椭圆、双曲线、抛物线练习题

【例】以抛物线x y 382=的焦点F 为右焦点,且两条渐近线是03=±y x 的双曲线方程为___________________.

解： 抛物线x y 382=的焦点F 为)0,32(，设双曲线方程为λ=-2

2

3y x ，

9)32(3

42

=∴=∴λλ，双曲线方程为13922=-

y x 【例】双曲线22

24b

y x -=1(b ∈N)的两个焦点F 1、F 2，P 为双曲线上一点，|OP |＜5,|PF 1|,|F 1F 2|,|PF 2|成等比数列，则b 2=_________。

解：设F 1(－c ,0）、F 2(c ,0)、P (x ,y )，则|PF 1|2+|PF 2|2=2(|PO |2+|F 1O |2)＜2(52+c 2)，即|PF 1|2+|PF 2|2＜50+2c 2，

又∵|PF 1|2+|PF 2|2=(|PF 1|－|PF 2|)2+2|PF 1|·|PF 2|，依双曲线定义，有|PF 1|－|PF 2|=4， 依已知条件有|PF 1|·|PF 2|=|F 1F 2|2=4c 2 ∴16+8c 2＜50+2c 2，∴c 2＜3

17

, 又∵c 2=4+b 2＜

317

，∴b 2＜3

5，∴b 2=1。 【例】当m 取何值时，直线l ：y x m =+与椭圆2

2

916144x y +=相切，相交，相离？

解：

{

22916144y x m x y =++=…… … … ①②

①代入②得2

2

916()144x x m ++=化简得22

2532161440x mx m ++-=

222(32)425(16144)57614400m m m ?=-?-=-+

当0,?=即5m =±时，直线l 与椭圆相切； 当0?>，即55m -<<时，直线与椭圆相交；

当0?<，即5m <-或5m >时，直线与椭圆相离。

【例】已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个焦点为F ，M 是椭圆上的任意点，|MF |的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y =x 为轴的对称点M 1和M 2，且|M 1M 2|=

3

10

4，试求椭圆的方程。 精讲精练

解：|MF |ma x =a +c ，|MF |min =a －c ，则(a +c )(a －c )=a 2－c 2=b 2，

∴b 2

=4，设椭圆方程为142

22

=+y a

x

①

设过M 1和M 2的直线方程为y =－x +m

② 将②代入①得：(4+a 2)x 2－2a 2mx +a 2m 2－4a 2=0

③

设M 1(x 1，y 1)、M 2(x 2，y 2)，M 1M 2的中点为(x 0，y 0)， 则x 0=21 (x 1+x 2)=224a m a +，y 0=－x 0+m =244a

m

+。 代入y =x ，得2

2

2444a

m a

m a +=

+，

由于

a

2

＞4，∴m =0，∴由③知

x 1+x 2=0，x 1x 2=－

2

244a a +，又

|M 1M 2|=3

10

44)(221221=

-+x x x x ， 代入x 1+x 2，x 1x 2可解a 2

=5，故所求椭圆方程为：4

52

2y x +

=1。 【例】已知椭圆的中心在坐标原点O ，焦点在坐标轴上，直线y =x +1与椭圆交于P 和Q ，且OP ⊥OQ ，|PQ |=

2

10

，求椭圆方程。 解：设椭圆方程为mx 2+ny 2=1(m ＞0，n ＞0)，P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)

由?????=++=1

12

2ny mx x y 得(m +n )x 2+2nx +n －1=0，Δ=4n 2－4(m +n )(n －1)＞0，即m +n －mn ＞0， 由OP ⊥OQ ，所以x 1x 2+y 1y 2=0，即2x 1x 2+(x 1+x 2)+1=0，∴n

m n

n m n --+-2)1(2+1=0，∴m +n =2 ① 又2

)2

10()(4=+-+n m mn n m 2

，将m +n =2，代入得m ·n =43 ②

由①、②式得m =

21，n =2

3或m =23，n =21

故椭圆方程为22x +2

3y 2

=1或23x 2+21y 2=1。

【例】已知圆C 1的方程为()()

320

122

2

=-+-y x ，椭圆C 2的方程为12222=+b

y a x ()a b >>0，C 2的离心率为

2

2

，如果C 1与C 2相交于A 、B 两点，且线段AB 恰为圆C 1的直径，求直线AB 的方程和椭圆C 2的方程。

解：由.,2,22,222

222c b c a a c e ====得设椭圆方程为.122222=+b

y b x

设).1,2().,().,(2211由圆心为y x B y x A .2,42121=+=+∴y y x x 又

,12,

122

22

2

22

2

21

2

2

1

=+

=+

b

y b

x b

y b

x 两式相减，得

.022

2

2

212

22

21=-+

-b

y y b

x x

,0))((2))((21212121=-++-+y y y y x x x x

又.1.2.42

12

12121-=--=+=+x x y y y y x x 得)..2(1--=-∴x y AB 的方程为

直线即3+-=x y

将得代入

,1232

22

2=+

+-=b

y b

x x y .021812322=-+-b x x

.07224.22>-=?∴b C AB 相交与椭圆直线

由.3204)(22212

2121=-+=-=x x x x x x B A 得.3

203722422=-?b 解得 .82

=b 故所有椭圆方程.18

162

2=+y x

【例】过点(1，0)的直线l 与中心在原点，焦点在x 轴上且离心率为2

2

的椭圆C 相交于A 、B 两点，直线y =

2

1

x 过线段AB 的中点，同时椭圆C 上存在一点与右焦点关于直线l 对称，试求直线l 与椭圆C 的方程。

解法一：由e =22

=a c ，得21222=-a b a ，从而a 2=2b 2，c =b 。设椭圆方程为x 2+2y 2=2b 2，A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)在椭圆上。

则x 12+2y 12=2b 2，x 22+2y 22=2b 2，两式相减得，(x 12－x 22)+2(y 12－y 22)=0，

.)

(2212

12121y y x x x x y y ++-=--

设AB 中点为(x 0，y 0)，则k AB =－

02y x ，又(x 0，y 0)在直线y =21x 上，y 0=21

x 0，于是－002y x =－1，

k AB =－1，

设l 的方程为y =－x +1。右焦点(b ，0)关于l 的对称点设为(x ′，y ′)，

???-='='???????++'-='=-''

b y x b x y b

x y 11 1

22

1解得则

由点(1，1－b )在椭圆上，得1+2(1－b )2=2b 2，b 2=

8

9

,1692=a 。 ∴所求椭圆C 的方程为2

29

1698y x + =1，l 的方程为y =－x +1。

解法二：由e =21,22222=

-=a b a a c 得，从而a 2=2b 2，c =b 。设椭圆C 的方程为x 2+2y 2=2b 2

，l 的方程为y =k (x －1)，

将l 的方程代入C 的方程，得(1+2k 2)x 2－4k 2x +2k 2－2b 2=0， 则x 1+x 2=

2

2214k k +，y 1+y 2=k (x 1－1)+k (x 2－1)=k (x 1+x 2)－2k =－

2

212k

k +。

直线l ：y =21x 过AB 的中点(2,

22121y y x x ++)，则2

2

22122121k k k k +?=+-，解得k =0，或k =－1。 若k =0，则l 的方程为y =0，焦点F (c ，0)关于直线l 的对称点就是F 点本身，不能在椭圆C 上，所以k =0舍去，从而k =－1，直线l 的方程为y =－(x －1)，即y =－x +1，以下同解法一。

解法三：设椭圆方程为

)1()0(12

22

2>>=+

b a b

y a

x

直线l 不平行于y 轴，否则AB 中点在x 轴上与直线AB x y 过2

1

=

中点矛盾。故可设直线)2()1(-=x k y l 的方程为

整理得：

消代入y )1()2()3(02)(2222222222=-+-+b a k a x a k x b a k )()(2211y x B y x A ，，设，2

2222212b a k a k x x +=

+知： 代入上式得：又k x x k y y 2)(2121-+=+

21

221=+-x x k k ，212222222=+?-∴a k b a k k k ，2122=--∴ka

b k k ，22=e 又

122)

(2222

222

2-=+-=--

=-

=∴e a

c a a

b k ，x y l -=∴1的方程为直线，

222b a =此时，02243)3(22=-+-b x x 化为方程，0)13(8)1(241622>-=--=?b b

3

3

>

∴b ，)4(22222b y x C =+的方程可写成：椭圆，2222b b a c =-=又， )0(，右焦点b F ∴，)(00y x l F ，的对称点关于直线设点，

则b y x b x y b x y -=-?????

???+-==-11212

100000

，， 得：

在椭圆上，代入，又点)4()11(b -22)1(21b b =-+，3

3

43>

=∴b ， 1692=

∴b ， 8

9

2=a 所以所求的椭圆方程为：116

9892

2=+y x

【例】如图，已知△P 1OP 2的面积为4

27

，P 为线段P 1P 2的一个三等分点，求以直线OP 1、OP 2为渐近线且过点P 的离心率为

2

13

的双曲线方程。

解：以O 为原点，∠P 1OP 2的角平分线为x 轴建立如图所示的直角坐标系。 设双曲线方程为

2

22

2b y a x -

=1(a ＞0，b ＞0)，由e 2

=

2222

)213()(1=+=a b a

c ，得23=a b 。 ∴两渐近线OP 1、OP 2方程分别为y =23x 和y =－2

3

x 设点P 1(x 1，

23x 1)，P 2(x 2，－2

3

x 2)(x 1＞0，x 2＞0)， 则由点P 分21P P 所成的比λ=

2

1PP P

P =2，得P 点坐标为(22,322121x x x x -+)，

又点P 在双曲线

2

22

294a y a x -

=1上，所以

2

2

21

2

2

219)2(9)2(a x x a x x --

+=1，

即(x 1+2x 2)2－(x 1－2x 2)2=9a 2，整理得8x 1x 2=9a 2 ①

,4

271312

41321sin ||||2113

124

91232tan 1tan 2sin 2

134

9||,21349||212121121212222212121121=

??=??=∴=+?

=

+==+==+

=?x x OP P OP OP S Ox P Ox P OP P x x x OP x x x OP OP P 又

即x 1x 2=

2

9 ②

由①、②得a 2

=4，b 2

=9。 故双曲线方程为9

42

2y x -

=1。 【例】过椭圆C ：

)0(12

22

2>>=+

b a b

x a

y 上一动点P 引圆O ：x 2 +y 2 =b 2的两条切线P A 、P B ，

A 、

B 为切点，直线AB 与x 轴，y 轴分别交于M 、N 两点。(1) 已知P 点坐标为(x 0，y 0 )并且x 0y 0≠0，试求直线AB 方程；(2) 若椭圆的短轴长为8，并且

16

25

||||2

22

2=

+

ON b OM a ，求椭圆C 的方程；(3) 椭圆C 上是否存在点P ，由P 向圆O 所引两条切线互相垂直？若存在，请求出存在的条件；若不存在，请说明理由。

解：(1)设A (x 1，y 1)，B (x 2， y 2) 切线P A ：211b y y x x =+，P B ：222b y y x x =+ ∵P 点在切线P A 、P B 上，∴2020220101b y y x x b y y x x =+=+

∴直线AB 的方程为)0(00200≠=+y x b y y x x

(2)在直线AB 方程中，令y =0，则M(02x b ，0)；令x =0，则N(0，0

2

y b )

∴1625

)(||||222

2

02202222

22==+=+b a b x a y b a ON b OM a ① ∵2b =8 ∴b =4 代入①得a 2 =25， b 2 =16 ∴椭圆C 方程：)0(116

252

2≠=+xy x y

(3) 假设存在点P(x 0，y 0)满足P A ⊥P B ，连接O A 、O B 由|P A |=|P B |知，

四边形P A O B 为正方形，|OP|=2|O A | ∴220202b y x =+ ① 又∵P 点在椭圆C 上 ∴222

0220

2b a y b x a =+ ② 由①②知

x 2

2

222

2

2

2222

0,

)2(b

a b a y

a b a b -=

--=

∵a >b >0 ∴a 2 －b 2>0

(1)当a 2－2b 2>0，即a 时，椭圆C 上存在点，由P 点向圆所引两切线互相垂直；

(2)当a 2－2b 2<0，即b

【例】已知点B （－1，0），C （1，0），P 是平面上一动点，且满足.||||?=? （1）求点P 的轨迹C 对应的方程；

（2）已知点A （m ，2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD 和AE ，且AD ⊥AE ，判断：直线DE 是否过定点？试证明你的结论。

（3）已知点A （m ，2）在曲线C 上，过点A 作曲线C 的两条弦AD ，AE ，且AD ，AE 的斜率k 1、k 2满足k 1·k 2=2。求证：直线DE 过定点，并求出这个定点。 解：（1）设.4,1)1(||||),(222x y x y x CB PB BC PC y x P =+=+-?=?化简得得代入 ).

2,5(),5(1

2,0)2()5()2(),14(44

4424:).24,14(4),1(1

2:).24

,14(,242,048

4,4)1(2).2,1(,14)2,()2(222222221222----

=+=+--++---+=++--+=--=--+∴-=

==-+-=-=-∴==过定点即化简得方程为则直线得代入同理可设直线可得由得代入的方程为设直线的坐标为点得代入将x k k y y x k y k k x k

k k k k y DE k k E x y x k

y AE k k

D k y y k

y k y x y x k y AD A m x y m A

),

1,(21

2

12,2,0)2(24),(),,(,,

14)2,()3(212211222211112≠=--?--∴=?=+-+?????=+=+===x x x y x y k k b x kb x k x

y b kx y y x E y x D b kx y DE m x y m A AE AD 得由的方程为设直线得代入将 )

2,1(,,),2,1(,2)1(22).2,1(,2)1(22).

2().

2(,)2(,)

2(2,02)2())(22()2(,222

2212

212212122211--∴+-=-+=+=-=---+=-+=+=-=-±=∴-±=∴-==

--=

+=--+++-+-∴+=+=定点为舍去不合过定点得代入将过定点得代入将代入化简得将且x k k kx y b kx y k b x k k kx y b kx y k b k b k b k b k

b x x k

kb x x b x x k kb x x k b

kx y b kx y

【例】已知曲线

3

3

2)0,0(12

22

2=

>>=-

e b a b y a x 的离心率，直线l 过A （a ，0）、B （0，－b ）两点，原点O 到l 的距离是

.2

3

（Ⅰ）求双曲线的方程；

（Ⅱ）过点B 作直线m 交双曲线于M 、N 两点，若23-=?ON OM ，求直线m 的方程。

解：（Ⅰ）依题意，,0,1=--=-+ab ay bx b

y a x l 即方程 由原点O 到l 的距离为23，得

232

2==

+c ab b a ab

又3

32==a

c e 3,1=

=∴a b 。 故所求双曲线方程为13

22

=-y x

（Ⅱ）显然直线m 不与x 轴垂直，设m 方程为y =k x －1， 则点M 、N 坐标（11,y x ）、（22,y x ）是方程组 ???

??=--=13

1

2

2y x kx y 的解

消去y ，得066)31(22=-+-kx x k ① 依设，,0312

≠-k 由根与系数关系，知1

36,13622

1221-=-=

+k x x k k x x

)

1)(1(),(),(212121212211--+=+=?=?kx kx x x y y x x y x y x =

1)()1(21212++-+x x k x x k =11

361

3)1(622

2

2+---+k k k k =

11

362+-k

23-=?ON OM ∴

11

36

2

+-k =－23，k=±21。 当k=±21

时，方程①有两个不等的实数

根 故直线l 方程为12

1,121--=-=x y x y 或

【例】已知动点P 与双曲线13

22

2=-y x 的两个焦点

1F 、2F 的距离之和为定值，且

21cos PF F ∠的最小值为9

1-

． （1）求动点P 的轨迹方程；

（2）若已知)3,0(D ，M 、N 在动点P 的轨迹上且DN DM λ=，求实数λ的取值范围． 解：（1）由已知可得： 5=c ，

9

1

2)2(2

2

22-

=-+a

c a a ∴ 4,

92222=-==c a b a

∴ 所求的椭圆方程为 14

92

2=+y x 。

(2)方法一：由题知点D 、M 、N 共线，设为直线m ，当直线m 的斜率存在时，设为k ，则直线m 的方程为 y = k x +3 代入前面的椭圆方程得 (4+9k 2) x 2 +54 k +45 = 0 ① 由判别式 045)94(4)54(22≥?+?-=?k k ，得9

5

2≥k 。 再设M (x 1 ， y 1 )， N ( x 2 ， y 2)，则一方面有

))3(,()3,()3,(222211-=-==-=y x y x y x λλλλ，得??

?-=-=)3(321

2

1y y x x λλ 另一方面有 2

219454k k

x x +-=+，2

219445

k x x +=

②

将21x x λ=代入②式并消去 x 2可得94)1(532422+=+k λλ，由前面知， 536402≤

∴ 5

81

)1(532492

≤

+<

λλ

，解得 551<<λ。

又当直线m 的斜率不存在时，不难验证：55

1

==λλ或，所以

55

1

≤≤λ为所求。 方法二：同上得??

?-=-=)

3(3212

1y y x x λλ

设点M (3cosα，2sinα)，N (3cosβ，2sinβ) 则有?

??-=-=)3sin 2(3sin 2cos cos βλαβ

λα

由上式消去α并整理得)

(1251813sin 22λλλλβ-+-=

， 由于1sin 1≤≤-β

∴ 1)

(1251813122≤-+-≤

-λλλλ， 解得

55

1

≤≤λ为所求。 方法三：设法求出椭圆上的点到点D 的距离的最大值为5，最小值为1。进而推得λ的取值

范围为

55

1

≤≤λ。 【例】 如图所示，抛物线y 2=4x 的顶点为O ，点A 的坐标为(5，0)，倾斜角为

4

π

的直线l 与线段OA 相交(不经过点O 或点A )且交抛物线于M 、N 两点，求△AMN 面积最大时直线l 的方程，并求△AMN 的最大面积。

解：由题意，可设l 的方程为y =x +m ，－5＜m ＜0。

由方程组?????=+=x

y m

x y 42，消去y ，得x 2+(2m －4)x +m 2=0……………①

∵直线l 与抛物线有两个不同交点M 、N ，∴方程①的判别式Δ=(2m －4)2－4m 2=16(1－m )＞0， 解得m ＜1，又－5＜m ＜0，∴m 的范围为(－5，0)

设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)则x 1+x 2=4－2m ，x 1·x 2=m 2，∴|MN |=4)1(2m -。 点A 到直线l 的距离为d =2

5m +。

∴S △=2(5+m )m -1，

从

而

S △2=4(1

－

m )(5+m )2=2(2

－

2m )·(5+m )(5+m )≤2(

3

5522m m m ++++-)3

=128。

∴S △≤82，当且仅当2－2m =5+m ，即m =－1时取等号。 故直线l 的方程为y =x －1，△AMN 的最大面积为82。

【例】已知双曲线C ：2x 2－y 2=2与点P (1，2)。(1)求过P (1，2)点的直线l 的斜率取值范围，使l 与C 分别有一个交点，两个交点，没有交点。(2)若Q (1，1)，试判断以Q 为中点的弦是否存在。

解：(1)当直线l 的斜率不存在时，l 的方程为x =1，与曲线C 有一个交点。 当l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y －2=k (x －1)，

代入C 的方程，并整理得(2－k 2)x 2+2(k 2－2k )x －k 2+4k －6=0………………(*) (ⅰ)当2－k 2=0，即k =±2时，方程(*)有一个根，l 与C 有一个交点

(ⅱ)当2－k 2≠0，即k ≠±2时Δ=［2(k 2－2k )］2－4(2－k 2)(－k 2+4k －6)=16(3－2k )

①当Δ=0，即3－2k =0，k =2

3

时，方程(*)有一个实根，l 与C 有一个交点。 ②当Δ＞0，即k ＜

23，又k ≠±2，故当k ＜－2或－2＜k ＜2或2＜k ＜2

3

时，方程(*)有两不等实根，l 与C 有两个交点。

③当Δ＜0，即k ＞

2

3

时，方程(*)无解，l 与C 无交点。 综上知：当k =±2，或k =2

3

，或k 不存在时，l 与C 只有一个交点； 当2＜k ＜2

3

，或－2＜k ＜2，或k ＜－2时，l 与C 有两个交点； 当k ＞

2

3

时，l 与C 没有交点。 (2)假设以Q 为中点的弦存在，设为AB ，且A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)， 则2x 12－y 12=2，2x 22－y 22=2两式相减得：2(x 1－x 2)(x 1+x 2)=(y 1－y 2)(y 1+y 2) 又∵x 1+x 2=2，y 1+y 2=2∴2(x 1－x 2)=y 1－y 1即k AB =

2

12

1x x y y --=2

但渐近线斜率为±2，结合图形知直线AB 与C 无交点，所以假设不正确，即以Q 为中点的弦不存在。

【例】已知双曲线G 的中心在原点，它的渐近线与圆22

10200x y x +-+=相切．过点

()4,0P -作斜率为1

4

的直线l ，使得l 和G 交于,A B 两点，和y 轴交于点C ，并且点P 在

线段AB 上，又满足2

PA PB PC ?=． （1）求双曲线G 的渐近线的方程； （2）求双曲线G 的方程；

（3）椭圆S 的中心在原点，它的短轴是G 的实轴．如果S 中垂直于l 的平行弦的中点的轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，求椭圆S 的方程．

解：（1）设双曲线G 的渐近线的方程为：y kx =，则由渐近线与圆2

2

10200

x y x +-+=

=

所以，12k =±

．双曲线G 的渐近线的方程为：1

2

y x =±． （2）由（1）可设双曲线G 的方程为：2

2

4x y m -=．

把直线l 的方程()1

44y x =

+代入双曲线方程，整理得2381640x x m ---=． 则8164, 33

A B A B m

x x x x ++==- （＊）

∵ 2

PA PB PC ?=，,,,P A B C 共线且P 在线段AB 上， ∴

()()()

2

P A B P P C x x x x x x --=-，即：

()()4416

B A x x +--=，整理得：

()4320A B A B x x x x +++=

将（＊）代入上式可解得：28m =．所以，双曲线的方程为

22

1287

x y -=． （3）由题可设椭圆S

的方程为：

(22

2128x y a a

+=>．下面我们来求出S 中垂直于l 的平行弦中点的轨迹．

设弦的两个端点分别为()()1122,,,M x y N x y ，MN 的中点为()00,P x y ，则

22

112

22

222

1281

28x y a x y a ?+=????+=??．两式作差得：()()()()121212122028x x x x y y y y a -+-++= 由于

12124y y x x -=--，1201202,2x x x y y y +=+= 所以，0024028x y

a

-=，

所以，垂直于l 的平行弦中点的轨迹为直线

2

4028x y

a -=截在椭圆S 内的部分． 又由题，这个轨迹恰好是G 的渐近线截在S 内的部分，所以，

21

1122a =． 所以，2

56a =，椭圆S 的方程为：

22

12856

x y +=． 点评：解决直线与圆锥曲线的问题时，把直线投影到坐标轴上（也即化线段的关系为横坐标（或纵坐标）之间的关系）是常用的简化问题的手段；有关弦中点的问题，常常用到“设而不求”的方法；判别式和韦达定理是解决直线与圆锥曲线问题的常用工具）．

【例】已知椭圆C 的中心为直角坐标系xOy 的原点，焦点在s 轴上，它的一个顶点到两个焦点的距离分别是7和1。 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）若P 为椭圆C 上的动点，M 为过P 且垂直于x 轴的直线上的点，OP OM

=λ，求点M

的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线。

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1

,4,37

a c a c a c -=?==?

+=?解得，w 。w 。w 。k 。s 。5。u 。c 。o 。m 所以椭圆C 的标准方程为

22

1167

x y += （Ⅱ）设(,)M x y ，其中[]4,4x ∈-。由已知

222

OP OM

λ=及点P 在椭圆C 上可得

2222

911216()

x x y λ+=+。整理得2222

(169)16112x y λλ-+=，其中[]4,4x ∈-。 （i ）34

λ=

时。化简得2

9112y = 所以点M

的轨迹方程为44)y x =-≤≤，轨迹是两条平行于x 轴的线段。 （ii ）3

4

λ≠时，方程变形为

22

22

111211216916x y λλ+=-，其中[]4,4x ∈-

当3

04

λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、实轴在y 轴上的双曲线满足44x -≤≤的部分。

当

3

14

λ<<时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆满足44x -≤≤的部分； 当1λ≥时，点M 的轨迹为中心在原点、长轴在x 轴上的椭圆；

【例】已知椭圆()22220x y C a b a b

∶＋＝1＞＞

的离心率为3，过右焦点F 的直线L 与C 相交

于A 、B 两点，当L 的斜率为1时，坐标原点O 到L

的距离为2

。 (Ⅰ) 求a ，b 的值；

(Ⅱ) C 上是否存在点P ，使得当L 绕F 转到某一位置时，有OP OA

OB ＝＋成立？若存在，求出所有的P 的坐标与L 的方程；若不存在，说明理由

考点：本题考查解析几何与平面向量知识综合运用能力，第一问直接运用点到直线的距离公式以及椭圆有关关系式计算，第二问利用向量坐标关系及方程的思想，借助根与系数关系解决问题，注意特殊情况的处理。

解：（Ⅰ）设(),0,c F 当l 的斜率为1时，其方程为O c y x ,0=--到l 的距离为

2

2

00c c

=

--。 故

2

2

2

=

c ， 1=c 由 3

3==

a c e ，得 3=a ，22c a

b -==2 （Ⅱ）C 上存在点P ，使得当l 绕F 转到某一位置时，有OB OA OP +=成立。 由 （Ⅰ）知C 的方程为22x +2

3y =6。 设).,(),,(2211y x B y x A (ⅰ) )1(-=x k y l x l 的方程为轴时，设不垂直当

C OB OA OP P +=使上的点成立的充要条件是）点的坐标为（2121,y y x x P ++且

6)(3)(2221221=+++y y x x

整理得 664323221212

22

22

12

1=+++++y y x x y x y x

632,6322

2222

1

21=+=+y x y x C B A 上，即在、又。 故 03322121=++y y x x

①

将 并化简得代入,632)1(22=+-=y x x k y 0636)32(2

222=-+-+k x k x k

于是 2221326k k x x +=+, 21x x =223263k k +-,2

2212

21324)2)(1(k

k x x k y y +-=--= 代入①解得，22

=k ，此时2

3

21=

+x x 。 于是)2(2121-+=+x x k y y =2k -， 即

)2

,23(k

P - 因此， 当2-=k 时，)2

2

,

23(P ， 022=-+y x l 的方程为； 当2=

k 时，)2

2

,23(-P ， 022=--y x l 的方程为。

（ⅱ）当l 垂直于x 轴时，由)0,2(=+OB OA 知，C 上不存在点P 使OB OA OP +=成立。

综上，C 上存在点)2

2

,23(±

P 使OB OA OP +=成立，此时l 的方程为022=-±y x

【例】已知椭圆1C ：22

221(0)y x a b a b

+=>>的右顶点为(1,0)A ，过1C 的焦点且垂直长轴

的弦长为1．

（I ）求椭圆1C 的方程；

（II ）设点P 在抛物线2C ：2

()y x h h =+∈R 上，2C 在点P 处的切线与1C 交于点,M N ．当

线段AP 的中点与MN 的中点的横坐标相等时，求h 的最小值．

解：（I ）由题意得212,,1

21b a b b a

=?=??

∴??=?=???所求的椭圆方程为2

214y x +=

（II ）不妨设2

1122(,),(,),(,),M x y N x y P t t h +则

抛物线2C 在点P 处的切线斜率为2x t

y t ='

=，直线MN 的方程为22y tx t h =-+，

将上式代入椭圆1C 的方程中，得2

2

2

4(2)40x tx t h +-+-=，即

()22222414()()40t x t t h x t h +--+--=，

因为直线MN 与椭圆1C 有两个不同的交点，所以有422

1162(2)40t h t h ???=-++-+>??，

设线段MN 的中点的横坐标是3x ，则21232()

22(1)

x x t t h x t +-==+ 设线段PA 的中点的横坐标是4x ，则412

t x +=

， 由题意得34x x =，即有2

(1)10t h t +++=，其中的2

2(1)40,1h h ?=+-≥∴≥或3h ≤-；

当3h ≤-时有2

20,40h h +<-<，因此不等式4221162(2)40t h t h ???=-++-+>??不成

立；

因此1h ≥，当1h =时代入方程2

(1)10t h t +++=得1t

=-，

将1,1h t ==-代入不等式4

2

2

1162(2)40t h t h ???=-++-+>??成立，

因此h 的最小值为1． 【例】设椭圆E: 22

221x y a b

+=（a,b>0）过M （22） ，6,1)两点，O 为坐标原点，

（I ）求椭圆E 的方程；

（II ）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且OA OB ⊥？若存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 考点：本题属于探究是否存在的问题,主要考查了椭圆的标准方程的确定,直线与椭圆的位置

关系直线与圆的位置关系和待定系数法求方程的方法,能够运用解方程组法研究有关参数问题以及方程的根与系数关系。

解：（1）因为椭圆E: 22

221x y a b +=（a,b>0）过M （2

） ，

,1)两点,

所以2222421611a b a b +=+=???????解得2211

8

11

4

a b ?=????=??所以2284a b ?=?=?椭圆E 的方程为22184x y += （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E 恒有两个交点A,B,且

OA OB ⊥,

设该圆的切线方程为y kx m =+。

解方程组2218

4x y y kx m

+==+?????得222()8x kx m ++=,即222

(12)4280k x kmx m +++-=,

则△=2

2

2

2

2

2

164(12)(28)8(84)0k m k m k m -+-=-+>,即22840k m -+>

1222

12241228

12km x x k m x x k ?

+=-??+?-?=?+?

,

2222222

2

212121212222

(28)48()()()121212k m k m m k y y kx m kx m k x x km x x m m k k k --=++=+++=-+=

+++

要使OA OB ⊥,需使12120x x y y +=,即22222

28801212m m k k k

--+=++,所以22

3880m k --=,所以22

38

08

m k -=

≥ 又2

2

840k m -+>,所以22238

m m ?>?≥?,所以28

3m ≥,

即m ≥

m ≤,

因为直线y kx m =+为圆心在原点的圆的一条切线,

所以圆的半径为r=,

22

2

2

2

8

38

13

1

8

m m

r

m

k

===

-

+

+

,r=

所求的圆为228 3

x y

+=,此时圆的切线y kx m

=+

都满足m≥

m≤,

而当切线的斜率不存在时切线

为x=与椭圆

22

1

84

x y

+=的两个交点

为

(

33

±

或(±

满足OA OB

⊥,

综上, 存在圆心在原点的圆22

8

3

x y

+=，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA OB

⊥。

122

2

122

4

12

28

12

km

x x

k

m

x x

k

?

+=-

??+

?

-

?=

?+

?

所以

222

222

1212122222

4288(84) ()()4()4

1212(12)

km m k m x x x x x x

k k k

--+ -=+-=--?=

+++

,

||

AB===

==,

①当0

k≠

时||

AB=。因为2

2

1

448

k

k

++≥所以

2

2

11

18

44

k

k

<≤

++

,

所以

2

2

32321

[1]12

1

3344

k

k

<+≤

++

, 所

以||

AB

<≤当

且仅当

2

k=±时

取”=”。

② 当0k =时,||3

AB =

。

③ 当AB 的斜率不存在时, 两个交点为(

,)33

±或(,)33-±,所以此时

||AB =

,

综上, |AB |||AB ≤≤: ||AB ∈ . . .

——知识就是力量，学海无涯苦作舟!——

不要担心知识没有用，知识多了，路也好选择，也多选择。比如高考，高分的同学，填报志愿的时候选择学校的范围大，而在分数线左右的就为难了，分数低的就更加不要说了。再比如，有了知识，你也可以随时炒老板。