一阶电路和二阶电路的阶跃响应、冲击响应
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二阶电路阶跃响应和冲激响应讲解
50 W
50 V
R iR
0.5H L C
100 μF
iL
iC
(5)求iR
iR iL iC
iL
LC
d2iL dt 2
或设解答形式为： iR 1 Ae100t sin(100t )
50W
定常数
R iR
50 V
2A
iC
i
R
(0
)
diR dt
(0
)
1
iC ?
(0
)
1
iR
50 R
uc
5Ω 解 （1） uc(0－)=25V iL(0－)=5A
（2）开关打开为RLC串 联电路，方程为：
LC
d 2uc dt
RC
duc dt
uc
0
特征方程为： 50P2+2500P+106=0
P 25 j139
uc Ae25t sin(139t )
uc Ae25t sin(139t )
0
A U0 ， arctg
sin
ω，ω０，δ间的关系:
ω0
ω
sin
0
A
0
U
0
δ
uc
0
U0e
t
sin(t
)
uc
0
U0e
t
sin(t
)
uc是其振幅以
0
U0为包线依指数衰减的正弦函数。
t=0时 uc=U0
uc U0
0
U0
e
t
uc零点：t = -，2- ... n- uc极值点：t =0， ，2 ... n
L
di dt
阶跃响应冲击响应与卷积积分法
补充第一章 阶跃响应冲击响应与卷积积分法电路中除电阻元件外，还包括有电容和电感等动态元件，如此的电路称为动态电路。
在动态电路分析中，鼓励和响应都表示为时刻t 的函数，采纳微分方程求解电路和分析电路的方式，称为时域分析法。
本章要紧讨论一阶电路的阶跃响应、冲激响应、任意输入的零状态响应，和二阶电路在恒定输入下的零状态响应。
§1-1 阶跃响应和冲激响应电路的输入除恒定不变的常量（即恒定输入或直流输入）和按正弦规律变更的交流量（即正弦输入）之外，常见的还有另外两种奇异函数，即阶跃函数和冲激函数。
本节就来讨论这两种函数的概念、性质及作用于线性动态电路时所引发的响应。
单位阶跃函数（unit step function ）用()t ε来表示，它概念为 0(0)()1(0)t t t ε<⎧=⎨>⎩ 波形如图1-1（a ）所示，在0t =处，()t ε由0跃变至1。
若是单位阶跃函数的跃变点不是在0t =处，而是在0t t =处，波形如图1-1（b ）所示，那么称它为延迟的单位阶跃函数，用0()t t ε-表示，即0000()()1()t t t t t t ε<⎧-=⎨>⎩图1-1单位阶跃函数与任一常量K 的乘积()K t ε仍是一个阶跃函数，现在阶跃的幅度为K 。
单位阶跃函数与任一函数()f t 的乘积将只保留该函数在阶跃点以后的值，而使阶跃点以前的值变成零，即有0000(0)()()()(0)0()()()()()t f t t f t t t t f t t t f t t t εε<⎧=⎨>⎩<⎧-=⎨>⎩因此，单位阶跃函数能够用来“起始”一个任意函数()f t ，这给函数的表示带来了方便。
例如关于线性函数()(f t Kt K =为常数），由图1-2(a)、(b)、(c)能够清楚地看出()f t 、()()f t t ε及0()()f t t t ε-的不同。
第七章 一阶电路和二阶电路的时域分析
1 阶跃响应法： 2 等效初值法：
等效初始值：
等效初始值：
难点 1. 初始值的求解； 2. 时间常数的求解； 3. 阶跃响应与冲激响应。 §7.1 动态电路的方程及其初始条件 动态电路 含有动态元件电容和电感的电路。 特点： 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达 到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。 2. 换路 电路结构或电路参数发生突变而引起电路变化统称为换路。 意义：能量不能发生突变。 产生原因：电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能量发生变 化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
3 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 4 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 §7.3 一阶电路的零状态响应 零状态响应：动态元件初始能量为零，由t >0电路中外加激励作用所产 生的响应。
1. RC电路： t<0，K在1，电路稳定， 有 t=0，K从1打到2，有 t>0，K在2， 有 解答形式为：
换路定律： 在换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容 电压和电感电流不能跃变。 （1）若iC 有限，则： uC ( 0+ )= uC ( 0- ) （2）若uL 有限，则： iL( 0+ )=iL( 0- )
3. 电路初始值的确定
电路初始值 独立初始值：uC (0+)、 iL(0+)； 非独立初始值：其余电量在t= 0+时的值；
应用条件：一阶电路；开关激励 时间常数计算：RC电路：；
RL电路：； 实际现象讨论：
（1） 当负载端接有大电容时，电源合闸可能会产生冲击电流。
（1）
（2）
（2） 当负载端接有大电感时，开关断开可能会产生冲击电压。
等效初始值：
等效初始值：
难点 1. 初始值的求解； 2. 时间常数的求解； 3. 阶跃响应与冲激响应。 §7.1 动态电路的方程及其初始条件 动态电路 含有动态元件电容和电感的电路。 特点： 当动态电路状态发生改变时（换路）需要经历一个变化过程才能达 到新的稳定状态。这个变化过程称为电路的过渡过程。 2. 换路 电路结构或电路参数发生突变而引起电路变化统称为换路。 意义：能量不能发生突变。 产生原因：电路内部含有储能元件 L、C，电路在换路时能量发生变 化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
3 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。 4 一阶电路的零输入响应和初始值成正比，称为零输入线性。 §7.3 一阶电路的零状态响应 零状态响应：动态元件初始能量为零，由t >0电路中外加激励作用所产 生的响应。
1. RC电路： t<0，K在1，电路稳定， 有 t=0，K从1打到2，有 t>0，K在2， 有 解答形式为：
换路定律： 在换路前后电容电流和电感电压为有限值的条件下，换路前后瞬间电容 电压和电感电流不能跃变。 （1）若iC 有限，则： uC ( 0+ )= uC ( 0- ) （2）若uL 有限，则： iL( 0+ )=iL( 0- )
3. 电路初始值的确定
电路初始值 独立初始值：uC (0+)、 iL(0+)； 非独立初始值：其余电量在t= 0+时的值；
应用条件：一阶电路；开关激励 时间常数计算：RC电路：；
RL电路：； 实际现象讨论：
（1） 当负载端接有大电容时，电源合闸可能会产生冲击电流。
（1）
（2）
（2） 当负载端接有大电感时，开关断开可能会产生冲击电压。
一阶电路与二阶电路PPT
t 0
t RC
duc (t ) U 0 e dt R
t0
3.解的物理含义：uc及i的波形
从图可见，电容电压从初始值U0开始按指数规律衰减到0， 电流在换路瞬间有1个跳变，从i(0-)=0跳变到i(0+)=U0/R, 然后按指数规律衰减到0。
U0 U0 R
U0 R
图
RC 电路零输入响应 电压电流波形图
图示一阶RC电路，电容处于零状态， 求电路中的响应。
＋
ic(t) C
物理过程分析：
理论求解：
(t ) R
－
iR(t)
+ uc(t) _
1.列方程： ic (t ) iR (t ) (t )
第四章 一阶电路与二阶电路
4.1 一阶电路的零输入响应 4.2 一阶电路的阶跃响应
4.3 一阶电路的冲激响应
4.4 一阶电路对阶跃激励全响应 4.5 二阶电路的冲激响应
学 习 目 标
深刻理解零输入响应、零状态响应、暂态响 应、稳态响应的含义，并掌握它们的分析计算 方法 。 理解一阶电路阶跃响应和冲击响应的概念。 熟练掌握输入为直流信号激励下的一阶电路的 三要素分析法。 了解二阶电路的冲击响应。
L R
RC电路： RC
L RL电路： R
R多数情况下是等效电阻。
例1：求换路后的零输入响应i(t)和u0(t)：
分析： 换路前为直流电路，电容开路 S1(t=0) +uC(t) - 20 + 200 0.02uF u c (0 ) u c (0 ) 60 120V + 60 u0(t) 60 40 200V 60 80 换路后电容两端看进去的等效电阻 Req 60 80 2 100
阶跃响应与冲激响应1
duC uC C + = δ (t) dt R
图 6.30
duC uC C + = δ (t) dt R
对方程积分并应用冲击函数的性质得：
图 6.30
∫
0+
0
duC uC +∫ = ∫ δ (t ) = 1 C 0 dt R 0
0+
0+
因为 uc不是冲激函数，否则电路的 KVL 方程中将出现冲击函 数的导数项使方程不成立，因此上式第一项积分为零，得：
L[iL (0 ) iL (0 )] = 1,
+
1 iL (0 ) = ≠ iL (0 ) L
+
说明电感上的冲激电压使电感电流发生跃变。
2） t＞0+ 后冲击电源为零，电路为一阶 RL 零输入响应问题， 如图 6.34 所示， 因此
iL = iL (0 + )e
t
τ
1 τt = e , t ≥ 0+ L
duC 1 2t iC = C = e ε (t ) mA dt 5
由齐次性和叠加性得实际响应为：
1 2t 1 2 ( t 0. 5 ) iC = 5[ e ε ( t ) e ε ( t 0.5)] 5 5
= e ε (t ) e
2 t
2 ( t 0. 5 )
ε ( t 0.5) mA
1
1
(1) u ( t )ε ( t )
( 2 ) u ( t 1)ε ( t )
0
2 t 1
－1
0
1
t
( 3 ) u ( t 1)ε ( t 1) 1
( 4 ) u ( t 2 )ε ( t 1 )
一阶电路
uc (t0 + τ ) = U0e
(t0 +τ )
τ
= U0e1e τ = e1uc (t0 ) = 0.368uc (t0 )
t0
即经过一个时间常数后，衰减了63.2%，成为原来的 36.8%。 t = 2τ , t = 3τ , t = 4τ ....,时刻的电容电压值列于下表中。
t Uc(t) 0 U0 2 3 4 5 … 0 0.368U0 0.135U0 0.05U0 0.018U0 0.007U0 …
Lp + R = 0
p = R L
＋
这也是一阶齐次微分方程。令 i = Ae
pt
i ＋ L uL －
uR
－ －
di 而 u R = Ri ， u L = L dt 电路的微分方程为 di L + Ri = 0 dt
S
＋ U0 －
i ＋ uL －
R
R
根据 i(0+) =i(0) = I0 代入上式可求得 有 i = i(0 )e +
t
τ
A = U S
t
uC = U S U S e
τ
= U S (1 e τ )
t
t
duc U S τ i =C = e dt R
能量：W R =
=
∫
∞
0
i 2 Rdt =
2
∫
∞
0
U S τ 2 ( e ) Rdt R
t
1 CU 2
S
充电率只有50%。 消耗的能量与R无关。
uC
i uC ′
uC US R
RC
方程通解 u C = u C + u C ′ uC = U S 特解 t 则对应齐次方程通解为 uC ″ = Ae τ
一阶电路的冲激响应基础知识讲解
2. t > 0 零输入响应 (C放电)
uC
1 C
t
e RC
(t 0)
iC + R C uC
iC
uC R
1
t
e RC
RC
(t 0)
uC
(0
)
1 C
uC
1
C
全时间域表达式：
o
t
uC
1 C
t
e RC (t )
iC
iC
(t)
1 RC
e
t
RC (t )
(1) o 1
t
RC
例2.
+
(t)
1 L
i L (0
)
iL (0
)
1 L
0
0 uLd
1 L
2. t > 0 (L放电)
L
R
iL
1
e
t
L
t 0
uL
iLR
R L
t
e
t0
全时间域表达式：
iL
1
e
t
(t)
L
uL
(t)
R L
t
e (t)
R iL
+ L uL
iL(0 )
1 L
iL
1 L
o uL
(t)
o R
L
t t
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卷积积分
一、卷积积分(Convolution)的定义
定义：设 f1(t)， f2(t) t < 0 均为零
t
f1(t )* f2 (t ) 0 f1( ) f2 (t )d
二、卷积积分的性质
性质1 f1(t)* f2(t) f2(t)* f1(t)
一阶电路和二阶电路
iL Is
t
iL Ae L R
iL
=
I (1 S
e-
R L
t
)
A由初值： A Is
uL
=
L diL dt
=
IS Re- RLt
佛山科§学7技-术3学院 一阶电路的零状态响应
现代制造装备工程技术开发中心
佛山科§学技7术-学2院 一阶电路的零输入响应
现代制造装备工程技术开发中心
t=0时 , 打开开关K，求uv。
电压表量程：50V 现象 ：电压表坏了
分析
iL (0+) = iL(0-) 1 A
iL e t /
L 4 4104 s
R RV 10000
uV RV i L 10000e 2500t t 0
uV (0+)= - 10000V 造成 V 损坏。
佛山科§学7技-术2学院 一阶电路的零输入响应
现代制造装备工程技术开发中心
四、小结 <一阶电路零输入响应的求解>
+
P
C Uc
P
iL
-
u(0 ) uc (0 ) U0
iL (0 ) iL (0 ) I0
分析：戴维南定理化简
佛山科§学技7术-学2院 一阶电路的零输入响应
3)作 0 等效电路
L 用一电流为 iL (0 )的电流源代替 C 用一电压为 uc (0 )的电压源代替
4) 求解0电路。求出其它 f (0 )
佛山科§学技7术-学1院动态电路的方程及其初始条件
现代制造装备工程技术开发中心
(1) 由0-电路求 uC(0-) 或 iL(0-) uC(0-)=8V
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R
i C
+ uC –
1 R
已知 uC (0－)=0，求电路的单 位阶跃响应uC(t)和i(t)。
(t )
1 0
uC t
uC (t ) (1 e ) (t ) t 1 RC i (t ) e (t ) R
i
1 RC e (t ) R
t
t RC
0
区 1/R 别 t 0
R 2 L/C
R 2 L/C R 2 L/C
过阻尼 临界阻尼 欠阻尼
uC A1e
p1t
A2e
p2 t
uC ( A1 A2t )e t
uC Ae
t
sin( t )
19
下次课内容：
第8章 相量法
作业：7-28，7-30
20
i 1
R
e
t RC
t0
t
4
阶跃响应的性质：设激励为 (t)时，响应为s(t)。
1）线性性质：若激励为k (t)，则响应为ks(t)。 2）时不变性：若激励为 (t-t0)，则响应为s(t-t0)。 例 已知uC(0-)=0，求图示电路中电流iC(t)。 + 10k uS iC 10k 100F
R
i
+ uC –
电容充电，零状态响应 C (t ) duC RC uC (t ) dt 0 0 0 0 duC 0 RC dt dt 0 uCdt 0 (t )dt 注意：uC不是冲激函数，否则KVL不成立。
RC uC (0 ) uC (0 ) 1
(t)
C
+ uC -
d 2 uC duC LC 2 RC uC (t ) dt dt
0 d uC duC 0 LC dt 2 dt 0 RC dt dt 0 uCdt 0 (t )dt 0 0 0 2
0
0
有限值
有限值
18
duC duC LC (0 ) LC (0 ) 1 dt dt duC 1 uC (0 ) uC (0 ) 0 iL (0 ) C (0 ) dt L L iL R 1 u ( 0 ) 0 2）t ≥0+： C iL (0 ) + L uC 2 C d uC duC LC 2 RC uC 0 dt dt
1
2
(t )dt 1
(t) 1（强度）
2
0
t
0
冲激函数的形成
t
10
2）单位冲激函数的延迟
(t – t0) 1
0
(t-t0) = 0，t≠0
t
t0
t
(t t0 )dt 1
3）单位冲激函数的性质
① (t)与 (t)的关系
t
( )d
1 u C (0 ) RC
发生突变
13
1 2 ） t ≥0 +： u C ( 0 ) RC 电容放电，零输入响应
1 uC (t ) e RC
t RC
R
i
C + uC –
t 0
RC电路的单位冲激响应： KVL： RiC uC (t )
1 uC (t ) e RC uC 1
f (t ) (t t0 )dt f (t0 )
Байду номын сангаас
单位冲激函数的筛分性质又称为取样性质。 2. 一阶电路的冲激响应 一阶电路在单位冲激激励作用下电路的零状态响 应称为单位冲激响应，记为h(t)。
12
例1 已知uC(0-)=0，求RC电路的单位冲激响应.
解 1）0–≤t ≤0+：uC(0-)=0
t
根据叠加定理，得到电路的响应为： iC (t ) 10s(t ) 10s(t 0.5)
e 2t (t ) e 2(t 0.5) (t 0.5) mA
2 t e mA (0 t 0.5 s) 分段表示为： i C (t ) - 2(t -0.5) 0.632 e mA (t 0.5 s)
1
iC(mA)
波形 0.368
0 0.5
t(s)
-0.632
6
3.二阶电路的阶跃响应 例 已知图示电路中uC(0-)=0, iL(0-)=0，求单位阶跃 响应 iL(t)。
(t )A iR
iC 2F
iL 0.25H
iS
0.2
0.5iC
解
列写电路方程： iR iC iL 0.5iC (t )
t
R
t
+ uL -
iL L
RL电路的单位冲激响应： KVL： Ri L uL (t )
R uL (t ) (t ) e (t ) L
1
R L
t
uL t
16
L
0
0
t
单位冲激响应与单位阶跃响应的关系： e(t)
激励 零状态
r ( t) 响应
e(t ) (t ) e(t ) (t )
0 1
t ≤0 t ≥0
d (t ) (t ) (t ) dt (t ) dt (t)等于 (t)的积分 (t)等于 (t)的导数
11
② (t)的“筛分”性质
(t) f (t)· (t) = f (0)·
同理：
f (t ) (t )dt f (0) (t )dt f (0)
uS(V) 10
0
0.5
t(s)
应用叠加定理
求单位阶跃响应s(t)
uS 10 (t ) 10 (t 0.5)V uC (0 ) uC (0 ) 0 iC () 0
iC (0 ) 0.1mA
Req C 0.5s
5
s (t ) iC () [iC (0 ) iC ()]e 0.1e 2t (t) mA
0.25 p 2 1.25 p 1 0
p1 1 p2 4
iL 1 A1 e t A2 e 4t
解得：
代入初始条件： iL (0) iL (0 ) 0
diL dt 4uC (0 ) 4uC (0 ) 0
t 0
8
得到：
1 A1 A2 0 A1 4 A2 0
0
f (t ) (t ) (t 1) (t 2) (t 3)
(t 1) (t 1)
0
t
f (t ) t (t ) (t 1) (t 1)
3
2.一阶电路的阶跃响应 一阶电路在单位阶跃激励作用下电路的零状态响应 称为单位阶跃响应，用s(t)表示。
f( t)
f ( t)( t t0 )
U S (t )
O
t0
t
O
t0
t
2
4）用单位阶跃函数表示复杂信号
f (t) 1 0 t0 t 1 t0 - (t- t0) 0 t
(t)
f (t ) (t ) (t t0 )
f (t) 2 1
1
1 2 3 t
f( t) 1
t (t )
4 A1 3
1 A2 3
单位阶跃响应：
4 t 1 4 t iL (t ) 1 e e (t )A 3 3
电路的动态过程是过阻尼性质。
9
§7-7 一阶和二阶电路的冲激响应
1. 单位冲激函数
p(t)
1）单位冲激函数的定义
(t) = 0，t≠0
RC
t RC
(t )
1 1 RC iC (t ) (t ) 2 e (t ) R RC
1 iC R 1 2 RC
t
0
t
14
0
t
例2 已知iL(0-)=0，求RL电路的单位冲激响应. R 解 1）0 ≤t ≤0 ：i (0 )=0
– + L -
电感充电，零状态响应
+
(t ) diL L Ri L (t ) dt 0 0 di 0 0 L 0 L dt dt 0 RiLdt 0 (t )dt
§7-7 一阶和二阶电路的阶跃响应
1.单位阶跃函数 1）单位阶跃函数的定义
(t )
1 0 t
(t)=
0， t < 0 1， t > 0
2）单位阶跃函数的延迟
(t – t0)
1
( t- t 0 ) =
0 ， t < t0 1 ， t > t0
0
t0
t
1
3）单位阶跃函数的作用 ① 表示开关动作 （t = 0 ） S US u ( t) ② 起始信号作用
d (t ) (t ) dt
t
r (t ) s(t ) r (t ) h(t )
ds (t ) h(t ) dt
t
(t ) ( )d s(t ) h( )d
17
3. 二阶电路的冲激响应 例 已知uC(0-)=0，iL(0-)=0，求RLC电路的单位冲激 响应. L iL R 解 1）0–≤t ≤0+：uC(0-)=0 duC 1 (0 ) iL (0 ) 0 dt C + -
LiL (0 ) iL (0 ) 1
1 发生突变 iL (0 ) L