正方形环域Laplace方程的简明数值解法
拉普拉斯方程积分解
拉普拉斯方程积分解一、引言拉普拉斯方程是数学中的一个重要的偏微分方程，其在物理学、工程学、计算机科学等领域有广泛的应用。
由于拉普拉斯方程的解析解往往难以求得，因此寻找适当的数值方法求解成为了一项重要任务。
本文将介绍拉普拉斯方程的积分解法。
二、拉普拉斯方程1. 定义在二维平面上，设函数u(x,y)满足以下条件：∂²u/∂x² + ∂²u/∂y² = 0则称u(x,y)满足二维平面上的拉普拉斯方程。
2. 物理意义拉普拉斯方程在物理学中有广泛应用，如电势场、热传导等问题都可以用它来描述。
例如，在电势场问题中，电荷在空间中产生电场，而电场又可以表示为电势函数的梯度。
因此，求解电势函数就是求解梯度场问题，而梯度场问题就可以转化为求解拉普拉斯方程。
三、积分解法1. 基本思想积分解法是一种常见的数值方法，其基本思想是将求解的问题转化为积分问题，然后通过数值积分的方法来求解。
对于拉普拉斯方程，我们可以将其转化为一个积分形式，然后通过数值积分的方法来求解。
2. 积分形式设u(x,y)是二维平面上的拉普拉斯方程的解，则有：u(x,y) = 1/2π ∫∫ D G(x,y;x',y')f(x',y') dxdy其中G(x,y;x',y')是二维平面上的格林函数，D是包含所有点的区域，f(x',y')是边界条件。
3. 格林函数格林函数是一个非常重要的概念，在偏微分方程中有广泛应用。
对于拉普拉斯方程而言，格林函数G(x,y;x',y')可以表示为：G(x,y;x',y') = -1/2π ln(r)其中r = ((x-x')² + (y-y')²)¹/²。
4. 数值积分在实际计算中，我们需要对积分式进行数值积分。
常见的数值积分方法包括梯形法、辛普森法等。
拉普拉斯方程的数值解
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金文璨 2007201230
DO i=8,20 DO j=15,20 u(i,j)=0.25*(u(i,j-1)+u(i,j+1)+u(i-1,j)+u(i+1,j)) ENDDO ENDDO DO i=15,20 DO j=8,14 u(i,j)=0.25*(u(i,j-1)+u(i,j+1)+u(i-1,j)+u(i+1,j)) ENDDO ENDDO ENDDO DO i=1,21 DO j=1,21 x=-1+(i-1)*h y=1-(j-1)*h WRITE(1,*)x,y,u(i,j) ENDDO ENDDO CLOSE(1) END PROGRAM
φ ( x, y ) 的 Laplace 边值问题：
∂ 2φ ∂ 2φ ∆φ = 2 + 2 = 0 ∂x ∂y
φ(x = ±1, y) = 0 ； φ ( x , y = ± 1) = 0 φ ( x , y ) = 1; x ∈ [ − 0 .3 .0 .3], y ∈ [ − 0 .3 .0 .3]
! 中间区域的初值，不妨设为 0
! 外壁的边值
! 金属棒的边值
DO k=1,10000 ! 迭代次数 DO i=2,7 DO j=2,20 u(i,j)=0.25*(u(i,j-1)+u(i,j+1)+u(i-1,j)+u(i+1,j)) ENDDO ENDDO DO i=8,20 DO j=2,7 u(i,j)=0.25*(u(i,j-1)+u(i,j+1)+u(i-1,j)+u(i+1,j)) ENDDO ENDDO
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laplace方程
Laplace方程一、介绍Laplace方程是一个重要的偏微分方程，它在应用数学领域起着重要的作用。
Laplace方程的形式如下：∇²φ = 0其中∇²是拉普拉斯算子，φ是未知函数。
这个方程描述了未知函数在给定区域内的二阶空间导数等于零的情况。
在本文中，我们将全面、详细、完整地探讨Laplace方程及其在物理学和数学中的应用。
二、物理学中的应用2.1 稳态问题Laplace方程常常用于描述稳态问题，即与时间无关的问题。
例如，当我们研究电势场或温度分布时，可以使用Laplace方程来描述系统的平衡状态。
通过求解Laplace方程，我们可以得到电势场或温度分布的解析解，从而更好地理解系统的行为。
2.2 电势与电荷分布在电磁学领域中，Laplace方程与电荷分布和电势之间存在联系。
根据电场的高斯定律，我们可以得到∇²V = -ρ/ε₀，其中V是电势，ρ是电荷密度，ε₀是真空介电常数。
当系统中的电荷密度为零时，即没有自由电荷，Laplace方程成为∇²V = 0。
因此，Laplace方程可以描述无电荷分布下的电势分布。
2.3 势流与速度场在流体力学中，Laplace方程与势流和速度场之间存在联系。
势流是无旋流体的流动描述，它满足Laplace方程。
通过求解Laplace方程，我们可以得到势流的解析解，从而更好地理解流体的运动规律。
在涡流较小的情况下，可以将流体的速度场表示为势流函数的梯度，进而通过Laplace方程求解速度场。
三、数学中的应用3.1 边界值问题Laplace方程在数学中的一个重要应用是解决边界值问题。
边界值问题是指在给定区域内，找到满足Laplace方程以及一些特定边界条件的解。
通过给定边界条件，我们可以唯一确定Laplace方程的解，进而得到满足特定条件的函数。
3.2 谐函数满足Laplace方程的函数被称为谐函数。
谐函数在数学中有广泛的应用。
例如，谐函数在电势场、温度分布以及其他物理问题中经常出现。
拉普拉斯方程的完整求解
拉普拉斯方程的完整求解拉普拉斯方程是一种常见的偏微分方程，在数学、物理、工程等领域都有广泛的应用。
它描述了一个物理系统中的稳态情况，即在没有时间变化的情况下，物理量的分布情况。
在本文中，我们将介绍拉普拉斯方程的完整求解方法，包括数学推导和物理应用。
一、数学推导拉普拉斯方程的一般形式为：∇^2ϕ=0其中，∇^2为拉普拉斯算子，表示对空间中各个方向的二阶导数之和。
ϕ为待求函数。
为了求解该方程，我们需要先确定边界条件。
边界条件指的是在物理系统的边界上，待求函数的取值或导数的取值已知。
常见的边界条件包括：1. Dirichlet 边界条件：在边界上，待求函数的取值已知。
2. Neumann 边界条件：在边界上，待求函数的法向导数已知。
3. Robin 边界条件：在边界上，待求函数的取值或法向导数与外界参数成比例。
根据不同的边界条件，我们可以采用不同的数学方法求解拉普拉斯方程。
下面我们分别介绍三种常见的方法。
1. 分离变量法当边界条件为 Dirichlet 边界条件时，我们可以采用分离变量法求解拉普拉斯方程。
具体来说，我们假设待求函数可以表示为以下形式：ϕ(x,y,z)=X(x)Y(y)Z(z)将该式代入拉普拉斯方程，得到：X''/X+Y''/Y+Z''/Z=0由于等式左侧的三个部分只依赖于x、y、z 中的一个，因此它们必须都等于一个常数λ。
于是我们得到三个独立的常微分方程：X''+λX=0Y''+λY=0Z''+λZ=0这些方程的解分别为：X(x)=Asin(√λx)+Bcos(√λx)Y(y)=Csin(√λy)+Dcos(√λy)Z(z)=Esin(√λz)+Fcos(√λz)其中，A、B、C、D、E、F 为待定常数。
将这些解代入待求函数的表达式中，再利用边界条件，我们就可以求出这些常数，从而得到完整的解。
拉普拉斯方程的完整求解
拉普拉斯方程的完整求解拉普拉斯方程是数学领域中经典的偏微分方程之一，它在物理学、工程学等众多领域中都有广泛应用。
本文将介绍拉普拉斯方程的概念、性质以及完整求解方法，希望读者能够对该方程有一个清晰的理解。
让我们来了解一下拉普拉斯方程的定义。
拉普拉斯方程是一个二阶偏微分方程，其形式为∇²u=0，其中∇²表示拉普拉斯算子，u是未知函数。
这个方程描述了在没有任何外力或源的情况下，物质或场的分布如何变化。
它是一个齐次方程，即方程中不包含任何源项。
拉普拉斯方程的一个重要性质是它的解具有无穷可微性。
这意味着如果一个函数是拉普拉斯方程的解，那么它在定义域内的任何点处都具有无穷阶导数。
这个性质使得拉普拉斯方程的解在数学和物理上都具有很大的意义。
接下来，我们将介绍一些拉普拉斯方程的基本解。
对于二维情况下的拉普拉斯方程，基本解可以表示为G(x,y)=ln(r)，其中r=√(x²+y²)是点(x,y)到原点的距离。
对于三维情况下的拉普拉斯方程，基本解可以表示为G(x,y,z)=1/(4πr)，其中r=√(x²+y²+z²)是点(x,y,z)到原点的距离。
这些基本解可以用来构造特定边界条件下的拉普拉斯方程的解。
在实际应用中，我们常常需要求解带有边界条件的拉普拉斯方程。
这时，我们可以利用分离变量法来求解。
假设要求解的区域为Ω，边界为∂Ω，边界条件为u|∂Ω=g(x,y)，其中g是已知函数。
我们可以将未知函数u表示为u(x,y)=X(x)Y(y)，然后将这个形式代入拉普拉斯方程和边界条件中，得到一系列关于X(x)和Y(y)的常微分方程。
通过求解这些常微分方程，我们可以得到u的解。
除了分离变量法，还有其他方法可以求解带有边界条件的拉普拉斯方程，如格林函数法、有限差分法等。
这些方法各有特点，适用于不同的问题。
在实际应用中，我们根据具体情况选择合适的方法来求解拉普拉斯方程。
矩形区域上拉普拉斯方程边值问题的解
矩形区域上拉普拉斯方程边值问题的解在数学领域，边值问题是一种常见的数学模型，常常用于描述自然界中的各种现象。
拉普拉斯方程是数学中的一个重要方程，描述了平面上的电势、温度分布等问题。
而矩形区域上的拉普拉斯方程边值问题是一个经典的数学问题，其解法对于理解数学模型在实际问题中的应用具有重要意义。
本文将介绍矩形区域上拉普拉斯方程边值问题的解，探讨其数学原理、求解方法及实际应用。
一、问题描述考虑一个边长分别为a和b的矩形区域，其上的拉普拉斯方程为△u = 0, (x, y) ∈ R,其中，△为拉普拉斯算子，u(x, y)为矩形区域上的电势或温度场分布。
边值问题的边界条件通常包括三种类型：第一类边界条件、第二类边界条件和第三类边界条件。
在矩形区域上，常见的边界条件包括固定势边界条件和导数边界条件。
我们以固定势边界条件为例，即在矩形的四边上给定电势值：u(x, 0) = f1(x), 0 ≤ x ≤ a,u(x, b) = f2(x), 0 ≤ x ≤ a,u(0, y) = g1(y), 0 ≤ y ≤ b,u(a, y) = g2(y), 0 ≤ y ≤ b.其中，f1(x)、f2(x)、g1(y)、g2(y)均为已知函数。
二、数学原理矩形区域上拉普拉斯方程边值问题的解可以通过分离变量法来求解。
分离变量法的基本思想是将多元函数表示为各个自变量的单独函数的乘积，然后将原方程化为各个单变量函数的微分方程，并利用初值条件和边界条件来确定各个单变量函数的解。
设u(x, y) = X(x)Y(y)，代入拉普拉斯方程得到X''(x)Y(y) + X(x)Y''(y) = 0.由于等式左侧为x的函数加上y的函数，而右侧为一个常数，所以等式两侧必须都等于这个常数。
不失一般性，我们设等式两侧都等于-λ，得到两个常微分方程X''(x) + λX(x) = 0, Y''(y) - λY(y) = 0.解出上述两个常微分方程的特征方程，我们得到一系列特征值λ和对应的特征函数Xn(x)和Ym(y)。
laplace方程_稳态热方程_概述及解释说明
laplace方程稳态热方程概述及解释说明1. 引言1.1 概述在物理学和工程领域，Laplace方程和稳态热方程是两个重要的数学模型。
它们被广泛应用于描述许多实际问题的特征和性质，并提供了解决这些问题的有效方法。
本文将对Laplace方程和稳态热方程进行概述，并介绍它们的基本原理、特点与性质，以及常见的求解方法。
1.2 文章结构本文将按照以下结构来介绍Laplace方程和稳态热方程：首先，我们将概述Laplace方程，包括其理论基础、特点与性质以及应用领域；然后，我们将详细介绍Laplace方程的求解方法，包括分离变量法、奇异积分法和数值解法；接下来，我们将转而讨论稳态热方程，包括其模型介绍、特点与性质以及实际应用案例；最后，我们将详细介绍稳态热方程的求解方法，包括边界条件方法、迭代解法和有限差分法；最后一节是结论部分。
1.3 目的本文旨在为读者深入了解Laplace方程和稳态热方程提供一个清晰的概述和说明。
通过阅读本文，读者将能够了解这两个数学模型的基本原理、重要特点与性质，以及它们在实际问题中的应用。
此外，我们还将介绍几种常见的求解方法，帮助读者更好地理解和应用这些数学模型。
最后，结论部分将总结本文，并提供一些对未来研究的展望。
2. laplace方程概述:2.1 理论基础:Laplace方程是一个偏微分方程，它描述了没有源或汇的稳定状态下的场景。
该方程是由法国数学家皮埃尔-西蒙·拉普拉斯引入的，被广泛应用于物理学、工程学和数学领域。
Laplace方程可以用以下公式表示：∇²Φ= 0其中，∇²是拉普拉斯算子，Φ为待求解的标量场。
2.2 特点与性质:Laplace方程具有一些重要特点和性质。
首先，它是一个线性的二阶偏微分方程，很多常见的边界值问题可以通过Laplace方程进行描述和求解。
其次，Laplace 方程在空间中无处不在，它与调和函数紧密相关。
此外，在某些特殊情况下，Laplace方程可以简化为一维形式或二维平面形式。
Laplace方程边界元数值解法研究
目录目录1绪论 (1)1.1课题的研究背景和意义 (1)1.2边界元法研究现状和进展 (3)1.3本文的主要工作 (4)2二维Laplace方程的边界元解法 (7)2.1Laplace方程简介 (7)2.1.1基本概念 (7)2.1.2二维Laplace方程与解析函数的关系 (8)2.2边界元法 (9)2.3数值模拟 (11)2.4本章小结 (16)3基于位势理论的边界元法 (17)3.1边界积分方程的推导 (17)3.2单层位势和双层位势 (18)3.3本章小结 (22)4线性方程组求解的GMRES算法 (23)4.1线性方程组求解的Galerkin原理 (23)4.2Krylov子空间 (23)4.3GMRES算法 (27)4.4本章小结 (31)5数值模拟 (33)5.1边界积分方程的离散 (33)5.2数值算例 (36)5.3本章小结 (39)6结论与展望 (41)致谢 (43)参考文献 (45)附录 (49)I西安理工大学硕士学位论文II1绪论1绪论1.1课题的研究背景和意义如果一个微分方程中出现的未知函数只含一个自变量，就把这个方程叫做常微分方程，简称为微分方程；如果多元函数的偏导数在一个微分方程中出现了，或者说如果未知的函数和若干个变量相关，并且方程中出现的未知函数对应多个变量的导数，我们把这样的微分方程称为偏微分方程。
在很多科学领域当中，都可以用偏微分方程[1]进行描述数学模型。
在微积分理论形成的初期，学者们对许多自然现象的描述、解释或预见就开始使用偏微分方程，并且将其得到的各种研究方法及优良结果运用到各个科学领域和工程技术中去，逐渐地取得了明显的成效，显示出了对于人们认识自然界基本规律的过程中，偏微分方程的重要地位。
椭圆型偏微分方程，也简称为椭圆型方程[2]，它是一类重要的偏微分方程。
希尔伯特于1900年提了著名的23个问题，在这些问题中有三个问题是关于椭圆型方程与变分法的。
自开始研究椭圆型方程至现在的八十多年来，其获得了丰硕研究的成果。
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收稿日期:2005212210基金项目:辽宁省教育厅科研基金资助项目(05L415)・作者简介:刘大卫(1964-),男,贵州贵阳人,贵州工业大学副教授・第24卷 第2期2006年4月沈阳师范大学学报(自然科学版)Journal of S henyang Norm al U niversity (N atural Science )V ol 124,N o.2Apr.2006文章编号:1673-5862(2006)02-0166-04正方形环域Laplace 方程的简明数值解法刘大卫1,高 明2,3(1.贵州工业大学基础部,贵州贵阳 550003; 2.沈阳师范大学物理科学与技术学院,辽宁沈阳 110034;3.沈阳师范大学实验中心,辽宁沈阳 110034)摘 要:通过正方形环域的Laplace 方程的数值求解过程,详细介绍了使用MA TLAB 求解微分方程的方法・用MA TLAB 的M 文件,生成正方形环域,用函数numgrid 作网格划分,用函数delsq 建立五点差分格式建立并求解拉普拉斯方程第一边值问题・关 键 词:Laplace 方程;差分法;MA TLAB 中图分类号:O 175 文献标识码:A0 引 言Laplace 方程是解决电磁场问题中最常见的方程,在一些具有较复杂边界形状的区域中求出方程的解析解是非常困难的[122]・因此寻求一种有效的、简明的数值解法对于解决实际问题中复杂边界区域中的电磁场分布问题具有非常重要的实际价值・通过一个特殊的方形区域的电场分布问题介绍一种应用MA TLAB 数值求解Laplace 方程的方法・考虑图1所示正方形环域,设区域内满足Laplace 方程Δu =0,内边界处电势u =100,外边界处电势u =0,求区域内的电势分布,易见,这是一个Laplace 方程的第一边值问题・现用差分法求解这个问题,首先把研究区域划分为图2所示的网格,在这个划分中,除去边界点,区域被分为240个网格节点・图1 正方形环域图2 网格的划分差分法求解的基本思想是,在网格节点上用差商代替微商,结合边界条件,把定解问题转化为以未知函数u (x ,y )在节点上的数值为未知量的线性方程组:Ax =b其中,x 为解向量,代表函数u (x ,y )在节点上的数值・A 为系数矩阵,与网格节点的划分和编号方式有关,通常是一个大型的稀疏矩阵・b 为常数向量,由边界条件确定・对上述问题,A 为240×240阶稀疏矩阵,b 为240×1阶稀疏常数向量・下面用MA TLAB 提供的网格划分函数numgrid 和差分格式建立函数delsq 来构造系数矩阵A ・1 编写M 文件,生成正方形环域MA TLAB 提供了一些常见区域如正方形、圆、圆环、L 型域等区域上的网格划分函数numgrid ,但函数的可行域中没有正方形环域・为此,打开网格划分函数numgrid.m ,在其命令行中加入域名为‘N1’的新可行域,根据实际物理问题,编写命令行,生成正方形环域[1]・2 网格的划分和差分格式的建立在MA TLAB 命令窗口键入:µR =‘N1’;定义正方形环域N1・µn =19;图3 函数numgrid 划分的正方形环域定义划分网格数・除去边界点之外,此划分定义了(19-2)×(19-2)-7×7=240个内节点・µg =numgrid(R ,n );在R 上按n 划分区域・函数numgrid 把区域划分为正方形环域网格,生成数字矩阵g ・在g 中,边界节点编号为0・内部节点的编号为1～240,240为内部节点数・节点在域中的位置与节点对应元素在矩阵g 中的位置相同・而内部节点的编号,则表示在方程Ax =b 中,该节点在向量x 中所在的行・现用命令spy 查看矩阵g 的结构图:µspy (g );图4 五点差分格式矩阵A 的结构图结果如图3所示,它直观地显示了所定义的新可行域‘N1’的确将区域划分为正方形环域网格,240个非零元素表明区域被划分为240个格点・然后,用函数delsq 建立五点差分格式:µA =delsq (g );函数delsq 在g 上对240个内节点建立五点差分格式,生成系数矩阵A ,A 中第i 行表示第i 个节点,节点i 在域中的位置可通过数字矩阵g 查询・现用命令spy 查看矩阵A 的结构图:µspy (A );结果如图4所示,240×240阶系数矩阵A 中有1104个非零元素,它表明系数矩阵A 确是一个大型稀疏矩阵・3 常数矩阵b 的建立、稀疏矩阵技术在图2所示的网格中,对内部不邻近边界的节点,其邻近的4个节点都为内部节点,故与之对应方程的常数项为0・对内部邻近边界的节点,其邻近的4个节点中有一个边界点,与之对应方程的常数项应为边界条件值・这里讨论的问题,外侧边界条件均为0,只有内侧邻近边界的28个节点的对应方程的常数项不为0,因而常数矩阵b 是一个240行且其中只有28个非零元素的稀疏列向量,要得到常数矩阵b ,需要MA TLAB 提供的稀疏矩阵技术・首先考查内侧邻近边界的28个节点的位置编号,因它们分别在数字网格划分矩阵g 中的第6行到第14行、第6列到第14列,键入:µg (6:14,6:14)可得到这28个节点的位置编号(用斜体表示)・761第2期 刘大卫等:正方形环域Laplace 方程的简明数值解法7390100110120130140150160740000000161750000000162760000000163770000000164780000000165790000000166801678191101111121131141151168如上侧邻近内边界的7个节点的位置编号分别为:90、100、110、120、130、140、150等等・然后,把这28个节点在常数矩阵b 中对应的行、列(列号为1)、边界条件值(u =100)写成数据文件mydat.dat ,其内容如下:90 1 10011011001201100 (240)10.00该文件指定了即将生成的常数矩阵b 中指定行、列的元素值,最后一行确定常数矩阵b 的阶数・保存mydat.dat 文件,并用load 命令加载到工作间后键入:µb =spconvert (mydat );函数spconvert 把外部数据文件mydat.dat 转化为稀疏矩阵・注意到在mydat.dat 中,最大行号为240,最大列号为1,函数spconvert 将数据文件mydat.dat 转化为240×1的、只在指定的28个位置上有非零元素的稀疏列向量,即把边界条件传递到常数矩阵b 中・4 解的查询对以上建立的大型差分方程Ax =b ,采用G auss 2Seidel 法[325]进行求解,其中的迭代精度为110×10-6,初值设为0,为了与坐标变量x 相区别,记解向量为u ・现查看解的结果・由于区域和边界条件的对称性,我们只需查看如图5所示的35个网格节点上的结果・键入:图5 在35个节点上的解µg (1:7,1:10)查询这35个网格节点的位置编号,结果如下:11835526986961061161936537087971071173754718898108118557289991091197390100110120例如,图5中第5列的5个节点的位置编号是:69、70、71、72、73,通过键入:µu (69:73)可查询解向量u 中这5个节点处的解为:10.6 21.5 33.1 45.5 59.1同此查出其他节点处的解,并标示于图5中・5 解的图示解向量u 为240行的列向量,利用MA TLAB 的数值图形化技术[2],可以将其在坐标网格上直观地显示出来・861沈阳师范大学学报(自然科学版) 第24卷图6 矩阵U 的三维网格图µU =g ;用矩阵g 的结构定义矩阵U ・µU (g >0)=full (u (g (g >0)));在g 的非零元素位置处用u 的值置换g 中元素并显示为满阵型・µmesh (U );colormap (gray/2);以灰度方式显示U 的三维网格图,结果如图6所示・ (注:关于在网格划分函数numgrid.m 中生成新可行域的程序,有兴趣的读者,欢迎与作者联系)参考文献:[1]珀塞尔E M.电磁学[M ].北京:科学出版社,1979.[2]王纪林,向光辉.特殊函数与数学物理方程[M ].上海:上海交通大学出版社,1989.[3]王沫然.MA TLAB 610与科学计算[M ].北京:电子工业出版社,2001.[4]陆金甫,关 治.偏微分方程数值解法[M ].北京:清华大学出版社,2004.[5]周长发.科学与工程数值算法[M ].北京:清华大学出版社,2004.Simple Numerical Computation of Laplace ’s Equationon Square with Smaller Square H oleL IU Da 2wei 1,GA O M i ng2,3(1.Guizhou University of Technology ,Guiyang 550003,China ;2.College of Physics Science and Technology ,Shenyang Normal University ,Shenyang 110034,China ;3.Experimental Center ,Shenyang Normal University ,Shenyang 110034,China )Abstract :A numerical methood of solving Laplace equation by using MA TLAB was discussed ,the main ste ps can be followedas :generate a new available region by editing MA TLAB ’s M 2file ,using numgrid and delsq ,solve the finite difference of Laplace ’s equation with Dirichlet boundary value problem.K ey w ords :Laplace ’s equation ;finite difference ;MA TLAB科技期刊中表格的规范化使用表格简称表,是记录数据或事物分类等的一种有效表达方式,其作用与插图类似,都是代替或补充文字叙述・对表格的设计要求应该是科学、明确、简洁,具有自明性,具体地说就是突出重点、内容简洁、设计科学、表达规范・一个表通常应包括表序、表题、项目栏、表身,必要时可以加表注・即使文章中只有一个表,也应该加上表序,不可省略或用“附表”等・表格有多种形式,在科技期刊中推荐使用三线表・三线表是卡线表的一种,是一般卡线表经简化和改造而成的,通常一个表只有3条线,即顶线、底线和栏目线,其中顶线和底线为粗线,栏目线为细线・三线表不一定只有3条线,必要时可加辅助线・三线表保留了传统卡线表的几乎全部功能,却克服了传统卡线表的缺点,增强了表格的简洁性,所以科技书刊中普遍使用三线表・961第2期 刘大卫等:正方形环域Laplace 方程的简明数值解法。