近世代数课件循环群
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《近世代数》PPT课件
– 剩余类的加法和乘法运算
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
编辑ppt
18
2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
编辑ppt
28
(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
10.01.2021
编辑ppt
6
（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
10.01.2021
和
编辑ppt
联系在一起？
7
例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
10.01.2021
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8
• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。
a b a b ,(m m )o a b d a b(m m )o
10.01.2021
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18
2.2 多项式剩余类环和域
1.域上多项式的定义
– 多项式与码字的关系：桥梁；
• 多项式的系数表示
；
• x的幂次表示
；
– 域上的多项式
• 针对系数定义；
• 例如二进制系数多项式，称为二元域GF(2)上的 多项式。
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28
(1) 常数总是多项式的因子。
(2) 一个多项式 f(x) 是否为既约多项式 与所定义的域有关。
(3) 一个多项式既约的充要条件：多项 式Pl(x) 不能分解成两个次数低于Pl(x) 的多项式的乘积。
(4) 完全分解：n次多项式最多能分解成 n个一次多项式的乘积，被称为完全分 解。
(5) 一次多项式一定是既约的。
（3）加法和乘法之间满足如下分配率 (distributive) ：
a(bc) abac
(bc)a baca
则称F是一个域。
10.01.2021
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6
（1）域的阶（针对群中元素的个数），记 为q。
（2）有限域或伽逻华（Galois）域，表示为：
GF(q)。
–域将
10.01.2021
和
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联系在一起？
7
例2-3
– F1：有理数全体、实数全体对加法和乘法都 分别构成域，分别称为有理数域和实数域。
– F2：0、1两个元素模2加构成域；由于该域 中只有两个元素，记为GF(2)。
10.01.2021
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8
• 定理：
– 设p为质数，则整数全体关于p模的剩余类： 0，1，2，…，p-1，在模p的运算下（p模相 加和相乘），构成p阶有限域GF(p)。
近世代数课件--2.7 循环群
在近世代数里不管是在群论里还是在其它部门里我们研究一种代数系统就是要解决这一种系统的存在问题数量问题和构造问题
§7．循环群 • • • • 7.1 例子 7.2 定义 7.3 基本定理 7.4 如何研究代数系统
7.1例子
例1、n次分园域 U n { x x n 1} { .......} 例2、整数加群Z． 启示： 例1群的元都是G的某一个固定元a的乘方。例2 也 是,这个群的全体的元就都是１的乘方．这一点，假如把G的代 数运算不用＋而用 “ ” 来表示，就很容易看出．我们知道 １ m m m m 的逆元是－１．假定m是任意正整数，那么 m
G ( a ) {a
n
n Z } { a
2
, a , e , a , a }
1
1
2
，
那么G的构造完全可以由a的阶来决定： (1)如果 a 0 ( o r ) ，那么 G Z (2) a n 0 ，那么 G Z n
证明 分两种情况 (1)第一个情形：a的阶无限。构造映射 1)……. 2)……… 3)……… 4)………所以G Z n (2)第二种情形：a的阶是n. 定义映射: f 首先,必须证明映射的合理性;其次, 1)……. 2)……… 3)……… 4)………所以G Z
'
'
（1）…… （2）[ a ] ([ b ] [ c ]) [ a ] [ b c ] [ a ( b c )] [ a b c ]
([ a ] [ b ]) [ c ] [ a b ] [ c ] [( a b ) c ] [ a b c ]
G (a )
§7．循环群 • • • • 7.1 例子 7.2 定义 7.3 基本定理 7.4 如何研究代数系统
7.1例子
例1、n次分园域 U n { x x n 1} { .......} 例2、整数加群Z． 启示： 例1群的元都是G的某一个固定元a的乘方。例2 也 是,这个群的全体的元就都是１的乘方．这一点，假如把G的代 数运算不用＋而用 “ ” 来表示，就很容易看出．我们知道 １ m m m m 的逆元是－１．假定m是任意正整数，那么 m
G ( a ) {a
n
n Z } { a
2
, a , e , a , a }
1
1
2
，
那么G的构造完全可以由a的阶来决定： (1)如果 a 0 ( o r ) ，那么 G Z (2) a n 0 ，那么 G Z n
证明 分两种情况 (1)第一个情形：a的阶无限。构造映射 1)……. 2)……… 3)……… 4)………所以G Z n (2)第二种情形：a的阶是n. 定义映射: f 首先,必须证明映射的合理性;其次, 1)……. 2)……… 3)……… 4)………所以G Z
'
'
（1）…… （2）[ a ] ([ b ] [ c ]) [ a ] [ b c ] [ a ( b c )] [ a b c ]
([ a ] [ b ]) [ c ] [ a b ] [ c ] [( a b ) c ] [ a b c ]
G (a )
近世代数课件(全)--2-4 循环群
2012-9-19
定理6 n 阶循环群 G ( a ) 有且只有 n 的正因数 T(n)个子群. 证：（1）( a ), ( a ), , ( a ) ，则
(a ) (a )
k d
是 ( a ) 的全部子群; （2）对于每个 1 k n，若 ( k , n ) d
1 2 n
G { , a
2
；且
2
,a
1
, a , a , a ,}
0
2.G是n阶循环群 a n ；且
G {a , a , , a }
1 2 n
3.G是n阶循环群， k k a 是G的生成元 a n
推论 若循环群 a ，则 G a 1 . G
2012-9-19
;
d
（3）若 d | n ，则 ( a ) 是唯一一个 阶为n/d的子群.
2012-9-19
G ( a ) ，则 ( a k ) G .
km
证： a km , a kn ( a k )
(a
kn
)
1
a
k(mn)
(a )
k
定理5 证：
无限循环群 G ( a ) 有无限多个子群.
( a ), ( a ), ( a ), 是 ( a ) 的全部
m n
0
1
2
不同的子群（若 ( a ) ( a ) ，则 m | n , n | m ，于是 m n .）
三、数量 定理2 循环群 G a ，则
(1) 若G是无限阶循环群，则G与整数加群同构. (2) 若G是n阶循环群，则G与模n的剩余类加群 同构.
证明： （1） : a k , k Z
定理6 n 阶循环群 G ( a ) 有且只有 n 的正因数 T(n)个子群. 证：（1）( a ), ( a ), , ( a ) ，则
(a ) (a )
k d
是 ( a ) 的全部子群; （2）对于每个 1 k n，若 ( k , n ) d
1 2 n
G { , a
2
；且
2
,a
1
, a , a , a ,}
0
2.G是n阶循环群 a n ；且
G {a , a , , a }
1 2 n
3.G是n阶循环群， k k a 是G的生成元 a n
推论 若循环群 a ，则 G a 1 . G
2012-9-19
;
d
（3）若 d | n ，则 ( a ) 是唯一一个 阶为n/d的子群.
2012-9-19
G ( a ) ，则 ( a k ) G .
km
证： a km , a kn ( a k )
(a
kn
)
1
a
k(mn)
(a )
k
定理5 证：
无限循环群 G ( a ) 有无限多个子群.
( a ), ( a ), ( a ), 是 ( a ) 的全部
m n
0
1
2
不同的子群（若 ( a ) ( a ) ，则 m | n , n | m ，于是 m n .）
三、数量 定理2 循环群 G a ，则
(1) 若G是无限阶循环群，则G与整数加群同构. (2) 若G是n阶循环群，则G与模n的剩余类加群 同构.
证明： （1） : a k , k Z
《近世代数》课件
近世代数的重要性
近世代数是数学领域中的基础学科之 一，是学习其它数学分支的重要基础 。
它对于理解数学的抽象本质和掌握数 学的基本思想方法具有重要意义，有 助于培养学生的逻辑思维和抽象思维 能力。
课程大纲简介
本课程将介绍近世代数的基本概念和性质，包括集合、群、环、域等代数系统的 定义、性质和关系。
1.1 答案
对。因为$a^2$的定义是两个整数相乘，结果仍为整数。
第1章习题及解答
1.2 答案：（略）
1.3 答案：群的基本性质包括封闭性、结合律和存在单位元。
第2章习题及解答
2.1 判断题：若$a$是整数，则$a^3$也是整数。 2.2 选择题：下列哪个是环？
第2章习题及解答
要点一
2.3 简答题
编码理论中的应用
线性码
线性码是一类重要的纠错码，其生成矩阵和校验矩阵都是线性方程组的解。这 些矩阵的构造和性质都与代数理论紧密相关。
高斯-若尔当消元法
在编码理论中，经常使用高斯-若尔当消元法来求解线性方程组，这种方法在代 数中也有广泛的应用。
物理学中的应用
量子力学中的态空间
在量子力学中，态空间是一个复的向量空间，其基底对应于可观测物理量。这与代数学中的向量空间 概念非常相似。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个多项式，那么E在F上形成一个 子域。
如果E是F的一个子集，且E中的元素 都是方程f(x)=0的根，其中f(x)是F上 的一个不可约多项式，那么E在F上形 成一个有限子域。
有限域
有限域的性质
有限域中的元素个数一定是某个素数的幂。
理想与商环
理想的定义与性质
介绍理想的定义，包括左理想、右理想、双边理想等 ，并讨论理想的封闭性、运算性质等。
《循环群与置换群》课件
在实际应用中，同态和同构的概念可 以用于比较不同置换群之间的相似性 和差异性，以及进行置换群的分类和 结构分析。此外，同态和同构也是研 究其他代数结构的重要工具和方法。
06
应用实例
在密码学中的应用
加密算法
置换群和循环群在加密算法中有着广泛的应用，如凯撒密码、栅栏密码等。这些 算法利用置换群中的置换操作对明文进行加密，保护信息的安全。
编码理论
置换群在编码理论中也有着广泛的应用，如线性码和循环码等。这些编码利用置换群的性质，能够设 计出高效可靠的编码方案。
在几何学中的应用
几何变换
置换群在几何变换中有着重要的应用 ，如矩阵表示和仿射变换等。通过利 用置换群的性质，可以研究几何图形 在不同变换下的性质和关系。
分形几何
循环群在分形几何中也有着一定的应 用，如Mandelbrot集和Julia集等。 这些分形结构通过循环群的迭代和递 归生成，展现出复杂而美丽的几何图 案。
《循环群与置换群》PPT课件
目录
• 群的基本概念 • 置换群 • 循环群与置换群的关系 • 循环群的性质 • 置换群的性质 • 应用实例
01
群的基本概念
群的定义
1
群是由一个集合以及定义在这个集合上的二元运 算所组成的一个代数结构。
2
群中的元素称为群元，通常用小写字母表示，如 $a, b, c, ldots$。
子群的构造
通过选择置换群中的若干个置换作为子群的元素，可以构造出置换群的子群。子群可以由单位元和若干个非单位元的 置换构成，其中非单位元的置换可以两两复合得到。
子群在置换群中的作用
子群在置换群的结构和性质研究中具有重要的作用。通过研究子群的性质和分类，可以进一步了解整个 置换群的性质和结构。
近世代数课件群的概念
ab ba e . 为了阐明这样的 b 是唯一的; 满足
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
ab' b'a e. 于是,我们有 b' b'e b'(ab) (b'a)b eb b .所以我 们的命题成立.□
§2 群的概念
对于命题 2.3 中所说的元素 a, b ,我们称 b 为 a 的逆元,记作 b a1 .
乘法都不构成群.
§2 群的概念
例 2 令 P nn 表示某个数域 P 上的全体 n 阶方阵构 成的集合.显然, P nn 关于矩阵的加法构成交换群, P nn 关于矩阵的乘法不构成群.但是,容易明白,数域 P 上的 全体 n 阶可逆矩阵构成的集合关于矩阵的乘法构成群, 称为 n 级一般线性群,记作 GLn (P ) .数域 P 上的全体行 列式的值等于1的 n 阶方阵构成的集合关于矩阵的乘法 构 成 群, 称为 n 级 特 殊线性群 ,记 作 SLn (P ) . 注意,当 n 1时, GLn (P ) 和 SLn (P ) 都不是交换群.
此对于任意的 nN , a 的 n 次幂 an 有意义.现在,对
于任意整数 n 0 ,我们定义 a 的 n 次幂 an 如下:
an
e, (a1)n ,
当 n 0 时; 当n 0 时.
这样一来,对于任意整数 n , an 都有意义.
§2 群的概念
不难验证,幂具有如下性质:对于任意的 a, b G 和 m, n Z ,总有
§2 群的概念
下面介绍置换的表示方法.
设 A {a1, a2 , , an} 是一个有限集, f Sn .我们
可以将 f 表示成下表的形式:
f
a1 (a1)
a2 f (a2 )
f
an (an
近世代数课件循环群
§4 循环群
我们来阐明 H ar .事实上,一方面, 显然, ar H .另一方面,由于 G a 且 H G ,对于任意的 hH ,可设 h an ,其 中 nZ .我们取整数 q 和 s ,使得
n qr s , 0 s r . 若 s 0 ,则
§4 循环群
as anqr an (ar )q h(ar )q H , 这与 r 为 N 中的最小数矛盾.因此 s 0 ,从而,
((s, n), (t, n)) ( t , n) ((s, t), n) (s, n) (s, t)
((s, t), n)
§4 循环群
(s, n) ( t , n) (s, t)
( st , n) ([s, t] n) . (s, t)
§4 循环群
k Z ,使得 r k[s, t].所以 b ar a[s, t] . (2)假设| a | n . 由于 b H ,因此| b | | | as | ;由于 b K ,
因此| b | | | at | .也就是说, n|n,n|n,
(r, n) (s, n) (r, n) (t, n)
h an aqr (ar )q ar . 由 此 可 见 H ar . 所 以 H ar . 这 就 是 说, H 是循环群.□
§4 循环群
命 题 4.2 设 G a 是 一 个 有 限 循 环 群,| a | n , r 是任意一个整数.那么
| ar | n , (r, n)
令 s | ar | .根据命题 3.12， s | n .另一方 (r, n)
§4 循环群
面，由于 (ar )s e 且| a | n ,根据命题 3.12,
n | (rs) ,从而, n | (rs) .由于 ( n , r) 1,
大学课程近世代数循环群与置换群讲义课件
即 f 是同构，故( G,◦) ≅ (Zn, +n) 。
（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
而 1 2 1 2 4 3 4 3 5 5 1 2 1 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 4 3 4 3 5 5 (1)( 2 3) 4 (3)( 4 1)2
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
定理7.3.5 任意一个置换都等于若干个不含公共元 素的循环置换的复合。
例如， 1 32 63 44 18 52 65 77 8 (5)8 2 ()7 1 6 ()3 (1 4)3 2 ()4 5 6 ()8 7
大学课程近世代数循环群与置换群 讲义课件
例7.3.9 利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘(34), (13)∘(24), (14)∘(23)。
通常还是用
1 2
2 3
3 1
来表示。
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（2）作映射 f : G → Z , f ( gk )=k ，
则 f 是同构，故 ( G,◦) ≅ (Z , + )。
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二、置换群
定义7.3.3 设 S为集合，称映射τ : S →S 为 S上的
一个变换。变换即为集合S到S自身的一个映射。
而 1 2 1 2 4 3 4 3 5 5 1 2 1 2 3 3 4 4 5 5 1 1 2 2 4 3 4 3 5 5 (1)( 2 3) 4 (3)( 4 1)2
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定理7.3.5 任意一个置换都等于若干个不含公共元 素的循环置换的复合。
例如， 1 32 63 44 18 52 65 77 8 (5)8 2 ()7 1 6 ()3 (1 4)3 2 ()4 5 6 ()8 7
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例7.3.9 利用循环置换的方法，我们有 3次对称群 S3的元素可以表示为: (1), (12), (13), (23), (123), (132)。 4次对称群 S4的元素可以表示为： (1); (12), (13), (14), (23), (23), (34); (123), (132), (124), (142), (134), (143), (234), (243); (1234), (1243), (1324), (1342), (1423), (1432); (12)∘(34), (13)∘(24), (14)∘(23)。
通常还是用
1 2
2 3
3 1
来表示。
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近世代数课件循环群
目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
§4 循环群
命题 4.1 循环群的子群仍是循环群.
证明 设 G a 是一个循环群, H 是 G 的任意一个子群.
若 H {e} , 则 H 是 循 环 群 . 现 在 假 设 H {e}.考察集合 N {n N | an H} ,易见 N .将 N 中最小的那个正整数记作 r .
h an aqr (ar )q ar . 由 此 可 见 H ar . 所 以 H ar . 这 就 是 说, H 是循环群.□
§4 循环群
命 题 4.2 设 G a 是 一 个 有 限 循 环 群,| a | n , r 是任意一个整数.那么
| ar | n , (r, n)
其中 (r, n) 表示 r 与 n 的最大公约数.
§4 循环群
证明 当 r 0 时,结论显然成立.不妨假
设 r 0 .由于 (r, n) (r, n) 且 | ar | | ar | ,因
此我们可以进一步假设 r 0 .一方面，由于
| a | n ,我们有
n
r
r
(ar )(r, n) (an )(r, n) e(r, n) e .
Hale Waihona Puke §4 循环群于 ak ([s, t], n) a([s, t], n) ,因此 b ar a([s, t],n) .
综上所述,无论是| a | 还是 | a | , 总有 b ar a[s, t] .由于 b 的任意性,我们有
H K a[s, t] .
§4 循环群
注 我们有 [(s, n), (t, n)] (s, n) (t, n)
令 s | ar | .根据命题 3.12， s | n .另一方 (r, n)
§4 循环群
面，由于 (ar )s e 且| a | n ,根据命题 3.12,
n | (rs) ,从而, n | (rs) .由于 ( n , r) 1,
(r, n)
(r, n)
因此 n | s .所以 s n ,即| ar | n .
((s, n), (t, n)) ( t , n) ((s, t), n) (s, n) (s, t)
((s, t), n)
§4 循环群
(s, n) ( t , n) (s, t)
( st , n) ([s, t] n) . (s, t)
谢谢
§4 循环群
为了证明 H K a[s, t] ,现在只需证明 H K a[s, t] .
考察为 H K 中任意一个元素 b ar : (1)假设| a | . 由于 b H ,因此存在 i Z ,使得 r is ; 由于 b K ,因此存在 j Z ,使得 r jt .这就 是说, r 是 s 与 t 的一个公倍数.因此存在
§4 循环群
从 而 , (s, n) | (r, n) 且 (t, n) | (r, n) . 因 此 [(s, n), (t, n)]| (r, n) .众所周知,
([s, t], n) [(s, n), (t, n)].注 所以 ( [s, t], n) | (r, n) ,从而,存在 k Z ,使得 k([s, t], n) (r, n) ,所以 ak([s, t], n) a(r, n) . 这样,根据第 3 题,我们有 a(r, n) a r .因 此, ar ak ([s, t], n) ,从而, ar ak ([s, t], n) .由
(r, n)
(r, n)
(r, n)
□
作业 p16,第 3,4,6 题.
§4 循环群
习题参考答案 5. 设 G a 是 循 环 群 , H as 和 K at 是 G 的两个子群,证明:
H K a[s, t] . 证明 显然 a[s, t] H K ,从而,
a[s, t] H K .
§4 循环群
k Z ,使得 r k[s, t].所以 b ar a[s, t] . (2)假设| a | n . 由于 b H ,因此| b | | | as | ;由于 b K ,
因此| b | | | at | .也就是说, n|n,n|n,
(r, n) (s, n) (r, n) (t, n)
§4 循环群
我们来阐明 H ar .事实上,一方面, 显然, ar H .另一方面,由于 G a 且 H G ,对于任意的 hH ,可设 h an ,其 中 nZ .我们取整数 q 和 s ,使得
n qr s , 0 s r . 若 s 0 ,则
§4 循环群
as anqr an (ar )q h(ar )q H , 这与 r 为 N 中的最小数矛盾.因此 s 0 ,从而,
目录
§1 代数运算 §2 群的概念 §3 子 群 §4 循环群 §5 正规子群与商群 §6 群的同构与同态 §7 有限群
§4 循环群
命题 4.1 循环群的子群仍是循环群.
证明 设 G a 是一个循环群, H 是 G 的任意一个子群.
若 H {e} , 则 H 是 循 环 群 . 现 在 假 设 H {e}.考察集合 N {n N | an H} ,易见 N .将 N 中最小的那个正整数记作 r .
h an aqr (ar )q ar . 由 此 可 见 H ar . 所 以 H ar . 这 就 是 说, H 是循环群.□
§4 循环群
命 题 4.2 设 G a 是 一 个 有 限 循 环 群,| a | n , r 是任意一个整数.那么
| ar | n , (r, n)
其中 (r, n) 表示 r 与 n 的最大公约数.
§4 循环群
证明 当 r 0 时,结论显然成立.不妨假
设 r 0 .由于 (r, n) (r, n) 且 | ar | | ar | ,因
此我们可以进一步假设 r 0 .一方面，由于
| a | n ,我们有
n
r
r
(ar )(r, n) (an )(r, n) e(r, n) e .
Hale Waihona Puke §4 循环群于 ak ([s, t], n) a([s, t], n) ,因此 b ar a([s, t],n) .
综上所述,无论是| a | 还是 | a | , 总有 b ar a[s, t] .由于 b 的任意性,我们有
H K a[s, t] .
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注 我们有 [(s, n), (t, n)] (s, n) (t, n)
令 s | ar | .根据命题 3.12， s | n .另一方 (r, n)
§4 循环群
面，由于 (ar )s e 且| a | n ,根据命题 3.12,
n | (rs) ,从而, n | (rs) .由于 ( n , r) 1,
(r, n)
(r, n)
因此 n | s .所以 s n ,即| ar | n .
((s, n), (t, n)) ( t , n) ((s, t), n) (s, n) (s, t)
((s, t), n)
§4 循环群
(s, n) ( t , n) (s, t)
( st , n) ([s, t] n) . (s, t)
谢谢
§4 循环群
为了证明 H K a[s, t] ,现在只需证明 H K a[s, t] .
考察为 H K 中任意一个元素 b ar : (1)假设| a | . 由于 b H ,因此存在 i Z ,使得 r is ; 由于 b K ,因此存在 j Z ,使得 r jt .这就 是说, r 是 s 与 t 的一个公倍数.因此存在
§4 循环群
从 而 , (s, n) | (r, n) 且 (t, n) | (r, n) . 因 此 [(s, n), (t, n)]| (r, n) .众所周知,
([s, t], n) [(s, n), (t, n)].注 所以 ( [s, t], n) | (r, n) ,从而,存在 k Z ,使得 k([s, t], n) (r, n) ,所以 ak([s, t], n) a(r, n) . 这样,根据第 3 题,我们有 a(r, n) a r .因 此, ar ak ([s, t], n) ,从而, ar ak ([s, t], n) .由
(r, n)
(r, n)
(r, n)
□
作业 p16,第 3,4,6 题.
§4 循环群
习题参考答案 5. 设 G a 是 循 环 群 , H as 和 K at 是 G 的两个子群,证明:
H K a[s, t] . 证明 显然 a[s, t] H K ,从而,
a[s, t] H K .
§4 循环群
k Z ,使得 r k[s, t].所以 b ar a[s, t] . (2)假设| a | n . 由于 b H ,因此| b | | | as | ;由于 b K ,
因此| b | | | at | .也就是说, n|n,n|n,
(r, n) (s, n) (r, n) (t, n)
§4 循环群
我们来阐明 H ar .事实上,一方面, 显然, ar H .另一方面,由于 G a 且 H G ,对于任意的 hH ,可设 h an ,其 中 nZ .我们取整数 q 和 s ,使得
n qr s , 0 s r . 若 s 0 ,则
§4 循环群
as anqr an (ar )q h(ar )q H , 这与 r 为 N 中的最小数矛盾.因此 s 0 ,从而,