高等数学隐函数求导

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高等数学---隐函数

3. 参数方程求导法转化极坐标方程求导
求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
4. 相关变化率问题列出依赖于 t 的相关变量关系式
对 t 求导
相关变化率之间的关系式
再求速度方向 (即轨迹的切线方向):
设为切线倾角, 则
抛射体轨迹的参数方程
速度的水平分量速度的方向
垂直分量
在刚射出 (即 t = 0 )时, 倾角为
达到最高点的时刻
高度
落地时刻
抛射最远距离
例6. 设由方程
确定函数
求
解: 方程组两边对 t 求导 , 得
故
三、相关变化率
为两可导函数
之间有联系
之间也有联系
可用对数求导法求导 :
注意: 按指数函数求导公式按幂函数求导公式
2) 有些显函数用对数求导法求导很方便 . 例如,
两边取对数
两边对 x 求导
又如,
两边取对数对 x 求导
二、由参数方程确定的函数的导数
若参数方程
可确定一个 y 与 x 之间的函数
关系,
可导, 且
则
时, 有
时, 有
(此时看成 x 是 y 的函数 )
若上述参数方程中则由它确定的函数
利用新的参数方程
二阶可导, 且
可求二阶导数 .
,可得
注意 : 已知
?
例4. 设
,且
求
解: 练习: P109 题8(1) 解:
例5. 抛射体运动轨迹的参数方程为
求抛射体在时刻 t 的运动速度的大小和方向. 解: 先求速度大小:
速度的水平分量为
Байду номын сангаас垂直分量为
故抛射体速度大小

《高等数学》课件5第五节隐函数的求导公式 ppt

① 在点
的某邻域内具有连续偏导数,
② F( x0 , y0 , z0 ) 0,
③ Fz ( x0 , y0 , z0 ) 0
则方程 F( x, y, z) 0在点
某一邻域内可唯一确定
一个连续且具有连续偏导数的函数 z = f (x , y) ,
满足
并有
z Fx , x Fz
定理证明从略.
它满足条件 y(0) 1, 且
dy Fx x .
dx Fy y y = y (x)
d2 y dx 2
d dx
(
x) y
y
x
y2
y
y
x( y2
x) y
1 y3
,
dy 0,
dx x0
y1
d2 y dx2 x0 1.
y1
II. F( x, y, z) 0
定理2. 若函数 F ( x, y, z) 满足:
zz
zz
fu du fv dv 0
x fu d( z )
fv
d( y ) z
0
f1
(
z
d
x z2
x
dz
)
f2
(
zd
y
z2
y
dz
)
0
x f1 y f2 z2
dz
f1d x f2 d y z
dz z f1 d x z f2 d y
x f1 y f2
x f1 y f
z z F1 , x x F1 y F2
F ( x, G( x,
y, u, v) y, u, v)
0 0
有隐函数组
则
GF
对 x 求导
Fx

高等数学上24隐函数的导数对数求导法由参数方程所确定函数的导数

结束
若函数 xy ((tt))二阶可 , 导
d2 y dx2

d (dy) dx dx

d ((t)) dt dt (t) dx
d2y dx 2

d dt

(t ) ( t )

dx
dt
(t)( t) 2( t)(t)(t)1 (t)
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结束
x a(t sint) y a(1cost)
x a cos3 t

y

a
sin 3
t
2
2
2
x3 y3 a3
首页
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结束
x2 y2 axa x2 y2
a(1cost)
首页
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返回
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结束
ea
a
首页
首页
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返回
下页
结束
例8 一汽球从离5开 0m 0处观离察地员面铅
上升 ,其速率 14m 0为 /mi.当 n 气球高 50m 度 0时,为
观察员视线的率仰是角多 ? 增少加
解设t时刻 ,气球上升h高 ,观度察为员视线
的仰角 ,则为
tan h （相关方程）
500
四、隐函数的导数对数求导法由参数方程所确定函数的导数
隐函数的导数对数求导法由参数方程所确定函数的导数
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结束
1、隐函数的导数 P102
定义: 设在方程 F(x, y) 0中,当x取某区间内的任意值 , 相时应地总有满足这的方程唯一y的值存,在那么就说方F程 (x, y) 0在该区间内确定了一函个数y隐 f (x).

高等数学9_6隐函数求导

导数的另一求法 — 利用隐函数求导
sin y ex xy 1 0, y y(x)
两边对 x 求导
两边再对 x 求导
y x 0
ex cos
y y
x
(0,0)
sin y ( y)2 cos y y
令 x = 0 , 注意此时 y 0 , y 1
d2y dx2
x 0 3
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定理2 . 若函数 F(x, y, z)满足:
① 在点
的某邻域内具有连续偏导数 ,
② F(x0 , y0, z0 ) 0 ③ Fz (x0 , y0, z0 ) 0
则方程
在点
某一邻域内可唯一确
定一个单值连续函数 z = f (x , y) , 满足
并有连续偏导数
z Fx , z Fy x Fz y Fz
化简得
x f dy
F2 dy 消去d y 可得 dz .
dx
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第六节隐函数的求导方法
一、由一个方程所确定的隐函数的求(偏)导公式
二、由方程组所确定的隐函数组的求(偏)导法则
三、全微分法
本节讨论 :
1) 方程（组）在什么条件下才能确定隐函数 . 2) 在方程（组）能确定隐函数时,研究其连续性、可微性及求(偏)导方法问题 .
一、由一个方程所确定的隐函数的求导公式
dy dx
Fx x 0 Fy
x
0
ex y cos y x
d2y dx2 x 0
d ( ex y ) dx cos y x
x 0, y 0
( ex y)(cos y x) (ex y)(sin y y 1)

隐函数的求导法则

隐函数的求导法则在高等数学中，人们经常要研究使用函数表示不明确的关系的问题。

具有x和y两个自变量的方程通常也称为隐函数。

在这种情况下，求导的方法与单变量函数的情况有所不同。

假设我们有一个方程f(x,y)=0代表一个隐函数。

如果我们将y表示为x的函数，那么我们可以使用求导规则计算dy/dx。

我们用y=f(x)来代表意味着y是x的函数，在这种情况下，我们可以将原始方程看成f(x,f(x))=0。

现在我们需要将它们进行求导：通过链式法则，我们得到：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx = 0解决方程，我们可以得到dy/dx：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y)这就是隐函数的求导法则。

现在我们来看几个例子。

例子1：考虑方程x^2+y^2 = 1，代表一个圆形。

假设我们需要求通过点(0.5,0.866)的圆的斜率。

我们可以通过对方程隐式地求导来解决这个问题。

从方程中得到：2x + 2y * dy/dx = 0这个时候，我们用点(0.5,0.866)代入求导公式：dy/dx = -(∂f/∂x)/(∂f/∂y) = -x/y = -0.577例子2：考虑方程x^2+y^2+z^2 = 1，代表一个球。

假设要求通过点(0.5, 0.866, 0)的球的切平面。

我们如何确定这个平面的法向量？这里我们可以思考什么会构成法向量：从点(0.5, 0.866, 0)向球的中心(0,0,0)所成的向量，然后我们将这个向量投影在切平面上。

我们可以通过隐函数求导的方法来找到它的方向。

从方程中得到：2x + 2y * dy/dx + 2z * dz/dx = 0我们需要知道dz/dx的值，但只有两个自变量，我们该怎么办？我们可以再次隐式地求导。

我们有这样的等式：∂f/∂x + ∂f/∂y * dy/dx + ∂f/∂z * dz/dx = 0将方程放入这个等式，我们得到：(1) + y * dy/dx + z * dz/dx = 0然后再用我们之前求出的dy/dx代替，得到：(1) + y * (-x/y) + z * dz/dx = 0然后代入我们想要的点，我们得到：dz/dx = -x * z/y = (-0.5) * 0/0.866 = 0现在我们知道了dz/dx = 0。

高等数学第八章第4节隐函数的求导公式

求导，将所给方程的两边对 y 求导，用同样方法得
∂u xv − yu , = 2 2 ∂y x + y
∂v xu + yv . =− 2 2 x +y ∂y
18
x + y + z = 0 du 例6 u = sin xy , 且 2 2 2 , 求 . dz x + y + z = 1
解 : 方程组对求导方程组对z
1(1)(3),2,3,4
B组组
1,3

思考题
x y 为可微函数，已知 = ϕ ( ) ，其中ϕ 为可微函数， z z ∂z ∂z 求x + y =? ∂x ∂y
22
思考题解答
1 则 Fx = ， z −x y (− y ) y 1 Fy = −ϕ ′( ) ⋅ , Fz = 2 − ϕ ′( ) ⋅ 2 , z z z z z y − zϕ ′ ( ) Fy ∂z ∂z Fx z z , =− = , =− = Fz x − yϕ ′( y ) Fz x − yϕ ′( y ) ∂y ∂x z z
F ( x , y , u( x , y ), v ( x , y )) = 0 ∴ G ( x , y , u( x , y ), v ( x , y )) = 0 方程组对x 方程组对求偏导
∂u ∂v Fx + Fu ∂x + Fv ∂x = 0 G + G ∂u + G ∂v = 0 u v x ∂x ∂x
19
三、小结
（分以下几种情况）隐函数的求导法则分以下几种情况）
(1) F ( x , y ) = 0
( 2) F ( x , y , z ) = 0

高等数学 2-6隐函数的导数、由参数方程所确定的函数的导数、相关变化率

上式两边对 x求导得
y′ 1 1 2 = + − −1 y x + 1 3( x − 1) x + 4
∴ y′ =
( x + 1)3 x − 1 1 1 2 [ + − − 1] 2 x ( x + 4) e x + 1 3( x − 1) x + 4
sin x ( x > 0), 求y′. 例 5设 y = x
三、由参数方程所确定的函数的导数
x = ϕ (t ) 若参数方程确定 y与x间的函数关系, 称此为 y = ψ (t ) 由参数方程所确定的函数.
例如
x = 2t , x ⇒ t = 消去参数 t 2 2 y = t ,
x2 1 x ∴ y′ = x ∴ y = t 2 = ( )2 = 2 4 2
7
dy = dx
ห้องสมุดไป่ตู้
t =t0
=
(2) 炮弹在 t 0时刻沿 x, y轴方向的分速度为 dx dt dy vy = dt vx =
t =t 0
= (v0t cos α )′ t =t0 = v0 cos α = (v0t sin α − 1 2 gt )′ t =t0 = v0 sin α − gt 0 2
4000
600
解：设时刻 t水深为h(t ), 水库内水量为V (t ), 则
V (t ) = 4000 3h 2
6
上式两边对t求导得
Q
dV dh = 8000 3h ⋅ dt dt
dV = 28800米 3 / 小时, ∴当h = 20米时, dt dh ≈ 0.104米 / 小时 dt
五、小结隐函数求导法则: 直接对方程两边求导; 对数求导法: 对方程两边取对数,按隐函数的求导法则求导; 参数方程求导: 实质上是利用复合函数求导法则; 相关变化率: 通过函数关系确定两个相互依赖的变化率; 解法: 通过建立两者之间的关系, 用链式求导法求解.

高等数学第8章五节隐函数的求导公式最终

d y x y x y y y x y . dx y x
3
引例:已知
e
x y
xy 0 确定 y y( x ), 求 y( x )
e
x y
(1 y) (y xy) 0
注意此方程能确定一个一元函数，是在y可导的前提下进行的．并不一定都能确定一元函数．
10
练习P102 2
y dy 已知 ln x y arctan , 求 . x dx
2 2
解
公式法
令 F ( x , y ) ln x 2 y 2 arctan y , x x y y x , Fy ( x , y ) 2 , 则 Fx ( x , y ) 2 2 2 x y x y x y dy Fx . y x dx Fy
x2 y2 z2 解法一公式法令 F ( x , y , z ) 2 2 2 1 a b c 2x 2z 则 Fx 2 , F y 2 y , Fz a b2 c2
z c x 2 , x a z
2
c y z 2 b z y
2
( z 0)
在求Fx , Fy, Fz时, 将F(x, y, z)看作是 x, y, z的三个自变量的函数.
能确定
dy 一个隐函数y = f (x), 并求 . dx
x y 记证 F ( x, y ) xy e e , 则
Fx ( x , y ) y e x 与Fy ( x , y ) x e y
隐函数存在定理1
隐函数 y = f (x), 且
x dy Fx ye . y dx Fy xe
dy Fx ( x , y ) dy Fx . 或简写: dx Fy ( x , y ) dx Fy

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2)
t0
e 2
28
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一、填空题：
练习题
1、设 x 3 2x 2 y 5 xy 2 5 y 1 0确定了 y 是 x 的函
数，则dy =________. dx (1,1)
2、曲线 x 3 y 3 xy 7在点（1，2）处的切线方程是___________.
的导数 dy, dx
dy dxx 0.
解视yy(x),方程两 x求边 ,导得对
y
x dy dx
ex
ey
dy dx
0
解得
dy dx
ex y x ey
,
由原方x 程 0时知 , y0,
ddxyx0
exxeyy
x0 y0
1.
25
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作业
P82 1(2)(3) ; 2 ; 4 (2) (4) ; 5 (1) (2); 6 (2) ; 8
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内容小结
1. 隐函数求导法则
直接对方程两边求导
2. 对数求导法 : 适用于幂指函数及某些用连乘, 连除表示的函数
3. 参数方程求导法求高阶导数时,从低到高每次都用参数方程求导公式
23
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思考与练习
1. 设 y y(x) 由方程 f (x3 y3) sin 3x 6y 0 确定,
x2 16
y2 9
1
在点 (
2
,
3 2
3 ) 处的切线方程.
解: 椭圆方程两边对 x 求导
x 2 y y 0 89
y
x2
y
3 2
3
9 x 16 y
x2
y
3 2
3
3 4
故切线方程为 y 3 3 3 (x 2)
2
4
即
3x 4y 8 3 0
4
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练习：求由方程 x y 1 sin y 0 确定的隐函数 2
32
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练习题答案
一、1、 4 ； 3
2、 x 11 y 23 0
3、
2
x
y
2
0；
4、sin t cos t
cos sin
t t
,2
3；
5、exx yex
y
y
.
二、1、 1 ； y3
2、-2csc2 ( x y) cot 3 ( x y)；
3、 y(ln y 1)2 x(ln x 1)2 . xy(ln y 1)3
26
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思考题
1. 设 y x ex , 求其反函数的导数 .
解: 方法1 d y 1 ex dx
dx dy
1 y
1
1 e
x
方法2 等式两边同时对 y求导
1
d d
x y
ex
d d
x y
d d
x y
1
1 e
x
27
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2.
设
x 3t 2 2t
的二阶导数d 2 dx
y
2
：
1、x2 y2 1 ；
2、 y tan(x y) ；
3、x y y x ( x 0，y 0).
三、用对数求导法则求下列函数的导数： 1、y x x2；
2、y
x 2(3 x)4 ； ( x 1)5
3、 y x sin x 1 e x .
31
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d dt
( dy ) dx
/
dx dt
3acsoe2s2cttsint
sec4 t 3a sin t
18
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例6
求摆线
x y
a(t a(1
sin t) cos t)
在t
2
处的切线
方程 .
dy
解
dy dt dx dx
asint sint aacost 1 cost
函数、开方及其它适用于对数化简的函数的求导
9
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例4. 求 y xsin x (x 0) 的导数 .
解: 两边取对数 , 化为隐式
ln y sin x ln x
两边对 x 求导
1 y
y
cos
x
ln
x
sin x
x
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
且 f (x) 存在，求 dy . dx
解: 方程两边对x 求导, 得
f (x3 y3)(3x2 3y2 dy ) 3cos 3x 6 dy 0
dx
dx
dy cos 3x f (x3 y3) x2 dx f (x3 y3) y2 2
24
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2.求由方程 xyexey0所确定的隐函数 yy(x)
e
y
sin
t
y
1
0
,求dy . d x t0
解：方程组两边同时对 t 求导, 得
d x 6t 2 dt
e y d y sin t e y cos t d y 0
dt
dt
d d
y t
e y cos t 1 e y sin
t
dy d x t0
dy dt dx dt
t
0
e y cos t (1 e y sin t)(6t
y5 2 y x 3x7 0 可确定 y 是 x 的函数 ,
但此隐函数不能显化 .
隐函数求导方法: F (x, y) 0
两边对 x 求导( 注意 y = y(x) )
d F (x, y) 0 (含导数 y的方程)
dx
2
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例1. 求由方程 y5 2 y x 3x7 0 确定的隐函数
例7. 设
x f (t) y t f (t)
f
(t)
,
且
f
(t)
0,求
d2 dx
y
2
.
解:
d y dx
t f (t) f (t)
t,
d2 y d x2
1
f (t)
练习:
x
1 2
t
2
y 1t
,
求 dy , d2y . dx dx2
解:
dy dx
1; t
d2 y d x2
1
t 2t
1 t3
21
y
y(x)
在
x
=
0
处的导数
dy dx
x
0.
解: 方程两边对 x 求导
d (y5 2y x 3x7 ) 0 dx
得 5y4 d y 2 d y 1 21x6 0 dx dx
dy dx
1 21x6 5y4 2
因x=0时y=0,
故
dy dx
x
0
1 2
3
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例2.
求椭圆
33
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三、1、 x x2 1 (2 ln x 1)；
2、
x
2(3 ( x 1)5
x)4
[
2(
1 x
2)
3
4
x
x
5
]； 1
1 3 、2
x sin x
1
e
x
[
1 x
cot
x
ex 2(1 e
x
] )
)
(t
)
17
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例5 求由方程 x y a a c s o in s 3 3 tt表示的函数的一阶及二阶导数 .
dy 解 dy dt
dx dx
3asin2 tcost
3acos2 t(sint) tatn
dt
d2 y dx2
d (dy) dx dx
10
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求 y xsin x (x 0) 的导数 .
y x e 解:
sin x
e ln xsin x
sin xln x
y (esin xln x ) esin xln x (sin x ln x )
esin
xln
x
(cos
x
ln
x
sin x
x)
y xsin x(cos x ln x sin x ) x
12
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又如, y
(x 1)(x 2) (x 3)(x 4)
两边取对数
( ln u ) u u
ln y 1 ln x 1 ln x 2 ln x 3 ln x 4
2
对 x 求导
y 1 1 1 1 1
y 2 x 1 x 2 x 3 x 4
第四节
第二章
隐函数和参数方程求导
一、隐函数的导数二、由参数方程确定的函数的导数
1
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一、隐函数的导数
若由方程 F (x, y) 0 可确定 y 是 x 的函数 , 则称此
函数为隐函数 . （隐函数的显化）
由 y f (x) 表示的函数 , 称为显函数 . 例如, x y3 1 0 可确定显函数 y 3 x 1
3、曲线
x y
t t
cos t sin t
在t
2
处的法线方程________.

高等数学 隐函数求导