新人教版数学八年级上册教案 第14章 整式的乘除与因式分解 复习
第十四章整式的乘除与因式分解复习
教学目标
1．知识与技能
能熟练掌握整式的概念、运算性质和因式分解的概念、分解方法，逐步形成知识结构．
2．过程与方法
通过图形的变化，从直观认识的角度领会整式运算及因式分解的知识，渗透数形结合的思想．
3．情感、态度与价值观
提高学生解决问题的能力，发展推理思维，体会数学的应用价值，增强自信心．
重、难点与关键
1．重点：熟练掌握整式，因式分解的解题方法．
2．难点：灵活地应用乘法公式进行运算或因式分解．
3．关键：系统把握知识点，从互逆的思想弄清整式运算与因式分解的关系．
教学方法
采取对知识系统“演绎”、“提升”的教学方法．
教学过程
一、数形结合，直观演绎
【解释与比较】
观察下列图形，写出相关的整式乘法公式：
（1）如图1所示．
（2）如图2所示．
（3）如图3所示．
（4）如下图在宽为a的正方形空地
上修两条互相垂直宽度为b的水泥路，•
其余的部分种植草坪，你能计算出草坪的面积吗？
【教师提问】a2－2ab+b2=（a－b）2，请你用图形反映
（a－b）2的结果，由图5•可得等式（a+b）2=（a－b）2+______．
【辨析与理解】
（1）（x－y）2=x2－y2；
（2）（x+y）（y－x）=x2－y2；
（3）（x+3y）（x－3y）=x2－3y2；
（4）（x－3y）2=x2－3xy－3y2．
（5）分解因式：x2－4=（x－2）2；
（6）分解因式：a2〒2ab+b2=（a〒b）（a b）
【运算与方法】
1．把图6左框里的等式分别乘以
（x+3y），所得的积分别写在右框相应的位
置上．
2．利用乘法公式计算：
（1）102（2）301〓299 （3）（m+n）2（m－n）2
3．已知：（x+a）（x+b）=x2+（a+b）x+ab，利用这个等式计算：（x－3）（x+7）=_______．
（x+5）（x+9）=_______．
【运用与探究】
1．一个正方体的边长为3cm，则它的体积为多少？表面积为多少？
2．一块长方形花坛的面积为2a2x－4ax3m2，长为2axm，求它的宽．
3．长方形花坛的宽为m米，长比宽多4米，若将长和宽分别增加3米，则增加后长方形的面积为多少？如果已知增加后面积增加了15平方米，请计算出原来的长和宽来．
4．有一个正方形的边长为正整数，现将它的边长逐次增加
（每次增加1），•考察其面积的增加量，记录如下．（如图7所示）
探索面积的增加量，有怎样的规律？请你应用所学知识解释你的发现．
5．设a表示一个两位数，b表示一个三位数，把a放在b的左边，组成一个五位数m，•把b放在a左边组成一个五位数n，试问m －n能被9整除吗？试说明理由．
二、逆向思维，合作学习
做一做：
1．说出下列各式由左到右的变形是否是因式分解，为什么？
（1）a2－81=（a+9）（a－9）；（）
（2）x2－9+14x=（x+3）（x－3）+14x；（）
（3）a+a2b=a2（1
a +b）；（）
（4）p（m－n）=pm－pn；（）
（5）m2+2mn+4=（m+2）2；（）
（6）a2+4ab+a=a（a+4b）．（）
【课堂演练】
演练题1：把49（m+n）2－（3m－n）2分解因式．
演练题2：分解因式：a3x4－12a3x2y+36a3y2．
三、随堂练习，系统跃进
课本P175复习题15第1（4）、2（3）、4（4）、11题．
【探研时空】
无论x、y取何值，多项式x2+y2－4x+6y+13的值都是非负数，你相信吗？请你谈谈其中的原因．
四、课堂总结，发展潜能
由学生分四人小组进行总结．
五、布置作业，专题突破
课本P176复习题第1（3）（5）、2（4）（6）、3．4（3）、5（3）（4）、6、7、12题．
板书设计
教学反思。
新人教八年级上册第14章章末复习教案
新人教八年级上册第14章章末复习【知识与技能】1.掌握整式的乘法运算方法并运用于计算.2.掌握因式分解的方法并运用于分解因式.【过程与方法】1.引导学生有序地总结归纳本章概念与基本方法.2.应用例题讲解帮助学生形成解题能力.【情感态度】1.体验转化思想.2.培养从特殊到一般，从一般到特殊的思维能力.【教学重点】整式的乘法运算与因式分解.【教学难点】根据实际问题选择合适方法解题.一、知识框图，整体把握【教学说明】引导学生一起表述概念法则，并适当归类，完成框架图.教学中以学生的发言为主，教师予以评判与补充，重在提醒学生找到知识点间的联系与区别.二、释疑解惑，加深理解1.整式的乘除及混合运算整式的乘除及混合运算是本章核心内容，是计算重点.解决此类问题的一般步骤是①审题确定运算顺序，即按先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号的先算括号里面的（或去掉括号）；②运用各种计算法则准确地计算每一步，这是计算化简核心步骤，计算应仔细认真，防止出错，否则前功尽弃；③检查结果的正确性.例1先化简，再求值：x（x-4）（x+4）-（x+3）（x2-6x+9）+5x3y2÷x2y2，其中x=-3.【分析】此题主要考查整式的运算以及运算的顺序.解：原式=x（x2-16）-x3+6x2-9x-3x2+18x-27+5x=x3-16x-x3+6x2-9x-3x2+18x-27+5x=3x2-2x-27.当x=-3时，原式=3x2-2x-27=3×（-3）2-2×（-3）-27=27+6-27=6.例2解方程：［2x3（2x-3）-x2］÷（2x2）=x（2x-1）.【分析】将整式的各种运算融入方程中，因此解方程问题实质上转化为整式的计算问题.2.乘法公式教材中的乘法公式有两个：一是平方差公式，二是完全平方公式.只要掌握了公式的基本结构特点就可以快捷高效地解题.两个公式即可以正用，也可以逆用，有时逆用公式会使计算更加简捷，使用公式时要注意五点：（1）a、b的广泛代表性；（2）公式中各项的关系及整个公式的结构特点；（3）要有连续使用公式的技巧；（4）要掌握公式交替使用的方法；（5）了解两个公式的推广.例3已知a+b=6，ab=-7.求下列各式的值：（1）a 2+b 2；（2）a 2-ab+b 2；（3）a-b.解：（1）∵（a+b ）2=（a 2+b 2）+2ab ，故a 2+b 2=62-2×（-7）=50.（2）a 2-ab+b 2=a 2+b 2+2ab-3ab=（a+b ）2-3ab=62-3×（-7）=57.（3）∵（a-b ）2=（a+b ）2-4ab=62-4×（-7）=64，∴a-b=±8.3.因式分解因式分解是整式乘法的逆变形，有两种基本方法：提公因式法和运用公式法.因式分解的一般步骤是一提、二套、三查：若多项式有公因式先提取公因式，然后考虑运用公式，若多项式有两项，考虑平方差公式，若多项式有三项，则考虑用完全平方公式，最后检查一下所得结果否还能继续分解.例4把下列各式分解因式：（1）m 4-16n 4；（2）4x 2n+20x n y n +25y 2n.【分析】如果多项式各项含有公因式，应先提取公因式，再进一步分解因式，分解因式必须分解到每一个多项式都不能再分解为止.解：（1）m 4-16n 4=（m 2）2-（4n 2）2=（m 2+4n 2）（m 2-4n 2）=（m 2+4n 2）［m 2-（2n ）2］=（m 2+4n 2）（m+2n ）（m-2n ）.（2）4x 2n +20x n y n +25y 2n =（2x n ）2+2·2x n ·5y n +（5y n ）2=（2x n +5y n ）2. 例5把下列各式分解因式：【分析】应先提取公因式，然后再运用公式进行分解.三、典例精析，复习新知例6解不等式组：332 1 252541x x x x x x x x +---⎧⎨----⎩（）（）（）＞①（）（）＜（）②【分析】解不等式组时，要将不等号两边的括号去掉，进行化简，在①中，（x+3）（x-3）符合平方差公式左边的形式，可用平方差公式，直接写出结果得x2-9；在②中，（2x-5）（-2x-5）=（-5+2x）（-5-2x）也符合平方差公式左边的形式，可用平方差公式，这样可使解不等式组的过程简化.【教学说明】平方差公式是代数变形的基本工具之一，在各类题目中均有可能用到，所以要随时注意，灵活使用，这样可以提高解题速度.例7分解因式：1+x+x（1+x）+x（1+x）2+x（1+x）3.你发现了什么规律？利用你发现的规律直接写出多项式1+x+x（1+x）+x （1+x）2+…+x（1+x）2005分解因式的结果.【分析】先将多项式分解因式，分析结果的特点，根据特点找出规律.【教学说明】通过观察多项式的结构特点，较易发现经过整理之后可提公因式（1+x），而提完公因式后，多项式的结构呈现规律性的重复，可逐次提取.可见，解这类题目要善于对多项式的结构进行观察，应避免盲目乱解.1.布置作业：从教材“复习题14”中选取部分题.2.完成创优作业中“本章热点专题训练”.复习教学时要突出：1.引领学生充分认识概念、法则、公式，重点分析概念本质，公式特征及各知识点间关系.2.指导学生挖掘知识点间的联系，整体上认识知识（如整式乘法与因式分解）3.重点指导学生反思解题技法，总结规律，达到举一反三的目的.。
第十四章+整式乘法及因式分解复习+课件+2024-2025学年人教版数学八年级上册
例题：下列运算是否正确。A正确；B错误 ×
× ×
计算： x3(-x)5+(-x4)2-(2x2)4 +(-x10)÷(- x)2
解：原式= =
=
解此类题应注意明确法则及各自运算的特点，避免混淆
注意点： （1）指数：加减
数：不同底数 转化
幂乘除 幂的乘方 同底数
例： 若10x=5,10y=4,求102x+3y-1 的值.
知识要点: 一、幂的4个运算性质
二、整式的加、减、乘、除法则
三、乘法公式
四、因式分解
考查知识点：（当m,n是正整数时） 1. 同底数幂的乘法：am · an = am+n 2. 同底数幂的除法：am ÷ an = am-n ； a0=1(a≠0)
3. 幂的乘方: (am )n = amn 4. 积的乘方: (ab)n = anbn
解：102x+3y-1 =
=
当10x=5,10y=4时
原式=
考查知识点：
1、单项式与单项式相乘：把它们的系数、相同字母 分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连 同它的指数作为积的一个因式．
2、单项式与多项式相乘：就是用单项式去乘多项 式的每一项，再把所得的积相加。
即：m(a+b+c)= ma+mb+mc
三数和的平方公式： (a+b+c)2=a2+b2 +c2+2ab+2ac+2bc
例. 已知a+b=5 ，ab= -2，
求（1）a2+b2 （2）a-b
a2+b2=(a+b)2-2ab
(a-b)2=(a+b)2-4ab
2024年人教版八年级数学上册教案及教学反思第14章14.2.1 平方差公式
第十四章整式的乘法与因式分解14.2 乘法公式14.2.1 平方差公式一、教学目标【知识与技能】会推导平方差公式,并且懂得运用平方差公式进行简单计算.【过程与方法】经历探索特殊形式的多项式乘法的过程,发展学生的符号感和推理能力,使学生逐渐掌握平方差公式.【情感、态度与价值观】通过合作学习,体会在解决具体问题过程中与他人合作的重要性,体验数学活动充满着探索性和创造性.二、课型新授课三、课时1课时。
四、教学重难点【教学重点】(1)体会公式的发现和推导过程，理解公式的本质，并会运用公式进行简单的计算.(2)平方差公式的几何意义.【教学难点】从广泛意义上理解公式中的字母含义，具体问题要具体分析，会运用公式进行计算.五、课前准备教师：课件、直尺、平方差公式结构图等。
学生：练习本、钢笔或圆珠笔、铅笔。
六、教学过程（一）导入新课某同学在计算97×103时将其变成(100–3)(100+3)并很快得出结果，你知道他运用了什么知识吗？（出示课件2）这节课，我们就来一起探讨上述计算的规律.（二）探索新知1.创设情境，探究平方差公式教师问1：对于下面的算式，你想怎样计算呢？(1)2001 ×1999；(2)998×1002；(3)403×397.学生回答：直接计算或者利用乘法分配律进行计算.教师问2：有没有其他巧妙地方法呢？观察这三个式子有什么共同特征？学生讨论后回答：都在某个整百整千的附近.教师讲解：今天我们将进行新的学习，通过学习你将能快速地计算出结果.教师问3：哪位同学说一下前面学的多项式与多项式是如何相乘的？学生回答：多项式乘以多项式，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.（出示课件4）教师问4：二项式乘以二项式结果一定是四项吗？学生回答：结果不一定是四项.教师问5：想一想(a＋b)(m＋n)该怎么计算？学生回答：(a＋b)(m＋n)=am+an+bm+bn教师问6：如何计算(x ＋3)( x＋5)？学生回答：(x＋3)( x＋5)=x2+5x+3x+15=x2+8x+15.教师问7：观察图形，思考两个正方形的面积差变了吗？（出示课件5）学生讨论后回答：变化之前面积表示为：a2-52=a2-25；变化之后面积表示为（a+5）×（a-5）= a2 -5a+5a-52= a2-25.变化前后图形面积相等。
初中数学人教版八年级上册：第14章《整式的乘除与因式分解》全章教案(22页)
初中数学人教版八年级上册实用资料第十四章整式的乘法与因式分解14．1整式的乘法14．1.1同底数幂的乘法1．理解同底数幂的乘法法则．2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．重点正确理解同底数幂的乘法法则．难点正确理解和应用同底数幂的乘法法则．一、提出问题，创设情境复习a n的意义：a n表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方，乘方的结果叫做幂；a叫做底数，n是指数．(出示投影片)提出问题：(出示投影片)问题：一种电子计算机每秒可进行1千万亿(1015)次运算，它工作103秒可进行多少次运算？[师]能否用我们学过的知识来解决这个问题呢？[生]运算次数＝运算速度×工作时间，所以计算机工作103秒可进行的运算次数为：1015×103.[师]1015×103如何计算呢？[生]根据乘方的意义可知1015×103＝(10×10×…×10)15个10×(10×10×10)＝(10×10×…×10)18个10＝1018.[师]很好，通过观察大家可以发现1015、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1015，103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算——同底数幂的乘法．二、探究新知1．做一做(出示投影片)计算下列各式：(1)25×22；(2)a3·a2；(3)5m·5n.(m，n都是正整数)你发现了什么？注意观察计算前后底数和指数的关系，并能用自己的语言描述．[师]根据乘方的意义，同学们可以独立解决上述问题．[生](1)25×22＝(2×2×2×2×2)×(2×2)＝27＝25＋2.因为25表示5个2相乘，22表示2个2相乘，根据乘方的意义，同样道理可得a3·a2＝(a·a·a)(a·a)＝a5＝a3＋2.5m·5n＝(5×5·…·5),\s\do4(m个5))×(5×5·…·5),\s\do4(n个5))＝5m＋n.[生]我们可以发现下列规律：a m·a n等于什么(m，n都是正整数)？为什么？(1)这三个式子都是底数相同的幂相乘；(2)相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．2．议一议(出示投影片)[师生共析]a m·a n表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：a m·a n＝(a×a·…·a)m个a·(a×a·…·a)n个a＝a·a·…·a(m＋n)个a＝a m＋n于是有a m·a n＝a m＋n(m，n都是正整数)，用语言来描述此法则即为：“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．[师]请同学们用自己的语言解释“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的道理，深刻理解同底数幂的乘法法则．[生]a m表示m个a相乘，a n表示n个a相乘，a m·a n表示m个a相乘再乘以n个a相乘，也就是说有(m＋n)个a相乘，根据乘方的意义可得a m·a n＝a m＋n.[师]也就是说同底数幂相乘，底数不变，指数要降一级运算，变为相加．3．例题讲解出示投影片[例1]计算：(1)x2·x5; (2)a·a6；(3)2×24×23; (4)x m·x3m＋1.[例2]计算a m·a n·a p后，能找到什么规律？[师]我们先来看例1，是不是可以用同底数幂的乘法法则呢？[生1](1)，(2)，(4)可以直接用“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”的法则．[生2](3)也可以，先算两个同底数幂相乘，将其结果再与第三个幂相乘，仍是同底数幂相乘，再用法则运算就可以了．[师]同学们分析得很好．请自己做一遍．每组出一名同学板演，看谁算得又准又快．生板演：(1)解：x2·x5＝x2＋5＝x7；(2)解：a·a6＝a1·a6＝a1＋6＝a7；(3)解：2×24×23＝21＋4·23＝25·23＝25＋3＝28；(4)解：x m·x3m＋1＝x m＋(3m＋1)＝x4m＋1.[师]接下来我们来看例2.受(3)的启发，能自己解决吗？与同伴交流一下解题方法．解法一：a m·a n·a p＝(a m·a n)·a p＝a m＋n·a p＝a m＋n＋p；解法二：：a m·a n·a p＝a m·(a n·a p)＝a m·a n＋p＝a m＋n＋p；解法三：a m·a n·a p＝(a·a…a)m个a·(a·a…a)n个a·(a·a…a)p个a＝a m＋n＋p归纳：解法一与解法二都直接应用了运算法则，同时还运用了乘法的结合律；解法三是直接应用乘方的意义．三种解法得出了同一结果．我们需要这种开拓思维的创新精神．[生]那我们就可以推断，不管是多少个幂相乘，只要是同底数幂相乘，就一定是底数不变，指数相加．[师]是的，能不能用符号表示出来呢？[生]am1·am2·am3·…am n＝am1＋m2＋m3＋…m n.[师]鼓励学生．那么例1中的第(3)题我们就可以直接应用法则运算了．2×24×23＝21＋4＋3＝28.三、随堂练习1．m14可以写成()A．m7＋m7B．m7·m7C．m2·m7D．m·m142．若x m＝2，x n＝5，则x m＋n的值为()A．7 B．10 C．25D．523．计算：－22×(－2)2＝________；(－x)(－x2)(－x3)(－x4)＝________．4．计算：(1)(－3)2×(－3)5；(2)106·105·10；(3)x2·(－x)5；(4)(a＋b)2·(a＋b)6.四、课堂小结[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？[生]在探索同底数幂乘法的性质时，进一步体会了幂的意义，了解了同底数幂乘法的运算性质．[生]同底数幂的乘法的运算性质是底数不变，指数相加．应用这个性质时，我觉得应注意两点：一是必须是同底数幂的乘法才能运用这个性质；二是运用这个性质计算时一定是底数不变，指数相加，即a m·a n＝a m＋n(m，n是正整数)．五、课后作业教材第96页练习．本课的主要教学任务是“同底数幂乘法的运算性质”：同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 在课堂教学时，通过幂的意义引导学生得出这一性质，接着再引导学生深入探讨同底数幂运算，幂的底数可以是“任意有理数、单项式、多项式”，训练学生的整体思想．14．1.2幂的乘方1．知道幂的乘方的意义．2．会进行幂的乘方计算．重点会进行幂的乘方的运算．难点幂的乘方法则的总结及运用．一、复习引入(1)叙述同底数幂乘法法则，并用字母表示：(2)计算：①a2·a5·a n；②a4·a4·a4.二、自主探究1．思考：根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空，看看计算结果有什么规律：(1)(32)3＝32×32×32＝3()；(2)(a2)3＝a2·a2·a2＝a()；(3)(a m)3＝a m·a m·a m＝a()．(m是正整数)2．小组讨论对正整数n，你认识(a m)n等于什么？能对你的猜想给出验证过程吗？幂的乘方(a m)n＝a m·a m·a m…a m n个＝am＋m＋m＋…m,\s\up6(n个m))＝a mn字母表示：(a m)n＝a mn(m，n都是正整数)语言叙述：幂的乘方，底数不变，指数相乘．注意：幂的乘方不能和同底数幂的乘法相混淆，例如不能把(a5)2的结果错误地写成a7，也不能把a5·a2的计算结果写成a10.三、巩固练习1．下列各式的计算中，正确的是()A．(x3)2＝x5B．(x3)2＝x6C．(x n＋1)2＝x2n＋1D．x3·x2＝x62．计算：(1)(103)5; (2)(a4)4；(3)(a m)2; (4)－(x4)3.四、归纳小结幂的乘方的意义：(a m)n＝a mn.(m，n都是正整数)五、布置作业教材第97页练习．运用类比方法，得到了幂的乘方法则．这样的设计起点低，学生学起来更自然，对新知识更容易接受．类比是一种重要的数学思想方法，值得引起注意．14．1.3积的乘方1．经历探索积的乘方和运算法则的过程，进一步体会幂的意义．2．理解积的乘方运算法则，能解决一些实际问题．重点积的乘方运算法则及其应用．难点幂的运算法则的灵活运用．一、问题导入[师]提出的问题：若已知一个正方体的棱长为1.1×103cm，你能计算出它的体积是多少吗？[生]它的体积应是V＝(1.1×103)3cm3.[师]这个结果是幂的乘方形式吗？[生]不是，底数是1.1与103的乘积，虽然103是幂，但总体来看，我认为应是积的乘方才有道理．[师]积的乘方如何运算呢？能不能找到一个运算法则？用前两节课的探究经验，请同学们自己探索，发现其中的奥妙．二、探索新知老师列出自学提纲，引导学生自主探究、讨论、尝试、归纳．(出示投影片)1．填空，看看运算过程用到哪些运算律，从运算结果看能发现什么规律？(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a()b()；(2)(ab)3＝________＝________＝a()b()；(3)(ab)n＝________＝________＝a()b()．(n是正整数)2．把你发现的规律先用文字语言表述，再用符号语言表达．3．解决前面提到的正方体体积计算问题．4．积的乘方的运算法则能否进行逆运算呢？请验证你的想法．5．完成教材第97页例3.学生探究的经过：1．(1)(ab)2＝(ab)·(ab)＝(a·a)·(b·b)＝a2b2，其中第①步是用乘方的意义；第②步是用乘法的交换律和结合律；第③步是用同底数幂的乘法法则．同样的方法可以算出(2)，(3)题；(2)(ab)3＝(ab)·(ab)·(ab)＝(a·a·a)·(b·b·b)＝a3b3；(3)(ab)n＝(ab)·(ab)·…·(ab)n个ab＝a·a·…·an个a·b·b·…·bn个b＝a n b n.2．积的乘方的结果是把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘，也就是说积的乘方等于幂的乘积．用符号语言叙述便是：(ab)n＝a n·b n.(n是正整数)3．正方体的V＝(1.1×103)3它不是最简形式，根据发现的规律可作如下运算：V＝(1.1×103)3＝1.13×(103)3＝1.13×103×3＝1.13×109＝1.331×109(cm3)．通过上述探究，我们可以发现积的乘方的运算法则：(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．再考虑如下问题：(abc)n如何计算？是不是也有类似的规律？3个以上的因式呢？学生讨论后得出结论：三个或三个以上因式的积的乘方也具有这一性质，即(abc)n＝a n·b n·c n.(n为正整数) 4．积的乘方法则可以进行逆运算．即a n·b n＝(ab)n.(n为正整数)分析这个等式：左边是幂的乘积，而且幂指数相同，右边是积的乘方，且指数与左边指数相等，那么可以总结为：同指数幂相乘，底数相乘，指数不变．看来这也是降级运算了，即将幂的乘积转化为底数的乘法运算．对于a n·b n＝(a·b)n(n为正整数)的证明如下：a n·b n＝(a×a×…×a)n个a(b×b×…×b)n个b——幂的意义＝(ab)(ab)(ab)(ab)…(ab)n个(ab)——乘法交换律、结合律＝(a·b)n——乘方的意义5．[例3](1)(2a)3＝23·a3＝8a3；(2)(－5b)3＝(－5)3·b3＝－125b3；(3)(xy2)2＝x2·(y2)2＝x2·y2×2＝x2·y4＝x2y4；(4)(－2x3)4＝(－2)4·(x3)4＝16·x3×4＝16x12.(学生活动时，老师深入到学生中，发现问题，及时启发引导，使各个层面的学生都能学有所获)[师]通过自己的努力，发现了积的乘方的运算法则，并能做简单的应用．可以作如下归纳总结：(1)积的乘方法则：积的乘方等于每一个因式乘方的积．即(ab)n＝a n·b n.(n为正整数)(2)三个或三个以上的因式的积的乘方也是具有这一性质．如(abc)n＝a n·b n·c n；(n为正整数)(3)积的乘方法则也可以逆用．即a n·b n＝(ab)n，a n·b n·c n＝(abc)n.(n为正整数)三、随堂练习1．教材第98页练习．(由学生板演或口答)四、课堂小结(1)通过本节课的学习，你有什么新的体会和收获？(2)在应用积的运算性质计算时，你觉得应该注意哪些问题？五、布置作业(1)(－2xy)3；(2)(5x3y)2；(3)[(x＋y)2]3；(4)(0.5am3n4)2.本节课属于典型的公式法则课，从实际问题猜想——主动推导探究——理解公式——应用公式——公式拓展，整堂课体现以学生为本的思想。
人教版八年级数学上册14.整式的乘除与因式分解--复习课件
例2 把下列各式分解因式. (1)(a+b)2-4a2 ； (2)1-10x+25x2； (3)(m+n)2-6(m+n)+9
解:(1)(a+b)2-4a2=(a+b)2-(2a)2 =(a+b+2a)(a+b-2a) =(3a+b)(b-a)
(2)1-10x+25x2 =1-10x+(5x)2 =(1-5x)2 (3)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.
5, 求(a
1 )2的值. a
(2)若x y2 2, x2 y2 1, 求xy的值.
(3)如果(m n)2 z m2 2mn n2 ,
则z应为多少?
(4)(x 3y 2z)(x 3y 2z)
(5)19992, (6)20012 19992
练习：计算下列各题。
(1)( 1 a6b4c) ((2a3c) 4
1、 205×195 2、 (3x+2) (3x-2) 3、(-x+2y) (-x-2y) 4 、 (x+y+z)(x+y-z)
（2）、完全平方公式
一般的，我们有：
(a b)2 a2 2ab b2;
(a b)2 a2 2ab b2 其中a, b既可以是数, 也可以是代数式.
即: (a b)2 a2 2ab b2
探索与创新题 例4 若9x2+kxy+36y2是完全平方式，则k= —
分析:完全平方式是形如：a2±2ab+b2即两数 的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差).
∵9x2+kxy+36y2=(3x)2+kxy+(6y)2 ∴±kxy=2·3x·6y=36xy ∴k=±36
人教版数学八年级上册第14章整式的乘法与因式分解教学设计
1.设计不同难度的练习题，包括基础题、提高题和拓展题，让学生在课堂上独立完成。
2.练习题涵盖整式乘法、平方差公式、完全平方公式和因式分解等知识点，让学生在练习中巩固所学。
3.及时反馈学生的答题情况，针对共性问题进行讲解，帮助学生纠正错误，提高解题能力。
（五）总结归纳，500字
作业布置原则：注重作业的质量，而非数量；关注学生的个体差异，分层布置作业；鼓励学生积极参与，培养他们的学习兴趣。通过作业的布置与完成，让学生真正掌握整式乘法与因式分解的知识，提高数学素养。
2.平方差公式和完全平方公式：引导学生观察特定的整式乘法算式，如(a+b)(a-b)、(a+b)²，让他们发现平方差公式和完全平方公式的规律，并加以证明。通过实际例题，让学生学会运用这两个公式简化计算过程。
3.因式分解：介绍因式分解的概念，让学生理解其含义。通过具体的例子，讲解提公因式法、平方差公式和完全平方公式在因式分解中的应用，让学生掌握因式分解的方法。
五、作业布置
为了巩固本节课所学的整式乘法与因式分解知识，培养学生的数学思维能力，特布置以下作业：
1.基础巩固题：完成课本第14章的相关练习题，包括整式的乘法运算、平方差公式、完全平方公式的应用以及因式分解的基本方法。
要求：学生在完成作业时，要注重运算的准确性，熟练掌握乘法法则和因式分解的方法，提高解题速度。
1.让学生回顾本节课所学的内容，总结整式乘法法则、平方差公式、完全平方公式和因式分解的方法。
2.教师进行课堂小结，强调重点和难点，对学生的学习情况进行评价。
3.鼓励学生课后继续练习，提高整式乘法与因式分解的运算技巧，培养数学思维能力。
4.激发学生学习数学的兴趣，增强他们的自信心，为下一节课的学习打下良好基础。
14章整式的乘法与因式分解复习教案
第14章复习整式的乘法与因式分解备课人 总课时 上课时间知识与技能：记住整式乘除的计算法则；平方差公式和完全平方公式；掌握因式分解的方法和则。
过程与方法： 会运用法则进行整式的乘除运算，会对一个多项式分解因式 教学重点：记住公式与法则教学难点：会运用法则进行整式乘除运算，会对一个多项式进行因式分解一、知识网络结构图二、典型例题幂的运算法则及其逆运用 整式的乘法 整式的乘除与因式公解 幂的运算法则 同底数幂的乘法法则：a m ·a n ＝a m ＋n (m ，n 都是正整数) 幂的乘方法则：(a m )n ＝a mn (m ，n 是正整数) 积的乘方法则：(ab )n ＝a n b n (n 是正整数) 单项式乘以单项式法则：单项式乘以单项式，把它们的系数、相同字母分 别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则 连同它的指数作为积的一个因式 单项式乘以多项式法则：单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式 的每一项，再把所得的积相加 多项式乘以多项式法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项 去乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加 同底数幂的除法法则：a m ÷a n ＝a m －n (a ≠0，m ，n 都是正整数且m ＞n ) 零指数幂的意义：a 0＝1(a ≠0) 单项式除以单项式法则：单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商 的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同 它的指数作为商的一个因式 多项式除以单项式法则：先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把 所得的商相加 乘法公式 平方差公式：(a ＋b )(a －b )＝a 2－b 2 完全平方公式：(a ＋b )2＝a 2＋2ab ＋b 2，(a －b )2＝a 2－2ab ＋b 2 整式的除法 因式分解 概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做把这 个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式 方法 公式法 平方差公式：a 2－b 2＝(a ＋b )(a －b ) 完全平方公式 a 2＋2ab ＋b 2＝(a ＋b )2 a 2－2ab ＋b 2＝(a －b )2例1 计算2x3·(－3x)２＝．因式分解例2 分解因式．(1)m3－m； (2)(x＋2)(x＋3)＋x2－4．转化思想例3 分解因式a2－2ab＋b2－c2整体思想例4 (1)已知x＋y＝7，xy＝12，求(x－y)2；(2)已知a＋b＝8，a－b＝2，求ab的值．三、训练题一、选择题1．计算(a3)2的结果是 ( )A．a5B．a6C．a8D．a92．下列运算正确的是 ( )A．a2·a3＝a4B．(－a)4＝a4C．a2＋a3＝a5D．(a2)3＝a53．已知x－3y＝－3，则5－x＋3y的值是 ( )A．0 B．2 C．5 D．84．如图15－4所示，在边长为a的正方形中挖去一个边长为b的小正方形(a＞b)，把余下的部分拼成一个矩形，根据两个图形中阴影部分的面积相等，可以验证 ( ) A．(a＋b)2＝a2＋2ab＋b2B．(a－b)2＝a2－2ab＋b2C．a2－b2＝(a＋b)(a－b)D．(a＋2b)(a－b)＝a2＋ab－2b25．下列各式中，与(a－b)2一定相等的是 ( )A．a2＋2ab＋b2B．a2－b2C．a2＋b2D．a2－2ab＋b06．下列从左到右的变形是因式分解的是 ( )A．ma＋mb－c＝m(a＋b)－cB．(a－b)(a2＋ab＋b2)＝a3－b3C．a2－4ab＋4b2－1＝a(a－4b)＋(2b＋1)(2b－1)D．4x2－25y2＝(2x＋5y)(2x－5y)7．下列各式中，能用平方差公式分解因式的是 ( )A．－a2＋b2B．－a2－b2C．a2＋b2D．a3－b38．如果(x－2)(x－3)＝x2＋px＋q，那么p，q的值是 ( ) A．p＝－5，q＝6 B．p＝1，q＝－6C．p＝1，q＝6 D．p＝5，q＝－6二、填空题9．已知10m＝2，10n＝3，则103m＋2n＝．10．若a－b＝1，ab＝－2，则(a＋1)(b－1)＝．11．分解因式：2m3－8m＝．12．如果x2＋2kx＋81是一个完全平方式，那么k的值为．三、解答题13．化简．(1)－(m－2n)＋5(m＋4n)－2(－4m－2n)；(2)3(2x＋1)(2x－1)－4(3x＋2)(3x－2)；14．分解因式．(1)m2n(m－n)2－4mn(n－m)；(2)(x＋y)2＋64－16(x＋y)．。
第14章《整式》章末复习--新人教版初中数学导学案八年级上册《整式》【一流精品】
课题：整式的乘法与因式分复习导学案【学习目标】1、记住整式乘法的计算法则，平方差公式和完全平方公式，掌握因式分解的方法和法则；2、会运用法则进行整式的乘除运算，会对多项式进行分解因式；3、培养学生的独立思考能力和合作交流的意识。
【学习重点】记住公式及法则【学习难点】会运用法则进行乘除运算，会正确进行因式分解。
一、 整式的乘法 （一）幂的乘法运算1、同底数幂相乘：=∙nm a a 2、幂的乘方：()=nm a 3、积的乘方：()=nab例1、（同底数幂相乘）计算：（1）52x x ⋅ （2）m m a a +-⋅11例2、（幂的乘方）计算：（1）（103）5（2）23)(m a - （3）()[]522y x - (4) 532])][()[(m n n m --例3、（积的乘方）计算：（1）（ab ）2 （2）（－3x ）2（3）332)3(c b a -(4)()3233y x - （5）32222)2()2(b a b a -⋅- (6) ()()1054125.0∙-（二）整式的乘法1、单项式单项式（1）系数相乘作为积的系数（2）相同字母的因式，利用同底数幂的乘法，作为一个因式 （3）单独出现的字母，连同它的指数，作为一个因式 注意点：单项式与单项式相乘，积仍然是一个单项式 2、单项式⨯多项式①单项式分别乘以多项式的各项； ②将所得的积相加注意：单项式与多项式相乘，积仍是一个多项式，项数与多项式的项数相同 3、多项式⨯多项式先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。
例1、计算：（1）abc b a ab 2)3(322⋅-⋅ （2）)34432()23(22y xy y x xy +-⋅-（3）(x-3y)(x+7y) （4）)1)(1)(1(2++-x x x例2、先化简，后求值：(x －4)(x －2)－(x －1)(x ＋3)，其中25-=x 。
（三）乘法公式()()=-+b a b a ；变式：（1）=+-+))((a b b a ； （2）=++-))((b a b a ；（3）))((b a b a --+-= ； （4）))((b a b a ---= 。
人教版八年级数学数学上册第十四章教案：14单元复习
因式分解：(1)提公因式法(2)公式法
二．合作探究：
(1)化简：a3·a2b=.(2)计算：4x2+4x2=
(3)计算：4x2·(-2xy)=.(4)分解因式：a2-25=
三、当堂检测
1．am=2，an=3则a2m+n=___________，am－2n=____________
A. B.
C. D.
11．简便方法计算(1) 98×102－992 (2)
12．矩形的周长是28cm，两边长为x，y，若x3＋x2y－xy2－y3＝0，求矩形的面积．
13．已知a，b，c为△ABC的三条边的长．
(1) 若b2＋2ab＝c2＋2ac，试判断△ABC的形状
(2)若，试判断三角形的形状
教师小结：
7.如(x+m)与(x+3)的乘积中不含x的一次项，则m的值为（ ）
A. –3B. 3C. 0D. 1
8.一个正方形的边长增加了，面积相应增加了，则这个正方形的边长为（ ）
A、6cm B、5cm C、8cm D、7cm
9．下列各式是完全平方式的是（）
A、B、C、D、
10．下列多项式中，含有因式的多项式是（）
凉州区永昌镇和寨九年制学校教学设计
编写时间： 年 月 日 学期总课时
课题
《第14章整式的乘法与因式分解复习》
课型
新授课
教
学
目
标
知识
技能
记住整式乘除的计算法则；平方差公式和完全平方公式；掌握因式分解的方法和则
过程
方法
会运用法则进行整式的乘除运算，会对一个多项式分解因式
情感
态度
价值பைடு நூலகம்
人教版初中数学八年级上册第14章整式的乘法与因式分解(教案)
2.提升运算能力：让学生掌握整式的乘法与因式分解的运算方法，培养他们准确、快速地进行数学运算的能力。
3.增强数学建模素养：引导学生将实际问题转化为数学模型，运用整式的乘法与因式分解解决生活中的问题，提高数学建模素养。
五、教学反思
在本次教学中，我采用了导入新课、新课讲授、实践活动、小组讨论和总结回顾等环节，引导学生学习整式的乘法与因式分解。通过这节课的教学，我发现以下几个方面值得反思：
1.学生对整式乘法法则的理解程度。在授课过程中，我发现部分学生对多项式乘以多项式、多项式乘以单项式的运算法则掌握不够熟练，导致在计算过程中出现错误。针对这一问题，我决定在接下来的教学中加强学生对乘法法则的练习，特别是同类项的合并和乘法分配律的运用。
4.实践活动与小组讨论的效果。在实践活动中，学生们积极参与，课堂氛围较好。但在小组讨论过程中，我发现部分学生参与度不高，讨论效果不理想。为了提高学生的参与度，我将在下次教学中尝试采取更多鼓励性和激励性的措施，如设置小组竞赛、优秀成果展示等。
5.教学方法的选择。在本节课中，我尝试采用了多种教学方法，如讲解、举例、讨论等。但课后我发现，部分学生对知识的掌握程度并不理想。针对这一问题，我将在今后的教学中进一步优化教学方法，注重启发式教学，提高学生的课堂参与度和思考能力。
4.因式分解：了解因式分解的意义，掌握提公因式法、平方差公式法、完全平方公式法，解决实际问题。
5.综合运用：将整式的乘法与因式分解应用于解决实际问题，提高解题能力。
本章内容旨在使学生掌握整式的乘法与因式分解的基本方法，培养他们的逻辑思维能力和运算能力，为后续学习打下坚实基础。