常见分布的期望和方差

常见分布的期望和方差

1、正态分布的计算：F(x) P(X X)(-—)。

2、随机变量函数的概率密度:

3、分布函数F (x,

y)

⑴

、

⑵

、

⑶

、

⑷

、概率与数理统计重点摘要

X是服从某种分布的随机变量，求丫f(X)的概率密度：f Y(y)

f x(x)[h(y)]

f (u,v)dudv具有以下基本性

质:

是变量x，y的非降函数;

0 F(x, y) 1，对于任意固定的x, y 有：F( , y) F(x, ) 0;

F(x, y)关于x右连续，关于y右连续;

对于任意的(x i, y i), (X2,

y2),

X1 X2,y1 y2，有下述不等式成立:

F(X2,y2)F(X i,y2)F(X2,y i) F(x,, y i) 0

h'(y)。 (参见P66〜72)

1 4、一个重要的分布函数：F(x, y)-

x

(一arctan—)(—

arctan

2

—)的概率密度为：f (x, y)

3

2

—F(x, y)

x y

2 2 2

(x 4)( y 9)

5、二维随机变量的边缘分布:

f x(X) f (x,y)dy

f Y(y) f (x, y)dx

F X(X) X

F(x,) [

f (u, y)dy]du

F Y(y)

y

F( ,y) [

f (x,

v)dx]dv

边缘概率密度:

边缘分布函数:

若F(x, y) F X(x)F Y(y)则称随机变量X, 二维正态分布的边缘分布为一维正态分布。

6、随机变量的独立性: Y相互独立。简称X与丫独立。

7、两个独立随机变量之和的概率密度: f z(Z) f x(x) f Y(z x)dx f Y(y)f x(z y)dy 其中Z = X + 丫

8、两个独立正态随机变量的线性组合仍服从正态分布，即Z aX bY : N(a 1 b 2,a21 b22。

9、期望的性质: (3)、E(X Y) E(X) E(Y) ；( 4)、若X，Y 相互独立，则E(XY) E(X)E( Y)。

10、方差：D(X) E(X2) (E(X))2。不相关，则D(X Y) D(X) D(Y)，否则D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X,Y),

D(X Y) D(X) D(Y) 2Cov(X, Y)

11、协方差：Cov(X,Y) E[(X E(X))(Y E(Y))]，若X , Y独立，则Cov(X, Y) 0,此时称：X与丫不相关。

12、相关系数：XY

Cov(X,Y) Cov(X, Y)

(X) (Y) J D(X)7D■币，XY

1，当且仅当X与丫存在线性关系时

XY

1，且

XY

1,

1,

当b>0;

当

bvO。

13、k阶原点矩：V k

k

E(X ) , k阶中心矩: k E[(X

k

E(X))]。

14、切比雪夫不等式: P X E(X) E(X) 1 。贝努利大数定律:

15、独立同分布序列的切比雪夫大数定律: 「X i 1 2，所以lim P 1 n

因p 一X i

n i 1 n n 0n i 1 16、独立同分布序列的中心极限定理:

(1)、当n充分大时，独立同分布的随机变量之和X i 的分布近似于正态分布N(n ,

n 2)。

(2)、对于X1,X2,...X n 的平均值X — X i , n i 1 有E(X) ，D(X) D(X i) ，即独立同分布的随机

b (b)

(a) P a Z n b (b)

(a)。

m 是n 次独立重复试验中事件 A 发生的次数，P 是事件A 发生的概率，则对任意 X ,

(2)、当n 充分大时, m

近似服从正态分布,

n

变量的均值当n 充分大时,

近似服从正态分布 N( ——)。

n

(1)、当n 充分大时, lim

P

n

m 近似服从正态分布,

m np v npq

(X)，其中 q 1 P 。

N(np npq)。

⑶、由上可知：lim P a Z n

n

17、棣莫弗一拉普拉斯中心极限定理：设

18、 参数的矩估计和似然估计: 19、 正态总体参数的区间估计:

N(p 単)。

n

精选文库

1,

未知

20、关于正态总值均值及方差的假设检验，参见P243 和

P248。s 2 F耳1

厂 2 2

S2 2

2 2

2 / 2