不定积分的第一类换元积分法
08-不定积分的第一类换元法课件
2 cos 2x d x ．
u ( x )
cos x d x sin x C
解 2cos 2x d x cos 2x(2x)d x
cosu d u
sin u |u2x C
u2 x
sin 2x C ．
例
求积分
1 3 2x
d
x
．
f
[ ( x )] ( x) d x f (u) d u
例如
3
1 2x
d
x
1 2
1 3 2x
d(3
2x)
1 2
ln
|
3
2x
|
C
．
凑微分法
例 求积分 2x ex22 d x ． 解 2x ex2 d x ex2 d(x2 )
ex2 C ．
例 求积分 x 1 x2 d x ．
解
x 1 x2 d x
1
(1
x
2
)
1 2
d(1 x2 )
1 x2 1 x2
所以
2 1 x2 ，
2 1 x2 d x x 1 x2 arcsin x C ．
定理 设函数 f (x) 有原函数 F(x)，且 u (x)可导，
则
f [(x)](x) d x F[(x)] C f (u) d u ． u ( x )
f (u)d u F(u) C
例
求积分
x2
1
a2
d
x
(a
0)
．
解
因为
1 x2 a2
1 1 2a x a
x
1
a
，
所以
x2
1
a2
d
x
不定积分的第一换元积分法
不定积分的第一换元积分法不定积分的第一换元积分法也称为凑微分法，这部分内容在解题过程中不易灵活运用。
下面我们把这个方法以及在解题过程的一些技巧简单地向大家介绍一下。
一、第一换元积分法运用的前提条件由于第一换元积分法是由复合函数求导法导出的，所以当被积函数的形式为f(u(x))·g(x)，即被积函数为某个复合函数与某个基本初等函数的乘积时，我们可以想到用第一换元积分法来求此不定积分。
二、第一换元积分法的基本解题思路首先利用g(x)dx凑出微分形式du(x)，然后换元(令u=u(x)) 使复合函数转化为基本初等函数后再利用积分公式来求积分，求出积分后再还原。
其中关键的一步是凑成微分形式du(x)，也是大家感觉最困难的一步，因为题中需要有u′(x)dx才能凑成微分形式du(x)，而u′(x)在题中不易被观察出，也就无法凑出微分形式了。
但反过来如已知u(x)，那么它的微分很容易被求出：du(x)=u′(x)dx，只要在原题中凑出u′(x)dx，就可以写出它的微分形式了。
因此找到u(x)成为灵活运用第一换元积分法的关键。
如何找到u(x)呢？u(x)是一个怎么样的函数呢？其实u(x)就是被积函数中复合函数的中间变量。
三、第一换元积分法的具体求解步骤被积函数一般都可以看成由两部分组成：一部分是一个复合函数f(u(x))，另一部分是某个函数g(x)，即求∫f(u(x))g(x)dx。
其次找出复合函数的中间变量u(x)，求这个中间变量的微分du(x)=u′(x)dx。
将题中的g(x)写成ku′(x)，即∫f(u(x))g(x)dx=∫f(u(x))ku′(x)dx=k∫f(u(x))u′(x)dx最后根据第一换元积分法的公式求出积分：k∫f(u(x))·u′(x)dx=kF(u(x))+c四、举例例1、∫x(1-3x2)10dx解：观察此被积函数有两部分组成：x和(1-3x2)10，其中(1-3x2)10是一个复合函数，中间变量u(x)=1-3x2，求中间变量的微分du=u′dx=-6xdx，然后就需要在题中凑这个微分，∫x(1-3x2)10dx=-■∫(1-3x2)10(-6xdx)=-■∫u10du=-■·■u10+1+C=-■u11+C=-■(1-3x2)11+C例2、∫■dx解：观察此被积函数有两部分组成：■和ln3x其中ln3x是一个复合函数，中间变量u(x)=lnx，求中间变量的微分d(lnx)=(lnx)′dx=■dx，然后就需要在题中凑这个微分，∫■dx=∫ln3x(■dx)=∫u3dx=■u4+C=■(lnx)4+C=■ln4x+C例3：∫tanxdx解：此题被积函数为tanx，似乎不能用第一换元积分法来解，但是利用同角三角函数的关系式有tanx=■，就是由两部分组成：sinx和■。
不定积分的换元积分法
csc xdx ln csc x cot x C ．
21
应用第一类换元法的常见的积分类型如下：
1.
2. x
1 f (ax b)dx f (ax b)d(ax b) ； a
n 1
f (axn b)dx
1 f (axn b)d(axn b) ； na
这类求不定积分的方法，称为第二换元 法．
32
例11 解
dx 求 1 3 - x ．
设 t 3 x，则 x 3 t 2 ， dx 2tdt ．
dx 2t dt 2 1 t 1 dt 1 t 1 t 1 3 x 1 2 (1 )dt 1 t
8
例1 解 所以
求 sin 2 xdx ．
1 设 t 2 x ，则 dt 2dx ，即 dx dt ． 2
1 1 sin 2 xdx sin tdt cos t C ， 2 2
再将 t 2 x 代入，得
1 sin 2 xdx cos 2 x C ． 2
2
x 1 (9) cos xdx sin 2 x C 2 4
28
1 1 C (10) dx 2 2(2 x 3) (2 x 3)
(11)
x 1 ( x 2 2 x 3)
2 1 4
2 2 dx ( x 2 x 3) C 3
3 2 2
3 4
于是
利用复合函数求导公式，可以验证(4.3.1) 的正确性．
3
实际上，由 d F ( ( x)) C F ( x) ( x) dx f ( x) ( x) ， 可知公式(4.3.1)成立．利用公式(4.3.1)来计 算不定积分，就是第一换元法，亦称为凑微分 法．
《微积分》第二节 不定积分的第一类换元积分法
(sin2 x 2sin4 x sin6 x)d(sin x)
1 sin3 x 2 sin5 x 1 sin7 x C .
3
5
7
说明 当被积函数是三角函数相乘时，拆开奇 次项去凑微分.
例17 . 求
解: cos4 x (cos2 x)2 (1 cos 2x)2
2
1 4
(1
2
例4. 求 解:
d x
a
1
(
x a
)2
d(
x a
)
1
(
x a
)
2
想到
du 1u2
arcsin u
C
f [ ( x)] ( x)dx f ( (x))d (x)
(直接配元)
例5. 求 解:
sin cos
xdx x
dcos x cos x
类似地,
cos x dx sin x
d sin x sin x
2a xa
例7. 求
解: 原式 =
1
dln x 2 ln
x
1 2
d(1 2 ln x 1 2 ln x
)
例8. 求
e3
x
dx.
x
解: 原式 = 2 e3 x d x 2 e3 x d(3 x) 3
2 e3 x C
3
例9 求
(1
1 x2
x 1
)e xdx.
解
x
1 x
1
1 x2
解
(1
x x
)3
dx
x 1 (1 x)
31dx
[ (1
1 x)2
(1
1 x)3
]d (1
课件：2 第一换元积分法(1)
1du u
1 ln u C 2
1 ln 3 2x C.
2
1
(1)
f (ax b)dx a
d(ax b)
例3 计算
x(1
1 2ln
x
dx. )
解
x(1
1 2
ln
dx x)
1
1 2ln
d x
(ln
x)
1 2
1
1 2ln
d x
(1
2ln
x)
u 1 2 ln x
1 2
1 du u
1 2
1 [ln x a ln x a ] C 2a
1 ln x a C. 2a x a
例8 计算
1
1 e
x
dx.
解
1
1 e
x dx
1
ex 1
e ex
x
dx
1
1
e
x
e
x
dx
ex
dx 1 e xdx
dx
1
1 e
x
d
(1
e
x
)
x ln(1 e x ) C.
(11) f (ex ) exdx f (ex )dex
dx
1 sin2
x
dx
cos sin2
x x
dx
1 sin2
x
dx
1 sin2
x
d (sin
x)
cot x 1 C. sin x
例12 计算 sin2 x cos5 xdx.
解 sin2 x cos5 xdx sin 2 x cos4 xd (sin x )
sin2 x (1 sin2 x)2d(sin x)
第3-1不定积分的第一类换元积分法
sin
3
xdx sin x sin xdx (1 cos x)d cos x
2 2
1 3 cos x cos x C 3
sec 6 xdx . 例10.求
解: 原式 = (tan 2 x 1) 2 d tan x d x sec 2
(tan 4 x 2 tan 2 x 1) dtan x
2
x a
2
2
ln |
x2 a2 x a | C1
t a
(C C1 ln a)
x
公式15：
ln x x a C (a 0)
2 2
例17. 求
解:
1 x2 2x 2
dx .
原式
1 ( x 1) 1
2 2
d (x 1)
(由公式2)
1 ln a x ln a x 2a
1 ax C ln C 2a a x
例7. 求
dln x 1 d(1 2 ln x) 解: 原式 = 1 2 ln x 2 1 2 ln x
dx . 例8. 求 x 1 e 解法1 (1 e x ) e x d(1 e x ) dx dx x x 1 e 1 e x ln(1 e x ) C
2 3 1 5 tan x tan x tan x C 3 5
例12. 求 sin 4 x cos 3xdx
1 解: 利用公式 sin cos [sin( ) sin( )] 2 1 原式= (sin 7 x sin x)dx 2 1 1 cos 7 x cos x C 14 2
第一类换元积分法
ln 2 x C 2
第二节 换元积分法
第四章 不定积分
第二节 换元积分法
例9、 sin2x cosxdx
例10、 2
sin x cos
x
dx
解：原式
u sin x
sin2xd sin x 解：原式
u 2du
1 (sin x)dx 2 cos x
1 u3 C 3
2
1 ( cos u) C 2
（4）u还原为x
1 cos(2x 3) C 2
1 4
sin
udu
1 ( cosu) C 4
1 cos(4x 5) C 4
第四章 不定积分
第二节 换元积分法
凑微分公式1：dx 1 d(ax b) a
例4、e5x3dx
练习2： e6x2dx
（1）凑微分
第二节 换元积分法
凑微分公式2：xdx 1 d(x2 b) 2
例6、xex2 2dx
凑微分公式 2：xdx 1 d (a x2 b) 2a
例7： xe3x2 2dx
（1）凑微分
解：原式 1 ex22d (x2 2) 2 （2）换元
1 2
eu du
（3）查积分公式写结果
解：原式 1 e3x2 2d (3x2 2) 6
2、利用微分公式凑微分
exdx dex
1 x2
dx
d
1 x
sin xdx d cos x
1 dx d x
cos xdx d sin x 2 x
1 dx d ln x x
2xdx dx2
第四章 不定积分
二、小结与布置作业 第一类换元积分法
熟背不定积分的基本公式， 勤做题，善积累，练就一双 火眼金睛，找出相应公式。
不定积分的换元积分法4.2
f [j ( t )] j ( t )dt
．
最后将t =j1(x)代入f [j(t)]j(t) 的原函数中．
第二类换元法用于求特殊类型的不定积分．
例 21 例18
求
a
2
x
2
d x (a > 0 )．
x
2
a t
a x
2 2
解
设 x a sin t ，
a x
a
2
< t<
2 2
ln | x
x a
2
2
| C
．
三、积分公式小结
(1 ) kdx kx C ,
( 2 ) x dx
m
(k是常数)，
x
m 1
1
m 1
C,
(m 1)，
(3)
(4)
(5 )
1 x
dx ln | x | C ,
1 dx arctan x C ,
例 23 例21
求
dx x
2
x
2
(a > 0 )．
a
解 那么
当 x> a 时 ， 设 x a se c t (0 < t<
x a
2 2
2
t
)，
sec
2
a
t 1
a sec
2
2
ta
2
a
a tan t ， 于是
dx x a
2 2
2
a sec t tan t a tan t
2
1 3
sin
3
不定积分的第一类换元积分法
例 6 求不定积分 sin x cos xdx ．
1 2
解法一 sin x cos xdx sin xd(sin x) sin x C ．
2
1 2
解法二 sin x cos xdx cos xd( cos x) cos xd(cos x) cos x C ．
关于变量u的积分，于是有
∫f［φ(x)］φ′(x)dx=∫f(u)du．
如果∫f(u)du 可以求出，那么∫g(x)dx 的问题也就解决了，这就是第一类换元积分
法，又称为凑微分法．
31-4
第一类换元法(凑微分法)
定理
设函数 f (u ) 在区间 D 上有一个原函数 F (u ) ，u ( x) 在
1 x3 3
解： 原式 e dx
3
u x3
1 u
= e du
3
1 u
e C
3
1 x3
e C
3
解：
ln x
例 3 求
dx ．
x
1 2
解： 原式 lnxdlnx ln x C
2
eex
解
dx
x
1 e
1
x
d(1
区间 I 上（内）可导，且有 { (x)|x I } D ，则
f ( ( x)) (x)dx f ( ( x))d (x)
u ( x )
f (u)du F (u) C F ( ( x)) C ．
31-5
熟记常用微分形式
例1
2 x3
求 x e dx ．
1
[ln|a+x| ln|a-x|] C
不定积分第一类换元法
不定积分第一类换元法（凑微分法）一、 方法简介设)(x f 具有原函数)(u F ，即)()('u f u F =，C u F du u f +=⎰)()(，如果U 是中间变量，)(x u ϕ=，且设)(x ϕ可微，那么根据复合函数微分法，有dx x x f x dF )(')]([)]([ϕϕϕ=从而根据不定积分的定义得)(])([)]([)(')]([x u du u f C x F dx x x f ϕϕϕϕ=⎰⎰=+=.则有定理：设)(u f 具有原函数，)(x u ϕ=可导，则有换元公式)(])([)(')]([x u du u f dx x x f ϕϕϕ=⎰⎰=由此定理可见，虽然⎰dx x x f )(')]([ϕϕ是一个整体的记号，但如用导数记号dxdy 中的dx 及dy 可看作微分，被积表达式中的dx 也可当做变量x 的微分来对待，从而微分等式du dx x =)('ϕ可以方便地应用到被积表达式中。
几大类常见的凑微分形式：○1⎰⎰++=+)()(1)(b ax d b ax f a dx b ax f )0(≠a ； ○2⎰⎰=x d x f xdx x f sin )(sin cos )(sin ，⎰⎰-=xd x f xdx x f cos )(cos sin )(cos ，⎰⎰=x d x f x dx x f tan )(tan cos )(tan 2，x d x f xdxx f cot )(cot sin )(cot 2⎰⎰-=； ○3⎰⎰=x d x f dx xx f ln )(ln 1)(ln ，⎰⎰=x x x x de e f dx e e f )()(； ○4n n n n x d x f ndx x x f ⎰⎰=-)(1)(1)0(≠n ，⎰⎰-=)1()1()1(2xd x f x dx x f ，⎰⎰=)()(2)(x d x f xdx x f ；○5⎰⎰=-x d x f xdx x f arcsin )(arcsin 1)(arcsin 2；⎰⎰=+x d x f xdxx f arctan )(arctan 1)(arctan 2； ○6复杂因式【不定积分的第一类换元法】 已知()()f u du F u C =+⎰求()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰ 【凑微分】()()f u du F u C ==+⎰ 【做变换，令()u x ϕ=，再积分】(())F x C ϕ=+ 【变量还原，()u x ϕ=】【求不定积分()g x dx ⎰的第一换元法的具体步骤如下：】（1）变换被积函数的积分形式：()(())'()dx g x f x x dx ϕϕ=⎰⎰（2）凑微分：()(())((')))(()x g x dx d x dx f x f x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰（3）作变量代换()u x ϕ=得：()(())'()()()()g x dx f x x x x dx f d ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()u f u d =⎰（4）利用基本积分公式()()f u du F u C =+⎰求出原函数：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()d u u C f u F ==+⎰（5）将()u x ϕ=代入上面的结果，回到原来的积分变量x 得：()(())'()(())()g x dx f x x dx f x d x ϕϕϕϕ==⎰⎰⎰()()f u du F u C ==+⎰(())F x C ϕ=+【注】熟悉上述步骤后，也可以不引入中间变量()u x ϕ=，省略(3)(4)步骤，这与复合函数的求导法则类似。
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第二节 不定积分的换元积分法
第一类换元法. 第一类换元法.
3
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一、第一类换元法
定理1(换元积分公式)
设 F 是 f 的一个原函数, u=j(x)可导, 则有
f[j(x)j](x)dx[ f(u)du]uj(x)
(1)
证 因 [F(j(x)])F(j(x))j(x)
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例12Hale Waihona Puke 求11 e
x
dx
解 法一
1 1 ex
dx
1 e x
1ex
e
x
dx
11exex dx
dx ex dx 1ex
dx
1
1ex
d(1ex)
u = ex
exdxd(ex)
xln1(ex)C
12
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例9
x
1 x4 dx
1
2
1 1(x2)2
d
(x2)
1dxd(lnx) x xdx1d(x2)
2
1arctax2n)(C. 2
10
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jj jjj f [ ( x ) ( x ) ] d x f [ ( x ) d ( x ] ) ,u ( x ) ?
例 4 . x 1 x 2 d 1 2 x 1 x 2 ( 1 x 2 ) d 1 2 x 1 x 2 d ( 1 x 2 ) u2x.
1 2 x 1 x 2 ( 1 x 2 ) d 1 2 x 1 x 2 d ( 1 x 2 )
u = e -x
三种方法所得结果 容易看出是一致的。
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例 例16 3. a 2 1 x 2 d a 1 2 x 1 ( 1 x ) 2 d 1 a x 1 ( 1 x ) 2 d a x
a
a
1 a x C rcta a a
例14 当a0时,
a a 2 1 2 1 x x 2 2 d d a 1 a 1 x x 1 1 1 ( 1 ( x x ) ) 2 2 d d x x 1 1 1 ( 1 ( x x ) ) 2 2 d d a x a x a ar r a x a x c C c C s s
例 例 3 3 2 2 x x x x 2 2 d d e e e e x x x x 2 2 ( ( x x 2 2 ) ) d d e e x x x x 2 2 d d ( ( x x 2 2 ) ) e e u u d du u u2x.
d e x x 2 d ( x 2 ) e u d e u u C e x 2 2 C
刘王 炳蔚 湘琳 陆沈 宏育 发伦 黄陈 丽秀 清莹 李余 晓术
涌 梁黄 伟广 杰俊 黄李 妙海 洁明 覃刘 思雅 敏丽 邓何 秋满 菊根
刘江陈
树沛雯
材杰倩 门
陈许陈 口
安舒锐
岱婷敏
程刘严
国远伟
尚凌亮
廖李吴
俊政 佩
豪玲
赖赵廖
健丹绮
谢 璇
妮 曾 淑
琦 孙 国
颖政
吴麦古
锦晓诗
旋琳健
张朱黄 门
泽明德 口
锦煜发
a a
a a
积分公式：
a 2 1 x 2 d a 1 a x a x r C c a 2 1 t x 2 d a a n x a x r C c
15
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例例 19 5 x 2 1 a 2 d 2 1 a ( x 1 x a x 1 a ) dx 2 1 a [ x 1 a d x 1 a d ] x x 2 1 a [ x 1 a d ( x a ) x 1 a d ( x a ) ]
1 2 u 1 2 d 1 3 u 2 3 C u 1 3 ( 1 x 2 ) 2 3 C
1 2 u 1 2 d 1 3 u 2 3 C u 1 3 ( 1 x 2 ) 2 3 C
6
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jj jjj f [ ( x ) ( x ) ] d x f [ ( x ) d ( x ] ) ,u ( x ) ?
5
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jj jjj f [ ( x ) ( x ) ] d x f [ ( x ) d ( x ] ) ,u ( x ) ?
如何确定u=j(x)？ 有时可从被积函数中明显的复合部分去确定 u=j(x)
例 例4 3. x 1 x 2 d 1 2 x 1 x 2 ( 1 x 2 ) d 1 2 x u1 1x 2 d x( 21 , x 2 )
如何确定u=j(x)？
有时可从被积函数中明显的复合部分去确定 u=j(x)
例4
e3
x
2
dx
e3 x(3 x)dx
x3
2 e3 xd(3 x) 2 e3 x C.
3
3
例5 1 (11)9dx
x2 x
(11x)9(11x)dx
(11)9d(11) 1 (11)10C.
x
x 10 x
7
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u3 x, u 3 .
2x u 1 1 ,
x u 1 .
x2
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jj jjj f [ ( x ) ( x ) ] d x f [ ( x ) d ( x ] ) ,u ( x ) ?
如何确定u=j(x)？
有时可从被积函数中明显的复合部分去确定 u=j(x)
1
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周 内容
教学进度表
1 不定积分的概念及性质
2 不定积分的第一换元积分法
3 不定积分的第二换元积分法
4 不定积分的分部积分法
5 不定积分的应用，习题课
6 定积分的概念及性质
7 微积分基本公式
8 定积分换元积分法
9 定积分分部积分法，广义积分
10定积分应用举例
11定积分及其应用习题课
12二重积分的概念与性质
13二重积分的计算(1)
14二重积分的计算(2)
15多元函数积分学习题课
16微分方程基本概念、可分离变量微分方程
17一阶线性微分方程，齐次方程
2
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第四章 不定积分
不定积分是求导的逆运算，难度高于求导， 我们陆续介绍一些算法， 其共同点是将较复杂的积分化为较简单的积分， 最终化为p143的简单积分形式并得结果。算法需要从算例中体会。
讲台
李林谢
灿树敏
灿
莫 智 斌
黄 卓 君
谢 毅 君
刘谢杨
宏 武 徐
朝 坤 陈
铭 杰 黄
敏昊裕
琪 赖 其
颖 曾 子
楠 王 丽
宏 侯 倩 慧
安 肖 建 昌
玲 陈 斌
曾梁罗 巧曾焯 铭铭文
黄彭郑 嘉俊永 贤秋杰
刘张 梦小 君花 苏陈 敏钧 涵荣 张周 晓国 敏鹏 符黄 敏滢 贞 练方 水捷 香 黎崔 捷金
茂 陈赵 泓铮 锋洁 刘王 思嘉 婷辉
如何确定u=j(x)？ 有时可从被积函数中明显的复合部分去确定 u=j(x)
例7
求
tanx sin xcosx
dx.
解
tanx sin xcosx
dx
tanx tanxcos2
x
dx
1 d(tanx) tanx
utaxn , dt(axn )se2xcdx,
1 dt(anx)co2sxdx.
u2.
c c u u s s o o u u d d C C i i s s s i s i n n 2 2 n x n x u u C C 例 例3 2 2 x x 2 d e e x x 2 ( x 2 ) d e x x 2 d ( x 2 ) e u duu x2,
2 tanxC.
9
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jj jjj f [ ( x ) ( x ) ] d x f [ ( x ) d ( x ] ) ,u ( x ) ?
如何确定u=j(x)？
有时可通过凑微分确定 u＝j(x)
例8
ln x x
dx
lnxdl(nx)
1ln2 xC. 2
如何确定u=j(x)？
有时可通过凑微分确定 u＝j(x)
例10
ex ex 1 dx
1
ex
d 1
e(x1)
例11
lne(x1)C.
ex
1 ex
dx
ex
e2x
dx 1
1 (ex)2
d(ex) 1
arcteaxn)(C.
11
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exdxd(ex)
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