平面向量及其运算
平面向量及运算法则
平面向量及运算法则平面向量是指可以完整描述平面上的有方向和大小的物理量。
在数学中，平面向量通常用箭头上的字母表示，例如a或b，有时也用粗体字母表示，例如a或a。
平面向量具有位移、速度、加速度、力等物理量的特性。
平面向量的运算包括加法、减法、数量乘法、点积和叉积等。
1.平面向量的加法：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的加法结果为a+a=(a+a)a+(a+a)a。
即，将两个向量的分量分别相加得到新向量的分量。
2.平面向量的减法：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的减法结果为a-a=(a-a)a+(a-a)a。
即，将两个向量的分量分别相减得到新向量的分量。
3.平面向量的数量乘法：设有一个平面向量a=aa+aa，它的数量乘法结果为aa=aaa+aaa。
即，将向量的每个分量都乘以一个标量k得到新向量的分量。
4.平面向量的点积（内积）：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的点积结果为a·a=aa+aa。
即，将两个向量的对应分量相乘并相加得到点积的结果。
点积的结果是一个标量，表示两个向量的夹角余弦乘以两个向量的长度之积。
5.平面向量的叉积（外积）：设有两个平面向量a=aa+aa和a=aa+aa，它们的叉积结果为a×a=(0,0,aaa)，其中k为垂直于平面向量的单位向量。
即，叉积的结果是一个新的向量，其方向垂直于两个向量所在的平面，大小为两个向量长度的乘积与它们夹角的正弦值之积。
平面向量的运算法则有很多，下面列举几个常用的法则。
1.交换律：平面向量的加法满足交换律，即a+a=a+a。
2.结合律：平面向量的加法满足结合律，即(a+a)+a=a+(a+a)。
3.分配律：数量乘法和加法之间满足分配律，即a(a+a)=aa+aa。
4.点积的分配律：点积的分配律表示为(a+a)·a=a·a+a·a，其中a、a和a 分别是平面向量。
平面向量的表示与运算
平面向量的表示与运算平面向量是在平面上具有大小和方向的量，是解决平面几何问题的重要工具之一。
本文将介绍平面向量的表示方法和基本运算。
一、平面向量的表示方法1. 坐标表示法：平面上的点可以用有序数对(x, y)表示，而向量则可以用终点减去起点得到。
设A(x1, y1)为起点，B(x2, y2)为终点，则向量AB的表示为AB = (x2-x1, y2-y1)。
2. 箭头表示法：向量可以用一条有方向的箭头表示，箭头的起点表示向量的起点，箭头的终点表示向量的终点。
例如，向量AB用符号→表示。
3. 模长和方向角表示法：设向量A的模长为|A|，方向角为α，则向量A的表示为A = |A|cosαi + |A|sinαj，其中i和j分别为x轴和y轴上的单位向量。
二、平面向量的基本运算1. 加法运算：设有向量A(x1, y1)和向量B(x2, y2)，则向量A+B的表示为A+B = (x1+x2, y1+y2)。
2. 数乘运算：设有向量A(x, y)和实数k，kA的表示为kA = (kx, ky)。
3. 减法运算：设有向量A(x1, y1)和向量B(x2, y2)，则向量A-B的表示为A-B = A + (-B) = (x1-x2, y1-y2)。
4. 内积运算：设有向量A(x1, y1)和向量B(x2, y2)，则向量A·B的表示为A·B = x1x2 + y1y2，即A·B = |A||B|cosθ，其中θ为A与B之间的夹角。
5. 外积运算：设有向量A(x1, y1)和向量B(x2, y2)，则向量A×B的表示为A×B = x1y2 - x2y1，即A×B = |A||B|sinθ，其中θ为A与B之间的夹角。
三、平面向量的性质1. 向量的平移：向量的起点和终点平移，向量本身保持不变。
2. 平行向量：若两个向量的方向相同或相反，则它们为平行向量。
3. 相等向量：若两个向量的大小和方向都相同，则它们为相等向量。
平面向量的运算
平面向量的运算在数学中，平面向量是研究平面几何和向量代数的重要概念之一。
平面向量的运算包括向量的加法、减法、数量乘法和向量的数量积等。
本文将详细介绍平面向量的运算规则和相关性质。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用字母加上一个带箭头的小写字母来表示，如AB→表示从点A指向点B的向量。
平面向量可以用坐标表示、顶点表示和分解成基本单位向量表示等多种方式。
1. 坐标表示法：平面向量在坐标系中的表示方法为(a, b)，其中a和b分别表示向量在x轴和y轴上的投影长度。
2. 顶点表示法：平面向量也可以用顶点表示法表示，即用向量的起点A和终点B表示向量，如AB→。
3. 分解成基本单位向量表示法：平面向量可以分解成基本单位向量i和j的线性组合，即A→ = a·i+ b·j。
二、平面向量的加法平面向量的加法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→+B→=(a1+b1, a2+b2)。
三、平面向量的减法平面向量的减法满足以下规则：设有两个向量A→=(a1, a2)和B→=(b1, b2)，则A→-B→=(a1-b1, a2-b2)。
四、平面向量的数量乘法平面向量的数量乘法满足以下规则：设有一个向量A→=(a1, a2)和一个实数k，则kA→=(ka1, ka2)。
五、平面向量的数量积平面向量的数量积又称为点积或内积，表示为A→·B→或(A, B)。
数量积的计算公式如下：A→·B→=|A→|·|B→|·cosθ其中，|A→|和|B→|分别表示向量A→和B→的模长，θ表示向量A→和B→之间的夹角。
根据数量积的计算公式，可以得到一些重要的性质：1. 若A→·B→=0，则向量A→和B→垂直。
2. 若A→·B→>0，则向量A→和B→的夹角为锐角。
3. 若A→·B→<0，则向量A→和B→的夹角为钝角。
平面向量的运算法则
平面向量的运算法则平面向量是二维的有方向和大小的量，通常用箭头表示。
在平面上，我们可以进行平面向量的加法、减法、数乘、点乘和叉乘等运算，下面将详细介绍这些运算法则。
1.平面向量的加法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其加法运算为：⃗A+⃗B=⃗C，其中C是由A和B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。
加法满足以下性质：-交换律：⃗A+⃗B=⃗B+⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)+⃗C=⃗A+(⃗B+⃗C)2.平面向量的减法：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其减法运算为：⃗A-⃗⃗B=⃗C，其中C是由A的箭头指向B的箭头所形成的三角形的对角线的向量。
3.平面向量的数乘：设有平面向量A和实数k，表示为⃗A和k，其数乘运算为：k⃗A=⃗B，其中B的大小等于A的大小乘以k，方向与A相同（若k>0），或相反（若k<0）。
数乘满足以下性质：- 结合律：k(l⃗A) = (kl)⃗A-分配律：(k+l)⃗A=k⃗A+l⃗A4.平面向量的点乘（数量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其点乘运算为：⃗A · ⃗B = ABcosθ，其中A和B的夹角θ的余弦值等于点乘结果与两个向量大小的乘积的商。
点乘满足以下性质：-交换律：⃗A·⃗B=⃗B·⃗A-结合律：(⃗A+⃗B)·⃗C=⃗A·⃗C+⃗B·⃗C-数乘结合律：(k⃗A)·⃗B=k(⃗A·⃗B)特殊情况下：-若⃗A与⃗B垂直，即⃗A·⃗B=0，则称⃗A与⃗B是正交的或垂直的。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B>0，则夹角θ为锐角。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B=0，则夹角θ为直角。
-若⃗A和⃗B非零，且⃗A·⃗B<0，则夹角θ为钝角。
5.平面向量的叉乘（向量积）：设有平面向量A和B，表示为⃗A和⃗B，其叉乘运算为⃗A × ⃗B = nABsinθ⃗n，其中n为垂直于A和B所在平面的单位向量，θ为A和B 的夹角。
平面向量的加法与减法运算
平面向量的加法与减法运算在平面向量的运算中，加法与减法是最基本的运算法则。
平面向量加法与减法的定义及运算规则如下：一、平面向量的定义在平面上，向量是由大小和方向确定的箭头表示，具有大小和方向的量。
平面向量用字母加箭头表示，如AB→，表示从点A指向点B的向量。
二、平面向量的加法运算1. 定义：对于两个平面向量AB→和CD→，可以将CD→放置在平面上的A点，使得它们有相同的起点，然后从A点指向D点，得到一个新的向量AD→。
AD→就是AB→与CD→的和，表示为AB→+CD→。
2. 运算规则：a) 加法的交换律：AB→ + CD→ = CD→ + AB→b) 加法的结合律：(AB→ + CD→) + EF→ = AB→ + (CD→ + EF→)c) 零向量的定义：零向量是指大小为0的向量，用0→表示，对于任意向量AB→，有AB→ + 0→ = AB→d) 反向向量的定义：对于任意向量AB→，存在一个与之方向相反但大小相等的向量，称为其反向向量，用-AB→表示，有AB→ + (-AB→) = 0→三、平面向量的减法运算1. 定义：对于两个平面向量AB→和CD→，可以将CD→取反，然后按照向量加法的规则，得到AB→ + (-CD→)，表示为AB→ - CD→。
2. 减法的运算规则：a) 减法的定义：AB→ - CD→ = AB→ + (-CD→)b) 减法的性质：AB→ - CD→ ≠ CD→ - AB→，减法不满足交换律。
四、示例分析1. 平面向量加法示例：设有向量AB→ = 3i + 4j和向量CD→ = -2i + 5j，其中i和j是单位向量。
AB→ + CD→ = (3i + 4j) + (-2i + 5j) = (3 - 2)i + (4 + 5)j = i + 9j2. 平面向量减法示例：设有向量AB→ = 3i + 4j和向量CD→ = -2i + 5j，其中i和j是单位向量。
AB→ - CD→ = (3i + 4j) - (-2i + 5j) = (3 + 2)i + (4 - 5)j = 5i - j五、平面向量的运算性质1. 平面向量加法满足交换律和结合律，即满足整个群论的要求。
平面向量的概念和运算
平面向量的概念和运算一、概念介绍平面向量是指在平面内用有向线段表示的量，具有大小和方向。
平面向量常用箭头表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
二、平面向量的表示方法平面向量可以用两点表示，如果两点分别为A和B，那么向量AB通常用→AB表示，A为向量的起点，B为向量的终点。
向量的大小记为|→AB|。
三、平面向量的运算1. 向量加法向量加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
设向量→AB和→CD，可以将向量→AB和向量→CD的起点放在一起，将向量→CD的终点放在向量→AB的终点，这样得到的向量就是→AB + →CD。
2. 向量减法向量减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
设向量→AB和→CD，可以将向量→AB的起点放在→CD的终点，将向量→AB的终点放在→CD的起点，这样得到的向量就是→AB - →CD。
3. 数乘运算数乘运算是指将向量与一个实数相乘得到一个新的向量。
设向量→AB，实数k，那么k→AB的大小为|k|×|→AB|，方向与→AB相同（当k > 0）或相反（当k < 0）。
4. 平面向量的数量积平面向量→AB和→CD的数量积（又称点积、内积）定义为|→AB|×|→CD|×cosθ，其中θ为→AB和→CD之间的夹角。
5. 平面向量的向量积平面向量→AB和→CD的向量积（又称叉积、外积）定义为一个新的向量→E，其大小等于|→AB|×|→CD|×sinθ，方向垂直于→AB和→CD所在的平面，符合右手法则。
四、平面向量的应用平面向量的概念和运算在数学和物理学中有着广泛的应用。
例如，在力学中，用平面向量可以表示力的大小和方向；在几何学中，可以用平面向量表示线段的长度和方向。
总结：平面向量是用有向线段表示的量，具有大小和方向。
平面向量的运算包括向量加法、向量减法、数乘运算、数量积和向量积。
平面向量的应用涉及数学和物理学的各个领域。
平面向量的运算
平面向量的运算在数学中，平面向量是由大小和方向确定的量，常用于表示物体在平面上的位移或力的作用方向。
平面向量的运算是指对平面向量进行加法、减法、数乘和点乘等操作。
本文将介绍平面向量的基本概念和运算规则。
一、平面向量的表示方法平面向量通常用有向线段表示，由两个点确定，例如AB表示从点A到点B的平面向量。
可以用字母加箭头（如→）表示平面向量，如：AB →其中A为向量的起点，B为终点。
二、平面向量的加法对于两个平面向量AB → 和CD →，它们的和可以通过平行四边形法则得到。
具体步骤如下：1. 将向量CD → 的起点与向量AB → 的终点相重合，得到新的向量AC →；2. 连接向量AB → 的起点和向量CD → 的终点，得到新的向量AD →；3. 新的向量AD → 就是原始向量AB → 和CD → 的和，即AD → = AB → + CD →。
三、平面向量的减法向量的减法可以通过向量加法的逆运算得到。
对于向量AB → 和CD →，它们的差可以表示为AB → - CD →，具体步骤如下：1. 取向量CD → 的终点B为新向量的起点，向量AB → 的起点A为新向量的终点，得到新的向量BA →；2. 新的向量BA → 就是原始向量AB → 和CD → 的差，即BA → = AB → - CD →。
四、平面向量的数乘平面向量的数乘是指将向量的长度乘以一个实数，从而改变向量的大小。
设有向量AB → 和实数k，它们的数乘表示为kAB →，其具体步骤如下：1. 将向量AB → 的长度乘以实数k，得到新向量AC →；2. 新的向量AC → 的方向与原来向量AB → 相同，而长度为原来的k倍，即AC → = kAB →。
五、平面向量的点乘平面向量的点乘（内积）运算可以得到两个向量的乘积，结果为一个实数。
设有向量AB → 和CD →，它们的点乘表示为AB → · CD →，具体计算方法如下：1. 将向量AB → 和CD → 的长度相乘，得到实数AC；2. 计算向量AB → 与向量CD → 之间夹角的余弦值，得到实数cosθ；3. 点乘的结果为AB → · CD → = ACcosθ。
平面向量的定义及其运算
平面向量的定义及其运算平面向量是二维空间中的一个向量，它由长度和方向两个部分组成。
平面向量可以表示为有向线段，并且与其他向量的比较以及运算都是在同一平面内进行的。
一、平面向量的定义平面向量是有向线段的表示，它由长度和方向两个属性组成。
如果两个有向线段的长度相等且方向相同，那么这两个有向线段就代表同一个向量。
同一个向量可以用不同的有向线段表示出来。
二、平面向量的运算1. 向量加法向量加法是指将两个向量的相应分量相加得到一个新向量的过程。
图1. 向量加法的图示由上图可知，向量AB和向量BC相加得到向量AC。
向量的加法满足以下三个性质：(1) 交换律：a+b=b+a(2) 结合律：(a+b)+c=a+(b+c)(3) 零向量：对于任意向量a，都有a+0=a2. 向量数量积向量数量积是指将两个向量相应的分量相乘，再将乘积相加得到一个数的过程。
图2. 向量数量积的图示由上图可知，向量a和向量b的数量积为a*b，它表示向量a 在向量b上的投影与向量b的长度的乘积。
向量的数量积满足以下性质：(1) 交换律：a*b=b*a(2) 结合律：a*(kb)=(ak)*b=a*k*b，其中k为一个数(3) 零向量：对于任意向量a，都有a*0=03. 向量减法向量减法是指将两个向量相应分量相减得到一个新向量的过程。
图3. 向量减法的图示由上图可知，向量ab和向量bc的差为向量ac。
向量的减法满足以下性质：(1) a-b=a+(-b)(2) a-a=0三、总结平面向量是二维空间中的一个向量，它由长度和方向两个部分组成，可以表示为有向线段。
向量加法、数量积和减法是平面向量的三种基本运算，它们分别代表了向量的加法、倍数和减法。
通过这三种运算，我们可以对向量的大小、方向等属性进行计算和描述。
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平面向量及其运算 Prepared on 22 November 2020
1、向量的概念：
①向量：既有大小又有方向的量，向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小。
②零向量：长度为0的向量，记为0 ，其方向是任意的，0
与任意向量平行。
③单位向量：模为1个单位长度的向量。
④ 相等向量：长度相等且方向相同的向量。
⑤平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。
2、向量加减法：
①求两个向量和的运算，叫做向量的加法。
向量加法的三角形法则和平行四边形法则。
②向量的减法向量→
a 加上→
b 的相反向量，叫做→
a 与→
b 的差。
即：→
a →
b = →
a + (→
b )；
b a -可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b
有共同起点。
③实数与向量的积：实数λ与向量a 的积是一个向量，记作λa
，它的长度与方
向规定如下：
（Ⅰ）a a
⋅=λλ； （Ⅱ）当0>λ时，λa 的方向与a 的方向相同；当0
<λ时，λa 的方向与a
的方向相反；当0=λ时，0 =a λ，方向是任意的。
④两个向量共线定理：向量b 与非零向量a
共线⇔有且只有一个实数λ，使得b =a λ。
3、平面向量的坐标表示
（1）平面向量的坐标表示：平面内的任一向量a 可表示成a xi yj =+，记作
a =(x,y)。
（2）平面向量的坐标运算：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝
x 2－x 12＋y 2－y 12.
① 若()()1122,,,a x y b x y ==，则()1212,a b x x y y ±=±± ②若()()2211,,,y x B y x A ，则()2121,AB x x y y =-- ③若()()1122,,,a x y b x y ==，则1221//0a b x y x y ⇔-= ④ 若()()1122,,,a x y b x y ==，则1212a b x x y y ⋅=⋅+⋅；若
a b ⊥，则02121=⋅+⋅y y x x
注意：与x 轴、y 轴方向相同两个单位向量i 、j 是同一平面内的两个不共线向
量，那么对于这一平面内的任一向量a ，有且只有一对实数λ1，λ2使a
=λ1i +λ2j 我们把不共线向量i 、j 叫做表示这一平面内所有向量的一组基底； 基底不惟一，关键是不共线；
由定理可将任一向量ａ在给出基底i 、j 的条件下进行分解；
基底给定时，分解形式惟一. λ1，λ2是被a
，i 、j 唯一确定的数量。
⑤向量运算运算律：
2
2
||
a a a a ⋅==；
()()2
2
2
2
a b a b a b a b +⋅-=-=-；
()()()
()a b a b a b R λλλλ⋅=⋅=⋅∈
()
2
2
2
2a b a a b b ±=±⋅+2
2
2a a b b
=±⋅+ ；
()a b c a c b c ±⋅=⋅±⋅()c a b =⋅± 4、平面向量的数量积：
（1） “投影”的概念：|b |cos 叫做向量b 在a
方向上的投影
（2）()
cos 0,0,0180a b a b a b θθ⋅=≠≠≤≤；规定00a ⋅=；
几何意义：数量积a b 等于a
的长度与b 在a 方向上投影|b |cos 的乘积 （3）设a 和b 都是非零向量，则①0a b a b ⊥⇔⋅=．②当a 与b 同向时，
a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，a b a b ⋅=-；2
2a a a a ⋅==或a a a =⋅．③a b a b ⋅≤．
（4）运算律：①a b b a ⋅=⋅；②()()()
a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅；③
()a b c a c b c +⋅=⋅+⋅
（5）坐标运算：若(),a x y =，则2
22a x y =+，或2a x y =+ 设非零向量()11,a x y =，()22,b x y =，则1212a b x x y y ⋅=+ ；
12120a b x x y y ⊥⇔+=．
1.已知()()a
b →
→
==cos sin cos sin ααββ，，，，其中0<<<αβπ。
⑴ 求证：a b →
→
＋与a b →
→
－互相垂直；⑵ 若k
a b →→+与k a b →→
-（k ≠0）的长度相等，求βα-。
2.(2013·江苏)已知向量a ＝(cos α，sin α)，b ＝(cos β，sin β)，0<β<α<π.
(1)若|a －b |＝2，求证：a ⊥b ；(2)设c ＝(0,1)，若a ＋b ＝c ，求α，β的值． 3. 已知△ABC 的三个内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(4，－
1)，n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫
cos 2A 2，cos 2A ，且m·n ＝72.
(1)求角A 的大小；(2)若a ＝3，试判断bc 取得最大值时△ABC 的形状。
4. 设函数f (x )＝a ·b ，其中向量a ＝(2cos x,1)，b ＝(cos x ，3sin2x )，x ∈R . (1)若f (x )＝1－3且x ∈[－π3，π
3]，求x ；
(2)若y ＝2sin2x 的图象按向量c ＝(m ，n )(|m |<π
2)平移后得到y ＝f (x )的图象，求实数m 、n 的值。
5. 已知向量OA → =3i －4j ，OB → =6i －3j ，OC → =（5－m ）i －（4＋m ）j ，其中i 、j 分别是直角坐标系内x 轴与y 轴正方向上的单位向量。
（1）若A 、B 、C 能构成三角形，求实数m 应满足的条件； （2）若ΔABC 为直角三角形，且∠A 为直角，求实数m 的值。
1．下列命题中正确的是（ ）
A ．OA O
B AB -= B ．0AB BA +=
C ．00AB ⋅=
D ．AB BC CD AD ++=
2．设点(2,0)A ，(4,2)B ,若点P 在直线AB 上，且AB =2AP ，则点P 的坐标为（ ）
A ．(3,1)
B ．(1,1)-
C ．(3,1)或(1,1)-
D ．无数多个
3．若平面向量b 与向量)2,1(-=a 的夹角是o 180，且53||=b ，则=b ( )
A ．)6,3(-
B ．)6,3(-
C ．)3,6(-
D ．)3,6(-
4．向量(2,3)a =，(1,2)b =-，若ma b +与2a b -平行，则m 等于 A ．2- B ．2 C ．
21
D ．12
- 5．若,a b 是非零向量且满足(2)a b a -⊥，(2)b a b -⊥ ，则a 与b 的夹角是（ ）
A ．6
π B ．3π C ．32π D ．6
5π
6．设3(,sin )2a α=，1
(cos ,)3b α=，且//a b ，则锐角α为（ ）
A ．030
B ．060
C ．075
D ．045
7．若||1,||2,a b c a b ===+，且c a ⊥，则向量a 与b 的夹角为 ． 8．已知向量(1,2)a →=，(2,3)b →=-，(4,1)c →=，若用→a 和→b 表示→
c ，则
→
c =____。
9．若1a =,2b =，a 与b 的夹角为060，若(35)a b +⊥()ma b -，则m 的值为 ．
10．若菱形ABCD 的边长为2，则AB CB CD -+=__________。
11．若→a =)3,2(，→b =)7,4(-，则→a 在→
b 上的投影为________________。
12．已知(cos ,sin )a αα=，(cos ,sin )b ββ=，其中0αβπ<<<．
(1)求证：a b + 与a b -互相垂直；(2)若ka →
+→
b 与a k →
-→
b 的长度相等，求βα-的值(k 为非零的常数)．。