2014高考数学一轮复习课件6.8数学归纳法及其应用

•第八节 数学归纳法及其应用
•1．数学归纳法 •证明一个与正整数n有关的命题，可按下列 步骤进行： 第一个值n0(n0∈N*) •(1)(归纳奠基)证明当n取 ______________________时命题成立； •(2)(归纳递推)假设n＝k(k≥n0，k∈N*)时命题 n＝k＋1 成立，证明当____________时命题成立． •只要完成这两个步骤，就可以断定命题对从 n0开始的所有正整数n都成立．
1．(人教A版教材习题改编)在应用数学归纳法证明凸n 1 边形的对角线为 n(n－3)条时，第一步检验n等于( ) 2 A．1 B．2 C．3 D．4
•【解析】 三角形是边数最少的凸多边形， 故第一步应检验n＝3. •【答案】 C
2．若f(n)＝1＋ ( ) A．1
1 1 1 ＋ ＋„＋ (n∈N*)，则f(1)为 2 3 6n－1 1 B. 5 D．非以上答案
•2．数学归纳法的框图表示
•1．数学归纳法的第一步n取第一个值 n0(n∈N*)是否一定为1呢？ •【提示】 不一定．n0的取值应取命题成立 的第1个值，不一定是1.
•2．数学归纳法的两个步骤的作用分别是什 么？ •【提示】 数学归纳法中两个步骤体现了递 推思想，第一步是递推基础，也叫归纳奠基， 第二步是递推的依据，也叫归纳递推．两者 缺一不可．另外，在第二步中证明n＝k＋1时 命题成立，必须利用归纳假设，否则就不是 数学归纳法．
•【解】 ∵f′(x)＝x2－1，且an＋1≥f′(an＋1)， •∴an＋1≥(an＋1)2－1， •∵函数g(x)＝(x＋1)2－1在[1，＋∞)上单调递 增． •于是由a1≥1，得a2≥(a1＋1)2－1≥22－1，
•进而a3≥(a2＋1)2－1≥24－1＞23－1， •由此猜想：an≥2n－1. •下面用数学归纳法证明这个猜想： •①当n＝1时，a1≥21－1＝1，结论成立； •②假设n＝k(k≥1且k∈N*)时结论成立，即 ak≥2k－1. •由g(x)＝(x＋1)2－1在区间[1，＋∞)上单调 递增知， •ak＋1≥(ak＋1)2－1≥22k－1≥2k＋1－1， •即n＝k＋1时，结论也成立． •由①②知，对任意n∈N*，都有a ≥2n－1.即
1 1 1 4．用数学归纳法证明：“1＋ ＋ ＋„＋ n ＜n(n＞ 2 3 2 －1 1)”，由n＝k(k＞1)不等式成立，推证n＝k＋1时，左边应 增加的项的项数是________． 【解析】 由n＝k(k＞1)到n＝k＋1时，不等式左端增 1 1 1 加的项为 k ＋ k ＋„＋ k＋ 1 共增加(2k＋1－1)－(2k－1) 2 2 ＋1 2 －1 ＝2k项．
•运用数学归纳法应注意： •(1)第一步验证n＝n0时，n0不一定为1，要根 据题目要求选择合适的起始值． •(2)由n＝k时命题成立，证明n＝k＋1时命题 成立的过程中，一定要归纳假设，否则就不 是数学归纳法．
•从近两年的高考试题来看，用数学归纳法证 明与正整数有关的命题以及与数列有关的命 题是高考的热点，题型为解答题，主要考查 用数学归纳法证明数学命题的能力，分析问 题、解决问题的能力，难度为中、高档．在 求解时，应注意答题步骤的规范化．
（k＋1） 2 （2k＋1）（2k＋3） ＝ k（k＋1） 2（2k＋1） ＋ （k＋1） 2 （2k＋1）（2k＋3） ＝
k（k＋1）（2k＋3）＋2（k＋1） 2 2（2k＋1）（2k＋3） （k＋1）（2k2＋5k＋2） （k＋1）（k＋2） ＝ ＝ ， 2（2k＋1）（2k＋3） 2（2k＋3） 所以当n＝k＋1时，命题成立． 由①②可得对任意n∈N*，等式成立．
1 1 1 1 1 1 ∴ ≤ n，∴ ＋ ＋ ＋„＋ 1＋an 2 1＋a1 1＋a2 1＋a3 1＋an 1 1 1 1 1n ≤ ＋ 2＋ 3＋„＋ n＝1－( ) ＜1. 2 2 2 2 2
•数学归纳法是一种重要的数学思想方法，主 要用于解决与正整数有关的数学命题．证明 时步骤(1)和(2)缺一不可，步骤(1)是步骤(2) 的基础，步骤(2)是递推的依据．
1时，ak＋1的求解过程与a2、a3的求解过程相
似，注意体会特殊与一般性的辨证关系．
•2．“归纳—猜想—证明”的模式，是不完全
归纳法与数学归纳法综合应用的解题模式，
1 3 已知函数f(x)＝ x －x，数列{an}满足条件：a1≥1，an 3 1 1 1 1 ＋ ＋ ＋„＋ 与 ＋1≥f′(an＋1)，试比较 1＋a1 1＋a2 1＋a3 1＋an 1的大小，并说明理由．
规范解答之十 数学归纳法在数列问题中的应用 (12分)(2012· 安徽高考改编)数列{xn}满足x1＝0，xn＋1 2 ＝－xn＋xn＋c(n∈N*)． (1)证明：{xn}是递减数列的充要条件是c＜0； 1 (2)若0＜c≤ ，证明数列{xn}是递增数列． 4
【规范解答】 (1)充分性：若c＜0，由于xn＋1＝－x 2 ＋ n xn＋c≤xn＋c＜xn， ∴数列{xn}是递减数列.············2分 必要性：若{xn}是递减数列，则x2＜x1，且x1＝0. 又x2＝－x2＋x1＋c＝c，∴c＜0 1 故{xn}是递减数列的的充要条件是c＜0.·····4分
k＋（k＋1）＋1 2（k＋1） ＜ ＝ ＝2 k＋1， k＋1 k＋1 ∴当n＝k＋1时，不等式成立， 根据(1)，(2)知不等式对n∈N*都成立.
an 1 已知数列{an}的前n项和Sn满足：Sn＝ ＋ －1， 2 an 且an>0，n∈N*. (1)求a1，a2，a3，并猜想{an}的通项公式； (2)证明通项公式的正确性．
∴当n＝k＋1时，不等式成立． 1 1 1 n 根据(1)(2)可知，对n∈N*，1＋ ＋ ＋„＋ n ＞ . 2 3 2 －1 2
•1．从特殊发现一般性规律，特别是左边最 后一项分母的变化．在由n＝k推出n＝k＋1时 命题成立时，关键抓住两点：(1)项数与分母 的变化；(2)将分母放大，从而向n＝k＋1时 的目标靠拢． •2．用数学归纳法证明不等式的关键是由n＝ k时命题成立证n＝k＋1时命题也成立，在归 纳假设使用后可运用比较法、综合法、分析 法、放缩法等来加以证明，充分应用基本不 等式、不等式的性质等放缩技巧，使问题得
解得：ak＋1＝ 2k＋3－ 2k＋1(an＞0)． 即当n＝k＋1时，通项公式也成立． 由①和②，可知对所有n∈N*，an＝ 都成立． 2n＋1 － 2n－1
•1．猜想{an}的通项公式是一个由特殊到一般
的过程，注意两点：(1)准确计算a1，a2，a3
发现规律(必要时可多计算几项)；(2)证明ak＋
1 1 1 1 C．1＋ ＋ ＋ ＋ 2 3 4 5
1 1 1 1 【解析】 f(1)＝1＋ ＋ ＋ ＋ ，故选C. 2 3 4 5
•【答案】 C
1 1 1 1 3．(2013· 东莞模拟)设f(n)＝1＋ ＋ ＋ ＋„＋ 2 3 4 3n－1 (n∈N*)，则f(n＋1)－f(n)＝________．

1 (2)若0＜c≤ ，要证{xn}是递增数列． 4 即xn＋1＞xn，也就是证明xn＜ c········ 6分 1 下面用数学归纳法证明当0<c≤ 时，xn< c对任意n≥1 4 成立． 1 (ⅰ)当n＝1时，x1＝0< c≤ ，结论成立.····7分 2 (ⅱ)假设当n＝k(k∈N*)时结论成立，即xk< c. 1 因为函数f(x)＝－x ＋x＋c在区间(－∞， ]内单调递 2 增，
1 1 1 证明不等式1＋ ＋ ＋„＋ ＜2 n(n∈N*)． 2 3 n
【证明】 (1)当n＝1时，左边＝1，右边＝2， 左边＜右边，命题成立． (2)假设当n＝k(k≥1，k∈N*)时，不等式成立，即 1 1 1 1＋ ＋ ＋„＋ ＜2 k， 2 3 k 1 1 1 1 则当n＝k＋1时，左边＝1＋ ＋ ＋„＋ ＋ 2 3 k k＋1 2 k· k＋1＋1 1 ＜2 k＋ ＝ k＋1 k＋1
•【审题视点】 根据求出的前n项，抽象出 一般性的规律，然后利用数学归纳法证明．
【尝试解答】 (1)当n＝1时， a1 1 2 由已知得a1＝ ＋ －1，a1＋2a1－2＝0. 2 a1 ∴a1＝ 3－1(a1＞0)． a2 1 当n＝2时，由已知得a1＋a2＝ ＋ －1， 2 a2 将a1＝ 3－1代入并整理得a2＋2 3a2－2＝0. 2 ∴a2＝ 5－ 3(a2＞0)． 同理可得a3＝ 7－ 5. 猜想an＝ 2n＋1－ 2n－1(n∈N*)．
•【答案】 2k
用数学归纳法证明： n（n＋1） 12 22 n2 ＋ ＋„＋ ＝ 1×3 3×5 （2n－1）（2n＋1） 2（2n＋1） (n∈N*)．
•【审题视点】 (1)第一步验证n＝1时等式成 立． •(2)第二步假设n＝k(k∈N*)时等式成立，证 明n＝k＋1时，等式成立．
12 1 【尝试解答】 ①当n＝1时，左边＝ ＝ ， 1·3 3 1×（1＋1） 1 右边＝ ＝ ，左边＝右边，等式成立． 2×（2×1＋1） 3 ②假设n＝k(k≥1)时，等式成立． 12 22 k2 即 ＋ ＋„＋ ＝ 1·3 3·5 （2k－1）（2k＋1） k（k＋1） ， 2（2k＋1） 当n＝k＋1时，左边 12 22 k2 ＝ ＋ ＋„＋ ＋ 1·3 3·5 （2k－1）（2k＋1）
(2)①由(1)知，当n＝1，2，3时，通项公式成立． ②假设当n＝k(k≥3，k∈N*)时，通项公式成立， 即ak＝ 2k＋1－ 2k－1. ak＋ 1 1 ak 1 由ak＋1＝Sk＋ 1－Sk＝ ＋ － － ， 2 ak＋ 1 2 ak 将ak＝ 2k＋1－ 2k－1代入上式并整理得
2 ak＋ 1＋2 2k＋1ak＋1－2＝0，
1 1 1 1 【解析】 ∵f(n)＝1＋ ＋ ＋ ＋„＋ ， 2 3 4 3n－1 1 1 1 1 1 1 ∴f(n＋1)＝1＋ ＋ ＋„＋ ＋ ＋ ＋ . 2 3 3n－1 3n 3n＋1 3n＋2 1 1 1 ∴f(n＋1)－f(n)＝ ＋ ＋ . 3n 3n＋1 3n＋2