十双线性函数与正交空间,辛空间
十双线性函数与正交空间,辛空间
下的坐标．设 ，由(4)得
，(6)
即β在基α1，…，αn下的坐标的第i个分量等于fi(β)．因此
．(7)
高等代数第1011第十章双线性函数与正交空间辛空间引言本章从线性函数入手开拓上一章的度量性考察阐述一般数域上向量空间的度量性方法在阐述双线性函数的一般概念之后介绍颇有应用价值的正交空间辛空间的一些基本结论
第十章双线性函数与正交空间、辛空间
引言
本章从线性函数入手，开拓上一章的度量性考察，阐述一般数域上向量空间的度量性方法，在阐述双线性函数的一般概念之后，介绍颇有应用价值的正交空间、辛空间的一些基本结论．
．(19)
这样，我们找到了V到V**的一个同构映射σ=σ2σ1，它把V中向量α映成V**中元素α**，其中
α**(f)=f(α)， f∈V*．(20)
因此证得
定理10.1.4设V是F上的n维向量空间，V**是V的双重对偶空间，则
V≌V**；
并且V到V**的一个同构映射是σ：α α**，其中α**(f)如(20)所示．
则称f为V上的一个线性函数，也称为余向量(covectors)．
由于f∈Hom(V，F)，因而第七章§1－§3中关于线性映射的基本结果对于线性函数也成立．
线性函数是十分重要的函数类，在数学的各个分支和许多实际问题中都将遇到它．下面举几个例子．
例1定积分使每一个连续函数f(x)对应一个实数 ,并
且满足
课外作业：
P513：2、1)；3；4；5
Li(p(x))=p(ai)p(x)∈V，i=1，2，…，n，
高等代数教学大纲(12学分)
高等代数教学大纲(Higher Algebra)前言教学大纲是一门课程的指导性文件．教学大纲的科学化、规范化，对建设良好的教学秩序，提高教学质量，搞好教学管理等方面都有很重要的意义．为此，我们根据学校有关文件，编写了《高等代数》这门课程的教学大纲．《高等代数》这门课程是数学系各专业的必修专业基础课程之一，可为后继课程的学习打下必要的基础．它是数学系各专业硕士研究生入学考试的必考课程．它除培养学生掌握必要的基础知识之外，同时着重训练学生掌握数学结构的观念、公理化的方法、纯形式化的思维，从而在知识结构、综合素质、创新能力等方面对学生加以全面培养和整体提高．本课程的基本内容有: 包括：多项式，行列式，线性方程组, 矩阵，二次型，线性空间, 线λ矩阵，欧几里得内积空间，双线性函数和辛空间．重点是下列几章：多项式，行性变换, -列式，线性方程组, 矩阵，二次型，线性空间, 线性变换,欧几里得内积空间.通过本课程的学习，学生能正确理解矩阵、行列式、线性空间、线性变换、欧几里得空间等有关概念, 能理解并掌握线性方程组理论和多项式的理论，并能熟练地应用它们，为后续课程的学习打下坚实的基础．本课程作为基础课，对其它课程依赖不大，当然，如果在学完《空间解析几何》之后开设效果会更好．本课程作为基础课，应在大学低年级学生中开设，建议对本科一年级学生开设．本课程为一学年课程．教材: 《高等代数学》（第三版）北京大学数学系几何与代数教研室前代数小组, 高等教育出版社，2003年。
参考书:《线性代数》吴赣昌主编，中国人民大学出版社，2006年《高等代数学》姚慕生编, 复旦大学出版社，1999《高等代数新方法》王品超主编，山东教育出版社，1989年《高等代数学》（第二版）张贤科主编，清华大学出版社，2002年《Linear Algebra》S.K.Jain, A.D.Gunawardena，机械工业出版社，2003年建议学时分配课程内容第一章多项式[教学目的与要求]通过本章学习，实现如下目的：(1)理解整除、最大公因式、互素、多项式的不可约性、重因式、本原多项式等概念；(2)熟练掌握整除的性质；(3)熟练掌握最大公因式的求法；(4)熟练掌握有无重因式的判别方法；(5)熟练掌握整系数多项式的有理根的求法；(6)熟练掌握整系数多项式在有理数域上不可约的艾森斯坦判别法；(7)掌握复系数多项式因式分解定理、实系数多项式因式分解定理、有理系数多项式的因式分解定理的应用；(8)掌握韦达定理和多元多项式的基本性质．[教学重点]整除的性质、最大公因式的求法、有无重因式的判别方法、整系数多项式的有理根的求法、整系数多项式不可约的艾森斯坦判别法；复系数多项式因式分解定理、实系数多项式因式分解定理、有理系数多项式的因式分解定理的应用.[教学难点]整系数多项式的有理根的求法、整系数多项式不可约的艾森斯坦判别法.[教学内容]§1.1. 数域数域的定义和例子§1.2. 一元多项式一、一元多项式的定义二、一元多项式的运算和运算律§1.3. 整除的概念一、带余除法二、整除的定义和几个常用的性质§1.4. 最大公因式一、最大公因式的定义和求法二、互素§1.5. 因式分解定理一、不可约多项式的定义和简单性质二、因式分解唯一性定理§1.6. 重因式重因式的定义和性质§1.7. 多项式函数一、余数定理二、多项式的根或零点§1.8. 复系数与实系数多项式的因式分解一、复系数多项式的因式分解定理 二、实系数多项式的因式分解定理§1.9. 有理系数多项式一、本原多项式的定义和高斯引理 二、整系数多项式的有理根的求法 三、爱森斯坦判别法§1.10. 多元多项式多元多项式的定义及其次数§1.11. 对称多项式一、初等对称多项式二、对称多项式基本定理思考题1． 证明：多项式)(x f 整除任意多项式的充要条件是)(x f 是零次多项式．2． 设b a ,为两个不相等的常数．证明：多项式)(x f 被))((b x a x --除所得的余式为ba b bf a af x b a b f a f --+--)()()()(3． 证明：1|1--n d x x 当且仅当n d |．4． 设k 为正整数．证明：)(|x f x k 当且仅当)(|x f x ．5． 已知242)(234---+=x x x x x f ，22)(234---+=x x x x x g ，求)(),(x v x u 使))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+． 6． 证明：如果)(|)(x f x d ，)(|)(x g x d ，且)()()()()(x g x v x f x u x d +=，则)(x d 是)(x f 与)(x g 的最大公因式．7． 证明：如果1))(),((=x g x f ，1))(),((=x h x f ，则1))()(),((=x h x g x f ． 8． 证明：如果1))(),((=x g x f ，则1))(),((=mmx g x f ． 9． 若1))(),((21=x f x f ，则对任意的)(x g ，))(),(())(),(())(),()((2121x g x f x g x f x g x f x f =．１０．判断下列多项式在有理数域上是否有重因式，若有，则求出重因式，并确定重数（１）1)(24++=x x x f（２）277251815)(2346+-++-=x x x x x x f１１．设)(x p 是)(x f '的k 重因式，能否说)(x p 是)(x f 的1+k 重因式，为什么？１２．设n 为正整数，证明：如果)(|)(x g x f nn ，则)(|)(x g x f ．１３．设)(x p 为数域P 上的不可约多项式，)(x f 与)(x g 为数域P 上的多项式．证明：如果)()(|)(x g x f x p +，且)()(|)(x g x f x p ，则)(|)(x f x p ，且)(|)(x g x p ．１４．设)(x f 为数域P 上的n 次多项式，证明：如果)(|)(x f x f '，则nb x a x f )()(-=，其中P b a ∈,．１５．求多项式92)(24++=x x x f 与944)(234-+-=x x x x g 的公共根．１６．求多项式61510)(25-+-=x x x x f 的所有根，并确定重数．第二章 行列式[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的： （1） 理解行列式的概念；（2） 能熟练应用行列式的性质和展开定理计算行列式； （3） 会用Cramer 法则求解线性方程组． [教学重点]行列式的计算、Cramer 法则. [教学难点] 行列式的定义 [教学内容]§2.1. 引言二阶、三阶行列式与线性方程组的解§2.2. 排列一、排列及排列逆序数的定义 二、奇偶排列§2.3. n 阶行列式 n 阶行列式的定义§2.4. n 阶行列式的性质 n 阶行列式的性质及其推论§2.5. 行列式的计算n 阶行列式的计算§2.6. 行列式按一行一列展开一、n 阶行列式按一行一列展开定理 二、范德蒙（Vandermonde ）行列式§2.7. 克拉默（Cramer ）法则 克拉默（Cramer ）法则§2.8. 拉普拉斯（Laplace ）定理 行列式的乘法规则一、拉普拉斯（Laplace ）定理 二、行列式的乘法规则思考题１． 求下列排列的逆序数：（１）)2(24)12(13n n -； （２）21)1( -n n ． ２． 写出四阶行列式中含有因子4123a a 的项，并指出应带的符号． ３．用行列式的定义计算下列行列式：（１）00001002001000nn -； （２）000000053524342353433323125242322211312a a a a a a a a a a a a a a a a ． ４．用行列式的性质及行列式的展开定理计算下列行列式：（１）xa a a a x a a a a x a a a a xn nn321212121； （２）na a a +++11111111121，其中021≠n a a a（３）12125431432321-n n n； （４）221222212121211nn n n n na x a a a a a a a x a a a a a a a x +++其中021≠n x x x ．（５）x a a a a a x x x n n n +-----122110000010001；（６）nnn n n nn n nna a a a a a a a a a a a21222212222121111---５． 已知４阶行列式D 中的第１行上的元素分别为4,0,2,1-，其余子式分别为1,5,2,1--；第３行上元素的余子式分别为x ,7,1,6-；求行列式D 的值，及x 的值．６．设４阶行列式1234302186427531中第４行元素的余子式分别为44434241,,,M M M M ，代数余子式分别为44434241,,,A A A A ，求44434241432A A A A +++，44434241432M M M M +++．７． 设４阶行列式2211765144334321中第４行元素的代数余子式分别为44434241,,,A A A A ，求4241A A +与4443A A +．８． 设行列式nn0010301002112531-中第１行元素的代数余子式分别为n A A A 11211,,, ，求n A A A 11211+++ ．第三章 线性方程组[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：（1） 掌握向量的线性表示、线性相关性的判别法； （2） 掌握极大无关组的求法； （3） 掌握矩阵秩的求法；（4） 掌握线性方程组解情况的判定方法； （5） 掌握齐次线性方程组的基础解系的求法； （6） 掌握非齐次线性方程组解结构定理[教学重点] 向量的线性表示、线性相关性、极大无关组、向量组的秩、矩阵的秩、齐次线性方程组的基础解系.[教学难点] 极大无关组、矩阵的秩.[教学内容]§3.1. 消元法消元法§3.2. n 维向量空间n 维向量及其运算§3.3. 线性相关性一、线性表示二、向量组的线性相关性 三、向量组的极大无关组、秩§3.4. 矩阵的秩矩阵的行秩、列秩、秩§3.5. 线性方程组有解判定定理线性方程组有解判定定理§3.6. 线性方程组解的结构一、齐次线性方程组的解结构 二、非齐次线性方程组的解结构§3.7. 二元高次方程组二元高次方程组可作为选学内容.思考题１．设)1,1,1(1λα+=，)1,1,1(2λα+=，)1,1,1(3λα+=，),,0(2λλβ=．问当λ为何值时（１）β不能由321,,ααα线性表出？（２）β可由321,,ααα线性表出，并且表示法唯一？（３）β可由321,,ααα线性表出，并且表示法不唯一？ ２．设)1,2,(1a =α，)0,,2(2a =α，)1,1,1(3-=α，问a 为何值时321,,ααα线性相关？３． 求下列向量组的一个极大无关组，并将其余向量表为该极大无关组的线性组合．（１）)5,2,1(1-=α，)1,2,3(2-=α，)17,10,3(3-=α；（２）)4,0,1,1(1-=α，)6,5,1,2(2=α，)0,2,1,1(3--=α，)14,7,0,3(4=α． ４．已知21,ββ是非齐次线性方程组b Ax =的两个解，21,αα是其导出组0=Ax 的基础解系，21,k k 是任意常数，则b Ax =的通解是（ ）．（Ａ）2)(2121211ββααα-+++k k ； （Ｂ）2)(2121211ββααα++-+k k ；（Ｃ）2)(2121211ββββα-+-+k k ； （Ｄ）2)(2121211ββββα++-+k k ．５．设A 为秩为３的45⨯矩阵，321,,ααα是非齐次线性方程组b Ax =的三个不同的解，若)0,0,0,2(2321=++ααα，)8,6,4,2(321=+αα，求方程组b Ax =的通解． ６．设b Ax =为４元线性方程组，其系数矩阵A 的秩为３，又321,,ααα是b Ax =的三个解，且)0,2,0,2(1=α，)0,2,2,0(32=+αα，求方程组b Ax =的通解．７．已知β是非齐次线性方程组b Ax =的解，s ααα,,,21 是其导出组0=Ax 的基础解系，证明s αβαβαββ+++,,,,21 是b Ax =解向量组的极大无关组．８．线性方程组⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧=+--=+--=+++=+++243214312143214321121053153363132k x x x x x x k x x x x x x x x x x ，当21,k k 取何值时，无解？有唯一解？有无穷多解？在方程组有无穷多解时，用导出组的基础解系表示其全部解．第四章 矩阵[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：(1) 能熟练地进行矩阵的各种运算(加、减、数乘、乘、转置、求逆等)； (2) 能熟练掌握矩阵的初等变换，理解初等变换和初等矩阵的关系； (3) 能掌握各种求逆矩阵的方法； (4) 会应用分块乘法的初等变换. [教学重点]矩阵的各种运算(加、减、数乘、乘、转置、求逆等)；矩阵的初等变换; 初等变换求逆法；分块乘法的初等变换.[教学难点] 分块乘法的初等变换 [教学内容]§2.1. 矩阵的概念的一些背景矩阵的概念§2.2. 矩阵的运算一、矩阵的加法、减法 二、矩阵的乘法三、数与矩阵的乘法 四、矩阵的转置§2.3. 矩阵乘积的行列式与秩一、矩阵乘积的行列式 二、矩阵乘积的秩§2.4. 矩阵的逆一、矩阵可逆的定义 二、伴随矩阵求逆法§2.5. 矩阵的分块一、分块矩阵的概念 二、分块矩阵的运算三、几种分块矩阵的逆矩阵§2.6. 初等矩阵一、初等矩阵及其性质 二、初等变换求逆法§2.7. 分块乘法的初等变换及应用举例一、分块乘法的初等变换二、分块乘法的初等变换应用举例思考题１． 举例说明下列命题是错误的：（１） 若02=A ，则0=A ；（２） 若A A =2，则0=A 或E A =；（３） 若E A =2，则E A =或E A -=； （４） 若AY AX =，且0≠A ，则Y X =． ２． 证明（１）2222)(B AB A B A +±=±成立当且仅当BA AB =； （２）22))((B A B A B A -=-+成立当且仅当BA AB =． ３．已知n n ij a A ⨯=)(为n 阶方阵，写出：（１）2A 的k 行l 列元素； （２）TAA 的k 行l 列元素； （３）A A T的k 行l 列元素． ４． 已知)3,2,1(=α，)31,21,1(=β．设矩阵βαT A =，求n A ． ５． 证明：对任意的n m ⨯矩阵A ，T AA 和A A T都是对称矩阵．６． 设A 是n 阶方阵，且E AA T=，1||=A ，求||n E A -．７．已知A 为三阶方阵，且21||=A ，求|2)3(|*1A A --．８．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--=100021201A ，求1*])[(-T A ．９．（１）已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=300130113A ，矩阵B 满足B A AB 2+=，求B ；（２）已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=101020101A ，矩阵B 满足B A E AB +=+2，求B ；（３）已知)1,2,1(-=diag A ，矩阵B 满足E BA BA A 82*-=，求B ． １０．已知⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛987654321100010101100001010A ，求A ．１１．（１）证明)()()(B r A r B A r +≤+；（２）若n 阶矩阵B A ,满足0=AB ，证明n B r A r ≤+)()(；（３）若n 阶矩阵A 满足A A =2，证明n E A r A r =-+)()(；（４）若n 阶矩阵A 满足E A =2，证明n E A r E A r =-++)()(． １２．（１）B A ,为两个n 阶方阵，证明||||B A B A AB BA -⋅+=； （２）B A ,分别为m n ⨯和n m ⨯矩阵，证明||||BA E AB E E AB E m n nm -=-=．第五章 二次型[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：（1）掌握用非退化线性替换把二次型化成标准形和规范形的方法； （2）会判断二次型的正定性.[教学重点] 二次型化标准形和规范形的方法；惯性定理；二次型的正定性. [教学难点] 惯性定理 [教学内容]§5.1. 二次型及其矩阵表示一、二次型及其矩阵表示 二、矩阵的合同§5.2. 标准形化二次型为标准形的配方法§5.3. 唯一性一、复二次型的规范形二、实二次型的规范形、惯性定理§5.4. 正定二次型一、正定二次型的概念和判定方法二、半正定二次型简介思考题１．写出下列二次型AX X '的矩阵，其中 （１）⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=205213111A ； （２）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n a a a a a a a a a A 212222111211 ２． 设二次型32212221442x x x x x x f --+=，分别作下列可逆线性变换，求新二次型的矩阵，（１）Y X ⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=100210211； （２）Y X ⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=2101101121．３．分别用配方法和初等变换法化下列二次型为标准形，并写出所作的非退化线性替换（１）2332223121214322x x x x x x x x x f +++++=； （２）323121622x x x x x x f -+=．４． 分别在实数域和复数域上将３题中的两个二次型进一步化成规范型，并写出所作的非退化线性替换．５． 证明：秩等于ｒ的对称矩阵可以表示成ｒ个秩等于１的对称矩阵之和． ６． 证明：一个实二次型可以分解成两个实系数的一次齐次多项式的乘积的充分必要条件是，它的秩等于２和符号差等于０，或者秩等于１． ７． t 取什么值时，下列二次型是正定的：（１）3231212222214223x x x x x tx x x x f +-+++=； （２）32312123222161024x x x x x tx x x x f +++++=．８． 证明：如果A 正定，则1-A 和*A 也都正定．９．已知m 阶实对称矩阵A 正定，B 是n m ⨯矩阵，证明：AB B T正定的充要条件是n B r =)(．１０． 已知A 为实矩阵，证明：)()(A r A A r ='．第六章 线性空间[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：（1）能熟练地判断所给非空集合在指定的运算下能否构成线性空间； （2）会判断所给非空子集能否构成子空间； （3）会判断子空间之间的和是否为直和； （4）会判断两个线性空间的同构；（5）能熟练掌握线性空间基和维数的求法；（6）能熟练求向量在基下的坐标、基到基的过渡矩阵； （7）能熟练地求和空间的维数；（7）能熟练地应用维数公式求交空间的基与维数.[教学重点] 线性空间的定义、子空间的直和、维数公式、线性空间的同构. [教学难点] 线性空间的定义 [教学内容]§6.1. 集合 映射一、集合的概念和运算二、映射的概念、映射的乘法、逆映射§6.2. 线性空间的定义与简单性质一、线性空间的定义 二、线性空间的简单性质§6.3. 维数 基与坐标一、线性表示、线性相关和线性无关、向量组的等价 二、线性空间的基、维数，向量的坐标§6.4. 基变换与坐标变换一、基到基的过渡矩阵 二、坐标变换公式§6.5. 线性子空间一、线性子空间的定义二、线性子空间的维数和基§6.6. 子空间的交与和一、子空间的交 二、子空间的和§6.7. 子空间的直和一、两个子空间的直和 二、多个子空间的直和§6.8. 线性空间的同构一、线性空间同构的定义 二、同构映射的性质思考题1．检验下列集合对于所规定的运算是否构成给定数域上的线性空间：（１） 数域P 上的对角线元素的和为零的所有n 阶方阵所成的集合，对于矩阵的加法和数量乘法；（２） 设},|2{Q b a b a V ∈+=，Q 为有理数域，对于通常数的加法和乘法； （３） 设},|),{(R b a b a V ∈=，R 为实数域，定义加法和数乘如下：),(),(),(21212211b b a a b a b a +=+， ),(),(kb ka b a k = )(R k ∈．（４） 按照通常的数的运算，实数域R 是否构成实数域R 上的线性空间？是否构成复数域C 上的线性空间？（５） 按照通常的数的运算，复数域C 是否构成实数域R 上的线性空间？是否构成复数域C 上的线性空间？ （６） +R 是全体正实数组成的集合，定义加法和数乘如下：ab b a =⊕， k a a k =⋅，这里+∈R b a ,，R k ∈．２．证明：在数域P 上的线性空间V 中，成立以下运算律：（１）βαβαk k k -=-)(；（２）αααl k l k -=-)(．这里P l k ∈,，V ∈βα,．３．实数域R 按照通常的乘法构成实数域R 上的线性空间．全体正实数集合+R 对１（６）题中定义的加法和数乘也构成实数域R 上的线性空间，能否据此说明+R 是线性空间R 的一个子空间？+R 是线性空间R 的子空间吗？４． 设)1,2,1(1-=α，)3,1,0(2-=α，)0,1,1(3-=α；)5,1,2(1=β，)1,3,2(2-=β，)2,3,1(3=β，（１） 证明：321,,ααα和321,,βββ都是3R 的基； （２） 求321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵； （３） 求向量)1,4,1(=α在两组基下的坐标．５． 在线性空间nR 中，判断下列哪些子集是子空间，（１）},|),0,,0,{(11R a a a a n n ∈ ；（２）}0|),,,{(121=∑=ni in aa a a ；（３）}1|),,,{(121=∑=ni in aa a a ；（４）},,2,1,|),,,{(21n i Z a a a a i n =∈．６． 举例说明线性空间的两个子空间的并一般不是子空间．两个子空间的并仍是子空间的充要条件是什么？７． 设线性空间V 含有非零向量，21,V V 是V 的任意两个真子空间，证明：V V V ≠⋃21． ８．在线性空间3][x P 中，求向量组21-=x α，x 22=α，x -=13α，24x =α 的一个极大无关组．９． 判断正误，并说明理由．（１）V 是n 维向量空间，V r ∈αα,,1 ，则r αα,,1 是子空间),,(1r L αα 的一组基；（２）n 个向量n αα,,1 是n 维向量空间V 的一组生成元，则n αα,,1 一定是V 的一组基；（３）向量空间V 的维数等于V 的任一生成组所含向量的个数； （４）任一向量空间都有基； （５）若向量空间V 的每一个向量都可以由n αα,,1 唯一的线性表示，则n αα,,1 是V 的一组基；（６）若s αα,,1 与t ββ,,1 的极大无关组分别是r i i αα,,1 与p j j ββ,,1 ，则),,(),,(11t s L L ββαα +的一组基为r i i αα,,1 p j j ββ,,1 ．１０． 下列向量组是否为3][x P 的基：（１）}22,,1,1{2322++++++x x x x x x x ； （２）},22,1,1{322x x x x x -+--． １１．求下列子空间的维数：（１）3))4,2,5(),2,4,1(),1,3,2((R L ⊆--； （２）][),1,1(22x P x x x x L ⊆---；（３）],[),,(32b a C e e e L x xx⊆，],[b a C 表示区间],[b a 上的全体连续函数空间．１２．设⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=000100010A ，求33⨯P 中所有与A 可交换的矩阵组成的子空间的维数和一组基．１３．令},|{1A A P A A V n n ='∈=⨯，},|{2A A P A A V n n -='∈=⨯，证明21V V P n n ⊕=⨯． １４．设n αα,,1 是P 上n 维线性空间V 的一组基，A 是P 上的一个s n ⨯矩阵，令A n s ),,(),,(11ααββ =，证明：)(),,(dim 1A r L s =ββ ． １５．证明：线性空间][x P 可以和它的真子空间同构．第七章 线性变换[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的： （１） 能熟练掌握线性变换的运算； （２） 能理解线性变换与矩阵的关系；（３） 能熟练地求线性变换的特征值与特征向量；（４） 理解哈密尔顿—凯莱（Hamilton-Caylay ）定理； （５） 能熟练地将矩阵对角化；（６） 能熟练地求出线性变换的值域与核； （７） 了解若尔当标准形理论.[教学重点] 线性变换与矩阵的关系；线性变换的特征值与特征向量；线性变换的值域与核；矩阵对角化.[教学难点] 矩阵的对角化 [教学内容]§7.1. 线性变换的定义一、线性变换的定义 二、线性变换的简单性质§7.2. 线性变换的运算一、线性变换的乘法 二、线性变换的加法三、线性变换的数量乘法 四、线性变换的逆§7.3. 线性变换的矩阵一、线性变换的矩阵 二、矩阵的相似§7.4. 特征值与特征向量一、线性变换特征值与特征向量的概念 二、线性变换特征值与特征向量的求法 三、哈密顿-凯莱定理§7.5. 对角矩阵一、特征向量的性质二、线性变换的矩阵可以是对角矩阵的条件§7.6. 线性变换的值域与核一、线性变换的值域 二、线性变换的核§7.7. 不变子空间一、不变子空间二、不变子空间与线性变换矩阵的化简§7.8. 若尔当（Jordan ）标准形介绍若尔当标准形介绍§7.9. 最小多项式最小多项式概念和性质思考题１．线性空间V 到V 的同构映射称为线性空间V 的自同构．线性空间V 的线性变换和它的自同构有什么异同？２．A 是线性空间V 的线性变换，s αα,,1 是V 中一组线性无关的向量，问)(,),(1s ααA A 是否仍线性无关？试举例说明． ３．设A 是n 维线性空间V 的线性变换，证明：（１）A 是线性空间V 的自同构当且仅当A 把线性无关的向量组变成线性无关的向量组；（２）A 把线性空间V 中某一组线性无关的向量变成一组线性相关的向量的充要条件是A 把V 中某个非零向量变成零向量，即}0{)0(1≠-A ；（３）A 是线性空间V 的自同构当且仅当}0{)0(1=-A ．４．已知⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----=7931181332111511A ，定义4P 的变换为：ξξA =A ，4P∈ξ，证明A 为4P 的线性变换，并求A 的核和象空间以及它们的维数．５．为什么线性变换的问题可以转化为相应的矩阵的问题去研究？)(V L 与nn P ⨯有什么关系？求出线性空间)(V L 的维数．６．设⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=4321A ，求22⨯P 的如下线性变换A 在基⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=00011ε，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=00102ε，⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=01003ε，⎪⎪⎭⎫⎝⎛=10004ε下的矩阵． （１）AX X =)(A ； （２）XA X =)(A ．７．在3R 中，试求关于基)0,0,1(1=ε，)0,1,1(2=ε，)1,1,1(3=ε的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛---=221101211A 的线性变换．８．设三维线性空间线性变换A 在基321,,ααα下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛---=6788152051115A ，求A 在基321,,βββ下的矩阵，其中321132αααβ++=，321243αααβ++=，321322αααβ++=．若3212αααξ-+=，求)(ξA 在基321,,βββ下的坐标．９．设三维线性空间线性变换A 在基321,,ααα下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=333231232221131211a a a a a a a a a A ， 求（１）A 在基123,,ααα下的矩阵；（２）A 在基321,,αααk 下的矩阵；)0(≠k （３）A 在基3221,,αααα+下的矩阵．１０．四维线性空间V 的线性变换A 在基4321,,,αααα下的矩阵为⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛----=3707011311013412A ，求：（１）A 的值域； （２）A 的核；（３）在A 的值域中选一组基，把它扩充成线性空间V 的基； （４）在A 的核中选一组基，把它扩充成线性空间V 的基．１１．若矩阵A 与B 相似，证明：（１） 若A 与B 可逆，则1-A 与1-B 相似； （２） 对任意的常数k ，kA 与kB 相似；（３） 对任意的正整数m ，mA 与mB 相似；（４） 对于任意多项式)(x f ，)(A f 与)(B f 相似．１２．若矩阵A 与B 相似，C 与D 相似，证明：⎪⎪⎭⎫⎝⎛C A 00与⎪⎪⎭⎫⎝⎛D B 00相似． １３．取定矩阵n n P A ⨯∈．对于任意的nn P X ⨯∈，定义变换A 为XA AX X -=)(A ，（１） 证明A 为线性空间nn P ⨯的线性变换；（２） 若⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=n A λλλ00000021，求线性变换A 在基},1|{n j i E ij ≤≤下的矩阵． １４．在线性空间3P 中，定义线性变换A 为),,(),,(312321x x x x x x =A ．令}2,1,|)0,,{(21=∈=i P x x x S i ，则S 是3P 的一个子空间，试问S 是否为线性变换A 的不变子空间．１５．V 为数域P 上的一个线性空间，A 为V 的一个线性变换，][)(x P x f ∈，如果S 为线性变换A 的不变子空间，则S 线性变换)(A f 的不变子空间．１６．若S 为线性空间V 的线性变换A 和B 的不变子空间，则S 也是B A +和AB 的不变子空间．１７．若21,S S 为线性空间V 的线性变换A 的不变子空间，则21S S ⋂，21S S +也是A 的不变子空间． １８．若S 为线性空间V 的线性变换A 的不变子空间，当线性变换A 可逆时，则S 也是1-A的不变子空间． １９．若A 是线性空间V 的线性变换，且满足A A=2，证明：（１）}|)({)0(1V ∈-=-ξξξA A； （２）)Im()0(1A A ⊕=-V ．２０．n 阶矩阵A 和B 相似时，它们有相同的特征多项式．反过来对吗？即n 阶矩阵A 和B 有相同的特征多项式时，哪它们相似吗？试举例说明．２１．A 是线性空间V 的线性变换，证明A 可逆的充分必要条件是A 的特征值都非零． ２２．证明线性变换A 的一个特征向量不能同时属于两个不同的特征值．２３．证明：对角形矩阵⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n a a a 0021和⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛n b b b 0021 相似的充分必要条件是n b b b ,,,21 是n a a a ,,,21 的一个排列．２４．设A 是复数域C 上的一个n 阶矩阵，n λλλ,,,21 是A 的全部特征值（按重数计算），证明：（１）如果][)(x C x f ∈是次数大于０的多项式，则)(,),(),(21n f f f λλλ 是)(A f 的全部特征值；（２）如果A 可逆，则n λλλ,,,21 全部不等于零； （３）如果A 可逆，则nλλλ1,,1,121 为1-A 的全部特征值．２５．设三维线性空间V 的线性变换A 在基321,,ααα下的矩阵为⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----=533242111A ， 求：（１）A 的特征值和特征向量；（２）是否存在V 的基321,,βββ使得线性变换A 在其下的矩阵为对角形．若这样的基321,,βββ存在，试写出由基321,,ααα到321,,βββ的过渡矩阵T ．以及A 在321,,βββ下的矩阵；（３）计算AT T 1-．第八章 -λ矩阵[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的： （1）会求-λ矩阵的标准形 （2）会求-λ矩阵的行列式因子（3）会求矩阵A 的初等因子，并能写出A 若尔当标准形 （4）会求矩阵A 的有理标准形[教学重点] 矩阵A 的初等因子，矩阵的A 若尔当标准形 [教学难点] 矩阵相似的条件 [教学内容]§8.1. -λ矩阵一、-λ矩阵的秩 二、-λ矩阵的可逆§8.2. -λ矩阵在初等变换下的标准形一、-λ矩阵的初等变换 二、-λ矩阵的标准形§8.3. 不变因子一、-λ矩阵的行列式因子 二、-λ矩阵的不变因子§8.4. 相似矩阵的条件两个矩阵相似的充要条件§8.5. 初等因子一、初等因子的概念 二、初等因子的求法§8.6. 若尔当（Jordan ）标准形理论推导一、若尔当矩阵的概念二、矩阵的若尔当标准形的求法§8.7. 矩阵的有理标准形一、有理形矩阵的概念 二、有理标准形的求法思考题１．求下列矩阵的初等因子、不变因子、行列式因子，并写出若当标准形．（１）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----222333111， （２）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-----0167121700140013， （３）⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛10021*********1． ２． 已知nn P A ⨯∈，证明A 与A '相似．３． 设复矩阵⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=102002c b a A ，（１）求出A 的一切可能的若当标准形；（２）给出A 可对角化的条件．第九章 欧几里得空间[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：（１） 掌握求标准正交基的施密特（Schmidt ）正交化方法；（２） 会判断两个欧氏空间的同构； （３） 理解正交变换与正交矩阵的关系； （４） 会求欧氏空间子空间的正交补；（５） 能熟练地把实对称矩阵正交相似于对角矩阵； （６） 能掌握最小二乘法.[教学重点] 求标准正交基的施密特（Schmidt ）正交化方法；欧氏空间的同构；正交变换；对乘变换；实对称矩阵正交相似于对角矩阵的方法.[教学难点] 最小二乘法[教学内容] §9.1. 定义与基本性质一、内积与欧氏空间的定义 二、向量的长度 三、向量的正交四、欧氏空间基的度量矩阵§9.2. 标准正交基一、标准正交基的概念 二、标准正交基的求法§9.3. 同构一、欧氏空间同构的概念 二、欧氏空间同构的充要条件§9.4. 正交变换一、正交变换的定义 二、正交变换的性质§9.5. 子空间一、欧氏空间中子空间的正交 二、欧氏空间子空间的正交补§9.6. 实对称矩阵的标准形一、对称变换二、实对称矩阵的特征值特征向量的性质 三、实对称矩阵的对角化四、二次型化标准形的正交变换法§9.7. 向量到子空间的距离 最小二乘法一、向量到子空间的距离 二、最小二乘法§9.8. 酉空间介绍一、酉空间的概念二、酉空间中的一些重要结论思考题１．下列线性空间对给定的二元函数),(βα是否构成欧氏空间（１）在线性空间nR 中，对任意向量),,(1n a a =α，),,(1n b b =β，定义二元函数∑==ni i i b a 1||),(βα（２）在线性空间nn R ⨯中，对任意向量nn RB A ⨯∈,，定义二元函数)(),(A B tr B A '=２． 在欧氏空间4R 中求出两个单位向量使它们同时与下面三个向量正交．)0,4,1,2(1-=α，)2,2,1,1(2--=α，)4,5,2,3(3=α３． 称||),(βαβα-=d 为向量α和β间的距离．证明：),(),(),(βγγαβαd d d +≤． ４．设α,β是欧氏空间中任意两个非零向量，证明：（１）)0(>=k k βα的充分必要条件是α和β间的夹角为零； （２）)0(<=k k βα的充分必要条件是α和β间的夹角为π． ５． 已知)0,1,2,0(1=α，)0,0,1,1(2-=α，)1,0,2,1(3-=α，)1,0,0,1(4=α是4R 的一个基，对这个基正交化，求出4R 的一个标准正交基．６． 在欧氏空间]1,1[-C 里，对基32,,,1x x x 正交化，求出]1,1[-C 的一个标准正交基． ７． 已知))0,2,0(),0,0,1((L W =是3R 的一个子空间，求⊥W ． ８．设21,,W W W 为欧氏空间V 的子空间，则（１）W W =⊥⊥)(；（２）如果21W W ⊂，则⊥⊥⊂12W W ； （３）⊥⊥⊥⋂=+2121)(W W W W ． ９．求正交矩阵T 使得AT T '成对角形．其中A 为（１）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--510810228211； （２）⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛----114441784817． １０．用正交的线性替换化下列二次型为标准形（１）322322214332x x x x x f +++=；（２）43324121242322212222x x x x x x x x x x x x f +--++++=； （３）434232413121222222x x x x x x x x x x x x f ++--+=．第十章 双线性函数与辛空间 *[教学目的与要求] 通过本章学习，实现如下目的：（1）理解线性函数的定义，熟悉线性函数的简单性质 （2）理解线性空间与其对偶空间的同构关系（3）理解双线性度量空间、正交空间、准欧氏空间、辛空间等概念 [教学重点] 对偶空间和对偶基、双线性函数、双线性度量空间、正交空间、准欧氏空间、辛空间等概念。
第十章 双线性函数与正交空间、辛空间
课程：高等代数 第10.1.1页第十章 双线性函数与正交空间、辛空间引言本章从线性函数入手，开拓上一章的度量性考察，阐述一般数域上向量空间的度量性方法，在阐述双线性函数的一般概念之后，介绍颇有应用价值的正交空间、辛空间的一些基本结论．§1 对偶空间教学目的 通过2学时讲授，使学生理解线性函数、对偶空间的概念，基本掌握对偶基的概念及其求解．教学内容本节从向量空间一类特殊的线性映射—线性函数入手，阐述对偶空间的概念．1.1 线性函数设V 是数域F 上的一个向量空间．定义1 设f ∈Hom(V ，F )，即∀α，β∈V ，∀k ∈F ，都有f (α+β)=f (α)+f (β)，f (k α)=kf (α)，则称f 为V 上的一个线性函数，也称为余向量(covectors)．由于f ∈Hom(V ，F )，因而第七章§1－§3中关于线性映射的基本结果对于线性函数也成立．线性函数是十分重要的函数类，在数学的各个分支和许多实际问题中都将遇到它．下面举几个例子．例1 定积分使每一个连续函数f (x )对应一个实数,并⎰ba dx x f )(且满足 ．⎰⎰⎰⎰⎰=+=+b a b a ba b a b a dx x f k dx x kf dx x g dx x f dx x g x f )())(()()())()((，所以定积分是C [a ，b ]上的一个线性函数．例2 矩阵的迹把数域F 上每一个n 阶矩阵A =(a ij )nn 对应F 中的一个元素,并且有∑=n i ii a 1Tr(A +B )= Tr A + Tr B ，Tr(kA )=k Tr A ．所以矩阵的迹是M n (F )上的一个线性函数．例3 在数域F 上的一元多项式环F [x ]中，未定元x 用F 中的一个元素t 代入，它把每一个多项式f (x )对应F 中的元素f (t )．由于未定课程：高等代数第10.1.2页元x 用t 代入保持加法与乘法(从而也保持纯量乘法)，所以x 用t (t ∈F )代入是向量空间F [x ]上的一个线性函数．例4 给定F 中的n 个元素a 1，a 2，…，a n ，∀()∈n x x x ，，， 21F n ，规定， (1)n n n x a x a x a x x x f +++= 221121),,,(容易验证f 保持加法与纯量乘法两种运算．因此形如(1)的函数f 是F n 上的一个线性函数．请注意，在数学分析中，把形如++= 1121),,,(x a x x x g n 的n 元函数g 叫做线性函数．若b ≠0，则g 不保持加法运算，b x a n n +也不保持纯量乘法运算，从而g 不是定义1意义上的线性函数．所以，“线性函数”这一术语在分析和代数里有不同的含义．代数课程中讲的线性函数是分析课程中的齐次线性函数．我们来讨论有限维向量空间V 上的线性函数f 的表达式．设V 是数域F 上的n 维向量空间，f 是V 上的一个线性函数．在V 中取一个基．由于f 可以看成是向量空间V 到向量空间F n ααα,,,21 的一个线性映射，因此f 完全被它在V 的一个基上的作n ααα,,,21 用所决定．即只要知道，就可以知道V 中任一)(,),(),(21n f f f ααα 向量在f 作用下的象∑==ni i i x 1αβ． (2)∑==ni i i f x f 1)()(αβ(2)就是线性函数f 在基α1，…，αn 下的表达式．它表明，f 在β上的函数值f (β)是β的坐标x 1，…，x n 的一次齐次多项式．进而考虑数域F 上n 维向量空间V 上的线性函数的构造，由命题7.1.2易见定理10.1.1 设V 是F 上一个n 维向量空间，α1，α2，…，αn 是V 的一个基，a 1，a 2，…，a n 是F 中任意取定的n 个数，则存在V 上唯一确定的线性函数f ，使得f (αi )=a i ， i =1，2，…，n ． (3)因此，∈V ，则β在f 下的象为．∑==∀n i i i x 1αβ∑==ni i i a x f 1)(β1.2 对偶空间课程：高等代数第10.1.3页设V是F上的一个向量空间，Hom(V，F)是V的所有线性函数组成的集合，我们来讨论Hom(V，F)的结构，以及它与V的关系．从第七章§2知道，Hom(V，F)也是F上的一个向量空间，称它是V上的线性函数空间，也记作T1(V)．以下设V是n维向量空间．注意到F看成自身上的向量空间是1维的，因而有dimHom(V，F)=dim F n⨯1=n．这表明Hom(V，F)与V的维数相同，故它们同构，即Hom(V，F)≌V．在V中取一个基α1，α2，…，αn，我们来找Hom(V，F)的一个基．由于Hom(V，F)是n维的，因此只要找出V上的n个线性函数，并且它们线性无关就可以了．由定理10.1.1，给定F中n个元素1，0，…，0，则存在V上唯一的线性函数f1，使得f1(α1)=1，f1(α2)= …=f1(αn)=0；给定F中n个元素0，1，0，…，0，则存在V上唯一的线性函数f2，使得f2(α)=1，f2(αj)=0，j≠2；……；给定F中n个元素0，…，0，1，则存2在V上唯一的线性函数f n，使得f n(αn)=1，f n(αj)=0，j≠n．这样我们找到了V上的n个线性函数f1，f2，…，f n，其中f i(1≤i≤n)在基向量上的函数值为f i(αj)=δij，(4)这里δij是Kronecker记号．现在我们断言f1，f2，…，f n是线性无关的．设k1 f1+k2 f2+…+k n f n=0，(5)并作用αj，则得k1f1(αj)+k2 f2(αj)+…+k n f n(αj)=0．于是由(4)推得k j=0，j=1，…，n．因此f1，f2，…，f n线性无关．综上所述，f1，f2，…，f n是Hom(V，F)的一个基．因此，我们得到定理10.1.2设V是数域F上的n维向量空间，则V上所有线性函数组成的集合Hom(V，F)也是数域F上的n维向量空间，称为V的对偶空间(或共轭空间)，记作V*；并且V*≌V．若在V中取一个基α1，α2，…，αn，则由(4)确定的线性函数f1，f2，…，f n是V*的一个基，叫做α1，α2，…，αn的对偶基．设α1，α2，…，αn是V的一个基，f1，f2，…，f n∈V*是α1，α，…，αn的对偶基．我们分别来讨论V中任一向量β在基α1，α2，…，α2下的坐标，以及V*中任一向量f在基f1，f2，…，f nn课程：高等代数第10.1.4页下的坐标．设，由(4)得∑==n j j j x 1αβ， (6)i nj j i j i x f x f ==∑=1)()(αβ即β在基α1，…，αn 下的坐标的第i 个分量等于f i (β)．因此． (7)∑==ni i i f 1)(αββV *中任取一个向量，比较左右两边的函数在αj 上的函数值∑==ni i i f c f 1得． (8)j j n i i i j c f c f ==∑=)()(1αα这表明f 在基f 1，f 2，…，f n 下的坐标的第j 个分量等于f (αj )．因此． (9)∑==n j j j f f f 1)(α例5 设V =M 2(F )，在V 中取一个基E 11，E 12，E 21，E 22，求它的对偶基f 11，f 12，f 21，f 22，并求V 上任一线性函数f 的表达式． 解 从(4)得f 11(E 11)=1，f 11(E 12)=f 11(E 21)=f 11(E 22)=0，f 12(E 12)=1，f 12(E 11)=f 12(E 21)=f 12(E 22)=0，f 21(E 21)=1，f 21(E 11)=f 21(E 12)=f 21(E 22)=0，f 22(E 22)=1，f 22(E 11)=f 22(E 12)=f 22(E 21)=0．任取A =(a ij )22∈M 2(F )，由于，所以f 11(A )=a 11，f 12(A )=a 12，∑∑===2121i j ij ij E a A f 21(A )=a 21，f 22(A )=a 22．于是，对于V 上的任意一个线性函数f ,设f (E ij )=c ij ，i ，j =1，2，则由(9)得)()()()()(2222212112121111A f c A f c A f c A f c A f +++=． (10)2222212112121111a c a c a c a c +++=例6 考察实数域R 上的n 维向量空间V =R [x ]n ．对任意取定的n 个不同实数a 1，a 2，…，a n ，根据Lagrange 插值公式，得到n 个多项式，i =1,2,…,n ． )())(()()())(()()(111111n i i i i i i n i i i a a a a a a a a a x a x a x a x x p --------=+-+- 它们满足p i (a j )=δij ，因此p 1(x )，p 2(x )，…，p n (x )线性无关．因为由c 1 p 1(x )+x 2 p 2(x )+…+c n p n (x )=0，用a i 代入，即得课程：高等代数第10.1.5页 ，i =1，2，…，n ． 0)()(1===∑=i nk i i i i k k c a p c a p c 又V 是n 维的，所以p 1(x )，p 2(x )，…，p n (x )是V 的一组基． 设L i ∈V *(i =1，2，…，n )是在a i 点的取值函数：L i (p (x ))=p (a i ) p (x )∈V ，i =1，2，…，n ，则线性函数L i 满足L i ( p j (x ))=p j (a i )=δij ．因此，L 1，L 2，…，L n 是的对偶基． )()()(21x p x p x p n ，，， V 中不同基的对偶基之间有什么关系？这就是定理10.1.3 设V 是数域F 上n 维向量空间，α1，…，αn 与β1，…，βn 是V 的两个基．设它们的对偶基分别是f 1，…，f n 与g 1，…，g n ．若V 中基α1，…，αn 到基β1，…，βn 的过渡矩阵是A =(a ij )nn ，则V *中基f 1，…，f n 到基g 1，…，g n 的过渡矩阵为．)(1'-A 证 由已知条件，有(β1，…，βn )=(α1，…，αn )A (11)于是 ． (12) ∑==nk k ki i a 1αβ设f 1，…，f n 到g 1，…，g n 的过渡矩阵为B =(b ij )nn ，则(g 1，…，g n )=( f 1，…，f n )B (13)于是．将此式的两边作用于βi ，并注意到，∑==n k k kj j f b g 1ki i k a f =)(β则得 ． (14)∑∑=====n k n k ki kj i k kj i j ij a b f b g 11)()(ββδ因此，A 'B =I n ．故B =( A ')－1=( A －1)'．1.3 双重对偶空间考察V 到V *的一个同构映射．因为V 和V *都是n 维的，所以它们都与F n 同构．我们知道，在数域F 上一个n 维向量空间取定一个基后，让每个向量对应到它在这个基下的坐标就是所给n 维向量空间到F n 的一个同构映射．于是，在V 中取一个基α1，α2，…，αn ，而f 1，f 2，…，f n ∈V *是α1，α2，…，αn 的对偶基，则有V 到F n 的一个同构映射σ1：．),,,()(2111n ni i i a a a a =∑=ασ又有F n 到V *的一个同构映射σ2：课程：高等代数 第10.1.6页．∑==ni i i n f a a a a 1212),,,( σ从而有V 到V *的一个同构映射σ=σ2σ1：． (15)∑∑===ni i i n i i i f a a 11)(ασ设，记σ(α)=，则由(15)得∑==ni i i a 1αααf ． (16)∑==ni i i f a f 1α对于V 中任一向量，由(16)、(15)得∑==ni i i b 1αβ． (17)∑∑====ni i i n i i i b a f a f 11)()(ββα因此，α在上述同构映射下的象在β上的函数值(β)等于α与βαf αf 的坐标的对应分量乘积之和．以上的讨论是在F 上任一n 维向量空间进行的．因此对于F 上n 维向量空间V ，我们也可以考虑V *上的所有线性函数组成的向量空间Hom(V *，F )(也记成T 1(V *))，它是V *的对偶空间，简记成V **．据定理10.1.2得，dim V **=dim V *=dim V ．因此V ≌V **． (18)V **叫做V 的双重对偶空间．进而求V 到V **的一个同构映射，在V 中取一个基α1，…，αn ，设它的对偶基是f 1，…，f n ．任取V 中一个向量，则由上讨∑==ni i i a 1αα论有V 到V *的一个同构映射σ1，它把α映成f α．对V *，有V *到V **的一个同构映射σ2，它把f α映成α**，其中α**( f )等于f α与f 在基f 1，…，f n 下的坐标的对应分量乘积之和．由(16)、(9)两式，有．因此∑∑====ni i i n i i i f f f f a f 11)(αα，． (19)∑∑==**===n i ni i i i i f a f f a f 11)()()()(αααα这样，我们找到了V 到V **的一个同构映射σ=σ2σ1，它把V 中向量α映成V **中元素α**，其中α**( f )=f (α)，f ∈V * ． (20)∀因此证得定理10.1.4 设V 是F 上的n 维向量空间，V **是V 的双重对偶空课程：高等代数第10.1.7页间，则V ≌V **；并且V 到V **的一个同构映射是σ：αα**，其中α**( f )如(20)所 示．必须指出，V 到V **的上述同构映射不依赖于V 中基的选择．因为上面在V 中取定一个基α1，…，αn ，我们找到了V 至V **的一个同构映射σ：αα**，其中α**( f )=f (α)，∀f ∈V *，即σ(α) f =f (α)，∀f ∈V *．又在V 中另取一个基β1,…,βn ，设它的对偶基是g 1,…,g n ．则类似地有V 到V *的一个同构映射τ1,它把V 中向量映成g α；∑==n i i i b 1βα且有V *到V **的同构映射τ2，它把g α映成τ2(g α)，其中τ2(g α) f 等于g α与f 在基g 1，…，g n 下的坐标的对应分量乘积之和．因为，并且f =，所以∑==n i i i g b g 1α∑=n i i i g f 1)(β (21) ∑∑=*=∈∀===n i ni i i i i V f f b f f b f g 112),()()()(αββτα于是得到V 到V **的又一个同构映射τ=τ2τ1，它把V 中向量α映成τ(α)，其中τ(α) f =(τ2τ1(α)) f =τ2 (g α) f =f (α)，∀f ∈V *． 因此σ(α) f =τ(α) f ，∀f ∈V *．由此得出σ(α)=τ(α)，∀α∈V ．故σ=τ．这就证明了V 到V **的同构映射：αα**，其中α**( f )=f (α)不依赖于V 中 基的选择．这样的同构映射叫做标准同构或自然同构．由于V 到V **存在自然同构，因此我们可以把V **与V 等同，从而可以把V 看成V *的对偶空间，这样V 与V *就互为对偶空间．这就是为什么把V *称为V 的对偶空间的原因．由于V 可以看成是V *的对偶空间V **，而V **是V *上所有线性函数组成的空间，因此任一n 维向量空间可以看成是某个n 维向量空间上所有线性函数组成的空间．课外作业：P513：2、1)；3；4；5。
北京大学数学系《高等代数》(第3版)(双线性函数与辛空间)笔记和课后习题(含考研真题)详解【圣才出品
第10章双线性函数与辛空间10.1复习笔记一、线性函数1．定义设V是数域P上的一个线性空间，f是V到P的一个映射，如果f满足（1）f（α＋β）＝f（α）＋f（β），（2）f（kα）＝kf（α），式中α、β是V中任意元素，k是P中任意数，则称f为V上的一个线性函数．2．性质（1）设f是V上的线性函数，则f（0）＝0，f（－α）＝－f（α）．（2）如果β是α1，α2，…，αs的线性组合：β＝k1α1＋k2α2＋…＋k sαs．那么f（β）＝k1f（α1）＋k2f（α2）＋…＋k s f（αs）．3．矩阵的迹A是数域P上一个n级矩阵．设则A的迹Tr（A）＝a11＋a22＋…＋a nn是P上全体n级矩阵构成的线性空间P n×n上的一个线性函数．4．定理设V是P上一个n维线性空间，ε1，ε2，…，εn是V的一组基，a1，a2，…，a n是P中任意n个数，存在唯一的V上线性函数f使f（εi）＝a i，i＝1，2，…，n．二、对偶空间1．L（V，P）的加法和数量乘法（1）设f，g是V的两个线性函数定义函数f＋g如下：（f＋g）（α）＝f（α）＋g（α），α∈V，f＋g也是线性函数：f＋g称为f与g的和．（2）设f是V上线性函数．对P中任意数k，定义函数kf如下：（kf）（α）＝k（f（α）），α∈V，kf称为k与f的数量乘积，易证kf也是线性函数．2．L（V，P）的性质（1）对V中任意向量α，有而对L（V，P）中任意向量f，有（2）L（V，P）的维数等于V的维数，而且f1，f2，…，f n是L（V，P）的一组基．3．对偶空间（1）定义L（P，V）称为V的对偶空间．由决定的L（V，P）的基，称为ε1，ε2，…，εn的对偶基．V的对偶空间记作V*．（2）对偶基的性质（1）设ε1，ε2，…，εn及η1，η2，…，ηn是线性空间V的两组基，它们的对偶基分别为f1，f2，…，f n及g1，g2，…，g n．如果由ε1，ε2，…，εn到η1，η2，…，ηn的过渡矩阵为A，那么由f1，f2，…，f n到g1，g2，…，g n的过渡矩阵为（A'）－1．（2）设V是P上一个线性空间，V*是其对偶空间．取定V中一个向量x，定义V*的一个函数x**如下：x**（f）＝f（x），f∈V*．则x**是V*上的一个线性函数，因此是V*的对偶空间（V*）*＝V**中的一个元素．（3）V是一个线性空间，V**是V的对偶空间的对偶空间．V到V**的映射x→x**是一个同构映射．结论：任一线性空间都可看成某个线性空间的线性函数所成的空间．三、双线性函数1．定义V是数域P上一个线性空间，f（α，β）是V上一个二元函数，即对V中任意两个向量α，β，根据f都唯一地对应于P中一个数f（α，β）．如果f（α，β）有下列性质：（1）f（α，k1β1＋k2β2）＝k1f（α，β1）＋k2f（α，β2）；（2）f（k1α1＋k2α2，β）＝k1f（α1，β）＋k2f（α2，β）．其中α，α1，α2，β，β1，β2是V中任意向量，k1，k2是P中任意数，则称f（α，β）为V 上的一个双线性函数．2．常用结论（1）欧氏空间V的内积是V上双线性函数；（2）设f1（α），f2（α）都是线性空间V上的线性函数，则f（α，β）＝f1（α）f2（β），α，β∈V是V上的一个双线性函数．（3）设P n是数域P上n维列向量构成的线性空间X，Y∈P n，再设A是P上一个n 级方阵．令f（X，Y）＝X'AY，则f（X，Y）是P n上的一个双线性函数．3．度量矩阵（1）定义设f（α，β）是数域P上n维线性空间V上的一个双线性函数．ε1，ε2，…，εn是V的一组基，则矩阵称为f（α，β）在ε1，ε2，…，εn下的度量矩阵．（2）性质①度量矩阵被双线性函数及基唯一确定．②不同的双线性函数在同一组基下的度量矩阵一定是不同的．③在不同的基下，同一个双线性函数的度量矩阵一般是不同的，但是在不同基下的度量矩阵是合同的．4．非退化设f（α，β）是线性空间V上一个双线性函数，如果f（α，β）＝0，对任意β∈V，可推出α＝0，f就称为非退化的．双线性函数f（α，β）是非退化的充要条件为其度量矩阵A为非退化矩阵．5．对称双线性函数（1）定义f（α，β）是线性空间V上的一个双线性函数，如果对V中任意两个向量α，β都有f （α，β）＝f（β，α），则称f（α，β）为对称双线性函数．如果对V中任意两个向量α，β都有f（α，β）＝－f（β，α），则称f（α，β）为反对称双线性函数．这就是说，双线性函数是对称的，当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是对称矩阵．同样地，双线性函数是反对称的当且仅当它在任一组基下的度量矩阵是反对称矩阵．（2）性质（1）设V是数域P上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，使f（α，β）在这组基下的度量矩阵为对角矩阵．（2）设V是复数域上n维线性空间，f（α，β）是V上对称双线性函数，则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（3）设V是实数域上n维线性空间．f（α，β）是V上对称双线性函数．则存在V的一组基ε1，ε2，…，εn，对V中任意向量，有（4）V上的对称双线性函数f（α，β）如果是非退化的．则有V的一组基ε1，ε2，…，εn满足前面的不等式是非退化条件保证的，这样的基称为V的对于f（α，β）的正交基．6．二次齐次函数对称双线性函数与二次齐次函数是1－1对应的．设V是数域P上线性空间，f（α，β）是V上双线性函数．当α＝β时，V上函数f（α，β）称为与f（α，β）对应的二次齐次函数．7．反对称双线性函数性质（1）设f（α，β）是n维线性空间V上的反对称线性函数，则存在V的一组基ε1，ε。
高等代数第11章双线性函数与辛空间
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</i> §1 线性函数定义设V是数域上的线性空间f是V到是数域P上的线性空间是数域上的线性空间, 是到P的映射如果α,β∈V, k∈P, f满足的映射, 满足: 的映射如果∈ 满足(1) f (α +β ) = f (α)+f(β ); ; (2) f (kα) = kf(α), 则称f为线性函数. 则称为f (0) = 0, f (-α) = - f(α), 若β =k1α1+k2α2+…+ksαs … 则f(β )=k1f(α1)+k2f(α2)+…,+ksf(αs)<i>大学必修课之高等数学的课件,讲解细致,内容详尽、全面。
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</i> 第11章双线性函数与辛空间章§1 线性函数§2 对偶空间§3 双线性函数*§4 辛空间§<i>大学必修课之高等数学的课件,讲解细致,内容详尽、全面。
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</i> 例 1 设a1,a2,…,an是P中任意数中任意数, … 中任意数X=(x1,x2,…, xn)是Pn中的向量函数… 是中的向量. f(X)=f(x1,x2,…,xn)= a1x1+a2x2+…+anxn … … 是Pn上的一个线性函数上的一个线性函数.零函数0: 当a1=a2=…=an=0时, f(X)=0. … 时一般地Pn上的任一个线性函数都可表成一般地, f(X)=a1x1+a2x2+…+anxn … 证明如下：证明如下：<i>大学必修课之高等数学的课件,讲解细致,内容详尽、全面。
高等代数(第三版)10.3双线性函数
f ( , ) x1 y1
xr yr (0 r n)
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
推论2 设V为实数域上n维线性空间， f ( , )Ｖ上的一个对称双线性函数， 则存在V的一组基1， 2， ， n， 对Ｖ中任意向量＝ xi i , ＝ yi i , 有
结论2 Ｖ上的反对称双线性函数f ( , ) 如果是非退化的，则存在V的一组基
1， -1 ， r , -r使
f ( i , i ) 1 i 1, , r f ( , ) 0 i j 0 i j
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
式中1 , 2 ,1 ,2是Ｖ中任意向量， k1 ,k2是Ｐ中任意数，则称f ( , ) 为Ｖ上的一个双线性函数．
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
例1 欧氏空间V的内积是V上双线性函 数 例2 设 f1 ( ), f 2 ( ) 都是线性空间V上的线性函数，则
f ( , ) f1 ( ) f 2 ( )
ｉ＝１ ｉ＝１ ｎ ｎ
f ( , ) x1 y1 (0 p r n)
x p y p x p 1 y p 1
xr yr
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
定义７ 设V为数域Ｐ上线性空间, f ( , )是Ｖ上的对称双线性函数， 当＝ 时，Ｖ上函数f ( , )称为 f ( , )对应的二次齐次函数．
第十章 双线性函数与辛空间 10.3 双线性函数
结论
双线性函数是对称的
当且仅当f ( , )＝f ( ， ) 当且仅当它在任一组基下的 度量矩阵是对称矩阵. 双线性函数是反对称的 当且仅当f ( , )＝-f ( ， ) 当且仅当它在任一组基下的 度量矩阵是反对称矩阵.
高等代数第11章双线性函数与辛空间PPT优秀课件
满足:
(1) f(, k1 +k2 )= k1f(, 1)+k2f(, 2); (2) f(k11+k22, )= k1f(1, )+k2f(2, )
则称f(,)是V上一个双线性函数.
18
• 例1 欧氏空间V的内积是V上的双线性函数.
• 例2 设f1(,), f2(,) 都是线性空间V上的线性函
f(n,2) f(n,n)
• 为f(,)在基1,2,,n下的度量矩 阵.
20
• 取V的一组基1,2,,n,设
•则
x1
(
1
,
2
,
,
n
)
x2
( 1, 2 , , n ) X
x
n
y1
(
1
,
2
,
,
n
)
y2
( 1 , 2 , , n )Y
y
n
f(, )f i n 1x i i,jn 1yj j i n 1jn 1f(i, j)x ix j
a11 a12 a1n
A
a21
a22
a2
n
an1
an2
ann
• 则A的迹 Tr(A)= a11+a22++ann
• 是Pnn上的一个线性函数.
• 例3 设V=P[x], t是P中一个取定的数,定义 P[x]上的函数Lt为:
•
Lt(p(x))=p(t), p(x)P[x]
• 即 P[xL]t(上p(x的))线为性p(x函)在数t.点的值, 则Lt(p(x))是
定义设v是数域p上的线性空间义了一个非退化双线性函数则v称为一当f是非退化对称双线性函数时v称为p当v是n维实线性空间f是非退化对称双线性函数时v称为p上的当f是非退化反对称双线性函数时v称为有着非退化双线性函数f的双线性度量空间常记作v2任一2n阶是非退化反对称矩阵k可把一个数域p上2n维空间v化成一个辛空间故k合同于j
(完整版)高等代数(北大版第三版)习题答案II
证 1）作变换 ，即
，
则
。
因为 是正定矩阵，所以 是负定二次型。
2） 为正定矩阵，故 对应的 阶矩阵也是正定矩阵，由1）知
或 ，
从而
，
令
，
则
。
由于 是正定的，因此它的 级顺序主子式 ，从而 的秩为 。
即证 。
3．设
。
其中 是 的一次齐次式，证明： 的正惯性指数 ，负惯性指数 。
证 设 ，
的正惯性指数为 ，秩为 ，则存在非退化线性替换
，
使得
。
下面证明 。采用反证法。设 ，考虑线性方程组
，
该方程组含 个方程，小于未知量的个数 ，故它必有非零解 ，于是
，
上式要成立，必有
， ，
这就是说，对于 这组非零数，有
， ，
这与线性替换 的系数矩阵非退化的条件矛盾。所以
。
同理可证负惯性指数 ，即证。
4．设
是一对称矩阵，且 ，证明：存在 使 ，其中 表示一个级数与 相同的矩阵。
证 只要令 ，则 ，
注意到
， ，
则有
。
即证。
5．设 是反对称矩阵，证明： 合同于矩阵
。
设 的秩为 ，作非退化线性替换 将原二次型化为标准型
，
其中 为1或-1。由已知，必存在两个向量 使
和 ，
故标准型中的系数 不可能全为1，也不可能全为-1。不妨设有 个1， 个-1，
且 ，即
，
这时 与 存在三种可能：
， ，
下面仅讨论 的情形，其他类似可证。
令 ， ， ，
则由 可求得非零向量 使
，
即证。
证 采用归纳法。当 时， 合同于 ，结论成立。下面设 为非零反对称矩阵。
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本节从向量空间一类特殊的线性映射—线性函数入手，阐述对偶空间的概念．
1.1 线性函数
设V是数域F上的一个向量空间．
定义1设f∈Hom(V，F)，即，∈V，k∈F，都有
f(α+β)=f(α)+f(β)，f(kα)=kf(α)，
则称f为V上的一个线性函数，也称为余向量(covectors)．
由于f∈Hom(V，F)，因而第七章§1－§3中关于线性映射的基本结果对于线性函数也成立．
V*中任取一个向量 ，比较左右两边的函数在αj上的函数值得
．(8)
这表明f在基f1，f2，…，fn下的坐标的第j个分量等于f(αj)．因此
．(9)
例5设V=M2(F)，在V中取一个基E11，E12，E21，E22，求它的对偶基f11，f12，f21，f22，并求V上任一线性函数f的表达式．
解从(4)得
综上所述，f1，f2，…，fn是Hom(V，F)的一个基．因此，我们得到
定理10.1.2设V是数域F上的n维向量空间，则V上所有线性函数组成的集合Hom(V，F)也是数域F上的n维向量空间，称为V的对偶空间(或共轭空间)，记作V*；并且V*≌V．
若在V中取一个基α1，α2，…，αn，则由(4)确定的线性函数f1，f2，…，fn是V*的一个基，叫做α1，α2，…，αn的对偶基．
dimHom(V，F)=dimFn1=n．
这表明Hom(V，F)与V的维数相同，故它们同构，即Hom(V，F)≌V．
在V中取一个基α1，α2，…，αn，我们来找Hom(V，F)的一个基．由于Hom(V，F)是n维的，因此只要找出V上的n个线性函数，并且它们线性无关就可以了．
由定理10.1.1，给定F中n个元素1，0，…，0，则存在V上唯一的线性函数f1，使得f1(α1)=1，f1(α2)=…=f1(αn)=0；给定F中n个元素0，1，0，…，0，则存在V上唯一的线性函数f2，使得f2(α2)=1，f2(αj)=0，j≠2；……；给定F中n个元素0，…，0，1，则存在V上唯一的线性函数fn，使得fn(αn)=1，fn(αj)=0，j≠n．
任取A=(aij)22∈M2(F)，由于 ，所以f11(A)=a11，f12(A)=a12，
f21(A)=a21，f22(A)=a22．于是，对于V上的任意一个线性函数f,设f(Eij)=cij，i，j=1，2，则由(9)得
．(10)
例6考察实数域R上的n维向量空间V=R[x]n．对任意取定的n个不同实数a1，a2，…，an，根据Lagrange插值公式，得到n个多项式
线性函数是十分重要的函数类，在数学的各个分支和许多实际问题中都将遇到它．下面举几个例子．
例1定积分使每一个连续函数f(x)对应一个实数 ,并
且满足
．
所以定积分是C[a，b]上的一个线性函数．
例2矩阵的迹把数域F上每一个n阶矩阵A=(aij)nn对应F中的一个元素 ,并且有
Tr(A+B)=TrA+TrB，Tr(kA)=kTrA．
这样我们找到了V上的n个线性函数f1，f2，…，fn，其中fi(1≤i≤n)在基向量上的函数值为
fi(αj)=δij，(4)
这里δij是Kronecker记号．
现在我们断言f1，f2，…，fn是线性无关的．设
k1f1+k2f2+…+knfn=0，(5)
并作用αj，则得k1f1(αj)+k2f2(αj)+…+knfn(αj)=0．于是由(4)推得kj=0，j=1，…，n．因此f1，f2，…，fn线性无关．
，(1)
容易验证f保持加法与纯量乘法两种运算．因此形如(1)的函数f是Fn上的一个线性函数．
请注意，在数学分析中，把形如 的n元函数g叫做线性函数．若b≠0，则g不保持加法运算，也不保持纯量乘法运算，从而g不是定义1意义上的线性函数．所以，“线性函数”这一术语在分析和代数里有不同的含义．代数课程中讲的线性函数是分析课程中的齐次线性函数．
f11(E11)=1，f11(E12)=f11(E21)=f11(E22)=0，
f12(E12)=1，f12(E11)=f12(E21)=f12(E22)=0，
f21(E21)=1，f21(E11)=f21(E12)=f21(E22)=0，
f22(E22)=1，f22(E11)=f22(E12)=f22(E21)=0．
必须指出，V到V**的上述同构映射不依赖于V中基的选择．因为上面在V中取定一个基α1，…，αn，我**(f)=f(α)，f∈V*，即σ(α)f
=f(α)，f∈V*．
又在V中另取一个基β1,…,βn，设它的对偶基是g1,…,gn．则类似地有V到V*的一个同构映射τ1,它把V中向量 映成g；且有V*到V**的同构映射τ2，它把g映成τ2(g)，其中τ2(g)f等于g与f在基g1，…，gn下的坐标的对应分量乘积之和．因为 ，并且f= ，所以
设α1，α2，…，αn是V的一个基，f1，f2，…，fn∈V*是α1，α2，…，αn的对偶基．我们分别来讨论V中任一向量β在基α1，α2，…，αn下的坐标，以及V*中任一向量f在基f1，f2，…，fn
下的坐标．设 ，由(4)得
，(6)
即β在基α1，…，αn下的坐标的第i个分量等于fi(β)．因此
．(7)
Li(p(x))=p(ai)p(x)∈V，i=1，2，…，n，
则线性函数Li满足
Li(pj(x))=pj(ai)=δij．
因此，L1，L2，…，Ln是 的对偶基．
V中不同基的对偶基之间有什么关系？这就是
定理10.1.3设V是数域F上n维向量空间，α1，…，αn与β1，…，βn是V的两个基．设它们的对偶基分别是f1，…，fn与g1，…，gn．若V中基α1，…，αn到基β1，…，βn的过渡矩阵是A=(aij)nn，则V*中基f1，…，fn到基g1，…，gn的过渡矩阵为 ．
1.3 双重对偶空间
考察V到V*的一个同构映射．因为V和V*都是n维的，所以它们都与Fn同构．我们知道，在数域F上一个n维向量空间取定一个基后，让每个向量对应到它在这个基下的坐标就是所给n维向量空间到Fn的一个同构映射．于是，在V中取一个基α1，α2，…，αn，而f1，f2，…，fn∈V*是α1，α2，…，αn的对偶基，则有V到Fn的一个同构映射σ1：
进而考虑数域F上n维向量空间V上的线性函数的构造，由命题7.1.2易见
定理10.1.1设V是F上一个n维向量空间，α1，α2，…，αn是V的一个基，a1，a2，…，an是F中任意取定的n个数，则存在V上唯一确定的线性函数f，使得
f(αi)=ai，i=1，2，…，n．(3)
因此， ∈V，则β在f下的象为 ．
课外作业：
P513：2、1)；3；4；5
，i=1,2,…,n．
它们满足pi(aj)=δij，因此p1(x)，p2(x)，…，pn(x)线性无关．因为由
c1p1(x)+x2p2(x)+…+cnpn(x)=0，
用ai代入，即得
，i=1，2，…，n．
又V是n维的，所以p1(x)，p2(x)，…，pn(x)是V的一组基．
设Li∈V*(i=1，2，…，n)是在ai点的取值函数：
由于V到V**存在自然同构，因此我们可以把V**与V等同，从而可以把V看成V*的对偶空间，这样V与V*就互为对偶空间．这就是为什么把V*称为V的对偶空间的原因．
由于V可以看成是V*的对偶空间V**，而V**是V*上所有线性函数组成的空间，因此任一n维向量空间可以看成是某个n维向量空间上所有线性函数组成的空间．
所以矩阵的迹是Mn(F)上的一个线性函数．
例3在数域F上的一元多项式环F[x]中，未定元x用F中的一个元素t代入，它把每一个多项式f(x)对应F中的元素f(t)．由于未定元x用t代入保持加法与乘法(从而也保持纯量乘法)，所以x用t(t∈F)代入是向量空间F[x]上的一个线性函数．
例4给定F中的n个元素a1，a2，…，an，( )∈Fn，规定
证由已知条件，有
(β1，…，βn)=(α1，…，αn)A(11)
于是 ．(12)
设f1，…，fn到g1，…，gn的过渡矩阵为B=(bij)nn，则
(g1，…，gn)=(f1，…，fn)B(13)
于是 ．将此式的两边作用于βi，并注意到 ，则得
．(14)
因此，AB=In．故B=(A)－1=(A－1)．
V≌V**．(18)
V**叫做V的双重对偶空间．
进而求V到V**的一个同构映射，在V中取一个基α1，…，αn，设它的对偶基是f1，…，fn．任取V中一个向量 ，则由上讨论有V到V*的一个同构映射σ1，它把α映成f．对V*，有V*到V**的一个同构映射σ2，它把f映成α**，其中α**(f)等于f与f在基f1，…，fn下的坐标的对应分量乘积之和．由(16)、(9)两式，有 ．因此
(21)
于是得到V到V**的又一个同构映射τ=τ2τ1，它把V中向量α映成τ(α)，其中
τ(α)f=(τ2τ1(α))f=τ2(g)f=f(α)，f∈V*．
因此σ(α)f=τ(α)f，f∈V*．由此得出
σ(α)=τ(α)，α∈V．
故σ=τ．这就证明了
V到V**的同构映射：α α**，其中α**(f)=f(α)不依赖于V中基的选择．这样的同构映射叫做标准同构或自然同构．
第十章双线性函数与正交空间、辛空间
引言
本章从线性函数入手，开拓上一章的度量性考察，阐述一般数域上向量空间的度量性方法，在阐述双线性函数的一般概念之后，介绍颇有应用价值的正交空间、辛空间的一些基本结论．
§1 对偶空间
教学目的通过2学时讲授，使学生理解线性函数、对偶空间的概念，基本掌握对偶基的概念及其求解．
我们来讨论有限维向量空间V上的线性函数f的表达式．
设V是数域F上的n维向量空间，f是V上的一个线性函数．在V中取一个基 ．由于f可以看成是向量空间V到向量空间F的一个线性映射，因此f完全被它在V的一个基 上的作用所决定．即只要知道 ，就可以知道V中任一向量 在f作用下的象