≤x ＜−1a } .则得出 {4a＞−12−1a ≤2 .解出a 的范围即可．【解答】：解：（Ⅰ）解 {2−x ≥02x +1＞0 .得. −12＜x ≤2 .∴ B =(−12，2] ；（Ⅱ）a=-1时.A={x|-4≤x ＜1}.且U={x|x≤4}.∴∁U A={x|x ＜-4.或1≤x≤4}. ∁U B ={x|x ≤−12或2＜x ≤4} . A ∩(∁U B )={x|−4≤x ≤−12} ； （Ⅲ）∵A⊆B∴ ① a=0时.A=R.不满足题意；② a ＞0时. A ={x|−1a ＜x ≤4a } .则 {−1a ≥−124a≤2 .解得a≥2；③ a ＜0时. A ={x|4a≤x ＜−1a} .则 {4a ＞−12−1a ≤2.解得a ＜-8；综上得.实数a 的取值范围为{a|a ＜-8.或a≥2}．【点评】：考查函数定义域的定义及求法.描述法的定义.子集的定义.以及分类讨论的思想． 19.（问答题.0分）已知函数f （x ）= {1+1x ，x ＞1x 2+1，−1≤x ≤12x +3，x ＜−1 ．（Ⅰ）求f （1+√2−1.f （f （f （-4）））的值； （Ⅱ）求f （8x-1）； （Ⅲ）若f （4a ）= 32.求a ．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）f （1+√2−1=f （1+ √2+1(√2−1)(√2+1) ）=f （2+ √2 ）.f （-4）=-8+3=-5.则f （-5）=-10+3=-7.f （-7）=-14+3=-11.进而求解；（Ⅱ）分类讨论8x-1的取值范围.进而代入分段函数区间求解； （Ⅲ）分类讨论4a 的取值范围.进而代入分段函数区间求解；【解答】：解：（Ⅰ）由题意得.f （1+ √2−1）=f （1+ √2+1(√2−1)(√2+1) =f （2+ √2 ）=1+ 2+√2 =1+√2(2+√2)(2−√2)=1+ 2−√22 =2- √22 . 又f （-4）=-8+3=-5.则f （-5）=-10+3=-7.f （-7）=-14+3=-11. ∴f （f （f （-4）））=f （f （-5））=f （-7）=-11； （Ⅱ）当8x-1＞1.即x ＞ 14 时.f （8x-1）=1+ 18x−1 .当-1≤8x -1≤1时.即0≤x≤ 14 时.f （8x-1）=（8x-1）2+1=64x 2-16x+2； 当8x-1＜-1时.即x ＜0.f （8x-1）=2（8x-1）+3=16x+1；综上可得.f （8x-1）= {1+18x−1，x ＞1464x 2−16x +2，0≤x ≤1416x +1，x ＜0（Ⅲ）因为f （4a ）= 32.所以分以下三种情况：当4a ＞1.即a ＞14 时.f （4a ）=1+ 14a = 32 .解得a= 12 .成立；当-1≤4a≤1时.即- 14≤a≤ 14时.f （4a ）=16a 2+1= 32.解得a=± √28.成立； 当4a ＜-1时.即a ＜- 14 时.f （4a ）=8a+3= 32 .解得a=- 316 .不成立； 综上可得a 的值是 12或 ±√28 ．【点评】：考查分段函数的应用.分类讨论的思想.属于中档题； 20.（问答题.0分）已知函数f （x ）= x−bx+a.且f （2）= 14.f （3）= 25．（Ⅰ）求f （x ）的函数解析式； （Ⅱ）求证：f （x ）在[3.5]上为增函数； （Ⅲ）求函数f （x ）的值域．【正确答案】：【解析】：（Ⅰ）根据条件可得出 {2−b2+a =143−b3+a=25.解出a=2.b=1.从而得出 f (x )=x−1x+2 ；（Ⅱ）根据增函数的定义.设任意的x 1.x 2∈[3.5].且x 1＜x 2.然后作差.通分.提取公因式得出 f (x 1)−f (x 2)=3(x 1−x 2)(x1+2)(x 2+2).然后说明f （x 1）＜f （x 2）即可；（Ⅲ）分离常数得出 f (x )=1−3x+2.可看出f （x ）≠1.从而得出f （x ）的值域．【解答】：解：（Ⅰ）根据 f (2)=14，f (3)=25得. {2−b2+a =143−b 3+a=25.解得a=2.b=1∴ f (x )=x−1x+2 ；（Ⅱ）证明： f (x )=1−3x+2 .设x 1.x 2∈[3.5].且x 1＜x 2.则：f (x 1)−f (x 2)=3x2+2−3x 1+2=3(x 1−x 2)(x2+2)(x 1+2).∵x 1.x 2∈[3.5].x 1＜x 2. ∴x 1+2＞0.x 2+2＞0.x 1-x 2＜0. ∴f （x 1）＜f （x 2）.∴f （x ）在[3.5]上为增函数； （Ⅲ）∵ f (x )=1−3x+2 . ∵ −3x+2≠0 . ∴f （x ）≠1.∴f （x ）的值域为{f （x ）|f （x ）≠1}．【点评】：考查已知函数求值的方法.待定系数法求函数解析式的方法.分离常数法的运用.以及反比例函数的值域.增函数的定义及利用增函数的定义证明一个函数是增函数的方法． 21.（问答题.0分）已知函数f （x ）为定义在R 上的奇函数.且当x ＞0时.f （x ）=-x 2+4x （Ⅰ）求函数f （x ）的解析式；（Ⅱ）求函数f （x ）在区间[-2.a]（a ＞-2）上的最小值．【正确答案】：【解析】：（1）先求f （0）=0.再设x ＜0.由奇函数的性质f （x ）=-f （-x ）.利用x ＞0时的表达式求出x ＜0时函数的表达式．（2）函数在（-2.2）单调性递增.在（2.+∞）单调递减.讨论a≤2和a ＞2的情况．【解答】：解：（1）∵函数f （x ）是定义在R 上的奇函数. ∴f （0）=0.且f （-x ）=-f （x ）. ∴f （x ）=-f （-x ）. 设x ＜0.则-x ＞0. ∴f （-x ）=-x 2-4x.∴f （x ）=-f （-x ）=-（-x 2-4x ）=x 2+4x. ∴f （x ）= {x 2+4x ，x ≤0−x 2+4x ，x ＞0（2）根据题意得.当a≤2时.最小值为f（-2）=-4；当a＞2时.f（x）=f（-2）=-4.x=2+2 √2 . ∴2＜a ≤2+2√2 .最小值为f（-2）=-4；当a ＞2+2√2 .最小值为f（a）．综上：-2＜a ≤2+2√2最小值为-4；当a ＞2+2√2 .时.最小值为f（a）．【点评】：本题主要考查奇函数的性质求解函数的解析式.关键是利用原点两侧的函数表达式之间的关系解题．22.（问答题.0分）函数f（x）的定义域为R.且对任意x.y∈R.有f（x+y）=f（x）+f（y）.且当x＞0时.f（x）＜0.（Ⅰ）证明f（x）是奇函数；（Ⅱ）证明f（x）在R上是减函数；（Ⅲ）若f（3）=-1.f（3x+2）+f（x-15）-5＜0.求x的取值范围．【正确答案】：【解析】：（1）在f（x+y）=f（x）+f（y）中.令x=y=0.则可得f（0）=0；再令y=-x.可得f（x-x）=f（x）+f（-x）.即f（x）+f（-x）=f（0）=0.即可证明f（x）是奇函数.（2）设x1＞x2.由已知可得f（x1-x2）＜0.再利用f（x+y）=f（x）+f（y）分析可得f（x1）=f （x1-x2+x2）=f（x1-x2）+f（x2）＜f（x2）.结合函数单调性的定义分析可得答案；（3）根据题意.利用特殊值法分析可得f（15）=-5.据此分析可得f（3x+2）+f（x-15）-5＜0⇒f（3x+2）+f（x-15）＜5⇒f（3x+2+x-15）＜f（15）⇒f（4x-13）＜f（15）.结合函数的单调性可得4x-13＞15.解可得x的取值范围.即可得答案．【解答】：解：（Ⅰ）证明：对于f（x+y）=f（x）+f（y）.令x=y=0.则有f（0）=f（0）+f（0）.即f（0）=0.令y=-x.可得f（x-x）=f（x）+f（-x）.即f（x）+f（-x）=f（0）=0.则有f（-x）=-f（x）.故函数y=f（x）是奇函数.（2）证明：设x1＞x2.则x1-x2＞0.则f（x1-x2）＜0.而f（x+y）=f（x）+f（y）.则f（x1）=f（x1-x2+x2）=f（x1-x2）+f（x2）＜f（x2）.故函数y=f（x）是R上的减函数；（3）根据题意.在f（x+y）=f（x）+f（y）且f（3）=-1.令x=y=3可得.f（6）=f（3）+f（3）=-2.令x=y=6可得：f（12）=f（6）+f（6）=-4.令x=3.y=12可得：f（15）=f（3）+f（12）=-5.则f（3x+2）+f（x-15）-5＜0⇒f（3x+2）+f（x-15）＜5⇒f（3x+2+x-15）＜-f（15）⇒f （4x-13）＜f（-15）.又由f（x）为R上的减函数.则有4x-13＞-15.解可得x＞- 12 .即x的取值范围为（- 12.+∞）．【点评】：本题考查抽象函数的应用.涉及函数的奇偶性、单调性的判断以及应用.属于基础题．。
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷(含答案)
2018-2019学年第二学期期末考试高一年级数学试卷一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的人数为20000人，其中持各种态度的人数如表所示：电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽选出100人进行更为详细的调查，为此要进行分层抽样，那么在分层抽样时，每类人中各应抽选出的人数为（）A．25，25，25，25 B．48，72，64，16 C．20，40，30，10 D．24，36，32，82．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一1000人、高二1200人、高三n人中，抽取81人进行问卷调查．已知高二被抽取的人数为30，那么n=（）A．860 B．720 C．1020 D．10403. 在中，，，则等于（）A. 3B.C. 1D. 24．（1+tan20°）（1+tan25°）=（）A．2 B．1 C．﹣1 D．﹣25．在△ABC中，若sin2A+sin2B＜sin2C，则△ABC的形状是（）A．锐角三角形B．直角三角形C．钝角三角形D．不能确定6．如图，给出的是的值的一个程序框图，判断框内应填入的条件是（）A．i＜99 B．i≤99 C．i＞99 D．i≥997. 已知直线平面，直线平面，则下列命题正确的是（）A. 若，则B. 若，则C. 若，则D. 若，则8．已知过点P（0，2）的直线l与圆（x﹣1）2+y2=5相切，且与直线ax﹣2y+1=0垂直，则a=（）A．2 B．4 C．﹣4 D．19．《数学九章》中对已知三角形三边长求三角形的面积的求法填补了我国传统数学的一个空白，与著名的海伦公式完全等价，由此可以看出我国古代已具有很高的数学水平，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上．以小斜幂乘大斜幂减上，余四约之，为实．一为从隔，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即S=．现有周长为2+的△ABC满足sinA：sinB：sinC=（﹣1）：：（ +1），试用以上给出的公式求得△ABC的面积为（）A． B． C． D．10．天气预报说，在今后的三天中，每一天下雨的概率均为40%．现采用随机模拟试验的方法估计这三天中恰有两天下雨的概率：先利用计算器产生0到9之间取整数值的随机数，用1，2，3，4表示下雨，用5，6，7，8，9，0表示不下雨；再以每三个随机数作为一组，代表这三天的下雨情况．经随机模拟试验产生了如下20组随机数：907 966 191 925 271 932 812 458 569 683431 257 393 027 556 488 730 113 537 989据此估计，这三天中恰有两天下雨的概率近似为（）A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.1511．在区间（0，3]上随机取一个数x，则事件“0≤log2x≤1”发生的概率为（）A．B．C．D．12．已知函数f（x）=sin2x向左平移个单位后，得到函数y=g（x），下列关于y=g（x）的说法正确的是（）A．图象关于点（﹣，0）中心对称B．图象关于x=﹣轴对称C．在区间[﹣，﹣]单调递增D．在[﹣，]单调递减二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．函数f（x）=Asin（ωx+φ）+b的图象如图所示，则f（x）的解析式为．14．在△ABC中，内角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，若bsinA﹣acosB=0，则A+C= ．15. 已知直线的倾斜角为，则直线的斜率为__________．16．已知正实数x，y满足x+2y﹣xy=0，则x+2y的最小值为8y的取值范围是．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．某同学用“五点法”画函数f （x ）=Asin （ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如表：（1）请将上表数据补充完整，填写在相应位置，并直接写出函数f （x ）的解析式；（2）将y=f （x ）图象上所有点向左平行移动θ（θ＞0）个单位长度，得到y=g （x ）的图象．若y=g （x ）图象的一个对称中心为（，0），求θ的最小值．18. 在中，内角所对的边分别为，且.（1）求；（2）若，且的面积为，求的值.19．设函数f （x ）=mx 2﹣mx ﹣1．若对一切实数x ，f （x ）＜0恒成立，求实数m 的取值范围．20．已知函数f （x ）=cosx （sinx+cosx ）﹣． （1）若0＜α＜，且sin α=，求f （α）的值；（2）求函数f （x ）的最小正周期及单调递增区间．21．根据国家环保部新修订的《环境空气质量标准》规定：居民区PM2.5的年平均浓度不得超过35微克/立方米，PM2.5的24小时平均浓度不得超过75微克/立方米．我市环保局随机抽取了一居民区2016年20天PM2.5的24小时平均浓度（单位：微克/立方米）的监测数据，数据统计如表（1）从样本中PM2.5的24小时平均浓度超过50微克/立方米的天数中，随机抽取2天，求恰好有一天PM2.5的24小时平均浓度超过75微克/立方米的概率；（2）将这20天的测量结果按上表中分组方法绘制成的样本频率分布直方图如图．①求图中a的值；②求样本平均数，并根据样本估计总体的思想，从PM2.5的年平均浓度考虑，判断该居民区的环境质量是否需要改善？并说明理由．22．（12分）（2016秋•德化县校级期末）已知f（x）=sin2（2x﹣）﹣2t•sin（2x﹣）+t2﹣6t+1（x∈[，]）其最小值为g（t）．（1）求g（t）的表达式；（2）当﹣≤t≤1时，要使关于t的方程g（t）=kt有一个实根，求实数k的取值范围．参考答案：一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.D2．D3.D4．A5．C6．B7. B8．C9．A10．B11．C12.C二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．．14．120°． 15. 16． 8；（1，+∞）．三、解答题（本大题共6小题，共70分．第17题10分，其它均12分）17．（1）根据表中已知数据，解得A=5，ω=2，φ=﹣．数据补全如下表：且函数表达式为f（x）=5sin（2x﹣）．（2）由（Ⅰ）知f（x）=5sin（2x﹣），得g（x）=5sin（2x+2θ﹣）．因为y=sinx的对称中心为（kπ，0），k∈Z．令2x+2θ﹣=kπ，解得x=，k∈Z．由于函数y=g（x）的图象关于点（，0）成中心对称，令=，解得θ=，k∈Z．由θ＞0可知，当K=1时，θ取得最小值．18. (1) ；（2）. 19．（﹣4，0]．20．（1）∵0＜α＜，且sinα=，∴cosα=，∴f（α）=cosα（sinα+cosα）﹣=×（+）﹣=；（2）∵函数f（x）=cosx（sinx+cosx）﹣=sinxcosx+cos2x﹣=sin2x+﹣=（sin2x+cos2x）=sin（2x+），∴f（x）的最小正周期为T==π；令2kπ﹣≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ﹣≤x≤kπ+，k∈Z；∴f（x）的单调增区间为[kπ﹣，kπ+]，k∈Z．．21．1） P==．（2）a=0.00422．（1）∵x∈[，]，∴sin（2x﹣）∈[﹣，1]，∴f（x）=[sin（2x﹣﹣t]2﹣6t+1，当t＜﹣时，则当sinx=﹣时，f（x）min=；当﹣≤t≤1时，当sinx=t时，f（x）min=﹣6t+1；当t＞1时，当sinx=1时，f（x）min=t2﹣8t+2；∴g（t）=（2）k≤﹣8或k≥﹣5．。
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2018-2019学年高一（上）期末数学试卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，那么集合{ 2，﹣1，0}是（）A．B．C．∁U A∩∁U B D．2．（5分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（）A．B．C．D．﹣3．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x2+2|x|B．f（x）=x•sinx C．f（x）=2x+2﹣x D．4．（5分）在平行四边形ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），则D 的坐标是（）A．（7，﹣6）B．（7，6） C．（6，7） D．（﹣7，6）5．（5分）下列各命题中不正确的是（）A．函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1）B．函数在[0，+∞）上是增函数C．函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上是增函数D．函数f（x）=x2+4x+2在（0，+∞）上是增函数6．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）7．（5分）我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下的公式计算：（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1=70dB 的声音强度为I1，η2=60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）A．倍 B．10倍C．倍D．倍8．（5分）△ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）A．B．C．D．19．（5分）函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．10．（5分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B．C． D．11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x+1）=0，且在[﹣3，﹣2]上f（x）=2x+5，A、B是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确的是（）A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（cosA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（cosB）D．f（sinA）＜f（cosB）12．（5分）已知函数，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2） B．（2，+∞）C．（2，4） D．（4，+∞）二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域是．14．（5分）已知tanα=2，则=．15．（5分）已知，，则tanα的值为．16．（5分）矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，，，若向量，则x+y=．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）求值：（1）+log318﹣log36+（2）A是△ABC的一个内角，，求cosA﹣sinA．18．（12分）（1）已知向量，，，若，试求x与y之间的表达式．（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，求证：A、B、C三点共线，并求的值．19．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式．（2）函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．20．（12分）某同学在利用“五点法”作函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+t（其中A＞0，）的图象时，列出了如表格中的部分数据．xωx+ϕ0π2πf（x）6﹣2（1）请将表格补充完整，并写出f（x）的解析式．（2）若，求f（x）的最大值与最小值．21．（12分）已知函数，θ∈[0，2π）（1）若函数f（x）是偶函数：①求tanθ的值；②求的值．（2）若f（x）在上是单调函数，求θ的取值范围．22．（12分）若函数f（x）对于定义域内的任意x都满足，则称f（x）具有性质M．（1）很明显，函数（x∈（0，+∞）具有性质M；请证明（x ∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2）已知函数g（x）=|lnx|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（x）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（x）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．（3）已知函数，是否存在正数m，n，k，当h（x）的定义域为[m，n]时，其值域为[km，kn]，若存在，求k的范围，若不存在，请说明理由．高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，那么集合{ 2，﹣1，0}是（）A．B．C．∁U A∩∁U B D．【解答】解：全集U={﹣1，0，1，2，3，4，5，6 }，A={3，4，5 }，B={1，3，6 }，∁U A={﹣1，0，1，2，6}，∁U B={﹣1，0，2，4，5}，∴（∁U A）∩（∁U B）={ 2，﹣1，0}．故选：C．2．（5分）已知tan60°=m，则cos120゜的值是（）A．B．C．D．﹣【解答】解：tan60°=m，则cos120°=cos260°﹣sin260°===，故选：B．3．（5分）下列函数是奇函数的是（）A．f（x）=x2+2|x|B．f（x）=x•sinx C．f（x）=2x+2﹣x D．【解答】解：A，f（x）=x2+2|x|，由f（﹣x）=x2+2|﹣x|=f（x），为偶函数；B，f（x）=x•sinx，由f（﹣x）=﹣xsin（﹣x）=xsinx=f（x），为偶函数；C，f（x）=2x+2﹣x，由f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），为偶函数；D，f（x）=，由f（﹣x）==﹣=﹣f（x），为奇函数．故选：D．4．（5分）在平行四边形ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），则D 的坐标是（）A．（7，﹣6）B．（7，6） C．（6，7） D．（﹣7，6）【解答】解：▱ABCD中，A（5，﹣1），B（﹣1，7），C（1，2），设D点的坐标为（x，y），则=，∴（﹣6，8）=（1﹣x，2﹣y），∴，解得x=7，y=﹣6；∴点D的坐标为（7，﹣6）．故选：A5．（5分）下列各命题中不正确的是（）A．函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1）B．函数在[0，+∞）上是增函数C．函数f（x）=log a x（a＞0，a≠1）在（0，+∞）上是增函数D．函数f（x）=x2+4x+2在（0，+∞）上是增函数【解答】解：对于A，∵a0=1∴函数f（x）=a x+1（a＞0，a≠1）的图象过定点（﹣1，1），正确；对于B，根据幂函数的性质可判定，函数在[0，+∞）上是增函数，正确；对于C，函数f（x）=log a x（a＞1）在（0，+∞）上是增函数，故错；对于D，函数f（x）=x2+4x+2的单调增区间为（﹣2，+∞），故在（0，+∞）上是增函数，正确；故选：C．6．（5分）若将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，则平移后的图象的对称轴为（）A．x=﹣（k∈Z）B．x=+（k∈Z）C．x=﹣（k∈Z）D．x=+（k∈Z）【解答】解：将函数y=2sin2x的图象向左平移个单位长度，得到y=2sin2（x+）=2sin（2x+），由2x+=kπ+（k∈Z）得：x=+（k∈Z），即平移后的图象的对称轴方程为x=+（k∈Z），故选：B．7．（5分）我们生活在不同的场所中对声音的音量会有不同的要求．音量大小的单位是分贝（dB），对于一个强度为I的声波，其音量的大小η可由如下的公式计算：（其中I0是人耳能听到的声音的最低声波强度）．设η1=70dB 的声音强度为I1，η2=60dB的声音强度为I2，则I1是I2的（）A．倍 B．10倍C．倍D．倍【解答】解：由题意，令70=10lg，解得，I1=I0×107，令60=10lg，解得，I2=I0×106，所以=10故选：B．8．（5分）△ABC中，D在AC上，且，P是BD上的点，，则m的值是（）A．B．C．D．1【解答】解：∵，∴，∴=，∵P是BD上的点，∴m+=1．∴m=．故选：A9．（5分）函数，若f[f（﹣1）]=1，则a的值是（）A．2 B．﹣2 C．D．【解答】解：∵函数，∴f（﹣1）=2，∴f[f（﹣1）]===1，解得：a=﹣2，故选：B10．（5分）已知函数f（x）=x2•sin（x﹣π），则其在区间[﹣π，π]上的大致图象是（）A．B．C． D．【解答】解：f（x）=x2•sin（x﹣π）=﹣x2•sinx，∴f（﹣x）=﹣（﹣x）2•sin（﹣x）=x2•sinx=﹣f（x），∴f（x）奇函数，∵当x=时，f（）=﹣＜0，故选：D11．（5分）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x）+f（x+1）=0，且在[﹣3，﹣2]上f（x）=2x+5，A、B是三边不等的锐角三角形的两内角，则下列不等式正确的是（）A．f（sinA）＞f（sinB）B．f（cosA）＞f（cosB）C．f（sinA）＞f（cosB）D．f（sinA）＜f（cosB）【解答】解：由f（x）+f（x+1）=0，∴f（x+2）=f（x），∴函数的周期为2，∵f（x）在[﹣3，﹣2]上为增函数，∴f（x）在[﹣1，0]上为增函数，∵f（x）为偶函数，∴f（x）在[0，1]上为单调减函数．∵在锐角三角形中，π﹣A﹣B＜，∴A+B＞，∴﹣B＜A，∵A，B是锐角，∴0＜﹣B＜A＜，∴sinA＞sin（﹣B）=cosB，∴f（x）在[0，1]上为单调减函数．∴f（sinA）＜f（cosB），故选D．12．（5分）已知函数，若存在实数b，使函数g（x）=f（x）﹣b有两个零点，则实数a的取值范围是（）A．（0，2） B．（2，+∞）C．（2，4） D．（4，+∞）【解答】解：∵g（x）=f（x）﹣b有两个零点∴f（x）=b有两个零点，即y=f（x）与y=b的图象有两个交点，由于y=x2在[0，a）递增，y=2x在[a，+∞）递增，要使函数f（x）在[0，+∞）不单调，即有a2＞2a，由g（a）=a2﹣2a，g（2）=g（4）=0，可得2＜a＜4．即a∈（2，4），故选C．二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）函数的定义域是（﹣1，3）∪（3，+∞）．【解答】解：由x+1＞0且x﹣3≠0，可得x＞﹣1且x≠3，则定义域为（﹣1，3）∪（3，+∞），故答案为：（﹣1，3）∪（3，+∞），14．（5分）已知tanα=2，则=．【解答】解：∵tanα=2，∴==．故答案为：．15．（5分）已知，，则tanα的值为．【解答】解：∵，∴cosα=，∵，∴sinα=﹣=﹣，∴tanα==，故答案为：．16．（5分）矩形ABCD中，|AB|=4，|BC|=3，，，若向量，则x+y=．【解答】解：以B为坐标原点建立如下图所示的坐标系：∵|AB|=4，|BC|=3，，，∴=（4，1），=（2，3），=（4，3），∵，∴，两式相加得：5（x+y）=7，故x+y=，故答案为：．三、解答题：本大题共6个小题，共70分.其中第17题10分，第18题至第22题每题12分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（10分）求值：（1）+log318﹣log36+（2）A是△ABC的一个内角，，求cosA﹣sinA．【解答】解：（1）+log318﹣log36+=3﹣2+log3+（tan）•（﹣cos）=3﹣2+1﹣sin=3﹣2+1﹣=．（2）解：∵A是△ABC的一个内角，，∴cosA＜0，∴=．18．（12分）（1）已知向量，，，若，试求x与y之间的表达式．（2）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，A、B、C三点满足，求证：A、B、C三点共线，并求的值．【解答】（1）解：∵向量，，，∴∵，∴x（y﹣2）=（x+4）y，∴x=﹣2y；（2）证明：∵．∴，∴，∴，∵有公共点C，∴A、B、C三点共线且=2．19．（12分）函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）（）的部分图象如图所示．（1）求函数f（x）的解析式．（2）函数y=f（x）的图象可以由y=sinx的图象变换后得到，请写出一种变换过程的步骤（注明每个步骤后得到新的函数解析式）．【解答】解：（1）由函数图象可得：A=2，f（0）=﹣1，∴，∵，∴，∵，∴，…（3分）∴，∵，∴k=1，ω=3，…（5分）∴．…（6分）（2）把y=sinx（x∈R）的图象向右平移个单位，可得y=sin（x﹣）的图象；把所得图象上各点的横坐标变为原来的倍，可得y=sin（3x+）的图象；再把所得图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，可得y=2sin（3x +）的图象．（三步每步表述及解析式正确各2分，前面的步骤错误，后面的正确步骤分值减半）．20．（12分）某同学在利用“五点法”作函数f（x）=Asin（ωx+ϕ）+t（其中A＞0，）的图象时，列出了如表格中的部分数据．xωx+ϕ0π2πf（x）262﹣22（1）请将表格补充完整，并写出f（x）的解析式．（2）若，求f（x）的最大值与最小值．【解答】解：（1）将表格补充完整如下：xωx+ϕ0π2πf（x）262﹣22f（x）的解析式为：．…（6分）（2）∵，∴，…（8分）∴时，即时，f（x）最小值为，∴时，即时，f（x）最大值为6…（12分）21．（12分）已知函数，θ∈[0，2π）（1）若函数f（x）是偶函数：①求tanθ的值；②求的值．（2）若f（x）在上是单调函数，求θ的取值范围．【解答】解：（1）∵函数f（x）是偶函数，∴∴（1分）①tanθ=（4分）②=（7分）（2）f（x）的对称轴为，或，或（9分），∵θ∈[0，2π），∴，∴，∴，∴，，∴（12分）22．（12分）若函数f（x）对于定义域内的任意x都满足，则称f（x）具有性质M．（1）很明显，函数（x∈（0，+∞）具有性质M；请证明（x ∈（0，+∞）在（0，1）上是减函数，在（1，+∞）上是增函数．（2）已知函数g（x）=|lnx|，点A（1，0），直线y=t（t＞0）与g（x）的图象相交于B、C两点（B在左边），验证函数g（x）具有性质M并证明|AB|＜|AC|．（3）已知函数，是否存在正数m，n，k，当h（x）的定义域为[m，n]时，其值域为[km，kn]，若存在，求k的范围，若不存在，请说明理由．【解答】解：（1）∵f（）=+=x+=f（x），∴函数f（x）具有性质M．任取x1、x2且x1＜x2，则f（x1）﹣f（x2）=（x1+）﹣（x2+）=（x1﹣x2）+（﹣）=（x1﹣x2）•，若x1、x2∈（0，1），则0＜x1x2＜1，x1x2＞0，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＞0，∴f（x1）＞f（x2），∴f（x）在（0，1）上是减函数．若x1、x2∈（1，+∞），则x1x2＞1，x1﹣x2＜0，∴f（x1）﹣f（x2）＜0，∴f（x1）＜f（x2），∴f（x）在（1，+∞）上是增函数．（2）∵，∴g（x）具有性质M （4分）由|lnx|=t得，lnx=﹣t或lnx=t，x=e﹣t或x=e t，∵t＞0，∴e﹣t＜e t，∴，∴，∴，∴|AB|2﹣|AC|2=（1﹣e﹣t）2﹣（1﹣e t）2=[2﹣（e﹣t+e t）]（e t﹣e﹣t）由（1）知，在x∈（0，+∞）上的最小值为1（其中x=1时）而，故2﹣（e﹣t+e t）＜0，e t﹣e﹣t＞0，|AB|＜|AC|（7分）（3）∵h（1）=0，m，n，k均为正数，∴0＜m＜n＜1或1＜m＜n（8分）当0＜m＜n＜1时，0＜x＜1，=是减函数，值域为（h（n），h（m）），h（n）=km，h（m）=kn，∴，∴，∴1﹣n2=1﹣m2故不存在（10分）当1＜m＜n时，x＞1，=是增函数，∴h（m）=km，h（n）=kn，∴，∴（1﹣k）m2=1，（1﹣k）n2=1，，不存在综合得，若不存在正数m，n，k满足条件．（12分）。