单元 8.A《几何原本》VS.《九章算术》

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《九章算術》的官方用途
• 東漢光和二年（公元179年）大司農斛、權銘 文： 大司農以戊寅詔書，秋分之日，同度量、均衡 石、榷斗桶、正權概，更特為諸州作銅斗、斛、 稱、尺。依黃鍾律曆，《九章算術》，以均長 短、輕重、大小、用齊七政，令海內都同。
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劉徽
• 三國時代的曹魏人，生平不詳。 • 陳留王景元四年 (公元263年）注《九章算 術》 • 與注《周髀算經》的孫吳趙爽，應該是同 一時代人。
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九章體積公式
• • • • • • • • 方錐：下方自乘，以高乘之，三而一。 圓錐：下周自乘，以高乘之，三十六而一。 塹堵：廣、袤相乘，以高乘之，二而一。 陽馬：廣、袤相乘，以高乘之，三而一。 鼈腝：廣、袤相乘，以高乘之，六而一。 羨除：并三廣，以深乘之，六而一。 芻甍：倍下袤，上袤從之，以廣乘之，又以高乘之，六而一。 芻童、曲池、盤池、冥谷皆同術：倍上袤、下袤從之；亦倍下 袤，上袤從之；各以其廣乘之；并，以高若深乘之，皆六而一。
孔門六藝與算學
• 孔門繼承周代城邦家臣傳統而來，「世傳六藝之教：禮 、樂、射、御、書、數，恐怕是結集歷史經驗的結果， 也應乎當時需要。習禮樂以為相，練射御以治軍，操書 數便去當家臣。」 • 無論是封建時代的家臣或秦漢大一統以後的官吏，學習 數學不過是他們干祿的途徑之一。 • 對於中國傳統士大夫，數學充其量只是一種遊藝活動！ 南齊顏之推的《顏氏家訓》說得好：「算術亦是六藝要 事，自古儒士論天道、定曆律者皆學通之，然可以兼明 ，不可以專業。」
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九章知識內容
• • • • 按現代數學知識分類： 算術 代數 幾何
• 按漢代數學知識— 九數 —分類： • 東漢鄭玄《周禮注》：九數：方田、粟米、差分、少廣、 商功、均輸、方程、贏不足、旁要。今有重差、夕桀、勾 股也。
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貴族子弟的教育內容
‧ 大概從西周時代開始，所謂『計』就與『計』算 息息相關。譬如《禮記‧內則》規範了貴族子弟的 教育內容：「六年，教之數與方名。九年，教之 數日。十年，出就外傅，居宿於外，學書計。」 • 在學習了數的名稱、方位名稱、如何數日（甲子 日與朔望月）之後，就可以外出拜師學習『書』 與『計』了
孔子曾自稱︰「吾少也 賤，故多能鄙事。」孔 門強調『六藝』作為士 人的必備素養，的確很 有道理。 世傳六藝之教： 禮、……，操書數便去 當家臣。
司馬遷(西元前145~西元前86年)，《史記‧孔子世家》，成書於戰國時期。本作品 已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。
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《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版， 頁102。依據著作權法第46、52、65條合理使用。
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東漢鄭玄《周禮注》： 九數：方田......旁要。 今有重差、夕桀、勾股 也。
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Wikipedia，作者：未知，本作品轉載自： /wiki/File:%E4%B9%9D%E7%AB%A0%E7%AE%97%E8%A1%93.gif， 瀏覽日期：2013.1.4。依據著作權法第46、52、65條合理使用。
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《九章算術•方田章》圭田面積公式
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《九章算術•方田章》邪田面積公式
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《九章算術•方田章》圓田面積公式
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九章面積公式
• 方田 (直田)術：廣、從相乘。 • 圭田術：半廣以乘正從，亦可半正從以乘廣。劉徽注：半廣知， 以盈補虛為直田也。 • 邪田（類似今之梯形）術：并兩邪而半之，以乘正從若廣；又 可半正從若廣，以乘并。劉徽注：并而半之者，以盈補需也。 • 圓田術：半周、半徑相乘。劉徽注：按半周為從、半徑為廣， 故廣、從相乘為積步也。 • 劉徽的面積理論層次！
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祖沖之如何計算3.141592？
• 祖沖之更開密法，以圓徑一億為一丈，圓周盈數 三丈一尺四寸一分五釐九毫二秒七忽，朒數三丈 一尺四寸一分五釐九毫二秒六忽，正數在盈、朒 二限之間。密率：圓徑一百一十三，圓周三百五 十五；約率：圓徑七，周二十二。 • 祖沖之知道圓周率（圓周除以直徑）是常數或定 值嗎？我們如何確認？
東西數學風格比較： 《幾何原本》vs.《九章算術》
洪萬生 《HPM 通訊》 台灣數學博物館 (MTM) 台灣師範大學數學系退休教授
【本著作除另有註明外，採取創用CC「姓名標示 －非商業性－相同方式分享」台灣3.0版授權釋出】 1
大綱
• 漢簡《筭數書》、《九章算術》及劉徽注 • 《幾何原本》(The Elements) ：David Joyce 網站 • 劉徽 (263 AD 注九章）vs. 歐幾里得 (Euclid, 300 BCE) • 孔子 vs. 柏拉圖 • 墨子 vs. 亞里斯多德
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《九章算術》內容簡介
• • • • • • 方田：約分術，分數四則運算，面積公式，例如圓田術 粟米：比例計算，例如今有術，已知 a : b = c : x，求x 衰分：比例分配 少廣：開平方，開立方法，球體積公式 商功：體積公式，例如陽馬術 均輸：複比例問題
• 盈不足：一次方程的算術解法，例如盈不足術 • 方程：多元一次方程聯立消元解法，例如方程術，正負術 • 勾股：勾股定理及其測量運用
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版權聲明
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作品
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來源/作者
《宋刻算經六種》，上海：文物出版社，1981年出版，頁1。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。
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六年，教之數與方 名……，居宿於外，學 書計。」
《禮記‧內則》，成書於戰國時期。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。
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司馬遷；嘗為司職吏而 畜蕃息。」
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劉徽的幾何理論層次
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版權聲明
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作品
版權圖示
來源/作者
《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。
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小篆『筭』是會意 字，……「筭為算 之器，算為筭之 用。」
《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版，頁33。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版，頁8-9。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。
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有關《筭數書》的故事
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《筭數書》的『說文解字』
• 筭與數 • 『筭』字，出現在《筭數書》的書名。 • 筭與算都未見於甲骨文與金文。 • 小篆『筭』是會意字，許慎的《說文解字》本義作『長六寸， 計曆數者，從『竹』、從『弄』，言常弄乃不誤也。』它顯然 是指中國古代計算用的一種計算工具。 • 『算』字從『竹』從『具』，也是一個會意字，「竹謂運筭以 計者，具謂計數明確無錯誤，以筭明確計數為算。」可見『算』 字是利用『筭』字與『數』字來下定義的。 • 『算』字的《說文解字》本義作『數也』解，乃計審以計其數 之意。段玉裁說：「筭為算之器，算為筭之用。」
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九章風貌及特色
• 前六章按問題性質分類，後三章按數學方法（所謂『術』） 分類。 • 編纂體例不一，譬如卷一方田是按「今有」問題－答曰－ 術曰序列出現，卷二粟米是先引進「粟米之率」，再接著 「今有問題－答曰－術曰」，至於卷三衰分，則是先引進 衰分術，再接著「今有問題－答曰－術曰 」等等。 • 卷八「方程術」在秦簡《數》(212 BCE) 或漢簡《筭數書》 (186 BCE) 中未曾出現。
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劉徽注九章序
• 徽幼習九章，長再詳覽。觀陰陽之割裂，總算術之根源，探賾 之暇，遂悟其意。是以敢竭頑魯，採其所見，為之作注。 • 事類相推，各有所歸，故枝條雖分而同本幹知，發其一端而已。 • 又所析理以辭，解體用圖，庶亦約而能周，通而不黷，覽之者 思過半矣。 • 且算在六藝，古者以賓興賢能，教習國子。雖曰九數，期能窮 纖入微，探測無方。至於以法相傳，亦猶規矩度量可得而共， 非特難為也。 • 當今好之者寡，故世雖多通才達學，而未必能綜於此耳。
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公元前186年的《筭數書》
• 這一部漢代竹簡書於1983年底到隔年初，連同陪葬的其他 七冊竹簡，在中國湖北張家山第247號墓出土。 • 它在西漢呂后二年 (公元前186年）埋葬 ，距離今天 (2010)，最少已有2196年的歷史了。 • 由墓地規模與棺墎的大小，可以斷定不知名的墓主是一位 低級官吏。從陪葬的八部竹簡來看，可知他『通曉法律、 能計算、好醫術、導引』。按現在的知識『專業化』與 『分工』的觀點來看，很難想像一位低級官吏竟然通曉這 四種學問。
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徽幼習九章…而未必能 綜於此耳。
《九章算術》，〈劉徽注序〉，成書年無定論。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。
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賾：幽深玄妙。……國 子：公卿大夫子弟。
《說文解字》，許慎。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。
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南齊顏之推《顏氏家 訓》……，河北都曉此 術。
《顏氏家訓》卷七〈雜藝〉篇 ，顏之推。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。
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作品
這一部漢代竹簡書 於……最少已有2196年 的歷史了。 由墓地規模與棺墎的大 小，……低級官吏竟然 通曉這四種學問。 今有問題－答曰－術曰
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來源/作者
《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版，頁1。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 《數之起源》，洪萬生等著，台灣商務，2006年6月26日出版，頁2。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。 《九章算術》，〈劉徽注序〉，成書年無定論。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。 《周禮注》，鄭玄(127~200)。 本作品已超過著作財產權存續期間，屬公共領域之著作。
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《HPM通訊》第五卷，第二三期合刊，再論《算數書》，洪莈生著，2002年3月出版，頁1。 依據著作權法第46、52、65條合理使用。