信息安全数学基础第一阶段知识总结
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信息安全数学基础第一阶段知识总结
第一章 整数的可除性
一 整除的概念和欧几里得除法 1 整除的概念
定义1 设a 、b 是两个整数,其中b ≠0如果存在一个整数 q 使得等式 a=bq 成立,就称b 整除a 或者a 被b 整除,记作b|a ,并把b 叫作a 的因数,把a 叫作b 的倍数.
这时,q 也是a 的因数,我们常常将q 写成a /b 或
否则,就称b 不能整除a 或者a 不能被b 整除,记作a b.
2整除的基本性质
(1)当b 遍历整数a 的所有因数时,-b 也遍历整数a 的所有因数.
(2)当b 遍历整数a 的所有因数时,a/b 也遍历整数a 的所有因数.
(3)设b ,c 都是非零整数, (i)若b|a ,则|b|||a|. (ii)若b|a ,则bc|ac.
(iii)若b|a ,则1<|b|≤|a|. 3整除的相关定理
(1) 设a ,b ≠0,c ≠0是三个整数.若c|b ,b|a ,则
a
b
c|a.
(2) 设a ,b ,c ≠0是三个整数,若c|a ,c|b ,则c|a ±b
(3) 设a ,b ,c 是三个整数.若c|a ,c|b 则对任意整数s ,t ,有c|sa+tb.
(4) 若整数a 1 , …,a n 都是整数c ≠0的倍数,则对任意n 个整数s 1,…,s n ,整数 是c 的倍数
(5) 设a ,b 都是非零整数.若a|b ,b|a ,则a=±b (6) 设a, b , c 是三个整数,且b ≠0,c ≠0,如果(a , c)=1,则
(ab , c)=(b , c)
(7) 设a , b , c 是三个整数,且c ≠0,如果c |ab , (a , c) = 1, 则c | b.
(8) 设p 是素数,若p |ab , 则p |a 或p|b
(9) 设a 1 , …,a n 是n 个整数,p 是素数,若p| a 1 …a n ,则p 一定整除某一个a k 二 整数的表示
主要掌握二进制、十进制、十六进制等的相互转化. 三 最大公因数和最小公倍数 (一)最大公因数 1.最大公因数的概念
n n a
s a s ++ 11
定义:设是个整数,若使得,则称为的一个因数.公因数中最大的一个称为的最大公因数.记作.
若,则称互素.
若,则称两两互素.
思考:1.由两两互素,能否导出
2.由能否导出两两互素?
2.最大公因数的存在性
(1)若不全为零,则最大公因数存在并且
(2)若全为零,则任何整数都是它的公因数.这时,它们没有最大公因数.
3.求两个正整数的最大公因数.
定理1:设任意三个不全为零的整数,且则
辗转相除法
由带余除法得
(1)
……
因为每进行一次带余除法,余数至少减少1,且是有限整数,故经过有限次带余除法后,总可以得到一个余数是零的情况,即
由(1)知,
定理2:任意两个正整数,则是(1)中最后一个不等于零的余数.
定理3:任意两个正整数的任意公因数都是的因数.4.性质
定理4:任意两个正整数,则存在整数,使得成立
定理5:设是不全为零的整数.
(i)若则
(ii)若则
(iii)若是任意整数,则
从上面定理我们很容易得到下面几个常用结论:
①
②且
③
④
5.求两个以上正整数的最大公因数
设
则有下面的定理:
定理6:若是个正整数,则
只需证①是的一个公因数.②是的公因数中最大一个
例求
解:
6.求两个正整数的最大公因数的线性组合(重点掌握)
方法一运用辗转相除法求最大公因数的逆过程;
方法二补充的方法
方法三运用列表法求解
(二) 最小公倍数
1.最小公倍数的定义
定义:是个整数,如果对于整数,有
,那么叫做的一个公倍数.在的一切公倍数中最小一个正整数,叫做最小公倍
数.记作.
2.最小公倍数的性质.
定理1:设是任给的两个正整数,则
(i)的所有公倍数都是的倍数.
(ii)
定理2:设正整数是的一个公倍数,则
3.求两个以上整数的最小公倍数
定理3:设是个正整数, 若
则
只需证:①是的一个公倍数,即,
②设是的任一公倍数,则
例1 求
解:
又
四素数算术基本定理
1.素数、合数的概念
定义:一个大于1的整数,如果它的正因数只有1和它的本身,我们就称它为素数,否则就称为合数.
2.性质
定理1:设是大于1的整数,则至少有一个素因数,并且当是合数时,若是它大于1的最小正因数,则
p ,都有定理2设n是一个正整数,如果对所有地素数n
p n,则n一定是素数.
求素数的基本方法:爱拉托斯散筛法。
定理3:设是素数,是任意整数,则
(i) 或(ii) 若则或
3.素数的个数
定理4:素数的个数是无穷的.
4.算术基本定理
定理5任一整数n>1都可以表示成素数的乘积,且在不考虑乘积顺序的情况下,该表达式是唯一的.即
n= p1… p s , p1≤… ≤p s , (1)
其中p i是素数,并且若n = q1…q t , q1≤… ≤q t , 其中q j是素数,则s= t , p i = q j, 1 ≤i ≤s. 推论1:设是任一大于1的整数,且
为素数,且则是的正因数的充分必要条件是
推论2:且
为素数.
则
第二章同余
一同余概念和基本性质
<一>、同余的定义.
定义:如果用去除两个整数所得的余数相同,则称整数关于模同余,记作如果余数不同,则称关于模不同余,记作.
定理1:整数关于模同余充分必要条件是
<二>、性质.
定理2:同余关系是一种等价关系,即满足
(1)自反性:
(2)对称性:若
(3)传递性:若
定理3:若
则:
定理4:若且则
定理5:若且则
定理6:若,则
定理7:若且则
定理8:若则
定理9设整数n有十进制表示式:
n = a k 10k + a k-1 10k-1+ … + a1 10 + a0 , 0≤a i <10则 3 | n的充分必要条件是 3 | a k+ … + a0 ;
而9 |n 的充分必要条件是9 | a k+ … + a0 .
定理10设整数n有1000进制表示式:
n = a k 1000k+ …+ a1 1000 + a0 , 0≤a i
<1000
则7(或11,或13)|n的充分必要条件是7(或11,或13)能整除整数
( a0 + a2 + …) –( a1 + a3 + …)
例1:求7除的余数.
解:
除的余数为4.
例2:求的个位数.
解:
的个位数为.
二完全剩余系和互素剩余系
<一>、剩余类.
1.定义1:设是一个给定的正整数.
则叫做模的剩余类.
定理1:设是模的剩余类,
则有(1)中每一个整数必属于这个类中的一个,且仅属于一个.
(2)中任意两个整数属于同一类的充要条件是
<二>、完全剩余系
1.定义2:在模的剩余类中各取一个数
则个整数称为模的一组完全剩余系.
任意个连续的整数一定构成模的一组完全剩余系.
2.形成完全剩余系的充要条件.
定理2:个整数形成模的完全剩余系的充要条件是:
3.完全剩余系的性质.
定理3:若则当遍历模的完全剩余系时,则
也遍历模的完全剩余系.
定理4 设m是一个正整数,a是满足(a,m)=1的整数,则存在整数a’
1 ≤a’ 定理5:若当分别遍历模的完全剩余系时,则也遍历模的完全剩余系. 例1:问是否构成模的完全剩余系? 解: 是的一个排列. 能构成模的一组完全剩余系. <三> 简化剩余系 1、简化剩余类、简化剩余系概念. 定义3:若模的某一剩余类里的数与互素,则把它称为模的一个互素剩余类.在与模互素的全部剩余类中,各取出一整 数组成的系,叫做模的一组简化剩余系. 在完全剩余系中所有与模互素的整数构成模的简化剩余系.2.简化剩余系的个数. 定义4:欧拉函数是定义在正整数集上的函数,的值等于序列与互素的个数. 为素数 定理6:个整数构成模的简化剩余系的充要条件是 定理7:若遍历模的简化剩余系,则也遍历模的 简化剩余系 定理8设 m 1 ,m 2 是互素的两个正整数,如果x 1 , x 2 分别遍历模 m 1 和 m 2 的简化剩余系,则m 2x 1 + m 1x 2 遍历模m 1 m 2 的简化剩余系. 定理9:若 ,则 ∏ ∏ --=-=== n p k n p a k a a p p n p n n p p p n n s |1|1) 1 1()11()11()(101 ?则有标准因数分解式为 设正整数定理 <三>欧拉定理 费马小定理 威尔逊定理 1. 欧拉定理 设m 是大于1的整数,如果a 是满足(a , m)=1的整数,则 )m mod (1a ) m (≡? 2.费马定理 设p 是一个素数,则对任意整数a ,我们有 a p ≡a (mod p) 3.(wilson )设p 是一个素数.则 )p mod (1)!1p (-≡- <四>模重复平方计算法 主要掌握运用该方法解题过程 第三章 同余式 1.同余式的定义 定义1 设m 是一个正整数,设f(x)为多项式 1n n a x a x a )x (f +++= 其中a i 是整数,则 f(x) ≡0( mod m ) (1)叫作模m 同余式 . 若 n a 0 (mod m), 则n 叫做f(x)的次数,记作 degf .此时,(1)式又叫做模m 的n 次同余式. 2.同余式的解、解数及通解表达式 定理 1 设m 是一个正整数,a 是满足a m 的整数则一次同余式 ax ≡b (mod m)有解的充分必要条件是(a , m)|b ,而且, 当同余式有解时,其解数为d =( a , m). 定理2设m 是一个正整数,a 是满足(a,m)=1的整数,则一次同余式 ax ≡ 1(mod m)有唯一解x ≡a ’(mod m). 定理3 设m 是一个正整数,a 是满足(a,m)|b 的整数,则一次同余式 ax ≡ b(mod m) 的全部解为 . 1)m ,a (,,1,0t )m mod ()m ,a (m t ))m ,a (m mod ()m ,a (a )m ,a (b x 1 -=+???? ????? ???≡- 3.中国剩余定理 定理1 (中国剩余定理)设k 1m ,,m 是k 个两两互素的正整数,则对任意的整数k 1b ,,b ,同余式组 ) 1()m mod (b x )m mod (b x k k 11??? ??≡≡ 一定有解,且解是唯一的 例1 计算 ).77 mod (21000000 解一 利用 2.4定理 1(Euler 定理 )及模重复平方计算法直接计算. 因为77=7·11,,60)11()7()77(=?=???所以由2.4 定理1(Euler 定理),)77 mod (1260 ≡,又 1000000=16666·60+40,所以 )77 mod (22)2(2404016666601000000≡?=,设m=77,b=2,令 a=1. 将40写成二进制,40=23 + 25 ,运用模重复平方法,我们依次计算如下: (1) )77(mod 4,1,02100≡≡≡==b b a a n 计算 (2) n 1 = 0, 计算 )77 mod (16b b ,1a a 21201≡≡≡= (3) n 2 = 0, 计算 )77 mod (25b b ,1a a 22 312≡≡≡= (4) n 3 = 1, 计 算 )77 mod (9b b ,25b a a 2 34323≡≡≡?= (5) n 4 = 0 , 计算 )77 mod (4b b ,25a a 24 534≡≡≡= (6) n 6 = 1 , 计算 )77 23(mod b a a 545≡?= 最后,计算出 )77 mod (2321000000 ≡ 解二 令1000000 2x =,因为77=7·11,所以计算 x(mod 77) 等价于求解同余式组 ? ? ? ≡ ≡ ) 11 mod ( b x ) 77 mod ( b x 2 1因为Euler定理给出 )7 mod (1 2 26 )7(≡ ≡ ?,以及1000000=166666·6+4,所以 )7 mod (2 2 ) 2( 2 b4 166666 6 1000000 1 ≡ ? ≡ ≡. 令77 m m m , 11 m ,7 m 2 1 2 1 = ? = = =,7 m M , 11 m M 1 2 2 1 = = = = 分别求解同余式) 11 mod (1 7M ), 7 mod (1 11M' 2 ' 1 ≡ ≡,得到8 M ,2 M' 2 ' 1 = =故x≡2·11·2+8·7·1≡100≡23(mod 77) 因此,21000000≡23(mod 77) 例2:解同余式组 解: 原同余式组有解且同解于 两两互素 同余式组有惟一解. 原同余式组的解为 第四章 二次同余式与平方剩余 1.二次同余式的定义 定义1 设m 是正整数,若同余式1)m ,a (),m mod (a x 2 =≡ 有解,则a 叫做模m 的平方剩余(二次剩余);否则,a 叫做模m 的平方非剩余(或二次非剩余). 2. 模为奇素数的平方剩余和平方非剩余 讨论模为素数p 的二次同余式1),(),(mod 2 =≡p a p a x 定理1(欧拉判别条件)设p 是奇素数,(a, p)=1, 则 ( i ) a 是模p 的平方剩余的充分必要条件是 );(mod 12 1p a p ≡- (ii) a 是模p 的平方非剩余的充分必要条件是 );(mod 12 1p a p -≡-并且当a 是模p 的平方剩余时,同 余式(1)恰有二解. 定理2 设p 是奇素数,则模p 的简化剩余系中平方剩余与平方非剩余的个数各为(p-1)/2,且(p-1)/2个平方剩余与序列: 2 2 2 ) 2 1(,,2,1-p 中的一个数同余.且仅与一个数同余. 例1 利用定理判断 3.勒让德符号 定义1 设p 是素数,定义勒让德符号如下: ??? ??=a p p a p a |0 1,1)p a (若,的平方非剩余是模,若-的平方剩余是模若 欧拉判别法则 设p 是奇素数,则对任意整数 a, )p mod (a p a 21 p -≡?? ? ?? 常用定理及结论 设p 是奇素数,则 (1) 1p 1=?? ? ?? (2) 2 1p )1(p 1--=?? ? ??- (3)?? ?≡≡=??? ??-4) 3(mod p , 1-)4 mod (1p ,1p 1若若 (4) ;p a p p a ?? ? ??=??? ??+ (5) ;p b p a p ab ?? ? ????? ??=??? ?? (6) 设(a, p) =1, 则 1p a 2=?? ? ?? (7) 设p 是奇素数,如果整数a, b 满足 a ≡ b(mod p),则 ?? ? ??=??? ??p b p a (8)81 2p )1(p 2--=??? ? ?? (9)互倒定律 若p,q 是互素奇素数,则 ?? ? ??-=??? ??-?-q p )1(p q 2 1 q 21p 例1?? ? ????? ????? ??= ??? ??5355335325330 ,而