弗洛伊德算法
佛洛伊德算法
佛洛伊德算法
佛洛伊德算法（Floyd算法）是一种利用动态规划的思想寻找给定的加权图中多源点之间最短路径的算法，以创始人之一、1978年图灵奖获得者、斯坦福大学计算机科学系教授罗伯特·弗洛伊德命名。
该算法的基本思想是通过Floyd计算图G=(V,E)中各个顶点的最短路径时，需要引入一个矩阵S，矩阵S中的元素a[i][j]表示顶点i（第i个顶点）到顶点j（第j个顶点）的距离。
具体步骤如下：
1.初始化S。
矩阵S中顶点a[i][j]的距离为顶点i到顶点j的权值；如果i和j不相邻，则a[i][j]=∞。
实际上，就是将图的原始矩阵复制到S中。
2.以顶点A（第1个顶点）为中介点，若a[i][j]>a[i][0]+a[0][j]，则设置a[i][j]=a[i][0]+a[0][j]。
请注意，在具体使用中，可能需要根据问题的具体情况对该算法进行适当的调整。
佛洛伊德算法
佛洛伊德算法一、佛洛伊德算法简介佛洛伊德算法（Floyd Algorithm），又称弗洛伊德算法，是一种用于寻找加权图中所有顶点之间最短路径的算法。
该算法由英国计算机科学家David Floyd于1967年提出，主要用于解决带权有向图和带权无向图中的最短路径问题。
二、佛洛伊德算法与最短路径算法的关系佛洛伊德算法与最短路径算法密切相关，但它不同于Dijkstra算法和Bellman-Ford算法。
后两种算法主要用于求解单源最短路径，而佛洛伊德算法可以同时求解图中所有顶点之间的最短路径。
三、佛洛伊德算法的基本原理1.假设图中所有顶点已按照某种顺序编号，边的权值均为非负数。
2.初始化一个距离矩阵，将矩阵中所有元素设为无穷大（表示尚未确定最短路径）。
3.对于每个顶点k，遍历图中的所有顶点i和j，尝试将顶点k作为其他两点之间的中间点，更新距离矩阵中的距离值。
4.重复步骤3，直到所有顶点之间的最短路径都被求解出来。
四、佛洛伊德算法的应用场景1.带权有向图和带权无向图的最短路径问题。
2.网络路由规划：在计算机网络中，用于寻找最优路径，提高数据传输效率。
3.物流配送：在物流领域，用于优化配送路线，降低运输成本。
五、佛洛伊德算法的优缺点优点：1.可以同时求解图中所有顶点之间的最短路径。
2.算法稳定性较好，适用于大规模图计算。
缺点：1.计算复杂度高，时间复杂度为O(nm)，其中n为顶点数，m为边数。
2.空间复杂度较高，需要存储整个距离矩阵。
六、佛洛伊德算法在现实生活中的应用案例1.地图导航：利用佛洛伊德算法计算出行路线，为用户提供最优路径。
2.物流配送：通过佛洛伊德算法优化配送路线，提高物流效率。
佛洛伊德算法
佛洛伊德算法
（实用版）
目录
1.引言
2.佛洛伊德算法的概念和原理
3.佛洛伊德算法的应用
4.佛洛伊德算法的优缺点
5.结论
正文
1.引言
佛洛伊德算法是一种经典的图论算法，由奥地利心理学家、精神分析学家西格蒙德·佛洛伊德于 1926 年首次提出。
该算法主要用于解决最短路径问题，即在给定有向图中找到从源节点到其他所有节点的最短路径。
佛洛伊德算法在计算机科学、网络科学、交通运输等领域具有广泛的应用。
2.佛洛伊德算法的概念和原理
佛洛伊德算法基于动态规划思想，通过计算图中每个节点的“潜在能”来寻找最短路径。
所谓潜在能，是指一个节点在到达其他节点时所具有的能量。
算法的基本思想是：对于每个节点，我们试图通过消耗一定的能量，将其他节点的潜在能提升至与当前节点相等。
这样，当我们遍历完整个图时，源节点的潜在能即为所有节点中的最小值，从而得到最短路径。
3.佛洛伊德算法的应用
佛洛伊德算法在实际应用中具有广泛的应用，例如在交通运输领域，可以用于寻找最短路径以减少运输时间、降低运输成本；在网络科学中，可以用于分析网络结构，找出关键节点以提高网络稳定性等。
4.佛洛伊德算法的优缺点
佛洛伊德算法的优点在于其简单、直观，易于理解和实现。
然而，它也存在一些缺点，如计算量较大，对于大规模图来说计算时间较长。
此外，佛洛伊德算法只适用于有向图，对于无向图无法直接应用。
5.结论
总的来说，佛洛伊德算法是一种重要的图论算法，解决了最短路径问题。
在实际应用中，佛洛伊德算法具有广泛的应用前景，但也存在一些局限性。
弗洛伊德 统计简单路径数
弗洛伊德统计简单路径数弗洛伊德（Floyd）算法是一种用于寻找图中最短路径的算法。
该算法通过计算从一个顶点到其他所有顶点的最短路径，从而得到一个最短路径矩阵。
在该矩阵中，每个元素代表从一个顶点到另一个顶点的最短路径长度。
统计简单路径数是指在一个有向图中，统计从一个顶点到另一个顶点的所有路径的数量，且每个路径中的顶点不重复。
弗洛伊德算法可以用来解决统计简单路径数的问题。
下面我将详细介绍弗洛伊德算法的原理和步骤。
弗洛伊德算法的原理是动态规划。
它通过不断更新顶点之间的最短路径长度来求解最短路径矩阵。
算法的关键在于一个递推关系式，即通过比较当前路径长度与经过中间顶点的路径长度之和，来更新最短路径。
算法的步骤如下：1. 创建一个二维矩阵D，矩阵的大小为n*n，其中n是图的顶点数量。
矩阵D 的初始值为图中的路径长度，如果两个顶点之间没有直接的路径，则路径长度为无穷大。
2. 对矩阵D进行n次迭代，每次迭代都尝试更新矩阵D的元素。
3. 在每次迭代中，对于矩阵D的每个元素D[i][j]，尝试通过中间顶点k来更新路径长度。
如果路径D[i][j]大于D[i][k] + D[k][j]，则更新D[i][j]的值为D[i][k] +D[k][j]。
4. 迭代完成后，矩阵D中的每个元素D[i][j]表示从顶点i到顶点j的最短路径长度。
5. 统计简单路径数的方法是利用矩阵D，对于每对顶点i和j，遍历所有中间顶点k，如果路径D[i][j]等于D[i][k] + D[k][j]，则说明存在一条简单路径。
通过以上步骤，我们可以得到一个最短路径矩阵D，矩阵中的每个元素表示从一个顶点到另一个顶点的最短路径长度。
同时，我们也可以统计出从一个顶点到另一个顶点的简单路径数。
弗洛伊德算法的时间复杂度为O(n^3)，其中n是顶点的数量。
这是因为算法需要进行n次迭代，每次迭代都要更新矩阵D的所有元素。
因此，对于较大的图，算法的计算时间可能会较长。
v 弗洛伊德算法
v 弗洛伊德算法弗洛伊德算法（Floyd’s algorithm），又称为插点法，是一种通过动态规划求解最短路径问题的算法。
该算法在图论中有着广泛的应用，能够快速求解出两点之间的最短路径。
本文将为大家介绍弗洛伊德算法的原理以及实际应用。
1. 算法原理弗洛伊德算法的核心思想是利用中间点来更新起点到终点的距离。
假设图中任意两点之间的距离都为$d[i][j]$，则我们假设存在一个中间点$k$，可以将起点$i$和终点$j$之间的最短路径分成两部分，即起点到中间点的路径$d[i][k]$和中间点到终点的路径$d[k][j]$。
所以我们可以得到如下的状态转移方程：$$d[i][j]=\min(d[i][j],d[i][k]+d[k][j])$$通过不断地更新所有点之间的最短路径，我们最终可以得到所有节点之间的最短路径。
2. 算法实现弗洛伊德算法的实现中，最重要的一步就是更新状态转移方程。
具体来说，我们需要使用三层循环嵌套遍历所有点，将当前节点到所有其他节点的最短距离更新一遍即可。
下面就是使用 Python 语言实现弗洛伊德算法的代码片段：```pythonn = len(graph)for k in range(n):for i in range(n):for j in range(n):graph[i][j] = min(graph[i][j], graph[i][k] +graph[k][j])```在这段代码中，$graph$是一个$n \times n$的矩阵，表示所有节点之间的距离。
其中$n$是节点的数量。
3. 算法应用弗洛伊德算法的主要应用是求解带权图中各个节点之间的最短路径。
在实际生活中，我们可以将节点看作是城市，将距离看作是两个城市之间的道路距离。
这样，就可以使用弗洛伊德算法来计算任意两座城市之间的最短路程，帮助人们规划出更加便捷的旅行路线。
另外，在计算机网络中，弗洛伊德算法也被广泛应用于路由协议的设计中。
弗洛伊德算法
弗洛伊德算法定义Floyd算法又称为弗洛伊德算法，插点法，是一种用于寻找给定的加权图中顶点间最短路径的算法。
核心思路通过一个图的权值矩阵求出它的每两点间的最短路径矩阵。
从图的带权邻接矩阵A=[a(i,j)] n×n开始，递归地进行n次更新，即由矩阵D(0)=A，按一个公式，构造出矩阵D(1)；又用同样地公式由D(1)构造出D(2)；……；最后又用同样的公式由D(n-1)构造出矩阵D(n)。
矩阵D(n)的i行j列元素便是i号顶点到j号顶点的最短路径长度，称D(n)为图的距离矩阵，同时还可引入一个后继节点矩阵path来记录两点间的最短路径。
采用的是松弛技术，对在i和j之间的所有其他点进行一次松弛。
所以时间复杂度为O(n^3);算法描述a) 初始化：D[u,v]=A[u,v]b) For k:=1 to nFor i:=1 to nFor j:=1 to nIf D[i,j]>D[i,k]+D[k,j] ThenD[i,j]:=D[i,k]+D[k,j];c) 算法结束：D即为所有点对的最短路径矩阵算法过程把图用邻接矩阵G表示出来，如果从Vi到Vj有路可达，则G[i,j]=d，d表示该路的长度；否则G[i,j]=空值。
定义一个矩阵D用来记录所插入点的信息，D[i,j]表示从Vi到Vj需要经过的点，初始化D[i,j]=j。
把各个顶点插入图中，比较插点后的距离与原来的距离，G[i,j] = min( G[i,j], G[i,k]+G[k,j] )，如果G[i,j]的值变小，则D[i,j]=k。
在G中包含有两点之间最短道路的信息，而在D中则包含了最短通路径的信息。
比如，要寻找从V5到V1的路径。
根据D，假如D(5,1)=3则说明从V5到V1经过V3，路径为{V5,V3,V1}，如果D(5,3)=3，说明V5与V3直接相连，如果D(3,1)=1，说明V3与V1直接相连。
时间复杂度O(n^3)优缺点分析Floyd算法适用于APSP(All Pairs Shortest Paths)，是一种动态规划算法，稠密图效果最佳，边权可正可负。
佛洛伊德算法
佛洛伊德算法摘要：1.佛洛伊德算法简介2.算法原理与流程3.应用领域4.优缺点分析5.我国在相关领域的研究与进展正文：佛洛伊德算法是一种基于人工智能的文本生成算法，它的核心思想是通过学习大量文本数据，生成与输入文本相似的自然语言文本。
该算法由深度学习领域的专家们提出，并在近年来逐渐成为自然语言处理领域的研究热点。
1.佛洛伊德算法简介佛洛伊德算法，又称为变分自编码器（Variational Autoencoder, VAE），是一种生成模型。
它通过将输入文本编码成低维度的“潜在空间”，再从潜在空间中采样一个向量，最后将该向量解码成生成文本。
这种方法使得模型能够在学习过程中捕捉到输入文本的语义信息，从而生成与原始文本相似的自然语言文本。
2.算法原理与流程（1）编码器：将输入文本编码成低维度的潜在空间。
（2）采样器：在潜在空间中随机采样一个向量。
（3）解码器：将采样向量解码成生成文本。
（4）损失函数：衡量生成文本与原始文本之间的差距。
3.应用领域佛洛伊德算法广泛应用于自然语言处理领域，包括文本生成、机器翻译、对话系统等。
通过学习大量文本数据，该算法能够生成连贯、通顺的自然语言文本，为各种应用场景提供有力支持。
4.优缺点分析优点：（1）生成文本质量高，具有较强的语义表达能力。
（2）能够捕捉到输入文本的潜在语义结构，较好地满足自然语言生成的需求。
缺点：（1）训练过程可能需要大量的计算资源和时间。
（2）生成文本可能存在一定的随机性，导致多样性不足。
5.我国在相关领域的研究与进展近年来，我国在自然语言处理领域取得了显著的研究成果。
不仅提出了许多具有创新性的算法，还在国际竞赛中取得了优异成绩。
同时，我国政府和企业也在大力支持人工智能技术的发展，为相关领域的研究提供了有力保障。
总之，佛洛伊德算法作为一种先进的文本生成方法，在自然语言处理领域具有广泛的应用前景。
弗洛伊德（Floyd）算法
弗洛伊德（Floyd）算法最短路径问题：从某个顶点出发到达另外⼀个顶点的所经过的边的权重和最⼩的⼀条路径弗洛伊德算法解决最短路径问题1.基本思想（1）计算图中各个顶点之间的最短路径，每⼀个顶点都是出发访问点，所以需要将每⼀个顶点看做被访问顶点，求出从每⼀个顶点到其他顶点的最短路径（2）所有顶点都作为中间节点遍历⼀次，每次遍历将各个顶点经过中间节点到另⼀个节点的距离，与不经过该节点的距离相⽐较，若经过中间节点的距离更⼩，就更新距离表与前驱关系（3）时间复杂度O(n3)，所有顶点作为出发点、中间节点、终点，每个顶点都要遍历3次2.步骤（1）设置顶点 a 到顶点 b 的最短路径已知为 L ab，顶点 b 到 c 的最短路径已知为 L bc，顶点 a 到 c 的路径为 L ac，则 a 到 c 的最短路径为：min ( ( L ab + L bc ), L ac )，b 的取值为图中所有顶点，则可获得 a 到 b 的最短路径（2）⾄于 a 到 b 的最短路径 L ab或者 b 到 c 的最短路径 L bc，是以同样的⽅式获得（3）三个点为同⼀顶点时：中间顶点为⾃⾝；三个点是不同顶点时：中间顶点是终点的前驱节点；两个顶点直接连通时：中间节点为出发点代码实现import java.util.Arrays;public class Floyd {//弗洛伊德算法解决最短路径问题public static final int BLOCK = 65535;//表⽰顶点之间不直接连通public static void main(String[] args) {char[] vertex = {'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};//顶点到⾃⾝距离为0int[][] matrix = {{0, 5, 7, BLOCK, BLOCK, BLOCK, 2},{5, 0, BLOCK, 9, BLOCK, BLOCK, 3},{7, BLOCK, 0, BLOCK, 8, BLOCK, BLOCK},{BLOCK, 9, BLOCK, 0, BLOCK, 4, BLOCK},{BLOCK, BLOCK, 8, BLOCK, 0, 5, 4},{BLOCK, BLOCK, BLOCK, 4, 5, 0, 6},{2, 3, BLOCK, BLOCK, 4, 6, 0}};Graph graph = new Graph(matrix, vertex);graph.floyd();graph.result();}}//带权⽆向图class Graph {public char[] vertex;//存放顶点public int[][] matrix;//保存各个顶点到其它顶点的距离，初始为直接连接的距离，算法计算后为最短距离public int[][] relay;//保存中间结点//构造器public Graph(int[][] matrix, char[] vertex) {this.vertex = vertex;this.matrix = matrix;this.relay = new int[vertex.length][vertex.length];//三个点为同⼀顶点时：中间顶点为⾃⾝；三个点是不同顶点时：中间顶点是终点的前驱节点；两个顶点直接连通时：中间节点为出发点for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {Arrays.fill(relay[i], i);//初始中间顶点为⾃⾝}}//显⽰算法结果public void result() {for (int k = 0; k < vertex.length; k++) {for (int i = 0; i < vertex.length; i++) {System.out.println(vertex[k] + " 到 " + vertex[i] +" 最短路径 " + matrix[k][i] +" 中间结点 " + vertex[relay[k][i]]);}System.out.println();}}//弗洛伊德算法public void floyd() {int temp;//保存i到j的距离for (int i = 0; i < matrix.length; i++) {//出发点ifor (int j = 0; j < matrix.length; j++) {//中间顶点jfor (int k = 0; k < matrix.length; k++) {//终点ktemp = matrix[i][j] + matrix[j][k];//求从i出发，经过k，到达j的距离 if (temp < matrix[i][k]) {matrix[i][k] = temp;//更新距离relay[i][k] = relay[j][k];//更新中间顶点}}}}}}。
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运筹学实验报告-Floyd算法班级：信息082班姓名：桑治平学号：200812030220 10.6 先写出距离矩阵：D=[0 3 inf 4 inf inf inf inf inf;inf 0 3 inf 2 3 inf inf inf;inf inf 0 inf inf inf inf inf 5;inf inf inf 0 inf inf 3 inf inf;inf inf inf inf 0 3 inf inf inf;inf inf inf inf inf 0 1 inf 2.5;inf inf inf inf inf inf 0 2 2;inf inf inf inf inf inf inf 0 4;inf inf inf inf inf inf inf inf 0;];Floyd算法如下：n = size(D,1);D1 = D;for i = 1:nfor j = 1:nR(i,j) = j;endendRfor k = 1:nfor i = 1:nfor j = 1:nif D1(i,k) + D1(k,j) < D1(i,j)D1(i,j) = D1(i,k) + D1(k,j);R(i,j) = R(i,k);endendendkD1Rend运行结果如下：>> FloydR = 1 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 9 k = 1D1 =0 3.0000 Inf 4.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 3.0000 Inf 2.0000 3.0000 Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf 5.0000 Inf Inf Inf 0 Inf Inf 3.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 3.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 1.0000 Inf 2.5000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 2.0000 2.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 4.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 R = 1 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 9k = 2D1 =0 3.0000 6.0000 4.0000 5.0000 6.0000 Inf Inf Inf Inf 0 3.0000 Inf 2.0000 3.0000 Inf Inf Inf Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf 5.0000 Inf Inf Inf 0 Inf Inf 3.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 3.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 1.0000 Inf 2.5000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 2.0000 2.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 4.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 R = 1 2 2 4 2 2 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 9k =3D1 = 0 3.0000 6.0000 4.0000 5.0000 6.0000 Inf Inf 11.0000 Inf 0 3.0000 Inf 2.0000 3.0000 Inf Inf 8.0000 Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf 5.0000 Inf Inf Inf 0 Inf Inf 3.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 3.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 1.0000 Inf 2.5000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 2.0000 2.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 4.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0R = 1 2 2 4 2 2 7 8 21 2 3 4 5 6 7 8 31 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 9k =4D1 = 0 3.0000 6.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 Inf 11.0000 Inf 0 3.0000 Inf 2.0000 3.0000 Inf Inf 8.0000 Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf 5.0000 Inf Inf Inf 0 Inf Inf 3.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 3.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 1.0000 Inf 2.5000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 2.0000 2.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 4.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0R = 1 2 2 4 2 2 4 8 21 2 3 4 5 6 7 8 31 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 9k = 5D1 = 0 3.0000 6.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 Inf 11.0000 Inf 0 3.0000 Inf 2.0000 3.0000 Inf Inf 8.0000 Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf 5.0000 Inf Inf Inf 0 Inf Inf 3.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 3.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 1.0000 Inf 2.5000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 2.0000 2.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 4.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0R = 1 2 2 4 2 2 4 8 21 2 3 4 5 6 7 8 31 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 9k = 6D1 = 0 3.0000 6.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 Inf 8.5000 Inf 0 3.0000 Inf 2.0000 3.0000 4.0000 Inf 5.5000 Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf 5.0000 Inf Inf Inf 0 Inf Inf 3.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 3.0000 4.0000 Inf 5.5000 Inf Inf Inf Inf Inf 0 1.0000 Inf 2.5000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 2.0000 2.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 4.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0R = 1 2 2 4 2 2 4 8 21 2 3 4 5 6 6 8 61 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 6 8 61 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 9D1 = 0 3.0000 6.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 9.0000 8.5000 Inf 0 3.0000 Inf 2.0000 3.0000 4.0000 6.0000 5.5000 Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf 5.0000Inf Inf Inf 0 Inf Inf 3.0000 5.0000 5.0000 Inf Inf Inf Inf 0 3.0000 4.0000 6.0000 5.5000 Inf Inf Inf Inf Inf 0 1.0000 3.0000 2.5000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 2.0000 2.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 4.0000Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0R = 1 2 2 4 2 2 4 4 21 2 3 4 5 6 6 6 61 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 7 71 2 3 4 5 6 6 6 61 2 3 4 5 6 7 7 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 9k =8D1 = 0 3.0000 6.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 9.0000 8.5000 Inf 0 3.0000 Inf 2.0000 3.0000 4.0000 6.0000 5.5000 Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf 5.0000Inf Inf Inf 0 Inf Inf 3.0000 5.0000 5.0000 Inf Inf Inf Inf 0 3.0000 4.0000 6.0000 5.5000 Inf Inf Inf Inf Inf 0 1.0000 3.0000 2.5000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 2.0000 2.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 4.0000Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0R = 1 2 2 4 2 2 4 4 21 2 3 4 5 6 6 6 61 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 7 71 2 3 4 5 6 6 6 61 2 3 4 5 6 7 7 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 9D1 = 0 3.0000 6.0000 4.0000 5.0000 6.0000 7.0000 9.0000 8.5000 Inf 0 3.0000 Inf 2.0000 3.0000 4.0000 6.0000 5.5000 Inf Inf 0 Inf Inf Inf Inf Inf 5.0000Inf Inf Inf 0 Inf Inf 3.0000 5.0000 5.0000 Inf Inf Inf Inf 0 3.0000 4.0000 6.0000 5.5000 Inf Inf Inf Inf Inf 0 1.0000 3.0000 2.5000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 2.0000 2.0000 Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0 4.0000Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf Inf 0R = 1 2 2 4 2 2 4 4 21 2 3 4 5 6 6 6 61 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 7 71 2 3 4 5 6 6 6 61 2 3 4 5 6 7 7 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 91 2 3 4 5 6 7 8 9根据矩阵R很容易判断出最短路为(v1,v2,v6,v9)。