云南省昆明光华学校2020学年度高二数学上学期竞赛试题

云南省昆明光华学校2020学年度高二数学上学期竞赛试题考试时间：120分钟 满分：150分一．选择题（本大题共10小题，每小题6分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

） 1.若b a 11<<0，则下列不等式①a+b<ab;②a >b ;③a<b;④baa b +>2中，正确的不等式有（ ） A.1个； B.2个； C.3个； D.4个。

2．不等式|x 1x +| > x1x+的解集是 （ ）A ．{x | x ≠ –1}B ．{ x | x > –1 }C ．{ x | x < 0且x ≠ –1 }D ．{x | –1 < x < 0}3．已知 – 1< x + y < 3，且2 < x – y < 4，则2x +3y 的取值范围是 （ ）A ．（–29，211） B ．（–27，211） C ．（–27，213） D ．（–29，213） 4. 下列函数最小值是2的是 （ ）A ．1y x x=+ B .sin csc y x x =+，(0,)2x π∈ C .2y =D .2y 5. 直线012=++y a x 与直线03)1(2=+-+by x a 互相垂直，∈b a ,R ，则||ab 的最小值为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．46．已知两点(0,1),(1,0)A B ，若直线(1)y k x =+与线段AB 总有公共点，则k 的取值范围是 （ ）A .[1,1]-B .[0,1]C .[1,0]-D .[,1∞) 7.已知椭圆2 x 2+ y 2=2的两个焦点F 1 F 2，B 为短轴的一个端点，21BF F ∆的外接圆方程为（ ）A ．x 2+y 2=1; B.(x-1)2+y 2=4;C. x 2+ y 2=4;D. x 2+(y-1)2=4 8．在相距4k 米的A 、B 两地, 听到炮弹爆炸声的时间相差2秒, 若声速每秒k 米, 则爆炸地 点P 必在 （ ）A ．以A ，B 为焦点, 短轴长为3k 米的椭圆上 .B ．以AB 为直径的圆上.C ．以A ，B 为焦点, 实轴长为2k 米的双曲线上 .D ．以A ，B 为顶点, 虚轴长为3k 米的双曲线上9．圆心在抛物线x 2=2y(x>0)上，且与y 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是（ ）A ．041222=---+y x y x B ．01222=+-++y x y x C ．01222=+--+y x y xD ．x 041222=+--+y x y 10．若椭圆)1(122>=+m y m x 与双曲线)0(122>=-n y nx 有相同的焦点F 1、F 2，P 是两曲线的一个交点，则21PF F ∆的面积是（ ）A ．4B ．2C ．1D ．21. 选择题答案 二、填空题（本大题共5小题，每小题6分，共30分。

）11. 求经过点A （1，－4）且与直线0532=++y x 平行的直线方程12．已知⎪⎩⎪⎨⎧-≥≥+-≤-+10101y y x y x ，且84422+--+=y x y x u ，则u 的最小值为13 .椭圆141622=+y x 的以点)1,2(-P 为中点的弦所在的直线方程为 14．对于椭圆191622=+y x 和双曲线19722=-y x 有下列命题： ①椭圆的焦点恰好是双曲线的顶点; ②双曲线的焦点恰好是椭圆的顶点; ③双曲线与椭圆共焦点;④椭圆与双曲线有两个顶点相同.其中正确命题的序号是 .15．已知点P 为椭圆1322=+y x 在第一象限部分上的点，则y x +的最大值等于三、解答题（本大题共5题，共60分）16．(本小题满分12分)已知0>c .设:P 函数xc y =在R 上单调递减.:Q 不等式1|2|>-+c x x的解集为R . 如果P 和Q 有且仅有一个正确，求c 的取值范围.17．(本小题满分12分)已知圆C ：5)1(22=-+y x ，直线l ：01=-+-m y mx ， （1）求证:对∈m R ，直线l 和圆C 总相交；（2）设直线l 和圆C 交于A 、B 两点，当||AB 取得最大值时，求直线l 的方程18．(本小题满分12分)如图，长为6的线段PQ 的端点分别在射线)0(0≤=x y 和)0(0≤=y x上滑动，点M 在线段PQ 上，且2=．（1）求点M 的轨迹方程；（2）若点M 的轨迹与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，求四边形OAMB 面积的最大值．19．(本小题满分12分)已知抛物线y 2 = –x与直线y = k ( x + 1 )相交于A、B两点, 点O是坐标原点.（1）求证: OA OB;（2）当△OAB的面积等于10时, 求k的值.20．附加题（12分，记入总分）已知直线l 与圆0222=++x y x 相切于点T ，且与双曲线122=-y x 相交于A 、B 两点，若T 是线段AB 的中点，求直线l 的方程.答案一．选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDDCBDACDC二．填空题：11. 2x+3y+10=0 . 12.29. 13. x-2y-4=0 14. ○1 ○2 . 15. 2 . 三．解答题16. :函数xc y =在R 上单调递减10<<⇔c ，不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ⇔函数|2|c x x y -+=在R 上恒大于1，∵，，，，c x c x c c x c x x 22222|2|<≥⎩⎨⎧-=-+∴函数|2|c x x y -+=在R 上的最小值为c 2，∴不等式1|2|>-+c x x 的解集为R ⇔12>c ，即21>c ， 若P 正确，且Q 不正确，则210≤<c ； 若Q 正确，且P 不正确，则1≥c ； 所以c 的取值范围为)1[]210(∞+，，Y .17. （１）证明：因圆C 的圆心为C （0，1），半径5=r ，所以圆心C 到直线l 的距离为1||||1||2=<+=m m m m d ， 命题得证。

另析：直线l ：01=-+-m y mx 恒过过定点P ()1,1，可判明在圆内，即证明直线l 和 圆C 总相交。

（2）当d 最小时||AB 最大，而0=m 时d 最小，此时l 的方程为1=y ． 18. （1）设P （0,1x ），Q （1,0y ），M （y x ,），由⎪⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎪⎨⎧+=+=2112121111y y x x 得⎪⎩⎪⎨⎧==y y x x 32311代入362121=+y x 得)0,(141622≤=+y x y x ． （2）设M （ααsin 2,cos 4），其中0sin 2,0cos 4<<αα， S ＝)cos (sin 4||||21αα+-=M y OA ，计算S 的平方，可得所求最大值为24．19. : (1) 当k = 0时直线与抛物线仅一个交点, 不合题意,∴k ≠ 0由y = k (x+1)得x =k y –1 代入y 2 = – x 整理得: y 2 +k1y – 1 = 0 ， 设A (x 1 , y 1), B (x 2 , y 2) 则y 1 + y 2 = –k1, y 1y 2 = –1.∵A 、B 在y 2 = – x 上, ∴A (–21y , y 1 ), B (–22y , y 2 ) ，∴ k OA ·k OB =)y (y )y (y 222211-⋅-=21y y 1= – 1 . ∴ OA ⊥OB. (2) 设直线与x 轴交于E, 则 E ( – 1 , 0 ) ∴|OE| = 1 ，S △OAB =21|OE|(| y 1| + | y 2| ) =21| y 1 – y 2| =214k 12+=10， 解得k = ±6120. 直线l 与x 轴不平行，设l 的方程为 a ky x += 代入双曲线方程 整理得012)1(222=-++-a kay y k 而012≠-k ，于是122--=+=k ak y y y B A T 从而12--=+=k a a ky x T T 即 )1,1(22k ak ak T -- Θ点T 在圆上 012)1()1(22222=-+-+-∴k ak a k ak 即22+=a k ① 由圆心)0,1(-'O .l T O ⊥' 得 1-=⋅'l T O k k 则 0=k 或 122+=a k当0=k 时，由①得 l a ∴-=,2的方程为 2-=x ；当122+=a k 时，由①得 1=a l K ∴±=,3的方程为13+±=y x .故所求直线l的方程为2-=x 或 13+±=y x。