山东省青岛市高三上学期期末数学试卷(理科)
山东省青岛市高三数学上学期期末检测 理(学生版)
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟． 注意事项：1．答卷前，考生务必用2B 铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．4.参考公式：锥体的体积公式V =13Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。
柱体体积公式V Sh =，其中S 是柱体的底面积，h 是柱体的高。
台体体积公式1()3V S S S S h ''=++，S '、S 分别为上、下底面面积，h 为台体的高.球的表面积公式24S r π=，体积公式343V r π=，r 是球的半径。
圆锥的侧面积为rl π，r 为圆锥底面半径，l 为母线.第Ⅰ卷（选择题 共60分）一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.命题“∈∃x R ，0123=+-x x ”的否定是 A ．∈∃x R ，0123≠+-x x B ．不存在∈x R ，0123≠+-x x C ．∈∀x R, 0123=+-x xD ．∈∀x R, 0123≠+-x x2.关于命题p ：A φφ=，命题q ：A A φ=，则下列说法正确的是 A ．()p q ⌝∨为假B ．()()p q ⌝∧⌝为真C ．()()p q ⌝∨⌝为假D ．()p q ⌝∧为真3.已知tan()34πα+=，则αtan 的值为A ．21 B ．21- C ．41D ．41-4．已知函数2,()1,x f x x ⎧=⎨+⎩ 2002≤<≤≤-x x ，则dx x f )(22⎰-的值为 A ．34B ． 4C ． 6D ．320 5. 已知某个几何体的三视图如下，根据图中标出的尺寸（单位：cm ），可得这个几何体的A ．7B ．6C ．5D ．88.已知a 、b 、c 为三条不重合的直线，下面有三个结论：①若c a b a ⊥⊥,则b ∥c ； ②若c a b a ⊥⊥,则b ⊥c ；③若a ∥,b b ⊥c 则c a ⊥. 其中正确的个数为 A ．0个B ．1个C ． 2个D ． 3个9.已知函数()cos()f x A x ωϕ=+(0,0,0)A ωϕπ>><<为奇函数，该函数的部分图象如图所示，EFG ∆是边长为2的等边三角形，则(1)f 的值为A ．32-B ．62-C 3D ．3-10.以坐标轴为对称轴，原点为顶点，且过圆222690x y x y +-++=圆心的抛物线方程是 A ．23x y =或23x y -=B ．23x y =C ．x y 92-=或23x y =D ．23x y -=或x y 92=11.以双曲线22221x y a b-=(0,0)a b >>的左焦点F 为圆心，作半径为b 的圆F ，则圆F 与双曲线的渐近线 A ．相交B ．相离C ．相切D ．不确定12.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数()f x 的图象恰好通过*(N )n n ∈个整点，则称函数()f x 为n 阶整点函数.有下列函数 ①1()f x x x =+(0)x > ② 3()g x x = ③1()()3x h x = ④()ln x x ϕ=， 其中是一阶整点函数的是 A ．①②③④B ．①③④C ．④D ．①④第Ⅱ卷（非选择题 共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．13.已知长方体从同一顶点出发的三条棱的长分别为1、2、3，则这个长方体的外接球的表面积为 .14.设i j , 是平面直角坐标系（坐标原点为O ）内分别与x 轴、y 轴正方向相同的两个单位向量，且j i OA +-=2，j i OB34+=，则OAB ∆的面积等于 .15.已知点),(n m A 在直线022=-+y x 上，则nm42+的最小值为 .16.设不等式组2030322x y x y ⎧-≤⎪-≤⎨⎪-≤⎩所表示的平面区域为S ，若A 、B 为S 内的两个点，则AB 的最大值为 .三、解答题：本大题共6小题,共74分,解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17. （本小题满分12分）已知函数221y ax ax =++的定义域为R ，解关于x 的不等式220x x a a --+> .18．（本小题满分12分） 已知函数2231()2(cos sin )122f x x x x =---，R x ∈，将函数()f x 向左平移6π个单位后得函数()g x ，设ABC ∆三个角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c . （Ⅰ）若7c =，()0f C =，sin 3sin B A =，求a 、b 的值；（Ⅱ）若0)(=B g 且(cos ,cos )m A B =，(1,sin cos tan )n A A B =-，求m n ⋅的取值范围. 19．（本小题满分12分） 设同时满足条件：①122++≥+n n n b b b ；②n b M ≤(N n *∈，M 是与n 无关的常数)的无穷数列{}n b 叫“嘉文”数列.已知数列{}n a 的前n 项和n S 满足：(1)1n n aS a a =--（a 为常数，且0a ≠，1a ≠）． （Ⅰ）求{}n a 的通项公式； （Ⅱ）设21nn nS b a =+，若数列{}n b 为等比数列，求a 的值，并证明此时⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1为“嘉文”数列.20．（本小题满分12分）已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ，12BA AD DC BC a ====，E 是BC 的中点，将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆，使面1B AE ⊥面AECD ，F为1B D 的中点.（Ⅰ）求四棱1B AECD -的体积； （Ⅱ）证明：1B E ∥面ACF ；（Ⅲ）求面1ADB 与面1ECB 所成二面角的余弦值.22．（本小题满分14分）已知圆1C 的圆心在坐标原点O ,且恰好与直线1:l 220x y --=相切. (Ⅰ) 求圆的标准方程；（Ⅱ）设点0,0()A x y 为圆上任意一点,AN x ⊥轴于N ,若动点Q 满足OQ mOA nON =+,(其中1,,0,m n m n m +=≠为常数),试求动点Q 的轨迹方程2C ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的结论下，当32m =时,得到曲线C ，问是否存在与1l 垂直的一条直线l 与曲线C 交于B 、D 两点,且BOD ∠为钝角，请说明理由.参考答案及评分标准当0a =时，10≥恒成立,满足题意， …………………………………………3分 当0a ≠时，为满足()* 必有0a >且2440a a ∆=-≤，解得01a <≤，综上可知：a 的取值范围是01a ≤≤ ……………………………………………6分 原不等式可化为()()10x a x a --->⎡⎤⎣⎦当102a ≤<时，不等式的解为：x a <，或1x a >-……………………………8分 当12a =时， 不等式的解为：12x ≠ …………………………………………9分当112a <≤ 时，不等式的解为：1x a <-，或x a > …………………………11分 综上，当102a ≤<时，不等式的解集为：{x x a <或1}x a >-当12a =时， 不等式的解集为：1{}2x x ≠当112a <≤时，不等式的解集为：{1x x a <-或}x a >………………………12分 18．（本小题满分12分） 解：（Ⅰ）2231()sin 2(cos sin )122f x x x x =--- 31sin 2cos 21sin(2)1226x x x π=--=--…………………………………………1分 ()sin(2)106f C C π=--=,所以sin(2)16C π-=因为112(,)666C πππ-∈-,所以262C ππ-=所以3C π=…………………3分由余弦定理知：222cos73a b ab π+-=，因sin 3sin B A =,所以由正弦定理知：3b a = ………………………………………………………5分 解得：3,1==b a …………………………………………6分（Ⅱ）()sin(2)16g x x π=+-所以()sin(2)106g B B π=+-=,所以sin(2)16B π+=因为132(,)666B πππ+∈,所以262B ππ+= 即6B π=3(cos ,)2m A =，3(1,sin cos )3n A A =- 于是3313cos (sin cos )cos sin sin()26m n A A A A A A π⋅=+-=+=+…… 8分 5(0,)66B A ππ=∴∈,得 ),6(6πππ∈+A ………………………………10分 ∴ ]1,0()6sin(∈+πA ，即](0,1m n ⋅∈ …………………………………………………12分则有2213b b b =⋅，而13b =，232a b a+=，232322a a b a ++= 故22232322()3a a a a a +++=⋅，解得13a = ………………………………7分 再将13a =代入得3nn b =成等比数列， 所以13a =成立 …………………8分由于①2221111111121133332223n nn nn nnnb bb++++++⋅+=>==…………………10分（或做差更简单：因为0323135121121212>=-=-++++++nnnnnnbbb，所以211112n nnb bb+++≥也成立)②11133nnb=≤，故存在13M≥；所以符合①②,故1nb⎧⎫⎨⎬⎩⎭为“嘉文”数列………………………………………12分20．（本小题满分12分）（Ⅰ）取AE的中点,M连接1B M，因为12BA AD DC BC a====，ABE∆为等边三角形，则132B M a=，又因为面1B AE⊥面AECD，所以1B M⊥面AECD，……2分所以313sin334aV a a aπ=⨯⨯⨯⨯=…………………4分（Ⅱ）连接ED交AC于O，连接OF，因为AECD为菱形，OE OD=，又F为1B D的中点，所以FO∥1B E，所以1B E∥面ACF……………………………………7分（Ⅲ）连接MD，分别以1,,ME MD MB为,,x y z轴则1(,0,0),(,,0),(,0,0),(0,,0),(0,0,)22222a a E C a a A D a B a -11333(,,0),(,0,),(,,0),(,0,)22222222a a a a a aa EC EB AD AB ==-==……9分设面1ECB 的法向量(,,)v x y z '''=，022022a x ay a x az ⎧''+=⎪⎪⎨⎪''-+=⎪⎩，令1x '=，则3(1,u =-设面1ADB 的法向量为(,,)u x y z =，022022a x ay a x az ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩， 令1x =，则3(1,,33v =--…………………………………………………………11分 则1113cos ,5u v +-<>==，所以二面角的余弦值为35……………12分 21．（本小题满分12分）（Ⅰ）∵)0()(223>-+=a x a bx ax x f ，∴)0(23)(22>-+='a a bx ax x f 依题意有13-和1是方程02322=-+a bx ax 的两根∴2233133b a a ⎧-=⎪⎪⎨⎪-=-⎪⎩ 解得11a b =⎧⎨=-⎩，∴()32f x x x x =--．（经检验，适合）……5分（Ⅱ）∵)0(23)(22>-+='aa bx ax x f ,依题意，12,x x 是方程()0f x '=的两个根，∵0321<-=ax x 且12x x +=， ∴()21212x x -=．∴()2222412,3933b ab a a a ⎛⎫-+=∴=- ⎪⎝⎭．．．．．．．．．．．．７分 ∵20b ≥∴09a <≤．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．８分设()()239p a aa =-，则()2549p a a a '=-．由()0p a '>得06a <<，由()0p a '<得6a >．即函数()p a 在区间(]0,6上是增函数，在区间[]6,9上是减函数，．．．．．．．．10分 ∴当6a =时，()p a 有极大值为324，∴()p a 在(]0,9上的最大值是324， ∴b 的最大值为18． ……………………………12分 22．（本小题满分14分）（Ⅲ）32m =时,曲线C 方程为22143x y +=，假设存在直线l 与直线1:l 220x y --=垂直,设直线l 的方程为y x b =-+ ………………………………………………8分设直线l 与椭圆22143x y +=交点1122(,),(,)B x y D x y 联立得:223412y x bx y =-+⎧⎨+=⎩，得22784120x bx b -+-= ………………………9分因为248(7)0b ∆=->，解得27b <，且212128412,77b b x x x x -+==……10分 12121212()()OD OB x x y y x x b x b x ⋅=+=+--212122()x x b x x b =-++222824877b b b -=-+27247b -=………………………………………………12分11用心爱心专心。
山东省青岛市第三高级中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析
山东省青岛市第三高级中学2021-2022学年高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 过原点且倾斜角为的直线被圆所截得的弦长为（）A．B．2 C．D．参考答案：D2. 函数的部分图象如图所示,则的值分别是（）(A) (B)(C) (D)参考答案：A3. 已知命题；命题．则下面结论正确的是A．p q是真命题 B．p q是假命题 C．q是真命题 D．p是假命题参考答案：A【知识点】复合命题的真假对于p：取α=，则cos（π﹣α）=cosα，因此正确；对于命题，正确．由上可得：p q是真命题．故选：A．【思路点拨】p：取α=，则cos（π﹣α）=cosα，即可判断出真假；命题q：利用实数的性质可得q的真假．再利用复合命题真假的判定方法即可得出．4. 已知偶函数满足条件f(x+1)=f(x-1),且当时，f(x)=则A B. C. D. 1参考答案：D5. 已知函数，若，则（）A．0 B．1 C．D．参考答案：D略6. 已知集合，，则（）A． B．C． D．参考答案：A7. 已知集合，，则（）A．[1,+∞) B．(0, +∞) C．(0,1) D．[0,1]参考答案：8. 定义域为的四个函数,,,中,奇函数的个数是( )A . B．C．D．参考答案：C考查基本初等函数和奇函数的概念,是奇函数的为与,故选C．9. 函数与的图象关于（）A．x轴对称 B．y轴对称C．原点对称 D．直线y=x对称参考答案：C略10.A. B. C. D.参考答案：A二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 设函数y=f（x）的定义域为D，若对于任意的x1，x2∈D，当x1+x2=2a时，恒有f（x1）+f（x2）=2b，则称点（a，b）为函数y=f（x）的对称中心．研究函数f（x）=x+sinπx﹣3的某个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可求得f（）+f（））+…+f（）+f（）的值为．参考答案：﹣8058【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由已知得f （x）=x+sinπx﹣3的一个对称中心为（1，﹣2），由此能求出f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）的值．【解答】解：在f（x）=x+sinπx﹣3中，若x1+x2=2，则f（x1）+f（x2）=（x1+x2）+sin（x1π）+sin（x2π）﹣6=2+sin（x1π）+sin（2π﹣x1π）﹣6=﹣4，∴f（x）=x+sinπx﹣3的一个对称中心为（1，﹣2），∴f（）+f（）+f（）+…+f（）+f（）=2014×（﹣4）+f（）=﹣8056+（1+sinπ﹣3）=﹣8058．故答案为：﹣8058．【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意正弦函数的性质的合理运用．12. 已知tanα=2，则= ．参考答案：【考点】同角三角函数基本关系的运用．【分析】利用同角三角函数的基本关系，求得要求式子的值．【解答】解：∵tanα=2，则==，故答案为：．13. 如图所示，已知抛物线拱形的底边弦长为，拱高为，其面积为____________.参考答案：试题分析：建立如图所示的坐标系：所以设抛物线的方程为所以函数与轴围成的部分的面积为，所以阴影部分的面积为.考点：定积分的应用.14. 给定区域:,令点集是在上取得最大值或最小值的点,则中的点共确定______条不同的直线.参考答案：画出可行域如图所示,其中取得最小值时的整点为,取得最大值时的整点为,,,及共个整点.故可确定条不同的直线.15. 已知函数f （x ）=，若f （1）=f （﹣1），则实数a的值等于．参考答案：2【考点】函数的值．【专题】函数的性质及应用．【分析】由分段函数，求出f （1），f （﹣1），解方程即可．【解答】解：f （x ）=，∴f（1）=a ，f （﹣1）=2；∵f（1）=f （﹣1）， ∴a=2 故答案为：2，【点评】本题分段函数及运用，考查分段函数值应注意各段的自变量的取值范围，属于基础题．16. 在中，角所对的边分别为，若，，则角的值为 .参考答案：略17. 我校计划招聘男教师名,女教师名, 和须满足约束条件则我校招聘的教师人数最多是 名.参考答案：略三、 解答题：本大题共5小题，共72分。
2024届山东青岛市高三数学第一学期期末经典模拟试题含解析
2024届山东青岛市高三数学第一学期期末经典模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。
回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．某几何体的三视图如图所示，其中正视图是边长为4的正三角形，俯视图是由边长为4的正三角形和一个半圆构成，则该几何体的体积为（ ）A ．4383π+B ．2383π+C ．4343π+D ．8343π+ 2．已知数列{}n a 满足12n n a a +-=，且134,,a a a 成等比数列.若{}n a 的前n 项和为n S ，则n S 的最小值为（ ） A ．–10 B ．14- C ．–18 D ．–203．中国古建筑借助榫卯将木构件连接起来，构件的凸出部分叫榫头，凹进部分叫卯眼，图中木构件右边的小长方体是榫头．若如图摆放的木构件与某一带卯眼的木构件咬合成长方体，则咬合时带卯眼的木构件的俯视图可以是A ．B ．C ．D ．4．设实数满足条件则的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．我国古代有着辉煌的数学研究成果，其中的《周髀算经》、《九章算术》、《海岛算经》、《孙子算经》、《缉古算经》，有丰富多彩的内容，是了解我国古代数学的重要文献．这5部专著中有3部产生于汉、魏、晋、南北朝时期．某中学拟从这5部专著中选择2部作为“数学文化”校本课程学习内容，则所选2部专著中至少有一部是汉、魏、晋、南北朝时期专著的概率为（ ）A ．35B ．710C ．45D ．9106．洛书，古称龟书，是阴阳五行术数之源，在古代传说中有神龟出于洛水，其甲壳上心有此图象，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数．如图，若从四个阴数和五个阳数中分别随机选取1个数，则其和等于11的概率是（ ）．A ．15B ．25C ．310 D ．147．已知当m ，[1n ∈-，1)时，33sin sin 22m n n m ππ-<-，则以下判断正确的是( ) A ．m n > B ．||||m n < C ．m n <D ．m 与n 的大小关系不确定 8．i 是虚数单位，21i z i=-则||z =（ ） A ．1B ．2C 2D ．229．已知复数,z a i a R =+∈，若||2z =，则a 的值为（ ）A ．1B 3C ．±1D ．310．点O 在ABC ∆所在的平面内，OA OB OC ==，2AB =，1AC =，AO AB AC λμ=+(),R λμ∈，且()420λμμ-=≠，则BC =（ ）A ．73B ．72C ．7D 711．一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体的表面积是 （ ）A．16216π+B ．1628π+ C．8216π+ D．828π+12．已知函数21,0()2ln(1),0x x xf xx x⎧-+<⎪=⎨⎪+≥⎩，若函数()()g x f x kx=-有三个零点，则实数k的取值范围是（）A．112⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B．112⎛⎫⎪⎝⎭，C．(0,1)D．12⎛⎫+∞⎪⎝⎭，二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省青岛市中心中学高三数学理上学期期末试卷含解析
山东省青岛市中心中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 函数的解集为A． B． C．D．参考答案：A2. 等比数列中，已知，则前5项和A. B. C. D.参考答案：A略3. 某种产品的广告费支出x与销售额y之间有如下对应数据（单位：百万元），根据下表求出y关于x的线性回归方程为，则表中a的值为（）参考答案：B【详解】根据规律知道回归直线一定过样本中心，故得到，得到的值为54. 故答案为B.4. （5分）抛物线y2=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°．过弦AB的中点M作抛物线准线的垂线MN，垂足为N，则的最小值为（）A． B． C． 1 D．参考答案：D【考点】：抛物线的简单性质．【专题】：圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】：先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|2=（a+b）2﹣ab，再根据基本不等式，求得|AB|2的取值范围，代入化简即可得到答案．解：如右图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|在梯形ABPQ 中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．由余弦定理得，|AB|2=a 2+b 2﹣2abcos120°=a 2+b 2+ab ，配方得|AB|2=（a+b）2﹣ab，因为ab≤，则（a+b）2﹣ab≥（a+b）2﹣=（a+b）2，即|AB|2≥（a+b）2，所以≥=3，则，即所求的最小值是，故选：D．【点评】：本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题．5. 已知向量、满足：||=2，||=1，（﹣）?=0，那么向量、的夹角为（）A．30° B．45° C．60° D．90°参考答案：C【考点】数量积表示两个向量的夹角；平面向量数量积的运算．【分析】设向量、的夹角为θ，由数量积的定义代入已知可得关于cosθ的方程，解之可得．【解答】解：设向量、的夹角为θ，θ∈[0，π]则由题意可得（﹣）?=﹣=2×1×cosθ﹣12=0，解之可得cosθ=，故θ=60°故选C【点评】本题考查平面向量数量积的运算，涉及向量的夹角，属中档题．6. 如图是一个容量为200的样本频率分布直方图，则样本数据落在范围的频数为（A）81 （B）36 （C）24 （D）12参考答案：C7. 设，是z的共轭复数，则（）A. －1B. iC. 1D. 4参考答案：C【分析】利用两个复数代数形式的乘除法，虚数单位的幂运算性质，求得的值，可得，从而求得的值．【详解】，则，故，故选C.【点睛】本题主要考查复数基本概念，两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．8. 给出下列关于互不相同的直线和平面的四个命题：①若点，则与不共面；②若是异面直线，，且，则；③若，则；④若，则.参考答案：D 略9. 若实数满足不等式组 则的最大值是A ．11B ．23C ．26D ．30 参考答案： D做出可行域如图，设，即，平移直线，由图象可知当直线经过点D 时，直线的截距最大，此时最大。
2023-2024学年山东省青岛市高三(上)期末数学试卷【答案版】
2023-2024学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝（﹣1，3），B ＝{x |x +a ≥0}，若A ∪B ＝{x |x ＞﹣1}，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣3，1]B ．（﹣3，1]C ．[﹣3，1）D ．（﹣3，1）2．复数z ＝a +i （a ∈R ，i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，若(z +1)(z +1)=1，则a ＝（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．23．在四边形ABCD 中，四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（﹣2，0），（﹣1，3），（3，4），（2，3），E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则EF →⋅AB →=（ ） A ．10B ．12C ．14D ．164．2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．而今“一带一路”已成为当今世界最受欢迎的国际公共产品和最大规模的国际合作平台．树人中学历史学科组近期开展了“回望丝路”系列主题活动，组织“一带一路”知识竞赛，并对学生成绩进行了汇总整理，形成以下直方图．该校学生“一带一路”知识竞赛成绩的第60百分位数大约为（ ）A ．72B ．76C ．78D ．855．已知等差数列{a n }各项均为正整数，a 11＝a 1+a 2+a 3，a 2＜10，则其公差d 为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．46．已知点F 是抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，过点(2√2，0)的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，若2|AF |+|BF |的最小值为14，则E 的准线方程为（ ） A ．y ＝﹣4B ．y ＝﹣2C ．x ＝﹣4D ．x ＝﹣27．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，E ，F 是线段AC 1上的点，且AE ＝EF ＝FC 1，分别过点E ，F 作与直线AC 1垂直的平面α，β，则正方体夹在平面α与β之间的部分占整个正方体体积的（ ） A ．13B ．12C ．23D ．348．已知O 为坐标原点，双曲线E ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点依次为F 1，F 2，过点F 1的直线与E 在第一象限交于点P ，若|PF 1|＝2|PF 2|，|OP |=√7a ，则E 的渐近线方程为（ ） A ．y =±√2xB ．y =±√3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．一个密闭的容器中装有2个红球和4个白球，所有小球除颜色外均相同．现从容器中不放回地抽取两个小球．记事件A ：“至少有1个红球”，事件B ：“至少有1个白球”，事件C ＝A ∩B ，则（ ） A ．事件A ，B 不互斥 B ．事件A ，B 相互独立C ．P （A |B ）＝P （B |A ）D ．P （C |A ）+P （C |B ）＞2P （C ）10．已知函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）的图象关于点(4π9，0)对称，在(π9，5π9)上单调递减，f(2π3)=f(8π9)．将y ＝f （x ）的图象向右平移2π9个单位得到函数g （x ）的图象，则（ ） A ．ω=32B ．φ=π3+kπ，k ∈ZC ．f(2023π)+f(2024π)=1+√32D ．g （x ）为偶函数11．若实数a ，b ＞0，且ab ＝a +b +8，则（ ） A ．a +b ≤8B ．ab ≥16C ．a +3b ≥4+6√3D ．1a−1+4b−1≥4312．将函数y ＝f （x ）的图象绕原点逆时针旋转π4后得到的曲线依然可以看作一个函数的图象、以下函数中符合上述条件的有（ ） A ．y ＝sin xB ．y ＝sin2xC ．y ＝x ﹣lnxD ．y ＝xe x三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(1+2xy)(x −y)6的展开式中含x 4y 2项的系数是 ．（结果用数字表示） 14．正八面体各个面分别标以数字1到8．抛掷一次该正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}．已知事件A ＝{1，2，3，4}，B ＝{1，2，3，6}，C ＝{1，a ，b ，c }，若P （ABC ）＝P （A ）P （B ）P （C ）但A ，B 与C 均不独立，则事件C ＝ ．15．已知动点P ，Q 分别在圆M ：（x ﹣lnm ）2+（y ﹣m ）2=14和曲线y ＝lnx 上，则|PQ |的最小值为 ．16．若函数f （x ）＝e x +a |x 2﹣1|在（0，+∞）上单调递增，则a 的取值范围是 ． 四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）记△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ．（1）证明：若C＝2A，则a＝b﹣2a cos C；（2）探究：是否存在一个△ABC，其三边为三个连续的自然数，且最大角是最小角的两倍？如果存在，试求出最大边的长度；如果不存在，说明理由．18．（12分）已知函数f(x)=ae xx−x+lnx(a∈R)．（1）当a＝0时，求f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，证明：f（x）≥e﹣1．19．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥AC，SA＝4，AB＝2，AC＝2√3，D，E分别为BC，SC的中点，点M，N都在棱SA上，AM＝1，且满足DM∥平面BEN．（1）求AN的长；（2）求平面BEN与平面DEM夹角的余弦值．20．（12分）为培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某学校每月都会开展学农实践活动．已知学农基地前10个月的利润数据如下表，月份用x表示，t＝sin x，利润用y（单位：万元）表示，已知y与x的经验回归方程为y=bsinx+a．（1）求a，b的值（结果精确到1）；（2）某班班主任和农学指导教师分别独立从该班5名班级干部名单中各随机选择2人作为组长，设被选出的组长构成集合M，集合M中元素的个数记为随机变量X．（i）求X的分布列及数学期望；（ii）规定：进行多轮选择，每轮出现X＝3记为A，出现X≠3记为B，先出现AB为甲胜，先出现AA 为乙胜．记P1表示“第一轮为A且最终甲胜的概率”，P2表示“第一轮为B且最终甲胜的概率”，求P1，P2及甲胜的概率．参考数据：∑10i=1t i y i≈14.23，t≈0.14，y=3.28，∑10i=1(t i−t)2≈4.80．参考公式：对于一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）．其回归直线y=b x+a的斜率和截距的最小二乘估计公式为：b=∑(x i−x)ni=1(y i−y)∑n i=1(x i−x)2=∑ni=1x i y i−nx⋅y∑n i=1x i2−nx2，a=y−b x．21．（12分）已知O为坐标原点，点P在椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上，C1的左、右焦点F1，F2恰为双曲线C2：x2−4y23=1的左、右顶点，C1的离心率e=12．（1）求C1的标准方程；（2）若直线l与C1相交于A，B两点，AB中点W在曲线C3：(x2+4y23)2=x2−4y23上．探究直线AB与双曲线C2的位置关系．22．（12分）在各项均为正数的数列{a n}中，a1＝2，a2＝16，a n+1a n﹣1＝4a n2（n＞1）．（1）证明数列{a n+1a n}为等比数列，并求数列{a n}的通项公式；（2）若b n=2+(2√log2a n+1)⋅lnnn+1，记数列{b n}的前n项和为S n．（i）求S n；（ii）证明：S n＞−1 2．2023-2024学年山东省青岛市高三（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题.每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A ＝（﹣1，3），B ＝{x |x +a ≥0}，若A ∪B ＝{x |x ＞﹣1}，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[﹣3，1]B ．（﹣3，1]C ．[﹣3，1）D ．（﹣3，1）解：集合A ＝（﹣1，3），B ＝{x |x +a ≥0}＝{x |x ≥﹣a }，∴A ∪B ＝{x |x ＞﹣1}，∴﹣1＜﹣a ≤3，解得﹣3≤a ＜1，∴实数a 的取值范围是[﹣3，1）． 故选：C ．2．复数z ＝a +i （a ∈R ，i 为虚数单位），z 是z 的共轭复数，若(z +1)(z +1)=1，则a ＝（ ） A ．﹣2B ．﹣1C ．1D ．2解：由题意，（a +1+i ）（a +1﹣i ）＝（a +1）2﹣i 2＝（a +1）2+1＝1，解得a ＝﹣1． 故选：B ．3．在四边形ABCD 中，四个顶点A ，B ，C ，D 的坐标分别是（﹣2，0），（﹣1，3），（3，4），（2，3），E ，F 分别为AB ，CD 的中点，则EF →⋅AB →=（ ） A ．10B ．12C ．14D ．16解：由题意可得E(−32，32)，F(52，72)，所以EF →=(4，2)，AB →=(1，3)，所以EF →⋅AB →=4×1+2×3=10． 故选：A ．4．2023年是共建“一带一路”倡议提出十周年．而今“一带一路”已成为当今世界最受欢迎的国际公共产品和最大规模的国际合作平台．树人中学历史学科组近期开展了“回望丝路”系列主题活动，组织“一带一路”知识竞赛，并对学生成绩进行了汇总整理，形成以下直方图．该校学生“一带一路”知识竞赛成绩的第60百分位数大约为（ ）A ．72B ．76C ．78D ．85解：由频率分布直方图可得，[50，60）组的频率为1﹣（0.027+0.025+0.016+0.014）×10＝0.18， 因为0.18+0.27＝0.45＜0.6，0.18+0.27+0.25＝0.7＞0.6， 所以第60百分位数落在[70，80）组内，设其为m ，则0.45+（m ﹣70）×0.025＝0.6，解得m ＝76，即第60百分位数大约为76． 故选：B ．5．已知等差数列{a n }各项均为正整数，a 11＝a 1+a 2+a 3，a 2＜10，则其公差d 为（ ） A ．0B ．1C ．2D ．4解：等差数列{a n }中，a 11＝a 1+a 2+a 3＝a 1+10d ， ∴a 2+a 3＝10d ＝2a 1+3d ，∴2a 1＝7d ，∴a 1=72d ，数列{a n }各项均为正整数，则d 为正整数， a 2＝a 1+d =72d +d =92d ＜10，∴0＜d ＜209，则d ＝1或2，当d ＝1时，由a 1=72d ，a 1不为正整数，舍去，则d ＝2．故选：C ．6．已知点F 是抛物线E ：y 2＝2px （p ＞0）的焦点，过点(2√2，0)的直线l 与曲线E 交于点A ，B ，若2|AF |+|BF |的最小值为14，则E 的准线方程为（ ） A ．y ＝﹣4B ．y ＝﹣2C ．x ＝﹣4D ．x ＝﹣2解：设过点(2√2，0)的直线l 的方程为y ＝k （x −2√2）， 联立{y =k(x −2√2)y 2=2px，可得k 2x 2−(4√2k 2+2p)x +8k 2=0， 设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），则x 1x 2＝8，且x 1＞0，∴2|AF |+|BF |＝2（p 2+x 1）+（p 2+x 2）=3p 2+2x 1+x 2=3p 2+2x 1+8x 1≥3p 2+2√2x 1⋅8x 1=3p 2+8，当且仅当2x 1=8x 1，又x 1＞0，即x 1＝2时，等号成立， ∴2|AF |+|BF |的最小值为3p 2+8=14，∴p ＝4，∴抛物线E 的准线方程为x =−p2=−2．故选：D ．7．已知正方体ABCD ﹣A 1B 1C 1D 1，E ，F 是线段AC 1上的点，且AE ＝EF ＝FC 1，分别过点E ，F 作与直线AC 1垂直的平面α，β，则正方体夹在平面α与β之间的部分占整个正方体体积的（ ） A ．13B ．12C ．23D ．34解：构造平面A 1BD ，平面CB 1D 1，则AC 1⊥平面A 1BD ，AC 1⊥平面CB 1D 1， 设正方体棱长为1，则A 1B ＝A 1D ＝BD =√2，AC 1=√3，∴AE ＝EF ＝FC 1=√33，∴VA 1−ABD=VC−B 1C 1D 1=13×12×1=16， 设A 到平面A 1BD 的距离为h ，则V A−AB 1D 1=13⋅√34⋅(√2)2•h =16，解得h =√33， ∴E ∈平面A 1BD ，同理可得F ∈平面CB 1D 1．∴正方体夹在平面α与β之间的部分体积为1−16×2=23．故体积比为23．故选：C ．8．已知O 为坐标原点，双曲线E ：x 2a 2−y 2b 2=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点依次为F 1，F 2，过点F 1的直线与E 在第一象限交于点P ，若|PF 1|＝2|PF 2|，|OP |=√7a ，则E 的渐近线方程为（ ） A ．y =±√2xB ．y =±√3xC ．y ＝±xD ．y ＝±2x解：O 为坐标原点，双曲线E ：x 2a 2−y 2b2=1（a ＞0，b ＞0）的左，右焦点依次为F 1，F 2，过点F 1的直线与E 在第一象限交于点P ，且|PF 1|＝2|PF 2|，|OP |=√7a ，又|PF 1|﹣|PF 2|＝2a ，可得|PF 1|＝4a ，|PF 2|＝2a ， 又∠F 1OP +∠POF 2＝180°，可得cos∠F1OP+cos∠POF2＝0，即2√7a)222c⋅√7a+2√7a)222c⋅√7a=0，可得：c2＝3a2，又c2＝a2+b2，可得b2＝2a2．故E的渐近线方程为：y＝±bax＝±√2x．故选：A．二、多项选择题：本大题共4小题．每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分．9．一个密闭的容器中装有2个红球和4个白球，所有小球除颜色外均相同．现从容器中不放回地抽取两个小球．记事件A：“至少有1个红球”，事件B：“至少有1个白球”，事件C＝A∩B，则（）A．事件A，B不互斥B．事件A，B相互独立C．P（A|B）＝P（B|A）D．P（C|A）+P（C|B）＞2P（C）解：根据题意，事件A：“至少有1个红球”，事件B：“至少有1个白球”，事件C＝A∩B，则事件C为“一个红球和一个白球”，P（A）=C42+C41C21C62=1415，P（B）=C22+C41C21C62=915，P（C）=C21C41C62=815，依次分析选项：对于A，事件C：“一个红球和一个白球”，事件A、B可能同时发生，故事件A、B不是互斥事件，A正确；对于B，P（A）=1415，P（B）=915，P（AB）＝P（C）=815，由于P（A）P（B）≠P（AB），事件A，B不相互独立，B错误；对于C，P（B|A）=P(AB)P(A)=814，P（A|B）=P(AB)P(B)=89，C错误；对于D，P（C|A）=P(AC)P(A)=P(C)P(A)＞P（C），同理：P（C|B）＞P（C），故有P（C|A）+P（C|B）＞2P（C），D正确．故选：AD．10．已知函数f（x）＝sin（ωx+φ）（ω＞0）的图象关于点(4π9，0)对称，在(π9，5π9)上单调递减，f(2π3)=f(8π9)．将y＝f（x）的图象向右平移2π9个单位得到函数g（x）的图象，则（）A．ω=32B．φ=π3+kπ，k∈ZC．f(2023π)+f(2024π)=1+√32D．g（x）为偶函数解：函数f （x ）＝sin （ωx +φ）（ω＞0）， f(2π3)=f(8π9)，则f （x ）的图象关于x =12×(2π3+8π9)=7π9， 又f （x ）图象关于点(4π9，0)对称，在(π9，5π9)上单调递减， 则T ＝2×（7π9−π9）=4π3=2πω，∴ω=32，A 正确；x =7π9时，函数取得最小值，则32×7π9+φ＝2k π+3π2，k ∈Z ，φ＝2k π+π3，k ∈Z ，B 错误； f （x ）＝sin （32x +π3），f （2023π）+f （2024π）＝sin （32×2023π+π3）+sin （32×2024π+π3）＝sin （π2+π3）+sin π3=1+√32，C 正确；D 项，将y ＝f （x ）的图象向右平移2π9个单位得到函数g （x ）的图象，则g(x)=sin[32(x −2π9)+π3]=sin 32x ，g （﹣x ）＝﹣g （x ），则g （x ）为奇函数，D 错误．故选：AC ．11．若实数a ，b ＞0，且ab ＝a +b +8，则（ ） A ．a +b ≤8B ．ab ≥16C ．a +3b ≥4+6√3D ．1a−1+4b−1≥43解：若实数a ，b ＞0，且ab ＝a +b +8≤（a+b 2）2，当且仅当a ＝b ＝4时取等号，所以a +b ≥8，A 错误；若实数a ，b ＞0，且ab ＝a +b +8≥2√ab +8，当且仅当a ＝b ＝4时取等号，所以ab ≥16，B 正确； 由ab ＝a +b +8可得（a ﹣1）（b ﹣1）＝9，所以a +3b ＝（a ﹣1）+3（b ﹣1）+4≥2√3(a −1)(b −1)+4＝6√3+4， 当且仅当a ﹣1＝3（b ﹣1），即b ＝1+√3，a ＝1+3√3时取等号，C 正确； 1a−1+4b−1≥2√4(a−1)(b−1)=2√49=43，当且仅当b ＝1＝4（a ﹣1），即a =52，b ＝7时取等号，D 正确． 故选：BCD ．12．将函数y ＝f （x ）的图象绕原点逆时针旋转π4后得到的曲线依然可以看作一个函数的图象、以下函数中符合上述条件的有（ ） A ．y ＝sin xB ．y ＝sin2xC ．y ＝x ﹣lnxD ．y ＝xe x解：若将函数y ＝f （x ）的图象绕原点逆时针旋转π4后得到函数仍是一个函数，则函数y ＝f （x ）的图象与任一斜率为1的直线y ＝x +b 均不能有两个或两个以上的交点． 对于选项A ，设h （x ）＝sin x ﹣x ﹣b ，则h '（x ）＝cos x ﹣1≤0，所以函数h （x ）为R 上的单调递减函数，即方程sin x ﹣x ﹣b ＝0只有一解， 所以y ＝sin x 与y ＝x +b 只有一个交点，符合题意，故A 正确；对于选项B ，设g （x ）＝sin2x ﹣x ，则g （0）＝0，g （π4）＝1−π4，g （π2）＝0−π2＜0，所以由零点的存在性定理可得：g （x ）在（π4，π2）上存在零点，即方程sin2x ﹣x ＝0不只有一解，所以y ＝sin2x 与y ＝x 有多个交点，不符合题意，故B 不正确；对于选项C ，设F （x ）＝x ﹣lnx ﹣x ﹣b ＝﹣lnx ﹣b ， 则函数F （x ）在（0，+∞）上单调递减，且F （e ﹣b ）＝0， 所以y ＝x ﹣lnx 与y ＝x +b 只有一个交点，符合题意，故C 正确； 对于选项D ，设G （x ）＝xe x ﹣x ﹣1，则G （﹣2）＝﹣2e ﹣2+1＞0，G （0）＝﹣1＜0，G （2）＝2e 2﹣3＞0，所以由零点的存在性定理可得：G （x ）在（﹣2，0）和（0，2）上各有零点，所以y ＝xe x 与y ＝x +1有多个交点，不符合题意，故D 不正确． 故选：AC ．三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．(1+2xy)(x −y)6的展开式中含x 4y 2项的系数是 ﹣25 ．（结果用数字表示） 解：∵(1+2x y )(x −y)6=（1+2x y）[C 60x 6+C 61•x 5•（﹣y ）+⋯+C 65•x •（﹣y ）5+C 66•（﹣y ）6]， ∴展开式中含x 4y 2项的系数是C 62•（﹣1）2+2•C 63•（﹣1）3＝15﹣40＝﹣25，故答案为：﹣25．14．正八面体各个面分别标以数字1到8．抛掷一次该正八面体，观察它与地面接触的面上的数字，得到样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}．已知事件A ＝{1，2，3，4}，B ＝{1，2，3，6}，C ＝{1，a ，b ，c }，若P （ABC ）＝P （A ）P （B ）P （C ）但A ，B 与C 均不独立，则事件C ＝ {1，5，7，8} ． 解：根据题意，样本空间为Ω＝{1，2，3，4，5，6，7，8}， 事件A ＝{1，2，3，4}，B ＝{1，2，3，6}，C ＝{1，a ，b ，c }， 则P （A ）＝P （B ）＝P （C ）=48=12， 又由P （ABC ）＝P （A ）P （B ）P （C ），则P （ABC ）=18，故事件ABC 中只有1个元素，而事件A ＝{1，2，3，4}，B ＝{1，2，3，6}， 故C ＝{1，5，7，8}． 故答案为：{1，5，7，8}．15．已知动点P ，Q 分别在圆M ：（x ﹣lnm ）2+（y ﹣m ）2=14和曲线y ＝lnx 上，则|PQ |的最小值为 √2−12 ．解：因为圆M ：（x ﹣lnm ）2+（y ﹣m ）2=14，设M （x ，y ），则{x =lnmy =m，所以y ＝e x ，即圆心M 在曲线y ＝e x 上运动，易知，函数y ＝e x 与函数的图象y ＝lnx 关于直线y ＝x 对称，而曲线f （x ）与直线y ＝x +1相切于点A （0，1），曲线 （x ）与直线y ＝x ﹣1相切于点B （1，0）， 所以|PM |的最小值为 |AB|=√2，即|PQ |的最小值为|PM |−12=√2−12．故答案为：√2−12．16．若函数f （x ）＝e x +a |x 2﹣1|在（0，+∞）上单调递增，则a 的取值范围是 [−e 2，e2] ．解：∵f （x ）＝e x+a |x 2﹣1|（x ＞0）={e x +a(1−x 2)，0＜x ＜1e x +a(x 2−1)，x ≥1在（0，+∞）上单调递增，f ′(x)={e x −2ax ，0＜x ＜1e x +2ax ，x ≥1，∴e x ﹣2ax ≥0对∀0＜x ＜1成立，且e x +2ax ≥0对∀x ≥1成立， 即a ≤e x 2x 对∀0＜x ＜1成立，且a ≥−e x2x对∀x ≥1成立， 令g(x)=e x 2x (0＜x ＜1)，ℎ(x)=−e x2x(x ≥1)， 则g ′(x)=e x (x−1)2x 2＜0，ℎ′(x)=e x (1−x)2x 2≤0，∴g（x）是减函数，h（x）是减函数，∴a≤g（1）且a≥h（1）⇒−e2≤a≤e2，∴a的取值范围是[−e2，e2]．故答案为：[−e2，e2]．四、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）记△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．（1）证明：若C＝2A，则a＝b﹣2a cos C；（2）探究：是否存在一个△ABC，其三边为三个连续的自然数，且最大角是最小角的两倍？如果存在，试求出最大边的长度；如果不存在，说明理由．解：（1）证明：若C＝2A，则b﹣2a cos C＝sin B﹣2sin A cos C＝sin（A+C）﹣2sin A cos C＝sin A cos C+cos A sin C﹣2sin A cos C＝sin C cos A﹣cos C sin A＝sin（C﹣A）＝sin A，由正弦定理得：a＝b﹣2a cos C．（2）假设存在△ABC，其三边为三个连续的自然数a﹣1，a，a+1（a＞1），设所对的角分别为A，B，C，则若最大角是最小角的两倍，即C＝2A，由（1）可得，a﹣1＝a﹣2（a﹣1）cos C，即2（a﹣1）cos C＝1，由余弦定理知cosC=(a−l)2+a2−(a+l)22a(a−l)，代入上式得a2＝5a，即a（a﹣5）＝0，解得a＝5或a＝0（舍），所以最大边长为a+1＝6，即存在一个△ABC，其三边为三个连续的自然数，最大边长为6．18．（12分）已知函数f(x)=ae xx−x+lnx(a∈R)．（1）当a＝0时，求f（x）的单调区间；（2）当a＝1时，证明：f（x）≥e﹣1．解：（1）当a＝0时，f（x）＝lnx﹣x，则f′(x)=1x−1=1−xx(x＞0)，由f'（x）＞0，得0＜x＜1；由f'（x）＜0，得x＞1，所以f（x）在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减，（2）证明：方法一：当a＝1时，f(x)=e xx−x+lnx=e xx−lne xx，令ℎ(x)=e xx(x＞0)，可知ℎ′(x)=(x−1)exx，则h（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，因此ℎ(x)=e xx≥ℎ(1)=e（当且仅当x＝1时取得等号）．令k（x）＝x﹣lnx（x2e），则由（1）知，k（x）在[e，+∞）单调递增，因此k（x）≥e﹣1，所以f(x)=k(e xx)≥e−1．方法二：当a＝1时，f(x)=e xx−x+lnx，则f′(x)=(ex−x)(x−1)x2(x＞0)，由（1）可知，lnx≤x﹣1＜x，即x＜e x，所以f（x）在（0，1）单调递减，在（1，+∞）单调递增，因此f（x）≥f（1）＝e﹣1（当且仅当x＝1时取得等号）．19．（12分）如图，在三棱锥S﹣ABC中，SA⊥底面ABC，AB⊥AC，SA＝4，AB＝2，AC＝2√3，D，E分别为BC，SC的中点，点M，N都在棱SA上，AM＝1，且满足DM∥平面BEN．（1）求AN的长；（2）求平面BEN与平面DEM夹角的余弦值．解：（1）如图，连接SD，交BE于点G，连接NG，则平面SMD∩平面BEN＝NG，因为DM∥平面BEN，DM⊂平面SMD，所以DM∥NG，因为D，E分别为BC，SC的中点，所以点G为△SBC的重心，所以SG＝2GD，所以SN＝2NM，由题意知AM=14SA，则N是SA的中点，AN=12SA=2．（2）由题意知SA⊥底面ABC，AB⊥AC，所以AB ，AC ，AS 两两垂直，以点A 为坐标原点，AB ，AC ，AS 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立空间直角坐标系如图，则A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2√3，0)，S(0，0，4)，D(1，√3，0)， E(0，√3，2)，N(0，0，2)，M(0，0，1)，所以BE →=(−2，√3，2)，BN →=(−2，0，2)，DE →=(−1，0，2)，DM →=(−1，−√3，1)， 设平面BEN 的法向量为m →=(x 1，y 1，z 1)，则{m →⋅BE →=0m →⋅BN →=0，即{−2x 1+√3y 1+2z 1=0−2x 1+2z 1=0，令x 1＝1，则y 1＝0，z 1＝1， 所以平面BEN 的一个法向量为m →=(1，0，1)， 设平面DEM 的法向量为n →=(x 2，y 2，z 2)，则{n →⋅DE →=0n →⋅DM →=0，即{−x 2+2z 2=0−x 2−√3y 2+z 2=0，令x 2＝2，则y 2=−√33，z 2=1， 所以平面DEM 的一个法向量为n →=(2，−√33，1)，故cos〈m →，n →〉=m →⋅n →|m →||n →|=√163=3√68，由图象可知平面BEN 与平面DEM 夹角为锐角， 所以平面BEN 与平面DEM 夹角的余弦值为3√68． 20．（12分）为培养德智体美劳全面发展的社会主义接班人，某学校每月都会开展学农实践活动．已知学农基地前10个月的利润数据如下表，月份用x 表示，t ＝sin x ，利润用y （单位：万元）表示，已知y 与x 的经验回归方程为y =bsinx +a ．（1）求a ，b 的值（结果精确到1）；（2）某班班主任和农学指导教师分别独立从该班5名班级干部名单中各随机选择2人作为组长，设被选出的组长构成集合M ，集合M 中元素的个数记为随机变量X ． （i ）求X 的分布列及数学期望；（ii ）规定：进行多轮选择，每轮出现X ＝3记为A ，出现X ≠3记为B ，先出现AB 为甲胜，先出现AA 为乙胜．记P 1表示“第一轮为A 且最终甲胜的概率”，P 2表示“第一轮为B 且最终甲胜的概率”，求P 1，P 2及甲胜的概率．参考数据：∑ 10i=1t i y i ≈14.23，t ≈0.14，y =3.28，∑ 10i=1(t i −t)2≈4.80．参考公式：对于一组数据（x 1，y 1），（x 2，y 2），…，（x n ，y n ）．其回归直线y =b x +a 的斜率和截距的最小二乘估计公式为：b =∑(x i−x)ni=1(y i −y)∑ n i=1(x i −x)2=∑ n i=1x i y i −nx⋅y ∑ ni=1x i 2−nx2，a =y −b x ．解：（1）月份用x 表示，t ＝sin x ，利润用y （单位：万元）表示， 已知y 与x 的经验回归方程为y =bsinx +a ，由已知公式得∑ 10i=1t i y i −10ty ≈14.23−10×0.14×3.28≈9.6，所以b =9.64.8=2.0，a =y −b t =3.28−2.0×0.14=3，故a =3，b =2；（2）（i ）由题意知，X 的可能取值为2，3，4，P(X =2)=C 52C 52C 52=110，P(X =3)=C 53C 31C 21C 52C 52=610=35，P(X =4)=C 54C 42C 52C 52=310， 其分布列为：E(X)=2×110+3×35+4×310=165；（ii）当第一轮为A时，若第二轮为B，则甲胜，若第二轮为A，则乙胜，所以P1=35×25=625；当第一轮为B时，若第二轮为A，则最终甲胜的概率为25P1，若第二轮为B，则最终甲胜的概率为25P2，所以P2=25P1+25P2=625+25P2，则P2=425；由全概率公式知：甲胜的概率P=P1+P2=2 5．21．（12分）已知O为坐标原点，点P在椭圆C1：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）上，C1的左、右焦点F1，F2恰为双曲线C2：x2−4y23=1的左、右顶点，C1的离心率e=12．（1）求C1的标准方程；（2）若直线l与C1相交于A，B两点，AB中点W在曲线C3：(x2+4y23)2=x2−4y23上．探究直线AB与双曲线C2的位置关系．解：（1）因为椭圆C1的左、右焦点F1，F2恰为双曲线C2：x2−4y23=1的左、右顶点，所以F1（﹣1，0），F2（1，0），此时a2﹣b2＝1，①因为椭圆C1的离心率e=1 2，所以ca=√a2−b2√a2=12，②联立①②，解得a=2，b=√3，则C1的标准方程为x24+y23=1；（2）不妨设A（x1，y1），B（x2，y2），当直线l的斜率存在时，不妨设直线l的方程为y＝kx+m，联立{y=kx+mx24+y23=1，消去y并整理得（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12＝0，由韦达定理得x1+x2=−8km3+4k2，因为W为AB的中点，所以x1+x22=−4km3+4k2，y1+y22=k(x1+x2)+2m2=3m3+4k2，不妨设W（x0，y0），此时x0=−4km3+4k2，y0=3m3+4k2，所以x 02=16k 2m 2(3+4k 2)2，y 02=9m 2(3+4k 2)2， 则x 02+4y 023=m 2(12+16k 2)(3+4k 2)2=4m 23+4k 2， 同理得x 02−4y 023=m 2(16k 2−12)(3+4k 2)2=4m 2(4k 2−3)(3+4k 2)2， 因为W 在曲线C 3：(x 2+4y 23)2=x 2−4y 23上， 所以(4m 23+4k 2)2=4m 2(4k 2−3)(3+4k 2)2，解得4m 2＝4k 2﹣3， 联立{y =kx +m x 2−4y 23=1，消去y 并整理得（3﹣4k 2）x 2﹣8kmx ﹣4m 2﹣3＝0，此时Δ＝12（3+4m 2﹣4k 2）＝0， 则直线AB 与C 2相切； 若直线l 斜率不存在， 由对称性知W 在x 轴上， 因为W 在曲线C 3：(x 2+4y 23)2=x 2−4y 23， 所以W （±1，0）， 此时直线AB 与C 2相切， 综上得，直线AB 与C 2相切．22．（12分）在各项均为正数的数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝16，a n +1a n ﹣1＝4a n 2（n ＞1）．（1）证明数列{a n+1a n}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式； （2）若b n =2+(2√log 2a n +1)⋅ln nn+1，记数列{b n }的前n 项和为S n ． （i ）求S n ；（ii ）证明：S n ＞−12．解：（1）证明：在各项均为正数的数列{a n }中，a 1＝2，a 2＝16，a n +1a n ﹣1＝4a n 2（n ＞1），由题意知a n+1a n=4a n a n−1(n ＞1)，因此数列{a n+1a n }是以a 2a 1=8为首项，以4为公比的等比数列，于是a n+1a n=22n+1，a n a n−1=22n−1(n ＞1)，a n=a na n−1⋅a n−1a n−2⋅⋯⋅a3a2⋅a2a1⋅a1=2(2n−1)+(2n−3)+⋯+1=2n2(n＞1)，又a1＝2适合上式，所以a n=2n2；（2）（i）若b n=2+(2√log2a n+1)⋅lnnn+1，记数列{b n}的前n项和为S n，则b n=2+(2n+1)lnnn+1=2+(2n−1)lnn−(2n+1)ln(n+1)+2lnn，所以S n＝2n+[0﹣5ln2+5ln2﹣7ln4+（2n﹣1）lnn﹣（2n+1）ln（n+1）+2lnn!]＝2n﹣（2n+1）ln（n+1）+2lnn!；证明：（ii）因为数列{−12(1n−1n+1)}的前n项和为−12((1−1n+1)−12，所以只需证明：b n=2+(2n+1)lnnn+1＞−12(1n−1n+1)，令x=nn+1∈(0，1)，只需证明lnx＞12(x−1x)，设函数f(x)=lnx−12(x−1x)，x∈（0，1），f′(x)=1x−12−12x2=−(x−1)22x2≤0，所以f（x）＞f（1）＝0，即lnx＞12(x−1x)成立，得证．。
山东省青岛市高三数学上学期期末考试试题 理
第一学期学分认定考试高三数学(理)试题2016．01本试卷分第I 卷(选择题)和第II 卷(非选择题)两部分．共150分．考试时间120分钟． 注意事项：1．用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)将有关信息填在答题卡规定的位置上，按要求贴好条形码。
2．第I 卷答案请用2B 铅笔把答题纸上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔(中性笔)作答，答案必须写在答题纸各题目指定区域；如需改动，先划掉原来的解答，然后再写上新的解答；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．第I 卷(选择题 共50分)一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的。
1.设集合{}11,216x A x B x y x ⎧⎫=>==-⎨⎬⎩⎭，则()R A C B ⋂等于 A. (),1-∞ B. ()0,4C. ()0,1D. ()1,42.若复数31a ii-+（,a R i ∈为虚数单位）是纯虚数，则实数a 的值为 A.3 B. 3- C.0 D. 323.平面向量a b 与r r 的夹角为()2,0,123a b a b π==-=，，则rr r rA. 23B.06D.24.已知椭圆22240x y x y a +--+=上有且仅有一个点到直线34150x y --=的距离为1，则实数a 的取值情况为 A. (),5-∞ B. 4- C. 420--或D. 11-5.阅读右侧的算法框图，输出的结果S 的值为 A.32 B.0 C. 3 D. 32- 6.设0,0a b >>，若2是22ab与的等比中项，则11a b+的最小值为 A.8B.4C.2D.17.已知双曲线22221x y a b-=的一个实轴端点恰与抛物线24y x =-的焦点重合，且双曲线的离心率等于2，则该双曲线的方程为A.221412x y -= B.221124x y -= C.22131x y -= D. 2213y x -=8.在ABC ∆中，角A,B,C 所对的边分别是,,a b c ，若222b c a bc +=+，且4AC AB =uuu r uu u rg 则ABC ∆的面积等于 A. 43B.233C. 3D. 239.不等式2313x x a a ++-<-有解的实数a 的取值范围是 A. ()(),14,-∞-⋃+∞B. ()1,4-C. ()(),41,-∞-⋃+∞D. ()4,1-10.若,a b 在区间0,3⎡⎤⎣⎦上取值，则函数()321134f x ax bx ax =++在R 上有两个相异极值点的概率是 A.14B. 312-C.34D.32第II 卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.11.甲、乙、丙3人站到共有6级的台阶上，若每级台阶最多站2人，同一级台阶上的人不区分站的位置，则不同的站法种数是____________（用数字作答）.12.若433333,,log ,,,555a b c a b c ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭则三者的大小关系为___________.（用＜表示）；13.设204sin n xdx π=⎰，则二项式2nx x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的展开式的常数项是__________.14.双曲线221kx y -=的一条渐近线与直线230x y -+=垂直，则双曲线的离心率是___________.15.已知O 是坐标原点，点A 的坐标为()2,1，若点(),B x y 为平面区域41x y x y x +≤⎧⎪≥⎨⎪≥⎩上的一个动点，则z OA OB =u u u r u u u r g 的最大值是____________.三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 16. （本小题满分12分） 已知函数()()13sin cos .cos 2f x x x x ωωω=-+（其中0ω>），若()f x 的一条对称轴离最近的对称中心的距离为4π （I ）求()y f x =的单调递增区间；（II ）在ABC ∆中角A 、B 、C 的对边分别是a b c 、、满足()()2cos cos b a C c A f B -=⋅，且恰是()f x 的最大值，试判断ABC ∆的形状.17. （本小题满分12分）某精密仪器生产有两道相互独立的先后工序，每道工序都要经过相互独立的工序检查，且当第一道工序检查合格后才能进入第二道工序，两道工序都合格，产品才完全合格，.经长期监测发现，该仪器第一道工序检查合格的概率为89，第二道工序检查合格的概率为910，已知该厂三个生产小组分别每月负责生产一台这种仪器.（I ）求本月恰有两台仪器完全合格的概率；（II ）若生产一台仪器合格可盈利5万元，不合格则要亏损1万元，记该厂每月的赢利额为ξ，求ξ的分布列和每月的盈利期望. 18. （本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为()()1,1,31,n n n S a S na n n n N *==--∈. （I ）求数列{}n a 的通项公式n a ； （II ）是否存在正整数n ，使得()23123120161232n S S S S n n +++⋅⋅⋅+--=？若存在，求出n 值；若不存在，说明理由.19. （本小题满分12分）四棱锥P ABCD PD -⊥中，平面ABCD ，2AD=BC=2a ()0a >，//,3,AD BC PD a =DAB θ∠=（I ）若60,2,AB a θ==oQ 为PB 的中点，求证：DQ PC ⊥； （II ）若90,AB a θ==o ，求平面PAD 与平面PBC 所成二面角的大小.（若非特殊角，求出所成角余弦即可）20. （本小题满分13分）已知()()00,1,0,A x B y 两点分别在x 轴和y 轴上运动，且1AB =，若动点(),P x y 满足23OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r .（I ）求出动点P 的轨迹对应曲线C 的标准方程；（II ）一条纵截距为2的直线1l 与曲线C 交于P ，Q 两点，若以PQ 直径的圆恰过原点，求出直线方程； （III ）直线2:1l x ty =+与曲线C 交于A 、B 两点，()10E -，，试问：当t 变化时，是否存在一直线2l ，使ABE ∆的面积为23？若存在，求出直线2l 的方程；若不存在，说明理由 21. （本小题满分14分）已知函数()2ln f x a x x bx =++（a 为实常数）.（I ）若()2,3a b f x =-=-，求的单调区间；（II ）若202b a e =>-，且，求函数()f x 在[]1,e 上的最小值及相应的x 值；（III ）设b=0，若存在[]1,x e ∈，使得()()2f x a x ≤+成立，求实数a 的取值范围.第一学期学分认定考试高三数学（理）试题参考答案及评分标准第Ⅰ卷（选择题 共50分）一、选择题：本题共10个小题，每小题5分，共50分；在每小题给出的四个选项中只有一个是符合题目要求的．1-5 CADBB 6-10 CDDAC第Ⅱ卷（非选择题 共100分）二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分． 11. 210 12. c a b << 13 24 14．515． 6 三、解答题：本大题共6小题，共75分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演 算步骤． 16．（本小题满分12分） 解：(Ⅰ)因为22131()3cos cos 2(2cos 1)222f x x x x x x ωωωωω=⋅-+=--312cos 2sin(2)26x x x πωωω=-=-………………………3分 ()f x 的对称轴离最近的对称中心的距离为4π所以T π=，所以22ππω=，所以1ω= ()sin(2)6f x x π=-………………………………5分解 222262k x k πππππ-+≤-≤+得：63k x k ππππ-+≤≤+所以函数()f x 单调增区间为[,]()63k k k Z ππππ-++∈……………………6分(Ⅱ) 因为(2)cos cos b a C c A -=⋅，由正弦定理， 得(2sin sin )cos sin cos B A C C A -=⋅2sin cos sin cos sin cos sin()B C A C C A A C =+=+因为sin()sin()sin 0A C B B π+=-=>2sin cos sin B C B =，所以sin (2cos 1)0B C -=所以1cos 2C =0C π<<，所以3C π=……………………9分所以203B π<<4023B π<< 72666B πππ-<-<根据正弦函数的图象可以看出，()f B 无最小值,有最大值max 1y =， 此时262B ππ-=，即3B π=,所以3A π=所以ABC ∆为等边三角形…………………………12分17．（本小题满分12分）解: (Ⅰ) 设恰有两台仪器完全合格的事件为A ,每台仪器经两道工序检验完全合格的概率为p894=9105P =⨯…………………………………2分所以2222334448()(1)()(1)55125P A C p p C =-=-=…………………5分(Ⅱ) 每月生产的仪器完全合格的台数可为3,2,1,0四种 所以赢利额ξ的数额可以为15,9,3,3-……………………7分当15ξ=时,333464(15)()5125P C ξ===当9ξ=时,2234148(9)()55125P C ξ===当3ξ=时,1234112(3)()55125P C ξ===当3ξ=-时,03311(3)()5125P C ξ=-==………………………………10分每月的盈利期望6448121571593(3)10.141251251251255E ξ=⨯+⨯+⨯+-==所以每月的盈利期望值为10.14万元……………12分18．（本小题满分12分）解:(Ⅰ) 3(1)n n S na n n =-- *(N )n ∈所以2n ≥时, 11(1)3(1)(2)n n S n a n n --=----两式相减得:11(1)3(1)[(2)]n n n n n a S S na n a n n n --=-=------ 即1(1)(1)6(1)n n n a n a n --=-+-也即16n n a a --=,所以{}n a 为公差为6的等差数列11a = 所以65n a n =-…………………………………6分(Ⅱ)23(1)=(65)3(1)32n n S na n n n n n n n n =-----=-所以32nS n n=- 23123(1)31...3(123...)22123222n S S S S n n n n n n n n +++++=++++-=-=- 所以222312331353...(1)(1)2016123222222n S S S S n n n n n n ++++--=---=-=所以54035n = 所以807n =即当807n =时, 23123...(1)20161232n S S S S n n ++++--=………………………12分19．（本小题满分12分）证明 (Ⅰ) 连结BD ,ABD ∆中,,2,60AD a AB a DAB ==∠=o由余弦定理:2222cos60BD DA AB DA AB =+-⋅o ,解得BD =所以ABD ∆为直角三角形，BD AD ⊥因为//AD BC ，所以BC BD ⊥ 又因为PD ⊥平面ABCD所以BC PD ⊥，因为PD BD D =I 所以BC ⊥平面PBD BC ⊂平面PBC所以，平面PBD ⊥平面PBC又因为PD BD ==，Q 为PB 中点 所以DQ PB ⊥因为平面PBD I 平面PBC PB = 所以DQ ⊥平面PBCPC ⊂平面PBC所以DQ PC ⊥…………………………………6分(Ⅱ) 90,AB a θ==o可得2BD CD a ==取BC 中点M可证得ABMD 为矩形以D 为坐标原点分别以,,DA DM DP 所在直线为,,x y z 轴， 建立D xyz -空间直角坐标系,(,0,0),(,,0)A a B a aDM ⊥平面PAD所以面DM u u u u r是平面PAD 的法向量, (0,,0)DM a =u u u u r设平面PBC 的法向量为(,,)n x y z =r(0,0,3),(,,0),(,,0)P a B a a C a a -所以(,,3),(2,0,0)PB a a a BC a =-=-u u u r u u u rn PB n BC ⎧•=⎪⎨•=⎪⎩r u u u r r u u ur ,令1z = 可得3020ax ay a ax ⎧+-=⎪⎨-=⎪⎩解得: (0,3,1)n =r所以33cos 22||||DM n a aDM n θ•===u u u u r r u u u u r r 所以平面PAD 与平面PBC 所成二面角为6π…………………………12分 解法2本题也可以采用作出两平面的交线,再作出二面角平面角的方法. 评分标准,作角证角4分,求角2分. 20．（本小题满分13分）解: (Ⅰ) 因为23OP OA OB =+u u u r u u u r u u u r即0000(,)2(,0)3(0,)(2,3)x y x y x y =+=所以002,3x x y y ==所以0013,23x x y y == 又因为||1AB =,所以22001x y +=即:2213()()12x y +=,即22143x y += 所以椭圆的标准方程为22143x y +=…………………………4分 (Ⅱ) 直线1l 斜率必存在，且纵截距为2,设直线为2y kx =+联立直线1l 和椭圆方程222143y kx x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩得: 22(34)1640k x kx +++=由0∆>,得214k >()* 设112,2(,),()P x y Q x y则121222164,3434k x x x x k k +=-=++ (1) 以PQ 直径的圆恰过原点所以OP OQ ⊥,0OP OQ •=u u u r u u u r即12120x x y y +=也即1212(2)(2)0x x kx kx +++=即21212(1)2()40k x x k x x ++++=将(1)式代入,得2224(1)32403434k kk k +-+=++ 即2224(1)324(34)0k k k +-++=解得243k =,满足（*）式，所以233k =±…………………………………………8分(Ⅲ)由方程组221143x ty x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩,得()22(34)690t y ty ++-=*设112,2(,),()A x y B x y ,则12122269,03434t y y y y t t +=-⋅=-<++所以()222121212222691214()4()343434t t y y y y y y t t t +-=+-=---=+++ 因为直线:1l x ty =+过点(1,0)F所以ABE ∆的面积221222111211212223434ABEt t S EF y y t t ∆++=-=⨯⨯=++g 221212334t t +=+令,则223t =-不成立 不存在直线l 满足题意……………………………………13分21．（本小题满分14分）解：(Ⅰ) 2,3a b =-=-时，2()2ln 3f x x x x =-+-，定义域为(0,)+∞，22232(2)(21)()23x x x x f x x x x x---+'=-+-==在(0,)+∞上，'(2)0f =，当(0,2)x ∈时，'()0f x < 当(2,)x ∈+∞时，'()0f x >所以，函数()f x 的单调增区间为(2,)+∞；单调减区间为(0,2)……………4分 (Ⅱ)因为0b =，所以2()ln f x a x x =+22()(0)x af x x x+'=>，[1,]x e ∈，222[2,2]x a a a e +∈++(i) 若2a ≥-，)(x f '在[1,]e 上非负（仅当2,1a x =-=时，()0f x '=）， 故函数)(x f 在[1,]e 上是增函数，此时min [()](1)1f x f ==………………………6分 (ii)若222 2 , 20, 20e a a a e -<<-+<+>，22[()]2()ax f x x --'==,[1,]x e ∈当x =()0f x '=,22 2 ,1e a e -<<-<当1x ≤<()0f x '<，此时()f x 是减函数；x e <≤时，()0f x '>，此时()f x 是增函数．故min [()]ln()222a a af x f ==--…………………………9分 (Ⅲ) 0b =，2()ln f x a x x =+不等式()(2)f x a x ≤+，即2ln (2)a x x a x +≤+ 可化为2(ln )2a x x x x -≥-．因为[1,]x e ∈, 所以ln 1x x ≤≤且等号不能同时取，所以ln x x <，即ln 0x x ->，因而22ln x xa x x -≥-（[1,]x e ∈）…………………11分令22()ln x x g x x x -=-（[1,]x e ∈），又2(1)(22ln )()(ln )x x x g x x x -+-'=-，当[1,]x e ∈时，10,ln 1x x -≥≤，22ln 0x x +->，从而()0g x '≥（仅当1x =时取等号），所以)(x g 在[1,]e 上为增函数，故()g x 的最小值为(1)1g =-，所以实数a 的取值范围是[1,)-+∞……………………14分。
2024学年山东省青岛第一中学数学高三第一学期期末考试试题含解析
2024学年山东省青岛第一中学数学高三第一学期期末考试试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。
2．答题时请按要求用笔。
3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。
4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。
5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．在直角ABC ∆中，2C π∠=，4AB =，2AC =，若32AD AB =，则CD CB ⋅=（ ） A ．18-B ．63-C ．18D ．632．已知双曲线C ：2214x y -=，1F ，2F 为其左、右焦点，直线l 过右焦点2F ，与双曲线C 的右支交于A ，B 两点，且点A 在x 轴上方，若223AF BF =，则直线l 的斜率为( ) A ．1B ．2-C ．1-D ．23．如图，2AB =是圆O 的一条直径，,C D 为半圆弧的两个三等分点，则()AB AC AD ⋅+=（ ）A ．52B ．4C ．2D ．13+4．《普通高中数学课程标准（2017版）》提出了数学学科的六大核心素养.为了比较甲、乙两名高二学生的数学核心素养水平，现以六大素养为指标对二人进行了测验，根据测验结果绘制了雷达图（如图，每项指标值满分为5分，分值高者为优），则下面叙述正确的是（ ）A ．甲的数据分析素养高于乙B ．甲的数学建模素养优于数学抽象素养C ．乙的六大素养中逻辑推理最差D ．乙的六大素养整体平均水平优于甲 5．如图，在中，点M 是边的中点，将沿着AM 翻折成，且点不在平面内，点是线段上一点.若二面角与二面角的平面角相等，则直线经过的（ ）A ．重心B ．垂心C ．内心D ．外心6．已知复数21iz i =-，则z 的虚部为（ ） A ．－1B ．i -C ．1D ．i7．已知直线2:0l x m y +=与直线:0n x y m ++=则“//l n ”是“1m =”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件8．已知角a 的终边经过点()()4,30P m m m -≠，则2sin cos a a +的值是( ) A ．1或1-B ．25或25- C ．1或25-D ．1-或259．中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准量器——商鞅铜方升，其三视图如图所示（单位：寸），若π取3，当该量器口密闭时其表面积为42.2（平方寸），则图中x 的值为( )A ．3B ．3.4C ．3.8D ．410．《易经》包含着很多哲理，在信息学、天文学中都有广泛的应用，《易经》的博大精深，对今天 的几何学和其它学科仍有深刻的影响．下图就是易经中记载的几何图形——八卦田，图中正八 边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，八块面积相等的曲边梯形代表八卦田．已知正八边 形的边长为10m ，阴阳太极图的半径为4m ，则每块八卦田的面积约为（ ）A ．247.79mB ．254.07mC ．257.21mD ．2114.43m11． “哥德巴赫猜想”是近代三大数学难题之一，其内容是：一个大于2的偶数都可以写成两个质数(素数)之和，也就是我们所谓的“1+1”问题.它是1742年由数学家哥德巴赫提出的，我国数学家潘承洞、王元、陈景润等在哥德巴赫猜想的证明中做出相当好的成绩.若将6拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，加数全部为质数的概率为（ ） A ．15B ．13C ．35D ．2312．已知向量a 与a b +的夹角为60︒，1a =，3b =，则a b ⋅=( )A ．3B ．0C ．0或32-D ．32-二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
山东省青岛市经济技术开发区致远中学(高中部)高三数学理上学期期末试卷含解析
山东省青岛市经济技术开发区致远中学(高中部)高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。
在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1. 设满足约束条件，若目标函数的取值范围恰好是的一个单调递增区间，则的一个值为（）A．B． C. D．参考答案：D2. 设，则不等式的解集为（）A． B． C． D．（1，2）参考答案：C3. 若复数z满足（3﹣4i+z）i=2+i，则复数z所对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限参考答案：B【分析】把已知等式变形，利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，得到z的坐标得答案．【解答】解：由（3﹣4i+z）i=2+i，得3﹣4i+z=，∴z=﹣2+2i．∴复数z所对应的点的坐标为（﹣2，2），位于第二象限．故选：B．【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．4. 函数的图象大致是参考答案：D5. 使(n∈N＋)的展开式中含有常数项的最小的n为()A．4B．5C．6D．7参考答案：B略6. 已知满足：，，则BC的长（）A.2B.1C.1或2D.无解参考答案：C7. △ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，a=80，b=100，A=30°，则此三角形（）A．一定是锐角三角形B．一定是直角三角形C．一定是钝角三角形D．可能是钝角三角形，也可能是锐角三角形参考答案：C8. 下列五个写法：①；②；③{0，1，2}；④；⑤，其中错误写法的个数为（）A、1B、2C、3 D、4参考答案：C略9. 函数的大致图象如图所示，则等于A. B. C. D.参考答案：C函数过原点，所以。
又且，即且，解得，所以函数。
所以，由题意知识函数的极值点，所以是的两个根，所以，，所以。
10. 把函数f（x）的图象向右平移一个单位长度，所得图象恰与函数的反函数图像重合，则f （x）=A．B．C．D．参考答案：D二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11. 复数1﹣2i （i为虚数单位）在复平面内对应的点位于第象限．参考答案：四略12. 已知函数，若二次函数满足：①与的图象在点处有公共切线；②是上的单调函数.则=.参考答案：13. 在数列中{a n}，它的前n项和S n=1﹣na n（n∈N+），则数列{a n}的通项公式为．参考答案：略14. 抛物线的焦点坐标是.参考答案：（-2，0）15. 在下列给出的命题中，所有正确命题的序号为．①函数y=2x3﹣3x+1的图象关于点（0，1）成中心对称；②对?x，y∈R，若x+y≠0，则x≠1，或y≠﹣1；③若实数x，y满足x2+y2=1，则的最大值为；④若△ABC为钝角三角形，则sinA＜cosB．参考答案：①②③考点：命题的真假判断与应用．专题：函数的性质及应用．分析：本题考查的知识点是判断命题真假，比较综合的考查了函数的性质，我们可以根据对称性等函数的性质对四个结论逐一进行判断，可以得到正确的结论．解答：解：①函数y=2x3﹣3x+1=的图象关于点（0，1）成中心对称，假设点（x0，y0）在函数图象上，则其关于①点（0，1）的对称点为（﹣x0，2﹣y0）也满足函数的解析式，则①正确；②对?x，y∈R，若x+y≠0，对应的是直线y=﹣x以外的点，则x≠1，或y≠﹣1，②正确；③若实数x，y满足x2+y2=1，则=，可以看作是圆x2+y2=1上的点与点（﹣2，0）连线的斜率，其最大值为，③正确；④若△ABC为钝角三角形，若A为锐角，B为钝角，则sinA＞cosB，④错误．故答案为：①②③点评：③的判断中使用了数形结合的思想，是数学中的常见思想，要加深体会．16. 已知f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x，则f（log49）的值为．参考答案：﹣【考点】函数的值．【分析】由奇函数的性质得当x＞0时，f（x）=﹣，由此利用对数函数的性质和换底公式能求出f （log49）的值．【解答】解：∵f（x）是定义在R上的奇函数，且当x＜0时，f（x）=2x，∴当x＞0时，f（x）=﹣，∴f（log49）=﹣=﹣=﹣．故答案为：﹣．17. 设点P在圆上移动，点Q满足条件，则的最大值是．参考答案：设圆的圆心，不等式组所围成的可行域为，且，点M 与中的点的最大距离为，圆半径为1，故的最大值为。
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山东省青岛市高三上学期期末数学试卷（理科）
姓名:________ 班级:________ 成绩:________
一、选择题 (共10题；共20分)
1. （2分）(2017·新课标Ⅲ卷文) 函数f（x）= sin（x+ ）+cos（x﹣）的最大值为（）
A .
B . 1
C .
D .
2. （2分） (2017高一上·葫芦岛期末) 在三棱锥S﹣ABC中，底面ABC为边长为3的正三角形，侧棱SA⊥底面ABC，若三棱锥的外接球的体积为36π，则该三棱锥的体积为（）
A .
B .
C .
D .
3. （2分） (2018·大新模拟) 在某校高三年级的高考全真模拟考试中，所有学生考试成绩的取值 (单位:分)是服从正态分布的随机变量，模拟“重点控制线”为490分（490分及490分以上都是重点），若随机抽取该校一名高三考生，则这位同学的成绩不低于“重点控制线”的概率为（）
(附：若随机变量服从正态分布，则，
， )
A . 0.6826
B . 0.6587
C . 0.8413
D . 0.3413
4. （2分）平面，直线，且，则与（）
A .
B . 与斜交
C .
D . 位置关系不确定
5. （2分） (2016高三上·贵阳模拟) 阅读右边的程序，若输出的y=3，则输入的x的值为（）
A . 1
B . 2
C . ±2
D . 1或2
6. （2分）(2017·衡阳模拟) 将一条均匀木棍随机折成两段，则其中一段大于另一段三倍的概率为（）
A .
B .
C .
D .
7. （2分） (2016高二下·九江期末) 设（2x+ ）6=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5+a6x6 ，则（a0+a2+a4+a6）2﹣（a1+a3+a5）2的值为（）
A . ﹣1
B . 1
C . 2
D . ﹣2
8. （2分）已知两点，过动点作轴的垂线，垂足为，若，当
时，动点的轨迹为（）
A . 圆
B . 椭圆
C . 双曲线
D . 抛物线
9. （2分）函数f（x））满足（x+2）= ，若f（1）=2，则f（99）=（）
A . 1
B . 3
C .
D .
10. （2分） (2016高一上·普宁期中) 下列各图中，不能是函数f（x）图象的是（）
A .
B .
C .
D .
二、填空题 (共5题；共5分)
11. （1分）(2016·安庆模拟) 有5名优秀毕业生到母校的3个班去做学习经验交流，则每个班至少去一名的不同分派方法种数为________．
12. （1分） (2017高一上·建平期中) 若不等式的解集为（1，2），则实数a的值是________．
13. （1分） (2017高二上·南阳月考) ，为两个定点，是的一条切线，若过两点的抛物线以直线为准线，则该抛物线的焦点的轨迹方程是________．
14. （1分）数列的通项公式为，对于任意自然数，数列都是递增数列，则实数的取值范围为________．
15. （1分）一件工作可以用两种方法完成，有5人会用第1种方法完成，有4人会用第2种方法完成，从中选1人来完成这件工作，不同选法的总数是________．
三、解答题 (共8题；共60分)
16. （10分） (2017高二下·定州开学考) 为方便市民休闲观光，市政府计划在半径为200米，圆心角为120°的扇形广场内（如图所示），沿△ABC边界修建观光道路，其中A、B分别在线段CP、CQ上，且A、B两点间距离为定长米．
（1）当∠BAC=45°时，求观光道BC段的长度；
（2）为提高观光效果，应尽量增加观光道路总长度，试确定图中A、B两点的位置，使观光道路总长度达到最长？并求出总长度的最大值．
17. （5分） (2017·昌平模拟) 从某校随机抽取部分男生进行身体素质测试，获得掷实心球的成绩数据，整理得到数据分组及频率分布表，成绩在11.0米（精确到0.1米）以上（含）的男生为“优秀生”．分组（米）频数频率
[3.0，5.0）0.10
[5.0，7.0）0.10
[7.0，9.0）0.10
[9.0，11.0）0.20
[11.0，13.0）0.40
[13.0，15.0）10
合计 1.00
（Ⅰ）求参加测试的男生中“优秀生”的人数；
（Ⅱ）从参加测试男生的成绩中，根据表中分组情况，按分层抽样的方法抽取10名男生的成绩作为一个样本，再从该样本中任选2名男生的成绩，求至少选出1名男生的成绩不低于13.0米的概率；
（Ⅲ）若将这次测试的频率作为概率，从该校全体男生中随机抽取3人，记X表示3人中“优秀生”的人数，求X的分布列及数学期望．
18. （10分） (2017高三上·伊宁开学考) 过P（2，1）且两两互相垂直的直线l1 ， l2分别交椭圆 +
=1于A，B与C，D．
（1）求|PA|•|PB|的最值；
（2）求证： + 为定值．
19. （5分）(2017·福州模拟) 如图所示，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1B1B为正方形，BB1C1C为菱形，B1C⊥AC1 ．
（Ⅰ）求证：平面AA1B1B⊥平面BB1C1C；
（Ⅱ）若D是CC1中点，∠ADB是二面角A﹣CC1﹣B的平面角，求直线AC1与平面ABC所成角的余弦值．
20. （10分）已知函数f（x）=lnx+ax．
（1）若函数f（x）在x=1处的切线方程为y=2x+m，求实数a和m的值；
（2）若函数f（x）在定义域内有两个不同的零点x1，x2，求实数a的取值范围．
21. （5分）(2017·泰州模拟) 设矩阵M= ，N= ，若MN= ，求矩阵M的逆矩阵M﹣1 ．
22. （5分）求直线l1：（t为参数）与直线l2：2x﹣4y=5的交点B的坐标，及点B与A（1，2）的距离．．
23. （10分） (2016高二下·芒市期中) 已知函数f（x）=|x+a|+|x﹣2|
（1）当a=﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（2）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．
参考答案一、选择题 (共10题；共20分)
1-1、
2-1、
3-1、
4-1、
5-1、
6-1、
7-1、
8-1、
9-1、
10-1、
二、填空题 (共5题；共5分)
11-1、
12-1、
13-1、
14-1、
15-1、
三、解答题 (共8题；共60分) 16-1、
16-2、
17-1、18-1、
18-2、
19-1、
20-1、20-2、21-1、
22-1、23-1、23-2、。