二次函数中面积最值问题
二次函数中三角形面积最大值问题的处理方法
二次函数中三角形面积最大值问题的处理方法二次函数是高中数学中一个经常出现的重要知识点，它在数学中有着广泛的应用，其中一个重要的应用就是处理三角形面积最大值问题。
在本文中，我们将介绍二次函数在处理三角形面积最大值问题中的基本方法和应用技巧。
1. 三角形面积最大值问题的基本原理三角形面积最大值问题指的是给定三边长度为a、b、c，求出以这三条边为边长的三角形的面积最大值。
根据海伦公式，三角形面积公式为：S = √[p(p-a)(p-b)(p-c)]其中p=(a+b+c)/2，是三角形半周长。
我们可以通过求解出上式的最大值来得到三角形的最大面积。
2. 二次函数相关知识介绍二次函数是形如y=ax^2+bx+c的函数，其中a、b、c 是常数，而x是自变量。
二次函数在数学中有着广泛的应用，其标准形式为：y=ax^2+bx+c（a≠0）其中a表示二次函数的开口方向和大小，常被称为二次函数的开口因子；b表示二次函数的对称轴的位置，常被称为二次函数的对称轴；c表示二次函数在y轴上的截距，即当x=0时，二次函数的函数值。
3. 二次函数求解三角形面积最大值的应用在二次函数求解三角形面积最大值的应用中，我们可以将三角形面积公式中的p表示为：p=(a+b+c)/2 = (x+y+z)/2然后使用二次函数y=f(x)表示√[p(p-a)(p-b)(p-c)]，其中x、y、z分别表示三角形的三边长度a、b、c。
由于p=(x+y+z)/2是一个常数，因此我们可以将其视为一个固定值，从而将y=f(x)表示为：y=√[(x+y+z)/2(x+y+z)/2-x(x+y+z)/2-y(x+y+z)/2+z(x+y+z)/2]化简得：y=√[xyz(x+y+z)]这就是一个二次函数的标准形式。
通过求解这个二次函数的最大值，我们就可以得到三角形的最大面积。
4. 二次函数求解三角形面积最大值的具体方法为了求解上述的二次函数的最大值，我们需要使用二次函数y=f(x)的顶点公式：x=-b/2a，y=f(-b/2a)其中x=-b/2a即为二次函数的对称轴坐标，f(-b/2a)即为二次函数的顶点坐标。
二次函数中面积的最值问题(六大题型)学生版-2024年中考数学压轴题专项训练
二次函数中面积的最值问题(六大题型)通用的解题思路：二次函数中的面积最值问题通常有以下3种解题方法：1)当所求图形的面积没有办法直接求出时，通常采用分割或补全图形的方法表示所求图形的面积，如下：一般步骤为：①设出要求的点的坐标；②通过割补将要求的图形转化成通过条件可以表示的图形面积和或差；③列出关系式求解；④检验是否每个坐标都符合题意．2)用铅垂定理巧求斜三角形面积的计算公式：三角形面积等于水平宽和铅锤高乘积的一半.3)利用平行线间的距离处处相等，根据同底等高，将所求图形的面积转移到另一个图形中，如图所示：一般步骤为：①设出直线解析式，两条平行直线k值相等；②通过已知点的坐标，求出直线解析式；③求出题意中要求点的坐标；④检验是否每个坐标都符合题意．题型01三角形面积最值问题1(2024·宁夏银川·一模)如图，二次函数y =-x 2+6x 的图象与x 轴的正半轴交于点A ，经过点A 的直线与该函数图象交于点B 1，5 ，与y 轴交于点C ．(1)求直线AB 的函数表达式及点C 的坐标；(2)点P 是二次函数图象上的一个动点，且在直线AB 上方，过点P 作直线PE ⊥x 轴于点E ，与直线AB 交于点D ，设点P 的横坐标为m ．①当PD =12OC 时，求m 的值；②设△PAB 的面积为S ，求S 关于m 的函数表达式，并求出S 的最大值．2(2024·新疆克孜勒苏·二模)如图，抛物线y =x ²+bx +c (b ，c 是常数)的顶点为C ，与x 轴交于A ，B 两点，A 2,0 ，AB =6，点P 为线段AB 上的动点，过P 作PQ ∥BC 交AC 于点Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)求△CPQ 面积的最大值，并求此时P 点坐标．3(23-24九年级下·湖北武汉·开学考试)如图，抛物线y =ax 2-4ax +3a 交x 轴于A ,B 两点(点A 在点B 的左侧)，交y 轴正半轴于点C ,OB =OC ，点P 在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)若tan∠ACP=2，求点P的横坐标．(3)平面上有两点M m,-m-3，求△PMN的面积的最小值．,N m+2,-m-54(23-24九年级下·辽宁沈阳·阶段练习)△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=4，点P从点C出发，沿射线CA方向运动，速度为每秒1个单位长度，同时点Q以相同的速度从点B出发，沿射线BA方向运动．设运动时间为x(x≠2且x≠4)秒，△APQ的面积为S．(1)当0<x<2时，如图①，求S与x的函数关系式；(2)当2<x<4时，如图②，求S的最大值；(3)若在运动过程中，存在两个时刻x1，x2，对应的点P和点Q分别记为P1，P2和Q1，Q2，对应的△AP1Q1和△AP2Q2的面积分别记为S1和S2，且当CP1=P1P2时，S1=S2，请求出x1的值．5(2023·山东聊城·二模)如图，抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A，B两点(点A在点B的左侧)，点A 的坐标为-1,0，直线CD:y=2x-3与x轴交于点D．动点M在抛物线上运动， ，与y轴交于点C0,-3过点M作MP⊥x轴，垂足为点P，交直线CD于点N．(1)求抛物线的表达式；(2)当点P在线段OD上时，△CDM的面积是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)点M在运动过程中，能否使以C，N，M为顶点的三角形是以NM为腰的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点M的坐标．6(2024·浙江宁波·模拟预测)如图，一次函数y=33x+3的图象与坐标轴交于点A、B，抛物线y=-33x2+bx+c的图象经过A、B两点．(1)求二次函数的表达式；(2)若点P为抛物线上一动点，在直线AB上方是否存在点P使△PAB的面积最大？若存在，请求出△PAB 面积的最大值及点P的坐标，请说明理由．7(2024·甘肃陇南·一模)如图，在平面直角坐标系xOy中，已知直线y=-x-3与x轴交于点A，与y轴交于点C，过A，C两点的抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于另一点B1,0，抛物线对称轴为直线l．(1)求抛物线的解析式；(2)点M为直线AC下方抛物线上一点，当△MAC的面积最大时，求点M的坐标；(3)点P是抛物线上一点，过点P作l的垂线，垂足为D，E是l上一点．要使得以P，D，E为顶点的三角形与△BOC全等，请直接写出点P的坐标．8(2024·江苏盐城·模拟预测)已知抛物线y=x2+bx-3与x轴交于A，B(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，且OB=OC．(1)求抛物线的解析式和点A的坐标；(2)如图1，点P为直线BC下方抛物线上一点，求△PBC的最大面积；(3)如图2，M、N是抛物线上异于B，C的两个动点，若直线BN与直线CM的交点始终在直线y=2x-9上，求证：直线MN必经过一个定点，并求该定点坐标．9(2024·四川广元·二模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y1=-x2+bx+c与x轴交于点B，A(-3, 0)，与y轴交于点C(0,3)．(1)求直线AC和抛物线的解析式．(2)若点M是抛物线对称轴上的一点，是否存在点M，使得以M，A，C三点为顶点的三角形是以AC为底的等腰三角形?若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，求△PAC面积的最大值．10(2024·安徽安庆·一模)如图，抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A1,0两点，与y轴交于、B3,0点C．(1)求此抛物线对应的函数表达式；(2)点E为直线BC上的任意一点，过点E作x轴的垂线与此抛物线交于点F．①若点E在第一象限，连接CF、BF，求△CFB面积的最大值；②此抛物线对称轴与直线BC交于点D，连接DF，若△DEF为直角三角形，请直接写出E点坐标．11(2024·安徽合肥·一模)如图，直线y=x-3与x轴交于点B，与y轴交于点C，抛物线y=x2+bx+c 经过B、C两点，抛物线与x轴负半轴交于点A．(1)求抛物线的函数表达式；(2)直接写出当x-3>x2+bx+c时，x的取值范围；(3)点P是位于直线BC下方抛物线上的一个动点，过点P作PE⊥BC于点E，连接OE．求△BOE面积的最大值及此时点P的坐标．12(2024·天津西青·一模)已知抛物线y=-x2-4ax-12a(a<0)与x轴交于A，B两点(点A在点B左边)，与y轴交于点C．(1)若点D4,12在抛物线上．①求抛物线的解析式及点A的坐标；②连接AD，若点P是直线AD上方的抛物线上一点，连接PA，PD，当△PAD面积最大时，求点P的坐标及△PAD面积的最大值；(2)已知点Q的坐标为-2a,-8a，连接QC，将线段QC绕点Q顺时针旋转90°，点C的对应点M恰好落在抛物线上，求抛物线的解析式．13(2024·山东临沂·二模)如图，抛物线y=ax2+32x+c与x轴交于点A和点B4,0，与y轴交于点C0,2，连接BC，点D在抛物线上．(1)求抛物线的解析式；(2)小明探究点D位置时发现：如图1，点D在第一象限内的抛物线上，连接BD，CD，△BCD面积存在最大值，请帮助小明求出△BCD面积的最大值；(3)小明进一步探究点D位置时发现：如图2，点D在抛物线上移动，连接CD，存在∠DCB=∠ABC，请帮助小明求出∠DCB=∠ABC时点D的坐标．14(2024·广东深圳·二模)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=-x2+bx+c的图象与轴交于A，B 点，与y轴交于点C0,3，点B的坐标为3,0，点P是抛物线上一个动点．(1)求二次函数解析式；(2)若P点在第一象限运动，当P运动到什么位置时，△BPC的面积最大？请求出点P的坐标和△BPC面积的最大值；(3)连接PO，PC，并把△POC沿CO翻折，那么是否存在点P，使四边形POP C为菱形；若不存在，请说明理由．15(2024·湖北·模拟预测)如图，抛物线y=x-12+k与x轴相交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与y轴相交于点C0,-3．设P点在抛物线上运动，横坐标为m．(1)求此抛物线的解析式；(2)当P点位于第四象限时，求△BCP面积的最大值，并求出此时P点坐标；(3)设此抛物线在点C与点P之间部分(含点C和点P)最高点与最低点的纵坐标之差为h．① 求h关于m的函数解析式，并写出自变量m的取值范围；② 根据h的不同取值，试探索点P的个数情况．16(22-23九年级下·重庆·阶段练习)抛物线y=ax²+bx+5经过点A1,0和点B5,0．该抛物线与直线y=12x+5相交于C、D两点，点P是抛物线上的动点且位于x轴下方，直线PM∥y轴，分别与x轴和直线CD交于点M、N．(1)求该抛物线所对应的函数解析式；(2)连接PC、PD，如图1，在点P运动过程中，△PCD的面积是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由；(3)连接PB，过点C作CQ⊥PM，垂足为点Q，如图2，是否存在点P，使得△CNQ与△PBM相似？若存在，求出满足条件的点P的坐标；若不存在，说明理由．17(2024·江苏宿迁·一模)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+3与x轴分别相交于A、B两点，与y轴相交于点C，已知点A的坐标为(-1，0)，点B的坐标为(3，0)．(1)求出这条抛物线的函数表达式；(2)如图2，点D是第一象限内该抛物线上一动点，过点D作直线l∥y轴，直线l与△ABD的外接圆相交于点E．①仅用无刻度直尺找出图2中△ABD外接圆的圆心P．②连接BC、CE，BC与直线DE的交点记为Q，如图3，设△CQE的面积为S，在点D运动的过程中，S是否存在最大值？如果存在，请求出S的最大值；如果不存在，请说明理由．18(2024·新疆乌鲁木齐·一模)如图，在△ABC中，AB=AC，AD⊥BC于点D，BC=10cm，AD=8cm，点P从点B出发，在线段BC上以每秒3cm的速度向点C匀速运动，与此同时，垂直于AD的直线m 从底边BC出发，以每秒2cm的速度沿DA方向匀速平移，分别交AB、AC、AD于E、F、H，当点P到达点C，点P与直线m同时停止运动，设运动时间为t秒t>0．(1)AH=，EF=(用含t的式子表示)．(2)在整个运动过程中，所形成的△PEF的面积存在最大值，当△PEF的面积最大时，求线段BP的长；(3)是否存在某一时刻t，使△PEF为直角三角形？若存在，请求出此时刻t的值；若不存在，请说明理由．19(2024·重庆·模拟预测)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+c过点(3,-4)，交x轴于点A(-1,0)，B两点，交y轴于点C(0,2)．(1)求抛物线的表达式；(2)连接AC ，BC ，M 为线段AB 上一动点，过点M 作MD ∥BC 交直线AC 于点D ，连接MC ，求△MDC 面积的最大值及此时M 点的坐标；(3)在(2)中△MDC 面积取得最大值的条件下，将该抛物线沿射线BC 方向平移2个单位长度，P 是平移后的抛物线上一动点，连接CP ，当∠PCM 与△OBC 的一个内角相等时，请直接写出所有符合条件的点P 的坐标．20(2024·湖南衡阳·一模)如图，已知抛物线y =ax 2+bx +c 经过A 1,0 ,B -3,0 ,C 0,3 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)若点D 为第二象限内抛物线上一动点，求△BCD 面积的最大值；(3)设点P 为抛物线的对称轴上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点P 的坐标．21(2024·甘肃天水·一模)如图，在平面直角坐标系中，开口向下的抛物线与x 轴交于A ,B 两点，D 是抛物线的顶点．O 为坐标原点．A ,B 两点的横坐标分别是方程x 2-4x -12=0的两根，且cos ∠DAB =22．(1)求抛物线的函数解析式；(2)作AC ⊥AD ，AC 交抛物线于点C ，求点C 的坐标及直线AC 的函数解析式；(3)在(2)的条件下，在x 轴上方的抛物线上是否存在一点P ，使△APC 的面积最大？如果存在，请求出点P 的坐标和△APC 的最大面积；如果不存在，请说明理由．22(2024·山东聊城·一模)在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx -3与x 轴交于点A -1,0 和点B 3,0 ，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式及顶点坐标；(2)若点P 为第四象限内抛物线上一点，当△PBC 面积最大时，求点P 的坐标；(3)若点P 为抛物线上一点，点Q 是线段BC 上一点(点Q 不与两端点重合)，是否存在以P 、Q 、O 为顶点的三角形是等腰直角三角形，若存在，请直接写出满足条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23(2024·吉林长春·一模)如图，在平面直角坐标系中，直线y =x +2分别交x 轴、y 轴于A 、B 两点，过点C 2,2 作x 轴垂线，垂足为D ，连接BC ．现有动点P 、Q 同时从A 点出发，分别沿AB 、AD 向终点B 和终点D 运动，若点P 的运动速度为每秒2个单位长度，点Q 的运动速度为每秒2个单位长度．设运动的时间为t 秒．(1)求A、B两点的坐标；(2)当CQ∥AB时，t=；(3)设△CPQ的面积为y，写出y与t的函数关系式，并求△CPQ面积的最大值；(4)当△CPQ为轴对称图形时，直接写出t的值．24(2023·湖南娄底·中考真题)如图，抛物线y=x2+bx+c过点A-1,0，交y轴于点C．、点B5,0(1)求b，c的值．(2)点P x0,y0是抛物线上的动点0<x0<5①当x0取何值时，△PBC的面积最大？并求出△PBC面积的最大值；②过点P作PE⊥x轴，交BC于点E，再过点P作PF∥x轴，交抛物线于点F，连接EF，问：是否存在点P，使△PEF为等腰直角三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．25(2024·河南安阳·模拟预测)如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+c与抛物线y=-x2+x-1的形状相同，且与x轴交于点-1，0．直线y=kx+2分别与x轴、y轴交于点A，B，和4，0与y=ax2+bx+c于点C，D(点C在点D的左侧)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是直线y=kx+2上方抛物线上的任意一点，当k=2时，求△PCD面积的最大值；(3)若抛物线y=ax2+bx+c与线段AB有公共点，结合函数图象请直接写出k的取值范围．26(2024·湖南长沙·一模)如图，抛物线y=x2-bx+c与x轴交于A-1,0两点，与y轴交于，B m,0点C0,-3，顶点为D，直线BD交y轴于点E．(1)求抛物线的解析式．(2)设点P为线段BD上一点(点P不与B，D两点重合)，过点P作x轴的垂线与抛物线交于点F，连接DF，BF，求△BDF面积的最大值．(3)连接CD，在线段BD上是否存在点Q，使得∠BDC=∠QCE？若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．27(2024·江西萍乡·一模)如图，已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，抛物线的对称轴交x轴于点D．已知A3,0，连接AC，BC．，C0,3(1)求抛物线的函数解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P，使得以A、D、P为顶点的三角形与△OBC相似，求出点P的坐标；(3)若点M是抛物线上的一个动点，且位于第一象限内，连接MC，MA．设△ACM的面积为S，试求S的最大值．28(2024·四川广元·二模)如图1，抛物线y=ax²+bx+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为5，0，与y轴交于点C，该抛物线的顶点坐标为(3,-4)．(1)求抛物线和直线BC的解析式．(2)在抛物线上是否存在点M，使得△BCM是以BC为底边的等腰三角形？若存在，求出所有点M的坐标；若不存在，请说明理由．(3)如图2，以点B 为圆心，画半径为2的圆，点P 为⊙B 上的一个动点，连接AC ，求△ACP 面积的最大值．29(2023·山东青岛·中考真题)如图，在菱形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，AB =10cm ，BD =45cm ．动点P 从点A 出发，沿AB 方向匀速运动，速度为1cm/s ；同时，动点Q 从点A 出发，沿AD 方向匀速运动，速度为2cm/s ．以AP ，AQ 为邻边的平行四边形APMQ 的边PM 与AC 交于点E ．设运动时间为t s 0<t ≤5 ，解答下列问题：(1)当点M 在BD 上时，求t 的值；(2)连接BE ．设△PEB 的面积为S cm 2 ，求S 与t 的函数关系式和S 的最大值；(3)是否存在某一时刻t ，使点B 在∠PEC 的平分线上？若存在，求出t 的值；若不存在，请说明理由．30(2023·湖南怀化·中考真题)如图一所示，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2+bx -8与x 轴交于A (-4,0)、B (2,0)两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的函数表达式及顶点坐标；(2)点P 为第三象限内抛物线上一点，作直线AC ，连接PA 、PC ，求△PAC 面积的最大值及此时点P 的坐标；(3)设直线l 1:y =kx +k -354交抛物线于点M 、N ，求证：无论k 为何值，平行于x 轴的直线l 2:y =-374上总存在一点E ，使得∠MEN 为直角．31(2024·海南省直辖县级单位·一模)如图，已知抛物线y =ax 2+2x +c a ≠0 ，与x 轴交于点A -1,0 和点B 3,0 ，与y 轴交于点C ，E 为抛物线的顶点．图1图2(1)求该抛物线的函数表达式；(2)如图1，点P 是第一象限内抛物线上一动点，连接PC 、PB 、BC ，设点P 的横坐标为t ．①当t 为何值时，△PBC 的面积最大？并求出最大面积；②当t 为何值时，△PBC 是直角三角形？(3)如图2，过E 作EF ⊥x 轴于F ，若M m ,0 是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若∠MNC =90°，请直接写出实数m 的取值范围．32(2024·四川成都·一模)如图，直线y =-x -4分别交x 轴，y 轴于A ，C 两点，点B 在x 轴正半轴上．抛物线y =15x 2+bx +c 过A ，B ，C 三点．(1)求抛物线的解析式；(2)过点B 作BD ∥AC 交y 轴于点D ，交抛物线于点F ．若点P 为直线AC 下方抛物线上的一动点，连接PD 交AC 于点E ，连接EB ，求S △PEB 的最大值及最大值时点P 的坐标；(3)如图2，将原抛物线进行平移，使其顶点为原点，进而得到新抛物线，直线y =-2x 与新抛物线交于O ，G 两点，点H 是线段OG 的中点，过H 作直线RQ (不与OG 重合)与新抛物线交于R ，Q 两点，点R 在点Q 左侧．直线GR 与直线OQ 交于点T ，点T 是否在某条定直线上？若是，请求出该定直线的解析式，若不是，请说明理由．33(2024·江苏苏州·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =ax 2-8ax +10a -1a <0 与x 轴的交点分别为A x 1,0 ，B x 2,0 ，其中(0<x 2<x 1)，且AB =4，与y 轴的交点为C ，直线CD ∥x 轴，在x 轴上有一动点E t ,0 ，过点E 作直线l ⊥x 轴，与抛物线、直线CD 的交点分别为P 、Q ．(1)求抛物线的解析式；(2)当0<t ≤8时，求△APC 面积的最大值；(3)当t >2时，是否存在点P ，使以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△OBC 相似？若存在，求出此时t 的值；若不存在，请说明理由．题型02四边形面积最值问题1(2024·安徽阜阳·一模)如图，抛物线y =ax 2+bx +3与x 轴交于A -1，0 ，B 3，0 两点，与y 轴交于点C ．(1)求抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴上找一点P ，使△PAC 的周长最小，求△PAC 的周长的最小值及此时点P 的坐标；(3)若M 为抛物线在第一象限内的一动点，求出四边形OCMB 的面积的最大值及此时点M 的坐标.2(2024·山东临沂·一模)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y =-14x 2+bx +c 与x 轴交于点A (-2,0)和点B ，与y 轴交于点C (0,4)，点P 是直线BC 上方的抛物线上一点(点P 不与点B ，C 重合)，过点P 作PD ∥y 轴交直线BC 于点D ．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求线段PD 长的最大值；(3)连接CP ，BP ，请直接写出四边形ABPC 的面积最大值为．3(2024·山西运城·一模)综合与探究如图，抛物线y=ax2+bx-3a≠0与x轴交于A-1,0、B两点，与y轴交于点C，点D-2,9 2在抛物线上，点P是抛物线在第四象限内的一个动点，过点P作PQ∥y轴交直线BD于点Q，连接PA、PB、QA，设点P的横坐标为m．(1)求抛物线的函数表达式；(2)求四边形PAQB面积的最大值及此时点P的坐标；(3)若点M是抛物线上任意一点，是否存在点M，使得∠MAB=2∠ACO，若存在，请直接写出所有符合条件的点M的坐标，若不存在，请说明理由．4(2024·安徽合肥·一模)在平面直角坐标系中，点O是坐标原点．抛物线y=ax2+bx-3a≠0与x轴交于A，B两点，直线l：y=kx+2与抛物线交于A，C两点，且A-1,0，B3,0．(1)求a，b，k的值；(2)点M是线段OB上的动点，点N在x轴上，MN=2，且点N在M的左边．过点M作MP⊥x轴，交抛物线于点P．过点N作x轴的垂线，交抛物线于点Q，交直线l于点R．①当以P，Q，R，M为顶点的四边形是平行四边形时，求点M的坐标．②记以P，Q，R，M为顶点的四边形面积为S，求S的最大值．5(2024·安徽蚌埠·一模)如图1，已知直线y=-x+5与坐标轴相交于A、B，点C坐标是-1，0，抛物线经过A、B、C三点．点P是抛物线上的一点，过点P作y轴的平行线，与直线AB交于点D，与x轴相交于点F．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P在第一象限时，连接CP交OA于点E，连接EF，如图2所示；①求AE+DF的值；②设四边形AEFB的面积为S，则点P在运动过程中是否存在面积S的最大值，若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．6(2024·安徽马鞍山·一模)如图，过原点的二次函数y=ax2+bx的图象与x轴正半轴交于点A，经过点A的直线与该函数交于B1,-3，与y轴交于点C0,-4．(1)分别求此二次函数与直线AB的解析式．(2)点P是第四象限内二次函数图象上的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，设点P的横坐标为t．①当PD=12OC时，求t的值；②当点P在直线AB下方时，连接OP，过点B作BQ⊥x轴于点Q，BQ与OP交于点F，连接DF，求四边形FQED面积的最大值．7(2024·山东济南·一模)如图，直线y=-12x+3交y轴于点A，交x轴于点C，抛物线y=-14x2+bx+c经过点A，点C，且交x轴于另一点B．(1)求抛物线的解析式；(2)在直线AC上方的抛物线上有一点M，求四边形ABCM面积的最大值及此时点M的坐标；(3)将线段OA绕x轴上的动点P m,0顺时针旋转90°得到线段O A ，若线段O A 与抛物线只有一个公共点，请结合函数图象，求m的取值范围．8(2024·四川广元·二模)如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于原点O和点A4，0，经过点A的直线与该函数图象交于另一点B1，3，与y轴交于点C．(1)求直线AB的函数解析式及点C的坐标．(2)点P是抛物线上位于直线AB上方的一个动点，过点P作直线PE⊥x轴于点E，与直线AB交于点D，过点B作BF⊥x轴于点F，连接OP，与BF交于点G，连接DG．求四边形GDEF面积的最大值．(3)抛物线上是否存在这样的点Q，使得∠BOQ=45°？若存在，请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．9(2024·广东珠海·一模)如图，抛物线y=-x2+3x+4和直线y=x+1交于A-1,0点，点B，B3,4在直线x=3上，直线x=3与x轴交于点C．(1)求∠BAC的度数．(2)点P从点A出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿线段CA向点A运动，点P，Q同时出发，当其中一点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为t秒t>0．以PQ为边作矩形PQNM，使点N在直线x=3上．①当t为何值时，矩形PQNM的面积最小？并求出最小面积；②直接写出当t为何值时，恰好有矩形PQNM的顶点落在抛物线上．10(2024·安徽宿州·二模)如图1，抛物线y=ax2+bx-3(a，b是常数且a>0)与x轴交于点A-1,0和点B(点B在点A的右侧)，点D是抛物线的顶点，CD是抛物线的对称轴且交x轴于点C1,0.(1)求a，b的值；(2)点P是抛物线上一点且位于点A和点D之间．(i)如图2，连接AP，DP，BD，求四边形ABDP面积的最大值；(ii)如图3，连接AP并延长交CD延长线于点Q，连接BP交CD于点E，求CE+CQ的值.11(2024·安徽·二模)如图1，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx-4交x轴于点A-1,0,B4,0，交y轴于点C，点M在该抛物线上，横坐标为m，将该抛物线M,C两点之间(包括M,C两点)的部分记为图象W．(1)求抛物线的解析式；(2)图象W的最大值与最小值的差为4时，求m的值；(3)如图2，若点M位于BC下方，过点A作AE∥BC交拋物线于点E，点D为直线AE上一动点，连接CM, CD,BM,BD，求四边形CDBM面积的最大值及此时点M的坐标．12(2024·四川广安·二模)如图，抛物线y=-x2+bx+c交x轴于A-4,0．，B两点，交y轴于点C0,4(1)求抛物线的函数解析式．(2)点D在线段OA上运动，过点D作x轴的垂线，与AC交于点Q，与抛物线交于点P，连接AP、CP，求四边形AOCP的面积的最大值．(3)在抛物线的对称轴上是否存在点M，使得以点A、C、M为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．13(23-24九年级上·重庆渝北·期末)二次函数y=ax2+bx+4经过点A-1,0，点C，点D，点B4,0分别二次函数与y轴的交点和顶点，点M为二次函数图象上第一象限内的一个动点.(1)求二次函数的解析式；(2)如图1，连接BC ，过点A 作BC 的平行线交二次函数于点E ，连接CM ，BM ，BE ，CE ．求四边形CMBE 面积的最大值以及此时点M 的坐标；(3)如图2，过点M 作MN ∥y 轴，交BC 于点N (点M 不与点D 重合)，过点D 作DH ∥y 轴，交BC 于点H ，当DM =HN 时，直接写出点M 的坐标．题型03面积比最值问题14(2024·安徽合肥·一模)在平面直角坐标系xOy 中，已知抛物线y =a x +1 x -4 与x 轴交于A 、 B 两点，与y 轴交于点C 0，-2 ．(1)求a 的值；(2)点D 为第四象限抛物线上一点①求△BCD 的面积最大值②连接AD ，BC 交于点E ，连接BD ，记△BDE 的面积为S 1，△ABE 的面积为S 2，求S 1S 2的最大值；15(2023·四川遂宁·中考真题)在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，抛物线y =14x 2+bx +c 经过点O (0，0)，对称轴过点B (2，0)，直线l 过点C 2,-2 ，且垂直于y 轴．过点B 的直线l 1交抛物线于点M 、N ，交直线l 于点Q ，其中点M 、Q 在抛物线对称轴的左侧．(1)求抛物线的解析式；(2)如图1，当BM :MQ =3:5时，求点N 的坐标；(3)如图2，当点Q 恰好在y 轴上时，P 为直线l 1下方的抛物线上一动点，连接PQ 、PO ，其中PO 交l 1于点E ，设△OQE 的面积为S 1，△PQE 的面积为S 2．求S2S 1的最大值．16(2024·湖北省直辖县级单位·一模)抛物线y =x 2-4x 与直线y =x 交于原点O 和点B ，与x 轴交于另一点A ，顶点为D ．(1)求出点B 和点D 的坐标；(2)如图①，连接OD ，P 为x 轴的负半轴上的一点，当tan ∠PDO =12时，求点P 的坐标；(3)如图②，M 是点B 关于抛物线的对称轴的对称点，Q 是抛物线上的动点，它的横坐标为m 0<m <5 ，连接MQ ，BQ ，MQ 与直线OB 交于点E ，设△BEQ 和△BEM 的面积分别为S 1和S 2，求S1S 2的最大值．17(2023·湖南永州·中考真题)如图1，抛物线y =ax 2+bx +c (a ，b ，c 为常数)经过点F 0,5 ，顶点坐标为2,9 ，点P x 1,y 1 为抛物线上的动点，PH ⊥x 轴于H ，且x 1≥52．(1)求抛物线的表达式；(2)如图1，直线OP :y =y 1x 1x 交BF 于点G ，求S △BPG S △BOG的最大值；(3)如图2，四边形OBMF 为正方形，PA 交y 轴于点E ，BC 交FM 的延长线于C ，且BC ⊥BE ,PH =FC ，求点P 的横坐标．18(2024·四川南充·一模)抛物线y =-38x 2+bx +c b >0 与x 轴分别交于A ，B 两点(点A 在点B 的左侧)，与y 轴交于点C 0,3 ，抛物线对称轴为x =1，点P 是抛物线在第一象限上动点，连接CB ，PB ．(1)求抛物线和直线BC 的解析式；(2)如图，连接PA ，交BC 于点M ，设△ABM 的面积为S 1，△PBM 的面积为S 2，求S 1S 2的最小值及此时点P的坐标．19(2024·湖北孝感·一模)如图1，已知抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于点A-1,0，B3,0，与y轴交于点C，连接BC．(1)求a，b的值及直线BC的解析式；(2)如图1，点P是抛物线上位于直线BC上方的一点，连接AP交BC于点E，过P作PF⊥x轴于点F，交BC于点G，(ⅰ)若EP=EG，求点P的坐标，(ⅱ)连接CP，CA，记△PCE的面积为S1，△ACE的面积为S2，求S1S2的最大值；(3)如图2，将抛物线位于x轴下方面的部分不变，位于x轴上方面的部分关于x轴对称，得到新的图形，将直线BC向下平移n个单位，得到直线l，若直线l与新的图形有四个不同交点，请直接写出n的取值范围．题型04面积和最值问题1(2024·吉林长春·一模)在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3交x轴于点A(-1,0)、B(3,0)，交y轴于点C，连结AC、BC．点D在该抛物线上，过点D作DE∥AC，交直线BC于点E，连结AD、AE、BD．设点D横坐标为m(m>0)，△DAE的面积为S1，△DBE的面积为S2．(1)求a，b的值；(2)设抛物线上D、B两个点和它们之间的部分为图象G，当图象G的最高点的纵坐标与m无关时，求m的取值范围；(3)当点D在第一象限时，求S1+S2的最大值；(4)当S1:S2=2:1时，直接写出m的值．题型05面积差最值问题1(2024·安徽合肥·一模)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=x2+bx+c的对称轴为直线x=。
二次函数面积最大值问题
二次函数面积最大值问题二次函数面积最大值问题是一个经典的数学优化问题，旨在寻找一个二次函数的最大面积。
为了理解这个问题，我们首先需要明确什么是二次函数。
二次函数是一种具有形如y=ax^2+bx+c的函数形式的函数，其中a、b、c为实数且a不等于0。
在二次函数面积最大值问题中，我们希望找到一个二次函数的最大面积，该函数关于x轴对称。
这意味着，我们需要在二次函数的图像上找到一个顶点，使得顶点对应的面积最大。
要解决这个问题，我们可以利用一些基本的数学知识和技巧。
首先，二次函数的图像一般呈现出抛物线的形状。
当抛物线开口朝上时，函数的最小值对应于顶点；当抛物线开口朝下时，函数的最大值对应于顶点。
为了找到二次函数的顶点，我们可以使用一些数学方法。
一种简单的方法是求出二次函数的导数，并令其等于零。
这将给我们一个方程，从中我们可以解出顶点的x坐标。
将这个x坐标代入原函数，我们可以找到顶点的y坐标。
一旦我们找到了顶点坐标，我们可以计算出顶点对应的面积。
这可以通过将顶点下方的曲线与x轴之间的曲边梯形与顶点上方的曲线与x轴之间的曲边梯形的面积相加来实现。
通过这种方法，我们可以找到二次函数的最大面积。
需要注意的是，由于二次函数的图像可能对称于y轴，因此可能存在多个顶点。
因此，在求解问题时，我们需要将所有的顶点都考虑在内，并计算出对应的面积。
最后，我们选取最大的面积作为答案。
总之，二次函数面积最大值问题是一个寻找二次函数的最大面积的数学优化问题。
通过寻找二次函数的顶点，并计算出对应的面积，我们可以解决这个问题。
这是一个有趣且实用的数学问题，可以帮助我们理解和运用二次函数的概念。
二次函数动点的面积最值问题课件
个分支的理解和掌握。
02
掌握解题方法
解决二次函数动点面积最值问题需要掌握一定的解题技巧和方法，包括
数形结合、参数分离、极值法等。通过对这些方法的运用，可以有效地
解决各种复杂的问题。
03
理解问题本质
二次函数动点面积最值问题的本质是寻找函数在某个区间上的最大值或
最小值，以及对应的自变量取值。通过对问题本质的深入理解，可以更
矩形面积的最值
在矩形中找一点，使得该点与矩形顶点的连线将矩形划分为四个面积相等的部分 ，也可以利用二次函数动点面积最值问题求解。
在实际生活中的应用
土地规划
在土地规划中，经常需要确定土地的 分割方式以及各部分的面积，利用二 次函数动点面积最值问题可以找到最 优的分割方案，使得土地的利用率达 到最高。
局。
城市绿化
在城市绿化规划中，通过求解二 次函数动点面积最值问题，可以 确定最佳的绿化区域和分布方式 ，提高城市绿化覆盖率和环境质
量。
06
总结和展望
对二次函数动点面积最值问题的理解和总结
01
理解问题背景
二次函数动点面积最值问题是一个经典的数学问题，涉及到几何、代数
和微积分等多个领域的知识。通过对该问题的研究，可以加深对数学各
要点二
代数解法
通过几何方法（如相似三角形、勾股定理等）来求解动点 面积的最值。
利用代数公式和不等式，通过代数运算求解动点面积的最 值。
二次函数动点面积最值问题的实际应用案例
建筑规划
在建筑规划中，需要考虑土地利 用效率与美观性，动点面积最值 问题可以帮助规划者找到最佳的
建筑布局方案。
农业种植
农业种植中，为了最大化土地利 用率和产量，可以利用二次函数 动点面积最值问题来优化种植布
二次函数的应用(面积最值问题)
二次函数的应用（面积最值问题）[例1]：在矩形ABCD 中，AB=6cm ，BC=12cm ，点P 从点A 出发，沿AB 边向点B 以1cm ／s 的速度移动，同时点Q 从点B 出发沿BC 边向点C 以2cm ／s 的速度移动，如果P 、Q 两点同时出发，分别到达B 、C 两点后就停止移动．（1）运动第t 秒时，△PBQ 的面积y(cm²)是多少？ （2）此时五边形APQCD 的面积是S(cm²)，写出S 与t 的函数关系式，并指出自变量的取值X 围．（3）t 为何值时s 最小，最小值时多少？ 答案：6336333607266126262621)1(2222有最小值等于时；当）（）（）（）（）（）（S t t S t t t t t S tt t t y =∴+-=<<+-=+--⨯=+-=⋅-=[例2]：小明的家门前有一块空地，空地外有一面长10米的围墙，为了美化生活环境，小明的爸爸准备靠墙修建一个矩形花圃，他买回了32米长的不锈钢管准备作为花圃的围栏，为了浇花和赏花的方便，准备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道与在左右花圃各放一个1米宽的门（木质）．花圃的长与宽如何设计才能使花圃的面积最大？解：设花圃的宽为x 米，面积为S 平方米则长为：x x 4342432-=+-(米)则：)434(x x S -=x x 3442+-=4289)417(42+--=x ∵104340≤-<x∴2176<≤x∵6417<，∴S 与x 的二次函数的顶点不在自变量x 的X 围内， 而当2176<≤x 内，S 随x 的增大而减小，∴当6=x 时，604289)4176(42max =+--=S (平方米) 答：可设计成宽6米，长10米的矩形花圃，这样的花圃面积最大．[例3]：已知边长为4的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE （如图），其中AF=2，BF=1．试在AB 上求一点P ，使矩形PNDM 有最大面积． 解：设矩形PNDM 的边DN=x ，NP=y ， 则矩形PNDM 的面积S=xy （2≤x≤4） 易知CN=4-x ，EM=4-y ． 过点B 作BH ⊥PN 于点H 则有△AFB ∽△BHP ∴PHBHBF AF =，即3412--=y x ， ∴521+-=x y ， x x xy S 5212+-==)42(≤≤x ，此二次函数的图象开口向下，对称轴为x=5， ∴当x≤5时，函数值y 随x 的增大而增大， 对于42≤≤x 来说，当x=4时，12454212=⨯+⨯-=最大S ． 【评析】本题是一道代数几何综合题，把相似三角形与二次函数的知识有机的结合在一起，能很好考查学生的综合应用能力．同时，也给学生探索解题思路留下了思维空间．[例4]：某人定制了一批地砖，每块地砖（如图(1)所示）是边长为0.4米的正方形ABCD ，点E 、F 分别在边BC 和CD 上，△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 均由单一材料制成，制成△CFE 、△ABE 和四边形AEFD 的三种材料的每平方米价格依次为30元、20元、10元，若将此种地砖按图(2)所示的形式铺设，且能使中间的阴影部分组成四边形EFGH ．(1)判断图(2)中四边形EFGH 是何形状，并说明理由；(2)E 、F 在什么位置时，定制这批地砖所需的材料费用最省？ 解：(1) 四边形EFGH 是正方形．图(2)可以看作是由四块图(1)所示地砖绕C 点 按顺(逆)时针方向旋转90°后得到的， 故CE =CF =CG ．∴△CEF 是等腰直角三角形因此四边形EFGH 是正方形．(2)设CE =x , 则BE =0.4－x ，每块地砖的费用为y 元那么：y =x ×30+×0.4×(0.4-x )×20+[0.16-x -×0.4×(0.4-x )×10])24.02.0(102+-=x x3.2)1.0(102+-=x )4.00(<<x当x =0.1时，y 有最小值，即费用为最省，此时CE =CF =0.1．答：当CE =CF =0.1米时，总费用最省．作业布置：1．(2008XXXX)某人从地面垂直向上抛出一小球，小球的高度h (单位：米)与小球运动时间t (单位：秒)的函数关系式是，那么小球运动中的最大高度=最大h 4.9米．2．(2008庆阳市)XX 市“安居工程”新建成的一批楼房都是8层高，房子的价格y (元/平方米)随楼层数x (楼)的变化而变化(x =1，2，3，4，5，6，7，8)；已知点(x ，y )都在一个二次函数的图像上，(如图所示)，则6楼房子的价格为元/平方米．5 m 12m ABCD提示：利用对称性，答案：2080．3．如图所示，在一个直角△MBN 的内部作一个长方形ABCD ，其中AB 和BC 分别在两直角边上，设AB =x m ，长方形的面积为y m 2，要使长方形的面积最大，其边长x 应为( D )A ．424m B ．6 m C ．15 m D ．25m 解：AB =x m ，AD=b ，长方形的面积为y m 2∵AD ∥BC ∴△MAD ∽△MBN ∴MB MA BN AD =，即5512x b -=，)5(512x b -= )5(512)5(5122x x x x xb y --=-⋅==, 当5.2=x 时，y 有最大值．4．(2008XXXX)将一X 边长为30㎝的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为ｘ㎝的小正方形，然后折叠成一个无盖的长方体．当ｘ取下面哪个数值时，长方体的体积最大（ C ） A ．7 B ．6 C ．5 D ．45．如图，铅球运动员掷铅球的高度y (m)与水平距离x (m)之间的函数关系式是：35321212++-=x x y ，则该运动员此次掷铅球的成绩是( D ) A ．6 mB ．12 mC ．8 mD ．10m解：令0=y ，则：02082=--x x 0)10)(2(=-+x xxyOAM （图5） （图7） 6．某幢建筑物，从10 m 高的窗口A ，用水管向外喷水，喷出的水流呈抛物线状(抛物线所在的平面与墙面垂直，如图6，如果抛物线的最高点M 离墙1 m ，离地面340m ，则水流落地点B 离墙的距离OB 是( B )A ．2 mB ．3 mC ．4 mD ．5 m解：顶点为)340,1(，设340)1(2+-=x a y ，将点)10,0(代入，310-=a 令0340)1(3102=+--=x y ，得：4)1(2=-x ，所以OB=37．(2007乌兰察布)小明在某次投篮中，球的运动路线是抛物线21 3.55y x =-+的一部分，如图7所示，若命中篮圈中心，则他与篮底的距离L 是（ B ） A ．4.6m B ．4.5m C ．4m D ．3.5m8．某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15m)的空地上修建一个矩形花园ABCD ，花园的一边靠墙，另三边用总长为40m 的栅栏围成．若设花园的宽为x(m) ，花园的面积为y(m²)．(1)求y 与x 之间的函数关系，并写出自变量的取值X 围；（2）根据（1）中求得的函数关系式，描述其图象的变化趋势；并结合题意判断当x 取何值时，花园的面积最大，最大面积是多少？ 解：)240(x x y -=)20(22x x --=200)10(22+--=x∵152400≤-<x ∴205.12<≤x∵二次函数的顶点不在自变量x 的X 围内， 而当205.12<≤x 内，y 随x 的增大而减小， ∴当5.12=x 时，5.187200)105.12(22max =+--=y (平方米)答：当5.12=x 米时花园的面积最大，最大面积是187.5平方米．9．如图，要建一个长方形养鸡场，鸡场的一边靠墙，如果用50 m 长的篱笆围成中间有一道篱笆隔墙的养鸡场，设它的长度为x 米．(1)要使鸡场面积最大，鸡场的长度应为多少m ？ (2)如果中间有n (n 是大于1的整数)道篱笆隔墙，要使鸡场面积最大，鸡场的长应为多少米？比较(1)(2)的结果，你能得到什么结论？解：(1)∵长为x 米，则宽为350x-米，设面积为S 平方米． )50(313502x x x x S --=-⋅= 3625)25(312+--=x ∴当25=x 时，3625max =S (平方米)即：鸡场的长度为25米时，面积最大． (2)中间有n 道篱笆，则宽为250+-n x米，设面积为S 平方米． 则：)50(212502x x n n x x S -+-=+-⋅= 2625)25(212++-+-=n x n ∴当25=x 时，2625max +=n S (平方米)由(1)(2)可知，无论中间有几道篱笆墙，要使面积最大，长都是25米． 即：使面积最大的x 值与中间有多少道隔墙无关．10．如图，矩形ABCD 的边AB=6 cm ，BC=8cm ，在BC 上取一点P ，在CD 边上取一点Q ，使∠APQ 成直角，设BP=x cm ，CQ=y cm ，试以x 为自变量，写出y 与x 的函数关系式．ACD P Q解：∵∠APQ=90°,∴∠APB+∠QPC=90°. ∵∠APB+∠BAP=90°,∴∠QPC=∠BAP ，∠B=∠C=90° .∴△ABP ∽△PCQ.,86,yxx CQ BP PC AB =-= ∴x x y 34612+-=．11．(2006年XX 市)如图，在矩形ABCD 中，AB=2AD ，线段EF=10．在EF 上取一点M ，分别以EM 、MF 为一边作矩形EMNH 、矩形MFGN ，使矩形MFGN ∽矩形ABCD ．令MN=x ，当x 为何值时，矩形EMNH 的面积S 有最大值？最大值是多少？ 解：∵矩形MFGN ∽矩形ABCD ∴MF=2MN =2x ∴ EM=10-2x∴S=x （10-2x ）=-2x 2+10x=-2(x-2.5)2+12.5 ∵1020<<x ，∴50<<x当x=2.5时，S 有最大值12.512．(2008XX 内江)如图，小明的父亲在相距2米的两棵树间拴了一根绳子，给他做了一个简易的秋千，拴绳子的地方距地面高都是2.5米，绳子自然下垂呈抛物线状，身高1米的小明距较近的那棵树0.5米时，头部刚好接触到绳子，则绳子的最低点距地面的距离为0.5 米． 答案：如图所示建立直角坐标系则：设c ax y +=2将点)1,5.0(-，)5.2,1(代入，⎩⎨⎧+=+-⨯=ca c a 5.2)5.0(12，解得⎩⎨⎧==5.02c a 5.022+=x y 顶点)5.0,0(，最低点距地面0.5米．13．(2008XXXX)小李想用篱笆围成一个周长为60米的矩形场地，矩形面积S(单位：平方米)随矩形一边长x(单位：米)的变化而变化．（1）求S 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值X 围； （2）当x 是多少时，矩形场地面积S 最大？最大面积是多少？ 解：（1）根据题意，得x x x xS 3022602+-=⋅-=自变量的取值X 围是（2）∵01<-=a ，∴S 有最大值当时，答：当为15米时，才能使矩形场地面积最大，最大面积是225平方米．14．(2008年XX 市)随着绿城XX 近几年城市建设的快速发展，对花木的需求量逐年提高．某园林专业户计划投资种植花卉与树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润与投资量成正比例关系，如图12-①所示；种植花卉的利润与投资量成二次函数关系，如图12-②所示(注：利润与投资量的单位：万元)（1）分别求出利润与关于投资量的函数关系式；（2）如果这位专业户以8万元资金投入种植花卉和树木，他至少获得多少利润？他能获取的最大利润是多少？ 解：（1）设=,由图12-①所示，函数=的图像过（1，2），所以2=，故利润关于投资量的函数关系式是=；因为该抛物线的顶点是原点，所以设2y =，由图12-②所示，函数2y =的图像过（2，2），所以，故利润2y 关于投资量的函数关系式是2221x y =； （2）设这位专业户投入种植花卉万元（），则投入种植树木(x -8)万元，他获得的利润是万元，根据题意，得 ==+21y y +==∵021>=a ∴当时，的最小值是14；∴他至少获得14万元的利润．因为，所以在对称轴2=x 的右侧， z 随x 的增大而增大所以，当8=x 时，z 的最大值为32．15．(08XX 聊城)如图，把一X 长10cm ，宽8cm 的矩形硬纸板的四周各剪去一个同样大小的正方形，再折合成一个无盖的长方体盒子（纸板的厚度忽略不计）．（1）要使长方体盒子的底面积为48cm 2，那么剪去的正方形的边长为多少？（2）你感到折合而成的长方体盒子的侧面积会不会有更大的情况？如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由；（3）如果把矩形硬纸板的四周分别剪去2个同样大小的正方形和2个同样形状、同样大小的矩形，然后折合成一个有盖的长方体盒子，是否有侧面积最大的情况；如果有，请你求出最大值和此时剪去的正方形的边长；如果没有，请你说明理由．解：（1）设正方形的边长为cm ，则．即．解得（不合题意，舍去），．剪去的正方形的边长为1cm ． （2）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2，则与的函数关系式为：．即．改写为．当时，．即当剪去的正方形的边长为2.25cm 时， 长方体盒子的侧面积最大为40.5cm 2．（3）有侧面积最大的情况．设正方形的边长为cm ，盒子的侧面积为cm 2．若按图1所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=22102)28(2 即．当时，．若按图2所示的方法剪折， 则与的函数关系式为：x xx x y ⋅-⋅+-=2282)210(2． 即．当时，．比较以上两种剪折方法可以看出，按图2所示的方法剪折得到的盒子侧面积最大，即当剪去的正方形的边长为cm 时，折成的有盖长方体盒子的侧面积最大，最大面积为cm 2．16．(08XX)一座拱桥的轮廓是抛物线型(如图16所示)，拱高6m ，跨度20m ，相邻两支柱间的距离均为5m ．（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中(如图17所示)，求抛物线的解析式； （2）求支柱的长度；（3）拱桥下地平面是双向行车道(正中间是一条宽2m 的隔离带)，其中的一条行车道能否并排行驶宽2m 、高3m 的三辆汽车(汽车间的间隔忽略不计)？请说明你的理由．解：（1）根据题目条件，的坐标分别是．设抛物线的解析式为，将的坐标代入，得解得．所以抛物线的表达式是．（2）可设，于是从而支柱的长度是米．（3）设是隔离带的宽，是三辆车的宽度和，则点坐标是．过点作垂直交抛物线于，则．根据抛物线的特点，可知一条行车道能并排行驶这样的三辆汽车．。
二次函数面积最值问题
如何求解二次函数中的面积最值问题二次函数中求面积最值问题常用方法:1.补形、割形法2.“铅垂高，水平宽”面积法3.切线法4.三角函数法如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．解答(1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3；(2)Q(－1，2)；下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．一、补形、割形法几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形．方法一如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3<x<0)．方法二如图4，设P点(x，－x2－2x＋3)(－3<x<0)．（下略．）二、“铅垂高，水平宽”面积法如图5，过△ABC的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC内部线段的长度叫△ABC的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S△ABC＝ah，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．根据上述方法，本题解答如下：解如图6，作PE⊥x轴于点E，交BC于点F．设P点（x，－x2－2x＋3）（－3<x<0）．∴点P坐标为（－，）三、切线法若要使△PBC的面积最大，只需使BC上的高最大．过点P作BC的平行线l，当直线l与抛物线有唯一交点(即点P)时，BC上的高最大，此时△PBC的面积最大，于是，得到下面的切线法．解如图7，直线BC的解析式是y＝x＋3，过点P作BC的平行线l，从而可设直线l的解析式为：y＝x＋b．＝．四、三角函数法本题也可直接利用三角函数法求得．解如图8，作PE⊥x轴交于点E，交BC于点F，怍PM⊥BC于点M．设P点（x，－x2－2x＋3）（－3<x<0），则F(x，x＋3)．从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P作辅助线，然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解．如此深入挖掘一道题的多种解法，可使我们摆脱题海战术，提高解题能力．同时，善于总结一道题的多种解法能加快解题速度，提高解题效率，也有利于培养我们的钻研能力和创新精神．用分割面积法求二次函数动点面积最值考纲解读二次函数动点面积最值1. 二次函数在历年中考中都为重点内容，占分为40%。
二次函数中的面积最值问题最佳处理方法
因材教育二次函数中的面积最值问题从近几年的各地中考试卷来看，求面积的最值问题在压轴题中比较常见，而且通常与二次函数相结合．使解题具有一定难度，本文以一道中考题为例，介绍几种不同的解题方法，供同学们在解决这类问题时参考．如图1，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A(1，0)，B(－3，0)两点．(1)求该抛物线的解析式；(2)设(1)中的抛物线交y轴于C点，在该抛物线的对称轴上是否存在点Q，使得△QAC 的周长最小？若存在，求出Q点的坐标；若不存在，请说明理由；(3)如图2，在(1)中的抛物线上的第二象限上是否存在一点P，使△PBC的面积最大？若存在，求出点P的坐标及△PBC的面积最大值；若没有，请说明理由．解答(1)抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3；(2)Q(－1，2)；下面着重探讨求第(3)小题中面积最大值的几种方法．一、补形、割形法几何图形中常见的处理方式有分割、补形等，通过对图形的这些直观处理，一般能辅助解题，使解题过程简捷、明快．此类方法的要点在于把所求图形的面积进行适当的补或割，变成有利于表示面积的图形．方法一如图3，设P点（x，－x2－2x＋3）(－3<x<0)．方法二如图4，设P 点(x ，－x 2－2x ＋3)(－3<x<0)．（下略．）二、“铅垂高，水平宽”面积法如图5，过△ABC 的三个顶点分别作出与水平线垂直的三条直线，外侧两条直线之间的距离叫△ABC 的“水平宽”(a)，中间的这条直线在△ABC 内部线段的长度叫△ABC 的“铅垂高(h)”，我们可得出一种计算三角形面积的另一种方法：S △ABC ＝12ah ，即三角形面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半．根据上述方法，本题解答如下：解如图6，作PE ⊥x 轴于点E ，交BC 于点F ．设P 点（x ，－x 2－2x ＋3）（－3<x<0）．∴点P 坐标为（－32，154）三、切线法若要使△PBC 的面积最大，只需使BC 上的高最大．过点P 作BC 的平行线l ，当直线l 与抛物线有唯一交点(即点P)时，BC 上的高最大，此时△PBC 的面积最大，于是，得到下面的切线法．解如图7，直线BC 的解析式是y ＝x ＋3，过点P 作BC 的平行线l ，从而可设直线l 的解析式为：y ＝x ＋b ．＝278．四、三角函数法本题也可直接利用三角函数法求得．解如图8，作PE ⊥x 轴交于点E ，交BC 于点F ，怍PM ⊥BC 于点M ．设P 点（x ，－x 2－2x ＋3）（－3<x<0），则F(x ，x ＋3)．从以上四种解法可以看到，本题解题思路都是过点P 作辅助线，然后利用相关性质找出各元素之间的关系进行求解．如此深入挖掘一道题的多种解法，可使我们摆脱题海战术，提高解题能力．同时，善于总结一道题的多种解法能加快解题速度，提高解题效率，也有利于培养我们的钻研能力和创新精神．二次函数之面积问题（讲义）一、知识点睛1.二次函数之面积问题的处理思路①分析目标图形的点、线、图形特征；②依据特征、原则对图形进行割补、转化；③设计方案，求解、验证．面积问题的处理思路：公式、割补、转化．坐标系背景下问题处理原则：________________________，__________________________．2.二次函数之面积问题的常见模型①割补求面积——铅垂法：1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△1()2APB B A S PM x x =⋅⋅-△②转化法——借助平行线转化：若S △ABP =S △ABQ ，若S △ABP =S △ABQ ，当P ，Q 在AB 同侧时，当P ，Q 在AB 异侧时，PQ ∥AB ．AB 平分PQ ．二、精讲精练1.如图，抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)，C(0，3)三点．（1）求抛物线的解析式．（2）点M是直线BC上方抛物线上的点（不与B，C重合），过点M作MN∥y轴交线段BC于点N，若点M的横坐标为m，请用含m 的代数式表示MN的长．（3）在（2）的条件下，连接MB，MC，是否存在点M，使四边形OBMC的面积最大？若存在，求出点M的坐标及四边形OBMC的最大面积；若不存在，请说明理由．2.如图，抛物线322++-=x x y 与直线1+=x y 交于A ，C 两点，其中C点坐标为(2，t )．（1）若P 是直线AC 上方抛物线上的一个动点，求△APC 面积的最大值．（2）在直线AC 下方的抛物线上，是否存在点G ，使得6AGC S =△？如果存在，求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．3.如图，抛物线223y x x =--与x 轴交于A ，B 两点，与直线y x p =-+交于点A 和点C (2，-3).（1）若点M 在抛物线上，且以点M ，A ，C 以及另一点N 为顶点的平行四边形ACNM 的面积为12，求M ，N 两点的坐标．（2）在（1）的条件下，若点Q 是x 轴下方抛物线上的一动点，当△QMN 的面积最大时，请求出△QMN 的最大面积及此时点Q 的坐标．4.如图，抛物线223y x x =-++与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，对称轴与抛物线交于点P ，与直线BC 交于点M ，连接PB ．（1）抛物线上是否存在异于点P 的一点Q ，使△QMB 与△PMB 的面积相等？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．（2）在第一象限对称轴右侧的抛物线上是否存在一点R ，使△RMP 与△RMB 的面积相等？若存在，求出点R 的坐标；若不存在，请说明理由．5.如图，已知抛物线2y x bx c =++与x 轴交于点A (1，0)和点B ，与y 轴交于点C (0，-3)．（1）求抛物线的解析式．（2）如图，已知点H (0，-1)．①在x 轴下方的抛物线上是否存在点D ，使得S △ABH =S △ABD ？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．②在抛物线上是否存在点G （点G 在y 轴的左侧），使得S △GHC =S △GHA ？若存在，求出点G 的坐标；若不存在，请说明理由．【参考答案】一、知识点睛充分利用横平竖直的线段长函数特征几何特征互转二、精讲精练12。
二次函数求面积最大值
二次函数求面积最大值二次函数是高中数学中比较重要的一章内容，它在数学和物理中都有广泛的应用。
其中，求二次函数的最值是一个常见的问题，而二次函数求面积最大值也是其中一个重要的应用。
一、二次函数的基本概念二次函数是形如y=ax+bx+c的函数，其中a、b、c是实数且a≠0。
二次函数的图像是一条开口向上或向下的抛物线，其顶点坐标为(-b/2a, c-b/4a)。
二、二次函数求面积最大值的问题对于给定的二次函数y=ax+bx+c，我们要求其在区间[a, b]上的面积最大值。
这个问题可以转化为求y=ax+bx+c在区间[a, b]上的最大值和最小值，然后再利用定积分求解。
三、求二次函数的最值我们知道，二次函数的最值只可能出现在其顶点处，因此我们可以先求出二次函数的顶点坐标，然后再判断其是否在区间[a, b]内。
对于y=ax+bx+c，其顶点坐标为(-b/2a, c-b/4a)。
如果顶点坐标不在区间[a, b]内，则最值出现在区间端点处，即y(a)和y(b)中的较大值。
四、利用定积分求解面积最大值已知y=ax+bx+c在区间[a, b]上的最大值和最小值，我们可以利用定积分求解其面积最大值。
设y=ax+bx+c在区间[a, b]上的最大值和最小值分别为y1和y2，则其面积最大值为∫[a, b] (y1-y2)dx。
五、例题解析下面通过一个例题来说明如何利用二次函数求面积最大值。
例1：求函数y=-x+4x+5在区间[0, 4]上的面积最大值。
首先，求出该函数的顶点坐标：x0 = -b/2a = -4/(-2) = 2y0 = -x0+4x0+5 = -4+8+5 = 9因为顶点坐标(2, 9)在区间[0, 4]内，所以函数的最值为y(2)=9。
然后，利用定积分求解面积最大值：∫[0, 4] (y(2)-y)dx = ∫[0, 4] (9+x-4x)dx = 20/3因此，函数y=-x+4x+5在区间[0, 4]上的面积最大值为20/3。
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课题：二次函数中面积最值问题（复习课）
教学目标：利用二次函数的最值求面积最值问题
教学重点：利用二次函数的顶点公式或者配方法求解面积的最值
教学难点：利用二次函数的性质和自变量取值范围求面积的最值
教学过程：复习巩固：小题热身:1.二次函数 142--=x x y 的顶点是_________
2.当x= 时, y=3（x-5）2+6 有最___值为________ .
3.当x= 时,y=-2x2+8x-7有最___值为_______ .
引入： 王爷爷要用60米长的竹篱笆围矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,另三面用竹篱笆围成, 如何围才能使养鸡场的面积最大?最大面积是多少?
变一变 王爷爷要用60米长的竹篱笆围矩形养鸡场,养鸡场一面用砖砌成,（墙长10米）另三面用竹篱笆围成, 如何围才能使养鸡场的面积最大?最大面积是多少?
巩固：（2016•绍兴） 课本中有一个例题：
有一个窗户形状如图1，上部是一个半圆，下部是一个矩形，如果制作窗框的材料总长为6m ，如何设计这个窗户，使透光面积最大？
1.这个例题的答案是：当窗户半圆的半径约为0.35m 时，透光面积最大值约为1.05m2．
2.我们如果改变这个窗户的形状，上部改为由两个正方形组成的矩形，如图2，材料总长仍为6m ，利用图3，解答下列问题：
（1）若AB 为1m ，求此时窗户的透光面积？
（2）与课本中的例题比较，改变窗户形状后，窗户透光面积的最大值有没有变大？ 请通过计算说明．
归纳总结：运用二次函数求几何图形面积最值一般步骤
1.审题
2.引入自变量
3.用含自变量的代数式分别表示与所求几何图形相关的量
4.根据几何图形的特征，列出其面积的计算公式，并且用函数表示这个面积，并求得自变量的取值范围.
5.根据函数关系式，求出最值及取得最值时自变量的值.
6.检验结果的合理性
巩固：（2015•安徽）为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤（岸堤足够长）为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2．
（1）求y与x之间的函数关系式，并注明自变量x的取值范围；
（2）x为何值时，y有最大值？最大值是多少？
拓展：（2014•绍兴）课本中有一道作业题：
有一块三角形余料ABC，它的边BC=120mm，高AD=80mm．要把它加工成正方形零件，使正方形的一边在BC上，其余两个顶点分别在AB，AC上．问加工成的正方形零件的边长是多少mm？
小颖解得此题的答案为48mm，小颖善于反思，她又提出了如下的问题．
（1）如果原题中要加工的零件是一个矩形，且此矩形是由两个并排放置的正方形所组成，如图1，此时，这个矩形零件的两条边长又分别为多少mm？请你计算．
（2）如果原题中所要加工的零件只是一个矩形，如图2，这样，此矩形零件的两条边长就不能确定，但这个矩形面积有最大值，求达到这个最大值时矩形零件的两条边长．
小结 1.思想：函数和建模的数学思想
2.方法：顶点坐标公式和配方法
3.思考：最后结果的合理性。