充分条件与必要条件(公开课)
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《充分条件和必要条件》示范公开课教学课件【高中数学人教A版必修第一册】
具体 实例
抽象 概念
辨析 概念
应用 概念
敬请各 位老 师提 出宝 贵意见 ！
追问1 判断q是p的必要条件的依据与方法分别是什么？
新知探究
例2 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的q是p的必要条件？ （1）若四边形为平行四边形，则这个四边形是的两组对角分别相等； （2）若两个三角形相似，则这两个三角形的三边成比例； （3）若四边形的对角线互相垂直，则这个四边形为菱形垂直；
引入新课
新概念的学习过程： 具体实例——定义——表示——辨析——应用
猜想： 具体实例——什么是充分条件、必要条件和充要条件？ ——如何表示？——如何判断？——如何应用？
引入新课
问题2 在初中，我们学习过命题，什么是命题？什么是真 命题和假命题？你能举一些例子吗？并试着将你的例子改写 成“若p，则q”的形式．
追问1 判断p是q的充分条件的依据与方法分别是什么？
新知探究
例1 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题中的p是q的充分条件？
（1）若四边形的两组对角分别相等，则这个四边形是平行四边形； （2）若两个三角形的三边成比例，则这两个三角形相似； （3）若四边形为菱形，则这个四边形的对角线互相垂直；
解： （1）这是一条平行四边形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件． （2）这是一条相似三角形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件． （3）这是一条菱形的判定定理，p⇒q，所以p是q的充分条件．
新知探究
问题4 下列“若p，则q”形式的命题中，p是否为q的充分条件？ q是否为p的必要条件？为什么？
（1）若平行四边形的对角线互相垂直，则这个平行四边形是菱形；真
p是q的充分条件，q是p的必要条件
充分条件和必要条件公开课
1. 若p q,则p是q的充分条件. 或说：“q是p的必要条件” 2.若p q,则p是q的充分必要条件. 简称p是q的充要条件. 3.若p q,且q p则p是q的充分不必要条件 4.若p q,且q 5.若p q,且q 要条件. p则p是q的既不充分也不必
p则p是q的必要不充分条件
例题：
利用定义解决问题,并寻找判断方法.
逆否命题 若﹁ q则﹁p
问 题 情 境
鱼生存需要水，没了水，鱼就无法生
存，但只有水，鱼能否生存？
探究：p：“有水”；q：“鱼能生存”。 判断: “若p，则q”
pq 1、我们约定：若p则q为真，记作： pq 若p则q为假，记作：
例如：
如果两个三形全等，那么两三角形面积相等。
第一组题：
(1)"a > 0，b > 0"是 "ab > 0"的什么条件？
p p p p
找 p、 q
q q q
（答：充分不必要条件）
(2)"四边行为平行四边形"是 "这个四边形为菱形 "的什么条件？
（答：必要不充分条件）
(3)在D ABC中，BC = AC是行 A= B的什么条件？
（答：充要条件）
(4)" a2 > b2 "是" a > b "的什么条件？
(D) p 是q 的既 不充分也不 必要条件
课堂小结
（1）充分条件、必要条件、充分必要 条件的概念。 （2）判断充分、必要条件的基本步骤： ①认清条件和结论； ②考察 p q和q p 的真假； ③下结论。
作 业 布 置
一、生活中的一些名言警句包含着充要关系， 如：“骄兵必败”、“玉不琢，不成器”、 “若要人不知，除非己莫为”等等。 请大家自己试着找一些，分析其关系。 感受数学的魅力。 二、完成第四课时、第五课时
高中数学《充分条件与必要条件》公开课优秀教学
将学生分成若干小组进行竞赛，采用 积分制或排名制等方式记录成绩。
对竞赛结果进行总结和表彰，鼓励学 生继续努力并取得更好的成绩。
07 总结回顾与作业 布置
关键知识点总结回顾
充分条件
如果A发生，则B一定发生，即A是B的充分条件。
必要条件
如果B发生，则A一定发生，即A是B的必要条件。
关键知识点总结回顾
知识目标
掌握充分条件与必要条件的定 义和性质，理解两者之间的联 系和区别。
能力目标
能够运用充分条件与必要条件 的判断方法解决数学问题，提 高分析问题和解决问题的能力 。
情感目标
培养学生严谨的逻辑思维和推 理能力，增强对数学的兴趣和
信心。
教学方法与手段
教学方法
采用讲解、讨论、案例分析等多 种教学方法相结合的方式。
利用逻辑等价式将命题化简，得到与原命题等价的简化命题。
判断简化命题的真假
02
通过观察或计算判断简化命题的真假。
得出原命题的真假
03
根据简化命题的真假，得出原命题的真假。
举反例法判断命题真假
理解举反例法的原理
通过举出一个反例来证明命题为假，若无法举出反例，则命题可能 为真。
尝试举反例
针对命题的条件和结论，尝试寻找一个满足条件但不满足结论的例 子。
例如，“若x>0，则x^2>0”就是一 个充分条件命题。其中，“x>0”是 充分条件，“x^2>0”是结论。
逻辑联结词在必要条件中应用举例
01
02
03
04
必要条件是指某个命题不成立 ，则另一个命题也一定不成立 。在必要条件中，逻辑联结词 “除非”、“只有...才...”表示
必要条件关系。
公开课讲义(充分与必要条件)
1．2．1充分条件与必要条件（一）教学目标 1.知识与技能：正确理解充分不必要条件、必要不充分条件的概念； 会判断命题的充分条件、必要条件． 2.过程与方法：复习回顾感知概念理解概念深化概念实例探究 命题的分析 实例构造 集合角度３．情感、态度与价值观：通过学生的参与，培养他们的辨析能力以及良好的思维品质，激发学生学习数学的热情. （二）教学重点与难点重点：⑴ 充分条件、必要条件、充要条件概念的理解；⑵ 判断给定命题的条件与结论之间的关系. 难点：⑴ 在p ⇒q 中 q 是p 的必要条件的理解； ⑵ 如何判断 p 是 q 的什么条件；⑶ 判断命题条件与结论间关系时，条件 p 的确定。
（三）教学方法： 探究式教学法感知概念深化概念小结作业师生互动探究 逆向思维探究 （四）教学手段： 多媒体辅助教学 （五）教学过程： Ⅰ复习回顾：（1）四种命题的概念 （2）四种命题的关系 Ⅱ感知概念：⒈ 判断下列“若p 则q ”形式命题的真假， 并研究其逆命题的真假. ⑴ p ：小明是合肥人， q ：小明是中国人 ⑵ p ：x >5 ， q ： x >0；⑶ p ：22x y =， q ： x = y ； ⑷ p ：A ∩B=A ， q ： A B ⊆；⑸ p ：a >b ， q ：22a b >； 2. 写出⑴的逆否命题，并判断真假.3.感知概念、引出课题p:小明是合肥人，q:小明是中国人问题:能否改变⑴中的条件p ，使结论q 仍然成立？ 师生互动探究活动1.学生活动让学生阅读教材9页,并且用 “⇒”和“≠>”符号表示题组1中的原命题与逆命题.2.点评学生活动引出定义⑴ p:小明是合肥人 q:小明是中国人 ⑵ p: x >5 ， q: x >0；⑶ p: 22x y =， q: x = y ； ⑷ p: A ∩B=A ， q: A B ⊆； ⑸ p: a >b ， q: 22a b >；在⑴、⑵、⑷中，p ⇒q ，即只要有条件p 就一定能“充分”保证q 成立，这时称p 是q 成立的充分条件.命题⑴p ⇒q ,根据逆否命题q p ⌝⇒⌝, 即如果没有q 成立,就一定没有p 成立,q 成立是p 成立“必须要有”的条件,称q 是p 的必要条件. 3．充分、必要条件定义：如果p ⇒q 那么①p 是q 成立的充分条件，②q 是p 成立的必要条件. 解读：①符合“若p 则q ”为真（p ⇒q ）的形式,即“有之必成立”。
公开课教案《充分条件与必要条件》教案设计
案例二
对于命题“只有年满18岁，才能参加选举。”年满18岁是参加选举的必要条件，因为如果不满18岁，就一定不能参加选举。但年满18岁并不一定能参加选举，因为还需要满足其他条件（如具有选举权等），因此年满18岁不是参加选举的充分条件。
案例三
对于命题“当且仅当x=2时，x^2=4。”这里x=2既是x^2=4的充分条件也是必要条件，因为只有当x=2时，x^2才等于4；反过来，如果x^2=4，那么x一定等于2。
在解决实际问题时，充分条件和必要条件往往需要结合使用，以更全面地描述问题。
充分条件是指使得某个事件或命题一定成立的条件，而必要条件则是指某个事件或命题成立所必须满足的条件。
定义不同
充分条件是单向的，即只要满足充分条件，事件或命题就一定成立；而必要条件是双向的，即事件或命题成立则必须满足必要条件，反之则不一定。
需要进一步提高的方面
在今后的学习中，我需要加强对充要条件判定方法的掌握，提高解题速度和准确率。
03
02
01
如《离散数学》、《数学逻辑基础》等，这些书籍对充分条件与必要条件有更深入的讲解，同时也有更多的例题和练习题供读者练习。
相关数学书籍
如慕课网、网易云课堂等平台上的相关数学课程，这些课程通常由知名高校的教师讲授，内容丰富、讲解清晰。
示例
定义
通过识别题目中的充分条件，可以帮助学生快速找到解题的突破口。
解题思路引导
定理证明
实际应用
在数学定理的证明过程中，充分条件往往作为推理的起点，通过逐步推导得出结论。
在实际问题中，通过分析充分条件，可以帮助学生理解问题的本质和求解方法。
03
02
01
1
2
3
条件A是条件B的充分条件，但条件B的发生不一定需要条件A的存在。
高二数学充分与必要条件省公开课获奖课件市赛课比赛一等奖课件
( x 1)( y 2) 0 x 1且y 2
必要不充分 充分不必要
经典例题
例3、请用“充分不必要”、“必要不充分”、
“充要”、“既不充分也不必要”填空：
(1)“(x-2)(x-3)=0”是“x=2”旳＿必＿要＿不＿充＿分＿条件.
(2)“同位角相等”是“两直线平行”充旳要＿＿＿
条件.
充分不必要
(2) p是q旳充分条件且是必要条件. q是p充分条件且是必要条件.
2. 充分必要条件 假如p是q旳充分条件， p又是q旳必 要条件，则称 p是q旳充分必要条件，
简称充要条件，记作 p q ．
3.判断充分、必要条件旳基本环节： （1）认清条件和结论；
（2）考察 pq 和 q p 旳真假。
一、复习
1、命题：能够判断真假旳语句，可写成：若p则q。 2、四种命题及相互关系：
原命题 若p则q
互逆
逆命题
若q则p
互否
互为 逆否 互 否
否命题 若 p则 q 互逆
逆否命题 若 q则 p
1.1.2 充分条件与必要条件
判断下列命题是真命题还是假命题：
（1）若
，则
；真
（2）若 x2 y，2则 x y ； 假
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．既充分又必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．设p是q旳充分不必要条件，则p是q 旳 必要不充分 条件．
4、方程 x 2 x m 0无实根是 m 0 旳什么条件？
5、（1）若
，则 是 旳什么条件？
（2）若 p q，则 p 是 q 旳什么条件？
(3)“x=3”是“x2=9”旳＿＿＿＿＿＿条件.
(4)“四边形既旳不对充角分线也相不等必”要是“四边形为平行 四边形”旳＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿条件.
1-2《充分条件与必要条件》(新人教A版选修2-1)省公开课一等奖全国示范课微课金奖PPT课件
0 k 25 . 3
第19页
作业：
• P.15 A组 第4题 B组第2题
第20页
第21页
命题“若p则q”
已知A＝{x | x满足条件p}，B＝{x | x满足条件q} 1) A B,则p是q充分条件，q是p必要条件.
2) A B,则p是q充分不必要条件，q是p必要不充分条件.
3) A B,则p是q的充要条件.
那么甲是乙的（ A ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也必要条件
第14页
例5、设、、为平面，m、n、l为直线，则m 的
一个充分条件是（ D ）.
A. ， l, m l B. m, ,
C. , , m
D.n , n , m
普通以下几个情况适宜使用反证法
（1）结论本身是以否定形式出现一类命 题； （2）相关结论是以“至多”，或“最少” 形式出现一类命题； （3）关于唯一性、存在性命题； （4）结论反面比原结论更详细、更轻易 研究命题（正难则反）.
第6页
第7页
原命题 若p则q
互逆 互否
互
为逆
否
为逆
否命题 互
否
若p则 q 互 逆
第12页
例2、以“充分无须要条件”、“必要不充分条件”、“充 要条件”与”既不充分也无须要条件“中选出适当一个 填空.
1)" x 0, y 0"是" xy 0"的（充分无须要条件） 2）"a N "是"a Z "的 （充分无须要条件） 3）" x2 1 0"是" x 1 0"的 （必要不充分条件） 4）"同旁内角互补"是"两直线平行"的（充要条件） 5)" x 5"是" x 3"的 （必要不充分条件） 6)"a b"是"a c b c"的 （充要条件） 7）已知ABC不是直角三角形，" A<B "是
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作业：
• P.15 A组 第4题 B组第2题
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命题“若p则q”
已知A＝{x | x满足条件p}，B＝{x | x满足条件q} 1) A B,则p是q充分条件，q是p必要条件.
2) A B,则p是q充分不必要条件，q是p必要不充分条件.
3) A B,则p是q的充要条件.
那么甲是乙的（ A ）.
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件
D.既不充分也必要条件
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例5、设、、为平面，m、n、l为直线，则m 的
一个充分条件是（ D ）.
A. ， l, m l B. m, ,
C. , , m
D.n , n , m
普通以下几个情况适宜使用反证法
（1）结论本身是以否定形式出现一类命 题； （2）相关结论是以“至多”，或“最少” 形式出现一类命题； （3）关于唯一性、存在性命题； （4）结论反面比原结论更详细、更轻易 研究命题（正难则反）.
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原命题 若p则q
互逆 互否
互
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否
为逆
否命题 互
否
若p则 q 互 逆
第12页
例2、以“充分无须要条件”、“必要不充分条件”、“充 要条件”与”既不充分也无须要条件“中选出适当一个 填空.
1)" x 0, y 0"是" xy 0"的（充分无须要条件） 2）"a N "是"a Z "的 （充分无须要条件） 3）" x2 1 0"是" x 1 0"的 （必要不充分条件） 4）"同旁内角互补"是"两直线平行"的（充要条件） 5)" x 5"是" x 3"的 （必要不充分条件） 6)"a b"是"a c b c"的 （充要条件） 7）已知ABC不是直角三角形，" A<B "是
充分条件与必要条件 公开课一等奖课件
高考总分:711分 毕业学校:北京八中 语文139分 数学140分 英语141分 理综291分 报考高校：
北京大学光华管理学院
北京市理科状元杨蕙心
充分条件与必要条件的判断
（1）直接利用定义判断：即“若p q成立， 则p是q的充分条件，q是p的必要条件”. （条件与结论是相对的）
（2）利用等价命题关系判断：“p q”的等 价命题是“┐q ┐p”。 即“若┐q ┐p成立，则p是q的充分条件，q 是p的必要条件”
例1：如图1，有一个圆A，在其内又含有一个圆 B. 请回答 ⑴命题：若“A为绿色”，则“B为绿色” 中，“A为绿色”是“B为绿色”的什么 条件； “B为绿色”又是“A为绿色”的什么条 件.
班主任： 我觉得何旋今天取得这样的成绩， 我觉得，很重要的是，何旋是土生土长的北京 二中的学生，二中的教育理念是综合培养学生 的素质和能力。我觉得何旋，她取得今天这么 好的成绩，一个来源于她的扎实的学习上的基 础，还有一个非常重要的，我觉得特别想提的， 何旋是一个特别充满自信，充满阳光的这样一 个女孩子。在我印象当中，何旋是一个最爱笑 的，而且她的笑特别感染人的。所以我觉得她 很阳光，而且充满自信，这是她突出的这样一 个特点。所以我觉得，这是她今天取得好成绩 当中，心理素质非常好，是非常重要的。
高中选修《数学2-1》（新教材）
1.2.1充分条件与 必要条件
自学指导:
看课本
理解并掌握充分条件和必要条件的含义
10分钟后回答问题（如有疑问可以 问老师或同桌小声讨论）
充分条件与必要条件的判断
（1）直接利用定义判断：即“若p q成立， 则p是q的充分条件，q是p的必要条件”. （条件与结论是相对的）
青 春 风 采
高考总分：
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课堂练习：课本P36练习：1，2；
答案： 1.填在课本上（略） 2.（口答）
⑴充分不必要条件 ⑵.充分不必要条件 ⑶.充要条件 ⑷.必要不充分条件
精品课件
引申 ①从命题角度看
若把命题中的条件与结论分别记作p与q ,则原命题
与逆命题同p与q之间有如下关系：
㈠若原命题是真命题,逆命题是假 命题, 那么p是q的充分不必要条件
从集合角度考虑
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4 、 如 果 命 题 “ 若 p 则 q” 为 假 ， 则记作p q.
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一.充分条件与必要条件
例 “若x>0，则x2>0”是一个真命题，可写成：x>0 x2>0；
“若两三角形全等，则两三角形的面积相等”是一个真
命题, 可写成：两三角形全等 两三角形面积相等.
一般地，如果已知p q，那么我们就说，
角形的三条边相等，q也是p的充分条件，p也是q的
必要条件．
精品课件
课堂练习：课本P35练习：1、2
答案： 1填在课本上(略）
2⑴∵pq，∴p是q的充分条件, q是p的必要条件 ⑵∵qp，∴p是q的必要条件, q是p的充分条件
⑶∵pq，∴p是q的充分条件，q是p的必要条件 又∵qp∴q也是p的充分条件p也是q的必要条件.
B.丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 集
C.丙是甲的充要条件
合
D.丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 的
角
度
丙 乙
甲
丙
考
虑
甲（乙）
精品课件
情况１
情况２
解法２（常规解法－－画线型流程图）
丙
乙
甲
从而丙是甲的充分不必要条件
精品课件
小结
充分条件、必要条件、充要条件的概念
充
要
从定义出发
条
件
充分条件、必要条件的正确判断 从命题角度考虑
(1)p: (x-2)(x-3)=0; q: x-2=0
(2)p: 同位角相等; q: 两直线平行
(3)p: x=3;
q: x2=9
(4)p: 四边形的对角线相等
q: 四边形是平行四边形
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解：
(1) q:（x-2)=0
p:(x-2)(x-3)=0
(x-2)(x-3)=0 （x-2)=0
⑵ p：三角形的三条边相等；
q：三角形的三个角相等.
分析：可以根据“若p则q”与“若q则p”的真假进行判
断解.:(1) 由pq ,即x=y
x2=充y分2，条件，q是知p的p是必q要的条件.
⑵由pq,即三角形的三边相等
三角形知的p是三q角的相充等分,条件,q是p的必要条件;
反过来，由q p，即三角形的三个角相等 三
即 充分不
:必要条件
p q qp
㈡若原命题是假命题,逆命题是真 命题,那么p是q的必要不充分条件
即: 必要不 充分条件
pq q p
} ㈢若原命题和逆命题都是真命题, 那么p和q互为充要条件
㈣若原命题和逆命题是假命题, 那么p是q的既不充分也不必要条件
充
即:要 条
件
pq q p
即:既不充分也 不必要条件
p q
pq qp
back
精品课件
引申⑴p是q的充分不必要条
② 件，相当于P Q,如右图
从
集
⑵p是q的必要不充分条
合
件,相当于P Q ,如左图
角
度 ⑶p q,相当于P=Q ,
看
即:互为充要条件的两个事物
表示的是——同一事物。如
back 右图:
精品课件
例３（用集合的方法来判断下列
各题中的p是q的什么条件）
１．p:菱形 q:正方形 2. p: x>4 q: x>1
解：１．由图１可知p是q的 必要不充分条件 ２．由图２可知p是q的 充分不必要条件
p:菱形 q:正方形
图１
q
p
01
4
精品课件
图２
练习
设甲、乙、丙是三个命题，如果甲是乙的必 要条件，丙是乙的充分不必要条件，那么（ ）A
A.丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 从
⑷∵p q,∴p是q的充分条件, q是p的必要条件
又∵q p，∴ q也是p的充分条件,p也是q的必要条件
精品课件
二.充要条件
在例1的第(2)小题中,”三角形的三条边相等”既
是三角形的三个角相等”的充分条件,又是”三角
形的三个角相等”的必要条件,我们就说,”三角
形的三条边相等”是”三角形的三个角相等”的
p是q的充分条件，
q是p的必要条件.
在上面两个例子中， “x>0”是“x2>0”的
，“x2>0”是“x>0”
的
充分条件
必要条件
“两三角形全等”是“两三角形面积相等”的充分条件 “两三角形面积相等”是“两三角形全等”的必要条件.
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例1 指出下列各组命题中，p是q的什么条件，
q是p的什么条件：
⑴ p：x=y；q：x2=y2.
人教版高一数学第一册（上）
充分条件与必要条件
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1、命题：可以判断真假的语句
复 可以写成：若p则q。 2、四种命题及相互关系
习
原命题
互逆
逆命题
旧
若 p则 q
若 q则 p
知引 互否 互为
逆否 互否
否命题
入 若 p则 q
互逆
逆否命题
若 q则 p
新 3、若命题“若p则q””为为真真,, 课 记作p q（或q p）.
充分必要条件,简称充要条件.
一般地,如果既有p q,又有q p,就记作
P
q
这时，p是q的充分条件，又是q的必要条件， 我们就说，p是q的充分必要条件，简称充要条件 。
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例：
“x是6的倍数” 是“x是2的倍数” 的充分不必要条件
“x是2的倍数”是“x是6的倍数” 的必要不充分条件
“X既是2的倍数也是3的倍数”“是x是６的倍数”的充要条件
“x是４的倍数”是“x是6的倍数”的既不充分也不必要条件
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归纳
条件p与结论q的四种关系
p是q的充分 不必要条件
p q pq
p是q的必要 不充分条件
pq
pq
} p是q的充要条件
pq
pq p q
p是q的既不充分 也不必要条件
pq pq
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例２
指出下列各组命题中，p是q的什么条件（在“充分而 不必要条件”，“必要而不充分条件”，“充要条件 ”和“既不充分也不必要条件”中选出一种）？
所以p是q的 必要不充分条件
（２）同位角相等 两直线平行 所以p是q的充要条件
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(3)p:x=3 x2=9
q:x2=9 x=3
所以p是q的充分不必要条件
4)p:四边形的对角线相等 形
q:四边形是平行四边
四边形是既平不行充四分边也形不必要条四件边形的对角线相等 所以p是q的
back
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