有限差分求解扩散的数值解
求解一维扩散反应方程的隐式高精度紧致差分格式
求解一维扩散反应方程的隐式高精度紧致差分格式1概述一维扩散反应方程是描述许多物理过程的数学方程之一，如化学反应、热传导等。
在求解这样的方程时，我们需要寻找适合的数值解法。
本文将介绍一种隐式高精度紧致差分格式，用于求解一维扩散反应方程。
2一维扩散反应方程一维扩散反应方程可表示为：$$\frac{\partial u}{\partial t}=D\frac{\partial^2u}{\partial x^2}+\rho u(1-u)$$其中，$u(x,t)$表示物理量的变量，$D$为扩散系数，$\rho$为反应速率常数。
初始条件为$u(x,0)=u_0(x)$，边界条件为$u(0,t)=u(L,t)=0$，其中$L$为区间长度。
3差分方法为了求解上述方程的数值解，我们需要使用差分方法。
差分方法可以将连续的偏微分方程转化为离散的方程，从而得到数值解。
这里我们采用一阶差分法和二阶差分法分别对时间和空间进行离散化。
时间离散化：$$\frac{\partial u(x,t)}{\partialt}\approx\frac{u(x,t+\Delta t)-u(x,t)}{\Delta t}$$空间离散化：$$\frac{\partial^2u(x,t)}{\partialx^2}\approx\frac{u(x+\Delta x,t)-2u(x,t)+u(x-\Deltax,t)}{\Delta x^2}$$将上述两个式子带入到原方程中，得到离散化形式：$$\frac{u_i^{n+1}-u_i^n}{\Delta t}=D\frac{u_{i+1}^n-2u_i^n+u_{i-1}^n}{\Delta x^2}+\rho u_i^n(1-u_i^n)$$其中，$n$表示时间步长，$i$表示空间位置。
4隐式高精度紧致差分格式在上述差分方法中，我们采用了一阶差分法和二阶差分法，这种方法的精度有限。
为了提高求解的精度，可以采用更高阶的差分方法。
有限差分法的基本原理
f (x) ≈
2h
中心二阶差商
′′
f (x+h)−2f (x)+f (x−h)
f (x) ≈
h2
O(h) O(h)
2
O(h )
2
O(h )
其中，h表示网格间距，O(hn)表示截断误差与hn成正比。可以看出，中心差商比前向或后向差商具有更高的精度。
误差分析
有限差分法求得的数值解与真实解之间存在误差，这些误差主要来源于以下几个方面：
常用差分格式
有限差分法中最重要的步骤是构造合适的差分格式来近似微分项。根据泰勒展开式，可以得到以下常用的一阶和二阶差分格式：
差分格式
表达式
截断误差
前向一阶差商
′
f (x+h)−f (x)
f (x) ≈
h
后向一阶差商
′
f (x)−f (x−h)
f (x) ≈
h
中心一阶差商
′
f (x+h)−f (x−h)
截断误差：由于使用有限项级数来近似无穷级数而产生的误差； 舍入误差：由于计算机对小数进行四舍五入而产生的误差；
离散误差：由于对连续区域进行离散化而产生的误差； 稳定性误差：由于数值格式的稳定性不足而导致误差的累积或放大。
为了减小误差，一般可以采取以下措施：
选择更高阶或更精确的差分格式； 减小网格间距或时间步长； 选择合适的初始条件和边界条件； 选择稳定且收敛的数值格式。
+
。 2
h)
为了验证上述方法的正确性，我们取M = 10, N = 100，则原问题可以写为如下形式：
则该问题对应的递推关系式为：
⎧ut (x, t) − uxx (x, t) = 0,
3第二章 有限差分方法基础解读
n n n u uk 1 2uk uk 2 2 x x k 2 n
n n n uk 1 2uk uk 1 称为二阶中心差分。
求解域被划分为一系列离散的时空网格点
图2.1 3. 解的离散表示
求解域的离散化
目标：求出所有网格点上物理量u的近似解。
u( xk , tn )=u(k x, nt )
(k 0,1, , M ; n 0,1, , N )
n 后文中， 把 u( xk , tn ) 记为 uk 。
The Elements of Computational Fluid Dynamics
第二章
有限差分方法基础
§2.1 有限差分方法概述
§2.2 导数的数值逼近方法 §2.3 差分格式的性质 §2.4 发展方程的稳定性分析
§2.1 有限差分方法概述
以一维非定常热传导方程为例，介绍有限差分方法的概念、简单构造方法
网格点： x0 , x1 , x2 , , xM 1 , xM 显然, xk =k x
2. 时间变量的离散化
把感兴趣的时间段(t=T之前)分为N段（均匀剖分），则时间方向的求解域可
以划分为
N 1个离散时刻：t0 , t1, t2 , , tN 1, tN tn =nt (t T / N , 时间步长)
和求解过程。
2.1.1 基本方程和定解问题
u 2u 2 ( 0) t x (2.1.1)
求解域： ( x, t ) [0,1] [0, ]
初始条件： u ( x, 0) f ( x) 边界条件： u (0, t ) a(t ), u(1, t ) b(t ) (2.1.2)
有限差分法
第四章有限差分方法4.1引言有限差分法：数值求解常微分方程或偏微分方程的方法。
物理学和其他学科领域的许多问题在被分析研究之后, 往往可以归结为常微分方程或偏微分方程的求解问题。
一般说来，处理一个特定的物理问题，除了需要知道它满足的数学方程外，还应当同时知道这个问题的定解条件，然后才能设计出行之有效的计算方法来求解。
有限差分法以变量离散取值后对应的函数值来近似微分方程中独立变量的连续取值。
在有限差分方法中，我们放弃了微分方程中独立变量可以取连续值的特征，而关注独立变量离散取值后对应的函数值。
但是从原则上说，这种方法仍然可以达到任意满意的计算精度。
因为方程的连续数值解可以通过减小独立变量离散取值的间格，或者通过离散点上的函数值插值计算来近似得到。
这种方法是随着计算机的诞生和应用而发展起来的。
其计算格式和程序的设计都比较直观和简单，因而，它的实际应用已经构成了计算数学和计算物理的重要组成部分。
有限差分法的具体操作分为两个部分：(1)用差分代替微分方程中的微分，将连续变化的变量离散化，从而得到差分方程组的数学形式； (2)求解差分方程组。
在第一步中，我们通过所谓的网络分割法，将函数定义域分成大量相邻而不重合的子区域。
通常采用的是规则的分割方式。
这样可以便于计算机自动实现和减少计算的复杂性。
网络线划分的交点称为节点。
若与某个节点P 相邻的节点都是定义在场域内的节点，则P 点称为正则节点；反之，若节点P 有处在定义域外的相邻节点，则P 点称为非正则节点。
在第二步中，数值求解的关键就是要应用适当的计算方法，求得特定问题在所有这些节点上的离散近似值。
有限差分法的差分格式：一个函数在x 点上的一阶和二阶微商，可以近似地用它所临近的两点上的函数值的差分来表示。
如对一个单变量函数f(x)，x 为定义在区间[a,b]的连续变量。
以步长h=Δx 将[a,b]区间离散化，我们得到一系列节点x = a , x = x + h , x = x + h = a + 212132Δx , ..., x = x + h = b , 然后求出 f(x)在这些点上的近似值。
反应扩散方程利用常数变易公式
反应扩散方程利用常数变易公式摘要：1.反应扩散方程的概述2.反应扩散方程的应用范围3.反应扩散方程的求解方法4.常数变易公式在反应扩散方程中的应用5.反应扩散方程的发展趋势与展望正文：反应扩散方程是一种描述化学物质在空间和时间上浓度变化的数学模型，它可以描述物质相互转化的局部化学反应以及导致物质在空间表面扩散的过程。
反应扩散方程广泛应用于化学、物理、生物等领域，它可以帮助我们深入理解各种物理现象背后的动态过程。
一、反应扩散方程的概述反应扩散方程是反应扩散系统的数学表示，它可以描述一种或多种化学物质浓度在空间和时间上的变化。
在这个方程中，物质的浓度是与时间和空间相关的变量，通过这个方程我们可以了解物质在空间上的分布情况以及随时间的变化规律。
二、反应扩散方程的应用范围反应扩散方程在多个领域都有广泛的应用，其中最常见的是化学、物理和生物学领域。
在化学领域，反应扩散方程可以用来研究化学反应的速率以及反应物和生成物的浓度分布；在物理领域，反应扩散方程可以用来描述物质在空间中的扩散过程，例如扩散过程的速率以及物质在空间上的分布规律；在生物学领域，反应扩散方程可以用来研究生物体内的生化反应，例如细胞内的基因表达和信号传导等过程。
三、反应扩散方程的求解方法由于反应扩散方程的复杂性，求解反应扩散方程的方法多种多样，常见的方法有数值解法、符号解法和近似解法等。
这些方法各有优缺点，选择合适的方法可以更好地解决实际问题。
四、常数变易公式在反应扩散方程中的应用常数变易公式是一种求解反应扩散方程的数值方法，它是基于有限差分法思想发展起来的。
常数变易公式可以将反应扩散方程离散化为一个巨大的线性方程组，通过求解这个线性方程组，可以得到反应扩散方程的数值解。
五、反应扩散方程的发展趋势与展望随着科学技术的发展，反应扩散方程的研究也在不断深入。
未来的发展趋势主要包括以下几个方面：一是对反应扩散方程的理论研究将更加深入，包括对反应扩散方程的稳定性、收敛性和精度等方面的研究；二是反应扩散方程的应用范围将更加广泛，包括在生物学、医学、环境科学等领域的应用；三是反应扩散方程的求解方法将更加高效和精确，包括对现有方法的改进和创新，以适应日益复杂的实际问题。
偏微分方程的数值解法
偏微分方程的数值解法偏微分方程（Partial Differential Equation，PDE）是描述物理、化学、工程学等许多科学领域中变化的方程。
由于PDE的求解通常是困难的，因此需要使用数值方法。
本文将介绍偏微分方程的数值解法。
一般来说，求解PDE需要求得其解析解。
然而，对于复杂的PDE，往往不存在解析解，因此需要使用数值解法求解。
数值解法可以分为两类：有限差分法和有限元法。
有限差分法是将计算区域分成网格，利用差分公式将PDE转化为离散方程组，然后使用解线性方程组的方法求解。
有限元法则是将计算区域分成有限数量的单元，每个单元内使用多项式函数逼近PDE的解，在单元之间匹配边界条件，得到整个区域上的逼近解。
首先讨论有限差分法。
常见的差分公式包括前向差分、后向差分、中心差分等。
以一维热传导方程为例，其偏微分方程形式为：$$ \frac{\partial u}{\partial t}=\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} $$其中，$u(x,t)$表示物理量在时刻$t$和位置$x$处的值。
将其离散化，可得到：$$ \frac{u(x_i,t_{j+1})-u(x_i,t_j)}{\Delta t}=\frac{u(x_{i+1},t_j)-2u(x_i,t_j)+u(x_{i-1},t_j)}{\Delta x^2} $$其中，$x_i=i\Delta x$，$t_j=j\Delta t$，$\Delta x$和$\Delta t$分别表示$x$和$t$上的网格大小。
该差分方程可以通过简单的代数操作化为：$$ u_{i,j+1}=u_{i,j}+\frac{\Delta t}{\Delta x^2}(u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}) $$其中，$u_{i,j}$表示在网格点$(x_i,t_j)$处的数值解。
由于差分方程中一阶导数的差分公式只具有一阶精度，因此需要使用两个网格点来逼近一阶导数。
3第二章-有限差分方法基础(共81张)
追赶法： I. 利用一个边界条件将三对角线方程组化为只有主对角线和相邻的一条次对角线上有 非零元素的方程组； II.利用另一边界条件逐点求解。 追赶法：是一种高效算法，计算量与未知量个数M 1近似呈线性关系。
第16页，共81页。
2.1.5 用时间相关方法(fāngfǎ)求解定常问题
考虑非定常热传导方程和定解条件
u 2u
t x2
( 0)
u(x, 0) f (x)
u(0, t) a const
u(1, t) b const
(2.1.18)
当t 时，(2.1.18)的解与时间无关，与下面的定解问题等价。
2u =0
x2 u(x, 0) f (x)
u(0)
(ux )kn 的 向后差商：
(ux )kn
ukn
un k -1
x
(ux )kn 的 中心差商：
(ux )kn
un k +1
un k -1
2x
空间方向的 向前差分、向后差分和中心差分记为
xukn
un k 1
ukn
x ukn
ukn
un k 1
t ukn
un k 1
un k 1
其中，
x，
x，
分别称为空间方向前差、后差和中心差分算子。
xM 1 xM 1
网格点： x0 , x1, x2 ,, xM 1, xM
显然, xk =kx
其中, x=1/ M，为空间步长。
2. 时间变量的离散化
把感兴趣的时间段(t=T之前)分为N段（均匀剖分），则时间方向的求解域可以划分为
N 1个离散时刻：t0 , t1, t2 ,, tN 1, tN
stablediffusion使用方法
stablediffusion使用方法稳定扩散（stable diffusion）是一种用于解决非线性偏微分方程（PDE）的数值方法。
这种方法能够处理各种类型的扩散问题，包括线性扩散、非线性扩散和反应扩散等。
它在应用范围广泛，例如流体力学、地理学、生物学等领域都可以用到。
稳定扩散的方法基于有限差分法（finite difference method）和隐式格式（implicit scheme），其核心思想是将时间离散化并通过迭代求解来逼近扩散方程的解。
下面是稳定扩散方法的几个步骤：1.离散化：首先，需要将扩散方程在空间和时间上进行离散化。
空间上的离散可以使用有限差分法将定义域划分为若干个网格点，时间上的离散可以使用一定的时间步长来进行。
这样就得到了一个离散的数值网格。
2.构建线性方程组：接下来，将扩散方程中的导数项使用有限差分的形式进行近似。
这样就可以得到一个线性方程组，其中未知量为网格点上的扩散值。
该线性方程组可以通过牛顿迭代、高斯消元等方法进行求解。
3. 迭代求解：由于稳定扩散方法使用了隐式格式，求解得到的线性方程组是一个比较大的稀疏矩阵。
为了降低计算复杂度，可以使用迭代方法进行求解，例如Jacobi迭代、Gauss-Seidel迭代或者共轭梯度法等。
在每个时间步长上，通过迭代求解得到近似解，直到达到一定的收敛条件。
4. 边界条件处理：在稳定扩散方法中，需要对边界条件进行适当的处理。
一般来说，可以使用Dirichlet边界条件或者Neumann边界条件来约束扩散方程的解。
当然，对于不同的问题，还可以根据具体情况选择其他适当的边界条件。
5. 稳定性分析：在使用稳定扩散方法求解扩散问题时，还需要对其稳定性进行分析。
通常，可以使用von Neumann稳定性分析或者Courant-Friedrichs-Lewy（CFL）条件来确定时间步长的大小，以确保数值解的稳定性和精确性。
总结起来，稳定扩散是一种用于解决非线性扩散问题的数值方法，它通过线性方程组的迭代求解来逼近扩散方程的解。
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Jeff
C2
无孔结构
J0 =-D ∂C ∂z
多孔介质
ε ∂C Jeff =- D τ ∂z
其中ε为孔隙率
曲折因子
τ= J0 ε Jeff
3.扩散模拟表征多孔介质物质输运性能（相转换流延制备） SRCT构建孔结构数组
灰度图
二值图
黑色：孔 白色：实体 孔隙率：0.35
三维结构重构图A
3.扩散模拟表征多孔介质物质输运性能
1.有限差分的基本原理（ 一维扩散例子） 计算结果
稳态下
∂C ∂2 C =D 2 = 0 ∂t ∂x
2.边界条件处理（ 二维柱坐标扩散例子）
扩散进口
扩散出口
绝缘 环
圆柱上底面和侧面为高浓度面（红色） 圆柱下底面同心小圆为低浓度面（白色） 圆柱下底面圆环为绝缘面 （蓝色）
2.边界条件处理（ 二维柱坐标扩散例子） 0 Z
r
扩散微分方程： ∂C ∂2 C 1 ∂C ∂2 C =D( 2 + r + 2) ∂t ∂r ∂r ∂Z
圆心对称
柱坐标下取体积微元由质量衡算推导扩散偏微分方程
r+ △r
△Z
r
体积微元质量变化量
∆m=-2π r+∆r ∆Z∆t*J -π r+∆r 2 -r2 ∆t*J
移项化简得
r+∆r+2πr∆Z∆t*J r Z
2 2 + π r+ ∆r -r ∆t*J Z+∆Z
∆m 1 -J = * 2πr∆Z∆r∆z r
r+∆r *
即
r+∆r -J r *r J Z+∆Z -J Z ∆r ∆Z ∂C ，将 J=-D 代入可得 ∂x
∂C ∂2 C 1 ∂C ∂2 C =D( 2 + + ) ∂t ∂r r ∂r ∂Z2
2.边界条件处理（ 二维柱坐标扩散例子） 0
方向六个点Ai ±1,j±1,k±1的结构， 如果周围某个点为实体，则令其 浓度等于计算点Ai,j,k的浓度Ci,j,k 例如： Ai +1,j,k ， Ai -1,j,k ， Ai,j+1,k， Ai,j-1,k四个点为实体，则令其 Ci +1,j,k = Ci -1,j,k = Ci,j+1,k= Ci,j-1,k = Ci,j,k 则迭代时简化为
L
X轴
设法在x—t平面网格点 上逼近浓度C(x,t)值
1.有限差分的基本原理（ 将微分方程转化为代数方程）
Cik,
j+1 h -Cik,jh
h Ci,j+1 = D*h k
2
=D*(
C i+1
k,jh -2Cik,jh +C i-1 k,jh ) 2
k
Ci+1,j +Ci-1,j + 1-2*
D*h k
1.有限差分的基本原理（ 一维扩散例子）
高浓度端 10-5 低浓度端 0
设定参数
扩散系数D： 10-7cm2/s 透氧距离L： 0.01cm 高浓度C1： 10-5 mol/ml 低浓度C2： 0 距离步长k： 0.0005cm 距离等分数： 20 时间步长h： 1s 初始浓度： 0
迭代代数式，Matlab编程计算 Ci,j+1 =s Ci+1,j +Ci-1,j + 1-2*s *Ci,j
Ckm,j Ckm,j+1
Cki,j-1
Cki,j Cki,j+1
Cki+1,j
虚拟点：Ckm+1,j=Ckm,j
2.边界四
圆柱轴中心线上格点
Cki-1,1
Cki,1 Cki,2
Cki+1,1
无法用
2.边界四
圆柱轴中心线上格点微元体积质量衡算
Cki-1,1 Cki,1 Cki+1,1 Cki,2
孔 A
0<Cs<1
B
Cs=1
固相
Cs=初始值
C
D
Cs=0
下表面浓度：0
通过判断稳态时各网格点浓度值区分四类孔 初始浓度设为非0非1的数，以区分孤立孔 死孔包含B、C和D
3.扩散模拟表征多孔介质物质输运性能
孔弯曲度（曲折因子）
曲折因子τ=1
曲折因子τ>1
气体扩散测定曲折因子
C1 C1>C2 C1
J0
k k k k Ck+1 i-1,1 +Ci+1,1 +2Ci,2 -4Ci,1 +Ci,1
2.Matlab计算结果
50秒浓度及其等高线
2.Matlab计算结果
200秒浓度及其等高线
2.Matlab计算结果
500秒浓度及其等高线
2.Matlab计算结果
1200秒浓度及其等高线
3.扩散模拟表征多孔介质物质输运性能
2
*Ci,j
令
D*h k
2
=s
，得代数迭代格式
Ci,j+1 =s Ci+1,j +Ci-1,j + 1-2*s *Ci,j
Ci,j+1
由上式可知，某一时刻的浓度值，可以由前一 个时刻的浓度值计算得出，即可从初始零时刻 逐步迭代计算任一时刻任一离散点的浓度值
Ci-1,j
Ci,j
Ci+1,j
注意：要使迭代式收敛稳定，须使0<s ≤0.5
浓度不变的网格点构成的孔为死孔
3.扩散模拟表征多孔介质物质输运性能
内部孔结构
3.扩散模拟表征多孔介质物质输运性能（相转换流延制备）
纵向剖面结构图
纵向剖面浓度分布
3.扩散模拟表征多孔介质物质输运性能（孔随机分布）
孔随机分布三维结构 黑色：孔 白色：实体 孔隙率：0.35
3.扩散模拟表征多孔介质物质输运性能（孔随机分布）
体积微元质量变化量
∆m=Dπ h ∆t*
移项化简得
2
Ci-1,1 -2Ci,1 +Ci+1,1 h
+2πh ∆t
2
Ci,2 -Ci,1 h
∂C D = = 2 Ci-1,1 -4Ci,1 +Ci+1,1 +2Ci,2 3 πh ∆t ∂t h D∆t h2
∆m
得到轴中心线上网格点迭代格式：
Ck+1 i,1 =
模拟计算原理 原理：三维扩散方程
∂C ∂2 C ∂2 C ∂2 C =D + + ∂t ∂x2 ∂y2 ∂z2
Ci-1,j,k Ci,j+1,k
y
x z
Ci,j,k-1 Ci,j-1,k
Ci+1,j,k
计算方法：有限差分
Ci,j,k+1
n n n n n n n n n Cn+1 Cn i,j,k -Ci,j,k i+1,j,k -2Ci,j,k +Ci-1,j,k Ci,j+1,k-2Ci,j,k +Ci,j-1,k Ci,j,k+1 -2Ci,j,k +Ci,j,k-1 =D + + 2 2 ∆t ∆x ∆y ∆z2
D∆t ∆x2
n n Cn i,j,k+1 +Ci,j,k-1 -2Ci,j,k
Ci-1,j,k
Ci+1,j,k Ci,j+1,k
Ci,j,k+1
n Cn+1 i,j,k =Ci,j,k +
为一维扩散方程离散代数表达式
3.扩散模拟表征多孔介质物质输运性能（相转换流延制备）
根据以上迭代式逐个求每个时间点网格点的浓度，直到进口 流量和出口流量相等，即到达稳态。 稳态时浓度分布图
Cki-1,j Cki,j-1 Cki,j Cki+1,j Cki,j+1
Cki-1,j
Cki,j-1
Cki,j Cki,j+1 Cki+1,j
变量离散，微分方程化为代数方程：
k+1 D∆t Ci,j = 2 k k k k Ck +C +C +C -4C i,j+1 i,j-1 i+1,j i-1,j i,j +
稳态时浓度分布图
3.扩散模拟表征多孔介质物质输运性能（孔随机分布）
纵向剖面结构图
纵向剖面浓度分布
3.扩散模拟表征多孔介质物质输运性能
两种孔结构输运性能对比
样品 相转换制备 孔随机分布 孔隙率 0.35 0.35 总曲折因子 2.15 70.67 连通孔/总孔 95.12% 65.69% 封闭孔/总孔 1.68% 26.73%
h
1 k Ck -C j-1 i+1,j i,j
+Ck i,j
2.边界一
圆柱上表面和侧面边界
Ck1,1——Ck1,n=C0 Ck1,n——Ckm,n=C0
2.边界二
扩散出口边界条件
扩散出口边界
Ckm,1——Ckm,n1=0
2.边界三
下表面绝缘边界条件：
Ckm-1,j
Cki-1,j
Ckm,j-1
实验室制备多孔陶瓷膜 A B
C A：样品实物图 B：SRCT三维重构图 C：孔结构图
3.扩散模拟表征多孔介质物质输运性能
孔连通性
孔 A
B
固相
C
D
A：与样品上下表面皆连通的孔 C：封闭在样品内的孤立孔 B：与样品上表面连通的孔 D：与样品下表面连通的孔
3.扩散模拟表征多孔介质物质输运性能
上表面浓度：1
C t+∆t -C t (C x+∆x -2C x +C =D* ∆t ∆x2