第三章通信原理 随机过程

或随机过程的一次实现。 全部样本函数构成的总
体 x1t, x2 ，t,就,是xn 一t个
随机过程，记作 。
t
因此从这个角度得到随机过程的这种定义： 随机过程是所有样本函数的集合。
角度2：现在，我们在某一特定时刻如 时t1刻观察
各台接收机的噪声，可以发现在同一时刻，每个接 收机的输出噪声值是不同的，它在随机变化。
（1）随机过程的协方差函数:B(t1,t2) 描述了随机过程§(t)在任意两个时刻t1和t2，相对
均值的起伏量之间的相关程度。
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )

B(t1, t2 ) x1 a(t1 ) x2 a(t2 ) f2( x1, x2;t1, t2 )dx1dx2
f1x,t
F1x, t
x
F1x, t
x
f1 y, tdy
F1和x, t f即1x是, t 的函数，x 又是时间 的函数。t很显然，
一维分布函数及一维概率密度函数仅仅表示了随机过程 在任一瞬间的统计特性，它对随机过程的描述很不充分， 通常需要在足够多的时间上考察随机过程的多维分布。
测试结果表明，得到的 n张记录图形并不因为有 相同的条件而输出相同 的波形。恰恰相反，即 使n足够大，也找不到两 个完全相同的波形。这 就是说，通信机输出的 噪声电压随时间的变化 是不可预知的，因而它 是一个随机过程。
N部通信机的噪声输出记录
测试结果的每一个记录， 都是一个确定的时间函
数 ，xi 称t 之为样本函数
式中 是一个离散随机变量，且
P

、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
解：E代 1表 求 时t 1的数 学t 期望。
R代0,表1 求
t1 时 0, t2 的 1自相关t函 数。
E 1 E 1 E2cos2 E2cos 2Ecos
t1和 上t2 的两个随机变量。
f2( x1, x2;t1, t2 ) 是二维概率密度函数。
协方差函数、 相关函数体现了随机过程的 二维统计特性。
பைடு நூலகம்
(3) 协方差函数与 相关函数的关系：
B(t1, t2 ) E (t1) a(t1) (t2 ) a(t2 )
E (t1) (t2 ) a(t1)a(t2 ) (t1)a(t2 ) (t2 )a(t1)
望（实线）。均值表示随机过程的n个样本函数曲
线的摆动中心 。
2、方差：
随机过程的方差为：
D ( t ) E t at2




x

a
t
2

f
1

x
,
t
dx
显然，方差也是时间 t的函数，记为;
D (t) 2t
它表示随机过程在时刻t对于均值a(t)的偏离程度， 是一维统计特性，总是正数。
主要内容：
3.1 随机过程的基本概念 3.2 平稳随机过程 3.3 高斯随机过程 3.4 平稳随机过程通过线性系统 3.5 窄带随机过程(了解） 3.6 正弦波加窄带高斯噪声（了解） 3.7 高斯白噪声和带限白噪声 3.8 小结
3.1 随机过程的基本概念
一、随机过程 二、随机过程的分布函数 三、随机过程的数字特征
一维分布函数： F1x1, t1 p t1 x1
一维概率密度函数：f1x1, t1

F1x1, t1
x1
F1
x1 ,t1

f x1
1
x1' ,t1 dx1'
一般情况下：
一维分布函数： F1x,t p t x
一维概率密度函数：
（4）互相关函数： 如果把相关函数的概念引伸到两个随机过程中，
就得到互相关函数，它的定义如下：
R , ( t1 ,t2 ) E t1 t2

xyf , x , y ; t1,t2 dxdy
f , x, y;t1,t2 互概率密度或联合概率密度。
一、定义 二、各态历经性 三、平稳过程的自相关函数 四、平稳过程的功率谱密度
一、平稳随机过程的定义 平稳随机过程：若随机过程n维分布函数或概率密度函 数与时间的起点无关，即:
fn x1, x2 , , xn;t1, t2 , , tn fn x1, x2 , , xn;t1 t, t2 t, , tn t
这就是说平稳随机过程的一维分布和概率密度与时间 是无关的。上述表示式中的t可以省略，因此：平稳随机
过程的一维分布和概率密度可分别简化为： F和1x f1x
同理，二维分布只与时间间隔τ有关。
结论：平稳随机过程的： 一维分布与时间无关。 二维分布仅与时间间隔τ有关。
随着分布函数和概率密度的简化，平稳随机过程的 数字特征也可以相应地得到简化。
R 0,1 E 0 1 E2cos 2cos2
E 4cos2 4E cos2
4 1 cos2 0 1 cos2
2
2 2
2
3.2平稳随机过程
平稳随机过程是一类应用非常广泛的随机过程， 它在通信系统的研究中有着极其重要的意义。
2
即平稳随机过程的方差为常数。
平稳随机过程的自相关函数：
E (t1) (t2 ) a(t1)a(t2 )
B(t1, t2 ) R(t1, t2 ) a(t1)a(t2 )
若随机过程的数学期望为零，则协方差函数与相 关函数是相同的。即使数学期望不为零，协方差函数 与相关函数尽管形式不同，但它们所描述的随机过程 内部联系的效果是相同的。本书将采用相关函数。
2 1 cos 0 1 cos 1
2
2 2
习题3-2 设随机过程 t可 表示为 t 2cos2t
式中 是一个离散随机变量，且
P

、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
R代0,1表 求 t1 时0, t2 的1 自相关t函 数。
因为： D (t) E t at 2
E 2t 2 t at a2t
E 2t 2E tat Ea2t
E 2t 2a2t a2t
E 2t a2t 2t
即随机过程在任意时 刻上的取值是一个随 机变量。
因此，我们得到随 机过程的另一种定义: 随机过程是在时间进程 中处于不同时刻的随机 变量的集合。
t1
随机过程的定义： 角度1：随机过程是所有样本函数的集合。 角度2：随机过程是在时间进程中处于不同时
刻的随机变量的集合。
随机过程的基本特征：首先它是时间的函数，其次 它在任意时刻上的取值是一个随机变量。



x
f1

x,
t
dx
E
t


x

f1( x, t)dx
上式定义为随机过程的均值（数学期望）。显然它
是时间 的t函数，记为：
E t


x

f1( x, t)dx

at
t,at
a (t )
0
t1
t
上图画出了3个样本函数（细线）及它的数学期
第三章 随机过程
在通信系统中，随机过程是非常重要的数学工具。 因为通信中的信号与噪声都具有一定的随机性，它们 不能用一个确定的时间函数来表示，而必须根据随机 过程的理论来描述。
本章在介绍随机过程的分布及其数字特征等基本概 念的基础上，着重介绍通信系统中常见的几种重要的 随机过程的统计特性，以及随机过程通过线性系统的 情况。
§(t)的n维分布函数:
Fn x1, x2 , , xn;t1, t2 , tn p t1 x1, t2 x2 , , tn xn
§(t)的n维概率密度函数:
fn x1, x2 , , xn;t1, t2 , tn Fn x1, x2 , , xn;t1, t2 , tn
f2( x1, x2;t1, t2 ) 是二维概率密度函数。
(2)随机过程的相关函数：R(t1, t2 )
R(t1, t2 ) E (t1 ) (t2 )

R(t1 , t2 ) x1 x2 f2 ( x1 , x2;t1 , t2 )dx1dx2
(t、1 ) 是(t随2 )机过程 在任(t意) 两个时刻
相应的衡量同一过程的相关函数称为自相关函数。
习题3-2 设随机过程 t可 表示为 t 2cos2t
式中 是一个离散随机变量，且
P

、0
1 2
P 2， 试12求 和E 1。 R 0,1
习题3-2 设随机过程 t可 表示为 t 2cos2t
均方值
均值平方
方差
即： 2t E 2t a2t
所以随机过程的方差也等于随机过程均方值减去 均值的平方。
3、相关函数
数学期望和方差是随机过程的重要数字特征， 但它们仅与随机过程的一维概率密度函数有关。只 描述了随机过程在各个孤立时刻的特性。为了衡量 随机过程在任意两个时刻上获得的随机变量之间的 而关联程度，常采用相关函数或协方差函数。
1、均值（数学期望）
设随机过程 在t给 定瞬时的值为 ，它t1 是 一个随机
变望意指量定，的它E，对 直应t1 接的t1，写概x显为率f1然密x，,度t1则函dx上是数式时为改间写的为，E函：其f数1t数1xt，, t学1由 期于 是t1任
E
t
平稳随机过程的均值：