微积分的创立数学史

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科学的巨人——牛顿
1669年，牛顿又完成了关于微积分的第二篇论文 《运用无穷多项方程的分析学》。牛顿在这里不 仅给出了求一个变量对于另一个变量的瞬时变化 率的一般方法，而且还证明了面积可以由变化率 的逆过程得到。这一事实实际上已经初步给出了 微积分基本定理。不过也可以明显看出，牛顿在 这里回避了运动变化的观点而将无限小增量“瞬” 看作是静止的无限小量，并在某些情况下直接令 其为0，这就带有了浓厚的不可分量的色彩。
微积分的创立
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解析几何是代数与几何相结合的产物，它 把变量引入数学，使得人们借助于数学对 运动变化的规律进行定量的分析成为可能， 同时也为微积分的创立奠定了基础。微积 分的创立是17世纪数学最重要的成就之一， 也是科学技术发展史上最重大的事件之一。
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牛顿称微积分为“流数术”，这个名称后 来逐渐被淘汰。莱布尼茨使用了“差的计
先驱们的探索
17世纪上半叶，随着函数观念的建立和对 机械运动规律的探求，许多实际问题摆到 了数学家们的面前。
几乎所有的科学大师都把自己的注意力集 中到寻求解决这些难题的新的数学工具上 来。
他们在解决问题的过程中，逐步形成了微
积分学的一些基本方法，这些问题可以分
为以下四类：
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先驱们的探索
的周长；各个三角形面积之和就近似于圆的面积，
而且随着边数的增多，这种近似就变得越来越精
确。
Байду номын сангаас
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微积分产生的背景
阿基米德从最简单的六边形一直做到96边 形，得出圆周长和圆的直径的比值（圆周 率π）是3(10/71)与3(1/7)之间的数。在这 个计算工作中，已包含了“无限细分，无 限求和”的微积分思想，多边形不断增多 边数，这就是对于圆周“无限细分”，由 许多三角形的总和来求圆周长及圆面积， 这就是“无限求和”。
对他数学思想的形成尤为重h要。
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科学的巨人——牛顿
1665年8月，剑桥大学 因为瘟疫流行而停课放 假，牛顿回到故乡乌尔 斯索普，在家乡躲避瘟 疫的这两年间，牛顿思 考了自然科学领域中的 一些前人从未思考过的 问题，踏进前人没有涉 及的领域，创建了前所 未有的惊人业绩。
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科学的巨人——牛顿
正3072边形，用这个正3076边形面积来逼近圆面
积，就得到π的较精确值3.1416，“割之弥细，
所失弥少；割之又割，以至于不可割，则与圆周
合体而无所失矣。”这就包含着微积分中“无限
细分，无限求和”是思想h 方法。
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微积分产生的背景
到了16世纪前后，社会
生产实践活动进入了一
个新的时期。开普勒根
据长期的天文观测资料，
的母亲迫于贫苦再嫁给一位牧
师，把牛顿留给祖母抚养。8
年之后，牧师病故，牛顿的母
亲带着和后夫所生的一子二女
又回到乌尔斯普。牛顿自幼沉
默寡言，性格倔强，这种习性
可能来自他的家庭处境。
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科学的巨人——牛顿
牛顿12岁时才进入离家不远的格兰瑟姆中学学习。 牛顿的母亲原希望他成为一个农民，赡养家庭， 但牛顿本人却酷爱读书，以至经常忘了干活。随 着年岁增大，牛顿越发爱好读书，喜欢沉思，做 科学小试验。他在格兰瑟姆中学读书时，曾寄寓 在一位药剂师家里，使他受到化学实验的熏陶。 牛顿在中学时代学习成绩并不出众，只是爱好读 书，对自然现象有好奇心，例如颜色、日影四季 的移动，尤好几何学、哥白尼的日心说等等。他 还分门别类地记读书心得笔记，又喜欢别出心裁 地做些小工具、小技巧、h 小发明、小试验。 16
现近似转化为精确。
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先驱们的探索
17世纪以前，人类关于数学的知识基本上还停留 在初等数学的水平上，即常量数学的阶段。从17 世纪中叶到18世纪末，欧洲工业革命的兴起，广 泛地采用了机器，为了设计和制造机器，就需要 掌握机械运动的规律；水运的改进要求了解物体 在液体中的运动规律；船只稳定性的研究促进了 质点力学的发展；为了适应对外扩张和争霸的需 要，战争中广泛使用枪炮，这就要研究抛射体的 运动，所有这些生产和技术中出现的问题迫切要 求力学、天文学等基础学科的发展，但这些学科 都是离不开数学的，因而h 也就推动了数学的发展。12
第四类是求曲线的长、曲线围成的面积、曲面围 成的体积、物体的重心以及一个体积相当大的物 体（例如行星）作用与另一个物体上的引力等。
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科学的巨人——牛顿
牛顿（Isaac Newton，
1642—1727）诞生于英格兰
林肯郡的小镇乌尔斯索普的一
个农民家庭。在他出生之前，
他的父亲已去世。3年后，他
1665年初他创立了级数近似法以及把任何 幂的二项式化为一个级数的规则。同年11 月，创立了正流数法（微分）；次年1月， 研究颜色理论；5月，开始研究反流数法 （积分）。
这一年内，牛顿还开始研究重力问题，并
试图把重力理论推广到月球的运行轨道上
去。他还从开普勒定理中推导出使行星保
持在他们轨道上的力必定于它们到旋转中
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科学的巨人——牛顿
牛顿关于微积分问题的研究起始于1664年秋，当 时他认真研究了笛卡儿的《几何学》，对笛卡儿 求曲线的切线方法产生了浓厚的兴趣并试图寻找 更好、更一般的方法。
1666年10月，牛顿写出了第一篇关于微积分的论 文《流数短论》，在该文中首次提出流数的概念， 所谓流数就是速度，在变速运动中速度的路程对 时间的微商。至于速度的变化状况就要用速度的 微商来反映，即加速度是速度的微商。
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科学的巨人——牛顿
1671年，牛顿关于微积分的第3本论著《流 数术和无穷级数》写成（1736年出版）。 在这部著作中，他恢复了在《流数短论》
中采用的运动观点。对以物体运动为背景
提出的流数概念作了进一步的论述，并清 楚地称述了流数术所提出的中心问题是：
⑴已知流量间的关系，求流数关系（即微 分法）；
科学的巨人——牛顿
当时英国社会渗入基督教新教思想，牛顿家里有 两位都以神父为职业的亲戚，这可能影响牛顿晚 年的宗教生活。
从这些平凡的环境和活动中，看不出幼年的牛顿
是一个才能出众异于常人的儿童。然而格兰瑟姆 中学的校长J.斯托克斯，还有牛顿的一位当神父 的叔父W.艾斯库别具慧眼，鼓励牛顿上大学读书。 在他们的鼓励下，牛顿于1661年以减费生的身份 进入剑桥大学三一学院，1664年成为奖学金获得 者，1665年获学士学位。
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科学的巨人——牛顿
17世纪中叶，剑桥大学的教育制度还渗透着浓厚的中世纪 经院哲学的气味。当牛顿进入剑桥大学时，那里还在传授 一些经院式课程，如逻辑、古文、语法、古代史、神学等 等。
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科学的巨人——牛顿
两年之后三一学院出现了新气象。H.
卢卡斯创设了一个独辟蹊径的讲座，
规定讲授自然科学知识如地理、物理、
遗》“不辩积微之为量，讵晓百忆于大千”句，取
“积微成著”之义，译名反映了李善兰对概念的科
学内容的深刻理解，并表现了汉学的高深造诣。
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微积分产生的背景
事实上，“无限细分，无限求和”的微积分思想， 在古代的西方和中国早就已经开始萌芽。
两千多年以前的古希腊时代，地中海沿岸的奴隶
们在繁重的生产劳动中，早就认识到搬运重东西
剑桥大学三一学院教堂内的牛顿塑h 像
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科学的巨人——牛顿
牛顿在写作《自然哲学之数学原理》之后，厌倦 了大学教授的生活，他得到在大学学生时代结识 的一位贵族后裔C.蒙塔古的帮助，于1696年谋得 造币厂监督职位，1699年升任厂长，1701年辞去 剑桥大学工作。当时英国币制混乱，牛顿运用他 的冶金知识，制造新币。因改革币制有功，1705 年受封为爵士。晚年研究宗教，著有《圣经里两 大错讹的历史考证》等文。牛顿于1727年3月31 日在伦敦郊区肯辛顿寓中逝世，以国葬礼葬于伦 敦威斯敏斯特教堂。
时，研究了圆的周长和面积的计算问题，他利用
圆的内接正多边形和外切正多边形来推算，边数
越多，圆和多边形就越接近。从圆心到多边形顶
点的半径把多边形分成一个个三角形。也同时把
圆分成一个个扇形。多边形的边数越多，三角形
就越接近扇形，三角形的底边（即多边形的一条
边）便近似于扇形的圆弧；三角形的面积便近似
于扇形的面积；各个三角形底边之和便近似于圆
心的距离平方成反比。
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科学的巨人——牛顿
牛顿见苹果落地而悟出地 球引力的传说，说的也是 在此时发生的轶事。总之， 在家乡居住的这两年中， 是牛顿科学生涯的黄金岁 月，他一生中的许多重大 科学思想和创造都是在这 短短两年期间孕育、萌发 和形成的。
牛顿的《自然哲学的数学原理》发
表300周年纪念邮票。 h
总结出行星运动的三大
定律；伽利略发现了自
由落体的运动规律，这
个规律可表示成著名的
公式S=1/2gt2；
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微积分产生的背景
笛卡儿关于几何学的工作及费马对极值问 题的研究，特别是他们关于解析几何的工 作，开始有了变数概念，并把描述运动的 函数关系和几何中曲线问题的研究统一起 来了。
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微积分产生的背景
⑵已知表示量的流数间的关系的方程，求
流量间的关系（即积分法）。
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科学的巨人——牛顿
1676年，牛顿完成了他的第4篇论文《曲线 求积论》（1704年发表），这是他最成熟
的一部微积分论著。在这部著作中，他改
变了过去那种“略去所有含瞬的项”的做
法，认为“数学的量不是由非常小的部分
密士的《解析几何与微积分基础》。译名的“代”
指的是解析几何（原译名为代数几何，解析几何
为日文译名），“微”指微分，“积”指积分。