概率论习题五答案

概率论与数理统计（复旦第三版）

习题五 答案

1.一颗骰子连续掷4次，点数总和记为X .估计P {10

【解】设(1,2,3,4)i X i =表示第i 次掷的点数，则4

1i i X X ==∑

22222221111117()123456,666666211111191()123456,6666666

i i E X E X =?+?+?+?+?+?==?+?+?+?+?+?= 从而 2

2291735()()[()].6212i i i D X E X E X ??=-=-= ??? 又1234,,,X X X X 独立同分布.

从而 44117()()()414,2

i i i i E X E X E X =====?=∑∑

44113535()()()4.123

i i i i D X D X D X =====?

=∑∑ 所以 2

35/3{1018}{|14|4}10.271,4P X P X <<=-<≥-≈ 2. 假设一条生产线生产的产品合格率是.要使一批产品的合格率达

到在76%与84%之间的概率不小于90%，问这批产品至少要生产

多少件？

【解】设至少要生产n 件产品才能满足要求，

令1,

,0,i i X i ?=??第个产品合格第个产品不合格. 1,2,,i n =L ，

则 12,,,n X X X L 相互独立且服从相同的（0—1）分布，{}10.8i p P X ===

现要求n ,使得

10.760.840.9.n i i X P n =??????≤

≤≥????????

∑ 根据独立同分布的中心极限定理得

0.8n i X n P ??-??≤≤????

∑

0.9,=Φ-Φ≥ 整理得

0.95,10?Φ≥ ??

查表

1.64,≥ n ≥, 故取n =269.

3. 某车间有同型号机床200部，每部机床开动的概率为，假定各机

床开动与否互不影响，开动时每部机床消耗电能15个单位.问至

少供应多少单位电能才可以95%的概率保证不致因供电不足而影

响生产.

【解】设需要供应车间至少15m ?个单位的电能，这么多电能最多能

同时供给m 部车床工作，我们的问题是求m 。

把观察一部机床是否在工作看成一次试验，在200次试验中，

用X 表示正在工作的机床数目，则~(200,0.7)X B ,

()2000.7140,

()(1)2000.70.342,E X np D X np p ==?==-=??=

根据题意，结合棣莫弗—拉普拉斯定理可得

0.95{}P X m P =≤=≤=Φ

查表知 1.64,42= ,m =151. 所以供应电能151×15=2265（单位）.

4. 一加法器同时收到20个噪声电压k V （1,2,,20k =L ），设它们是相

互独立的随机变量，且都在区间（0，10）上服从均匀分布.记

20

1k k V V ==∑，求P {V ＞105}的近似值.

【解】易知: ()5,()100/12(1,2,,20)k k E V D V k ===L 。由独立同分布的中心极限定理知，随机变量

201205

~(0,1).10010020201212k k V Z N =-?==??∑近似的 于是 105205{105}1010020201212P V P ????-??>=>??????????

1000.3871(0.387)0.348,102012V P ????-??=>≈-Φ=?????????

即有 P {V >105}≈

5. 有一批建筑房屋用的木柱，其中80%的长度不小于3m.现从这批木

柱中随机地取出100根，问其中至少有30根短于3m 的概率是多

少？

【解】设100根中有X 根短于3m ，则X ~B （100，）.由棣莫弗—

拉普拉斯定理得

{30}1{30}111(2.5)0.0062P X P X P ??≥=-<=-<≈-Φ=-Φ=

6. 某药厂断言，该厂生产的某种药品对于医治一种疑难的血液病的治愈率为.医院检验员任意抽查100个服用此药品的病人，如果其

中多于75人治愈，就接受这一断言，否则就拒绝这一断言.

（1） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是，问 接受这一断言

的概率是多少？

（2） 若实际上此药品对这种疾病的治愈率是，问 接受这一断言

的概率是多少？

【解】设1,,1,2,,1000,.i i X i ?==??L 第人治愈其他 ，则12100,,,X X X L 相互独

立且服从相同的(01)-分布，因此 100

1

~(100,)i i X X B p ==∑

(1)当0.8p =时， ~(100,0.8)X B ，由 棣莫弗—拉普拉斯定理得

100

1{75}1{75}1i i P X P X =>=-≤≈-Φ∑

1( 1.25)(1.25)0.8944.=-Φ-=Φ=

(2) 当0.7p =时， ~(100,0.7)X B ，由棣莫弗—拉普拉斯定理得

100

1{75}1{75}1111(1.09)0.1379.i i P X P X P =>=-≤=-≤≈-Φ=-Φ=-Φ=∑

7. 用拉普拉斯中心极限定理近似计算从一批废品率为的产品中，任

取1000件，其中有20件废品的概率.

【解】设1000件中废品数为X ，则

0.8p =，1000n =， ~(1000,0.05)X B ，

E (X )=50，D (X )=.

由拉普拉斯局部极限定理得

130{20} 6.895 6.895P X ???=≈=- ???

6130 4.510.6.895 6.895?-??=

=? ???

22(())x x e ?-=注：

8. 设有30个电子器件.它们的使用寿命1230,,,T T T L 服从参数0.1λ=（单

位：1h -）的指数分布，其使用情况是第一个损坏第二个立即使

用，以此类推.令T 为30个器件使用的总计时间，求T 超过350

小时的概率.

【解】根据题意可知 11()10,0.1i E T λ=

== 21()100,i D T λ==

且 301i i T T ==∑ ，故

()1030300,E T =?= ()3000.D T =

根据独立同分布的中心极限定理得

{350}1{350}

111(0.913)0.1814.P T P T >=-≤≈-Φ=-Φ=-Φ= 9. 上题中的电子器件若每件为a 元，那么在年计划中一年至少需多

少元才能以95%的概率保证够用（假定一年有306个工作日，每

个工作日为8小时）.

【解】设一年中至少需要n 件电子器件，则 E (T i )=10，D (T i )=100，

1()10n i i E T n ==∑， 1()100n i i D T n ==∑

根据独立同分布的中心极限定理得

11030680.95n i n i i T n P T P =??-????≥?=≥=????????

∑∑ 即

0.05Φ≈ 故

0.95, 1.64272.n =Φ=≈

所以年计划中一年至少需要272a 元.

10. 对于一个学生而言，来参加家长会的家长人数是一个随机变量，

设一个学生无家长、1名家长、2名家长来参加会议的概率分别

为，，. 若 学校共有400名学生，设 各学生参加会议的家长数

相与独立，且服从同一分布.

（1）求参加会议的家长数X 超过450的概率？

（2）求有1名家长来参加会议的学生数不多于340的概率.

【解】（1） 以(1,2,,400)i X i =L 记第i 个学生来参加会议的家长数.则X i 的分布律为

易知E （X i =）, D (X i )=, i =1,2, (400)

而400

i i X X =∑,由独立同分布的中心极限定理得

400400 1.1~(0,1).4000.19419

i i X N -?=??∑近似地 于是{450}1{450}1419P X P X >=-≤≈-Φ ????

1(1.147)0.1357.=-Φ=

(2) 以Y 记有一名家长来参加会议的学生数.则Y ~B (400,由拉普拉

斯中心极限定理得

{340}4000.80.24000.80.2(2.5)0.9938.4000.80.2P Y P ≤=≤????≈Φ=Φ=?? 11. 设男孩出生率为，求在10000个新生婴儿中女孩不少于男孩的概率？

【解】用X 表10000个婴儿中男孩的个数，则X ~B （10000，）.

要求女孩个数不少于男孩个数的概率，即求 P {X ≤5000}.

由 棣莫弗—拉普拉斯定理得

{5000}100000.5150.485100000.5150.485(3)1(3)0.00135.100000.5150.485P X P ≤=≤??????≈Φ=Φ-=-Φ=?? 12. 设有1000个人独立行动，每个人能够按时进入掩蔽体的概率为.

以95%概率估计，在一次行动中：

（1）至少有多少个人能够按时进入掩蔽体？

（2）至多有多少个人能够按时进入掩蔽体？

【解】引入新变量 1,1,2,,10000,.i i X i ?==??L 第人其按时进入掩他蔽体,

，

则121000,,,X X X L 相互独立，且服从相同的(01)-分布。

记 121000X X X X =+++L ，则~(1000,0.9)X B

(1) 设 至少有m 人能够按时进入掩蔽体，要求 P {m ≤X }≥，

由棣莫弗—拉普拉斯定理知： {}1{}10.95.10000.90.1P m X P X m ≤=-<≈-Φ≥ ?????

从而 0.05,90Φ≤

??? 故 1.65,90

=- 所以 m ==≈884人

(2) 设至多有M 人能进入掩蔽体，要求P {X ≤M }≥.

{}0.95.909090P X M P ≤=≤≈Φ=?? 查表知90

=, M =900+=≈916人. 13. 在一定保险公司里有10000人参加保险，每人每年付12元保险

费，在一年内一个人死亡的概率为,死亡者其家属可向保险公司

领得1000元赔偿费.求：

（1）保险公司没有利润的概率为多大；

（2）保险公司一年的利润不少于60000元的概率为多大？

【解】设X 为在一年中参加保险者的死亡人数，则X ~B （10000，）.

(1) 公司没有利润当且仅当“1000X =10000×12”即

“X =120”.

由拉普拉斯局部极限定理可知，所求概率为

{120}P X =≈

21230.18110.0517e 0

--===?≈

(2) 因为“公司利润≥60000”当且仅当“0≤X ≤60”， 由棣莫弗—

拉普拉

斯定理可知，所求概率为

{060}P X ≤≤≈Φ-Φ

(0)0.5.?=Φ-Φ≈ ? 14. 设随机变量X 和Y 的数学期望都是2，方差分别为1和4，而相

关系数为试根据契比雪夫不等式给出P {|X -Y |≥6}的估计. （2001研考）

【解】令Z =X -Y ，有

()0,()()()()2 3.E Z D Z D X Y D X D Y ρ==-=+-=

所以

2()31{|()|6}{||6}.63612

D X Y P Z

E Z P X Y --≥=-≥≤== 15. 某保险公司多年统计资料表明，在索赔户中，被盗索赔户占20%，

以X 表示在随机抽查的100个索赔户中，因被盗向保险公司索赔

的户数.

（1） 写出X 的概率分布；

（2） 利用中心极限定理，求被盗索赔户不少于14户且不多于30户的概率近似值.

（1988研考）

【解】（1）每一次抽查看作一次试验，100次随机抽查看作100重伯

努利试验。而在每次试验中被盗户出现的概率是，因此，X ~B (100,，故X 的概率分布是

100100{}C 0.20.8,1,2,,100.k k k P X k k -===L

(2)由棣莫弗—拉普拉斯定理可知，所求概率为

{1430}P X P ≤≤=≤≤≈Φ-Φ (2.5)(1.5)0.994[9.33]0.927.=Φ-Φ-=--=

16. 一生产线生产的产品成箱包装，每箱的重量是随机的.假设每箱

平均重50千克，标准差为5千克，若用最大载重量为5吨的汽车承运，试利用中心极限定理说明每辆车最多可以装多少箱，才能保障不超载的概率大于.

【解】设各箱的重量为X i （i =1,2,…,n ）（单位：千克），n 为所求的

箱数。 12,,,n X X X L 可视为独立同分布的随机变量，而n 箱的总

重量1n

i i X X ==∑是独立同分布随机变量之和，由题设知，：

()50,i E X =

5,= ()50,E X n =

=

依独立同分布的中心极限定理，当n ~(0,1)

N 近似地,故箱数n 取决于条件

{5000}

P X P ≤=≤ 0.977(2).

≈Φ>=Φ 因此可从2

> 解出 n <, 取n=98 即最多可装98箱.