2018高三数学(理)一轮复习课件：10-4变量间的相关关系统计案例

��=1
��
��
∑
2 ��2 ��
, �� = �� − �� ,它主要用来估计和预测取值,从而获得对
^
^
这两个变量之间整体关系的了解.求回归方程的方法是最小二乘法, 即使得样本数据的点到回归直线的距离的平方和最小.
,它主要用于相关量的显著性检验,以衡量
2
它们之间的线性相关程度.当r>0时表示两个变量正相关,当r<0 时表示两个变量负相关.|r|越接近1,表明两个变量的线性相关性越强 ;当|r|接近0时,表明两个变量间几乎不存在线性相关性 .
知识梳理知识梳理双基自测
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5.独立性检验 (1)分类变量:变量的不同“值”表示个体所属的不同类别 , 像这类变量称为分类变量. (2)列联表:列出两个分类变量的频数表 ,称为列联表.假设有两个分类变量X和Y,它们的可能取值分别为{x1,x2}和{y1,y2},其样本频数列联表(称为2×2列联表)为 2×2列联表
^
^
^
^ ^
^ ^ ^ 由 �� =-0.1x+1 知 y 与 x 负相关,又 �� 与 z 正相关,故 z 与 x 负相关.
关闭
D.x 与�� 负相关,x 与 z 正相关
^
关闭
A
解析答案
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3.(2016河南焦作二模)为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系,随机调查了该社区5户家庭,得到如下统计数据表:
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3.回归方程与最小二乘法若变量 x 与 y 具有线性相关关系,有 n 个样本数据 (xi,yi)(i=1,2,…,n),则回归方程为�� = b x+�� ,其中�� =
��=1 �� -��
(5)通过回归方程�� = b x+�� 可以估计和观测变量的取值和变化关闭趋势 ( (2)√ ) (3)√ (4)√ (5)√ (1). ×
答案
^ ^ ^
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2.已知变量 x 和 y 满足关系�� =-0.1x+1,变量�� 与 z 正相关.下列结论中正确的是( ) A.x 与�� 负相关,x 与 z 负相关 B.x 与�� 正相关,x 与 z 正相关 C.x 与�� 正相关,x 与 z 负相关
10.4
变量间的相关关系、统计案例
知识梳理知识梳理双基自测
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1.变量间的相关关系 (1)定义:当自变量取值一定时,因变量的取值带有一定随机性的两个变量之间的关系叫做相关关系.与函数关系不同,相关关系是非确定性关系一种 . (2)散点图:表示具有相关关系的两个变量的一组数据的图形叫做散点图,它可直观地判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示. 若这些点分布在从左下角到右上角的区域,则称两个变量正相关 ;若这些点分布在从左上角到右下角的区域,则称两个变量负相关 . (3)线性相关关系、回归直线:如果散点图中的点的分布从整体上一条直线附近看大致在 ,那么就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.
n= a+b+c+d
为样本容量.
(3)独立性检验:利用随机变量K2来确定在多大程度上可以认为 “两个分类变量有关系”的方法称为两个分类变量的独立性检验.
知识梳理知识梳理双基自测
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1.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”. (1)相关关系与函数关系都是一种确定性的关系,也是一种因果关系.( ) (2)利用散点图可以直观判断两个变量的关系是否可以用线性关系表示.( ) (3)只有两个变量有相关关系,所得到的回归模型才有预测价值. ( ) (4)若事件X,Y的关系越密切,则由观测数据计算得到的K2的观测值越大.( )
知识梳理知识梳理双基自测
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(4)非线性相关:若散点图上所有点看上去都在某条曲线(不是一条直线) 附近波动,则称这两个变量一条曲线为非线性相关.此时,可以用来拟合. (5)不相关:如果所有的点在散点图中没有显示任何关系则称这两个变量是不相关的. ,
知识梳理知识梳理双基自测
y1 x1 x2 总计 a c a+c
y2 b d b+d
总
计
a+b c+d a+b+c+d
知识梳理知识梳理双基自测
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2 �� ( �� ) 构造一个随机变量 K2= ,其中 (��+��)(��+��)(��+��)(��+��)
收入 x/万元支出 y/万元
8.2 6.2
8.6 7.5
10.0 8.0
11.3 8.5
11.9 9.8
根据上表可得回归直线方程�� = b x+�� ,其中�� =0.76,�� = �� −
^ ^ ^
^
^
∵ =10,�� = 15 万元家庭的年支出为 =8, ( �� .= 据此估计,该社区一户年收入为 5 5
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2.回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析. 在线性回归模型y=bx+a+e中,因变量y的值由自变量x和随机误差e 共同确定,即自变量x只能解释部分y的变化,在统计中,我们把自变量x称为解释变量 ,因变量y称为预报变量 .
知识梳理知识梳理双基自测
知识梳理知识梳理双基自测
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4.相关系数
r=
∑ xi yi -��x y ��=1
2 ∑ ��2 �� i=1 n ��=1
��
∑ ��2 �� -��
��

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2018版高考一轮数学文科：第56讲-变量间的相关关系、统计案例ppt课件

[ 解析 ] D 因为所有点都分布在一条直线上，说明相关性很强，相关系数达到最大值，即为 1. 故选 D.
^ c＝y－d^w＝563－68×6.8＝100.6， ^ ＝ 100.6 ＋所以 y 关于 w 的线性回归方程为 y 68w， ^＝100.6＋68 x. 因此 y 关于 x 的回归方程为y
20.12， 13.6 ^ 所以当 x＝ 2 ＝6.8，即 x＝46.24 时， z取得最大值．故年宣传费为 46.24 千元时，年利润的预报值最大．
真题在线
9.32 ^＝ (2)由 y＝ 7 ≈1.331 及(1)得b ^ ^t≈1.331－0.103×4≈0.92. a＝y－b ^＝0.92＋0.10t. 所以，y 关于 t 的回归方程为y
≈0.103，
^＝0.92＋0.10×9＝1.82，将 2016 年对应的年份代码 t＝9 代入回归方程，得y 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约为 1.82 亿吨．
真题在线
附注：
^ ＝ ^ ^ t 中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：回归方程 y a ＋ b
真题在线
2.89 2.89 ≈ ≈0.99. 0.55× 28 0.55×2×2.646 因为 y 与 t 的相关系数近似为 0.99，说明 y 与 t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合 y 与 t 的关系． r＝
真题在线
4．[2012· 新课标全国卷] 在一组样本数据(x1， y1)，(x2，y2)，„，(xn，yn)(n≥2，x1，x2，„， xn 不全相等)的散点图中，若所有样本点(xi， yi)(i 1 ＝1，2，„，n)都在直线 y＝2x＋1 上，则这组样本数据的样本相关系数为( ) 1 A．－1 B．0 C.2 D．1

2018高考数学理人教B版一轮课件：10-4变量间的相关关

^
关闭
B
解析
答案
-13知识梳理双基自测
1
2
3
4
5
4.高三年级267位学生参加期末考试,某班37位学生的语文成绩、数学成绩与总成绩在全年级中的排名情况如下图所示,甲、乙、丙为该班三位学生.
2
,n+2=
,
.
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(3)两个临界值:3.841与6.635 2 当 χ >3.841 时,有95%的把握说事件A与B有关; 2>6.635 χ 当时,有99%的把握说事件A与B有关; 当 χ2≤3.841 时,认为事件A与B是无关的.
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3.散点图在一个统计数表中,为了更清楚地看出x和y是否有相关关系,常将 x的取值作为横坐标,将y的相应取值作为纵坐标,在直角坐标系中描点(xi,yi)(i=1,2,…,n),这样的图形叫做散点图.
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4.回归分析对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法叫做回归分析.其基本步骤是:(ⅰ)画散点图;(ⅱ) 求回归直线方程 ;(ⅲ)用回归直线方程作预报. (1)回归直线:如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.
(5)通过回归方程�� = b x+�� 可以估计和观测变量的取值和变化关闭趋势 . ( (2)√ ) (3)√ (4)√ (5)√ (1)×

2018年高考数学一轮复习第十章算法初步统计统计案例第67讲变量间的相关关系与统计案例课件理

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块
一
板块二
板块三
板块四
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1．相关关系与回归方程 (1)相关关系的分类左下角到__________ 右上角的区域内． ①正相关：从散点图上看，点散布在从__________ ②负相关：从散点图上看，点散布在从__________到__________的区域内．
•一相关关系的判断
• 判定两个变量正、负相关性的方法： • (1)画散点图：点的分布从左下角到右上角，两个变量正相关；点的分布从左上角到右下角，两个变量负相关． • (2)相关系数：r>0时，正相关；r<0时，负相关.
• (3)线性回归方程中：b>0时，正相关；b<0时，负相关． • (4)相关关系的直观判断方法就是作出散点图，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性，若呈图形区域且分布较乱则不具备相关性．
n
ui－ u vi－ v
^＝率和截距的最小二乘估计分别为β
i＝1 n
^ ＝ v －β ^u. ，α
ui－ u 2
i＝1
解析：(1)由散点图可以判断，y＝c＋d x适宜作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的回归方程类型． (2)令 w＝ x，先建立 y 关于 w 的线性回归方程．由于
(1)从这 20 名男生中随机选出 3 人，求恰有一人睡眠时间不足 7 小时的概率； (2)完成下面 2×2 列联表，并回答是否有 90%的把握认为“睡眠时间与性别有关”？睡眠时间少于 7 小时男生女生合计 P(K2≥k0) k0 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 睡眠时间不少于 7 小时合计

2018高考数学(理)一轮复习课件第十章统计与统计案例第3讲课件

C
)
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 B．1% D．99.9%
[解析] 因为 7.069 与附表中的 6.635 最接近，所以得到的统计学结论是：有 1－0.010＝0.99＝99%的把握认为“学生性别与支持该活动有关系”．
4．下面是一个 2×2 列联表 y1 y2 总计 x1 x2 a 21 2 25 73 27
线性相关关系回归直线 ________________ ，这条直线叫____________ ．
(2)从散点图上看，点分布在从左下角到右上角的区域内，两
正相关个变量的这种相关关系称为____________ ，点分布在左上角负相关到右下角的区域内，两个变量的相关关系为____________ ．
2．求回归方程的方法 ^ ^ ^ 求解回归方程的关键是确定回归系数 a ， b ，因求解 b 的公式计算量太大，一般题目中给出相关的量，如 x ， y ， x2 i，
i＝ 1 n
i＝ 1
xiyi 等，便可直接代入求解．充分利用回归直线过样本中
n
^ ^ ^ 心点( x ， y )，即有 y ＝ b x ＋Байду номын сангаасa ，可确定 a .
总计 b 46
52、54 则表中 a、b 处的值分别为________ ．
[解析] 因为 a＋21＝73，所以 a＝52. 又因为 a＋2＝b，所以 b＝54，
5．已知 x，y 的取值如下表，从散点图可以看出 y 与 x 线性相
2.6 ^ ^ ^ 关，且回归方程为 y ＝0.95x＋ a ，则 a ＝________．
C
)
【解析】
因为 y＝－0.1x＋1 的斜率小于 0，故 x 与 y 负相

2018版高考数学一轮总复习第9章统计统计案例及算法初步9.3变量相关关系与统计案例课件文

板块二典例探17· 洛阳模拟]为研究语文成绩和英语成绩之间
是否具有线性相关关系，统计某班学生的两科成绩得到如图所示的散点图(x 轴、 y 轴的单位长度相同)，用回归直线方程 ^ y ＝bx＋a 近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )
考点 3
独立性检验
1．独立性检验的有关概念 (1)分类变量可用变量的不同“值”表示个体所属的不同类别的变量称为分类变量．
(2)2×2 列联表假设有两个分类变量 X 和 Y，它们的取值分别为{x1， x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为 2×2 列联表)为 y1 x1 x2 总计 a c y2 b d 总计 a＋b c＋d a＋b＋c＋d
【变式训练 2】
PM2.5 是指空气中直径小于或等于 2.5
微米的颗粒物 ( 也称可入肺颗粒物 ) ．为了探究车流量与 PM2.5 的浓度是否相关，现采集到某城市周一至周五某一时间段车流量与 PM2.5 浓度的数据如下表：时间车流量 x(万辆) PM2.5 的浓度 y(微克/立方米) 周一周二周三周四周五 100 78 102 80 108 84 114 88 116 90
[双基夯实] 一、疑难辨析判断下列结论的正误． ( 正确的打“√”，错误的打 “×”) 1．相关关系与函数关系都是一种确定性的关系，也是一种因果关系．( × ) 2．只有两个变量有相关关系，所得到的回归模型才有预测价值．( √ )
3．某同学研究卖出的热饮杯数 y 与气温 x(℃)之间的关 ^ 系，得到回归方程y＝－2.352x＋147.767，则气温为 2 ℃时，一定可卖出 143 杯热饮．( × ) 4．事件 X，Y 关系越密切，则由观测数据计算得到的 K2 的观测值越大．( √ ) 5．由独立性检验可知，在犯错误的概率不超过 1%的前提下认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有 99%的可能物理优秀．( × )

2018届高考数学一轮复习(理科)课件第11章-第3节变量间的相关关系统计案例(78张PPT) 课标版

知识
梳理诊断
1．相关关系与回归方程 (1)相关关系的分类
左下角 ①正相关：从散点图上看，点散布在从
区域内． ②负相关：从散点图上看，点散布在从左上角区域内．
右上角到
的
右下角到
的
(2)线性相关关系从散点图上看，如果这些点从整体上看大致分布在一条直线附近，则称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫回归直线．
[答案]
C
3．已知变量 x 与 y 正相关，且由观测数据算得样本平均－－数 x ＝3， y ＝3.5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是( ) B.^ y＝2x－2.4 D.^ y＝－0.3x＋4.4
A.^ y＝0.4x＋2.3 C.^ y＝－2x＋9.5
[解析]
由变量 x 与 y 正相关，可知 x 的系数为正，排除
C，D.而所有的回归直线必经过点(－ x ，－ y )，由此排除 B，故选 A.
[答案] A
4．为研究语文成绩和英语成绩之间是否具有线性相关关系，统计两科成绩得到如图所示的散点图(两坐标轴单位长度 ^ ^ ^ 相同)，用回归直线y＝bx＋a近似地刻画其相关关系，根据图形，以下结论最有可能成立的是( )
^ ^ ^
(2)回归直线方程y＝bx＋a至少经过点(x1， y1)， (x2， y2)， …， (xn，yn)中的一个点．(
^ ^
)
^
(3)通过回归方程y＝bx＋a可以估计和观测变量的取值和变化趋势．( )
(4)两个变量的相关系数的绝对值ຫໍສະໝຸດ 接近于 1，它们的相关性越强．( )
(5)由独立性检验可知，有 99%的把握认为物理成绩优秀与数学成绩有关，某人数学成绩优秀，则他有 99%的可能物理优秀．(

2018届高三数学一轮复习第十一章统计统计案例第三节变量间的相关关系统计案例课件理

理数
课标版
第三节变量间的相关关系、统计案例
教材研读
1.两个变量的线性相关 (1)正相关在散点图中,点散布在从① 左下角到② 右上角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为正相关. (2)负相关在散点图中,点散布在从③ 左上角到④ 右下角的区域,对于两个变量的这种相关关系,我们将它称为负相关. (3)线性相关关系、回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在⑤ 一条直线附近 ,就称这两个变量之间具有线性相关关系,这条直线叫做回归直线.
n
xi yi nxy
(3)相关系数:r
i1
i.n1xi2
2
nx
in1 yi2
2
ny
当r>0时,表明两个变量⑩ 正相关 ;
当r<0时,表明两个变量负相关 .
r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强 .r的绝对值越接近于0,表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系 .通常 |r|大于或等于 0.75 时,认为两个变量有很强的线性相关性.
y)
n
xi yi nxy
i1
n
xi2
2
nx
,
i1
i1
a^
⑦ y
^
b
x .
2.回归分析 (1)回归分析是对具有⑧ 常用方法. (2)样本点的中心
相关关系
的两个变量进行统计分析的一种
对于一组具有线性相关关系的数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn),我们知道 x = 1
n
i n1x⑨i,y(1ni n1,yi,则 ) 将称为样x 本y 点的中心.
1.观察下列各图:
其中两个变量x,y具有线性相关关系的图是 ( ) A.①② B.①④ C.③④ D.②③ 答案 C 由散点图知③④中x,y具有线性相关关系.

(通用)2018年高考数学一轮复习第十章统计与统计案例103变量间的相关关系、统计案例学案理!

§10.3 变量间的相关关系、统计案例考纲展示►1.会作两个相关变量的散点图，会利用散点图认识变量之间的相关关系． 2．了解最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归系数公式建立线性回归方程． 3．了解独立性检验(只要求2×2列联表)的基本思想、方法及其简单应用． 4．了解回归分析的基本思想、方法及其简单应用．考点1 变量间的相关关系1.常见的两变量之间的关系有两类：一类是函数关系，另一类是________；与函数关系不同，________是一种非确定性关系．答案：相关关系相关关系2．从散点图上看，点散布在从左下角到右上角的区域内，两个变量的这种相关关系称为________，点散布在左上角到右下角的区域内，两个变量的相关关系为________．答案：正相关负相关对回归系数的理解：解释变量；预报变量．某工厂工人月工资y (元)依劳动产值x (万元)变化的回归直线方程为y ^＝900x ＋600，下列判断正确的是__________．①劳动产值为10 000元时，工资为500元； ②劳动产值提高10 000元时，工资提高1 500元； ③劳动产值提高10 000元时，工资提高900元； ④劳动产值为10 000元时，工资为900元．答案：③解析：回归系数b ^的意义为：解释变量每增加1个单位，预报变量平均增加b 个单位.[典题1] (1)下列四个散点图中，变量x 与y 之间具有负的线性相关关系的是( )A BC D[答案] D[解析] 观察散点图可知，只有D 选项的散点图表示的是变量x 与y 之间具有负的线性相关关系．(2)四名同学根据各自的样本数据研究变量x ，y 之间的相关关系，并求得回归直线方程，分别得到以下四个结论：①y 与x 负相关且y ^＝2.347x －6.423； ②y 与x 负相关且y ^＝－3.476x ＋5.648； ③y 与x 正相关且y ^＝5.437x ＋8.493； ④y 与x 正相关且y ^＝－4.326x －4.578. 其中一定不正确的结论的序号是( ) A ．①② B ．②③ C ．③④ D ．①④ [答案] D[解析] 由回归方程y ^＝b ^x ＋a ^知，当b ^＞0时，y 与x 正相关，当b ^＜0时，y 与x 负相关，∴①④一定错误．[点石成金] 相关关系的直观判断方法就是作出散点图，若散点图呈带状且区域较窄，说明两个变量有一定的线性相关性，若呈曲线型也是有相关性，若呈图形区域且分布较乱则不具备相关性．考点2 线性回归分析1.回归分析对具有________的两个变量进行统计分析的方法叫回归分析．其基本步骤是：(ⅰ)画散点图；(ⅱ)求________；(ⅲ)用回归直线方程作预报．答案：相关关系回归直线方程 2．回归直线如果散点图中点的分布从整体上看大致在________附近，就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线．答案：一条直线3．回归直线方程的求法——最小二乘法设具有线性相关关系的两个变量x ，y 的一组观察值为(x i ，y i )(i ＝1,2，…，n )，则回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^的系数为：⎩⎪⎨⎪⎧b ^＝∑i ＝1nx i－x y i－y ∑i ＝1nx i－x2＝，a ^＝y －b ^x ，其中x ＝1n ∑i ＝1n x i ，y ＝1n ∑i ＝1ny i ，(x ，y )称为样本点的________．答案：∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2中心4．相关系数当r ＞0时，表明两个变量________；当r ＜0时，表明两个变量________．r 的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性________．r 的绝对值越接近于0，表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系．通常|r |大于0.75时，认为两个变量有很强的线性相关性．答案：正相关负相关越强[教材习题改编]已知回归直线的斜率的估计值为1.23，样本点的中心为(4,5)，则回归直线方程为__________．答案：y ^＝1.23x ＋0.08解析：设回归直线方程为y ^＝1.23x ＋a ^，因为回归直线必过样本点的中心(x ，y )，将点(4,5)代入回归直线方程得a ^＝0.08，所以所求方程为y ^＝1.23x ＋0.08.变量的相关关系：散点图；回归直线过(x ，y )．某工厂经过技术改造后，生产某种产品的产量x (吨)与相应的生产能耗y (吨标准煤)有如下几组样本数据.0.7，那么当产量x ＝10吨时，估计相应的生产能耗为__________吨标准煤．答案：7.35解析：先求得x ＝4.5，y ＝3.5，由y ^＝0.7x ＋a ^过点(x ，y )，得a ^＝0.35，所以回归直线方程是y ^＝0.7x ＋0.35.当x ＝10吨时，y ^＝7＋0.35＝7.35(吨标准煤)．[典题2] (1)已知x ，y 的取值如下表，从散点图可以看出y 与x 线性相关，且回归方程为y ^＝0.95x ＋a ^，则a ^＝( )A.3.25 C ．2.2D ．0[答案] B[解析] 由已知得x ＝2，y ＝4.5，因为回归方程经过点(x ，y )，所以a ^＝4.5－0.95×2＝2.6.(2)由某种设备的使用年限x i (年)与所支出的维修费y i (万元)的数据资料算得如下结果，∑i ＝15x 2i ＝90，∑i ＝15x i y i ＝112，∑i ＝15x i ＝20，∑i ＝15y i ＝25.①求所支出的维修费y 对使用年限x 的线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^； ②(ⅰ)判断变量x 与y 之间是正相关还是负相关； (ⅱ)当使用年限为8年时，试估计支出的维修费是多少．附：在线性回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中，b ^＝∑i ＝1nx i y i －n x y∑i ＝1nx 2i －n x 2，a ^＝y －b ^x ，其中x ，y 为样本平均值．[解] ①∵∑i ＝15x i ＝20，∑i ＝15y i ＝25，∴x ＝15∑i ＝15x i ＝4，y ＝15∑i ＝15y i ＝5，∴b ^＝∑i ＝15x i y i －5x y∑i ＝15x 2i －5x 2＝112－5×4×590－5×42＝1.2， a ^＝y －b ^x ＝5－1.2×4＝0.2.∴线性回归方程为y ^＝1.2x ＋0.2. ②(ⅰ)由①知，b ^＝1.2>0， ∴变量x 与y 之间是正相关．(ⅱ)由①知，当x ＝8时，y ^＝9.8，即使用年限为8年时，支出维修费约是9.8万元． [点石成金] 1.正确理解计算b ^，a ^的公式和准确的计算是求线性回归方程的关键．2．回归直线方程y ^＝b ^x ＋a ^必过样本点的中心(x ，y )．3．在分析两个变量的相关关系时，可根据样本数据作出散点图来确定两个变量之间是否具有相关关系，若具有线性相关关系，则可通过线性回归方程来估计和预测.某地最近十年粮食需求量逐年上升，下表是部分统计数据：(1)利用所给数据求年需求量与年份之间的回归直线方程y ＝b x ＋a ； (2)利用(1)中所求出的回归直线方程预测该地2016年的粮食需求量．解：(1)由所给数据看出，年需求量与年份之间是近似直线上升，下面来配回归直线方程，为此对数据预处理如下：x ＝0，y ＝3.2，b ^＝－4 × －21 ＋－2 × －11 ＋2×19＋4×29－5×0×3.2－4 ＋－2 ＋2＋4－5×0＝26040＝6.5，a ^＝y －b ^x ＝3.2. 由上述计算结果知，所求回归直线方程为 y ^－257＝b ^(x －2 010)＋a ^＝6.5(x －2 010)＋3.2，即y ^＝6.5×(x －2 010)＋260.2.(2)利用(1)中所求回归直线方程，可预测2016年的粮食需求量为6.5×(2 016－2 010)＋260.2＝6.5×6＋260.2＝299.2(万吨)．考点3 独立性检验1.分类变量：变量的不同“值”表示个体所属的不同类别，像这类变量称为分类变量．2．列联表：列出两个分类变量的频数表，称为列联表．假设有两个分类变量X和Y，它们的可能取值分别为{x1，x2}和{y1，y2}，其样本频数列联表(称为2×2列联表)为2×2列联表：K2＝(其中n＝________为样本容量)，则利用独立性 a＋b a＋c b＋d c＋d检验判断表来判断“X与Y的关系”．答案：a＋b＋c＋d(1)[教材习题改编]为调查中学生的近视情况，测得某校150名男生中有80名近视，140名女生中有70名近视．在检验这些学生眼睛近视是否与性别有关时，最有说服力的方法是________．(填序号)①回归分析；②期望与方差；③独立性检验；④概率．答案：③解析：“近视”与“性别”是两个分类变量，其是否有关，应该用独立性检验来判断．(2)[教材习题改编]在研究吸烟与患肺癌的关系中，通过收集数据、整理分析数据得出“吸烟与患肺癌有关”的结论，并且有99%以上的把握认为这个结论是成立的，有下列四种说法：①100个吸烟者中至少有99人患有肺癌；②1个人吸烟，那么这人有99%的概率患有肺癌；③在100个吸烟者中一定有患肺癌的人；④在100个吸烟者中可能一个患肺癌的人也没有．其中正确说法的序号是________．答案：④对独立性检验的理解：K2的计算；对P(K2≥k0)的解释．[2017·湖南张家界模拟]某高校教“统计初步”课程的教师随机调查了选该课程的一些学生的情况，具体数据如下表：k ＝50× 13×20－10×7223×27×20×30≈4.844.因为k >3.841，所以判定主修统计专业与性别有关系，那么这种判断出错的可能性为________．附表：解析：∵k >3.841，查临界值表，得P (K 2≥3.841)＝0.05，故这种判断出错的可能性为5%.[典题3] (1)为了判断高中三年级学生选修文理科是否与性别有关，现随机抽取50名学生，得到2×2列联表：已知P P (K 2≥5.024)≈0.025.根据表中数据，得到K 2＝50× 13×20－10×7 223×27×20×30≈4.844，则认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为________．[答案] 5%[解析] 由K 2≈4.844＞3.841.故认为选修文理科与性别有关系出错的可能性约为5%. (2)[2017·江西九江模拟]某校数学课外兴趣小组为研究数学成绩是否与性别有关，先统计本校高三年级每个学生一学期数学成绩平均分(采用百分制)，剔除平均分在40分以下的学生后，共有男生300名，女生200名．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名学生，按性别分为两组，并将两组学生的成绩分为6组，得到如下所示的频数分布表.数学成绩与性别是否有关；②规定80分以上为优分(含80分)，请你根据已知条件作出2×2列联表，并判断是否有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”.K2＝.a＋b c＋d a＋c b＋d[解]①x男＝45×0.05＋55×0.15＋65×0.3＋75×0.25＋85×0.1＋95×0.15＝71.5，x女＝45×0.15＋55×0.1＋65×0.125＋75×0.25＋85×0.325＋95×0.05＝71.5，从男、女生各自的平均分来看，并不能判断数学成绩与性别有关．②由频数分布表可知，在抽取的100名学生中，“男生组”中的优分有15人，“女生组”中的优分有15人，据此可得2×2列联表如下：≈1.79，可得K2＝60×40×30×70因为1.79<2.706，所以没有90%以上的把握认为“数学成绩与性别有关”．[点石成金] 1.独立性检验的关键是正确列出2×2列联表，并计算出K2的值．2．弄清判断两变量有关的把握性与犯错误概率的关系，根据题目要求作出正确的回答.[2017·广西玉林、贵港联考]某市地铁即将于2015年6月开始运营，为此召开了一个价格听证会，拟定价格后又进行了一次调查，随机抽查了50人，他们的收入与态度如下；“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是多少(结果保留2位小数)；(2)由以上统计数据填写下面的2×2列联表分析是否有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.附：K 2＝ a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d.解：x 1＝20×1＋30×2＋40×3＋50×5＋60×3＋70×41＋2＋3＋5＋3＋4≈50.56.“认为价格偏高者”的月平均收入为x 2＝20×4＋30×8＋40×12＋50×5＋60×2＋70×14＋8＋12＋5＋2＋1＝38.75，∴“赞成定价者”与“认为价格偏高者”的月平均收入的差距是x 1－x 2＝50.56－38.75＝11.81(百元)．(2)根据条件可得2×2列联表如下：K 2＝10×40×18×32≈6.27<6.635，∴没有99%的把握认为“月收入以55百元为分界点对地铁定价的态度有差异”.[方法技巧] 1.求回归方程，关键在于正确求出系数a ^，b ^，由于a ^，b ^的计算量大，计算时应仔细谨慎，分层进行，避免因计算而产生错误．(注意线性回归方程中一次项系数为b ^，常数项为a ^，这与一次函数的习惯表示不同．)2．回归分析是处理变量相关关系的一种数学方法．主要解决：(1)确定特定量之间是否有相关关系，如果有就找出它们之间贴近的数学表达式；(2)根据一组观察值，预测变量的取值及判断变量取值的变化趋势；(3)求出线性回归方程．[易错防范] 1.回归分析是对具有相关关系的两个变量进行统计分析的方法，只有在散点图大致呈线性时，求出的线性回归方程才有实际意义，否则，求出的线性回归方程毫无意义．根据回归方程进行预报，仅是一个预报值，而不是真实发生的值．2．独立性检验中统计量K 2的观测值k 的计算公式很复杂，在解题中易混淆一些数据的意义，代入公式时出错，而导致整个计算结果出错．真题演练集训1．[2015·福建卷]为了解某社区居民的家庭年收入与年支出的关系，随机调查了该社区5户家庭，得到如下统计数据表：根据上表可得回归直线方程y ＝b x ＋a ，其中b ＝0.76，a ＝y －b x .据此估计，该社区一户年收入为15万元家庭的年支出为( )A ．11.4万元B ．11.8万元C ．12.0万元D ．12.2万元答案：B解析：由题意知，x ＝8.2＋8.6＋10.0＋11.3＋11.95＝10，y ＝6.2＋7.5＋8.0＋8.5＋9.85＝8，∴ a ^＝8－0.76×10＝0.4，∴ 当x ＝15时，y ^＝0.76×15＋0.4＝11.8(万元)．2．[2016·新课标全国卷Ⅲ]下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量(单位：亿吨)的折线图．注：年份代码1－7分别对应年份2008－2014.(1)由折线图看出，可用线性回归模型拟合y 与t 的关系，请用相关系数加以说明； (2)建立y 关于t 的回归方程(系数精确到0.01)，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量．附注：参考数据：∑i ＝17y i ＝9.32，∑i ＝17t i y i ＝40.17,i ＝17y i －y 2＝0.55，7≈2.646. 参考公式：相关系数r ＝∑i ＝1nt i －ty i －y∑i ＝1nt i －t2∑i ＝1ny i －y2，回归方程y ^＝b ^t ＋a ^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为b ^＝∑i ＝1nt i －ty i －y∑i ＝1nt i －t 2，a ^＝y －b ^t .解：(1)由折线图中数据和附注中参考数据，得t ＝4，∑i ＝17 (t i －t )2＝28，∑i ＝17y i －y2＝0.55，∑i ＝17 (t i －t)(y i －y )＝∑i ＝17t i y i －t∑i ＝17y i ＝40.17－4×9.32＝2.89，r ≈ 2.890.55×2×2.646≈0.99.因为y 与t 的相关系数近似为0.99，说明y 与t 的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归模型拟合y 与t 的关系．(2)由y ＝9.327≈1.331及(1)，得b ^＝∑i ＝17t i －ty i －y∑i ＝17t i －t 2＝2.8928≈0.103， a ^＝y －b ^t ≈1.331－0.103×4≈0.92.所以，y 关于t 的回归方程为y ^＝0.92＋0.10t . 将2016年对应的t ＝9代入回归方程，得 y ^＝0.92＋0.10×9＝1.82.所以预测2016年我国生活垃圾无害化处理量约为1.82亿吨．3．[2015·新课标全国卷Ⅰ]某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费x (单位：千元)对年销售量y (单位：t)和年利润z (单位：千元)的影响．对近8年的年宣传费xi 和年销售量y i (i ＝1,2，…，8)数据作了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．表中w i ＝x i ，w ＝18∑i ＝18x i .(1)根据散点图判断，y ＝a ＋bx 与y ＝c ＋d x 哪一个适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型？(给出判断即可，不必说明理由)(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y 关于x 的回归方程．(3)已知这种产品的年利润z 与x ，y 的关系为z ＝0.2y －x .根据(2)的结果回答下列问题： ①年宣传费x ＝49时，年销售量及年利润的预报值是多少？ ②年宣传费x 为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u 1，v 1)，(u 2，v 2)，…，(u n ，v n )，其回归直线v ＝α＋β u 的斜率和截距的最小二乘估计分别为β^＝∑i ＝1nu i －uv i －v∑i ＝1nu i －u 2，α^＝v －β^u .解：(1)由散点图可以判断，y ＝c ＋d x 适宜作为年销售量y 关于年宣传费x 的回归方程类型．(2)令w ＝x ，先建立y 关于w 的线性回归方程．由于d ^＝∑i ＝18w i －wy i －y∑i ＝18w i －w 2＝108.81.6＝68， c ^＝y －d ^w ＝563－68×6.8＝100.6，所以y 关于w 的线性回归方程为y ^＝100.6＋68w ，因此y 关于x 的回归方程为y ^＝100.6＋68x . (3)①由(2)知，当x ＝49时，年销售量y 的预报值y ^＝100.6＋6849＝576.6，年利润z 的预报值z ^＝576.6×0.2－49＝66.32.②根据(2)的结果知，年利润z 的预报值 z ^＝0.2(100.6＋68x )－x ＝－x ＋13.6x ＋20.12.所以当x ＝13.62＝6.8，即x ＝46.24时，z ^取得最大值．故年宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．4．[2014·新课标全国卷Ⅱ]某地区2007年至2013年农村居民家庭人均纯收入y (单位：千元)的数据如下表：(2)利用(1)中的回归方程，分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入．附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑i ＝1nt i －ty i －y∑i ＝1nt i －t 2，a ^＝y －b ^t .解：(1)由所给数据计算得t ＝17×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)＝4，y ＝17×(2.9＋3.3＋3.6＋4.4＋4.8＋5.2＋5.9)＝4.3，∑i ＝17(t i －t )2＝9＋4＋1＋0＋1＋4＋9＝28，∑i ＝17(t i －t)(y i －y )＝(－3)×(－1.4)＋(－2)×(－1)＋(－1)×(－0.7)＋0×0.1＋1×0.5＋2×0.9＋3×1.6＝14，b ^＝∑i ＝17t i －ty i －y∑i ＝17t i －t 2＝1428＝0.5， a ^＝y －b ^t ＝4.3－0.5×4＝2.3.所求回归方程为y ^＝0.5t ＋2.3.(2)由(1)知，b ^＝0.5>0，故2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入逐年增加，平均每年增加0.5千元．将2015年的年份代号t ＝9代入(1)中的回归方程，得 y ^＝0.5×9＋2.3＝6.8，故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6.8千元．课外拓展阅读统计案例问题的规范答题[典例] [2013·福建卷]某工厂有25周岁以上(含25周岁)工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关，现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上(含25周岁)”和“25周岁以下”分为两组，再将两组工人的日平均生产件数分成5组：[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．(1)从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的概率；(2)规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成2×2列联表，并判断是否有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？附：K 2＝ a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d.[审题视角] 由频率分布直方图列举基本事件，结合古典概型，求概率．利用独立性检验公式计算K 2.[解] (1)由已知得，样本中有25周岁以上组工人60名，25周岁以下组工人40名．所以，样本中日平均生产件数不足60件的工人中，25周岁以上组工人有60×0.05＝3(人)，记为A 1，A 2，A 3；25周岁以下组工人有40×0.05＝2(人)，记为B 1，B 2.从中随机抽取2名工人，所有的可能结果共有10种，它们是(A 1，A 2)，(A 1，A 3)，(A 2，A 3)，(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．其中，至少有1名“25周岁以下组”工人的可能结果共有7种，它们是(A 1，B 1)，(A 1，B 2)，(A 2，B 1)，(A 2，B 2)，(A 3，B 1)，(A 3，B 2)，(B 1，B 2)．故所求的概率P ＝710.(2)由频率分布直方图可知，在抽取的100名工人中，“25周岁以上组”中的生产能手有60×0.25＝15(人)，“25周岁以下组”中的生产能手有40×0.375＝15(人)，据此可得2×2列联表如下：所以K 2＝ a ＋b c ＋d a ＋c b ＋d＝100× 15×25－15×45 260×40×30×70＝2514≈1.79.因为1.79<2.706，所以没有90%的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”． [答题模板] 第1步：由分层抽样计算两组工人的数目；第2步：由频率分布直方图计算两组不足60件的人数；第3步：列举5人抽取2人的基本事件数；第4步，由古典概型计算概率；第5步：统计生产能手与非生产能手，列2×2列联表；第6步：由公式计算K 2，确定答案．归纳总结(1)分层抽样比为100500＝15，故25周岁以上有300×15＝60(人)，25周岁以下的200×15＝40(人)，然后再根据频率计算“不足60件”的人数，并设定符号．(2)列2×2列联表时，其中的数字应先由频率分布直方图算出后再列表．。

2018年高考数学(人教A版)一轮复习课件：9.4变量间的相关关系与统计案例

一条直线附近,则称这两个变量之间具有看大致分布在_________
回归直线线性相关关系,这条直线叫做_________.
(3)回归方程
距离 ①最小二乘法:使得样本数据的点到回归直线的_____
的平方和最小的方法叫做最小二乘法. _________
②回归方程:两个具有线性相关关系的变量的一组数据:
=4-0.7×9=-2.3. a
=0.7x-2.3. 故线性回归直线方程为 y
2.(选修1-2P16T1改编)为了判断高中三年级学生是否选修文科与性别的关系,现随机抽取50名学生,得到如下2×2列联表: 理科男女 13 7 文科 10 20
已知P(K2≥3.841)≈0.05,P(K2≥5.024)≈0.025. 根据表中数据,得到K2的观测值
感悟考题
试一试
3.(2017·太原模拟)某商品销售量y(件)与销售价格 x(元/件)负相关,则其回归直线方程可能是 A. y =-10x+200 C. y =-10x-200 B.y =10x+200 D.y =10x-200 ( )
【解析】选A.因为商品销售量y(件)与销售价格x(元/
第四节
变量间的相关关系与统计案例
【知识梳理】 1.相关关系与回归方程 (1)相关关系的分类左下角到_______ 右上角 ①正相关:从散点图上看,点散布在从_______ 的区域内;
左上角到_______ 右下角 ②负相关:从散点图上看,点散布在从_______
的区域内.
(2)线性相关关系:从散点图上看,如果这些点从整体上
(相关公式: b
x y
i 1 n i
n
i
nx y nx

2018高三数学(理)一轮复习课件：10-4变量间的相关关系 统计案例