“点差法”的应用(高考数学专题复习)
高考数学点差法专题练习题详细讲解
高考数学点差法专题练习题详细讲解一．解答题（共9小题）1．过椭圆221164x y +=内一点(2,1)M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程． 【解答】解：设直线与椭圆的交点为1(A x ，1)y 、2(B x ，2)y (2,1)M 为AB 的中点 124x x ∴+=，122y y +=又A 、B 两点在椭圆上，则2211416x y +=，2222416x y += 两式相减得22221212()4()0x x y y −+−= 于是12121212()()4()()0x x x x y y y y +−++−= ∴12121212414()422y y x x x x y y −+=−=−=−−+⨯，即12AB k =−， 故所求直线的方程为11(2)2y x −=−−，即240x y +−=．2．已知中心在原点，一焦点为(0,4)F 的椭圆被直线:32l y x =−截得的弦的中点横坐标为12，求此椭圆的方程．【解答】解：椭圆被直线:32l y x =−截得的弦的中点横坐标为12， 可得宗坐标为113222y =⨯−=−，可得中点11(,)22M −．设椭圆标准方程为：22221(0)y x a b a b+=>>．设直线l 与椭圆相交于点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ．则2211221y x a b +=，2222221y x a b +=，相减可得：1212121222()()()()0y y y y x x x x a b+−+−+=， 又121y y +=−，121x x +=，12123y y x x −=−， ∴22310a b−+=，又2224a b −=， 联立解得224a =，28b =．∴椭圆的标准方程为：221248y x +=． 3．已知曲线22:3412C x y +=，试确定m 的取值范围，使得对于直线4y x m =+，曲线C 上总有不同两点关于该直线对称．【解答】解：设椭圆上关于直线4y x m =+对称的点1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则根据对称性可知线段AB 被直线4y x m =+垂直平分． 可得直线AB 的斜率14k =−，直线AB 与椭圆有两个交点，且AB 的中点0(M x ，0)y 在直线4y x m =+， 故可设直线AB 的方程为14y x n =−+，联立方程组22341214x y y x n ⎧+=⎪⎨=−+⎪⎩， 整理可得2213816(3)0x nx n −+−= 12813n x x ∴+=，1212124()2413n y y x x n +=−++=， △226441316(3)0n n =−⨯⨯−>，n <， 0413n x ∴=，01213n y =，代入4y x m =+， 413n m =−，∴m < m ∴的范围就是(． 4．已知椭圆C 过点(2P，，且与椭圆2214013x y +=有相同的焦点． （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若椭圆C 上存在A 、B 两点关于直线:l y x m =+对称，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）由椭圆2214013x y +=，可得c(±．设椭圆C 的标准方程为22221(0)x y a b a b +=>>，则22222481a b c a b c ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得251a =，224b =．∴椭圆C 的标准方程为2215124x y +=．（2）设直线AB 的方程为：y x t =−+，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，线段AB 的中点0(M x ，0)y ．联立2215124y x t x y =−+⎧⎪⎨+=⎪⎩，化为：222534174080x tx t −+−=．∴△22234100(17408)0t t =−−>，化为：275t <．123425t x x ∴+=，2121740825t x x −=． 12017225x x t x +∴==，00825ty x t =−+=． ∴8172525t t m =+， 解得259mt =−，代入275t <．可得m <<∴实数m的取值范围是m <<5．在ABC ∆中，||BC 是||AB 、||AC 的等差中项，且(1,0)B −，(1,0)C ． （1）求顶点A 的轨迹G 的方程；（2）若G 上存在两点关于直线:2l y x m =+对称，求实数m 的取值范围． 【解答】解：（1）由题意，||||2||4||AB AC BC BC +==>，∴顶点A 的轨迹G 是以B ，C 为焦点的椭圆（除去A ，B ，C 共线），且2a =，1c =，b ∴=∴顶点A 的轨迹G 的方程221(2)43x y x +=≠±；（2）解：设关于直线2y x m =+对称的点为A ，B ，则AB 的方程为12y x n =−+，与椭圆方程联立，消去y 整理得：22444120x nx n −+−=． 即22(3)0x nx n −+−=．由△224120n n =−+>，得22n −<<． 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 则12x x n +=，2123x x n =−， 再设AB 的中点为0(C x ，0)y ， 则02n x =， 又C 在12y x n =−+上，得034y n =，C 在2y x m =+上，得3242nn m =⨯+，即4n m =−．则222m −<−<，得1122m −<<．6．已知双曲线2212y x −=，经过点(1,1)M 能否作一条直线l ，使直线l 与双曲线交于A 、B ，且M 是线段AB 的中点，若存在这样的直线l ，求出它的方程；若不存在，说明理由． 【解答】解：设过点(1,1)M 的直线方程为(1)1y k x =−+或1x =（1）当k 存在时有22(1)112y k x y x =−+⎧⎪⎨−=⎪⎩得2222(2)(22)230k x k k x k k −+−−+−= （1） 当直线与双曲线相交于两个不同点，则必有 △2222(22)4(2)(23)0k k k k k =−−−−+−>，32k <又方程（1）的两个不同的根是两交点A 、B 的横坐标 21222()2k k x x k −∴+=−又(1,1)M 为线段AB 的中点 ∴1212x x +=即22122k k k k −==− 2k ∴=，使220k −≠但使△0<因此当2k =时，方程（1）无实数解故过点(1,1)m 与双曲线交于两点A 、B 且M 为线段AB 中点的直线不存在． （2）当1x =时，直线经过点M 但不满足条件，综上，符合条件的直线l 不存在7．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的一个顶点为(2,0)A．（1）求椭圆C 的方程；（2）经过点(1,1)M 能否作一条直线l ，使直线l 与椭圆交于A ，B 两点，且使得M 是线段AB 的中点，若存在，求出它的方程；若不存在，说明理由． 【解答】解：（1）椭圆C 的顶点为(2,0)A ， 2a ∴=，又c e a ==c ∴=，2b a =∴椭圆C 的方程为：22142x y +=．（2）当过点M 的直线斜率不存在时，显然不成立， 设直线的斜率为k ，则其方程为： 1(1)y k x −=−，联立方程组221(1)142y k x x y −=−⎧⎪⎨+=⎪⎩，消去y 并整理，得2222(12)4()2420k x k k x k k +−−+−−=， ∴△222216()4(12)(242)0k k k k k =−−+−−>，整理，得 23210k k ++>，k R ∴∈，21224()12k k x x k −+=+， 且点(1,1)M 是线段AB 的中点， ∴224()212k k k−=+，12k ∴=−，故存在这样的直线，此时，直线方程为： 11(1)2y x −=−−，即230x y +−=，∴存在符合条件的直线，它的方程230x y +−=．8．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的一个焦点与抛物线28y x =的焦点重合，点在C 上（Ⅰ）求C 的方程；（Ⅱ）直线l 不过原点O 且不平行于坐标轴，l 与C 有两个交点A ，B ，线段AB 的中点为M ，证明：OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．【解答】解：（Ⅰ）抛物线28y x =的焦点为(2,0)，由题意可得：2c =，即224a b −=，又点在椭圆C 上，可得22231a b+=，解得：28a =，24b =， 2224c a b =−=，C ∴的方程：22184x y +=；⋯（5分）（Ⅱ）证明：设直线l 的方程为(,0)y kx b k b =+≠，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，⋯（6分）22184y kx bx y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，整理得：222(12)4280k x kbx b ++−−=， 由韦达定理可知：122412kbx x k +=−+，⋯（8分）即有AB 的中点M 的横坐标为1222212M x x kb x k +==−+，纵坐标为222()1212M kb by k b k k =−+=++，⋯（10分） 直线OM 的斜率为12MOM My k x k ==−，即有12OM k k =−， 故OM 的斜率与直线l 的斜率的乘积为定值．⋯（12分）9．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b +=>>，直线12y =被椭圆E（Ⅰ）求椭圆E 的方程；（Ⅱ）若椭圆E 两个不同的点A ，B 关于直线12y mx =+对称，求实数m 的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由题设得，椭圆过点1)2，所以2222231124a b ca abc ⎧+=⎪⎪⎪=⎨⎪=+⎪⎪⎩，解得a 1b =，1c =， 所以椭圆的方程为2212x y +=；（Ⅱ）由（Ⅰ）易得知0m ≠，可设直线AB 的方程为1y x b m=−+． 由22112y x b m x y ⎧=−+⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩消去y 得222112()102b x x b m m +−+−=因为直线12y mx =+与椭圆2212x y +=有两个不同交点，所以224220b m =−++>① 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，由韦达定理知，12242mbx x m +=+， 于是线段AB 的中点坐标为2222(,)22mb m bM m m ++，将其代入直线12y mx =+，解得2222m b m +=−②将②代入①，得4211304m m −−<，解得m <或m ． 因此，所求实数m 的取值范围6(,(,)3−∞+∞．。
2020高考：点差法公式在高考中的应用
点差法的应用定理1在椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅. 同理可证，在椭圆12222=+ay b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200b a x y k MN -=⋅. 定理2 在双曲线12222=-by a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a b x y k MN =⋅. 同理可证，在双曲线12222=-bx a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200b a x y k MN =⋅. 定理3在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0. 例题：已知椭圆12222=+by a x （a ＞b ＞0）的左、右焦点分别为1F 、2F ，离心率22=e ，右准线方程为2=x.(Ⅰ) 求椭圆的标准方程；(Ⅱ) 过点1F 的直线l 与该椭圆相交于M 、N 两点，且3262||22=+N F M F ，求直线l 的方程.例2. 设双曲线C 的中心在原点，以抛物线4322-=x y 的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线． （Ⅰ）试求双曲线C 的方程；（Ⅱ）设直线:21l y x =+与双曲线C 交于,A B 两点，求AB ；（Ⅲ）对于直线1:+=kx y l ，是否存在这样的实数k ，使直线l 与双曲线C 的交点,A B关于直线4:'+=ax y l (a 为常数)对称，若存在，求出k 值；若不存在，请说明理由．.例3. （05全国Ⅲ文22）设),(),,(2211y x B y x A 两点在抛物线22x y =上，l 是AB 的垂直平分线.（Ⅰ）当且仅当21x x +取何值时，直线l 经过抛物线的焦点F ？证明你的结论. （Ⅱ）当3,121-==x x 时，求直线l 的方程.练习1.（02江苏）设A 、B 是双曲线1222=-y x 上两点，点)2,1(N 是线段AB 的中点. （1）求直线AB 的方程；（2）如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆，为什么？2.已知抛物线22x y C =：，直线2+=kx y 交C 于A 、B 两点，M 是线段AB 的中点，过M 作x 轴的垂线交C 于点N.（Ⅰ）证明：抛物线C 在点N 处的切线与AB 平行；（Ⅱ）是否存在实数k 使0=⋅NB NA ，若存在，求k 的值；若不存在，请说明理由。
点差法的基本原理及其在高考数学中的简单应用
[３＋[５３]２]＝２ꎬ故①正确ꎻ当ａ＝１时ꎬｘ１＝１ꎬｘ２＝ｘ３＝ ＝ｘｎ＝１ꎬ但当ａ＝３时ꎬｘ１＝３ꎬｘ２＝２ꎬｘ３＝１ꎬｘ４＝２ꎬｘ５＝１ꎬｘ６＝２ꎬｘ７＝１ꎬ ꎬ此时可以看出数列ｘｎ{}ꎬ从第二项起是以２为周期重复出现ꎬ不存在正整数ｋꎬ使得当ｎȡｋ时总有ｘｎ＝ｘｋꎬ故②不正确.对于③ꎬｘ１＝ａ>ａ－１成立ꎬ因ｘｎ是整数ꎬ故若ｘｎ＋ａｘｎ[]是正奇数ꎬ则ｘｎ＋１＝ｘｎ＋ａｘｎ[]－１２>ｘｎ＋ａｘｎ－２２ȡ２ａ－１２>ａ－１ꎬ若ｘｎ＋ａｘｎ[]是正偶数ꎬｘｎ＋１＝ｘｎ＋ａｘｎ[]２>ｘｎ＋ａｘｎ－１２ȡ２ａ－１２>ａ－１.综上知③正确.对于④ꎬ由ｘｋ＋１ȡｘｋ得ａｘｋ[]－ｘｋȡ０ꎬａｘｋ－ｘｋȡａｘｋ[]－ｘｋȡ０ꎬｘｋɤａꎻ结合③有ａ－１<ｘｋɤａꎬ因此有ｘｋ＝ａ[]ꎬ④正确.综上知真命题是①③④.评注㊀本题借用取整函数ꎬ构造一个新数列ꎬ主要考查数列知识的灵活应用和推理论证能力.本题是取整函数(高斯函数)与数列二者交汇而成ꎬ设计新颖ꎬ构思精妙ꎬ难度较大.解此类题的关键是理解函数ｘ[]的意义.㊀㊀参考文献:[１]蒋孝国.数学竞赛中的高斯函数[Ｊ].数学通讯ꎬ２０１５(１９):４５－４８.[责任编辑:李㊀璟]点差法的基本原理及其在高考数学中的简单应用武增明(云南省玉溪第一中学㊀６５３１００)摘㊀要:本文给出点差法的基本原理和点差法的简单应用ꎬ与同仁及同学们共飨.关键词:点差法ꎻ圆锥曲线ꎻ解题研究中图分类号:Ｇ６３２㊀㊀㊀㊀㊀㊀文献标识码:Ａ㊀㊀㊀㊀㊀㊀文章编号:１００８－０３３３(２０２１)０４－００５３－０３收稿日期:２０２０－１１－０５作者简介:武增明(１９６５.５－)ꎬ男ꎬ云南省玉溪市易门人ꎬ本科ꎬ中学高级教师ꎬ从事高中数学教学研究.㊀㊀一㊁点差法的基本原理在研究直线被圆锥曲线截得中点弦问题时ꎬ设出弦端点坐标ꎬ并分别代入圆锥曲线方程得两式ꎬ将其两式相减ꎬ可得弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式ꎬ这种解题方法叫做点差法.如ꎬ圆锥曲线ｍｘ２＋ｎｙ２＝１(ｍꎬｎɪＲꎬ且ｍʂ０ꎬｎʂ０ꎬ)上两点ＰꎬＱꎬ设Ｐ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＱ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ弦ＰＱ的中点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ弦ＰＱ的斜率为ｋꎬ则ｍｘ２１＋ｎｙ２１＝１ꎬ①ｍｘ２２＋ｎｙ２２＝１ꎬ②{由①－②ꎬ得ｍ(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)＋ｎ(ｙ１＋ｙ２)(ｙ１－ｙ２)＝０ꎬ又ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝ｋ(ｘ１ʂｘ２)ꎬ于是ｍｘ０＋ｎｋｙ０＝０ꎬ这一等式建立了圆锥曲线弦的斜率与弦的中点坐标之间的关系式.㊀㊀二㊁点差法的简单应用与弦中点相关的问题有三种ꎬ一是平行弦的中点轨迹ꎻ二是过定点的弦的中点轨迹ꎻ三是过定点且被定点平分的弦所在直线方程.其他问题都是由这三类问题衍生出来的.１.已知弦中点坐标简求弦所在直线方程此类问题是点差法的最基本的简单应用.例１㊀(２００２年高考江苏卷 文理２０)设ＡꎬＢ是双曲线ｘ２－ｙ２２＝１上的两点ꎬ点Ｎ(１ꎬ２)是线段ＡＢ的中点.３５(１)求直线ＡＢ的方程ꎻ(２)如果线段ＡＢ的垂直平分线与双曲线相交于ＣꎬＤ两点ꎬ那么ＡꎬＢꎬＣꎬＤ四点是否共圆ꎬ为什么?解㊀(１)由题意知ꎬ直线ＡＢ的斜率存在且不为０ꎬ设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ直线ＡＢ的斜率为ｋꎬ则有ｘ１＋ｘ２＝２ꎬｙ１＋ｙ２＝４ꎬｋ＝ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２.由ｘ２１－ｙ２１２＝１ｘ２２－ｙ２２２＝１ìîíïïïï两式相减并整理ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝２ ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２ꎬ所以ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝１ꎬ从而ｋ＝１.故直线ＡＢ的方程为ｙ－２＝１ (ｘ－１)ꎬ即ｘ－ｙ＋１＝０.(２)解略.评注㊀此问题用常规方法也易求解ꎬ但没有用点差法来得快.２.用点差法简求轨迹方程例２㊀(２００１年春季高考上海卷 文理２１)已知椭圆Ｃ的方程为ｘ２＋ｙ２２＝１ꎬ点Ｐ(ａꎬｂ)的坐标满足ａ２＋ｂ２２ɤ１ꎬ过点Ｐ的直线ｌ与椭圆交于ＡꎬＢ两点ꎬ点Ｑ为线段ＡＢ的中点ꎬ求:(１)点Ｑ的轨迹方程ꎻ(２)点Ｑ的轨迹与坐标轴的交点的个数.解㊀(１)设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＱ(ｘꎬｙ)ꎬ则有ｘ１＋ｘ２＝２ｘꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ.由ｘ２１＋ｙ２１２＝１ｘ２２＋ｙ２２２＝１ìîíïïïï两式相减并整理ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－２ ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２ꎬ所以ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－２ ｘｙꎬ又ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝ｂ－ｙａ－ｘꎬ从而ｂ－ｙａ－ｘ＝－２ ｘｙꎬ即２ｘ２＋ｙ２－２ａｘ－ｂｙ＝０.故点Ｑ的方程为２ｘ２＋ｙ２－２ａｘ－ｂｙ＝０.(２)解略.３.用点差法简求圆锥曲线的方程例３㊀(２０１３年高考新课标全国卷Ⅱ 理２０)平面直角坐标系ｘＯｙ中ꎬ过椭圆Ｍ:ｘ２ａ２＋ｙ２ｂ２＝１(ａ>ｂ>０)右焦点的直线ｘ＋ｙ－３＝０交Ｍ于ＡꎬＢ两点ꎬＰ为ＡＢ的中点ꎬ且ＯＰ的斜率为１２.(１)求Ｍ的方程ꎻ(２)ＣꎬＤ为Ｍ上两点ꎬ若四边形ＡＣＢＤ的对角线ＣＤʅＡＢꎬ求四边形ＡＣＢＤ面积的最大值.解㊀(１)设Ａ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＢ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬＰ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－１ꎬｙ０－０ｘ０－０＝１２.ｘ２１ａ２＋ｙ２１ｂ２＝１ꎬ㊀①ｘ２２ａ２＋ｙ２２ｂ２＝１ꎬ㊀②ìîíïïïï①－②并整理ꎬ得ｂ２(ｘ１＋ｘ２)ａ２(ｙ１＋ｙ２)＝－ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２ꎬ所以ｂ２ ２ｘ０ａ２ ２ｙ０＝１ꎬ故ｂ２ａ２ ２＝１ꎬ即ａ２＝２ｂ２.又由题意知ꎬＭ的右焦点为(３ꎬ０)ꎬ故ａ２－ｂ２＝３.因此ꎬａ２＝６ꎬｂ２＝３.所以Ｍ的方程为ｘ２６＋ｙ２３＝１.(２)解略.评注㊀此问题若没有想到点差法ꎬ就不易求解了ꎬ甚至解不出来.４.巧用点差法简解对称题型一般地ꎬ对称直线㊁对称点的题目ꎬ用点差法求解较为简便.例４㊀(１９８６年高考广东卷 理４)已知椭圆Ｃ:ｘ２４＋ｙ２３＝１ꎬ试确定ｍ的取值范围ꎬ使得对于直线ｌ:ｙ＝４ｘ＋ｍꎬ椭圆Ｃ上有不同的两点关于该直线对称.解㊀设椭圆Ｃ:ｘ２４＋ｙ２３＝１上不同两点Ｐ１(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＰ２(ｘ２ꎬｙ２)关于直线ｌ:ｙ＝４ｘ＋ｍ对称ꎬ线段Ｐ１Ｐ２的中点为Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ则ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬｙ０＝４ｘ０＋ｍꎬｋｐｐ＝－１４.ｘ２１４＋ｙ２１３＝１ꎬ㊀①ｘ２２４＋ｙ２２３＝１ꎬ㊀②ìîíïïïï４５①－②并整理ꎬ得ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－３４ ｘ１＋ｘ２ｙ１＋ｙ２ꎬ又因为ｋｐｐ＝－１４ꎬ所以ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－１４ꎬ所以－１４＝－３４ ２ｘ０２ｙ０ꎬ即ｙ０＝３ｘ０.由ｙ０＝４ｘ０＋ｍꎬｙ０＝３ｘ０ꎬ{解得ｘ０＝－ｍꎬｙ０＝－３ｍ.{因为点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)在椭圆Ｃ:ｘ２４＋ｙ２３＝１内ꎬ所以ｘ０２４＋ｙ０２３<１ꎬ即ｍ２４＋９ｍ２３<１ꎬ解得－２１３１３<ｍ<２１３１３ꎬ即为所求ｍ的取值范围.评注㊀解此类题关键是用了点在圆锥曲线内部的充要条件ꎬ应认真领会.５.注意中点的构造ꎬ创造点差法的条件简解题例５㊀(２０１６年高考浙江卷 理１９)设椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１).(１)求直线ｙ＝ｋｘ＋１被椭圆截得的线段长(用ａꎬｋ表示)ꎻ(２)若任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆至多有３个公共点ꎬ求椭圆离心率的取值范围.分析㊀(１)略.(２)因为此问题ꎬ正面情况较多或正面入手困难ꎬ所以想到从反面入手ꎬ即运用正难则反思想ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)至多有３个公共点的反面是ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)至少有４个公共点.而在这里ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)的公共点数不可能是５ꎬ６ꎬ７ꎬ ꎬｎ.故而ꎬ在这里ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)至多有３个公共点的反面是ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１(ａ>１)有４个公共点.解㊀(１)略.(２)假设圆与椭圆有４个公共点ꎬ则圆与椭圆在ｙ轴左侧有２个交点ＰꎬＱ.设Ｐ(ｘ１ꎬｙ１)ꎬＱ(ｘ２ꎬｙ２)ꎬ线段ＰＱ的中点为Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)ꎬ于是ｘ２１ａ２＋ｙ１２＝１ꎬｘ２２ａ２＋ｙ２２＝１ꎬ两式相减整理ꎬ得(ｘ１＋ｘ２)(ｘ１－ｘ２)＋ａ２(ｙ１＋ｙ２)(ｙ１－ｙ２)＝０.因为ｘ１＋ｘ２＝２ｘ０ꎬｙ１＋ｙ２＝２ｙ０ꎬ又ｋＡＭ ｋＰＱ＝－１ꎬ即ｙ１－ｙ２ｘ１－ｘ２＝－ｘ０ｙ０－１ꎬ从而ｘ０＋ａ２ｙ０ －ｘ０ｙ０－１＝０ꎬ由ｘ０ʂ０ꎬ得ｙ０＝１１－ａ２.因为点Ｍ(ｘ０ꎬｙ０)在椭圆ｘ２ａ２＋ｙ２＝１内ꎬ所以ｘ０２ａ２＋ｙ０２<１.故ｘ０２ａ２＋１(１－ａ２)２<１ꎬ即ｘ０２<ａ２－ａ２(１－ａ２)２.又存在ｘ０２ɪ(０ꎬａ２)使上式成立ꎬ所以ａ２－ａ２(１－ａ２)２>０ꎬ即ａ>２.因此ꎬ任意以点Ａ(０ꎬ１)为圆心的圆与椭圆至多有３个公共点的充要条件为１<ａɤ２ꎬ由离心率ｅ＝ｃａ＝ａ２－１ａꎬ得所求离心率的取值范围为(０ꎬ２２].评注㊀(１)命题者(官方)给出的解答计算量较大ꎬ详见文[４].(２)此问题ꎬ解法较多(详见文[１])ꎬ上述解法最简捷.点差法在高考中有着广泛的运用ꎬ如:２０１０年高考ꎬ山东卷 文９ꎬ新课标全国卷Ⅰ 理１２ꎬ安徽卷 理１９ꎻ２０１２年高考ꎬ湖北卷 理２１ꎻ２０１３年高考ꎬ新课标全国卷Ⅰ 理１０ꎻ２０１５年高考ꎬ全国卷Ⅱ 理２０ꎬ浙江卷 理１９ꎻ２０１８年高考ꎬ全国卷Ⅲ 理２０.综上所述ꎬ点差法在各式各样的题目中均有广泛的应用ꎬ同时作为一种基础数学方法ꎬ它与其它数学方法之间有着极大的相关性ꎬ这是我们在解题过程中所不能忽视的ꎬ在学习点差法的解题过程中要熟练掌握运用其它方法ꎬ才能够把数学解题思想方法运用到解题过程中ꎬ来提高解题效率与质量.㊀㊀参考文献:[１]李美君.数学 入题 三维度:直接㊁间接㊁转换 以２０１６年浙江省数学高考理科第１９题为例[Ｊ].中学教研(数学)ꎬ２０１６(１１):３３－３７.[２]赵建勋.点差法及其应用[Ｊ].中学生数学(高中)ꎬ２０１２(１２):２０－２１.[３]汤伊静.浅谈点差法在高中数学中的应用[Ｊ].数理化解题研究(高中)ꎬ２０１９(２):９－１０.[４]天利高考命题研究中心.２０１６高考真题(数学 理科)[Ｍ].拉萨:西藏人民出版社ꎬ２０１６.[责任编辑:李㊀璟]５５。
最新最全的高考数学压轴题之点差法(中点弦)问题
最新最全的高考数学压轴题之点差法（中点弦）问题圆锥曲线的中点弦问题是高考常见的题型，在选择题、填空题和解答题中都是命题的热点。
它的一般方法是：若设直线与圆锥曲线的交点（弦的端点）坐标为),(11y x A 、),(22y x B ，将这两点代入圆锥曲线的方程并对所得两式作差，得到一个与弦AB 的中点和斜率有关的式子，可以大大减少运算量。
我们称这种代点作差的方法为“点差法”。
一、自主证明1、定理在椭圆12222=+b y a x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ab x y k MN -=⋅.同理可证，在椭圆12222=+a y b x （a ＞b ＞0）中，若直线l 与椭圆相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN -=⋅.2、定理在双曲线12222=-b y a x （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200a b x y k MN =⋅.同理可证，在双曲线12222=-b x a y （a ＞0，b ＞0）中，若直线l 与双曲线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则2200ba x y k MN =⋅.3、定理在抛物线)0(22≠=m mx y 中，若直线l 与抛物线相交于M 、N 两点，点),(00y x P 是弦MN 的中点，弦MN 所在的直线l 的斜率为MN k ，则m y k MN =⋅0.题型归纳：一、以定点为中点的弦所在直线的方程例1、过椭圆141622=+y x 内一点)1,2(M 引一条弦，使弦被M 点平分，求这条弦所在直线的方程。
高考数学点差法在圆锥曲线中的应用(解析版)
点差法在圆锥曲线中的应用一、考情分析圆锥曲线中的中点弦问题是高考常见题型,在处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时,我们经常用到如下解法：设弦的两个端点坐标分别为x1,y1、x2,y2,代入圆锥曲线得两方程后相减,得到弦中点坐标与弦所在直线斜率的关系,然后加以求解,这即为“点差法”.二、解题秘籍(一)求以定点为中点的弦所在直线的方程求解此类问题的方法是设出弦端点坐标,代入曲线方程相减求出斜率,再用点斜式写出直线方程.特别提醒：求以定点为中点的双曲线的弦所在直线的方程,求出直线方程后要检验所求直线与双曲线是否有2个交点.【例1】过椭圆x216+y24=1内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M点平分,求这条弦所在直线的方程.【解析】设直线与椭圆的交点为A(x1,y1)、B(x2,y2)∵M(2,1)为AB的中点∴x1+x2=4 y1+y2=2∵又A、B两点在椭圆上,则x12+4y12=16,x22+4y22=16两式相减得(x12−x22)+4(y12−y22)=0于是(x1+x2)(x1−x2)+4(y1+y2)(y1−y2)=0∴y1−y2x1−x2=−x1+x24(y1+y2)=−44×2=−12即k AB=−12,故所求直线的方程为y−1=−12(x−2),即x+2y−4=0.【例2】已知双曲线C:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0),离心率e=3,虚轴长为22．(1)求双曲线C的标准方程；(2)过点P1,1能否作直线l,使直线l与双曲线C交于A,B两点,且点P为弦AB的中点?若存在,求出直线l的方程；若不存在,请说明理由．【解析】(1)∵e=ca=3,2b=22,∴c=3a,b=2．∵c2=a2+b2,∴3a2=a2+2．∴a2=1．∴双曲线C的标准方程为x2-y22=1．(2)假设以定点P(1，1)为中点的弦存在,设以定点P(1，1)为中点的弦的端点坐标为A(x1,y1),B(x2,y2)(x1≠x2),可得x1+x2=2,y1+y2=2．由A,B在双曲线上,可得：x21-y212=1 x22-y222=1,两式相减可得以定点P(1，1)为中点的弦所在的直线斜率为：k=y2-y1x2-x1=2(x1+x2)y1+y2=2,则以定点P(1，1)为中点的弦所在的直线方程为y-1=2(x-1)．即为y=2x-1,代入双曲线的方程可得2x2-4x+3=0,由Δ=(-4)2-4×2×3=-8<0,所以不存在这样的直线l ．(二)求弦中点轨迹方程求弦中点轨迹方程基本类型有2类,一是求平行弦的中点轨迹方程,二是求过定点的直线被圆锥曲线截得的弦的中点轨迹方程.【例3】(2023届湖北省腾云联盟高三上学期10月联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 经过点P 0,1 ，且离心率为32.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)设过点0,-35的直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，设坐标原点为O ，线段AB 的中点为M ，求MO 的最大值.【解析】(1)∵椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)经过点P (0,1)，其离心率为32．∴b =1，c a =32⇒1-b 2a2=34，∴b a =12，∴a =2，故椭圆C 的方程为：x 24+y 2=1；(2)当直线l 斜率不存在时，M 与O 重合，不合题意，当直线l 斜率存在时，设A (x 1,y 1)，B (x 2,y 2)，M (x 0,y 0)，则有x 0=x 1+x 22，y 0=y 1+y 22，直线l 的斜率为y 1-y 2x 1-x 2=y 0+35x 0，A ，B 两点在椭圆上，有x 124+y 12=1，x 224+y 22=1，两式相减，x 12-x 224=-y 12-y 22 ，即x 1+x 24y 1+y 2 =-y 1-y 2x 1-x 2，得x 04y 0=-y 0+35x 0，化简得x 02=-4y 02-125y 0，MO =x 02+y 02=-3y 02-125y 0=-3y 0+25 2+1225，∴当y 0=-25时，MO 的最大值为235【例4】直线与圆锥曲线相交所得弦的中点问题,是解析几何重要内容之一,也是高考的一个热点问题.引理：设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 是二次曲线C :Ax 2+By 2+Cx +Dy +F =0上两点,P x 0,y 0 是弦AB 的中点,且弦AB 的斜率存在,则Ax 21+By 21+Cx 1+Dy 1+F =0⋯⋯(1)Ax 22+By 22+Cx 2+Dy 2+F =0⋯⋯(2)由(1)-(2)得A x 1-x 2 x 1+x 2 +B y 1-y 2 y 1+y 2 +C x 1-x 2 +D y 1-y 2 =0,∵x 0=x 1+x 22,y 0=y 1+y 22,∴x 1+x 2=2x 0,y 1+y 2=2y 0∴2Ax 0x 1-x 2 +2By 0y 1-y 2 +C x 1-x 2 +D y 1-y 2 =0,∴2Ax 0+C x 1-x 2 =-2By 0+D y 1-y 2 ,∴直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-2Ax 0+C2By 0+D2B +D ≠0,x 1≠x 2 .二次曲线也包括了圆、椭圆、双曲线、抛物线等．请根据上述求直线斜率的方法(用其他方法也可)作答下题：已知椭圆x 22+y 2=1.(1)求过点P 12,12且被P 点平分的弦所在直线的方程;(2)过点A 2,1 引椭圆的割线,求截得的弦的中点的轨迹方程.【解析】(1)设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 是椭圆x 22+y 2=1上两点,P x 0,y 0 是弦AB 的中点,则x 122+y 12=1x 222+y 22=1,两式相减得：x 1-x 2 x 1+x 2 +2y 1-y 2 y 1+y 2 =0,∵12=x 1+x 22,12=y 1+y 22,∴x 1+x 2=1,y 1+y 2=1∴x 1-x 2+2y 1-y 2 =0,∴直线AB 的斜率k AB =-12.直线AB 的方程为y -12=-12x -12,即2x +4y -3=0.因为P 12,12在椭圆内部,成立.(2)由题意知：割线的斜率存在,设A x 1,y 1 、B x 2,y 2 是椭圆x 22+y 2=1上两点,P x ,y 是弦AB 的中点,则x 122+y 12=1x 222+y 22=1 ,两式相减得：x 1-x 2 x 1+x 2 +2y 1-y 2 y 1+y 2 =0,∵x =x 1+x 22,y =y 1+y 22,∴x 1+x 2=2x ,y 1+y 2=2y∴2x x 1-x 2 +4y y 1-y 2 =0,∴直线AB 的斜率k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-x2yx 1≠x 2又k AB =y -1x -2,所以 y -1x -2=-x 2y ,化简得：x 2+2y 2-2x -2y =0-2≤x ≤2 ,所以截得的弦的中点的轨迹方程为x 2+2y 2-2x -2y =0-2≤x ≤2 (三)求直线的斜率一般来说,给出弦中点坐标,可求弦所在直线斜率【例5】已知椭圆C ：x 25+y 2=1的左、右焦点分别为F 1,F 2,点M ,N 在椭圆C 上.(1)若线段MN 的中点坐标为2,13,求直线MN 的斜率；(2)若M ,N ,O 三点共线,直线NF 1与椭圆C 交于N ,P 两点,求△PMN 面积的最大值.【解析】(1)设M x 1,y 1 ,N x 2,y 2 ,则x 215+y 21=1,x 225+y 22=1,两式相减,可得x 1+x 2 x 1-x 25+y 1+y 2 y 1-y 2 =0,则4x 1-x 2 5+2y 1-y 2 3=0,解得k MN =y 1-y 2x 1-x 2=-65,即直线MN 的斜率为-65；(2)显然直线NF 1的斜率不为0,设直线NF 1：x =my -2,N x 3,y 3 ,P x 4,y 4 ,联立x =my -2x 25+y 2=1,消去x 整理得m 2+5 y 2-4my -1=0,显然Δ=20m 2+1 >0,故y 3+y 4=4m m 2+5,y 3⋅y 4=-1m 2+5,故△PMN 的面积S △PMN =2S △OPN =2⋅12OF 1 ⋅y 3-y 4=2⋅4m m 2+5 2-4⋅-1m 2+5=45m 2+1m 2+5,令t =m 2+1,t ≥1,则S △PMN =45t t 2+4=45t +4t≤454=5,当且仅当t =2,即m =±3时等号成立,故△PMN 面积的最大值为5.【例6】已知椭圆x 225+y 29=1上不同的三点A x 1,y 1 ,B 4,95,C x 2,y 2 与焦点F 4,0 的距离成等差数列.(1)求证：x 1+x 2=8；(2)若线段AC 的垂直平分线与x 轴的交点为T ,求直线BT 的斜率k .【解析】(1)证略.(2)解∵x 1+x 2=8,∴设线段AC 的中点为D 4,y 0 .又A 、C 在椭圆上,∴x 1225+y 129=1,(1)x 2225+y 229=1,(2)1 -2 得：x 12-x 2225=-y 12-y 229,∴y 1-y 2x 1-x 2=-9x 1+x 2 25y 1+y 2=-925⋅82y 0=-3625y 0.∴直线DT 的斜率k DT =25y 036,∴直线DT 的方程为y -y 0=25y 036x -4 .令y =0,得x =6425,即T 6425,0 ,∴直线BT 的斜率k =95-04-6425=54.(四)点差法在轴对称中的应用【例7】(2023届江苏省南京市建邺区高三上学期联合统测)已知O 为坐标原点，点1,62 在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 上，直线l ：y =x +m 与C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，直线OM 的斜率为-12．(1)求C 的方程；(2)若m =1，试问C 上是否存在P ，Q 两点关于l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】(1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则M x 1+x 22,y 1+y 22 ,k AB =y 1-y 2x 1-x 2=1,k OM=y 1+y 22x 1+x 22=y 1+y 2x 1+x 2=-12∵A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 在椭圆上，则x 12a 2+y 12b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1两式相减得x 12-x 22a 2+y 12-y 22b 2=0，整理得y 12-y 22x 12-x 22=y 1+y 2x 1+x 2×y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2∴k AB ⋅k OM =-b 2a 2，即-12=-b2a2，则a 2=2b 2又∵点1,62 在椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1上，则1a 2+32b 2=1联立解得a 2=4,b 2=2∴椭圆C 的方程为x 24+y 22=1(2)不存在，理由如下：假定存在P ，Q 两点关于l ：y =x +1对称，设直线PQ 与直线l 的交点为N ，则N 为线段PQ 的中点，连接ON∵PQ ⊥l ，则k AB ⋅k PQ =-1，即k PQ =-1由(1)可得k ON ⋅k PQ =-12，则k ON =12，即直线ON :y =12x联立方程y =12x y =x +1，解得x =-2y =-1 即N -2,-1∵-2 24+-1 22=32>1，则N -2,-1 在椭圆C 外∴假定不成立，不存在P ，Q 两点关于l 对称【例8】已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点1,62 ，直线l ：y =x +m 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为-12．(1)求椭圆C 的标准方程；(2)若椭圆C 上存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，求实数m 的范围．【解析】(1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，则M x 1+x 22,y 1+y 22，即k OM =y 1+y 2x 1+x 2=-12．因为A ，B 在椭圆C 上，所以x 21a 2+y 21b 2=1，x 22a 2+y 22b2=1，两式相减得x 1+x 2 x 1-x 2 a 2+y 1+y 2 y 1-y 2 b 2=0，即1a 2+y 1+y 2 y 1-y 2b 2x 1+x 2 x 1-x 2=0，又k AB =y 1-y 2x 1-x 2=1，所以1a 2-12b2=0，即a 2=2b 2．又因为椭圆C 过点1,62 ，所以1a 2+32b2=1，解得a 2=4,b 2=2，所以椭圆C 的标准方程为x 24+y 22=1；(2)设P x 3,y 3 ,Q x 4,y 4 ,PQ 的中点为N x 0,y 0 ，所以x 3+x 4=2x 0,y 3+y 4=2y 0，因为P ，Q 关于直线l 对称，所以k PQ =-1且点N 在直线l 上，即y 0=x 0+m ．又因为P ，Q 在椭圆C 上，所以x 234+y 232=1,x 244+y 242=1．两式相减得x 3+x 4 x 3-x 4 4+y 3+y 4 y 3-y 42=0．即x 3+x 44+y 3+y 4 y 3-y 42x 3-x 4=0，所以x 3+x 44=y 3+y 42，即x 0=2y 0．联立x 0=2y 0y 0=x 0+m，解得x 0=-2my 0=-m ，即N (-2m ,-m )．又因为点N 在椭圆C 内，所以(-2m )24+(-m )22<1，所以-63<m <63所以实数m 的范围为-63<m <63．(五)利用点差法可推导的结论在椭圆x 2a 2+y 2b2=1a >b >0 中,若直线l 与该椭圆交于点A ,B ,点P x 0,y 0 为弦AB 中点,O 为坐标原点,则k AB ⋅k OP =b 2a2,对于双曲线、抛物线也有类似结论,求自行总结.【证明】设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 且x 1≠x 2,则x 12a 2+y 12b 2=1,(1)x 22a 2+y 22b2=1,(2)1 -2 得：x 12-x 22a 2=-y 12-y 22b 2,∴y 1-y 2x 1-x 2=-b 2x 1+x 2 a 2y 1+y 2 ,∴k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-b 2x 1+x 2 a 2y 1+y 2.又k OP =y 1+y 2x 1+x 2,∴k AB =-b 2a 2⋅1k OP ,∴k AB ⋅k OP =-b 2a 2(定值).【例9】(2022届江苏省南通市高三上学期期末)在平面直角坐标系xOy 中,已知双曲线C ：x 2a 2-y 2b2=1(a 、b为正常数)的右顶点为A ,直线l 与双曲线C 交于P 、Q 两点,且P 、Q 均不是双曲线的顶点,M 为PQ 的中点．(1)设直线PQ 与直线OM 的斜率分别为k 1、k 2,求k 1·k 2的值；(2)若AM PQ=12,试探究直线l 是否过定点？若过定点,求出该定点坐标；否则,说明理由．【解析】(1)设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),M (x 0,y 0),因为P 、Q 在双曲线上,所以x 12a 2-y 12b 2=1,x 22a 2-y 22b2=1,两式作差得(x 1+x 2)(x 1-x 2)a 2-(y 1+y 2)(y 1-y 2)b 2=0,即2x 0(x 1-x 2)a 2=2y 0(y 1-y 2)b 2,即y 0(y 1-y 2)x 0(x 1-x 2)=b 2a2,即k 1·k 2=b 2a 2；(2)因为AM PQ=12,所以△APQ 是以A 为直角顶点的直角三角形,即AP ⊥AQ ；①当直线l 的斜率不存在时,设l ：x =t ,代入x 2a 2-y 2b2=1得,y =±bt 2a 2-1,由|t -a |=b t 2a2-1得,(a 2-b 2)t 2-2a 3t +a 2(a 2+b 2)=0,即[(a 2-b 2)t -a (a 2+b 2)](t -a )=0,得t =a (a 2+b 2)a 2-b 2或a (舍),故直线l 的方程为x =a (a 2+b 2)a 2-b 2；②当直线l 的斜率存在时,设l ：y =kx +m ,代入x 2a 2-y 2b2=1,得(b 2-k 2a 2)x 2-2km a 2x -a 2(m 2+b 2)=0,Δ=a 2b 2(m 2+b 2-k 2a 2)>0,设P (x 1,y 1),Q (x 2,y 2),则x 1+x 2=2km a 2b 2-k 2a 2,x 1x 2=-a 2(m 2+b 2)b 2-k 2a 2；因为AP ⊥AQ ,所以AP ·AQ =0,即(x 1-a ,y 1)·(x 2-a ,y 2)=0,即x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2+y 1y 2=0,即x 1x 2-a (x 1+x 2)+a 2+(kx 1+m )(kx 2+m )=0,即(km -a )(x 1+x 2)+(k 2+1)x 1x 2+m 2+a 2=0,即-2km a 3-k 2a 2b 2-m 2a 2+m 2b 2-k 2a 4b 2-k 2a 2=0,即a 2(a 2+b 2)k 2+2ma 3k +m 2(a 2-b 2)=0,即[a (a 2+b 2)k +m (a 2-b 2)](ak +m )=0,所以k =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)或k =-ma ；当k =-m a 时,直线l 的方程为y =-max +m ,此时经过A ,舍去；当k =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)时,直线l 的方程为y =-m (a 2-b 2)a (a 2+b 2)x +m ,恒过定点a (a 2+b 2)a 2-b 2,0,经检验满足题意；综上①②,直线l 过定点a (a 2+b 2)a 2-b 2,0．三、跟踪检测1.已知椭圆C :x 22+y 2=1,F 1为右焦点，直线l :y =t (x -1)与椭圆C 相交于A ，B 两点，取A 点关于x 轴的对称点S ，设线段AS 与线段BS 的中垂线交于点Q ．(1)当t =2时，求QF 1 ；(2)当t ≠0时，求QF 1|AB |是否为定值？若为定值，则求出定值；若不为定值，则说明理由．【解析】(1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，线段AB 的中点M 坐标为x M ,y M ，联立得x 2+2y 2-2=0,y =2(x -1), 消去y 可得：9x 2-16x +6=0，所以x 1+x 2=169,x 1x 2=69,所以x M =89，代入直线AB 方程，求得y M =-29，因为Q 为△ABS 三条中垂线的交点，所以MQ ⊥AB ，有k MQ k AB =-1，直线MQ 方程为y +29=-12×x -89.令y =0,x Q =49，所以Q 49,0 .由椭圆C :x 22+y 2=1可得右焦点F 11,0 ，故QF 1 =59．(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，中点M 坐标为x M ,y M ．x 212+y 21=1,x 222+y 22=1,相减得y 2-y 1x 2-x 1=-12×x 1+x 2y 1+y 2=-x M 2y M ，k AB k OM =-12.又Q 为△ABS 的外心，故MQ ⊥AB ,k MQ k AB =-1，所以k MQ =2k OM =2y M x M ，直线MQ 方程为y -y M =2y Mx Mx -x M ，令y =0,x Q =x M 2=x 1+x 24，所以Q x 1+x 24,0 而F 11,0 ,所以QF 1 =1-14x 1+x 2 ，AF 1 =x 1-1 2+y 21=x 1-1 2+1-x 212=x 212-2x 1+2=2-12x 1，同理BF 1 =2-12x 2，|AB |=AF 1 +BF 1 =22-12x 1+x 2 ，QF 1 |AB |=1-14x 1+x 2 22-12x 1+x 2 =24，所以当t 变化时，QF 1 |AB |为定值24．2.(2023届重庆市南开中学校高三上学期9月月考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的离心率为22，上顶点为D ，斜率为k 的直线l 与椭圆C 交于不同的两点A ，B ，M 为线段AB 的中点，当点M 的坐标为(2,1)时，直线l 恰好经过D 点.(1)求椭圆C 的方程：(2)当l 不过点D 时，若直线DM 与直线l 的斜率互为相反数，求k 的取值范围.【解析】(1)由题意知，离心率e =22，所以a =2b =2c ，设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ，x 21a 2+y 21b 2=1x 22a 2+y 22b 2=1两式相减得k ⋅k OM =-b 2a 2=-12，所以k =-1；所以直线为y -1=-(x -2)，即y =-x +3，所以b =c =3，椭圆方程为x 218+y 29=1；(2)设直线为y =kx +m ，由y =kx +mx 2+2y 2=18得1+2k 2 x 2+4km x +2m 2-18=0，则x M =x 1+x 22=-2km 1+2k 2，y M =m1+2k2，�=16k 2m 2-41+2k 2 2m 2-18 =818k 2-m 2+9 >0，所以k DM =y M -3x M -0=6k 2+3-m 2km =-k ，解得m =6k 2+31-2k2，1-2k 2≠0，k ≠±22因为l 不过D 点，则6k 2+31-2k 2≠3，即k ≠0则18k 2+9-6k 2+3 21-2k 22>0，化简得4k 4-4k 2-3>0，解得2k 2-3 2k 2+1 >0，k 2>32，所以k >62或k <-62.3.已知椭圆x 22+y 2=1．(1)过椭圆的左焦点F 引椭圆的割线，求截得的弦的中点P 的轨迹方程；(2)求斜率为2的平行弦的中点Q 的轨迹方程；(3)求过点M 12,12且被M 平分的弦所在直线的方程．【解析】(1)设弦与椭圆两交点坐标分别为A x 1,y 1 、B x 2,y 2 ，设P x ,y ，当x 1=x 2时，P -1,0 ．当x 1≠x 2时，x 22+y 2=1⇒x 2+2y 2=2，x 21+2y 21=2,x 22+2y 22=2, 两式相减得x 1+x 2 x 1-x 2 +2y 1+y 2 y 1-y 2 =0，即1+2⋅y 1+y 2 y 1-y 2 x 1+x 2 x 1-x 2=0(*)，因为y 1-y 2x 1-x 2=k FP =yx +1，x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y ，所以，代入上式并化简得x 2+x +2y 2=0，显然P -1,0 满足方程.所以点P 的轨迹方程为x 2+x +2y 2=0(在椭圆内部分)．(2)设Q x ,y ，在(1)中式子1+2⋅y 1+y 2 y 1-y 2x 1+x 2 x 1-x 2=0里，将y 1-y 2x 1-x 2=2，x 1+x 2=2x ，y 1+y 2=2y 代入上式并化简得点Q 的轨迹方程为x +4y =0(在椭圆内部分)．所以，点Q 的轨迹方程x +4y =0(在椭圆内部分).(3)在(1)中式子1+2⋅y 1+y 2 y 1-y 2x 1+x 2 x 1-x 2=0里，将y 1-y 2x 1-x 2=k ，x 1+x 2=1，y 1+y 2=1代入上式可求得k =-12．所以直线方程为2x +4y -3=0．4.已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)过点1,62 ，直线l ：y =x +m 与椭圆C 交于A ，B 两点，且线段AB 的中点为M ，O 为坐标原点，直线OM 的斜率为-0.5.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)当m =1时，椭圆C 上是否存在P ，Q 两点，使得P ，Q 关于直线l 对称，若存在，求出P ，Q 的坐标，若不存在，请说明理由．【解析】(1)设A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，则M x 1+x 22,y 1+y 22，即k OM =y 1+y 2x 1+x 2=-12．因为A，B在椭圆C上，所以x21a2+y21b2=1，x22a2+y22b2=1，两式相减得x1+x2x1-x2a2+y1+y2y1-y2b2=0，即1a2+y1+y2y1-y2b2x1+x2x1-x2=0，又k AB=y1-y2x1-x2=1，所以1a2-12b2=0，即a2=2b2．又因为椭圆C过点1,6 2，所以1a2+32b2=1，解得a2=4，b2=2，所以椭圆C的标准方程为x24+y22=1；(2)由题意可知，直线l的方程为y=x+1．假设椭圆C上存在P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称，设P x3,y3，Q x4,y4，PQ的中点为N x0,y0，所以x3+x4=2x0，y3+y4=2y0，因为P，Q关于直线l对称，所以k PQ=-1且点N在直线l上，即y0=x0+1．又因为P，Q在椭圆C上，所以x234+y232=1，x244+y242=1，两式相减得x3+x4x3-x44+y3+y4y3-y42=0，即x3+x44+y3+y4y3-y42x3-x4=0，所以x3+x44=y3+y42，即x0=2y0．联立x0=2y0y0=x0+1，解得x0=-2y0=-1，即N-2,-1．又因为-224+-122>1，即点N在椭圆C外，这与N是弦PQ的中点矛盾，所以椭圆C上不存在点P，Q两点，使得P，Q关于直线l对称．5.(2022届广东省清远市高三上学期期末)设抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,准线为l,过焦点F且斜率为1的直线与抛物线C交于A,B两点,若AB的中点到准线l的距离为4．(1)求抛物线C的方程；(2)设P为l上任意一点,过点P作C的切线,切点为Q,试判断F是否在以PQ为直径的圆上．【解析】(1)设A x1,y1,B x2,y2,则y21=2px1, y22=2px2,所以y21-y22=2p x1-x2,整理得y1-y2x1-x2=2py1+y2=1,所以y1+y2=2p．因为直线AB的方程为y=x-p 2,所以x1+x2=y1+y2+p=3p．因为AB的中点到准线l的距离为4,所以x1+x22+p2=2p=4,得p=2,故抛物线C的方程为y2=4x．(2)设P(-1,t),可知切线PQ的斜率存在且不为0,设切线PQ的方程为x=m(y-t)-1,联立方程组x=m(y-t)-1,y2=4x,得y2-4my+4mt+4=0,由Δ=16m2-16(mt+1)=0,得t=m-1m,即P-1,m-1m,所以方程y 2-4my +4mt +4=y 2-4my +4m 2=0的根为y =2m ,所以x =m 2,即Q m 2,2m ．因为FP =-2,m -1m ,FQ =m 2-1,2m ,所以FP ⋅FQ =-2m 2-1 +2m m -1m=0,所以FP ⊥FQ ,即F 在以PQ 为直径的圆上．6.(2022届河南省中原顶级名校高三上学期1月联考)已知椭圆C :x 2a 2+y 2b 2=1a >b >0 的左、右焦点分别为F 1-1,0 ,F 21,0 ,过点F 1的直线l 1交椭圆C 于A ,B 两点.当直线l 1的斜率为1时,点-47,37是线段AB 的中点.(1)求椭圆C 的标准方程；(2)如图,若过点F 2的直线l 2交椭圆C 于E ,G 两点,且l 1∥l 2,求四边形ABEG 的面积的最大值.【解析】 (1)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 .由题意可得b 2x 21+a 2y 21-a 2b 2=0,b 2x 22+a 2y 22-a 2b 2=0.∴y 1-y 2x 1-x 2=-b 2a 2⋅x 1+x 2y 1+y 2=-b 2a 2⋅-43,即4b 23a2=1,∴b 2a2=34.∵a 2-b 2=1,∴a 2=4,b 2=3,∴椭圆C 的标准方程为x 24+y 23=1.(2)根据对称性知AB =EG ,AB ∥EG ,∴四边形ABEG 是平行四边形,又S 四边形ABEG =2S △F 2AB ,∴问题可转化为求S △F 2AB 的最大值.设直线l 1的方程为x =my -1,代入x 24+y 23=1,得3m 2+4 y 2-6my -9=0.则y 1+y 2=6m 3m 2+4,y 1y 2=-93m 2+4,∴S △F 2AB =12⋅2⋅y 1-y 2 =y 1+y 2 2-4y 1y 2=6m 3m 2+4 2-4⋅-93m 2+4=121+m 23m 2+4.令1+m 2=t ,则t ≥1,且m 2=t 2-1,∴S △F 2AB =12t 3t 2+1=123t +1t .记h t =3t +1tt ≥1 ,易知h t 在1,+∞ 上单调递增.∴h t min =h 1 =4.∴S △F 2AB =123t +1t≤124=3.∴四边形ABEG 的面积的最大值是6.7.如图,AB 是过抛物线y 2=2px (p >0)焦点F 的弦,M 是AB 的中点,l 是抛物线的准线,MN ⊥l ,N 为垂足,点N 坐标为(-2,-3).(1)求抛物线的方程；(2)求△AOB 的面积(O 为坐标系原点).【解析】 (1)点N (-2,-3)在准线l 上,所以准线l 方程为：x =-2,则p 2=2,解得p =4,所以抛物线的方程为：y 2=8x ；(2)设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由A 、B 在抛物线y 2=8x 上,所以y 21=8x 1y 22=8x 2 ,则y 1-y 2 y 1+y 2 =8x 1-x 2 ,又MN ⊥l ,所以点M 纵坐标为-3,M 是AB 的中点,所以y 1+y 2=-6,所以-6y 1-y 2 =8x 1-x 2 ,即k AB =-43,又知焦点F 坐标为(2,0),则直线AB 的方程为：4x +3y -8=0,联立抛物线的方程y 2=8x ,得y 2+6y -16=0,解得y =2或y =-8,所以y 1-y 2 =10,所以S △AOB =S △AOF +S △BOF =y 1-y 2 =10.8.在平面直角坐标系xOy 中,设点F (1,0),直线l ：x =-1,点P 在直线l 上移动,R 是线段PF 与y 轴的交点,RQ ⊥FP ,PQ ⊥l .(1)求动点Q 的轨迹E 的方程；(2)过点F 作两条互相垂直的曲线E 的弦AB 、CD ,设AB 、CD 的中点分别为M 、N .求直线MN 过定点D 的坐标.【解析】 (1)依题意,点P 在直线l ：x =-1上移动,令直线l 交x 轴于点K ,而点F(1,0),又R 是线段PF 与y 轴的交点,当点P 与点K 不重合时,OR ⎳l ,而O 为FK 中点,则点R 是线段FP 的中点,因RQ ⊥FP ,则RQ 是线段FP 的垂直平分线,QP =QF ,又PQ ⊥l 于点P ,即PQ 是点Q到直线l 的距离,当点P 与点K 重合时,点R 与点O 重合,也满足上述结论,于是有点Q 到点F 的距离等于点Q 到直线l 的距离,则动点Q 的轨迹E 是以F为焦点,l 为准线的抛物线,其方程为：y 2=4x ,所以动点Q 的轨迹E 的方程为y 2=4x .(2)显然直线AB 与直线CD 的斜率都存在,且不为0,设直线AB 的方程为y =k(x -1),k ≠0,令A x A ,y A ,B x B ,y B ,M x M ,y M ,N x N ,y N ,由y 2A =4x A y 2B =4x B 两式相减得：(y A +y B )(y A -y B )=4(x A -x B ),则y A +y B =4k,即y M =2k,代入方程y =k (x -1),解得x M =2k 2+1,即点M 的坐标为2k 2+1,2k ,而CD ⊥AB ,直线CD 方程为y =-1k (x -1),同理可得：N 的坐标为(2k 2+1,-2k ),当2k 2+1=2k 2+1,即k =±1时,直线MN ：x =3,当k ≠1且k ≠-1时,直线MN 的斜率为k MN =y M -y N x M -x N =k 1-k 2,方程为y +2k =k 1-k 2(x -2k 2-1),整理得y 1k -k =x -3,因此,∀k ∈R ,k ≠0,直线MN ：y 1k-k =x -3过点(3,0),所以直线MN 恒过定点D (3,0).9.中心在原点的双曲线E 焦点在x 轴上且焦距为4,请从下面3个条件中选择1个补全条件,并完成后面问题：①该曲线经过点A 2,3 ；②该曲线的渐近线与圆x 2-8x +y 2+4=0相切；③点P 在该双曲线上,F 1、F 2为该双曲线的焦点,当点P 的纵坐标为32时,恰好PF 1⊥PF 2.(1)求双曲线E 的标准方程；(2)过定点Q 1,1 能否作直线l ,使l 与此双曲线相交于Q 1、Q 2两点,且Q 是弦Q 1Q 2的中点？若存在,求出l 的方程；若不存在,说明理由.【解析】 (1)设双曲线E 的标准方程为x 2a 2-y 2b2=1a >b >0 .选①：由题意可知,双曲线E 的两个焦点分别为F 1-2,0 、F 22,0 ,由双曲线的定义可得2a =AF 1 -AF 2 =42+32-3 =2,则a =1,故b =c 2-a 2=3,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选②：圆x 2-8x +y 2+4=0的标准方程为x -4 2+y 2=12,圆心为4,0 ,半径为23,双曲线E 的渐近线方程为y =±b a x ,由题意可得4b a 1+b a2=23,解得b a =3,即b =3a ,因为c =a 2+b 2=2a =2,则a =1,b =3,因此,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.选③：由勾股定理可得PF 1 2+PF 2 2=4c 2=16=PF 1 -PF 2 2+2PF 1 ⋅PF 2 =4a 2+2PF 1 ⋅PF 2 ,所以,PF 1 ⋅PF 2 =2c 2-a 2 =2b 2,则S △F 1PF 2=12PF 1 ⋅PF 2 =b 2=12×32×4,则b =3,故a =c 2-b 2=1,所以,双曲线E 的标准方程为x 2-y 23=1.(2)假设满足条件的直线l 存在,设点Q 1x 1,y 1 、Q 2x 2,y 2 ,则x 1+x 2=2y 1+y 2=2 ,由题意可得x 21-y 213=1x 22-y 223=1 ,两式作差得x 1-x 2 x 1+x 2 =y 1-y 2 y 1+y 2 3,所以,直线l 的斜率为k =y 1-y 2x 1-x 2=3,所以,直线l 的方程为y -1=3x -1 ,即y =3x -2.联立y =3x -2x 2-y 23=1,整理可得6x 2-12x +7=0,Δ=122-4×6×7<0,因此,直线l 不存在.10.己知椭圆C :x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0)的焦距为42,短轴长为2,直线l 过点P -2,1 且与椭圆C 交于A 、B 两点．(1)求椭圆C 的方程；(2)若直线l 的斜率为1,求弦AB 的长；(3)若过点Q 1,12的直线l 1与椭圆C 交于E 、G 两点,且Q 是弦EG 的中点,求直线l 1的方程．【解析】 (1)依题意,椭圆C 的半焦距c =22,而b =1,则a 2=b 2+c 2=9,所以椭圆C 的方程为：x 29+y 2=1.(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),依题意,直线l 的方程为：y =x +3,由y =x +3x 2+9y 2=9消去y 并整理得：5x 2+27x +36=0,解得x 1=-125,x 2=-3,因此,|AB |=1+12⋅|x 1-x 2|=325,所以弦AB 的长是325.(3)显然,点Q 1,12在椭圆C 内,设E (x 3,y 3),G (x 4,y 4),因E 、G 在椭圆C 上,则x 23+9y 23=9x 24+9y 24=9 ,两式相减得：(x 3-x 4)(x 3+x 4)+9(y 3-y 4)(y 3+y 4)=0,而Q 是弦EG 的中点,即x 3+x 4=2且y 3+y 4=1,则有2(x 3-x 4)+9(y 3-y 4)=0,于是得直线l 1的斜率为y 3-y 4x 3-x 4=-29,直线l 1的方程：y -12=-29(x -1),即4x +18y -13=0,所以直线l 1的方程是4x +18y -13=0.11.在平面直角坐标系xOy 中,已知椭圆C ：x 2a 2+y 2b 2=1(a >b >0)的离心率为12,AB 为椭圆的一条弦,直线y =kx (k >0)经过弦AB 的中点M ,与椭圆C 交于P ,Q 两点,设直线AB 的斜率为k 1,点P 的坐标为1,32(1)求椭圆C 的方程；(2)求证：k 1k 为定值.【解析】(1)由题意知1a 2+94b 2=1,c a =12,a 2=b 2+c 2, 解得a =2,b =3,c =1,故椭圆C 的方程为x 24+y 23=1.(2)证明：设M x 0,y 0 ,A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,由于A ,B 为椭圆C 上的点,所以x 214+y 213=1,x 224+y 223=1,两式相减得x 1+x 2 x 1-x 2 4=-y 1+y 2 y 1-y 2 3,所以k 1=y 1-y 2x 1-x 2=-3x 1+x 2 4y 1+y 2=-3x 04y 0.又k =y 0x 0,故k 1k =-34,为定值.12.已知双曲线C ：2x 2-y 2=2与点P 1,2 ．(1)是否存在过点P 的弦AB ,使得AB 的中点为P ；(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线交于C 、D 两点,证明：A 、B 、C 、D 四点共圆．【解析】(1)双曲线的标准方程为x 2-y 22=1,∴a 2=1,b 2=2．设存在过点P 的弦AB ,使得AB 的中点为P ,设A x 1,y 1 ,B x 2,y 2 ,x 21-y 212=1,x 22-y 222=1两式相减得y 1-y 2x 1-x 2⋅y 1+y 2x 1+x 2=b 2a 2,即k AB ⋅21=b 2a2得：k ⋅2=2,∴k =1．∴存在这样的弦．这时直线l 的方程为y =x +1．(2)设CD 直线方程为x +y +m =0,则点P 1,2 在直线CD 上．则m =-3,直线CD 的方程为x +y -3=0,设C x 3,y 3 ,D x 4,y 4 ,CD 的中点为Q x 0,y 0 ,x 23-y 232=1,x 24-y 242=1两式相减得k CD ⋅y 0x 0=b 2a2,则-1⋅y 0x 0=2,则y 0=-2x 0又因为Q x 0,y 0 在直线CD 上有x 0+y 0-3=0,解得Q -3,6 ,x -y +1=02x 2-y 2=2 ,解得A -1,0 ,B 3,4 ,x +y -3=02x 2-y 2=2 ,整理得x 2+6x -11=0,则x 3+x 4=-6x 3⋅x 4=-11则CD =1+k 2x 3-x 4 =410由距离公式得QA =QB =QC =QD =210所以A 、B 、C 、D 四点共圆．13.李华找了一条长度为8的细绳,把它的两端固定于平面上两点F 1,F 2处,|F 1F 2|<8,套上铅笔,拉紧细绳,移动笔尖一周,这时笔尖在平面上留下了轨迹C ,当笔尖运动到点M 处时,经测量此时∠F 1MF 2=π2,且△F 1MF 2的面积为4．(1)以F 1,F 2所在直线为x 轴,以F 1F 2的垂直平分线为y 轴,建立平面直角坐标系,求李华笔尖留下的轨迹C 的方程(铅笔大小忽略不计)；(2)若直线l 与轨迹C 交于A ,B 两点,且弦AB 的中点为N (2,1),求△OAB 的面积．【解析】(1)设椭圆的标准方程为x 2a 2+y 2b2=1(a >b >0),由椭圆的定义知2a =8,故a 2=16．∵在Rt △F 1MF 2中,|F 1F 2|=2c ,假设|MF 1|=x ,|MF 2|=y (x ,y >0),又∵△F 1MF 2的面积为4cm 2,x +y =8xy =8 ,故4c 2=x 2+y 2=(x +y )2-2xy =48,∴c 2=12,b 2=a 2-c 2=4,∴椭圆的标准方程为x 216+y 24=1．(2)设A (x 1,y 1),B (x 2,y 2),∵弦AB 的中点为N (2,1),∴x 1+x 2=4,y 1+y 2=2 且 x 1≠x 2．又∵A ,B 均在椭圆上,∴x 21+4y 21=16x 22+4y 22=16,得x 21-x 22=-4(y 21-y 22),即(x 1+x 2)⋅(x 1-x 2)=-4(y 1+y 2)⋅(y 1-y 2).∴(x 1-x 2)=-2(y 1-y 2).∵x 1≠x 2,∴k AB =y 1-y 2x 1-x 2=-12故直线AB 的方程为：x +2y -4=0．联立 x +2y -4=0x 2+4y 2-16=0,整理得x 2-4x =0．得 x 1=0,x 2=4,∴A (0,2),B (4,0),∴S △OAB =12×2×4=4．∴△OAB 的面积为4cm 2．14.若抛物线C :y 2=x 上存在不同的两点关于直线l :y =m x -3 对称,求实数m 的取值范围.【解析】当m =0时,显然满足.当m ≠0时,设抛物线C 上关于直线l :y =m x -3 对称的两点分别为P x 1,y 1 、Q x 2,y 2 ,且PQ 的中点为M x 0,y 0 ,则y 12=x 1,(1)y 22=x 2,(2)1 -2 得：y 12-y 22=x 1-x 2,∴k PQ =y 1-y 2x 1-x 2=1y 1+y 2=12y 0,又k PQ =-1m ,∴y 0=-m 2.∵中点M x 0,y 0 在直线l :y =m x -3 上,∴y 0=m x 0-3 ,于是x 0=52.∵中点M 在抛物线y 2=x 区域内∴y 02<x 0,即-m 2 2<52,解得-10<m <10.综上可知,所求实数m 的取值范围是-10,10 .。
高考数学专题讲解：点差法
高考数学专题讲解：点差法点差法的使用条件：直线与曲线相交于两点，已知两个交点的中点。
【题型一】：椭圆C ：12222=+by a x （0>>b a ）与直线l 相交于A 、B 两点，),(00y x M 为A 、B 两点的中点。
求直线l 的斜率。
【解法设计】：如下图所示：可以看到：A 、B 两点不仅在椭圆C ：12222=+by a x 上，而且在直线l 上。
第一步：假设：A 、B 两点的坐标。
假设：A 点的坐标为),(11y x ，B 点的坐标为),(22y x 。
第二步：A 、B 两点在椭圆上，满足椭圆的方程。
因为：),(11y x A 、),(22y x B 两点在椭圆C ：122=+y x 上；所以：1221221=+b y a x ①；1222222=+by a x ②。
①-②得到：0011)((222221222221222222221221222222221221=-+-⇒=--+⇒-=+-+by b y a x a x b y a x b y a x b y a x b y a x 022********=-+-⇒by y a x x 。
第三步：根据平方差公式进行计算。
))((21212221x x x x x x -+=-；))((21212221y y y y y y -+=-；0))(())((022121221212222122221=-++-+⇒=-+-b y y y y a x x x x b y y a x x 。
第四步：处理中点的信息。
原理：两个点的中点横坐标为这两个点横坐标之和除以2；两个点的中点纵坐标为这两个点纵坐标之和除以2。
因为：),(00y x M 为),(11y x A 、),(22y x B 两点的中点；所以：02121022x x x x x x =+⇒+=；02121022y y y y y y =+⇒+=。
0)(2)(20))(())((221022102212122121=-+-⇒=-++-+by y y a x x x b y y y y a x x x x 。
高考数学复习重点知识专题讲解与练习27 圆锥曲线点差法(解析版)
高考数学复习重点知识专题讲解与练习专题27 圆锥曲线点差法一、单选题1．已知椭圆C ：22221(6)6y x b b+=<上存在两点M ，N 关于直线10x y --=对称，且线段MN中点的纵坐标为43-，则2b 的值是（ ） A ．32B ．23C ．12D ．2【答案】A 【分析】设出M ，N 的坐标，代入椭圆方程，作差后结合已知直线的斜率及MN 中点的坐标列式求解． 【详解】解：设11(,)M x y ，22(,)N x y ，则2211216y x b +=，2222216y x b+=， 两式相减，得121212122()()()()6y y y y x x x x b-+-+=-，即1212212126()()y y x x xx b y y -+=--+， M ，N 关于直线10x y --=对称，∴1MN k =-，又线段MN 中点的纵坐标为43-，∴线段MN 中点的横坐标为11343-+=-，所以∴241623123b ⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭-=-⎛⎫⨯-⨯ ⎪⎝⎭，解得232b =．故选：A ．2．设直线()20y x t t =+≠与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>两条渐近线分别交于点A ，B ，若点()4,0P t 满足PA PB =，则该双曲线的渐近线方程是（ ）A ．3y x =± B．y = C ．13y x =± D ．19y x =±【答案】A 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ,AB 的中点为()00,H x y ，用点差法可得2022b y a=，由PA PB =可得00142y x t =--结合点()00,P x y 在直线()20y x t t =+≠上，可得出00,x y 的关系，从而可得答案. 【详解】由双曲线()222210,0x y a b a b-=>>得到渐近线的方程为0x y a b ±=即双曲线的两条渐近线合并为22220x y a b-=设()()1122,,,A x y B x y ,AB 的中点为()00,H x y ，则2211220x y a b -=，2222220x y a b-=两式相减可得2222121222x x y a b y =--，即()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-+= ()()2120002122y y y b x y a x x -==- …………… ① 又点()00,P x y 在直线()20y x t t =+≠上，则002y x t =+ ……… ② 由PA PB =,则12PH k =-，则00142y x t =-- …………… ③ 联立②，③可得052t x =，0092y x = 将0092y x =代入①可得3ba = 所以渐近线的方程为3y x =± 故选：A3．已知椭圆E ：22143x y +=上有三点A ，B ，C ，线段AB ，BC ，AC 的中点分别为D ，E ，F ，O 为坐标原点，直线OD ，OE ，OF 的斜率都存在，分别记为1k ，2k ，3k ，且123k k k ++=直线AB ，BC ，AC 的斜率都存在，分别记为AB k ，BC k ，AC k ，则111ABBC ACk k k ++=（ ） AB． C．-D ．1-【答案】B 【分析】采用点差法，设()11,A x y ，()22,B x y ，代入椭圆方程化简可得134AB k k ⋅=-，即1314AB k k =-⋅，同理求出2314BC k k =-⋅，3314ACk k =-⋅，结合123k k k ++= 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，代入椭圆方程可得22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减，可得22221212043x x y y --+=，即()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=，故1212121234y y y y x x x x -+-=⋅-+，即134AB k k ⋅=-，即1314ABk k =-⋅，同理可得：2314BCk k=-⋅，3314ACk k=-⋅．由123k k k ++=31114AB BC AC k k k ⎛⎫-++=⎪⎝⎭111AB BC AC k k k ++=． 故选：B ．4．斜率为13的直线l 经过双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>的左焦点1F ，交双曲线于,A B 两点，2F 为双曲线的右焦点且22AF BF =，则双曲线的渐近线方程为（ ） A ．y x =± B．y = C ．2y x =± D ．12y x =±【答案】D 【分析】利用点差法代入计算得OM k ，然后结合22AF BF =，可得12==OM OF OF ，设直线AB 的倾斜角为θ，则可得22122tan 33tan21tan 4113θθθ⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，从而得2214b a =，即可得双曲线的渐近线方程. 【详解】设AB 的中点为M ，设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，则22112222222200x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩，得()()12122+--x x x x a ()()12122y y y y b +-=，则22223,⋅=∴=AB OMOM b b k k k a a，设直线AB 的倾斜角为θ，又22AF BF =，所以2⊥AB MF ，可得12==OM OF OF ，所以直线OM 的倾斜角为2θ，则OM 的斜率为22122tan 33tan21tan 4113θθθ⨯===-⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以2214b a =，所以双曲线的渐近线方程为12y x =±， 故选：D.5．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过F 作一条倾斜角为60︒的直线与椭圆C 交于A ，B 两点，M 为线段AB 的中点，若3FM OF =（O 为坐标原点），则椭圆C 的离心率为（ ） ABCD．2【答案】B 【分析】利用点差法，设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,M x y ，则2211221x y a b +=，2222221x ya b+=，两式相减，化简可得020x a =，设(),0F c-，过M作MM x'⊥轴，垂足为M'，从而结合已知条件可得56M c⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，将其代入椭圆方程化简可求得结果【详解】设()11,A x y，()22,B x y，()00,M x y，由题意得2211221x ya b+=，2222221x ya b+=，两式相减，得()()()()1212121222x x x x y y y ya b+-+-+=，因为M为线段AB的中点，且直线AB的倾斜角为60︒，所以02xa=．设(),0F c-，则1133FM OF c==，过M作MM x'⊥轴，垂足为M'，则1126FM MF c'==，MM'==，由题易知M位于第二象限，所以56M c⎛⎫- ⎪⎪⎝⎭，所以2253660c ca b-+=，得2235a b=，所以2225a c=，所以cea==．故选：B6．直线l与抛物线22(0)y px p=>相交于A，B两点，线段AB的中点为M，点P是y轴左侧一点，若线段PA，PB的中点都在抛物线上，则（）A．PM与y轴垂直B．PM的中点在抛物线上C．PM必过原点D．PA与PB垂直【答案】A【分析】设()22120012,,,,,22y yP x y A y B yp p⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,得出线段PA，PB的中点坐标，代入抛物线方程，得到1202y y y+=，从而得到答案.【详解】设()22120012,,,,,22y yP x y A y B yp p⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则线段PA ，PB 的中点坐标分别为221200010222,,,2222y y x x y y y y p p ⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪++⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭线段PA ，PB 的中点都在抛物线22(0)y px p =>上.则21200122200222222222y x y y p p y x y y p p ⎧+⎪+⎛⎫⎪=⨯⎪⎪⎝⎭⎨⎪+⎪+⎛⎫=⨯⎪ ⎪⎝⎭⎩，即22101002220200240240y y y px y y y y px y ⎧-+-=⎨-+-=⎩ 所以12,y y 是方程22000240y y y px y -+-=的两个实数根所以1202y y y +=，所以0M y y =,即PM 与y 轴垂直 故选：A7．已知椭圆22:1164x y C +=的左、右焦点分别为1F ，2F ，过点2F 的直线l 与椭圆C 交于A ，B两点，且AM MB =，222OF M MOF ∠=∠，则直线l 的斜率为（ ） A ．13± B ．13C ．34±D ．34【答案】C 【分析】先设出点,,A B M 的坐标，利用点差法可得14AB OM k k ⋅=-，再根据222OF M MOF ∠=∠可得221O AB MOM k k k --=，即可由此求出斜率. 【详解】设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，,A B 在椭圆上，则2211222211641164x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减可得()()()()121212120164x x x x y y y y -+-++=，AM MB =，∴M 是AB 中点，则1201202,2x x x y y y +=+=，代入上式，则()()12012014y y y x x x -=--，即14AB OM k k ⋅=-， 又222OF M MOF ∠=∠，则22tan tan 2OF M MOF ∠=∠， 即22222221tan tan 2tan 1OM OM AB MOF k MOF MOF k k ∠=∠∠==---， 所以22114OM AB OM OM OM k k k k k ⋅=-⋅=--，可得13OM k =±， 所以34AB k =±，所以直线l 的斜率为34±. 故选：C.8．已知椭圆2222:1x y E a b+=（0a b >>）的右焦点为()F ，过点F 的直线交椭圆于A ，B两点，若线段AB的中点坐标为)，则椭圆E 的方程为（ ）A ．221186x y +=B ．221164x y +=C ．2212513x y +=D ．221208x y +=【答案】A 【分析】利用中点坐标公式和点差法可求得22b a的值，结合c =2a 、2b 的值，即得椭圆E 的方程. 【详解】设点()11,A x y 、()22,B x y ，则AB 的中点为1212,22x x y y M ++⎛⎫⎪⎝⎭，则1212212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，可得12122x x y y ⎧+=⎪⎨+=⎪⎩若直线AB x ⊥轴，则线段AB 的中点在x 轴上，不合题意； 故直线AB 的斜率存在，且1212AB y y k x x -=-，直线OM的斜率为121212120202OMy y y y k x x x x +-+===++-， 由于A 、B 两点都在椭圆E 上，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式作差得22221212220x x y y a b --+=，所以2221222212y y b x x a -=--， 因为,F M 在直线AB上，故AB FM k k ===所以13AB OM k k ⎛⋅==- ⎝， 又222121212222121212AB OMy y y y y y b k k x x x x x x a -+-⋅=⋅==--+-，故2213b a -=- 所以222221312b ac a b ⎧=⎪⎨⎪=-=⎩，解得22186a b ⎧=⎨=⎩，因此，椭圆E 的标准方程为221186x y +=.故选：A.9．抛物线22y x =上有一动弦AB ，中点为M ，且弦AB 的长为3，则点M 的纵坐标的最小值为（ ） A ．118B ．54C ．34D ．1【答案】A 【分析】设直线AB 的方程为y kx b =+，与抛物线方程联立得到0∆>，利用根与系数的关系，再利用中点坐标公式和基本不等式即可得到答案 【详解】解：设直线AB 的方程为y kx b =+，由22y kx b y x=+⎧⎨=⎩，得220x kx b --=， 由题意可得0∆>，即280k b +>，设1122(,),(,)A x y B x y ，则1212,22k b x x x x +==-，因为3AB =，所以2219()214k b k =-+， AB 中点M 的纵坐标为2222212122291911112482(1)82(1)888M y y k k k y x x b k k ++==+=+=+=+-≥=++当且仅当221982(1)k k +=+，即k = 所以点M 的纵坐标的最小值为118， 故选：A10．过点(1,1)A 作直线l 与双曲线2212y x -=交于P ，Q 两点，且使得A 是PQ 的中点，直线l 方程为（ ） A ．210x y --= B ．2x +y -3=0 C ．x =1 D ．不存在【答案】D 【分析】设出点P ，Q 的坐标，利用“点差法”求出直线l 的斜率并求出其方程，再将直线l 与双曲线方程联立验证即可得解. 【详解】设点1122(,),(,)P x y Q x y ，因点(1,1)A 是PQ 的中点，则121222x x y y +=⎧⎨+=⎩， 从而有221122222222x y x y ⎧-=⎨-=⎩，两式相减得：121212122()()()()0x x x x y y y y +--+-=，即12122()()0x x y y ---=，于是得直线l 的斜率为12122y y x x --=， 直线l 的方程为：12(1)y x -=-，即21y x =-，由222122y x x y =-⎧⎨-=⎩消去y 并整理得：22430x x -+=，此时2(4)42380∆=--⨯⨯=-<，即方程组222122y x x y =-⎧⎨-=⎩无解， 所以直线l 不存在. 故选：D11．以原点为对称中心的椭圆12,C C 焦点分别在x 轴，y 轴，离心率分别为12,e e ，直线l 交12,C C 所得的弦中点分别为11(,)M x y ，22(,)N x y ，若121220x x y y =≠，221221e e -=，则直线l 的斜率为( ) A ．±1 B．C ．2± D．±【答案】A 【分析】分类讨论直线l 的斜率存在与不存在两种情况，联立直线与曲线方程，再根据121220x x y y =≠，221221e e -=求解.【详解】设椭圆12,C C 的方程分别为2222111x y a b +=，2222221x y b a +=，由121220x x y y =≠可知，直线l 的斜率一定存在，故设直线l 的方程为y kx m =+.联立2222111x y a b y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222222211111()2()0a k b x kma x a m b +++-=，故21122211kma x a k b -=+，21122211mb y a k b =+；联立2222221x y b a y kx m ⎧+=⎪⎨⎪=+⎩得2222222222222()2()0a b k x kmb x b m a +++-=，则22222222kmb x a b k -=+，22222222ma y a b k =+.因为121220x x y y =≠，所以22221212222222222222112211222kma kmb mb ma a k b a b k a k b a b k --⋅=⋅⋅++++，所以2222212122k a b b a =.又221221e e -=，所以222222221211221222222212121222211c c a b a b b b a a a a a a ---=-=-+=， 所以222212122a b b a =，所以21k =，1k =±.故选：A.12．过椭圆221259x y +=的右焦点2F 并垂直于x 轴的直线与椭圆的一个交点为B ，椭圆上不同的两点1122(,),(,)A x y C x y ，满足条件：222||,||,||F A F B F C 成等差数列，则弦AC 的中垂线在y 轴上的截距的范围是（ ） A ．160,5⎛⎫⎪⎝⎭B ．160,25⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1616,55⎛⎫-⎪⎝⎭D ．1616,2525⎛⎫- ⎪⎝⎭【答案】C 【分析】利用焦半径公式得128x x +=，设AC 中点0(4,)M y ，利用点差法可求得AC k ，进而求得弦AC 的中垂线方程，求得其在y 轴上的截距，利用0(4,)M y 在椭圆“内”，可求得结果. 【详解】因为222||,||,||F A F B F C 成等差数列，2221825F A F C F B ∴+==， 利用焦半径公式得：21455F A x =-，22455F C x =-，代入可得128x x += 设AC 中点0(4,)M y ，椭圆上不同的两点1122(,),(,)A x y C x y ，2211222212591259x y x y ⎧+=⎪⎪∴⎨⎪+=⎪⎩，两式作差可得12121212925y y x x x x y y -+=-⋅-+，09425AC k y ∴=-⋅， 所以弦AC 的中垂线的方程为：0025(4)36y y y x -=-， 当0x =时，0169y y =-，此即AC 的中垂线在y 轴上的截距，0(4,)M y 在椭圆“内”，∴2161259y +<，得09955y -<<，0161616595y ∴-<-<． 故选：C ．13．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点和上顶点分别为点()(),0F c b c >和点A ，直线:65280l x y --=交椭圆于,P Q 两点，若F 恰好为APQ 的重心，则椭圆的离心率为（ ）A ．2BC D【答案】C 【分析】由题设()(),0,0,F c A b ，利用F 为APQ 的重心，求出线段PQ 的中点为3,22c b B ⎛⎫-⎪⎝⎭，将B 代入直线方程得592802bc +-=，再利用点差法可得225a bc =，结合222a b c =+，可求出,,a b c ，进而求出离心率. 【详解】由题设()()()()1122,0,0,,,,,F c A b P x y Q x y ，则线段PQ 的中点为()00,B x y ， 由三角形重心的性质知2AF FB =，即()00,2,()c b x c y -=-，解得：003,22c bx y ==- 即3,22c b B ⎛⎫-⎪⎝⎭代入直线:65280l x y --=，得592802b c +-=①. 又B 为线段PQ 的中点，则12123,x x c y y b +=+=-，又,P Q 为椭圆上两点，2222112222221,1x y x y abab∴+=+=， 以上两式相减得()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-+=，所以221212*********PQy y x x b b c k x x a y y a b -+==-⋅=-⨯=-+-，化简得225a bc =② 由①②及222a b c =+，解得：42a b c ⎧=⎪=⎨⎪=⎩，即离心率e = 故选：C.14．已知圆()()222:0M x m y m m ++=>在椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的内部，点A 为C 上一动点.过A 作圆M 的一条切线，交C 于另一点B ，切点为D ，当D 为AB 的中点时，直线MD的斜率为-C 的离心率为（ ） A ．12 BCD【答案】C 【分析】当点D 为AB 中点时，由点差法可得22AB OD b k k a⋅=-，再由AB 与圆M 相切可得1AB MD k k ⋅=-，可解出4AB k =；设E 为C 的左顶点，连接OD ，则2DME DOM ∠=∠，根据正切的二倍角公式可解得tan DOM ∠=，即得出OD k =，将AB kOD k =代入22AB OD b k k a ⋅=-得2214b a =，然后解出离心率e ==. 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，()00,D x y ，则0122x x x =+，0122y y y =+.将A ，B 的坐标分别代入C 的方程，得22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减，得()()222212122211x x y y a b-=--， 所以()()()()2121221212y y y y b x x x x a -+=--+，即()()21202120y y y b x x x a-=--. 当D 为AB的中点时，MD k =-，则1AB MDk k =-=，故1212y y x x -=-如图，设E 为C 的左顶点，连接OD ，则2DME DOM ∠=∠，所以tan tan 2DME DOM∠=∠22tan 1tan DOM DOM ∠==-∠2tan 0DOM DOM ∠+∠，解得tan 2DOM ∠=或tan DOM ∠=，则00tan OD y k DOM x =-∠==，所以2242b a ⎛-=- ⎝⎭，所以2214b a =，故C的离心率e ==故选：C.15．已知双曲线1C ：()222210,0x y a b a b -=>>，若存在斜率为1的直线与1C 的左､右两支分别交于点P ，Q ，且线段PQ 的中点在圆2C ：()22425x y +-=上，则1C 的离心率的最小值为（ ）ABC ．2 D【答案】B 【分析】根据点差法化简后可得2020y b x a=，利用中点在圆上，代入根据方程有解，利用判别式建立不等关系，化简即可求出离心率的取值范围. 【详解】设1122(,),(,)P x y Q x y ，则2211221x y a b -=①，2222221x y a b -=② ①-②得 22221212220x x y y a b---=化简得2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=-+， 因为直线斜率为1，所以212212y y b x x a+=+， 设00(,)M x y 为,P Q 中点，则 2020y b x a = ③，其中1202x x x +=，1202y yy +=，因为M 在圆上，则()2200425x y +-= ④③代入④可得24404416()405a yb b y b -+=+， 方程有解可得84416164()540b a b b ∆=-+⋅≥， 即444544b a b ≥+，解得2222c a a -≥,即223c a≥，所以e 故选：B16．过抛物线22(0)y px p =>的焦点F 的直线l （不平行于y 轴）交抛物线于A ，B 两点，线段AB 的中垂线交x 轴于点M ，若AB 4=，则线段FM 的长度为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4【答案】B 【分析】先设点11(,)A x y ，点22(,)B x y ，则12AB x x p =++，再把AB 的中点坐标1212(,)22y y x x ++和斜率AB k 表示出来，进一步可以求出线段AB 的中垂线的方程，只需令0y =，则M 的横坐标M x ，故可计算出线段FM 的长度为2M pFM x =-. 【详解】设11(,)A x y ，22(,)B x y ，由抛物线性质可知124AB x x p =++=.2211222,2y px y px ==22121222y y px px ∴-=- ，由题可知12x x ≠.121212()()2y y y y p x x -+∴=-，即122AB p k y y =+ 设线段AB 的中垂线的斜率为0k ，则12012AB y y k k p+=-=-. 所以AB 的中垂线方程为：121212()222y y y y x xy x p +++-=-- 令0y =，则M 的横坐标122M x x x p +=+ 则12124222222M x x x x p p p FM x p +++=-=+-=== 所以线段FM 的长度为2. 故选：B.17．已知抛物线C 1：21615y x =和圆C 2：(x -6)2+(y -1)2=1，过圆C 2上一点P 作圆的切线MN 交抛物线C ，于M ，N 两点，若点P 为MN 的中点，则切线MN 的斜率k >1时的直线方程为（ ） A ．4x -3y -22=0 B ．4x -3y -16=0 C ．2x -y -11+5=0 D ．4x -3y -26=0【答案】D 【分析】设点00(,)P x y 和直线MN 的方程为：(0)x my n m =+≠，其中11k m=>，则01m <<，联立21615x my ny x =+⎧⎪⎨=⎪⎩并结合韦达定理可得20815x m n =+，0815y m =，利用直线MN 与圆C 2相切，则有1=，再根据直线C 2P 与直线MN 垂直，则28111518615mm m n -⋅=-+-，消去n 化简可得43264240642402250m m m m -+-+=，降次整理可得32(43)(16482075)0m m m m ----=，令32()16482075g m m m m =---，利用导数求出单调性可证明()=0g m 在(0,1)无解，故可得34m =，代入可求n ，从而可求直线MN 的方程. 【详解】画出曲线图像如下图：由题意知，切线MN 的斜率k 存在且不为0，设点00(,)P x y ， 设直线MN 的方程为：(0)x my n m =+≠，其中11k m=>，则01m <<， 联立21615x my ny x =+⎧⎪⎨=⎪⎩，可得2161601515y my n --=，则有，121615y y m +=，2121216()2215x x m y y n m n +=++=+， 根据中点坐标公式可得，20815x m n =+，0815y m =， 又直线MN 与圆C 21=，即22(6)1m n m --=+①，依题意，直线C 2P 与直线MN 垂直，则28111518615mm mn -⋅=-+-， 整理得218861515n m m =--+②， 将②代入①并整理得，43264240642402250m m m m -+-+=， 降次化简可得，32(43)(16482075)0m m m m ----=③， 令32()16482075g m m m m =---，则222()48962048(1)68g m m m m '=--=--，因为01m <<， 所以2()48(1)680g m m '=--<，即()g m 在(0,1)单调递减， 则()(0)750g m g <=-<在(0,1)上恒成立，即()=0g m 在(0,1)无解， 从而③式的解只有一个，34m =，代入②式可得，132n =， 所以，直线MN 的方程为：31342x y =+，整理得，4x -3y -26=0. 故选：D.18．已知圆()()225:212C x y ++-=与椭圆222:44x y b Γ+=相交于,A B 两点，若AB 是圆C 的直径，则椭圆Γ的方程为（ ）A ．221123x y +=B ．22143x y +=C ．22182x y +=D ．2214x y +=【答案】A 【分析】由题意可得点,A B 关于圆心()2,1M -对称，先用点差法将直线AB 的斜率求出来，即可得AB的方程，然后再由AB =. 【详解】依题意，点,A B 关于圆心()2,1M -对称，且AB 设()11,A x y ，()22,B x y ，则2221144x y b +=，2222244x y b +=，两式相减并结合124x x +=-，122y y +=得()()1212480x x y y --+-=. 易知，AB 不与x 轴垂直，则12x x ≠，所以AB 的斜率121212AB y y k x x -==-， 因此AB 直线方程为()1212y x =++，代入椭圆方程得：224820x x b ++-=，所以124x x +=-，21282x x b =-.于是12AB x -由AB ==23b =.所以椭圆的方程为221123x y +=，故选：A .19．已知抛物线2:E y x =，直线2y kx =-交抛物线E 于,A B 两点，M 是AB 的中点，过M 作y 轴的垂线交抛物线E 于点N ，且0NA NB ⋅=，若1k >，则k 为（ ）AB ．32C D ．2【答案】B 【分析】设()()()22112200,,,,,A y y B y y M x y ,()200,N y y =,根据向量运算可得2120310y y y ⋅++=，联立直线与抛物线方程，由根与系数的关系即可求解k . 【详解】设()()()22112200,,,,,A y y B y y M x y ，则()200,N y y =，()()222210102020,,NA y y y y NB y y y y =--=--由0NA NB ⋅=，()()()()2222102010200y y yy y y y y ∴--+--=，()()102010y y y y ∴+++=，()212012010y y y y y y ∴⋅++++=，①即2120310y y y ⋅++=，由22y x y kx ⎧=⎨=-⎩得220ky y --=， 当180k ∆=+>，即18k >-时121212,y y y y k k+=⋅=-，代入①得：223104k k-++= 即24830k k -+=， 解得32k或12k =（舍去）， 故选：B20．已知椭圆2222:1(6)6y x C b b+=<上存在两点,M N 关于直线2310x y --=对称，且线段MN 中点的纵坐标为23-，则2b 的值是（ ） A ．2 B ．3 C ．4 D ．5【答案】B 【解析】 【分析】点,M N 关于直线2310x y --=对称，则线段MN 中点在直线2310x y --=上，求出中点坐标，MN 与直线2310x y --=垂直，根据中点关系和斜率关系即可求解.【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，点,M N 关于直线2310x y --=对称，121232y y x x -=-- 且线段MN 中点在直线2310x y --=上，纵坐标为23-，所以横坐标为12-，121241,3x x y y +=-+=-，()()1122,,,M x y N x y 在椭圆上：22112222221616y x b y x b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，2(6)b <，两式相减得： 22221212206y y x x b--+=()()()()1212121226y y y y x x x x b +++-=-()()()()12122121206y y x x x x b y y -++=+-2110443b --+=⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅ 解得：23b =. 故选：B第II 卷（非选择题）二、填空题21．已知斜率为1的直线l 与双曲线C ：()222210,0x y a b a b-=>>相交于B ，D 两点，且BD的中点为()1,3M ，则C 的离心率是______． 【答案】2 【分析】设1122(,),(,)B x y D x y ，代入双曲线方程，利用点差法，可求得223b a =，代入离心率公式，即可得答案. 【详解】设1122(,),(,)B x y D x y ，则22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩， 两式作差可得：2222121222x x y a by =--，即1212121222()()()()x x x x y y y y a b -+-+=， 因为()1,3M 为BD 中点， 所以12122,6x x y y +=+=，又直线BD 斜率为1， 所以12121y y x x -=-，代入可得，223b a =， 所以C的离心率2e ==.故答案为：222．已知椭圆22195x y +=的弦被点()1,1平分，则这条弦所在的直线方程为______.【答案】59140x y +-= 【分析】设这条弦的两个端点分别为()11,A x y 、()22,B x y ，由中点坐标公式得121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，利用点差法可求得直线AB 的斜率，再由点斜式可得出这条弦所在直线的方程. 【详解】解：已知椭圆22195x y +=的弦被点()1,1平分，设这条弦的两个端点分别为()11,A x y 、()22,B x y ，则12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，得121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，由于点A 、B 均在椭圆22195x y +=上，则22112222195195x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得22221212095x x y y --+=，可得2212221259y y x x -=--， 即()()()()1212121259y y y y x x x x -+=--+，所以直线AB 的斜率为121259AB y y k x x -==--， 因此，这条弦所在直线的方程为()5119y x -=--，即59140x y +-=. 故答案为：59140x y +-=.23．已知椭圆22221x y a b+=离心率12e =，过椭圆中心的直线交椭圆于A 、B 两点（A 在第一象限），过A 作x 轴垂线交椭圆于点C ，过A 作直线AP 垂直AB 交椭圆于点P ，连接BP 交AC 于点Q ，则AQQC =____ 【答案】13/1:3 【分析】首先求得34PA PB k k ⋅=-，然后由PB QB k k =求得Q 点的纵坐标，从而求得AQ QC .【详解】221324c b e a a ==⇒=. 设00,)Ax y （，则00(,)B x y --，设()110,,(,)P x y Q x m 2222001122221,1x y x y a b a b+=+=，两式相减并化简得()()2101021010y y y y b a x x x x ----=⋅---，即2234PA PBk b k a =-=-⋅，00AB y k x =， 由AB AP ⊥，可得0PA x k y =-，则034PB y k x =，即0000324PB QBm y y k k x x +===，解得02y m =，0012332y AQ y QC ==. 故答案为：1324．已知椭圆C ：22134x y +=上存在A ，B 两点关于直线y x m =+对称，且线段AB 的中点在抛物线2y x =上，则实数m 的值为___________.【答案】316或0/0或316【分析】由题意，设AB ：y x t =-+，AB 的中点()00,P x y ，联立直线AB 方程和椭圆方程，利用韦达定理及中点坐标公式，可得34,77t t P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入抛物线方程可求t ，从而即可得m 的值． 【详解】解：因为AB 所在的直线与直线y x m =+垂直， 所以设AB ：y x t =-+，AB 的中点()00,P x y ，联立22134x y y x t ⎧+=⎪⎨⎪=-+⎩，得22763120x tx t -+-=，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有1267tx x +=， 所以037t x =，0047ty x t =-+=，得34,77t t P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，将34,77t t P ⎛⎫ ⎪⎝⎭代入抛物线方程中得2163497t t =，所以0=t 或2116t =， 所以93,164P ⎛⎫⎪⎝⎭或()0,0P ，因为点P 在直线y x m =+上，所以得316m =或0m =， 故答案为：316或0. 25．已知椭圆C ：22221x y a b+=()0a b >>的左焦点为F ，过F 作一条倾斜角为60︒的直线与椭圆C 交于A ，B两点，若(-M 为线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率是___________.【分析】利用点差法，代入(-M 为线段AB 的中点，可求得2235a b =，进而得2225a c =，即可求得离心率． 【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，A ，B 在椭圆上，所以2211221x y a b +=，2222221x ya b +=， 两式相减，得()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-+=，又(-M 为线段AB 的中点，所以121210,x x y y ++=-=2100a -∴=，即2235a b=，即2225a c =，所以c e a ==26．已知直线:210l kx y k --+=与椭圆22122:1(0)x yC a b a b+=>>交于A 、B 两点，与圆222:(2)(1)1C x y -+-=交于C 、D 两点．若存在[2,1]k ∈--，使得AC DB =，则椭圆1C 的离心率的取值范围是_____________．【答案】⎛⎝⎦【分析】求得直线恒过定点，该定点刚好为圆心，则CD 为直径，又由条件可知圆心也为AB 的中点，设A 、B 点的坐标，并运用点差法和直线的斜率公式、中点坐标公式，即可得到所求离心率的取值范围. 【详解】直线:210l kx y k --+=，即为(2)10k x y -+-=，可得直线恒过定点(2,1)，圆222:(2)(1)1C x y -+-=的圆心为(2,1)，半径为1，且C ，D 为直径的端点，由AC DB =，可得AB 的中点为(2,1)，设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+=，两式相减可得()()()()12121212220x x x x y y y y a b +-+-+=， 由124x x +=，122y y +=，可得2122122y y b k x x a -==--，由21k -≤≤-，即有22112b a≤≤，则椭圆的离心率c e a ⎛== ⎝⎦．27．椭圆221169x y +=内，过点()2,1M 且被该点平分的弦所在的直线方程为______．【答案】98260x y +-= 【分析】设出,A B 坐标，根据点在椭圆上利用点差法求解出AB k 的值，再利用直线的点斜式方程可求解出直线方程. 【详解】设直线与椭圆的两个交点为()()1122,,,A x y B x y ，因为,A B 在椭圆上，所以2211222211691169x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，所以22221212161699x x y y ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭， 所以22122212916y y x x -=--，所以12121212916y y y y x x x x -+⋅=--+，所以1292216AB k ⨯⋅=-⨯，所以98AB k =-， 所以AB 的方程为：()9128y x -=--，即98260x y +-=， 故答案为：98260x y +-=.28．已知圆C ：225(2)(1)2x y ++-=与椭圆Γ：22244x y b +=相交于A 、B 两点，若AB 是圆C 的直径，则椭圆Γ的方程为________.【答案】221123x y +=【分析】先设交点11()A x y ，，22()B x y ，，利用点差法求出直线AB 的斜率，再联立直线与椭圆的方程，利用弦长||AB =b 即可. 【详解】椭圆Γ：222214x y b b+=，即224a b =，焦点在x 轴上，由题意可知(21)C -，为AB 中点，设11()A x y ，、22()B x y ，，则2211222222221414x y b b x y b b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差可得222212122204x x y y b b --+=，即2221222212144y y b x x b -=-=-- 即()()()()1212121214AB CO y y y y k k x x x x -+⋅=-=--+，又1122CO k ==--，则12AB k =， 故直线AB 方程为：11(2)2y x -=+，联立22211(2)244y x x y b⎧-=+⎪⎨⎪+=⎩得：22214(2)142x x b ⎡⎤+++=⎢⎥⎣⎦，即222(4)4x x b ++=， 即22281640x x b ++-=，设11()A x y ，，22()B x y ，，则124x x +=，2121642bx x -⋅=，又||2AB =||AB === 即25(816)104b ⋅-=，即28168b -=，23b =，则22412a b ==，椭圆Γ的方程为：221123x y +=. 故答案为：221123x y +=.29．已知()2,0F 为椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的右焦点.直线1:3l y x m =-+与椭圆C 相交于A ，B 两点，A ，B 的中点为P ，且直线OP 的斜率 1k =，则椭圆C 的方程为_______________.【答案】22162x y +=【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，A ，B 的中点为00(,)P x y ，则由题意知01OP y k x ==，121213y y x x --=-，由A ，B是椭圆上不重合的两点，则22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减可得12122020y y x x x b a y --=-⋅，即223a b ，再结合222a b c =+，即可求得椭圆C 的方程.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，A ，B 的中点为00(,)P x y ，则由题意知01OP y k x==，121213y y x x --=-由A ，B 是椭圆上不重合的两点，则22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-+=，整理可得12122020y y x x x b a y --=-⋅，即2213b a -=- ，即223a b ，又2222,c a b c ==+，解得：226,2a b ==所以椭圆C 的方程为22162x y +=故答案为：22162x y +=30．已知曲线Q ：()2222102x y x a a-=>，点A ，B 在曲线Q 上，且以AB 为直径的圆的方程是()()22211x y -+-=．则a =______．【答案】 【分析】由题知，圆的圆心坐标()2,1，由点差法可得直线AB 的斜率为1，设()11,A x y ，()22,B x y ，则有1212y y x x -=-，又圆的直径为2，联立直线与曲线方程，由韦达定理表示AB ，解方程即可得a . 【详解】因为AB 是圆的直径，必过圆心()2,1点，设AB 所在直线方程为AB l ：()12y k x -=-设A 、B 点坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，都在Q 上，故2211222222221212x y a a x y a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ 两式相减，可得：()()()()12121212222x x x x y y y y a a -+-+=121212121141222y y x x x x y y -+⇒==⨯=-+ （因为()2,1是AB 的中点），即1k =． 联立直线AB 与Q 的方程：2222221422012y x x x a x y aa =-⎧⎪⇒-++=⎨-=⎪⎩ 又2AB =，即24AB =，即()()2212124x x y y -+-=，又因为1212y y x x -=-，则有()()221212124224x x x x x x ⎡⎤=-=+-⎣⎦()2224422a ⎡⎤=-+⎣⎦ 即2882a -=，∴a =．故答案为：31．已知抛物线E ：y 2＝4x ，A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），C （x 3，y 3）为抛物线上的三个动点，其中x 1＜x 2＜x 3且y 2＜0，若ABC 的重心恰为抛物线E 的焦点，且AB 、AC 、BC 三边中点到抛物线E 的准线的距离成等差数列，则直线AC 的斜率为_____. 【答案】2 【分析】如图所示，求出332D x x -=，2133,,22G H x x x x --==根据F 是ABC 的重心，得到123123+3+0.x x x y y y +=+=，根据AB 、AC 、BC 三边中点到抛物线E 的准线的距离成等差数列求出132y y +=，再利用点差法求出直线AC 的斜率. 【详解】如图所示，设F 是抛物线的焦点，00(,)D x y ，由题得3300302,(1,)2(1,),122CF FD x y x y x x =∴--=-∴-=-， 所以3032x x -=，即332D x x -=，同理2133,,22G H x x x x --== 因为F 是ABC 的重心， 所以123123+3+0.x x x y y y +=+=，因为AB 、AC 、BC 三边中点到抛物线E 的准线的距离成等差数列， 所以312333+1++12(1)222x x x ---=+， 所以1322222,32,1x x x x x x +=∴-=∴=.由题得2222241,2,0,2y y y y =⨯∴=±<∴=-.所以13 2.y y +=因为2333131312114,()()4()4y x y y y y x x y x ⎧=⎪∴+-=-⎨=⎪⎩， 31313131()42()4()==2()2y y y y x x x x -∴-=-∴-，，所以直线AC 的斜率为2. 故答案为：232．已知椭圆()222:1024x y C b b+=<<，作倾斜角为34π的直线交椭圆C 于A 、B两点，线段AB 的中点M ，O 为坐标原点，OM 与MA 的夹角为θ，且tan 3θ=，则b =____________【分析】设()11,,A x y ()22,,B x y ()00,M x y ，首先由点差法可得2004y b x =，设直线OM 的倾斜角为α，则4πθα=+或34πθα=-，然后结合条件tan 3θ=可建立方程求解. 【详解】设()11,,A x y ()22,,B x y ()00,M x y ，则2211214x y b +=，2222214x y b+=， 两式相减，得()()()()1212121224x x x x y y y y b -+-++=．A B 、两点直线的倾斜角为34π，∴12121y y x x -=--， ∴1212204x x y y b ++-=，即00204x y b-=，∴2004y b x =设直线OM 的倾斜角为α，则4πθα=+或34πθα=- 所以tan 1tan 1tan αθα+=±-，因为2tan 4b α=，tan 3θ=所以2214314b b +=-，解得22b =，即b =33．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为2x =-，在抛物线C 上存在两点,A B 关于直线:60l x y +-=对称，且O 为坐标原点，则||OA OB +的值为__________.【答案】【分析】先根据抛物线的简单几何性质求出抛物线C 的方程，再根据点差法求出AB 的中点坐标，从而得出OA OB +的坐标，然后由向量的模的坐标计算公式即可求解．【详解】拋物线2:2(0)C y px p =>的准线方程为2x =-，可知抛物线C 的方程为：28y x =．设点()()1122,,,A x y B x y ，AB 的中点为()00,M x y ，则2211228,8y x y x ==两式相减可得，()()()1212128y y y y x x -+=-，1212120882AB y y k x x y y y -==-+=，所以0008(1)1260y x y ⎧⨯-=-⎪⎨⎪+-=⎩，解得0024x y =⎧⎨=⎩，可得(2,4)M ，则22(2,4)(4,8)OA OB OM +===，可得|||(4,8)|OA OB +==故答案为：34．已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的一个顶点为()0,4B，离心率e =l 交椭圆于M ，N 两点，如果△BMN 的重心恰好为椭圆的左焦点F ，则直线l 方程为___________ 【答案】65280++=x y 【分析】利用椭圆的离心率以及经过的点，求出a ，b 得到椭圆方程，设出Q ，利用重心坐标结合平方差法，转化求解直线的斜率，然后求解直线方程． 【详解】解：由题意得4b =，又222222216115c a b e a a a -===-=，解得220a =． ∴椭圆的方程为2212016x y +=．∴椭圆左焦点F 的坐标为(2,0)-，设线段MN 的中点为0(Q x ，0)y ，由三角形重心的性质知2BF FQ =，从而(2-，04)2(2x -=+，0)y ，解得03x =-，02y =-， 所以点Q 的坐标为(3,2)--．设1(M x ，1)y ，2(N x ，2)y ，则126x x +=-，124y y +=-，且222211221,120162016x y x y +=+=， 以上两式相减得12121212()()()()02016x x x x y y y y +-+-+=，∴1212121244665545MN y y x x k x x y y -+-==-=-⨯=--+-， 故直线的方程为62(3)5y x +=-+，即65280++=x y ． 故答案为：65280++=x y ．35．已知抛物线()2:20C x py p =>上一点()(),20P a a >到焦点F 的距离为3，过焦点F 的直线l 与抛物线C 相交于M 、N 两点，点P 到直线l 的距离为d ，当d 取得最大值时，PMN ∆的面积等于__________． 【答案】54 【分析】根据抛物线焦半径公式得到抛物线方程；根据抛物线性质可知当PF l ⊥时，d 最大，从而可求得l 的方程；联立直线l 和抛物线方程，根据弦长公式求解出MN ，进而得到所求面积. 【详解】根据()(),20P a a >到焦点F 距离为3可得：232p+=，解得2p =则抛物线C 的方程为24x y =，则点P 的坐标为()，()0,1F当PF l ⊥时，点P 到直线l 距离最大242PF k == ∴直线l 的斜率k =-则直线l 的方程为1y =-+联立241x y y ⎧=⎪⎨=-+⎪⎩得240x +-=12+x x =-∴124x x =-1236MN x ∴- 11=3635422PMN S MN PF ∆∴⋅=⨯⨯= 本题正确结果：54三、解答题36．已知抛物线2:2(0)C y px p =>的焦点为F ，过F 且斜率为1的直线与抛物线C 交于A ，B 两点，且AB 的中点的纵坐标为2． （1）求C 的方程（2）已知(1,4),(1,4)E M ---，若P 在线段EM 上，,PH PG 是抛物线C 的两条切线，切点为H ，G ，求PHG 面积的最大值．【答案】（1）24y x =；（2）【分析】（1）设点()()1122,,A B x y x y ，，由中点坐标得12+4y y =，再由直线AB 的斜率得21211y y x x -=-，将A 、B 两点代入抛物线方程中计算可求得p 得抛物线的方程；（2）设()1P m -，，且44m -≤≤，设点()33,H x y ，()44,G x y ，求得切线PH 、PG 的方程，再由点P 在切线PG 、PH 上得出直线GH 的方程()21+my x =-，与抛物线24y x =联立，求得弦长GH ，以及点P 到直线GH 的距离，表示PHG 的面积，根据二次函数的性质可求得三角形面积的最大值. 【详解】解：（1）设点()()1122,,A B x y x y ，，则12+22y y =，所以12+4y y =，又因为直线AB 的斜率为1，所以21211y y xx -=-， 将A 、B 两点代入抛物线方程中得：21122222y px y px ⎧=⎨=⎩，将上述两式相减得，()2212122y y p x x -=-，即()()()121212+2y y y y p x x -=-，所以12121221+y y py yx x -==-，即214p =，所以2p =， 因此，抛物线的方程为24y x =；（2）因为(1,4),(1,4)E M ---，P 在线段EM 上，所以设()1P m -，，且44m -≤≤，设点()33,H x y ，()44,G x y ，则切线PH 、PG 的斜率定存在，设直线PH 的方程为()33y y k x x -=-，与抛物线24y x =联立消y 得：()()3322233+24+0k x y kx k y kx x --=⎡-⎤⎣⎦， 所以()()32232332440k y k y kx kx ---=⎡⎤⎣⎦∆=-，即()2320ky -=，解得32k y =，所以切线PH 的方程为()3332y y x x y -=-，即()332+y y x x =，同理得切线PG 的方程为()442+y y x x =，又点P 在切线PG 、PH 上，所以()()334421+21+y m x y m x ⎧=-⎪⎨=-⎪⎩，所以直线GH 的方程为()21+my x =-，即+12myx =， 直线GH 的方程与抛物线24y x =联立24+12y x my x ⎧=⎪⎨=⎪⎩，整理得2240y my --=，所以24+m GH =，又点P 到直线GH 的距离为d ==所以PHG的面积为()2114+22PHGSd GH m =⨯⨯==。
专题12 定比点差法及其应用 微点1 定比点差法及其应用初步
专题12 定比点差法及其应用 微点1 定比点差法及其应用初步专题12 定比点差法及其应用 微点1 定比点差法及其应用初步 【微点综述】在处理解析几何“中点弦”问题时，我们常用的方法是“点差法”，该法模式化强，计算量小，学生易于掌握，其实在面临“非中点弦”问题时，我们依然可以使用“点差法”，只是在处理非中点问题时，需要根据线段所分得的比值做代数处理，一般把这种方法叫做“定比点差法”．相比于传统的点差法，定比点差在处理三点共线、相交弦、定点定值、比例问题、调和点列等问题均具有优势．本文在定比分点的基础上，分别以椭圆、双曲线、抛物线为例介绍该法的由来，并例举该法在几类解析几何问题中的初步应用，全面系统地介绍了“定比点差法”．在讲定比点差法前，我们先引出定比分点的概念． 一、定比分点若AP PB λ=，则称点P 为点,A B 的λ定比分点．若0λ>，点P 在线段AB 上，此时称点P 为内分点；若0λ<，点P 在线段AB 的延长线上，此时称点P 为外分点．①点在线段AB 上（()0,1APPBλ=∈） ①点在线段AB 的延长线上（(),1APPBλ=∈-∞-）①点在线段AB 的反向延长线上（()1,0APPBλ=∈-） 补充定义：当1λ=-时，对应的定比分点可以认为是无穷远点. 二、定比点差法原理1．线段定比分点向量公式及坐标公式已知AP PB λ=，设()()1122,,,A x y B x y ，则1212,,111x x y y OA OB OP P λλλλλλ+++⎛⎫= ⎪+++⎝⎭．证明：证法一：设()00,P x y ，()1212,,,,111x x y y OA OB AP PB OP OA OB OP OP P λλλλλλλλ+++⎛⎫=∴-=-∴=∴ ⎪+++⎝⎭.证法二：设()00,P x y ，则()()01010202,,,AP x x y y BP x x y y λλ=--=--，利用对应坐标相等即可推出1212,11,1OA OB O x x y y P P λλλλλλ++⎛⎫⎪+⎭+=+∴+⎝． 2．“定比点差法”的由来（1）若点()()1122,,,A x y B x y 在椭圆()222210x y a b a b+=>>上，且点()00,P x y 满足AP PB λ=，则2222221122222222,,b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩于是有()()()22222222222211221b x a y b x a y a b λλ+-+=-， 整理得()()()222212121212111x x y y b x x a y y a b λλλλλλλ++-⋅+-⋅=-++， 即12120022111x x y y x y a b λλλλ--⋅⋅--+=①（和定比分点坐标公式形式保持一致）． （2）若点()()1122,,,A x y B x y 在双曲线()222210,0x y a b a b-=>>上，且点()00,P x y 满足AP PB λ=，则2222221122222222,,b x a y a b b x a y a b ⎧-=⎨-=⎩于是有()()()22222222222211221b x a y b x a y a b λλ---=-， 整理得()()()222212121212111x x y y b x x a y y a b λλλλλλλ++-⋅--⋅=-++， 即12120022111x x y y x y a b λλλλ--⋅⋅---=①． （3）若点()()1122,,,A x y B x y 在抛物线()220y px p =>上，且点()00,P x y 满足AP PB λ=，则2112222,2,y px y px ⎧=⎨=⎩于是有()222212122y y p x x λλ-=-，变形得121212121111y y y y x x x x p λλλλλλλλ+-+-⎛⎫⋅=+ ⎪+-++⎝⎭，即12120011y y x x y p x λλλλ--⎛⎫⋅=+ ⎪-+⎝⎭①． 说明：1.上述表达式①、①、①的推导方法就叫“定比点差法”，由推导过程可以看出， 该法是“点差法”的更一般的推广而已，当1λ=时，“定比点差法”即为“点差法”． 2.上述表达式①、①、①的形式与()00000022221,1,x x y y x x y yy y p x x a b a b+=-==+的形式是一致的，因此和极点极线有关的题目都可以尝试利用定比点差法进行处理. 三、定比点差对称轴轴上点公式对于过轴上的定点(),0m 或()0,m 直线和圆锥曲线相交，一般可以都可以尝试利用定比点差法进行求解，而且会比常规的韦达定理法要简洁很多！下面给出常用的几个公式.过定点(),0M m 的直线与椭圆()222210x y a b a b+=>>相交于,A B 两点，设()11,,AM MB A x y λ=，()22,B x y ，则有①截距对偶公式：1221212,1,1x x m x x a m y y λλλλλ+⎧=⎪+⎪-⎪=⎨-⎪⎪⎪=-⎩；①坐标公式：221222122,2,a a x m m m m a m a m x m m y yλλλ⎧⎛⎫=++-⎪ ⎪⎝⎭⎪⎪⎪-⎨=++⎪⎪⎪⎪=-⎩； ①拓展公式之1212,x x y y ：44221222224221222112,412.4a a x x m m m m b a a y y m m a m m λλλλ⎧⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=++-+⎪⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎪⎨⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎪⎛⎫⎢⎥=-+-+ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎪⎣⎦⎩四、定比点差法的应用（一）应用定比点差法求点的坐标 例1．已知12,F F 分别是椭圆2213x y +=的左右焦点，点,A B 在椭圆上，且125F A F B =，则点A 的坐标是 ． 【答案】()0,1±【解析】如图，延长1AF 交椭圆于点C ，由对称性得12CF F B =，则115AF FC =． 设()()1122,,,A x y C x y ，则1212155,66x x y y F ++⎛⎫⎪⎝⎭，又()1,0F，1212550.x x y y ⎧+=-⎪∴⎨+=⎪⎩由点,A C 在椭圆上，则2211222233,257575,x y x y ⎧+=⎨+=⎩ 于是有()()()()121212125535572x x x x y y y y +-++-=-，即)1212572,5x x x x --=-∴-=125x x +=-110,1x y =∴=±，则()0,1A ±．【评注】由向量数乘的几何意义知1F A //2F B 且125F A F B =，考虑到椭圆的中心对称性，可以延长1AF 交椭圆于点C ，得到12FC F B =，从而得到2,,A F C三点共线，且115AF FC =，于是定点1F 为焦点弦AC 的定比分点，自然想到使用定比点差法．（二）应用定比点差法求离心率例2．已知椭圆:E 22221(0)x y a b a b+=>>内有一点(2,1)M ，过M 的两条直线1l 、2l 分别与椭圆E 交于,A C 和,B D 两点，且满足AM MC λ=，BM MD λ=（其中0λ>且1λ≠），若λ变化时直线AB 的斜率总为12-，则椭圆E 的离心率为（ ）A ．12BCD【答案】D【解析】设()()()()11223344,,,,,,,A x y B x y C x y D x y ，由AM MC λ=可得：()()11332,12,1x y x y λ--=--，据此可得：131322{1x x y y λλλλ+=++=+，同理可得：242422{1x x y y λλλλ+=++=+，则：()()()()1234123441{21x x x x y y y y λλλλ+++=++++=+，将点A ，B 的坐标代入椭圆方程做差可得：2121221212y y x x b x x a y y -+=-⨯-+， 即：()()222121212212122x x b a y y b x x a y y +-=-⨯⇒+=++，同理可得：()()2234342a y y b x x +=+，两式相加可得()()()()22123412342a y y y y b x x x x ⎡⎤⎡⎤+++=+++⎣⎦⎣⎦，故：()()()()1234123421y y y y x x x x λλ⎡⎤⎡⎤+++=+++⎣⎦⎣⎦，据此可得：22221a b e =⇒=【评注】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率（或离心率的取值范围），常见有两种方法： ①求出a ，c ，代入公式ce a=； ①只需要根据一个条件得到关于a ，b ，c 的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a ，c 的齐次式，然后等式（不等式）两边分别除以a 或a2转化为关于e 的方程（不等式），解方程（不等式）即可得e （e 的取值范围）．例3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，过其左焦点F,A B两点，若2AF FB =，求椭圆的离心率．【解析】设()()1122,,,A x y B x y ，由2AF FB =得121222,33x x y y F ++⎛⎫⎪⎝⎭，由(),0F c -得121223,20.x x c y y +=-⎧⎨+=⎩由点,A B 在椭圆上，则2222221122222222,444,b x a y a b b x a y a b ⎧+=⎨+=⎩两式作差得()()()()22221212121222223b x x x x a y y y y a b +-++-=-，()22221212323,2a b c x x a b x x c∴--=-∴-=，联立1223x x c +=-，得22132a c x c -=，又111y y x c ∴=+2222222232a c b a a b c ⎛⎫-+= ⎪⎝⎭⎝⎭，整理得422441390a a c c -+=，两边都除以4c ，得4291340e e -+=，解得23e =或1e =，又201,3e e <<∴=． 【评注】处理焦点弦问题时，相较于联立直线与曲线方程法，定比点差法运算量小，过程简洁．（三）应用定比点差法求直线方程例4．已知椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>的左、右焦点分别为12,F F ，焦距为2，过点2F 作直线与椭圆C 相交于,A B 两点，且①1ABF的周长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若24AB F A =，求直线AB 的方程．【解析】（1）由已知可得22,4c a ==222a c b -=，解得1,a b ==∴所求的椭圆C 的标准方程为2212x y +=．（2）由24AB F A =，得2213AF F B =．设()()1122,,,A x y B x y ，得1212233,44x x y y F ++⎛⎫⎪⎝⎭，又()21,0F ，121234,30.x x y y +=⎧∴⎨+=⎩由点,A B 在椭圆上，得2211222291818,22,x y x y ⎧+=⎨+=⎩两式作差得()()()()()1212121212123323316,4316,34x x x x y y y y x x x x +-++-=∴-=∴-=，联立1234x x +=，解得143x =，又221191818x y +=，解得21141,,,1,333AF y A k ⎛⎫=±∴±∴=±∴⎪⎝⎭直线AB 的方程为1y x =-或1y x =-+．【评注】由平面向量共线定理及向量数乘的几何意义，得2213AF F B =，自然考虑定比点差法（四）应用定比点差法求弦长例5．已知斜率为32的直线l 与抛物线23y x =的交于,A B 两点，与x 轴交于点P ，若3AP PB =，求AB ．【解析】设()()()()112200,,,,,00A x y B x y P x x >，由3AP PB =，得121233,44x x y y P ++⎛⎫⎪⎝⎭，则由1201234,30.x x x y y +=⎧⎨+=⎩点,A B 在抛物线上，则2112223,927,y x y x ⎧=⎨=⎩于是有()()()1212123339y y y y x x +-=-，则1290x x -=，联立12034x x x +=，得103x x =，又11032y x x =-，则103y x =，由22110001043,99,1,,3y x x x x AP x AB AP =∴=∴=∴=-=∴== 【评注】由已知条件3AP PB =可知该题可使用定比点差法，得到点A 的横坐标103x x =，再利用32AP k =，得到103y y =，利用抛物线方程得到01x =，求出AP ，最后由43AB AP=得出答案．例6．（2022·上海徐汇·三模）已知椭圆M ：()222210x y a b a b+=>>焦距为⎭，斜率为k 的直线l 与椭圆有两个不同的交点A ､B ． （1）求椭圆M 的方程； （2）若1k =，AB 的最大值；（3）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D ．若C ､D 和点7142Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭,共线，求实数k 的值．【答案】（1）2213x y +=；（2；（3）2.【分析】（1）待定系数法求解椭圆方程；（2）设出直线方程，联立椭圆方程，求出两根之和，两根之积，利用弦长公式得到12AB x =-=m 的取值范围，求出最大值；（3）设出直线方程，表达出,C D 两点坐标，由Q ､C ､D 三点共线得到方程，化简后得到12122y y k x x -==-． 【解析】（1）由题意得：焦距为2222c a b ==-，点坐标⎭代入椭圆方程得：222113a b +=， 222221132a b a b⎧+=⎪⎨⎪=-⎩，解得：23a =，21b =， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=．（2）设直线AB 的方程为y x m =+，由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩ 消去y 可得2246330x mx m ++-=，则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12AB x -=， 易得当20m =时，max ABAB ． （3）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，则221133x y +=①，222233x y +=①， 又()2,0P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由122(2)13y k x x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 由1112y k x =+，及①221133y x =-，代入可得13171247x x x --=+， 又3111322y y k x x ==++，所以13147y y x =+，所以11117124747x y C x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,， 同理可得22227124747x yD x x ⎛⎫--⎪++⎝⎭,．故3371,42QC x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，4471,42QD x y ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭，因为Q ､C ､D 三点共线，所以3443717104242x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．将点C ，D 的坐标代入，通分化简得22112424y x y x -=-，即12122y y k x x -==-． 【评注】处理圆锥曲线问题，通常要设出直线方程，与圆锥曲线联立，得到两根之和，两根之积，再利用弦长公式或题干中条件，求出取值范围或得到方程，求出参数． 例7.（2022·山西太原·三模）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>过点)P，离心率为e =（1）求椭圆C 的方程；（2）当过点M （4，1）的动直线与椭圆C 相交于不同的两点A ，B 时，在线段AB 上取点N ，满足MB A N M N B A λλ=-=，求线段PN 长的最小值．【答案】（1）22142x y +=；（2. 【分析】（1）由椭圆的几何性质列方程组求解；（2）由定比分点公式化简得N 点轨迹方程，由点到直线距离公式求解.【解析】（1）根据题意，22211c a a b ⎧=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 解得2242a b ==，，椭圆C 的方程为22142x y +=.（2）设A （1x ，1y ），B （2x ，2y ），N （x ，y ）， 由λλAM MB AN NB =-=，，得 12121212λλ41λ1λλλ11λ1λx x x x x y y y y y -+⎧⎧==⎪⎪⎪⎪-+⎨⎨-+⎪⎪==⎪⎪-+⎩⎩，，①222222121222λλ41λ1λx x y y x y --==--，， 又222211222424x y x y +=+=，，①2244λ4241λx y -+==-，①点N 在直线220x y +-=上，①PN ===最小．【总结】定比点差法，实际上是直线参数方程的变异形式，核心思想是“设而不求”．它是利用圆锥曲线上两点坐标之间的联系与差异，代点、扩乘、作差，解决相应的圆锥曲线问题，尤其是遇到定点、成比例等条件时，定比点差法有独特的优势． 【针对训练】（2018年高考浙江卷）1．已知点P (0，1)，椭圆224x y m += (m >1)上两点A ，B 满足2AP PB =，则当m =___________时，点B 横坐标的绝对值最大．2．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点(),P a b 为椭圆外一点，斜率为12-的直线与椭圆交于A ，B 两点，过点P 作直线PA ，PB 分别交椭圆于C ，D 两点．当直线CD 的斜率为12-时，此椭圆的离心率为______．3．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，过椭圆的左焦点Fl 与椭圆交于A 、B 两点（A 点在B 点的上方），若有2AF FB =，求椭圆的离心率．（2022·吉林市教育学院模拟预测）4．已知抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4，椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>经过抛物线1C 的焦点F ．(1)求抛物线1C 的方程及a ；(2)已知O 为坐标原点，过点(1,1)M 的直线l 与椭圆2C 相交于A ，B 两点，若=AM mMB ，点N 满足=-AN mNB ，且||ON 最小值为125，求椭圆2C 的离心率． （2022·山东济南·二模）5．已知椭圆C 的焦点坐标为()11,0F -和()21,0F ，且椭圆经过点31,2G ⎛⎫ ⎪⎝⎭.(1)求椭圆C 的方程；(2)若()1,1T ，椭圆C 上四点M ，N ，P ，Q 满足3MT TQ =，3NT TP =，求直线MN 的斜率.（2022·重庆南开中学模拟预测） 6．已知0a b>>，直线l 过椭圆22122:1x y C a b+=的右焦点F 且与椭圆1C 交于A 、B 两点，l 与双曲线22222:1x y C a b-=的两条渐近线1l 、2l 分别交于M 、N 两点．(1)若OF =l x ⊥轴时，①MON 的面积为32，求双曲线2C 的方程；(2)如图所示，若椭圆1C 的离心率e =1l l ⊥且()0FA AN λλ=>，求实数λ的值． （2022云南红河·模拟预测）7．在平面直角坐标系xOy 中，点M 是以原点O 为圆心，半径为a 的圆上的一个动点.以原点O 为圆心，半径为()0b a b >>的圆与线段OM 交于点N ，作MD x ⊥轴于点D ，作NQ MD ⊥于点Q .(1)令MOD α∠=，若4a =，1b =，3πα=，求点Q 的坐标；(2)若点Q 的轨迹为曲线C ，求曲线C 的方程；(3)设（2）中的曲线C 与x 轴的正半轴交于点A ，与y 轴的正负半轴分别交于点1B ，2B ，若点E ､F 分别满足3AE OE =-，243AF OB =，证明直线1B E 和2B F 的交点K 在曲线C 上.（2022重庆·模拟预测）8．已知椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>的右焦点为()1,0F ，点A ，B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，其中A 点在第一象限内，射线AF ，BF 与椭圆C 的交点分别为M ，N . （1）若AF FM =，2BF FN =，求椭圆C 的方程；（2）若直线MN 的斜率是直线AB 的斜率的2倍，求椭圆C 的方程. （2022·全国·高三专题练习）9．已知椭圆2222:1(0)x y M a b a b +=>>斜率为k 的直线l 与椭圆M 有两个不同的交点A 、B . （①）求椭圆M 的方程； （①）若1k =，求||AB 的最大值；（①）设()2,0P -，直线PA 与椭圆M 的另一个交点为C ，直线PB 与椭圆M 的另一个交点为D .若C 、D 和点71,44Q ⎛⎫- ⎪⎝⎭共线，求k .参考答案：1．5【分析】方法一：先根据条件得到A ,B 坐标间的关系，代入椭圆方程解得B 的纵坐标，即得B 的横坐标关于m 的函数关系，最后根据二次函数性质确定最值即可解出. 【详解】［方法一］：点差法＋二次函数性质设1122(,),(,)A x y B x y ，由2AP PB =得1212122,12(1),23,x x y y y y -=-=-∴-=- 因为A ,B 在椭圆上,所以22221212,,44x x y m y m +=+= 22224(23)4x y m ∴+-=，即22223()424x m y +-=，与22224x y m +=相减得：234m y +=，所以，()222211(109)54444x m m m =--+=--+≤，当且仅当5m =时取最等号，即5m =时，点B横坐标的绝对值最大. 故答案为：5．［方法二］：【通性通法】设线＋韦达定理由条件知直线AB 的斜率存在，设()()1122,,,A x y B x y ，直线AB 的方程为1(0)y kx k =+≠，联立221,,4y kx x y m =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得()22418440k x kx m +++-=，根据韦达定理得122841k x x k +=-+，由2AP PB =知122x x =-，代入上式解得22841kx k =+，所以228||821414||||k x k k k ==≤=++．此时214k =，又21222442841m x x x k -==-=-+，解得5m =． ［方法三］：直线的参数方程+基本不等式设直线AB 的参数方程为cos ,1sin x t y t αα=⎧⎨=+⎩其中t 为参数，α为直线AB 的倾斜角，将其代入椭圆方程中化简得()2213sin 8sin 440t t m αα+++-=，设点A ，B 对应的参数分别为12,t t ，则122t t =-．由韦达定理知1212228sin 44,13sin 13sin m t t t t ααα-+=-=++，解得228sin 13sin t αα=+，所以()222222222222222222cos 4sin 64sin cos cos 4sin 13sin 13sin cos 1616413sin 13sin 213sin x t αααααααααααα⎛⎫+ ⎪++===⨯⋅≤⨯= ⎪+++ ⎪⎪⎝⎭，此时22cos 4sin αα=，即222241cos ,sin ,555t αα===，代入12122442,13sin m t t t t α-=-=+，解得5m =．［方法四］：直接硬算求解+二次函数性质设()()1122,,,A x y B x y ，因为2AP PB =，所以()()1122,12,1x y x y --=-． 即122x x =- ①，1223y y += ①，又因为22221212,44x x y m y m +=+=，所以222144x y m +=．不妨设20y >，因此12y y ==①式可得(223=．化简整理得22224109(5)16xm m m =-+-=--+．由此可知，当5m =时，上式有最大值16，即点B 横坐标的绝对值有最大值2． 所以5m =．［方法五］：【最优解】仿射变换如图1，作如下仿射变换112x x y y =⎧⎨=⎩，则2211(1)x y m m +=>为一个圆．根据仿射变换的性质，点B 的横坐标的绝对值最大，等价于点1B 的横坐标的绝对值最大，则11cos 2||cos 2||sin cos B x PB POM PM POM OP POM POM =∠=∠=∠∠||sin2||OP POM OP =⋅∠≤．当π4POM ∠=时等号成立，根据||1OP =易得1OB =5m =． ［方法六］：中点弦性质的应用设()22,B x y ，由2AP PB =可知()22,232A x y --，则AB 中点223,22x y M -⎛⎫- ⎪⎝⎭．因为22AB CM b k k a ⋅=-，所以22223114y y x x --⋅=-，整理得()2222214x y +-=，由于22x ≤，则2max 2x =时，22y =，所以4454m =+=．【整体点评】方法一：由题意中点,A B 的坐标关系，以及点差法可求出点B 的横、纵坐标，从而可以根据二次函数的性质解出；方法二：常规设线，通过联立，根据韦达定理以及题目条件求出点B 的横坐标，然后利用基本不等式求出最值，由取等条件得解，是该题的通性通法；方法三：利用直线的参数方程与椭圆方程联立，根据参数的几何意义，解得点B 的横坐标，再利用基本不等式求出最值，由取等条件得解；方法四：利用题目条件硬算求出点B 的横坐标，再根据二次函数的性质解出；方法五：根据仿射变换，利用圆的几何性质结合平面几何知识转化，求出对应点的横坐标的绝对值最大，从而解出，计算难度小，是该题的最优解；方法六：利用中点弦的性质找出点B 的横、纵坐标关系，再根据关系式自身特征求出点B 的横坐标的绝对值的最大值，从而解出，计算量小，也是不错的方法． 2【分析】由题意，不妨设直线AB 过原点O ，则 //CD AB ，设CD 及中点的坐M 标，再利用点差法求出OM 和CD 斜率的关系，然后根据O ，M ，P 三点共线，求出a ，b 的关系即可. 【详解】如图所示：设直线AB 过原点O ，由题意得 //CD AB ， 设()()1122,,,C x y D x y ，CD 的中点为()00,M x y ，则012012y y y x x x +=+， 因为C ，D 在椭圆上，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得2201212221212012x y y x x b b x x a y y a y -+=-⋅=-⋅=--+， 所以20202OMy b k x a==， 因为O ，M ，P 三点共线， 所以OM OP bk k a==， 即222b b a a=，解得12b a =，所以c e a ===，【点睛】方法点睛：解决直线与曲线的位置关系的相关问题，往往先把直线方程与曲线方程联立，消元、化简，然后应用根与系数的关系建立方程，解决相关问题．涉及弦中点的问题常常用“点差法”解决，往往会更简单． 3．23【分析】利用点差法，设()11,A x y 、()22,B x y ，代入椭圆方程中，变形后作差，由2AF FB =可得1223x x c +=-，1220y y +=，从而可得2122a x x c-=，求出点A 的坐标代入椭圆方程中化简可求出离心率【详解】因为2AF FB =，设()11,A x y 、()22,B x y ，2211222222221444x y a b x y a b ⎧+=⋅⋅⋅⎪⎪⎨⎪+=⋅⋅⋅⎪⎩①② ①-①得：()()()()121212122222223x x x x y y y y a b +-+-+=-，1223x x c +=-，1220y y +=， 则2122a x x c-=，得222113322a a c x c c c ⎛⎫-=-= ⎪⎝⎭，①11y x c =+，①22132a c y c c ⎫-=+=⎪⎭，将A 代入椭圆方程 整理得：422241390a a c c -+=，所以2249a c =或22a c =（舍） 故23c e a ==． 4．(1)28y x =；2a = (2)12【分析】(1)由条件列方程求p ，由此可得抛物线方程及其焦点坐标，再由条件求a ，(2)联立方程组，利用设而不求法结合条件求出点N 的轨迹，列方程求b ，由此可得离心率.【详解】（1）抛物线21:2(0)C y px p =>的焦点F 到其准线的距离为4可得4p =抛物线1C 的方程：28y x =椭圆22222:1(0)x y C a b a b+=>>经过抛物线1C 的焦点(2,0)F椭圆2C 的右顶点为(2,0)F ， 所以2a =．（2）①当直线AB 斜率存在时，设直线AB 方程为()()()1122001(1),,,,,,-=-y k x A x y B x y N x y 由()222141x y b y kx k ⎧+=⎪⎨⎪=+-⎩得()2222248(1)4(1)40++-+--=b k x k k x k b ， ()222163210∆=+-+>b k k b22121222228(1)4(1)4,44---+=-=++k k k b x x x x b k b k①,==-AM mMB AN mNB①()()12012011,-=--=--x m x x x m x x ，即①10122011--=---x x xx x x ①()212120212244424-++-==+-+x x x x k b x x x k b ，①()22004144-+=-k x b x b又①()0011-=-y k x①()22004144-+=-y b x b ，即①2200440+-=b x y b①N 点轨迹为直线22440+-=b x y b①当直线AB 斜率不存在时，经检验点231,4⎛⎫⎪⎝⎭b N 在直线22440+-=b x y b 上． ①N 点轨迹方程为22440+-=b x y b||ON 最小值即点O 到直线22440+-=b x y b 的距离2125=，即23b = 椭圆2C的离心率为12c e a ==．【点睛】解决直线与椭圆的综合问题时，要注意：(1)注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、椭圆的条件；(2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题． 5．(1)22143x y +=(2)34-【分析】（1）根据题意得到c =1，再将点31,2⎛⎫⎪⎝⎭代入椭圆方程求解；（2）设()11,M x y ，()22,Q x y ，()33,N x y ，()44,P x y ，()1,1T ，由3MT TQ =得到12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，根据()11,M x y ，()22,Q x y 都在椭圆上，得到()()111122143x y -+-=，同理得()()331122143x y -+-=，两式相减求解. 【详解】（1）解：由题意可知，c =1，设椭圆方程为222211x y a a +=-，将点31,2⎛⎫ ⎪⎝⎭代入椭圆方程，得()()224410a a --=，解得214a =（舍），24a =， 所以椭圆方程为22143x y +=. （2）设()11,M x y ，()22,Q x y ，()33,N x y ，()44,P x y ，()1,1T ， 因为3MT TQ =，所以()()1212131131x x y y ⎧-=-⎪⎨-=-⎪⎩，即12124343x x y y -⎧=⎪⎪⎨-⎪=⎪⎩，又()11,M x y ，()22,Q x y 都在椭圆上，所以2211143x y +=，2211441114333x y --⎛⎫⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 即()()221122111431144943x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪-+-=⎪⎩①②，①-①得()()1111424424843x y -⋅+-⋅=， 即()()111122143x y -+-=……①， 又3NT TP =，同理得()()331122143x y -+-=……① ①-①得()()131311043x x y y -+-=， 所以1313134143MNy y k x x --===--.6．(1)2214x y -=；(2)λ=【分析】（1）由题设可得F、||MN =2a b =，由椭圆参数关系求a 、b ，即可写出双曲线方程.（2）由椭圆离心率可得a =，进而可得双曲线渐近线，假设1:b l y x x a ==，写出2l 、l 方程，联立求N 坐标，由向量的数量关系及向量坐标表示求A 坐标，根据A 在椭圆上求λ值.【详解】（1）由题设F ，且双曲线22222:1x y C a b-=的渐近线为b y x a =±，当l x ⊥轴时，||MN =OF ①MON 的面积为32，所以13||||22OF MN ⋅=，故2a b =，而2223a b c -==，可得224,1a b ==，所以双曲线2C 的方程为2214x y -=.（2）对于椭圆有c e a ==，而222a c b -=，则a =，不妨假设1:b l y x a =，则2:b l y x a =-=且l为)y x c =-，所以(2,)N c ，又(c,0)F ，()0FA AN λλ=>，令(,)A x y，则(,),(2,)FA x c y AN c x y =-=--，故(2))x c c x y y λλ-=-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，所以211x c y λλ+⎧=⎪+⎪⎨⎪=⎪⎩，而A 在椭圆22122:12x y C c c +=上，则2222222(21)2(21)412(1)(1)2(1)λλλλλλλ++++==+++，整理得261λ=，综上，可得λ=. 7．(1)2,Q ⎛± ⎝⎭ (2)()222210x y a b a b+=>> (3)证明见解析【分析】（1）根据数形结合直接可得点Q 坐标；（2）由题意列出点Q 轨迹的参数方程，进而可得点Q 轨迹的普通方程； （3）由题意写出直线1B E 和2B F 方程，进而可得交点K 的坐标，进而得证.【详解】（1）解：设(),Q x y，则由题知4cos 23sin 3M Nx x y y ππ==±=±=⎧⎪⎪⎨=±=⎪⎪⎩因此2,Q ⎛± ⎝⎭； （2）解：设MOD α∠=及(),Q x y ，则由题知cos sin x a y b αα=±⎧⎨=±⎩，则点Q 的轨迹C 为椭圆，方程为：()222210x y a b a b+=>>；（3）设(),K x y ，由知，()10,B b ，,04a E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，()20,B b -，3,4F a b ⎛⎫- ⎪⎝⎭，1:14B E x yl a b +=，即4bx ay ab +=， 2:34B F y b xl a b b +=-+，即44bx ay ab -=， 联列上述直线方程，解得8171517x a y b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩222222281511717x y a b 2+=+=，因此交点K 在椭圆C 上. 8．（1）22154x y +=；（2）22132x y +=. 【分析】（1）由AF FM =结合椭圆的对称性知AM x ⊥轴，从而得出点,,A B M 的坐标，再由2BF FN =得出点N 的坐标，代入椭圆方程可得答案.（2）设()00,A x y ，()00,B x y --，设FM AF λ=，FN BF μ=，表示出点M N ，的坐标，代入椭圆方程，结合点,A B 在椭圆上分别得到0x 与,λμ的式子，由直线MN 的斜率是直线AB 的斜率的2倍可得0x 关于,λμ的式子，从而可得答案.【详解】解：（1）由AF FM =，根据椭圆的对称性知AM x ⊥轴，AM 过右焦点()1,0F所以21,b A a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，21,b M a ⎛⎫- ⎪⎝⎭，21,b B a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则()21,2N N b BF FN x y a ⎛⎫ ⎪⎝⎭==-，，，由2BF FN =，可得()22212N Nx b y a⎧=-⎪⎨=⎪⎩解得22,2b N a ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入椭圆方程得42224114b a b a +⋅=，解得22164b a +=，所以221164a a -+=，即25a =，所以2224b a c =-=，故椭圆方程为22154x y +=； （2）设()00,A x y ，()00,B x y --，令()00=1,FM AF x y λλ=--，则()001,M x y λλλ+--，代入椭圆方程得()()22002211x y a b λλλ+--+=，即()()22222000221211x x y a bλλλλλ+-+++=，又2200221x y a b +=，所以()()20221211x a λλλλ+-++=，化简得到()()20121x a λλλ+-=- ① 同理：令FN BF μ=，同理解得()001,N x y μμμ++，代入椭圆方程同理可得()()20121x a μμμ++=- ①由题知()()()()000000211M N M N y y y y yx x x x x λμλλμμ---==⋅-+--++，解得()()02x λμλμ+=-，①①-①得()()()202x a λμλμμλ--+=-，将①式代入得()()()24a λμλμμλ---=-，故23a =，故椭圆方程为22132x y +=. 【点睛】关键点睛：本题考查向量在椭圆中的应用以及直线与椭圆的位置关系，解答本题的关键是设FM AF λ=，得出()001,M x y λλλ+--代入椭圆方程可得()()20121x a λλλ+-=-，同理设FN BF μ=，可得()()20121x a μμμ++=-，由直线MN 的斜率是直线AB 的斜率的2倍可得()()02x λμλμ+=-，联立可得解，属于难题. 9．（①）2213x y +=；（①；（①）1.【分析】（①）根据题干可得,,a b c 的方程组，求解22,a b 的值，代入可得椭圆方程；（①）设直线方程为y x m =+，联立，消y 整理得2246330x mx m ++-=，利用根与系数关系及弦长公式表示出||AB ，求其最值；（①）联立直线与椭圆方程，根据韦达定理写出两根关系，结合C D Q 、、三点共线，利用共线向量基本定理得出等量关系，可求斜率k . 【详解】（①）由题意得2c =，所以c =又c e a ==，所以a =2221b a c =-=， 所以椭圆M 的标准方程为2213x y +=； （①）设直线AB 的方程为y x m =+， 由2213y x m x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得2246330x mx m ++-=， 则()22236443348120m m m ∆=-⨯-=->，即24m <，设()11,A x y ，()22,B x y ，则1232m x x +=-，212334m x x -=，则12AB x -=， 易得当20m=时，max ||ABAB ；（①）设()11,A x y ，()22,B x y ，()33,C x y ，()44,D x y ，则221133x y += ①，222233x y += ①， 又()2,0P -，所以可设1112PA y k k x ==+，直线PA 的方程为()12y k x =+， 由()122213y k x x y ⎧=+⎪⎨+=⎪⎩消去y 可得()222211113121230k x k x k +++-=， 则2113211213k x x k +=-+，即2131211213k x x k =--+， 又1112y k x =+，代入①式可得13171247x x x --=+，所以13147y y x =+，所以11117124747x y C x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,，同理可得22227124747x y D x x ⎛⎫-- ⎪++⎝⎭,． 故3371,44QC x y ⎛⎫- ⎪⎭=+⎝，4471,44QD x y ⎛⎫- ⎪⎭=+⎝， 因为,,Q C D 三点共线，所以3443717104444x y x y ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+--+-= ⎪⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 将点,C D 的坐标代入化简可得12121y yx x -=-，即1k =．【点睛】本题主要考查椭圆与直线的位置关系，第一问只要找到,,a b c 三者之间的关系即可求解；第二问主要考查学生对于韦达定理及弦长公式的运用，可将弦长公式21AB x-变形为||AB =，再将根与系数关系代入求解；第三问考查椭圆与向量的综合知识，关键在于能够将三点共线转化为向量关系，再利用共线向量基本定理建立等量关系求解.。
高考数学复习基础知识专题讲解与练习27 圆锥曲线点差法(解析版)
高考数学复习基础知识专题讲解与练习专题27 圆锥曲线点差法一、单选题1．已知双曲线22142x y -=被直线截得的弦AB ，弦的中点为M （4，2），则直线AB 的斜率为（ ）A ．1BCD ．2【答案】A 【分析】设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，利用点差法计算可得． 【详解】解：设交点坐标分别为1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则128x x +=，124y y +=，2211142x y -=，2222142x y -= 两式相减可得22221212042x x y y ---=，即()()()()1212121242x x x x y y y y +-+-=，所以()()121212122248144AB x x y y k x x y y +-⨯====-+⨯，即直线AB 的斜率为1； 故选：A ．2．若点()1,1P 为圆2260x y y +-=的弦AB 的中点，则弦AB 所在直线的方程为（ ） A ．210x y --= B ．210x y -+= C ．230x y +-= D ．230x y +-=【答案】B 【分析】利用点差法求出直线AB 的斜率，进而得到方程，注意检验是否符合题意即可. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2211160x y y +-=，2222260x y y +-=，两式做差可得2222121212660x x y y y y -+--+=，即()()()()()121212121260x x x x y y y y y y +-++---=， 又因为()1,1P 是AB 的中点，则12122,2x x y y +=+=，因此()()()1212122260x x y y y y -+---=，即()()1212240x x y y ---=， 所以11212AB y y k x x -==-， 因此直线AB 的方程为()1112y x -=-，即210x y -+=， 经检验，符合题意，故弦AB 所在直线的方程为210x y -+=. 故选：B.3．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>的离心率为2，直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，则直线l 的斜率为（ ）A ．12 B ．14C ．1D ．4【答案】C 【分析】根据离心率可得a =，利用点差法即可求解. 【详解】由题意可得c e a ==a =．设()11,A x y ，()22,B x y ，则2211221x y a b +=，2222221x y a b+= 两式相减可得()()()()1212121222x x x x y y y y a b -+-++=．因为直线12y x =-与直线l 的交点恰好为线段AB 的中点，所以121212y y x x +=-+， 则直线l 的斜率21212212121(2)12y y x x b k x x a y y -+==-⋅=-⨯-=-+． 故选：C4．若直线l 与椭圆22162x y +=交于点A 、B ，线段AB 中点P 为（1，2），则直线l 的斜率为（ ） A ．16B ．16-C ．6D ．－6【答案】B 【分析】设A ，B 分别为1122(,),(,)A x y B x y ，代入椭圆方程，相减后利用中点坐标公式可得直线斜率． 【详解】设A ，B 分别为1122(,),(,)A x y B x y ，2211162x y ∴+=，2222162x y +=，相减得22222121062x x y y --+= ， 即()()()21212121()062x x x x y y y y -++-+=，又AB 中点是P （1，2），121224x x y y +=⎧∴⎨+=⎩ ，()()212124062x x y y -⋅-⋅∴+=，1+203k = 123k ∴=-， 16k =-，故选：B ．5．过点(2,1)M 的直线交抛物线24y x =于,A B 两点，当点M 恰好为AB 的中点时，直线AB 的方程为（ ） A ．250x y +-= B ．210x y --= C ．250x y +-= D ．230x y --=【答案】D 【分析】利用点差法求得直线AB 的斜率，进而可求出直线AB 的方程，注意检验判别式是否大于0. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，所以2211224,4y x y x ==，两式相减得，()()()1212124y y y y x x +-=-， 因为点(2,1)M 为AB 的中点，所以122y y +=，所以12122y y x x --=，故直线AB 的斜率为2，所以直线AB 的方程为()122y x -=-，即230x y --=，联立22304x y y x--=⎧⎨=⎩，所以241690x x -+=，()2164490∆=--⨯⨯>，故斜率为2符合题意，因此直线AB 的方程为230x y --=， 故选：D.6．以椭圆22143x y +=内一点()1,1P 为中点的弦所在的直线方程是（ ）A ．4370x y +-=B ．3470x y +-= C2(20y +-= D．2(20x +-=【答案】B 【分析】首先设直线与椭圆的两个交点()11,A x y ，()22,B x y ，再利用点差法求直线的斜率，最后求解直线方程. 【详解】设过点()1,1P 的直线交椭圆于()11,A x y ，()22,B x y 两点，则22112222143143x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()12121212043x x x x y y y y +-+-+=， 因为122x x +=，122y y +=，12x x ≠，两边同时除以12x x -得121211043y yx x -+⨯=-，得121234y y k x x -==--，所以直线方程为()3114y x -=--，即3470x y +-=. 故选：B7．已知椭圆22221x y a b +=(0a b >>)的右焦点为F ，过点F 的直线l 交椭圆于A ，B 两点，若AB 的中点为()1,1，则直线l 的斜率为（ ）A ．14- B ．34-C ．12-D ．1【答案】A 【分析】根据中点坐标公式、椭圆离心率公式，结合点差法进行求解即可. 【详解】解：设()11,A x y ，()22,B x y ，则AB 的中点坐标为1212,22x x y y ++⎛⎫⎪⎝⎭， 由题意可得122x x +=，122y y +=，将A ，B 的坐标的代入椭圆的方程：22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 作差可得22221212220x x y y a b --+=， 所以221212221212y y x x b b x x a y y a-+=-⋅=--+，又因为离心率c e a ==222c a b =-，所以22234a b a -=，所以2214b a -=-，即直线AB 的斜率为14-，故选：A.8．已知直线l 被双曲线C ：24x ﹣y 2=1所截得的弦的中点坐标为(1，2)，则直线l 的方程（ ） A ．x +4y ﹣9=0B ．x ﹣4y +7=0C ．x ﹣8y +15=0D ．x +8y ﹣17=0【答案】C 【分析】运用代入法、点差法求出直线l 的斜率，最后利用直线的点斜式方程进行求解即可. 【详解】解：设P ，Q 的坐标分别为(x 1，y 1)，(x 2，y 2)， ∵线段PQ 的中点为(1，2)，∴x 1+x 2=2，y 1+y 2=4，∵222212121,144x x y y -=-=， ∴()()12124x x x x -+﹣(y 1﹣y 2)(y 1+y 2)=0，整理得121218y y x x -=-，即直线l 的斜率为18，故直线l 的方程为y ﹣2=18(x ﹣1)， 即x ﹣8y +15=0， 故选：C.9．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为()3,0F ，过点F 的直线交椭圆于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1-，则椭圆E 的方程为（ ）A ．2214536x y +=B ．2213627x y +=C ．2212718x y +=D ．221189x y +=【答案】D 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，可得122x x +=，122y y +=-，将,A B 两点的坐标分别代入椭圆方程，两式相减可求出AB k =1212y y x x --=212212()()b x x a y y +-+=22b a ，进而可求出,a b 的值. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则122x x +=，122y y +=-，则22222211222211x y a x y a b b ⎧+=⎪+⎨=⎪⎪⎪⎩， 两式相减得：1212121222()()()()0x x x x y y y y a b +-+-+=，∴AB k =1212y y x x --=22122212()2()2b x x b a y y a +-=-⋅+-=22b a ， 又AB k =0131+-=12，∴22ba12=， 联立22222312c ba c ab =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=-⎩，得22189a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩.∴椭圆方程为221189x y +=.故选：D ．10．已知椭圆()222210x y a b a b+=>>，点F 为右焦点，B 为上顶点，平行于FB 的直线l 交椭圆于M ，N 两点且线段MN 的中点为11,24Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，则椭圆的离心率为（ ）AB ．12C ．14D【答案】A 【分析】求得直线l 的斜率，然后使用点差法进行计算，最后根据离心率的公式计算即可. 【详解】设()()1122,,,M x y N x y ，直线l 的斜率为k则()()()()2211221212121222222222101x y x x x x y y y y a b a b x y a b ⎧+=⎪-+-+⎪⇒+=⎨⎪+=⎪⎩ 所以2121221212y y y y b x x x x a -+⋅=--+，由线段MN 的中点为11,24Q ⎛⎫-- ⎪⎝⎭所以121211,2x x y y +=-+=-所以222k b a =-，又b k c =-，所以222b b c a=，又222a b c =+所以b c =，∴2a e =⇒=， 故选：A.11．在抛物线28y x =中，以()1,1-为中点的弦所在直线的方程是（ ） A ．430x y --= B ．430x y +-= C ．430x y +-= D ．430x y ++=【答案】C 【分析】先设弦的两端点的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，代入抛物线方程，两式作差，求出弦所在直线的斜率，进而可求出直线方程. 【详解】设以()1,1-为中点的弦的两端点的坐标分别为()11,A x y ，()22,B x y ，由题意可得，21122288y x y x ⎧=⎨=⎩，两式作差可得，22121288y y x x -=-，所以1212128842AB y y k x x y y -====--+-因此所求直线的方程为()()141y x --=--，整理得430x y +-=. 故选：C.12．已知斜率为1k =的直线与双曲线()222210,0x y a b a b-=>>交于A ，B 两点，若A ，B 的中点为()1,3M ，则双曲线的渐近线方程为（ ） A．0x ±= B0y ±= C ．20x y ±= D ．20x y ±=【答案】B【分析】利用点差法，设()()1122,,,A x y B x y ，代入双曲线方程后作差，得12121222120x x y y y y a b x x ++--⋅=-，利用直线的斜率和线段AB 的中点坐标求得ba的值. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，22112222222211x y a b x y a b ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=⎪⎩ ，两式相减得22221212220x x y y a b ---=， 即()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+--=，两边同时除以12x x -得12121222120x x y y y y a b x x ++--⋅=-，由条件可知122x x +=，126y y +=，12121y y x x -=-， 22260a b ∴-=，解得：223b ba a=⇒=所以双曲线的渐近线方程是y =0y ±=. 故选：B13．直线:20l x y -=经过椭圆2222+1(0)x y a b a b=>>的左焦点F ，且与椭圆交于,A B 两点，若M 为线段AB 中点，||||MF OM =，则椭圆的标准方程为（ ）A ．22+163x y =B ．22+185x y =C ．2214x y += D ．22+1129x y =【答案】C 【分析】由已知求得3c =，得到M的横坐标为进而求得M 的纵坐标，然后得出OM 的斜率，由22OM l b k k a =-,得到2214b a =，即可判定结论.【详解】易得直线l 的与x轴的交点横坐标为∴椭圆的半焦距3c =,又∵||||MF OM =，∴M的横坐标为代入直线方程得到M∴OM 的斜率01201212OM y y yk x x x +=-==+,由于直线l 的斜率121212l y y k x x -==-, 2212121222121212OM l y y y y y y k k x x x x x x +--=⨯=+--, 2211221x y a b +=,222222 1x y a b +=,∴2221222212y y b x x a -=--, ∴2214OM l b k k a =-=-,∴2214b a =,逐项检验，即可判定只有C 符合， 故选：C .14．已知曲线2244x y -=，过点(3,1)A 且被点A 平分的弦MN 所在的直线方程为（ ） A ．3450x y --= B ．3450x y +-= C ．4350x y --= D ．4350x y +-=【答案】A 【分析】设()()1122,,,M x y N x y ，根据点差法求()1212344MN x x k y y +==+，进而求出方程并检验即可.【详解】解：设()()1122,,,M x y N x y ，故221122224444x y x y ⎧-=⎨-=⎩， 两式做差得：()()()()121212124x x x x y y y y -+=-+， 所以()111212124MN y y x xk x x y y -+==-+， 又因为12126,2x x y y +=+=， 所以()11121212344MN y y x x k x x y y -+===-+， 故弦MN 所在的直线方程为()3413y x -=-，即：3450x y --=.联立方程22345044x y x y --=⎧⎨-=⎩得：22040110y y -+=， 16008807200∆=-=>，故满足条件.故选：A.15．过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：22221x y a b +=(0a b >>)相交于A ､B 两点，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率等于（ ） ABC ．12D ．13【答案】A 【分析】设1122(,),(,)A x y B x y ，由点差法运算可得2212b a =，再由离心率公式即可得解.【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，则12122,2x x y y +=+=， 121212AB y yk x x -==--，所以22112222222211x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差得1212121222()()()()0x x x x y y y y a b -+-++=， 所以1212222()2()0x x y y a b --+=，即21221212y y b a x x -=-=-，所以该椭圆的离心率c e a ===故选：A.16．过椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的右焦点(2,0)F 的直线与C 交于A ，B 两点，若线段AB 的中点M 的坐标为95,77⎛⎫- ⎪⎝⎭，则C 的方程为（ ）A ．22195x y +=B ．2215x y +=C ．22162x y +=D ．221106x y +=【答案】A 【分析】设,A B 以及AB 中点M 坐标，利用“点差法”得到,AB MO k k 之间的关系，从而得到22,a b 之间的关系，结合()2,0F 即可求解出椭圆的方程. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则12x x ≠AB 的中点95,77M ⎛⎫- ⎪⎝⎭，所以5071927AB MFk k ⎛⎫-- ⎪⎝⎭===-， 又2222221122222222b x a y a b b x a y a b⎧+=⎨+=⎩，所以()()2222221212b x x a y y -=--， 即2121221212y y y y b x x x x a-+⋅=--+， 而12121ABy yk x x -==-，121252579927y y x x ⎛⎫⨯- ⎪+⎝⎭==-+⨯， 所以2255199b a =⨯=，又2c =，所以22222254499c a b a a a =-=-==，所以2295a b ==，椭圆方程为：22195x y +=.故选：A.17．已知斜率为1k ()10k ≠的直线l 与椭圆2214y x +=交于A ，B 两点，线段AB 的中点为C ，直线OC （O 为坐标原点）的斜率为2k ，则12k k ⋅=（ ） A ．14- B ．4- C ．12-D ．2-【答案】B 【分析】首先设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ，将A ，B 代入椭圆方程再相减得到()()2102011202y y y x x x --+=，从而得到121202k k +⋅=，即可得到答案.【详解】设()11,A x y ，()22,B x y ，AB 的中点()00,C x y ， 则1202x x x +=，1202y y y +=.因为A ，B 两点在椭圆上，所以221114y x +=，222214y x +=. 两式相减得：()22222112104x y x y -+=-， ()()()()11112222104x x y y x x y y +-+-+=，()()0122011202x y x y y x --+=，()()2102011202y y y x x x --+=， 即121202k k +⋅=，解得124k k ⋅=-. 故选：B18．过点()1,1M 作斜率为12-的直线与椭圆C ：()222210x y a b a b+=>>相交于A ，B ，若M 是线段AB 的中点，则椭圆C 的离心率为（ ） ABC ．12D ．13【答案】A 【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，由条件可得12122,2x x y y +=+=，121212y y x x -=--，由2211221x y a b +=，2222221x y a b +=得到()()()()1212121222x x x x y y y y ab+-+-+=，然后得出222a b =即可.【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，由条件可得12122,2x x y y +=+=，121212y y x x -=-- 因为2211221x y a b +=，2222221x y a b+=所以()()()()12121212220x x x x y y y y a b+-+-+=将12122,2x x y y +=+=，121212y y x x -=--代入可得222a b =，所以c e a ==故选：A第II 卷（非选择题）二、填空题19．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>的右焦点为()4,0F ，过点F 的直线交椭圆E 于,A B 两点，若AB 的中点坐标为()1,1M -，则椭圆E 的方程为___________．【答案】221248x y +=【分析】设()11,A x y ，()22,B x y ，采用“点差法”，得22ABb k a=，再根据直线过点()4,0F ，和AB 的中点坐标()1,1-，得2213b a =，结合椭圆中a ，b ，c 的关系，可求得28b =，224a =，即可得E 的方程. 【详解】由题意，设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程22221x y a b +=，可得2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩ 两式相减可22221212220x x y y a b --+=，变形可得()()2121221212AB x x b y y k x x y y a -+-==-+﹐又AB 的中点M 为()1,1-，所以12122,2x x y y +=+=-，代入上式可得，222222AB b b k a a -==-，又1,(4,0),3AB MF MFk k F k ==，所以22221,33b b a a ==，又2222,16a b c c =+=，解得2222,16a b c c =+=，所以椭圆E 的方程为221248x y +=．故答案为：221248x y +=20．椭圆()222210x y a b a b +=>>20x y b -+=与椭圆交于P ，Q 两点，且PQ中点为E ，O 为原点，则直线OE 的斜率是_______． 【答案】43- 【分析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，利用点差法即可求出直线OE 的斜率； 【详解】解：因为椭圆()222210x y a b a b +=>>c e a ==2223b a =设()11,P x y ，()22,Q x y ，所以121212PQy y k x x -==-，1212,22x x y y E ++⎛⎫ ⎪⎝⎭，因为P ，Q 在椭圆上，所以22112222222211x y a b x y ab ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式作差得22221212220x x y y a b --+=，即2221222212y y b x x a -=--，即()()()()1212121223y y y y x x x x -+-=-+，即23PQ OE k k ⋅=-，所以43OE k =- 故答案为：43-21．已知AB 为抛物线24x y =的一条长度为8的弦，当弦AB 的中点离x 轴最近时，直线AB 的斜率为___________. 【答案】±1 【分析】利用抛物线的定义，找到直线AB 中点M 的纵坐标，以及最短距离时点F 也在直线AB 上，再次利用直线的两点表示出斜率，即可解出M 的坐标，求出AB 的斜率． 【详解】由题意得抛物线的准线方程为l ：1y =-，过A 作1AA l ⊥于1A ，过B 作1BB l ⊥于1B ，设弦AB 的中点为M ，过M 作1MMl⊥于1M ，则1112MM AA BB =+，设抛物线的焦点为F ，则AF BF AB +≥，即118AA BB AF BF +=+≥(当且仅当A ，B ，F 三点共线时等号成立)，所以11128AA BB MM +=≥，解得14MM ≥， 即弦AB 的中点到x 轴的最短距离为：413-=，所以点M 的纵坐标为()0,3x ，()11,A x y ，()22,B x y ，()0,1F ，2114x y =，2224x y =，∴所以直线AB 的斜率0121212031420x y yx x k x x x -+-====--， ∴02x =±，此时1k =±，当弦AB 的中点离x 轴最近时，直线AB 的斜率为±1， 故答案为：±1.22．直线m 与椭圆2214xy +=交于1P ，2P ，线段12PP 的中点为P ，设直线m 的斜率为()110k k ≠，直线OP 的斜率为2k ，则12k k =______． 【答案】14- 【分析】设点，代入椭圆的方程，利用点差法，结合线段12PP 的中点P 的坐标，即可得到答案. 【详解】设111222(,),(,)P x y P x y ，中点00(,)P x y ，则012121212012,y y y y yk k x x x x x -+===-+，把点111222(,),(,)P x y P x y 代入椭圆的方程2214x y +=， 整理得222212121,144x x y y +=+=，两式相减得22221212()04x x y y -+-=， 整理得2212121222121212()()1()()4y y y y y y x x x x x x --+==---+，即1214k k =-.23．已知椭圆2222:1(0)x y E a b a b+=>>，过点（4，0）的直线交椭圆E 于,A B 两点.若AB 中点坐标为（2，﹣1），则椭圆E 的离心率为_______【分析】设()()1122,,,A x y B x y ，代入椭圆方程，两式作差，利用离心率公式即可求解. 【详解】设()()1122,,,A x y B x y ，则2211221x y a b +=，① 2222221x y a b +=，② ①-②可得()()()()1212121222x x x x y y y y a b +-+-+=，因为AB 中点坐标为（2，﹣1），则124x x +=，122y y +=-，所以()2122120121422y y b x x a ---===--， 所以224a b =，因为222b a c =-， 所以2234a c =，所以c e a ==24．设()11,A x y 、()22,B x y 是抛物线()2:20C x py p =>上不同的两点，线段AB 的垂直平分线为y x b =+，若1212x x +=-，则p =______. 【答案】14【分析】根据线段AB 的垂直平分线方程可得出直线AB 的斜率，由此利用点差法可得出关于p 的等式，进而可求得实数p 的值. 【详解】由题知，2112x py =，2222x py =，两式相减得()()()1212122x x x x p y y -+=-，所以1212122AB y y x x k x x p -+==-，由题知1AB k =-，所以12122x x p +=-=-，所以14p =.故答案为：14.25．已知直线3y x m =-与椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>相交于P ，Q 两点，若PQ 中点的横坐标恰好为2m ，则椭圆C 的离心率为______.【答案】2【分析】设()11,P x y ，()22,Q x y ，代入椭圆方程得2211221x y a b +=，2222221x ya b +=，两式作差，利用中点坐标和斜率公式可得2212b a =，再根据离心率公式可得结果.【详解】设()11,P x y ，()22,Q x y ，代入椭圆方程得2211221x y a b +=，2222221x ya b +=， 两式作差得22221212220x x y y a b --+=，整理得122122121222y y y y b x x x x a +-⋅=-+-， 因为1222x x m +=，所以12123322y y x m x mm +-+-==-， 又因为12121PQ y y k x x -==-，所以2212m b m a-⨯=-，所以2212b a =，所以c e a ==2212c a=.26．在直角坐标系xOy 中，AB 是圆O 的弦，M 是AB 中点，若AB ，OM 都存在非零斜率AB k ，OM k ，则1AB OMk k ⋅=-.类比于圆，在直角坐标系xOy 中，AB 是椭圆22221(0)x y a b a b+=>>的弦，M 是AB 中点，若AB ，OM 都存在非零斜率AB k ，OM k ，则AB OM k k ⋅=________.【答案】22b a-【分析】利用椭圆中的点差法进行求解即可，也就是设出椭圆弦的两个端点的坐标，代入椭圆标准方程中，两个方程相减，根据斜率公式和中点坐标公式进行求解即可. 【详解】设1122(,),(,)A x y B x y ，所以有2121()()AB y y k x x -=-.由M 是AB 中点，所以点M 的横坐标为：122x x +，纵坐标为：122y y +，因此直线OM 的斜率为：1212OM y y k x x +=+； 1122(,),(,)A x y B x y 是椭圆上的点，因此有2222112222221(1),1(2),(2)(1)x y x y a b a b+=+=-得： 22222121212121212222()()()()0x x y y x x x x y y y y a b a b +=⇒=----+-+2212122121()()()()y y y y b x x x x a -+-+∴=-，因此有AB OMk k ⋅=22b a-. 故答案为：22b a-三、解答题27．已知椭圆C ：2222 1 (0)x y a b a b+=>>过点(2,，长轴长为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）过点(1,1)P 作直线l 与椭圆C 交于A ，B 两点，当P 为线段AB 中点时，求直线l 的方程. 【答案】（1）22184x y +=（2）230x y +-= 【分析】（1）椭圆基本量计算. （2）点差法求斜率即可. （1）因为椭圆C 的长轴长为2a =，得a =又椭圆C 过点(2,， 所以24218b+=，得24b =. 所以椭圆C 的标准方程为:22184x y +=.（2）直线l 的斜率不存在时，过点(1,1)P ，直线l 的方程为：1x = 此时线段AB 中点为()1,0，不合题意.所以直线l 的斜率必存在，设其为k ，()11,A x y ，()22,B x y ，因为P 为AB 的中点，则12121212x x y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩，所以121222x x y y +=⎧⎨+=⎩，将A 、B 坐标代入椭圆C 的标准方程为22184x y +=得，22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 两式相减得：22221212084x x y y --+=，整理得：12121212()()()()084x x x x y y y y -+-++=， 所以12121212()()()()84x x x x y y y y -+-+=-，1212()2()284x x y y -⨯-⨯=-，所以12124182y y k x x --===--. 所以直线AB 的方程为11(1)2y x -=--，即230x y +-=.因为点P 在椭圆内部，所以直线l 必与椭圆相交于两点，此直线即为所求.28．已知椭圆C 的焦点为()11,0F -，()21,0F ，过2F 的直线与椭圆C 交于A ，B 两点.若1F AB的周长为（1）求椭圆C 的方程； （2）椭圆C中以(M 为中点的弦所在直线方程. 【答案】（1）22154x y +=；（2）20x +=.【分析】（1）由已知得4a =a ，又1c =，可得2224b a c =-=，进而可得答案． （2）根据题意得中点弦的斜率存在，1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ，则2211154x y +=，2222154x y +=，两式作差，化简可得斜率，即可得出答案． 【详解】解：（1）由已知得4a =a = 又由1c =，可得2224b ac =-=，所以椭圆方程为22154x y +=．（2）根据题意得中点弦的斜率存在，且M 在椭圆内， 设1(A x ，1)y ，2(B x ，2)y ， 所以2211154x y +=，2222154x y +=， 两式作差，得12121212()()()()045x x x x y y y y +-+-+=， 所以121212121105242x x y y y y x x ++-⨯+⨯⨯=-，所以11(1054k ⨯+⨯⨯=，所以k =所以中点弦的方程为1y x -，所求的直线方程20x +．29．设椭圆()2222:10x y C a b a b+=>>过点()0,4，离心率为35（1）求C 的方程；（2）求过点()3,1M 且以M 点为中点的弦的方程．【答案】（1）2212516x y +=；（2）481692525y x =-+. 【分析】（1）利用待定系数法求出b =4，再根据35c e a ==，代入即可求解. （2）利用点差法可求得直线的斜率，根据点斜式方程即可得出结果. 【详解】（1）将()0,4代入C 的方程得2161b =， ∴b =4，又35c e a == 得222925a b a -=，即2169125a -=，∴5a =，∴C 的方程为2212516x y +=．（2）设直线与C 的交点为A ()11,x y ，B ()22,x y ，代入椭圆方程得221122221251612516x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，作差化简可得2222121202516x x y y --+=，即()()()()12121212++02516x x x x y y y y --+=，又1212+32+12x x y y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩， 则()()()()12121212+102516+y y y y x x x x -+=-，4825AB k ∴=-∴以M 点为中点的弦的方程: 481(3)25y x -=--,即：481692525y x =-+.30．已知椭圆()222:124x y C a a +=>的离心率为2，点,A B 是椭圆C 上的两个点，点()2,1P 是线段AB 的中点.（1）求椭圆C 的标准方程； （2）求AB .【答案】（1）22184x y +=；（2. 【分析】 （1）由题意得ca=，根据a ，b ，c 的关系，可求得a 的值，即可得答案； （2）解法一：由题意得AB 的斜率存在，设为k ，可得直线AB 的方程，与椭圆联立，可得关于x 的一元二次方程，根据韦达定理，可得1212,x x x x +的表达式，根据AB 的中点为()2,1P ，可得k 的值，代入弦长公式，即可得答案；解法二：利用点差法，可求得直线AB 的斜率k ，进而可得直线AB 的方程，与椭圆联立，可得关于x 的一元二次方程，根据韦达定理，可得1212,x x x x +的值，代入弦长公式，即可得答案. 【详解】（1）由条件知，c a =，22224c a b a =-=-，=，解得a = 所以椭圆的标准方程为22184x y +=；（2）解法一：当直线AB 斜率不存在时，线段AB 的中点在x 轴上，不符合题意， 故可设直线AB 的方程为()21y k x =-+，并设()()1122,,,A x y B x y ，联立方程()222812x y y kx k ⎧+=⎪⎨=+-⎪⎩消去y ，得()()()2222141224430k x k k x k k ++-+--=，()()21212222443421,2121k k k k x x x x k k ---+==++， 由点()2,1P 是线段AB 的中点知，1222x x+=，所以()2421421k k k -=+，解得1k =-，代入得1212104,3x x x x +==，所以AB =解法二：当直线AB 斜率不存在时，线段AB 的中点在x 轴上，不符合题意， 设()()1122,,,A x y B x y ，其中12x x ≠，代入椭圆方程，22112222184184x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，两式相减得()()()()12121212084x x x x y y y y -+-++=， 由点()2,1P 是线段AB 的中点知，12122,122x x y y ++==， 直线AB 斜率为()()12121212418x x y y k x x y y +-==-=--+， 直线AB 方程为3y x =-+，联立方程22283x y y x ⎧+=⎨=-+⎩，消去y ，得2312100x x -+=，所以1212104,3x x x x +==，所以()212AB x x =+=。
专题12定比点差法及其应用微点2定比点差法综合应用(一)——解决定点、定值、定直线问题
专题12 定比点差法及其应用微点2 定比点差法综合应用（一）——解决定点、定值、定直线问题(1)求椭圆Γ的标准方程；(2)当11k =时，求AOB S 的值；(3)设()1,0R ，延长AR ，BR 分别与椭圆交于12k k 为定值．2．过()3,0R 的直线与椭圆22162x y +=交于P ( 3．已知椭圆22143x y +=，点()4,0P ，过点P 称点．求证：直线AC 恒过定点．4．已知离心率为22的椭圆222:x y C a b +()4,2P 且PF DF =.（1）求椭圆C 的方程；（2020全国一卷理）7．已知A 、B 分别为椭圆E ：22x a8AG GB ⋅=，P 为直线x =6上的动点，D ．（1）求E 的方程；（2022全国·高三专题练习）9．已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的焦距为（1）求椭圆C 的标准方程；（2）直线l 与x 轴正半轴和y 轴分别交于点重合且满足,PM MQ PN NQ λμ==．若λ（1）求a ，b 的值；（2）已知A ､B 是椭圆C 上关于原点对称的两点，BF 并分别延长交椭圆C 于参考答案：联立l 与椭圆C 的方程得：()()2221812k x k k x ++-+则有()12244221k k x x k -+=+，2122323221k kx x k -=+，又因为直线DF 为2y x =-+，联立AB 与DF 可得Q x 由1PA PB λ= ，即()()111224,24,2x y x y λ--=--，可得同理可得1224141k x k kx k λ-+=-+，由椭圆方程222:1(1)x E y a a+=>可得：∴(),1AG a = ，(),1GB a =-∴218AG GB a ⋅=-=，∴29a =∴椭圆方程为：221x y +=由题，【点睛】关键点睛:本题第三问的关键是设交点T 111111313y kx n k m x x x +++===+即可证明交点在定直线上.。
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1 2 得：
b 2 x x2 b2 x x2 y1 y2 y y2 ， k AB 1 . 2 1 2 1 x1 x2 x1 x2 a y1 y2 a y1 y2
又 kOP 6
y1 y2 b2 1 b2 ， k AB 2 ， k AB kOP 2 （定值）. x1 x2 a a kOP
又
a2 2 2 2 （4）而 a b c ， （5） 1 ， a 2 c ， c
2
由（3） ， （4） ， （5）可得 a
x2 y 2 1 2 1 1. , b ， 所求椭圆方程为 1 1 2 4 2 4
3
求直线的斜率 例5已知椭圆
x2 y 2 9 1 上 不 同 的 三 点 A x1 , y1 , B 4, , C x2 , y2 与 焦 点 25 9 5
圆锥曲线专题
“点差法”应用面面观
处理直线与圆锥曲线相交形成的弦中点的有关问题时，常用到“点差法”，以设而不求，优化 运算。 1 求弦中点的轨迹方程 例 1 已知椭圆 解
x2 y 2 1 ，求斜率为 2 的平行弦中点的轨迹方程. 2
设弦的两个端点分别为 P x1 , y1 , Q x2 , y2 ， PQ 的中点为 M x, y .
y5 2 x 2 ，即 y 2 x2 7 . x 1
2
弦中点轨迹在已知抛物线内， 所求弦中点的轨迹方程为 y 2 x 7 （在已知抛物 线内）.
2
求曲线方程 例 3 已知 ABC 的三个顶点都在抛物线 y 32 x 上，其中 A 2,8 ，且 ABC 的重心
解得
x0 11 ， M 11, 4 . y0 4
设 B x1 , y1 , C x2 , y2 ，则 y1 y2 8 . 又 y1 32 x1 ， （1） y2 32 x2 ， （2 ）
2 2
1 2 得： y12 y22 32 x1 x2 ， kBC
PQ 的斜率 k
y1 y2 2 x1 x2
又直线 l 过 P, Q, B 三点， l 的方程为 y 1 2 x 1 ，即 y 2 x 1 . 但若将 y 2 x 1 代入 x
2
1 2 而此方程无实数解， y 1 整理得方程 2 x2 4 x 3 0 ， 2
1 2 得：
x12 x2 2 y 2 y2 2 ， 1 25 9
9 x1 x2 y1 y2 9 8 36 . x1 x2 25 y1 y2 25 2 y0 25 y0
直线 DT 的斜率 kDT
25 y0 25 y0 ， 直线 DT 的方程为 y y0 x 4 . 36 36
y1 y2 2 ， x 4 y 0 . x1 x2
弦中点轨迹在已知椭圆内， . 所求弦中点的轨迹方程为 x 4 y 0（在已知椭圆内） 例2 直线 l : ax y a 5 0 （ a 是参数）与抛物线 f : y x 1 的相交弦
9 0 64 5 64 5 , 0 ， 直线 BT 的斜率 k 令 y 0 ，得 x ，即 T . 64 4 25 25 4 25
4 确定参数的范围 例 6 若抛物线 C : y x 上存在不同的两点关于直线 l : y m x 3 对称，求实数
又 y1 x1 1 ， （1） y2 x2 1 ， （2 ）
2 2
y5 . x 1
1 2 得： y1 y2 x1 1
k AB
于是
2
x2 1 x1 x2 x1 x2 2 ，
2
y1 y2 x1 x2 2 . x1 x2
所以满足题设的直线不存在. 7 其它。看上去不是中点弦问题，但与之有关，也可应用。
2
例 9，过抛物线 y 2 px( p 0) 上一定点 P（ x0 , y0 ） （ y0 0 ） ，作两条直线分别交抛物 线于 A（ x1 , y1 ） ，B （ x 2 , y 2 ） ． （1）求该抛物线上纵坐标为
则
x12 x2 2 （1） 2 y2 1 ， （2） y12 1 ， 2 2
x12 x2 2 x x2 y1 y2 y12 y2 2 0 ， 1 y1 y2 0 . 1 2 得： 2 2 x1 x2
又 x1 x2 2 x, y1 y2 2 y,
中点， O 为椭圆的中心.求证：直线 AB 和直线 OP 的斜率之积是定值. 证明 设 A x1 , y1 , B x2 , y2 且 x1 x2 ，
则
x12 y12 x2 2 y2 2 ， （ 1 ） （2） 1 2 1， a 2 b2 a2 b x12 x2 2 y12 y2 2 ， a2 b2
2
5 m M y0 x0 ，即 ，解得 10 m 10 . 2 2
2
2
综上可知，所求实数 m 的取值范围是 10, 10 . 5 证明定值问题 例 7 已知 AB 是椭圆
x2 y 2 1 a b 0 不垂直于 x 轴的任意一条弦，P 是 AB 的 a 2 b2
处理存在性问题 例8 已知双曲线 x
2
1 2 y 1 ，过 B 1 ,1 能否作直线 l ，使 l 与双曲线交于 P ，Q 2
两点，且 B 是线段 PQ 的中点，这样的直线如果存在，求出它的方程；如果不存在，说明理 由. 解 假设这样的直线存在，设 P, Q 的坐标分别为 x1 , y1 , x2 , y2 ，则 x1 x2 2 ，
直线交椭圆于 A、B 两点，若 AB 的中点为 C
1 1 , ，求椭圆方程. 2 4
x2 y2 1 ，且 12 12 1 ， （1） 2 a b
解
设 A x1, y1 、B x2 , y2 ，则 x1 x2 1, y1 y 2
x2 2 y2 2 （2） 2 1， a2 b
y1 y2 32 32 4 . x1 x2 y1 y2 8
BC 所在直线方程为 y 4 4 x 11 ，即 4 x y 40 0 .
例 4 已知椭圆
x2 y 2 2 1 a b 0 的一条准线方程是 x 1，有一条倾斜角为 的 2 4 a b
2
是 AB ，则弦 AB 的中点轨迹方程是 解
.
设 A x1, y1 、B x2 , y2 ， AB 中点 M x, y ，则 x1 x2 2 x .
l : a x 1 y 5 0 ， l 过定点 N 1, 5 ， k AB kMN
b2 x1 x2 y1 y2 x12 x2 2 y12 y2 2 b2 1 2 2 ， 1 2 得： 2 2 ， x1 x2 a y1 y2 a 1 a b 2
1 k AB y1 y2 2b2 2 ， a 2 2b2 ， （3 ） x1 x2 a
（2）当 PA 与 PB 的斜率存在且倾斜角互补时，求 y1 y 2 的值，并证明直线 AB 的斜 y0 率是非零常数. 解答从略
p 的焦点，求直线 BC 的方程.
解 由已知抛物线方程得 G 8, 0 .设 BC 的中点为 M x0 , y0 ，则 A、G、M 三点共
2 2 x0 8 1 2 线，且 AG 2 GM ， G 分 AM 所成比为 2 ，于是 ， 8 2 y 0 0 1 2
（2）若线段 AC 的垂直平分线与 x 轴 F 4, 0 的距离成等差数列.（1）求证： x1 x2 8 ； 的交点为 T ，求直线 BT 的斜率 k . （1）证 略. （2）解
x1 x2 8 ， 设线段 AC 的中点为 D 4, y0 .
x12 y12 x2 2 y2 2 又 A、C 在椭圆上， （1） （2） 1， 1， 25 9 25 9
1 2 得： y12 y22 x1 x2 ， kPQ
又 k PQ
y1 y2 1 1 ， x1 x2 y1 y2 2 y0
1 m ， y0 . m 2 5 . 2
中点 M x0 , y0 在直线 l : y m x 3 上， y0 m x0 3 ，于是 x0 中点在抛物线 y x 区域内
y1 y2 2 ，又 x12
1 2 1 2 2 （1） x2 y2 1 ， （2 ） y1 1 ， 2 2 1 1 2 得： x1 x2 x1 x2 y1 y2 y1 y2 0 ， 2
2 x1 x2 y1 y2 0
2
m 的取值范围.
解 当 m 0 时，显然满足.
当 m 0 时 ， 设 抛 物 线 C 上 关 于 直 线 l : y m x 3 对 称 的 两 点 分 别 为
2 （1） y2 x2 ， （2） P x1 , y1 、Q x2 , y2 ，且 PQ 的中点为 M x0 , y0 ，则 y12 x1 ，