平面几何添加辅助线的方法
平行线中添辅助线的方法
平行线中添辅助线的方法在几何学中，平行线是指在同一个平面内，永远不会相交的线。
平行线可以用于解决许多几何问题。
有时，为了更好地理解和解决问题，我们可能需要在已知的平行线中添加辅助线。
这篇文章将介绍一些经常在平行线中添加辅助线的方法，以及如何利用这些辅助线解决几何问题。
方法一：创建平行线之间的等距线段这是最常见的方法之一，可以通过创建平行线之间的等距线段来添加辅助线。
这个方法可以在几何证明中使用，以创建所需的形状或角度。
下面是一个例子：假设有两个平行线AB和CD，在这两条平行线上选择两个等距点E和F。
然后，通过连接EF，你就创建了一个辅助线，使得EF平行于AB和CD。
这样，你就可以利用这个平行四边形来证明或解决其他几何问题。
方法二：使用交叉线段这个方法涉及到在平行线上选择一个点，并通过它绘制一条与其他平行线相交的线段。
这种方法通常用于证明几何性质。
例如，假设有两个平行线AB和CD，我们可以在AB上选择一个点E，并通过它绘制一条线段EF与CD相交。
然后，通过观察EF与AB的关系，可以证明一些三角形的性质或者其他几何关系。
方法三：利用平行线之间的相似三角形利用平行线之间的相似三角形是另一种常用的方法。
通过观察平行线和与它们相交的第三条线，可以找到相似的三角形。
然后，利用这些相似三角形的性质来解决几何问题。
例如，假设有两个平行线AB和CD，以及一条与它们相交的第三条线EF。
通过观察，可以发现三角形ADE与三角形BCF相似。
这意味着可以使用相似三角形的性质来计算未知角度或线段的长度。
方法四：利用中位线和对角线这个方法通常涉及到在平行线形成的平行四边形中绘制中位线或对角线。
中位线是连接平行四边形两对相对顶点的线段，对角线是连接两对非相邻顶点的线段。
这些辅助线可以帮助我们找到形状的性质，或计算线段的长度。
例如，假设有一个平行四边形ABCD，你可以通过绘制对角线AC来创建两个互相重叠的三角形ABC和ADC。
通过观察这些三角形的性质，可以得出许多结论，例如它们的面积相等或角度相等。
添加辅助线的方法
添加辅助线的方法（一）从图形考虑1，在三角形中，已知一条中线，常把延长一倍构成全等三角形或平行四边形，或把一边延长一倍造中位线，或取另一边的中点作成中位线。
2，在三角形中，若已知两条或三条中线时，则常连结两个中点作成中位线或延长某一中线到它的三分之一处，使之与重心、两个顶点构成平行四边形。
3，在等腰三角形中。
常引底边上的高或顶角的平分线；在直角三角形中，则常引斜边上的中线或高。
4，在梯形中，常过顶点作高或与腰平行的线段；若已知各边中点，则作中位线。
5，在圆中，常作直径所对的圆周角，垂直于弦的半径（或直径）。
过切点的半径；若两圆相切，则常作它的公切线和连心线；此外，还可根据共圆条件作一些辅助圆。
（二）从要证的结论考虑1，要证线段的和、差、倍、分或比较大小时，常用延长或截取方法进行等量代换。
2，要证线段、角相等时，常找全等形进行等量代换。
3，要证四条线段成比例时，常作平行线找相似形。
4，要证面积相等时，常平移变换找等积形。
（三）从添辅助线的作用考虑1，作平行线有利于造成线段、角相等，有利于造成相似形、平行四边形、全等形、等积形。
2，作垂线有利于造成平行线、直角三角形。
3，作圆有关线段和角，有利于用圆的有关性质和有关定理。
如何添加辅助线，归纳的方法是很多的，还可用如下的口诀加以记忆；辅助线如何添，找出规律凭经验。
题中有角平分线，可向两边作垂线。
线段垂直平分线，可与两端把线连。
三角形中两中点，连结则成中位线。
三角形中有中线，则把中线一倍延。
成比例，证相似，通常要作平行线。
作线原则有一条，证题线段别割断圆外若有一切线，切点圆心把线连。
如果两圆内外切，经过切点作切线。
两圆相交于两点，一般要作公共弦。
是直径、成半圆，想作直角把线连。
作等角，添个圆，证明题目少困难。
辅助线是虚线，画图注意莫改变。
辅助线的添法灵活多变，归纳只是一种形式，要灵活掌握，灵活运用。
这里只是介绍了常规的一些辅助线的作法，具体问题要具体分析，要多在实际问题中去操练，才能形成自己的能力。
初中平面几何常见添加辅助线的方法
初中几何辅助线做法辅助线,如何添把握定理和概念;还要刻苦加钻研,找出规律凭经验;三角形图中有角平分线,可向两边作垂线;也可将图对折看,对称以后关系现;角平分线平行线,等腰三角形来添;角平分线加垂线,三线合一试试看;线段垂直平分线,常向两端把线连;要证线段倍与半,延长缩短可试验;三角形中两中点,连接则成中位线;三角形中有中线,延长中线等中线;四边形平行四边形出现,对称中心等分点;梯形里面作高线,平移一腰试试看;平行移动对角线,补成三角形常见;证相似,比线段,添线平行成习惯;等积式子比例换,寻找线段很关键;直接证明有困难,等量代换少麻烦;斜边上面作高线,比例中项一大片;圆半径与弦长计算,弦心距来中间站;圆上若有一切线,切点圆心半径连;切线长度的计算,勾股定理最方便;要想证明是切线,半径垂线仔细辨;是直径,成半圆,想成直角径连弦;弧有中点圆心连,垂径定理要记全;圆周角边两条弦,直径和弦端点连;弦切角边切线弦,同弧对角等找完;要想作个外接圆,各边作出中垂线;还要作个内接圆,内角平分线梦圆;如果遇到相交圆,不要忘作公共弦;内外相切的两圆,经过切点公切线;若是添上连心线,切点肯定在上面;要作等角添个圆,证明题目少困难;辅助线,是虚线,画图注意勿改变; 假如图形较分散,对称旋转去实验;基本作图很关键,平时掌握要熟练; 解题还要多心眼,经常总结方法显;切勿盲目乱添线,方法灵活应多变; 分析综合方法选,困难再多也会减;一、见中点引中位线,见中线延长一倍在几何题中,如果给出中点或中线,可以考虑过中点作中位线或把中线延长一倍来解决相关问题;二、在比例线段证明中,常作平行线;作平行线时往往是保留结论中的一个比,然后通过一个中间比与结论中的另一个比联系起来;三、对于梯形问题,常用的添加辅助线的方法有1、过上底的两端点向下底作垂线2、过上底的一个端点作一腰的平行线3、过上底的一个端点作一对角线的平行线4、过一腰的中点作另一腰的平行线5、过上底一端点和一腰中点的直线与下底的延长线相交6、作梯形的中位线7、延长两腰使之相交四、在解决圆的问题中1、两圆相交连公共弦;2、两圆相切,过切点引公切线;3、见直径想直角4、遇切线问题,连结过切点的半径是常用辅助线5、解决有关弦的问题时,常常作弦心距;。
初中平面几何常见添加辅助线的方法
初中平面几何常见添加辅助线的方法平面几何是数学中的一个重要分支，通过在平面上描述和研究几何图形之间的关系和性质。
在解决平面几何问题中，添加辅助线是一种常见且有效的方法，可以帮助我们更好地理解和分析问题。
下面是初中平面几何常见的添加辅助线的方法：1.使用垂直辅助线：垂直辅助线是指与已知线段垂直的辅助线，可以用来分割和构造几何图形。
比如，在矩形中，可以通过连接矩形的对角线来构造一条垂直辅助线，从而将矩形分割为两个等腰直角三角形。
2.使用平行辅助线：平行辅助线是指与已知线段平行的辅助线，可以用来帮助构造平行线段和证明平行性质。
例如，在平行四边形中，可以通过连接相邻顶点和平行线段的端点来构造平行辅助线，从而证明平行四边形的对边相等。
3.使用角平分线：角平分线是指将一个角平分为两个等角的辅助线。
在解决涉及角的等分、相等或相似性质问题时，添加角平分线是非常有用的方法。
例如，在等腰三角形中，可以通过连结底边中点和顶角顶点的直线来构造角平分线，从而证明等腰三角形的顶角相等。
4.使用中线：中线是指连接一个几何图形的两边中点的辅助线。
在解决涉及几何图形的中点、平行四边形和三角形性质问题时，添加中线是一种常见的方法。
例如，在四边形中，可以通过连接相对边的中点来构造中线，从而证明中线互相平分。
5.使用高线：高线是指从多边形的一个顶点向对边所引的垂线。
在解决多边形的高、重心、垂心和外心问题时，添加高线是非常有用的方法。
例如，在三角形中，可以通过从一个顶点向对边引垂线来构造高线，从而证明高线汇聚于三角形的垂心。
6.使用辅助图形：有时，我们可以通过在平面上添加一些辅助图形来辅助解决几何问题。
例如，在求解平行四边形的面积时，可以通过添加一个垂直边和一个三角形来将平行四边形划分为两个高度相等的矩形，从而方便计算面积。
在实际应用中，我们可以根据具体问题的要求来灵活地选择合适的辅助线方法。
添加辅助线不仅可以帮助我们更好地理解和分析问题，还可以提高解题效率和准确性。
初中数学辅助线的添加方法,帮你轻松拿下压轴题!
今天，数姐为大家整理了初中数学辅助线的添加方法，赶快来看看~~一、添辅助线有二种情况1、按定义添辅助线：如证明二直线垂直可延长使它们，相交后证交角为90°；证线段倍半关系可倍线段取中点或半线段加倍；证角的倍半关系也可类似添辅助线。
2、按基本图形添辅助线：每个几何定理都有与它相对应的几何图形，我们把它叫做基本图形，添辅助线往往是具有基本图形的性质而基本图形不完整时补完整基本图形，因此“添线”应该叫做“补图”！这样可防止乱添线，添辅助线也有规律可循。
举例如下：（1）平行线是个基本图形：当几何中出现平行线时添辅助线的关键是添与二条平行线都相交的等第三条直线（2）等腰三角形是个简单的基本图形：当几何问题中出现一点发出的二条相等线段时往往要补完整等腰三角形。
出现角平分线与平行线组合时可延长平行线与角的二边相交得等腰三角形。
（3）等腰三角形中的重要线段是个重要的基本图形：出现等腰三角形底边上的中点添底边上的中线；出现角平分线与垂线组合时可延长垂线与角的二边相交得等腰三角形中的重要线段的基本图形。
（4）直角三角形斜边上中线基本图形：出现直角三角形斜边上的中点往往添斜边上的中线。
出现线段倍半关系且倍线段是直角三角形的斜边则要添直角三角形斜边上的中线得直角三角形斜边上中线基本图形。
（5）三角形中位线基本图形：几何问题中出现多个中点时往往添加三角形中位线基本图形进行证明当有中点没有中位线时则添中位线，当有中位线三角形不完整时则需补完整三角形；当出现线段倍半关系且与倍线段有公共端点的线段带一个中点则可过这中点添倍线段的平行线得三角形中位线基本图形；当出现线段倍半关系且与半线段的端点是某线段的中点，则可过带中点线段的端点添半线段的平行线得三角形中位线基本图形。
（6）全等三角形：全等三角形有轴对称形，中心对称形，旋转形与平移形等；如果出现两条相等线段或两个档相等角关于某一直线成轴对称就可以添加轴对称形全等三角形：或添对称轴，或将三角形沿对称轴翻转。
平面几何中常见的辅助线添加方法.doc
平面几何中常见的辅助线添加方法李振基山东省平度市古幌镇古幌中学266742一、依据定义和性质添加辅助线1.证明线段与线段的相互垂直位置关系时，我们可以根据垂直的定义, 延长这两线段使其相交，然后证明它们所成的角为90度。
2.证明线段或角的和差倍半关系时，常采取延长较短的线段为原来的2 倍，然后证明这条线段等于另外一条线段。
证明角之间的倍数关系也是如此。
3.含有角的平分线的题目，常以角平分线为对称轴，利用角平分线的性质和题中的条件，构造出全等三角形，从而利用全等三角形的知识解决问题。
角平分线具有两条性质：（1）对称性；（2）角平分线上的点到角两边的距离相等。
对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种：①从角平分线上一点向两边作垂线；②利用角平分线，构造对称图形（如在一侧的长边上截取短边）。
通常情况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。
至于选取哪种方法，要结合题目图形和己知条件。
4.证明圆的有关问题时，通常要根据圆的有关定义、性质添加辅助线。
（1）见弦作弦心距，从而达到运用垂径定理沟通题设和结论o （2）见直径出现直径与半圆上的点，添90度的圆周角；出现90度的圆周角则添它所对弦一一直径，作其所对的圆周角，利用“直径所对的圆周角是直角”这一性质、直角三角形的有关特点解决具体问题。
（3）见切线作过切点的半径，利用“圆的切线垂直于过切点的半径”的切线性质构造直角三角形。
（4）两圆相交作公切线。
在两圆相切题目中，采取经过切点作两圆的公切线，从而构造直角三角形、矩形或者与圆有关的角，使两圆的关系更加密切、条件更为集中。
（5）两圆相交作公共弦，然后运用这条公共弦所对的圆周角或圆心角，在两圆之间架起角与角关系的桥梁。
二、基本图形（直线、三角形、平行四边形）辅助线的添加平面几何中的复杂图形都是由基本图形构成的，而这些图形在题设中却又常常是不完整的，这就需要通过添加辅助线构造基本图形。
平面几何辅助线的方法
平面几何辅助线的方法平面几何中，辅助线是指在解题过程中为了方便分析，辅助求解而引入的辅助线段、辅助点等。
常见的平面几何辅助线的方法包括：1. 过某点引直线或线段：在解决直线或线段相交、平行、垂直等问题时，可以通过引入过某一点的辅助线或线段，利用垂直关系或等角关系来求解。
例如，已知平面上直线AB与CD相交于点P，要证明直线AB与CD平行，可以引入线段AC和BD，利用等角关系，证明直线AB与线段CD平行，最终推出直线AB 与直线CD平行。
2. 过某线段中点引直线：在解决线段平分、线段比例等问题时，可以通过引入过线段中点的辅助线段或线段延长线，利用垂直关系或等角关系来求解。
例如，已知线段AB上有一点C，且AC:BC=1:2，要证明线段AB被点C平分，可以引入过点C的辅助线段AD和CE，利用等角关系，证明线段AB被点C平分，最终推出线段AB被点C平分。
3. 过某角的两边引直线：在解决角平分、角相等、角垂直等问题时，可以通过引入过角的两边的辅助直线或线段，利用垂直关系或等角关系来求解。
例如，已知角ABC，要证明角ABC被一条直线垂直平分，可以引入辅助线段AD和CE，利用等角关系和垂直关系，证明角ABC被直线DE垂直平分，最终推出角ABC 被一条直线垂直平分。
4. 引入垂直关系：在解决垂直关系问题时，可以通过引入垂直线段或垂直直线的辅助线段或线段延长线，来帮助求解。
例如，求解过一个点作与一条给定直线垂直的直线，可以通过引入过该点的辅助线段，选择一个任意点和该点连线，然后通过求解垂直关系来确定垂直直线的位置。
5. 引入平行关系：在解决平行关系问题时，可以通过引入平行线段或平行直线的辅助线段或线段延长线，来帮助求解。
例如，要证明两条直线平行，可以通过引入两条直线的平行线段或平行直线，然后通过运用平行关系来证明最初要证明的两条直线平行。
在实际应用中，选择合适的辅助线方法可以大大简化解题步骤，提高解题效率。
平面几何添加辅助线的技巧
平面几何添加辅助线的技巧第一讲注意添加平行线证题在同一平面内，不相交的两条直线叫平行线.平行线是初中平面几何最基本的，也是非常重要的图形.在证明某些平面几何问题时，若能依据证题的需要，添加恰当的平行线则能使证明顺畅、简洁.添加平行线证题,一般有如下四种情况.1 为了改变角的位置大家知道，两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补.利用这些性质，常可通过添加平行线，将某些角的位置改变，以满足求解的需要.例1 设P、Q为线段BC上两点,且BP = CQ,A为BC外一动点（如图1）.当点A运动到使/ BAP=Z CAQ时，△ ABC是什么三角形？试证明你的结论.答：当点A运动到使/ BAP=Z CAQ时，△ ABC为等腰三角形.证明：如图1,分别过点P、B作AC、AQ的平行线得交点D.连结DA.在厶DBP = /AQC 中,显然/ DBP = /AQC, / DPB = /C. 由BP =CQ,可知△ DBPAQC.有DP = AC, / BDP = / QAC.C 于是,DA // BP, / BAP=Z BDP.则A、D、B、P四点共圆,且四边形ADBP为等腰梯形.故AB= DP. 所以AB= AC.这里,通过作平行线，将/ QAC “平推”到/ BDP的位置.由于A、D、B、P四点共圆，使证明很顺畅.例2如图2,四边形ABCD为平行四边形, / BAF =/ BCE.求证：/ EBA=Z ADE. 证明：如图2,分别过点A、B作ED、EC 的平行线,得交点P,连PE.由AB £ CD,易知△ PBA^A ECD.有FA = ED, PB = EC.显然,四边形PBCE 、PADE 均为平行四边形.有/ BCE =Z BPE, / APE =/ ADE.由/ BAF = / BCE,可知 / BAF =/ BPE.有P 、B 、A 、E 四点共圆.于是，/ EBA =Z APE. 所以，/ EBA =Z ADE.这里，通过添加平行线，使已知与未知中的四个角通过 P 、B 、A 、E 四点共圆，紧密 联系起来./ APE 成为/ EBA 与/ ADE 相等的媒介，证法很巧妙.2 为了改变线段的位置利用“平行线间距离相等”、“夹在平行线间的平行线段相等”这两条，常可通过添 加平行线，将某些线段“送”到恰当位置，以证题.例3在厶ABC 中，BD 、CE 为角平分线，P 为ED 上任意一点.过P 分别作AC 、AB 、 BC 的垂线，M 、N 、Q 为垂足.求证：PM + PN = PQ.证明：如图3,过点P 作AB 的平行线交BD 于F,过点F 作BC 的平行线分别交PQ 、AC 于 K 、G,连 PG.由BD 平行/ ABC,可知点F 到AB 、BC 两边距离相等.有KQ = PN. 显然，旦=巨=C G ,可知PG// EC.PD FD GD由CE 平分/ BCA,知GP 平分/ FGA.有PK = PM.于是， PM + PN = PK + KQ = PQ.这里,通过添加平行线，将PQ “掐开”成两段，证得PM = PK,就有PM + PN = PQ. 证法非常简捷.3 为了线段比的转化C图3由于“平行于三角形一边的直线截其它两边，所得对应线段成比例”，在一些问题中可以通过添加平行线，实现某些线段比的良性转化.这在平面几何证题中是会经常遇到/ FDA _Z EDA.证明：如图5,过点A 作BC 的平行线,分 别交直线DE 、DF 、 BE 、CF 于 Q 、P 、N 、M.DCAM 有 BD - AM _ DC - AN. 亠 AP AF AM 由—_ _ ,BD FB BC显然,BD _ KD_ AN KA ⑴BD •M有 AP_ BC例4 设M i 、M 2是厶ABC 的BC 边上的点且BM i = CM 2.任作一直线分别交 AB 、 AC 、AM i 、AM 2于 P 、Q 、N i 、N 2.试证:AB AC AM 1AM 2+ = + .AP AQAN iAN 2证明：如图4,若PQ // BC,易证结论成立. 若PQ 与BC 不平行,设PQ 交直线BC 于D.过点A 作PQ 的平行线交直线BC 于 E.由 BM i = CM 2,可知 BE + CE = M i E + M 2E,易知AB _ BE AC _ CE AP _ DE ，AQ _ DE，AM i M i E AM 2 M 2E AN i _ DE ，AN 2 _ DE .则 AB + AC _ BE +CE _ M i ^M 2E _ AM i + AM 2 贝寸 + + AP AQ DE DE AN i AN 2AB , ACAM i , AM 2+ _ + -------------- AP AQ AN i AN 2这里,仅仅添加了一条平行线，将求证式中的四个线段比“通分”，使公分母为DE, 于是问题迎刃而解.例5 AD 是厶ABC 的高线，K 为AD 上一点，BK 交AC 于E, CK 交AB 于F.求证:图5,AQ AE ANi~n————由--- - ,DC EC BC（（有AQ =竺型BCAP = AQ.显然AD 为PQ 的中垂线,故AD 平分/ PDQ.这里,原题并未涉及线段比，添加BC 的平行线,就有大量的比例式产生，恰当地运用 这些比例式,就使AP 与AQ 的相等关系显现出来.4 为了线段相等的传递 当题目给线段相等的关系传递开去例6在厶ABC 中,AD 是BC 边上的中线，点M 在AB 边上，点N 在AC 边上，并且 1 2 2 (AB 2+ AC 2).4/ MDN = 90° .如果 BM 2+ CN 2 = DM 2 + DN 2,求证:证明：如图6,过点B 作AC 的平行线交ND 延长线于E.连ME.由BD = DC,可知ED = DN.有△ BEDC显然，MD 为EN 的中垂线.有EM = MN. 由 BM 2+ BE 2= BM 2 + NC 2= MD 2+MN2_ EM 2,可知△ BEM 为直角三角z ABC +Z ACBABC +Z EBC = 90°.于是,z BAC = 90.所以，AD 2=扌212 2BC =一 （AB 2 + AC 2）.、这里,添加AC 的平行线,将BC 的以D 为中点的性质传递给EN,使解题找到出路. 例7如图7, AB 为半圆直径，D 为AB 上一点,分别在半圆上取点E 、F,使EA = DA, FB = DB.过D 作AB 的垂线,交半圆于C.求证:CD 平分EF.证明：如图7,分别过点E 、F 作AB 的垂线，G 、H 为垂足,连FA EB.易知C此式表明，DM _ ME 的充要条件是 BN _ NC.DB 2= FB 2= AB • HB, AD 2=AE 2= AG • AB.二式相减,得 DB 2— AD 2=AB • (HB — AG)或(DB — AD) • AB = AB • (HB — AG). 于是,DB — AD = HB — AG, 或 DB — HB = AD — AG.就是 DH = GD. 显然，EG // CD // FH. 故 CD 平分 EF.这里,为证明CD 平分EF,想到可先证CD 平分GH.为此添加CD 的两条平行线EG 、 FH,从而得到G 、H 两点.证明很精彩.经过一点的若干直线称为一组直线束.一组直线束在一条直线上截得的线段相等，在该直线的平行直线上截得的线段也相如图8,三直线AB 、AN 、AC 构成一组直线束，DE 是与BC 平行的直线.于是,有DM _ AM _ ME BN _ AN _ NC DMME 卡 DM BN_ 或 _—— BN NC ME NC 利用平行线的这一性质，解决某些线段相等的问题会很漂亮 例8如图9, ABCD 为四边形，两组对边延长 后得交点E 、F,对角线BD // EF, AC 的延长 线交EF 于G.求证：EG _GF.证明：如图9,过C 作EF 的平行线分别交AE 、 AF 于 M 、N.由 BD // EF,可知 MN // BD.易知BEF _ S ^DEF . 有 S\BEC _ S ^n KG — *5 n DFC .可得 MC _ CN. 所以,EG _ GF.例9 如图10, O O 是厶ABC 的边BC 外的旁 切圆，D 、E 、F 分别为O O 与BC 、CA 、AB 的切点.若OD 与EF 相交于K,求证：AK 平 分BC.证明：如图10,过点K 作BC 的行平线分别图7交直线AB 、AC 于Q 、P 两点，连OP 、OQ 、 OE 、OF.由OD 丄BC,可知OK 丄PQ.由OF 丄AB,可知O 、K 、F 、Q 四点共圆,有 / FOQ =/ FKQ. 由OE 丄AC,可知O 、K 、P 、E 四点共圆.有/ EOP =Z EKP. 显然，/ FKQ = / EKP, 可知/ FOQ = / EOP.由 OF = OE,可知 Rt △ OFQ 也Rt A OEP.贝U OQ = OP. 于是，OK 为PQ 的中垂线，故QK = KP.所以,AK 平分BC.综上，我们介绍了平行线在平面几何问题中的应用•同学们在实践中应注意适时添 加平行线,让平行线在平面几何证题中发挥应有的作用第二讲巧添辅助圆在某些数学问题中，巧妙添置辅助圆常可以沟通直线形和圆的内在联系 ，通过圆的 有关性质找到解题途径•下面举例说明添置辅助圆的若干思路•1 挖掘隐含的辅助圆解题有些问题的题设或图形本身隐含着“点共圆”，此时若能把握问题提供的信息，恰当 补出辅助圆，并合理挖掘图形隐含的性质，就会使题设和结论的逻辑关系明朗化•1.1作出三角形的外接圆例1 如图1,在厶ABC 中，AB = AC, D 是底边BC 上一点，E 是线段AD 上一点且/ BED = 2 / CED = / A.求证：BD = 2CD.分析：关键是寻求/ BED = 2/CED 与结论的联系. 容易想到作/ BED 的平分线,但因BE M ED,故不能 直接证出BD = 2CD.若延长AD 交厶ABC 的外接圆 于F,则可得EB = EF,从而获取.证明：如图1,延长AD 与厶ABC 的外接圆相交于点F,连结CF 与BF,则/ BFA =Z BCA =Z ABC =Z AFC,即/ BFD = / CFD.故 BF:CF = BD: DC.又/ BEF = / BAC, / BFE =Z BCA,从而/ FBE =Z ABC =Z ACB =Z BFE. 故 EB = EF.AG'" F图1作/ BEF的平分线交BF于G,则BG = GF.又S ABCD = S k ABD + S A BCD = 3.32故曲AOB=害.因/ GEF =丄/ BEF=/ CEF, / GFE = / CFE,故厶FEG ◎△ FEC.从而GF= FC.2于是,BF = 2CF.故BD= 2CD.1.2利用四点共圆例 2 凸四边形ABCD 中，/ ABC = 60° , / BAD =/ BCD = 90° ,AB= 2, CD = 1,对角线AC、BD交于点O,如图2. 贝U sin/AOB= _______________ .分析：由/ BAD = / BCD = 90° 可知A、B、C、D四点共圆,欲求sin/ AOB,联想到托勒密定理,只须求出BC、AD即可.解：因/BAD = / BCD = 90° ,故A、B、C、D四点共圆.延长BA、CD交于P,则/ ADP=/ ABC= 60设AD = x,有AP= ,3x, DP = 2x.由割线定理得(2 + , 3x)、、3x= 2x(1 + 2x).解得AD=x= 2 . 3 —2, BC= 1 BP = 4— 3 .2由托勒密定理有BD • CA= (4 —.3)(2 3 —2) + 2X 1 = 10.3 —12.例 3 已知：如图3, AB= BC= CA= AD, AH 丄CD于H, CP丄BC, CP交AH于P.求证：73△ ABC 的面积s= —AP • BD.4分析：因S k ABC=3 BC2= 3 AC • BC,只4 4须证AC • BC= AP • BD,转化为证厶APC sk BCD.这由A、B、C、Q四点共圆易证（Q为BD与AH交点）.证明：记BD与AH交于点Q,则由AC = AD, AH丄CD得/ACQ=/ ADQ.又 AB = AD,故/ ADQ = / ABQ.从而，/ ABQ =Z ACQ.可知A 、B 、C 、Q 四点共圆. vZ APC = 90°+/ PCH = / BCD, / CBQ =/ CAQ, •••△ APC sA BCD.二 AC • BC = AP • BD. 于是，S = 3 AC • BC =3AP • BD.442 构造相关的辅助圆解题有些问题貌似与圆无关，但问题的题设或结论或图形提供了某些与圆的性质相似的 信息，此时可大胆联想构造出与题目相关的辅助圆，将原问题转化为与圆有关的问题加 以解决•2.1联想圆的定义构造辅助圆例4 如图4,四边形ABCD 中，AB // CD, AD = DC =DB = p, BC = q.求对角线AC 的长. 分析：由“ AD = DC = DB = p ”可知A 、B 、C 在 半径为p 的。
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平面几何添加辅助线的方法(口诀)
人说几何很困难，难点就在辅助线。
辅助线，如何添?把握定理和概念。
还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。
图中有角平分线，可向两边作垂线。
也可将图对折看，对称以后关系现。
角平分线平行线，等腰三角形来添。
角平分线加垂线，三线合一试试看。
线段垂直平分线，常向两端把线连。
要证线段倍与半，延长缩短可试验。
三角形中两中点，连接则成中位线。
三角形中有中线，延长中线等中线。
平行四边形出现，对称中心等分点。
梯形里面作高线，平移一腰试试看。
平行移动对角线，补成三角形常见。
证相似，比线段，添线平行成习惯。
等积式子比例换，寻找线段很关键。
直接证明有困难，等量代换少麻烦。
斜边上面作高线，比例中项一大片。
半径与弦长计算，弦心距来中间站。
圆上若有一切线，切点圆心半径连。
切线长度的计算，勾股定理最方便。
要想证明是切线，半径垂线仔细辨。
是直径，成半圆，想成直角径连弦。
弧有中点圆心连，垂径定理要记全。
圆周角边两条弦，直径和弦端点连。
弦切角边切线弦，同弧对角等找完。
要想作个外接圆，各边作出中垂线。
还要作个内接圆，内角平分线梦圆
如果遇到相交圆，不要忘作公共弦。
内外相切的两圆，经过切点公切线。
若是添上连心线，切点肯定在上面。
要作等角添个圆，证明题目少困难。
辅助线，是虚线，画图注意勿改变。
假如图形较分散，对称旋转去实验。
基本作图很关键，平时掌握要熟练。
解题还要多心眼，经常总结方法显。
切勿盲目乱添线，方法灵活应多变。
分析综合方法选，困难再多也会减。
虚心勤学加苦练，成绩上升成直线。
几何证题难不难，关键常在辅助线;
知中点、作中线，中线处长加倍看; 底角倍半角分线，有时也作处长线; 线段和差及倍分，延长截取证全等; 公共角、公共边，隐含条件须挖掘;
全等图形多变换，旋转平移加折叠; 中位线、常相连，出现平行就好办; 四边形、对角线，比例相似平行线; 梯形问题好解决，平移腰、作高线; 两腰处长义一点，亦可平移对角线;
正余弦、正余切，有了直角就方便; 特殊角、特殊边，作出垂线就解决; 实际问题莫要慌，数学建模帮你忙;
圆中问题也不难，下面我们慢慢谈; 弦心距、要垂弦，遇到直径周角连; 切点圆心紧相连，切线常把半径添; 两圆相切公共线，两圆相交公共弦; 切割线，连结弦，两圆三圆连心线;
基本图形要熟练，复杂图形多分解; 以上规律属一般，灵活应用才方便。