向量的概念及基本运算
向量的基本概念与运算法则
向量的基本概念与运算法则一、向量的基本概念向量是数学中经常使用的一个概念，它指的是有大小和方向的量。
向量通常用字母加上一个箭头表示，例如向量a可以写作a→。
向量的大小可以用模表示，记作|a|。
向量的方向可以用角度表示，在平面中通常以与正 x 轴的夹角θ 来表示。
二、向量的表示方法1. 平行四边形法则平行四边形法则是常见的向量表示法之一。
在平面直角坐标系中，我们可以使用平行四边形的两条边来表示向量。
具体做法是将向量的起点与坐标原点重合，然后以向量的大小和方向在坐标系中画出一条射线，再从射线的终点倒回来形成一个平行四边形，这个平行四边形的两条边就可以表示向量。
2. 分量表示法另一种常见的向量表示方法是分量表示法。
在平面直角坐标系中，我们可以使用向量在 x 轴和 y 轴上的投影来表示向量。
具体做法是将向量的起点与坐标原点重合，然后以向量的终点在坐标系中画出一条线段，从线段的终点与坐标原点相连，分别画出与 x 轴和 y 轴平行的两条线段，这两条线段的长度即为向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
三、向量的运算法则1. 加法向量的加法是指将两个向量相加得到一个新的向量。
具体做法是将两个向量的起点重合，然后将两个向量的终点连接起来形成一个新的向量。
2. 减法向量的减法是指将一个向量减去另一个向量得到一个新的向量。
具体做法是将两个向量的起点重合，然后将第二个向量以相反的方向画出来，并将它的终点与第一个向量的终点连接起来形成一个新的向量。
3. 数量乘法向量的数量乘法是指将一个向量与一个标量相乘得到一个新的向量。
具体做法是将向量的大小乘以标量，并保持向量的方向不变。
4. 内积（点积）向量的内积，也称为点积，是指将两个向量相乘得到一个数。
具体做法是将两个向量的对应分量相乘，然后将所有的乘积相加起来。
5. 外积（叉积）向量的外积，也称为叉积，是指将两个向量相乘得到一个新的向量。
具体做法是将两个向量的大小与它们夹角的正弦值相乘，然后按照右手定则确定新向量的方向。
7.1向量的基本概念及其运算
ab
ab
[核心思想方法] 1、定义法 2、数形结合
3、化归与转化
[典型例题]
例1、计算 （1） 2(2a b) 7(3a b)
2 3(a 3b 3c) 5(2a 2b c)
解：（1）原式 4a 2b 21a 7b 25a 5b
（2）原式 3a 9b 9c 10a 10b 5c
证明： BD CD CB （3 e1-e2）-（-2e1-8e2）=5e1+5e2
=5（e1+e2）=5AB BD / / AB .
B点为公共点， A、B、D三点共线。
点评：根据向量平行的充要条件证明三点共线。
例5、已知a、b是两个非零向量 ，若a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直， 求a、b的夹角。
例5、已知a、b是两个非零向量 ，若a+3b与7a-5b垂直，a-4b与7a-2b垂直，
求a、b的夹角。
解：由题意得 （ (aa+-43bb）)((77aa--52bb）)=00
7a2 +16a
7a
2
30a
b
2
15b
=0
b
2
8b
=0
(1) (2)
由(1)
(2)得46a b
2
23b
0,
即b2 =2a
3）平行向量：
如果两个向量 a, b 的方向相同或相反， 则把这一对向量叫做平行向量。 记作 a / /b. 平行向量也叫共线向量。 规定零向量平行于任意向量。
4）共面向量： 如果把几个向量的始点移到某个平面，它们的终点也都在这个平面内，
把这些向量叫做共面向量。
如果两个向量 a, b 不共线，则向量 c与向量 a, b 共面的充要条件是：
向量的基本运算公式大全
向量的基本运算公式大全一、向量的定义与基本概念向量是具有大小和方向的量，可以用一个有序数对或有序三元组表示。
例如，二维平面上的向量（a，b）表示从原点出发，沿着横坐标轴正方向移动a 个单位，再沿着纵坐标轴正方向移动b个单位。
向量可分为有序实数对和有序复数对两种类型。
二、向量的加法与减法运算1.向量加法：两个向量相加，结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小的和，方向与两个向量的方向相同。
例如，向量A（a1，b1）与向量B （a2，b2）相加，结果为向量C（a1+a2，b1+b2）。
2.向量减法：两个向量相减，结果是一个新的向量，其大小等于两个向量的大小的差，方向与减数的方向相反。
例如，向量A（a1，b1）与向量B（a2，b2）相减，结果为向量C（a1-a2，b1-b2）。
三、向量的数乘运算1.向量与实数的乘积：将一个实数k与一个向量A相乘，结果是一个新的向量，其大小为原向量A大小的k倍，方向与原向量A的方向相同。
例如，向量A（a，b）与实数k相乘，结果为向量（ka，kb）。
2.向量与复数的乘积：将一个复数k与一个向量A相乘，结果是一个新的向量，其大小为原向量A大小的|k|倍，方向与原向量A的方向相同。
例如，向量A（a，b）与复数k相乘，结果为向量（ka，kb）。
四、向量的标量积与向量积1.标量积：两个向量A（a，b）和B（c，d）的标量积为一个实数，计算公式为：A·B = a*c + b*d。
标量积满足交换律和结合律，可用于表示向量之间的相似程度。
2.向量积：两个向量A（a，b）和B（c，d）的向量积为一个新的向量，计算公式为：AB = (ad - bc，bc - ab)。
向量积满足右手法则，可用于表示两个向量之间的垂直关系。
五、向量的模与单位向量1.向量的模：向量A（a，b）的模为其横纵坐标平方和的平方根，计算公式为：|A| = √(a + b)。
2.单位向量：一个向量的模为1时，该向量称为单位向量。
向量的概念与运算
向量的概念与运算在数学中，向量是一个有方向和大小的量，常用来表示物体的位移、速度、力等。
本文将介绍向量的概念以及向量的基本运算。
一、向量的概念向量可以用箭头表示，箭头的指向表示向量的方向，箭头的长度表示向量的大小。
通常用加粗的小写字母表示向量，例如a、b。
一个向量可以由一组有序的实数构成，这组有序的实数称为向量的分量。
例如，向量a可以表示为(a₁, a₂, ..., aₙ)，其中 a₁, a₂, ..., aₙ 是向量a的分量。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法满足交换律和结合律。
设有向量a和向量b，它们的和表示为a + b，其分量的运算规则为：(a₁+b₁, a₂+b₂, ..., aₙ+bₙ)。
例如，设有向量a=(2, 4)和向量b=(1, 3)，则a + b = (3, 7)。
2. 向量的减法向量的减法可以看作是加法的逆运算。
设有向量a和向量b，它们的差表示为a - b，其分量的运算规则为：(a₁-b₁, a₂-b₂, ..., aₙ-bₙ)。
例如，设有向量a=(3, 8)和向量b=(2, 5)，则a - b = (1, 3)。
3. 向量的数乘向量的数乘是指向量与一个实数的乘积。
设有向量a和实数k，它们的数乘表示为k * a，其分量的运算规则为：(k * a₁, k * a₂, ..., k *aₙ)。
例如，设有向量a=(1, 2, 3)和实数k=2，则k * a = (2, 4, 6)。
4. 向量的数量积（内积）向量的数量积是指两个向量的对应分量相乘后再相加的结果。
设有向量a=(a₁, a₂, ..., aₙ)和向量b=(b₁, b₂, ..., bₙ)，它们的数量积表示为a · b，计算公式为：a · b = a₁ * b₁ + a₂ * b₂ + ... + aₙ * bₙ。
例如，设有向量a=(1, 2, 3)和向量b=(2, 3, 4)，则a · b = 1 * 2 + 2 * 3 + 3 * 4 = 20。
向量的定义与基本运算
向量的定义与基本运算向量是数学中的一个重要概念，在各个领域都有广泛应用。
本文将介绍向量的定义和基本运算，以帮助读者更好地理解和应用向量的相关知识。
一、向量的定义在数学中，向量是由大小和方向共同确定的量。
通常用字母加上一个箭头来表示，例如向量a 可以写作→a 或a。
向量有两个重要的属性：大小（模）和方向。
大小表示向量的长度，方向表示向量的指向。
二、向量的表示形式向量有多种表示形式，常用的有坐标表示和分量表示。
1. 坐标表示在二维空间中，向量可以表示为一个有序数对 (x, y)，其中 x 表示向量在 x 轴上的分量，y 表示向量在 y 轴上的分量。
在三维空间中，向量可以表示为一个有序三元组 (x, y, z)，其中 x、y 和 z 分别表示向量在x、y 和 z 轴上的分量。
2. 分量表示向量的分量表示是指将向量在坐标轴上的投影值表示为一个有序数列。
在二维空间中，向量 a 的分量表示为 (a₁, a₂)，其中 a₁表示向量在 x 轴上的分量，a₂表示向量在 y 轴上的分量。
在三维空间中，向量a 的分量表示为 (a₁, a₂, a₃)，其中 a₁、a₂和 a₃分别表示向量在 x、y 和 z 轴上的分量。
三、向量的基本运算向量的基本运算包括加法、减法和数量乘法。
1. 向量的加法设有向量 a 和向量 b，向量 a 的坐标表示为 (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b 的坐标表示为 (b₁, b₂, ..., bₙ)，则向量 a 和向量 b 的和向量 c 的坐标表示为 (c₁, c₂, ..., cₙ)，其中 c₁ = a₁ + b₁，c₂ = a₂ + b₂，...，cₙ = aₙ + bₙ。
2. 向量的减法设有向量 a 和向量 b，向量 a 的坐标表示为 (a₁, a₂, ..., aₙ)，向量 b 的坐标表示为 (b₁, b₂, ..., bₙ)，则向量 a 和向量 b 的差向量 c 的坐标表示为 (c₁, c₂, ..., cₙ)，其中 c₁ = a₁ - b₁，c₂ = a₂ - b₂，...，cₙ = aₙ - bₙ。
向量代数的基本概念及运算法则
向量代数的基本概念及运算法则向量代数是线性代数的重要部分，涉及了向量的基本概念及其运算法则。
本文将介绍向量的概念、向量的加法和减法运算法则、向量的数乘运算法则，并讨论一些常见的向量运算性质。
一、向量的概念向量是具有大小和方向的物理量，常用有向线段表示。
通常将向量用字母加箭头表示，例如，向量a用记号“→a”表示。
向量有两个重要的属性，即大小（模）和方向。
向量的大小表示向量的长度或大小，用|→a| 或||→a|| 表示，读作“模a”或“a的模”。
向量的方向表示指向何处，可以用角度、弧度或者其他方式进行表示。
二、向量的加法和减法运算法则向量的加法运算是指将两个向量进行求和的运算，其法则可以用平行四边形法则和三角法则表示。
平行四边形法则可以简要描述如下：设有向量→a和→b，取→a的起点作为平行四边形的一个顶点，将→b 平移至→a的终点，以→a和→b的起点为相对顶点形成平行四边形，平行四边形的对角线所表示的向量，即为向量→a和→b的和向量→a+→b。
三角法则可以简要描述如下：将→a和→b的起点相接，以→a的终点为直角，连接→b的终点和→a的起点，所得的向量即为向量→a和→b的和向量→a+→b。
向量的减法运算是指将两个向量进行相减的运算，可以通过向量的加法和取负得到。
设有向量→a和→b，向量→a减去向量→b即为向量→a加上向量→b的负向量，即→a-→b=→a+(-→b)。
三、向量的数乘运算法则向量的数乘运算是指将一个向量乘以一个实数的运算，用以改变向量的长度或方向。
设有向量→a和实数k，向量→a与k的乘积，记作k→a，即为把向量→a的长度伸缩为原来的|k|倍，并在原来的方向上（若k>0）或相反方向上（若k<0）。
四、常见的向量运算性质1. 交换律：向量加法满足交换律，即→a+→b=→b+→a。
2. 结合律：向量加法满足结合律，即(→a+→b)+→c=→a+(→b+→c)。
3. 分配律：向量的数乘运算满足分配律，即k(→a+→b)=k→a+k→b。
向量的基本概念与运算
向量的基本概念与运算在数学中，向量是一种具有大小和方向的量，常用于表示运动、力等概念。
向量的概念和运算是数学中的基础知识，它们在物理、工程、计算机科学等领域中有广泛的应用。
本文将介绍向量的基本概念和运算，并讨论其在实际问题中的应用。
一、向量的定义与表示向量可以通过有序数对或坐标来表示。
在二维坐标系中，一个向量可以表示为 (x, y)，其中 x 和 y 分别为向量在 x 轴和 y 轴上的分量。
类似地，在三维坐标系中，向量可以表示为 (x, y, z)，其中 x、y 和 z 为向量在 x 轴、y 轴和 z 轴上的分量。
二、向量的基本运算1. 向量的加法向量的加法定义为相同位置上的分量相加。
设向量 A 的分量为 (A1, A2, A3)，向量 B 的分量为 (B1, B2, B3)，则两个向量的和可以表示为 (A1+B1, A2+B2, A3+B3)。
向量的加法满足交换律和结合律，即 A+B=B+A 和(A+B)+C=A+(B+C)。
2. 向量的数量乘法向量的数量乘法定义为向量的每个分量乘以一个标量。
设向量 A 的分量为 (A1, A2, A3)，标量为 k，则向量 A 乘以标量 k 后的结果可以表示为 (k*A1, k*A2, k*A3)。
3. 向量的减法向量的减法可以看作加法的逆运算。
设向量 A 的分量为 (A1, A2, A3)，向量 B 的分量为 (B1, B2, B3)，则两个向量的差可以表示为 (A1-B1, A2-B2, A3-B3)。
4. 向量的点积向量的点积也称为内积或数量积，表示为 A·B。
设向量 A 的分量为(A1, A2, A3)，向量 B 的分量为 (B1, B2, B3)，则两个向量的点积可以表示为 A1*B1 + A2*B2 + A3*B3。
点积的结果是一个标量。
5. 向量的叉积向量的叉积也称为外积或向量积，表示为 A×B。
设向量 A 的分量为 (A1, A2, A3)，向量 B 的分量为 (B1, B2, B3)，则两个向量的叉积可以表示为 (A2*B3 - A3*B2, A3*B1 - A1*B3, A1*B2 - A2*B1)。
向量的基本概念与运算规则
向量的基本概念与运算规则向量是数学中的一个重要概念，常用于表示具有大小和方向的物理量。
本文将介绍向量的基本概念和运算规则，以帮助读者更好地理解和应用向量。
一、向量的定义向量是具有大小和方向的量，通常用箭头来表示，箭头的长度表示向量的大小，箭头的方向表示向量的方向。
记作➡️AB，A和B分别表示向量的起点和终点。
二、向量的表示方法向量可以用多种表示方法，常见的有坐标表示法和分量表示法。
1. 坐标表示法：在直角坐标系中，向量可以由起点和终点的坐标表示。
例如，向量➡️AB可以表示为(2,3)。
2. 分量表示法：向量可以由沿坐标轴的投影表示，称为向量的分量。
例如，向量➡️AB的水平分量和垂直分量分别为2和3。
三、向量的运算向量可以进行加法、减法、数乘和点乘等运算。
1. 向量的加法：向量的加法满足"三角形法则"，即将一个向量的起点与另一个向量的终点相连，新向量的起点为第一个向量的起点，终点为第二个向量的终点。
例如，对于向量➡️AB和向量➡️BC，它们的和为向量➡️AC。
2. 向量的减法：向量的减法可以看作是向量加法的逆运算。
将被减去的向量取反，即将其方向翻转180度，然后按照向量加法的规则进行计算。
3. 向量的数乘：将一个向量与一个标量相乘，即将向量的大小与标量相乘，同时保持向量的方向不变。
例如，向量➡️AB数乘2的结果是向量➡️AC，AC的大小为原向量AB大小的2倍。
4. 向量的点乘：向量的点乘是指两个向量进行数量积运算，其结果为一个实数。
点乘的计算公式为AB·AC=|AB||AC|cosθ，其中θ为两个向量之间的夹角，|AB|和|AC|分别为向量AB和AC的大小。
四、向量的性质向量具有一些重要的性质，其中包括：1. 向量的零向量：零向量是指大小为0的向量，它的方向可以是任意方向。
零向量与任何向量的加法结果均为原向量本身。
2. 向量的相等：两个向量相等，当且仅当它们的大小相等且方向相同。
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向量，那么对于这一平面内的任一向量 a，
r ur ur
有且只有一对实数1,使2, a1e1 e 2 2
ur ur 不共线的向量 e 1 , e 2
叫做表示这一平面内所有向量的一组基底
r (2)零向量： 长度为0的向量，记作0 .
(3)单位向量： 长度等于1个单位长度的向量.
(4)平行向量： 方向相同或相反的非零向量.
(5)相等向量： 长度相等且方向相同的向量.
(6)相反向量： 长度相等且方向相反的向量.
2020/6/1
a
3
例题分析
例1.判断下列命题是否正确，不正确的说明理由
rr
提示: u u u r u u u r u u u r ur ur uuur ① B uuD ur B uC uur C D 5(e1 e2) 5AB
AB ∥B
u u ur
D
u
u
ur
又 A 与B B有D公共点B
∴A、B、D三点共
线 2020/6/1
a
14
ur uur 例3.已知向量 e 1、e 2 不共线，
r
r
②若 a (x 1 ,y 1 ), b (x 2 ,y 2 )
rr
则 a ⊥b x1x2 y1y2 0
2020/6/1
a
12
例题分析 r
r
例2.已知 a＝(1，2)， ＝b (－3，2)，
①当k为何值时，k
r a
r 与b
rr a垂 3直b ？
rr r r ②当k为何值时，k a 与b a平 3行b ？
向量的基本 概念与运算
2020/6/1
a
1
平面向量复习
向量及相关概念
平
三角形法则
面
向量加法与减法
向
平行四边形法则
量
实数与向量的积
运算
共线向量定理 平行的充要条件
向量的数量积
垂直的充要条件
平面向量的基本定理
1.向量及相关概念
向量定义：既有大小又有方向的量叫向量。
(1)向量的模： 向量的大小也就是向量的长度称 为向量的模.
rr
(1)若 a 与 同b 向， 且 a b ,
rr 则a b
(╳)
rr r r
(2)对于任意向量
rr
a
b
,
且a与
方b 向相同，
则a b (√)
(3)所有的单位向量都相等. ( ╳ )
2020/6/1
a
4
(4)零向量与任意向量都平行. ( √ )
(5)向量 uA与uBur 是CuuDur共线向量,则A、B、C、D
共线
u r
u u r
∴存在实数k 使 e1e2（ ke 1-e 2 ）
根据向量相等的条件
k
1
k
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a
15
ur uur 例3.已知向量 e 1、e 2 分别是直角坐标系内与
x轴、y轴方向相同的两个单位向量，
uuur ur uur ①若ABe1e2 ，
uBuC ur2eur18euur2 ，C uuD ur3eur13euur2;
(2)向量平行(共线)充要条件
r rr r ① a ∥ b(b 0)
rr
有且只有一个实数 使得 a b
r
r
②若 a (x 1 ,y 1 ), b (x 2 ,y 2 )
rr 则 a ∥b
x1y2 x2y1 0
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a
11
3.平面向量之间的关系
(3)两个非零向量垂直的充要条件
r r rr ① a ⊥ 1 y 2 )
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a
7
2.向量的基本运算
r
(3 )实 数 与 a 的 乘 积
①
a r是 一 个 向 量 , 且ar
r a
②
rr
0时,a与a同向;
0 时 , a r与 a r反 向 ;
rr
0时 , a 0
几何意义： 实质就是向量的伸长与缩短
r
①若uAuBur eur1euur2 ，u BuC ur2eur18euur2 ，C uuD ur3eur13euur2;
求证：A、B、D三点共线；
ur uur ur uur
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
提示:② 若向量
ur uur ur uur
e1
e2与
u er1 u re2
四点共线.
(╳)
rrr r
rr
(6)如果 a ∥，b b ，∥则c . a ∥ c ( ╳ )
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a
5
2.向量的基本运算
（1）向量的加法
几何运算： 三角形法则
C
平行四边形法则
B
C
u Auu r uuu r uu Bu r Ouuu r uuu r u Auu r
代数运A 算B ：+设 B rC a r r( A x 1 C ,y 1 ),
平行时它们是同向还是反向?
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a
13
ur uur
例3.已知向量 e 1、e 2 不共线，
①若uAuBur eur1euur2 ，u BuC ur2eur18euur2 ，
uuur ur uur
CD3e13e2 ;
求证：A、B、D三点共线；
ur uur ur uur
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数 的值.
r
坐标表示：若 a (x ,y ), 则 a (x,y)
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a
8
2.向量的基本运算
（4）两个非零向量的数量积
r r rr
a gb a b cos
几何意义：
rr r
r
a 与 b 在 a 的方向上的投影 b co s 的乘积
r
r
坐标表示：设 r a r (x 1 ,y 1 ), b (x 2 ,y 2 )
求证：A、B、D三点共线； ur uur ur uur
②若向量e1 e2与 e1 e2 共线，求实数
提示u:uur uAuBur(1,1) BC(2,8) uuur CD(3,3)
的值.
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a
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4.平面向量基本定理 平面向量的基本定理
ur ur
如果 e 1 是, e同2 一平面内的两个不共线
r O AO BO C
b (x 2 ,y 2 )
则ab( x 1 x 2 , y 1 y 2 )
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6
2.向量的基本运算
（2）向量的减法
几何运算： 三角形法则
B
uu u r uuu r uuu r
B AO AO B
O
A
r
r
代数运算：设 ra r(x 1 ,y 1 ), b (x 2 ,y 2 )
a b x1x2 y1y2
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a
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3.平面向量之间的关系
（1）两个向量相等的两种形式
r r r r rr ①abab且 a 与 b 方 向 相 同
r
r
②若 a (x 1 ,y 1 ), b (x 2 ,y 2 )
则arbrx1x2,且 y1y2
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a
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3.平面向量之间的关系