高三数学专题复习《函数》
高三数学专题复习《函数》
一、基础知识
定义1 映射,对于任意两个集合A ,B ,依对应法则f ,若对A 中的任意一个元素x ,在B 中都有唯一一个元素与之对应,则称f : A →B 为一个映射。
定义2 单射,若f : A →B 是一个映射且对任意x , y ∈A , x ≠y , 都有f (x )≠f (y )则称之为单射。
定义3 满射,若f : A →B 是映射且对任意y ∈B ,都有一个x ∈A 使得f (x )=y ,则称f : A →B 是A 到B 上的满射。
定义4 一一映射,若f : A →B 既是单射又是满射,则叫做一一映射,只有一一映射存在逆映射,即从B 到A 由相反的对应法则f -1构成的映射,记作f -1: A →B 。
定义5 函数,映射f : A →B 中,若A ,B 都是非空数集,则这个映射为函数。A 称为它的定义域,若x ∈A , y ∈B ,且f (x )=y (即x 对应B 中的y ),则y 叫做x 的象,x 叫y 的原象。集合{f (x )|x ∈A }叫函数的值域。通常函数由解析式给出,此时函数定义域就是使解析式有意义的未知数的取值范围,如函数y =3x -1的定义域为{x |x ≥0,x ∈R}.
定义6 反函数,若函数f : A →B (通常记作y =f (x ))是一一映射,则它的逆映射f -1: A →B 叫原函数的反函数,通常写作y =f -1(x ). 这里求反函数的过程是:在解析式y =f (x )中反解x 得x =f -1(y ),然后将x , y 互换得y =f -1(x ),最后指出反函数的定义域即原函数的值域。例如:函数y =x -11的反函数是y =1-x
1(x ≠0). 定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线y =x 对称。
定理2 在定义域上为增(减)函数的函数,其反函数必为增(减)函数。 定义7 函数的性质。
(1)单调性:设函数f (x )在区间I 上满足对任意的x 1, x 2∈I 并且x 1< x 2,总有f (x 1)
(2)奇偶性:设函数y =f (x )的定义域为D ,且D 是关于原点对称的数集,若对于任意的x ∈D ,都有f (-x )=-f (x ),则称f (x )是奇函数;若对任意的x ∈D ,都有f (-x )=f (x ),则称f (x )是偶函数。奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于y 轴对称。
(3)周期性:对于函数f (x ),如果存在一个不为零的常数T ,使得当x 取定义域内每一个数时,f (x +T )=f (x )总成立,则称f (x )为周期函数,T 称为这个函数的周期,如果周期中存在最小的正数T 0,则这个正数叫做函数f (x )的最小正周期。
定义8 如果实数a a }记作开区间(a , +∞),集合{x |x ≤a }记作半开半闭区间(-∞,a ].
定义9 函数的图象,点集{(x ,y )|y =f (x ), x ∈D}称为函数y =f (x )的图象,其中D 为f (x )的定义域。通过画图不难得出函数y =f (x )的图象与其他函数图象之间的关系(a ,b >0);(1)向右平移a 个单位得到y =f (x -a )的图象;(2)向左平移a 个单位得到y =f (x +a )的图象;(3)向下平移b 个单位得到y =f (x )-b 的图象;(4)与函数y =f (-x )的图象关于y 轴对称;(5)与函数y =-f (-x )的图象关于原点成中心对称;(6)与函数y =f -1(x )的图象关于直线y =x 对称;
(7)与函数y =-f (x )的图象关于x 轴对称。
定理3 复合函数y =f [g (x )]的单调性,记住四个字:“同增异减”。例如y =x
-21, u=2-x 在(-∞,2)上是减函数,y =u 1在(0,+∞)上是减函数,所以y =x
-21在(-∞,2)上是增函数。
注:复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证,求导之后是显然的。
二、方法与例题
1.数形结合法。
例1 求方程|x -1|=x 1的正根的个数. 【解】 分别画出y =|x -1|和y =x
1的图象,由图象可知两者有唯一交点,所以方程有一个正根。
例2 求函数f (x )=113632424+--+--x x x x x 的最大值。
【解】 f (x )=2222
22)0()1()3()2(-+---+-x x x x ,记点P (x , x -2),A (3,2),B (0,1),则f (x )表示动点P 到点A 和B 距离的差。
因为|PA |-|PA |≤|AB |=10)12(322=-+,当且仅当P 为AB 延长线与抛物线y =x 2的交点
时等号成立。
所以f (x )m ax =.10
2.函数性质的应用。
例3 设x , y ∈R ,且满足?????=-+--=-+-1
)1(1997)1(1)1(1997)1(32y y x x ,求x +y . 【解】 设f (t )=t 3
+1997t ,先证f (t )在(-∞,+∞)上递增。事实上,若a 0,所以f (t )递增。
x y 1 1
高考数学压轴专题2020-2021备战高考《三角函数与解三角形》技巧及练习题附答案
【高中数学】数学《三角函数与解三角形》复习资料 一、选择题 1.函数()1sin cos 1sin cos 1tan 01sin cos 1sin cos 32x x x x f x x x x x x x π+-++? ?=++<< ?+++-? ?的最小值为 ( ) A B C D 【答案】B 【解析】 【分析】 利用二倍角公式化简函数()f x ,求导数,利用导数求函数的最小值即可. 【详解】 2 2222sin 2sin cos 2cos 2sin cos 1sin cos 1sin cos 2222221sin cos 1sin cos 2cos 2sin cos 2sin 2sin cos 222222 x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +++-+++= ++++-++ 2sin sin cos 2cos sin cos sin cos 222222222sin cos sin 2cos sin cos 2sin sin cos 22222222x x x x x x x x x x x x x x x x x ???? ++ ? ?????=+= +=???? ++ ? ? ???? , 则()21tan 0sin 32f x x x x π? ?= +<< ?? ?, 322222 21sin 2cos 16cos cos 1()sin 3cos sin 3cos 3sin cos x x x x f x x x x x x x ' ' ' --+????=+=-+= ? ????? . 令()cos 0,1t x =∈,() 32 61g t t t =--+为减函数,且102g ??= ??? , 所以当03 x π <<时, ()1 1,02 t g t <<<,从而()'0f x <; 当 3 2 x π π << 时,()1 0,02 t g t << >,从而()'0f x >. 故( )min 33f x f π??== ??? . 故选:A 【点睛】 本题主要考查了三角函数的恒等变换,利用导数求函数的最小值,换元法,属于中档题. 2.在ABC ?中,角,,A B C 所对的边分别为,,a b c 满足,222b c a bc +-=,
(完整)高考文科数学导数专题复习
高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y =f (x )在x =x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x =x 0,即f ′(x 0)=0 lim x ?→f (x 0+Δx )-f (x 0) Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )=0 lim x ?→f (x +Δx )-f (x ) Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率,过点P 的切线方程为y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x ),g ′(x )存在,则有: 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数: (1)y =e x ln x ;(2)y =x ? ?? ??x 2+1x +1x 3; 解 (1)y ′=(e x )′ln x +e x (ln x )′=e x ln x +e x 1x =? ?? ??ln x +1x e x .(2)因为y =x 3 +1+1x 2, 所以y ′=(x 3)′+(1)′+? ?? ??1x 2′=3x 2 -2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=2x ·f ′(1)+ln x ,则f ′(1)等于( ) A.-e B.-1 C.1 D.e 解析 由f (x )=2xf ′(1)+ln x ,得f ′(x )=2f ′(1)+1 x ,∴f ′(1)=2f ′(1)+1,则f ′(1)=-1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )=ax ln x ,x ∈(0,+∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)=3,则a 的值为________. (2)f ′(x )=a ? ?? ??ln x +x ·1x =a (1+ln x ).由于f ′(1)=a (1+ln 1)=a ,又f ′(1)=3,所以a =3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数,当x ≤0时,f (x )=e -x -1 -x ,则曲线y =f (x )在点(1,2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0,则-x <0,f (-x )=e x -1 +x .又f (x )为偶函数,f (x )=f (-x )=e x -1 +x , 所以当x >0时,f (x )=e x -1 +x .因此,当x >0时,f ′(x )=e x -1 +1,f ′(1)=e 0 +1=2.则曲线y =f (x )在点(1, 2)处的切线的斜率为f ′(1)=2,所以切线方程为y -2=2(x -1),即2x -y =0. 答案 2x -y =0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )=x ln x ,若直线l 过点(0,-1),并且与曲线y =f (x )相切,则直线l 的方程为( )A.x +y -1=0 B.x -y -1=0 C.x +y +1=0 D.x -y +1=0
2014年高三数学选择题专题训练(12套)有答案
高三数学选择题专题训练(一) 1.已知集合{}1),(≤+=y x y x P ,{ }1),(22≤+=y x y x Q ,则有 ( ) A .Q P ?≠ B .Q P = C .P Q P = D .Q Q P = 2.函数11)(+-=x x e e x f 的反函数是( ) A .)11( 11)(1<<-+-=-x x x Ln x f B .)11(11)(1-<>+-=-x x x x Ln x f 或 C .)11( 11)(1 <<--+=-x x x Ln x f D .)11(11)(1-<>-+=-x x x x Ln x f 或 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,369-=S ,10413-=S ,等比数列{}n b 中,55a b =,77a b =, 则6b 的值 ( ) A .24 B .24- C .24± D .无法确定 4.若α、β是两个不重合的平面, 、m 是两条不重合的直线,则α∥β的一个充分而非必要 条件是 ( ) A . αα??m 且 ∥β m ∥β B .βα??m 且 ∥m C .βα⊥⊥m 且 ∥m D . ∥α m ∥β 且 ∥m 5.已知n n n x a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(,若n a a a n -=+++-509121,则n 的 值 ( ) A .7 B .8 C .9 D .10 6.已知O ,A ,M ,B 为平面上四点,则)1(λλ-+=,)2,1(∈λ,则( ) A .点M 在线段A B 上 B .点B 在线段AM 上 C .点A 在线段BM 上 D .O ,A ,M ,B 四点共线 7.若A 为抛物线24 1x y = 的顶点,过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点,则AC AB ?等于 ( ) A .31- B .3- C .3 D .43- 8.用四种不同颜色给正方体1111D C B A ABCD -的六个面涂色,要求相邻两个面涂不同的颜色, 则共有涂色方法 ( ) A .24种 B .72种 C .96种 D .48种 9.若函数x x a y 2cos 2sin -=的图象关于直线π8 7=x 对称,那么a 的值 ( ) A .2 B .2- C .1 D .1-
高三数学 三角函数专题训练(含解析)
三角函数专题训练 19.(本小题满分12分) 在△ABC 中角A 、B 、C 的对边分别为a b c 、、,设向量(,cos ),(,cos )//.m a B n b A m n m n ==≠u r r u r r u r r 且, (Ⅰ)若sin sin A B +=6,求A ; (Ⅱ)若ABC ?的外接圆半径为1,且,abx a b =+试确定x 的取值范围. 17.(本小题共12分) 已知函数()sin()(0,||)2f x M x M πω??=+>< 的部分图象如图所示. (I )求函数()f x 的解析式; (II )在△ABC 中,角C B A 、、的对边分别是c b a 、、若(2)cos cos ,()2 A a c B b C f -=求的取值范围.
17.(本小题满分12分)已知向量231444x x x m (sin ,),n (cos ,cos )==.记()n m x f ?= (I )若32f ()α=,求23 cos()πα-的值; (Ⅱ)在?ABC 中,角A 、B 、C 的对边分别是a 、b 、c ,且满足 ()2cos cos a c B b C -=,若13f (A )+= ,试判断?ABC 的形状. 17、海岛B 上有一座高为10米的塔,塔顶的一个观测站A ,上午11时测得一游船位于岛北偏东15°方向上,且俯角为30°的C 处,一分钟后测得该游船位于岛北偏西75°方向上,且俯角45°的D 处。(假设游船匀速行驶) (1)求该船行使的速度(单位:米/分钟)(5分) (2)又经过一段时间后,游船到达海岛B 的正西方向E 处,问此时游船距离海岛B 多远。(7分) 19.解:因为(,cos ),(,cos )//m a B n b A m n ==u r r u r r 且, 所以cos cos a A b B =,-------------------------------------------1分 由正弦定理,得sin cos sin cos A A B B =,
高考文科数学函数专题讲解及高考真题精选含答案
函 数 【1.2.1】函数的概念 (1)函数的概念 ①设A 、B 是两个非空的数集,如果按照某种对应法则f ,对于集合A 中任何一个数x ,在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应,那么这样的对应(包括集合A ,B 以及A 到B 的对应法则f )叫做集合A 到B 的一个函数,记作:f A B →. ②函数的三要素:定义域、值域和对应法则. ③只有定义域相同,且对应法则也相同的两个函数才是同一函数. (2)区间的概念及表示法 ①设,a b 是两个实数,且a b <,满足a x b ≤≤的实数x 的集合叫做闭区间,记做[,]a b ;满足a x b <<的实数x 的集合叫做开区间,记做(,)a b ;满足a x b ≤<,或a x b <≤的实数x 的集合叫做半开半闭区间,分别记做[,)a b ,(,]a b ;满足,,,x a x a x b x b ≥>≤<的实数 x 的集合分别记做 [,),(,),(,],(,)a a b b +∞+∞-∞-∞. 注意:对于集合{|}x a x b <<与区间(,)a b ,前者a 可以大于或等于b ,而后者必须 a b <. (3)求函数的定义域时,一般遵循以下原则: ①()f x 是整式时,定义域是全体实数. ②()f x 是分式函数时,定义域是使分母不为零的一切实数. ③()f x 是偶次根式时,定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. ④对数函数的真数大于零,当对数或指数函数的底数中含变量时,底数须大于零且不等于1. ⑤tan y x =中,()2 x k k Z π π≠+ ∈. ⑥零(负)指数幂的底数不能为零. ⑦若()f x 是由有限个基本初等函数的四则运算而合成的函数时,则其定义域一般是各基本初等函数的定义域的交集. ⑧对于求复合函数定义域问题,一般步骤是:若已知()f x 的定义域为[,]a b ,其复合函数[()]f g x 的定义域应由不等式()a g x b ≤≤解出. ⑨对于含字母参数的函数,求其定义域,根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论. ⑩由实际问题确定的函数,其定义域除使函数有意义外,还要符合问题的实际意义. (4)求函数的值域或最值 求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基本上是相同的.事实上,如果在函数的值域中存在一个最小(大)数,这个数就是函数的最小(大)值.因此求函数的最值与值域,其实质是相同的,只是
高三文科数学三角函数专题测试题(后附答案)
高三文科数学三角函数专题测试题 1.在△ABC 中,已知a b =sin A cos B ,则B 的大小为( ) A .30° B .45° C .60° D .90° 2.在△ABC 中,已知A =75°,B =45°,b =4,则c =( ) A . 6 B .2 6 C .4 3 D .2 3.在△ABC 中,若∠A=60°,∠B =45°,BC =32,则AC =( ) A .4 3 B .2 3 C . 3 D . 32 在△ABC 中, AC sin B =BC sin A ,∴AC =BC ·sin B sin A =32× 22 3 2 =2 3. 4.在△ABC 中,若∠A=30°,∠B =60°,则a∶b∶c=( ) A .1∶3∶2 B .1∶2∶4 C .2∶3∶4 D .1∶2∶2 5.在△ABC 中,若sin A>sin B ,则A 与B 的大小关系为( ) A .A> B B .A高考文科数学专题复习导数训练题文
欢迎下载学习好资料 高考文科数学专题复习导数训练题(文)一、考点回顾导数的概念及其运算是导数应用的基础,是高考重点考查的内容。考查方式以客观题为主,主1. 要考查导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义。导数的应用是高中数学中的重点内容,导数已由解决问题的工具上升到解决问题必不可少的工2.具,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题是高考热点问题。选择填空题侧重于利用导不等式、解答题侧重于导数的综合应用,即与函数、数确定函数的单调性、单调区间和最值问题,数列的综合应用。3.应用导数解决实际问题,关键是建立恰当的数学模型(函数关系),如果函数在给定区间内只有一个极值点,此时函数在这点有极大(小)值,而此时不用和端点值进行比较,也可以得知这就是最大(小)值。 二、经典例题剖析 考点一:求导公式。 13f(x)?x?2x?1??ff(?1)(x)3的值是的导函数,则。例1. 是 ????2?1?2?1?f'32x??xf'解析:,所以 答案:3 点评:本题考查多项式的求导法则。 考点二:导数的几何意义。 1x?y?2(1?(1))f(x)My,f2,点则图数2. 例已知函的象程的处切线方在是 ??(1)(f1?)f。 115???fk?'1M(1,f(1))222,所的纵坐标为,所以,由切线过点,可得点M 解析:因为5???f1?????3'f1?f12以,所以3 答案: 学习好资料欢迎下载 32?3)(1,2??4x?yx?2x例3. 。在点曲线处的切线方程是 2?3)(1,4??4xy'?3x5?k?3?4?4??解析:,所以设切线方程,处切线的斜率为点?3)(1, ?3)y??5x?b(1,2b?,将点处的切线为带入切线方程可得,所以,过曲线上点5x?y?2?0方程为:5x?y?2?0答案:点评:以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三:导数的几何意义的应用。 ??23x?,y0x l:y?kx x?3x?2y?xl与曲线C且直线相切于点,,例,4.已知曲线C:直线000l的方程及切点坐标。求直线y??00k??x??0x y,x?0在曲析解:线直线过原点,C则。由点上, ??00232x?2x?3xy?x yx,y'?3x?6x?2??0在,处,。又 则00y20?x?3x?2 000000??222x?3x?2?3x?6x?22x?'6x??3xk?f?,整曲线C,的切线斜率为 0000000331y???k??x03x??2x x?00082400。所以,(舍),此时,,解得:理得:,或033??1,???y??x82l??4的方程为,切点坐标是直线。 33??1,???y??x82l??4的方程为,切点坐标是答案:直线点评:本小题考查导数