向量矩阵概念与运算
向量与矩阵的基本运算与性质
向量与矩阵的基本运算与性质向量与矩阵是线性代数的基础概念，它们在数学和物理领域中扮演着重要的角色。
本文将介绍向量与矩阵的基本运算以及它们的性质。
一、向量向量是具有大小和方向的量，通常表示为一个有序的实数列表或箭头。
向量可以用于表示力、速度、加速度等概念。
在线性代数中，向量通常表示为一个列向量或行向量。
1. 向量的表示向量可以用单个变量加上一个箭头表示，例如a→。
在文本中，向量通常以粗体字母表示，例如a。
2. 向量的加法向量的加法是指对应位置上的元素相加得到新的向量。
设有两个n 维向量a=(a1,a2,...,aa)和a=(a1,a2,...,aa)，则它们的和为：a+a=(a1+a1,a2+a2,...,aa+aa)3. 向量的数量乘法向量的数量乘法是指将向量的每个元素与一个实数相乘得到新的向量。
设有一个n维向量a=(a1,a2,...,aa)和实数a，则其数量乘积为：aa=(aa1,aa2,...,aaa)4. 向量的点积向量的点积，也称为内积或数量积，是两个向量对应位置上的元素相乘再相加的结果。
设有两个n维向量a=(a1,a2,...,aa)和a=(a1,a2,...,aa)，则它们的点积为：a·a=a1a1+a2a2+...+aaaa二、矩阵矩阵是一个二维数组，通常用于表示一组数据或线性变换。
矩阵由行和列组成，行表示矩阵的水平方向，列表示矩阵的垂直方向。
1. 矩阵的表示矩阵通常以大写字母表示，例如a、a。
一个m行n列的矩阵可以表示为：a=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣a11 a12 ⋯a1a a21 a22 ⋯a2a⋮⋮⋱⋮aa1 aa2 ⋯aaa⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦2. 矩阵的加法矩阵的加法是指对应位置上的元素相加得到新的矩阵。
设有两个m 行n列的矩阵a和a，则它们的和为：a+a=⎡⎢⎢⎢⎢⎢⎣a11+a11 a12+a12 ⋯a1a+a1a a21+a21a22+a22 ⋯a2a+a2a⋮⋮⋱⋮aa1+aa1 aa2+aa2 ⋯aaa+aaa⎤⎥⎥⎥⎥⎥⎦3. 矩阵的数量乘法矩阵的数量乘法是指将矩阵的每个元素与一个实数相乘得到新的矩阵。
数学中的向量与矩阵
数学中的向量与矩阵数学是一门抽象而具有普适性的学科，而其中的向量和矩阵更是数学领域中常见且重要的概念。
向量和矩阵可以用于解决各种各样的问题，从几何学到物理学，从统计学到计算机科学，它们无处不在且发挥着重要的作用。
一、向量的基本概念与性质向量是有大小和方向的量，可以用箭头来表示。
在数学中，向量通常用加粗的字母或者小写字母上面加上一个箭头来表示，比如a，A或者→a。
向量可以在平面内或者空间内移动，通过平移和旋转来改变位置和方向。
向量有很多基本的运算，比如加法、减法、数量乘法和点乘。
加法和减法可以实现向量的平移和方向的改变，而数量乘法可以改变向量的长度。
点乘是一种特殊的乘法运算，结果是一个标量（即一个纯量），用于计算两个向量之间的夹角和判断它们的相对方向。
二、矩阵的定义和特性矩阵是由若干个数按照一定的规律排列成的一个矩形的数组。
矩阵可以用于表示各种各样的数据，比如二维的点坐标、数字表格中的数据等等。
矩阵可以用方括号或者圆括号来表示，比如[A]或者(A)。
一个矩阵可以有不同的形状，比如m行n列的矩阵就称为一个m×n矩阵。
矩阵也有一些基本的运算，比如加法、减法、数量乘法和矩阵乘法。
矩阵的加法和减法可以实现矩阵的平移和位置的改变，而数量乘法可以改变矩阵中每个元素的值。
矩阵乘法是一种非常重要的运算，它可以将两个矩阵相乘得到一个新的矩阵，用于实现数据的变换和转换。
三、向量与矩阵的关系和应用向量和矩阵在数学中有着密切的联系，它们之间可以相互转换和运算。
一些常见的应用包括：1. 几何变换：在几何学中，向量和矩阵可以用于表示平移、旋转、缩放等一系列的几何变换。
通过矩阵乘法和向量运算，可以实现对图形的变形和变化。
2. 物理学：向量可以用于表示物体的速度、加速度等物理量，而矩阵则可以用于表示物体的质量、惯性矩阵等。
在物理学中，向量和矩阵可以用于解决各种运动和力学问题。
3. 统计学：向量和矩阵在统计学中扮演着重要的角色，可以用于表示样本数据和计算统计指标。
向量与矩阵的定义及运算学习资料
α 1 (2α) 2
（1 5，1 1，1 6，1 （ 1）,1 4)
2 22 2
2
2.5, 0.5, 3, 0.5, 2 ,
β1(2 β ) ( 0 .5 ,0 .5 ,2 ,1 .5 , 2 ). 2
12
二 矩阵
定义3 设P是复数集C的一个子集合，其中包含 0与1。如果P中的任意两个数a,（ b这两个数也可 以相同）的和、差、积、商（除数不为零）仍 在P中，则称P是一个数域(number field).
向量与矩阵的定义及运算
n维行向量和n维列向量都可称为n维向量
(vector), n维向量常用小写黑体希腊字母，， ，L 表示。
例： ＝（1，3，8）;
(10, 23,45, 2);
x
＝ y
z
2
定 义 2 设 两 个 n维 向 量 ＝(a1, a2 ,L , an ), (b1 , b2 ,L , bn )
定义5 设A(aij)sn和B(bij)sn是(数域P上) 两个sn(同型)矩阵，则 (1)如果它们对应的元素分别相等，即aij bij, (i 1,2,L,s;j 1,2,L,n),则称A与B相等，记作 AB.
注意：和要简写成 必须满足：每项形式完全一样，不一样
的只是求和指标，而且求和指标连续从小到大增加一。 9
例 2 证 明 ： 任 意 n维 向 量 (k1,k2,L,kn)是 向 量 组 1(1,0,L,0),2(0,1,L,0),L,n(0,L,0,1)的
一 个 线 性 组 合 。 证明：由向量的线性运算，得
(k1, k2 ,L , kn ) (k1, 0,L , 0) (0, k2, 0,L , 0) L (0,L , 0, kn )
向量与矩阵运算
向量与矩阵运算在高中数学学科中，向量与矩阵运算是一项重要的内容。
向量与矩阵的概念与运算规则不仅在数学中有广泛的应用，而且在物理、工程、计算机科学等领域也有着重要的地位。
本文将详细介绍向量与矩阵的定义、基本运算以及一些常见应用。
一、向量的定义与基本运算向量是有方向和大小的量，通常用箭头表示。
向量可表示为一个有序的数字组成的列，也可以视为从原点指向某一点的箭头。
例如，向量A可以表示为(A1, A2, ..., An)。
向量的基本运算包括加法和数乘。
向量的加法是对应元素相加，即A +B = (A1 + B1, A2 + B2, ..., An + Bn)，其中A和B为同维数的向量。
数乘是将向量的每个元素都乘以一个实数，即kA = (kA1, kA2, ..., kAn)，其中k为实数。
二、矩阵的定义与基本运算矩阵是一个按照矩形排列的数表，通常用大写字母表示。
矩阵有行与列组成，用m×n表示，其中m表示矩阵的行数，n表示矩阵的列数。
矩阵的基本运算包括矩阵加法、矩阵数乘和矩阵乘法。
矩阵的加法是对应元素相加，即A + B = [aij + bij]，其中A和B为同维数的矩阵。
矩阵的数乘是将矩阵的每个元素都乘以一个实数，即kA = [kaij]。
矩阵的乘法是一种复合运算，需要满足乘法的规则。
若A为m×n 的矩阵，B为n×p的矩阵，则AB为m×p的矩阵。
矩阵AB的第i行第j列元素可以表示为：ABij = aij * bij，其中aij表示A矩阵的第i行第j 列元素，bij表示B矩阵的第i行第j列元素。
三、向量与矩阵的应用向量与矩阵运算在许多实际问题中有着广泛的应用。
以下是一些常见的应用领域：1. 物理学：在物理学中，向量和矩阵可以用来描述物体的运动和力的作用。
例如，位移向量可以用来描述物体的位置变化，力矩矩阵可以用来描述物体受到的力的作用。
2. 工程学：向量和矩阵可以用来描述工程中的各种变量和关系。
§1.1-向量与矩阵的定义及运算
(10)若kA 0，则k 0,或者A 0.
28
例 设矩阵A、B、C满足等式 3(A+C)=2(B－C)，其中
A
2 1
3 3
6 5
,
B
3 1
2 3
4 5
,
求C.
解：由等式可得 5C 2B 3A
23 21
22 2 (3)
b1 j
(ai1
ai 2
L
ain
)
b2 M
j
= A的第i行乘 B的第j列
bnj
故可以把乘法规则总结为：左行乘右列.
36
注意：(1) 只有当第一个矩阵的列数等 于第二个矩阵的行数时，两个矩阵才 能相乘.
例如
1 3 5
2 2 8
3 1 9
1 6
6 0
8 1
不存在.
(2) 乘积矩阵C的行数＝左矩阵的行数， 乘积矩阵C的列数＝右矩阵的列数.
ka11
(kaij )sn
ka21
M
kas1
ka12 ka22
M
ka s 2
L ka1n
L
ka2n
M M
L
kasn
为数k与A的数乘，记作kA.
25
(4) 负矩阵:将矩阵A=(aij)s×n的各元 素取相反符号，得到的矩阵称为矩阵A
的负矩阵，记为－A. 即
a11 a12 L a1n
(aij )sn
a21 M
a22 M
L M
a2n
M
as1
as2
L
asn
26
矩阵的线性运算性质
(1) A B B A;
矩阵与向量的乘法运算
矩阵与向量的乘法运算1. 引言：矩阵与向量的相遇大家好，今天咱们要聊聊一个在数学中非常重要，但又经常让人摸不着头脑的概念——矩阵与向量的乘法运算。
别急，听我细细讲解，这其实没那么复杂，就像学会了骑自行车一样，一旦明白了，就觉得无比轻松。
2. 矩阵与向量基本概念2.1 矩阵是什么？矩阵其实就是一张数字的表格，里头的数字排成了行和列。
可以把它想象成一个由很多小格子组成的表格，每个小格子里都藏着一个数字。
举个例子，一个2x3的矩阵就有2行3列，像个小方阵子。
2.2 向量是什么？向量呢，简单来说就是一个单行或者单列的矩阵。
你可以把它看作是一个“数字串”，它要么是横着的（行向量），要么是竖着的（列向量）。
比如说一个3维的向量就是三个数字排成一行或者一列。
3. 矩阵与向量的乘法运算3.1 乘法运算的步骤矩阵与向量相乘，其实就像在玩拼图。
先看矩阵的每一行，然后用这行的数字分别乘上向量里对应的数字。
最后，把这些乘积加在一起，就得到结果了。
这里有个小窍门：矩阵的列数要跟向量的行数一致，才能进行乘法运算。
就像要拼对了才行，拼错了是没办法完成的。
3.2 举个例子比如说我们有一个2x3的矩阵A和一个3维的列向量B。
矩阵A的第一行是[1, 2, 3]，第二行是[4, 5, 6]，向量B是[7, 8, 9]。
那怎么乘呢？我们先用矩阵A的第一行[1, 2, 3]乘向量B的每一个元素，然后把结果加起来。
计算就是：1*7 + 2*8 + 3*9 = 7 + 16 + 27 = 50。
同样的方式，我们对第二行[4, 5, 6]做一次，得到：4*7 + 5*8 + 6*9 = 28 + 40 + 54 = 122。
所以最后的结果是一个2维的向量[50, 122]。
4. 实际应用中的矩阵与向量乘法4.1 在计算机图形中的应用你可能会问，这些运算和实际生活有什么关系？其实，矩阵与向量的乘法在计算机图形中非常重要。
比如说，你玩游戏时屏幕上的角色移动，就是通过矩阵变换来实现的。
线性代数中的基本概念和运算
线性代数中的基本概念和运算线性代数是现代数学的一个重要分支，也是许多学科中必不可少的一门基础课程。
它研究的是向量、矩阵、线性变换等概念及其相应的运算。
本文将介绍线性代数中的基本概念和运算。
一、向量与向量空间在线性代数中，向量是最基本的概念之一。
向量通常用一列有序数或者坐标来表示，也可以用一个点或者箭头来表示。
向量空间是一组具有相同性质的向量的集合，其中向量有加法和数乘两个运算，满足加法交换律、结合律和分配律，以及数乘分配律、结合律和单位元等基本性质。
二、矩阵与矩阵运算矩阵是由一组数排成的矩形阵列，用来表示一些现象或者数据的特征。
在线性代数中，矩阵是向量的一种运算形式，可以表示线性变换。
矩阵加法和数乘都是矩阵运算中的基本运算，同时还有矩阵乘法、矩阵求逆和行列式等基本运算。
三、线性变换和线性方程组线性变换是指一个向量空间到另一个向量空间的映射，满足加法和数乘的线性性质。
它是线性代数中非常重要的概念，因为它涉及到矩阵乘法、特征值等许多重要的应用。
线性方程组是由一组线性方程组成的方程组，它是解决问题的基础。
求解线性方程组需要用到矩阵的运算和高斯消元法等算法。
四、特征值和特征向量在线性代数中，特征值和特征向量是与线性变换密切相关的概念。
特征值是一个标量，特征向量是一个非零向量。
在某些特定的线性变换下，一个向量的方向不变，只发生了伸缩操作。
此时，特征向量的方向不变，只是在同一方向上拉长或者缩短了，而特征向量对应的标量就是特征值。
五、广义逆与二次型广义逆也叫伪逆，是一种扩展了矩阵逆的概念。
在某些情况下，矩阵并没有逆矩阵。
此时，可以用广义逆来求解问题。
二次型是与矩阵有关的一种特殊的函数形式，它是向量的二次函数，而矩阵是二次型的系数矩阵。
二次型的求解可以用到特征值和特征向量等概念。
总之，线性代数是一门非常重要的数学课程，它涉及到许多领域的应用，包括物理学、工程学、计算机科学等。
掌握线性代数的基础概念和运算，有助于我们更好地理解和应用相关领域中的知识。
向量矩阵运算原理
向量矩阵运算原理向量矩阵运算是线性代数中的重要概念，它描述了向量和矩阵在数学上的运算规则和性质。
在机器学习、统计学、物理学等领域中，向量矩阵运算被广泛应用于数据处理、模型建立和问题求解等方面。
下面将介绍向量矩阵运算的原理和相关参考内容。
一、向量向量是有序的一组数值，可以用于表示空间中的点、方向和大小等。
假设向量v有n个元素，可以表示为v=(v1,v2,...,vn)，其中每个元素均为实数。
向量的运算包括加法、标量乘法和内积三类。
1. 向量加法：向量加法是指将两个向量逐个对应元素相加，得到一个新的向量。
假设有两个向量a=(a1,a2,...,an)和b=(b1,b2,...,bn)，它们的加法表示为c=a+b=(a1+b1,a2+b2,...,an+bn)。
2. 标量乘法：标量乘法是指将一个标量与向量的每个元素相乘，得到一个新的向量。
假设有一个向量a=(a1,a2,...,an)和一个标量k，它们的标量乘法表示为c=k*a=(k*a1,k*a2,...,k*an)。
3. 内积：内积是指两个向量对应元素相乘后再求和的结果。
假设有两个向量a=(a1,a2,...,an)和b=(b1,b2,...,bn)，它们的内积表示为c=a·b=a1*b1+a2*b2+...+an*bn。
二、矩阵矩阵是由若干个数排成的矩形阵列，是向量的推广形式。
矩阵可以用于表示多个向量或者多个方程所组成的线性系统。
假设矩阵A有m行n列，可以表示为A=[a_ij]，其中a_ij表示第i行第j列的元素。
矩阵的运算包括加法、标量乘法和矩阵乘法三类。
1. 矩阵加法：矩阵加法是指将两个矩阵的对应元素相加，得到一个新的矩阵。
假设有两个矩阵A=[a_ij]和B=[b_ij]，它们的加法表示为C=A+B=[a_ij+b_ij]。
2. 标量乘法：标量乘法是指将一个标量与矩阵的每个元素相乘，得到一个新的矩阵。
假设有一个矩阵A=[a_ij]和一个标量k，它们的标量乘法表示为C=k*A=[k*a_ij]。
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1 向量的概念与运算 2 矩阵的概念与运算 3 逆矩阵 4 分块矩阵 5 矩阵的初等变换与初等矩阵 6 矩阵的秩 7 向量组的线性相关性 8 向量组的正交化
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第1节 向量的概念与运算
1.1 向量的概念
定义1 n个数a1，a2， ，an组成的有序数组 (a1, a2, , an)， 称为n维向量，记为a，其中a i (i=1,2,…,n)叫做向量的第i个分量.
i =1
例如，设a=(-1, 1, 0, 2)T，b=(2, 0, -1, 3)T , 则a与b
的内积为 (a , b ) =(-1)2+10+0(-1)+23 =4 .
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内积的性质
设a，b，g为Rn中的任意向量，k为常数. (1) ( a,b ) =(b,a ) ； (2) (ka,b ) = k ( a,b ) ； (3) (a+b,g ) = ( a,g ) + ( b, g ) ； (4) ( a,a ) 0，当且仅当a=o时，有( a,a ) =0 .
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负矩阵
称矩阵
-a11 -a12 -a1n -a21 -a22 -a2n
为A的负矩阵,记作 –A.
零矩阵
-am1 -am2 -amn
所有元素均为0的矩阵称为零矩阵，记为O.
行矩阵与列矩阵
只有一行的矩阵称为行矩阵，只有一列的矩阵称为列矩阵.常用小
例4．n维单位向量组e1，e2，，en，是两两 正交的：(ei ,ej ) =0 (ij) .
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标准正交向量组
定义6 如果m个非零向量组 a1，a2，，am两两正交， 即 (ai ,aj )=0(ij)，则称该向量组为正交向量组.
如果正交向量组a1，a2，，am的每一个向量都是单
称向量(0, 0, , 0)T 为零向量，记作O .
如果向量a=(a1, a2, , an)T与向量b=(b1, b2, , bn)T都是 n维向量，且对应的分量都相等，则称它们相等，记作a＝b.
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1.2 向量的运算
定义2 设 α = (a1, a2, , an T , β = (b1,b2, ,bn ,T则
从a得到a 0的运算称为向量a的单位化。
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定义5 如果向量a与b为非零向量，它们的夹角
θ定义为： = arccos
(a , b )
|| a || . || b ||
若(a ,b =0，则称向量a与b互相正交(垂直), 记作a b .
例3．零向量与任意向量的内积为零，因此零向量 与任意向量正交.
位向量，则称该向量组为标准正交向量组.
显然,例4中n维单位向量组e1，e2，，en
1
e1
=
0
0
0
e2
=
1
0
0
,
en
=
0
1 Fra bibliotek为标准正交向量组.
下页
第2节 矩阵的概念与运算
2.1 矩阵的概念
在某些问题中，存在若干个具有相同长度的有序数组.比如线性 方程组的每个方程对应一个有序数组：
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向量的长度
定义4 对于向量a=(a1, a2, , an )T，其长度(或模)为 || a ||= (a,a ) = a12 + a22 + + an2
例如，向量a=(-1, 2, 0, 2)T的长度为
|| a ||= (a,a) = (-1)2 + 22 + 02 + 22 = 3
向量长度的性质（了解） (1)非负性: a 0，当且仅当a = 0时，有 a = 0;
0648
3572 1320
A+B= 2 0 4 3 + 2 1 5 7
0123 0648
3+1 5+3 7+2 2+0 4 8 9 2 = 2+2 0+1 4+5 3+7 = 4 1 9 10 .
0+0 1+6 2+4 3+8 0 7 6 11
下页
设A,B,C都是mn矩阵.容易证明，矩阵的加法满足 如下运算规律：
（1）交换律： A+B=B+A; （2）结合律：(A+B)+C=A+(B+C); （3）A+O=A，其中O是与A同型的零矩阵; （4）A+(-A)=O，其中O是与A同型的零矩阵. 矩阵的减法可定义为:
A - B = A + (-B) = (aij - bij )mn 显然：若A=B，则A+C=B+C，A-C=B-C；
a11x1 + a12x2 + + a1nxn =b1 → (a11 a12 a1n b1) a21x1 + a22x2 + + a2nxn =b2 → (a21 a22 a2n b2) → am1x1+ am2x2 + + amnxn =bm → (am1 am2 amn bm)
向量的加法
（1）α + β = (a1 + b1, a2 + b2,
向量的数乘
, an + bn T
（2）kα = (ka1, ka2, , kan T （k为常数）
向量满足以下8条运算规律(设a、b、g都是n维向量，k、l为实数):
(1)a +b =b +a (2)a +(b +g )=(a +b ) +g (3)a +O =a (4)a +(-a) =O
下页
向量的内积
定义3 设a=(a1, a2, , an )T与b=(b1, b2, , bn )T是两个
n维向量，则实数
n
aibi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn
i =1
称为向量a和b的内积，记为(a , b )，或aT b.
n
(a , b ) =
aibi = a1b1 + a2b2 + ... + anbn
a+(-a) +2g =b+(-a) ；交换律
a+(-a) +2g =b-a O+2g =b-a 2g =b-a ½*2g = ½ *(b-a) 1g = ½ *(b-a) g = ½ *(b-a)
；约定（减法）
；性质4 ；性质3 ；数乘运算 ；恒等变换 ；性质8
(计算结果，略.)
说明：实际运算时，一般给出主要步骤即可，但应注意与数的运算的区别.
, m；j=1, 2, , n)，则称矩阵A与矩阵B 相等，记作A=B .
下页
2.2 矩阵的运算
2.2.1矩阵的加法
定义1 设A与B为两个mn矩阵
a11 a12 a1n
b11 b12 b1n
A= a21 a22 a2n ， B= b21 b22 b2n ，
A=
0 a22 a2n .
0 0 ann
如下形式的 n 阶矩阵称为 下三角形矩阵.
b11 0 B= b21 b22
bn1 bn2
0 0. bnn
下页
对角矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为对角矩阵.
a11 0 0 A= 0 a22 0 .
(5)(k+l)a=ka +la (6)k(a +b)=ka + kb (7)(kl)a= k(la) (8)1a=a
下页
向量的减法 设a、b都是n维向量，利用负向量可定义向量的减法为:
a - b = a + (- b ) ,即对应分量相减.
1 2 0
例1．设 a
=
-2
,
am1+bm1 am2+bm2 amn+bmn
下页
矩阵的加法：设A=(aij)mn与B=(bij)mn，则A+B= (aij+bij)mn。
3572
1320
例1．设 A= 2 0 4 3 ， B = 2 1 5 7 ，则
0123
这些有序数组可以构成一个表
a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2 am1 am2 amn bm
这个表就称为矩阵.
下页
定义1 由 mn 个数 aij(i=1, 2, , m；j=1, 2, , n)排成一个
m 行 n 列的矩形表称为一个 mn 矩阵，记作
a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn
其中 aij 称为矩阵的第 i 行第 j 列的元素. 一般情况下，我们用大写字母 A，B，C 等表示矩阵.
mn矩阵A简记为 A=(aij)mn 或记作 Amn . 如果矩阵A与B的行数相等，列数也相等，则称A与B是 同型矩阵或同阶矩阵。
0 0 ann
对角矩阵可简单地记为A=diag(a11, a22, , ann) .
单位矩阵
如下形式的 n 阶矩阵称为单位矩阵，记为 En 或 E.
1 0 0
E=
0 1 0 .
0 0 1
定义2 矩阵相等：设A=(aij)，B=(bij)为同阶矩阵，如果aij=bij(i=1, 2,
(2)齐次性: ka = k ||a || (k为实数)；
(3)柯西不等式: 对任意向量a，b有 (a, b a b ;