弹性力学试卷及答案

一、 概念题（32分）
1、 如图所示三角形截面水坝，其右侧受重度为的水压力作用，左
侧为自由面。

试列出下述问题的边界
条件
解：1）右边界（x=0） 1 1
2）左边界（x=ytg β）
1
1 由：
2
2 2、何谓逆解法和半逆解法。

答：1. 形式、满足相容方程的应力函数，
利用公式求出应力分量，然后根据
应力边界条件考察在各种形状的弹
性体上，这些应力分量对应于什么样的面力，从而得知设定的应力函数可以解决什么问题。

4
2. 所谓半逆解法，就是针对所要
求解的问题，根据弹性体的边界
形状与受力情况，假设部分或全部应力分量为某种形式的函数，从而推出应力函数，然后考察该应力函数是否满足相容方程，以及原来假设的应力分量和由这个
应力函数求出的其余应力分量，
是否满足应力边界条件和位移单值条件。

如果相容方程和各方面的条件都能满足，就可得到正确
解答；如果某一方面不能满足，
就需要另作假设，重新考察。

4
3、已知一点的应力状态，试求主应力的大小
及其作用的方向。

200,0,400x y xy MPa M
σστ===-
解：根据公式
212222x y x y xy
σσσσστσ+-⎛⎫=±+ ⎪⎝⎭ 2 和公式11
tan x
xy
σσατ-=，求出主应力和主应力方向： 2
()220002000512.321400312.3222MPa σσ+-=±+-=-⎛⎫ ⎪⎝⎭ 2
512200
tan 0.7808,37
11400
αα-==-=- 2 4、最小势能原理等价于 以位移表示的平衡微分 （3） 方程和 应力 （3） 边
y
y
n x
000y
x x xy x σγτ=-===()
()
cos ,cos cos ,cos()2sin l n x m n y βπ
ββ====+=-()
()
()
()
x y l m x xy s s
l m xy y s s f f σττσ+=+=⎫⎪⎬
⎪⎭(
)
()()
()
cos sin 0cos sin 0
x xy s s xy y s s σβτβτβσβ-=+=⎫⎪⎬⎪⎭
界条件，选择位移函数仅需满足 位移 （2） 边界条件。

二、图示悬臂梁，长度为l , 高度为h ，l >>h ，在梁上边界受均布荷载。

试检验应力函数
523
3
2
2
Φ
Ay Bx y Cy Dx Ex y
能否成为此问题的解？，如果可以，试
求出应力分量。

（20分）
解：将应力函数代入到兼容方程
444204224x x y y ∂Φ∂Φ∂Φ++=∂∂∂∂ 得到，当5B A =-时Φ可作为应力函数 5 根据
2
22
22x
y
y
x
xy
x y
σστ
∂
Φ=
∂∂
Φ
=
∂∂Φ
=-
∂∂ 3
求得应力表达式：
32206632222(62)Ay Bx y Cy
x By D Ey y Bxy Ex xy
σστ=++=++=-+⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩ 由应力边界条件确定常数
()()(,0,22q y y y h y h σστ
=-==-=
端部的边界条件 ()()20,200h h dy y
x x h h x x σσ=⎰⎰--== 5
解得
333,,,,51044q q q q q A B C D E h h h h
=
=-=-=-= 2 三、应力分量（不计体力）为
2
23
462253
134322
31422h y
x q x y h h q y
y y h h q x y xy h
h σστ=--=--+=--⎛
⎫
⎪ ⎪⎝⎭
⎛
⎫
⎪ ⎪⎝⎭
⎛⎫
⎪ ⎪⎝
⎭
2
三、已知轴对称平面应力问题，应力和位移分
量的表达式为:（23分）
C A
22
+=
ρσρ, C A
22
+-
=ρσϕ,
0==ϕρρϕττ
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡-++-=
ρμρμρC A
E u )1(2)1(1 0=ϕu
.有一个内、外半径分别为a 和b 的圆筒，筒外受均布压力q 作用，求其应力，位移及圆筒厚度的改变值。

解：1.本题为位移轴对称平面问题，位移与ϕ无关，因此应力表达式为：
8A Uni--20--20学年第一学期工作计划9864
2
2
2,2,0
A
A
C C ρϕρϕϕρσσττρρ=
+=-
+==
1(1)2(1)0
A
u C E u ρϕμμρρ⎡⎤=-++-⎢⎥
⎣⎦=
2.有边界条件确定常数，求出应力
分量
()()0,q
a b σσρρρρ==-==
4
22
202A
C a A C q b ⎧+=⎪⎪⎨
⎪+=-⎪⎩
2
()
222,22222qa b qb A C b a b a
==-
-- 4
(
)(
)(
)(
)
2
2
2
2
2
12
2
22222222
212222220
qb
a
qb a b a
b a qb a qb a
b a b a ρ
σρρρρσϕρρτρϕ-=-=--+=-+=
--=⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭
3
圆环的径向位移（平面应变情况下）将E 换成2
1μ-E ，μμ-1 2
()
()
()(
221222221qb a a
E b a u ρμμρμρ--++--⎡=⎢⎣
4
1. 圆环内、外半径变化，壁厚的改变值
∆
分别为
()(
)
(
)
2
2
2122qab
u a E b a
μ
ρρ-=-
=-
2
()
()()
(
22
122
2()221qb u a b a b Eb b a μμρρμ-=-++-
=--⎡⎢⎣
2 ()
()
()
()(()
()21(121()
qb u u a b b a E b a qb a b E a b μρρρρμμ-∆=-=-==++=
+-+⎡⎢⎣
⎡⎤⎣⎦ 2
4、弹性力学中的几个基本假设为:物体是 ; 物体是 ; 物体是 ; 物体的位移和变形是 。

(8分)
三 、已知图（a ）示集中力作用下半平面体内应力分量为：（15分）
()()2
222
2
223
,
2,
2y x xy p
y x x p
xy
y x +-
=+-
=τπσπσ
8A Uni--20--20学年第一学期工作计划9864
试求图（b ）示3个集中力作用下半平面体内应力分布
1、什么是平面应力问题？什么是平面应变问题？两者的异同之处。

5.试列出下图所示的全部边界条件。

解：在2h y ±=边界上
()
()122
,0q h y yx h y y -====τσ
()
()0,22
==-=-=h y yx h y y q τσ
在x=0的次要边界上
列出3个积分的应力边界条件
()
N F dy h h x x -=⎰-=20
σ ()M ydy h h x x -=⎰-=20
σ ()
⎰-=-=2
h h S
x xy F dy τ
饱食终日，无所用心，难矣哉。

——《论语•阳货》。