反例在数学教学中的应用
反例在数学教学中的作用
反例在数学教学中的作用摘要：数学是所有科目中对思维要求最缜密的学科之一,它有自己独特的思维方式和逻辑推理体系，那么，对于数学这门课程，教师如何来教，学生如何来学，方法固然是最重要的。
本篇论文就将浅谈一下反例在数学教学中的作用。
本篇论文是经过在网上查阅大量的相关期刊和在图书馆查阅大量的相关书目,结合自己的学习以及工作阅历最终完成的。
本文的创新点在于通过引用一些非常典型的例题做分析说明，而且例题都涉及到了中学数学的重要章节和必考内容。
本篇论文的目的在于改变现有的教学状态，能够激发学生的学习热情，培养学生的创造能力，鼓励学生要有敢于质疑和敢于探究的科学精神，培养学生良好的思维品质和学习习惯。
【关键词】教学作用构造逆向思维一、反例的含义在数学中，要证明一个命题是正确的，就必须经过严格的推理论证[[1]]。
而要证明一个命题是错误的，非常简单的做法就是举出反例。
反例,顾名思义就是指反面的例子,通常是指能够满足命题条件却不满足命题结论的例子。
在数学教学中，反例的作用不容小觑。
反例在判断对错时很有说服力，因此，在数学教学中重视运用反例，能让学生牢记所学内容，激发学生的学习热情，增加学生的见识，使其灵活多变,也学会换角度思考问题。
二、反例的来源与构造证明一个猜想是合理的、正确的,就必须经过严格的、缜密的推理论证;而证明一个猜想是不正确的,只需找到猜想命题的反例就可以了。
在教学过程中往往会有这样的情形,要说明一个命题是假命题, 教师就会直接给出一个反例, 说明反例虽然符合命题的各种条件, 却不能使命题的结论成立, 教师很少给学生分析甚至不做分析说明反例是如何得到的。
学生非常佩服老师学识渊博,能信手拈来一个又一个非常具有说服力的反例,却只能对老师的才华望其项背。
仿佛舞台上的魔术师,能从口袋里变出很多观众意想不到的东西,观众觉得特别神奇，但却永远也学不会。
所以,在教学过程中,教师应该尽可能地给学生讲解如何来构造反例,让学生知其然,更知其所以然。
反例在初中数学教学中的运用
反例在初中数学教学中的运用初中数学教学中的反例是一种教学方法，通过引入反例，展示错误的思路和结论，帮助学生更好地理解和掌握数学概念和原理。
反例在初中数学教学中的运用有以下几个方面：1. 验证和理解定理：通过引入反例，可以验证和理解定理的条件和结论。
在学习平行线性质时，可以引入一组平行线的反例，让学生发现平行线具有不相交的性质，从而理解平行线的定义和性质。
2. 理解数学概念和特性：通过引入反例，可以帮助学生理解和区分数学概念和特性。
在学习三角形的分类时，可以引入一组具有边长比例相等但不全等的三角形的反例，让学生理解边长比例相等不是全等的必要条件。
3. 纠正错误观念和认识：通过引入反例，可以帮助学生纠正错误的观念和认识。
在学习数列的有界性时，可以引入一个无界数列的反例，让学生认识到数列有界性的重要性以及无界数列的性质。
4. 引导学生思考和解决问题：通过引入反例，可以激发学生的思考和解决问题的能力。
在学习方程解的性质时，可以引入一个只有一个解的反例，让学生思考为什么这个方程只有一个解，从而培养学生的逻辑思维和问题解决能力。
5. 加深对数学原理的理解和应用：通过引入反例，可以加深学生对数学原理的理解和应用。
在学习函数性质时，可以引入一个不满足函数定义的反例，让学生理解函数定义的必要性和应用范围，从而提高对函数性质的理解和运用能力。
反例在初中数学教学中的运用可以帮助学生真正理解和掌握数学概念和原理，培养学生的逻辑思维和问题解决能力，提高数学学习的效果和质量。
教师在运用反例时应注意引入的反例要具有代表性和启发性，能够引发学生思考和讨论，同时也需要合理安排教学环节，使得学生能够在实践中发现和理解数学原理。
反例在中学数学教学中的应用
反例在中学数学教学中的应用
随着数学教学的进步，反例的重要性正在被认识到。
反例是数学中的一种基本概念，它能够帮助学生构建准确的概念，而不是盲目地相信法则。
因此，在中学数学教学中应用反例是一个非常重要的概念。
首先，可以帮助学生理解数学概念。
反例可以帮助学生更准确地掌握概念，而不是把它们当作陈述的基础。
反例是一个能够支持学生理解的可视化图形，给学生一个证明数学概念的可见性，而不是把它们当作一个不透明的基础。
学生可以使用这些反例来更好地理解习题。
其次，反例可以帮助学生掌握技巧。
反例是一个能够给学生一个真实案例，让他们能够更准确地掌握数学技巧和方法的方法。
学生可以利用这些反例来更好地掌握技巧，而无需一味地靠自己思考而失去把握。
另外，反例也可以帮助学生思考深层次的问题。
反例能够帮助学生深入了解数学模式，同时能够帮助他们探索其中的复杂关系。
反例能够帮助学生进行更多的探索，并将探索的结果拓展到更复杂的关系中，从而使学生更加深入地理解数学概念。
最后，反例可以帮助学生构建精确的概念。
学生在使用反例时，可以更加准确地构建出精确的概念，而不是把它们当作一种模糊的概念。
反例能够给学生一个更全面的视角，从而帮助他们建立准确的概念，而不会陷入盲从的观念。
综上所述，反例在中学数学教学中具有重要的作用。
反例可以帮助学生更好地理解数学概念，掌握技巧，思考深层次的问题，并构建
准确的概念。
因此，中学数学教学中应更加重视反例的应用，以帮助学生更加准确有效地学习数学。
反例在数学中的应用
方程解存在性反例
1 2
一元二次方程无实根
对于一元二次方程 $ax^2 + bx + c = 0$，当判 别式 $b^2 - 4ac < 0$ 时，方程无实数解，如 $x^2 + 1 = 0$ 在实数域内无解。
高次方程无解或多解
高次方程可能无解或多解，例如 $x^3 + 1 = 0$ 在实数域内有一个解，但在复数域内有三个解。
03
几何领域反例应用
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
几何图形构造性反例
构造不满足某性质的图形
01
例如，构造一个不是凸集的图形，以说明凸集性质在某些情况
下不成立。
反证法中的图形构造
02
在反证法中，通过构造一个与假设相矛盾的图形来证明原命题
不成立。
极限位置的图形构造
某些奇异点或边界处发生的突变现象。
04
分析领域反例应用
BIG DATA EMPOWERS TO CREATE A NEW
ERA
函数性质否定性反例
01
02
03
非连续性函数
例如Dirichlet函数，在任 意点都不可导，从而说明 不是所有函数都是连续的 。
非单调性函数
在某些区间内，函数值并 不总是随着自变量的增加 而增加或减少，如正弦函 数和余弦函数。
掌握反例构造方法
学习和掌握常见的反例构造方法，如反证法、举例 法等，以便在数学研究和解题过程中灵活运用。
加强反例的实践应用
通过解决具体的数学问题，加强反例的实践 应用，提高运用反例解决实际问题的能力。
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非周期性函数
反例教学法在初中数学教学中的应用
反例教学法在初中数学教学中的应用摘要：反例教学法是一种行之有效的教学方法。
在数学教学中，通过恰当地开发和利用反例辅助教学，可以培养学生的创造性思维能力，能有效地提高教学质量。
因此，反例教学法是一个值得研究的课题。
关键词：反例教学法；反例；内容构建反例教学法是指在教师指导下，根据教学目标和内容的需要，采用典型例题的典型错误解法或错误认识组织学生进行学习、寻找、探讨错误的地方与原因，达到真正完全掌握数学基本概念、性质，并最大限度地避免解题出错的一种教学方法。
要判断一个命题的正确性必须经过严密的推断论证，而要否定一个命题，只需举出一个与结论矛盾的例子即可，这种与命题相矛盾的例子称为反例。
在数学的发展史中，反例和证明同样重要。
反例教学法是一种行之有效的教学方法，通过设置适当的反例可以使正确的知识凸现、明晰，使学生对知识的理解和掌握更加深刻。
在数学教学中，通过恰当地开发和利用反例辅助教学，引导学生合理构造反例，长期训练学生构造反例的能力，可以培养学生的创造性思维能力，将能有效地提高教学质量。
一、反例教学法中教学内容的构建教师在教学中根据学生年龄、生理、心理特点，以及学生所学知识结构的不完整性或还不具备独立系统的推理论证能力，要注意反例教学引入的合理性和可行性；同时要为学生创建探索情境，引导学生构建反例，调动学生的数学功底展开想象，发现问题或提出问题，还要呵护一切具有创造性的思想与活动，从而提高学生的思维能力。
另外，反例的构建要从学生的认知水平出发，就像引小孩学走路一样，把问题以梯度开展，有“跳一跳摘到葡萄吃”才能引起学生的注意，激起课堂教学地高潮。
教育家说过：科学知识是不该传授给学生，而应该引导学生去发现它们，并独立地掌握它们。
所以，恰当地运用反例教学，往往会有事半功倍的教学效果。
在教学中，常用的构建反例的方法有：具体数值代入法。
对于字母类的命题，我们可以将字母改成具体数字代进去检验，尤其是特殊值“0”，万万不能忽视，很多命题只要把0代入计算就可以得出结论。
高等数学教学中的反问题及反例
高等数学教学中的反问题及反例
【原创实用版】
目录
一、引言
二、高等数学中的反问题
三、高等数学中的反例
四、反问题和反例在高等数学教学中的应用
五、结论
正文
一、引言
高等数学是现代科学和技术领域的重要基础学科，其教学目的是培养和加强学生的基本运算能力、基本应用能力和逻辑思维能力。
在高等数学教学过程中，反问题和反例的教学方法被广泛应用，它们对于加深学生对概念的理解、提高学生的运算能力和应用能力具有重要的作用。
二、高等数学中的反问题
反问题是指将问题的条件和结论互换，从而形成的新问题。
在高等数学中，反问题的提出可以帮助学生更好地理解原问题的解决过程，同时也能够培养学生的逆向思维能力。
例如，在求解微分方程时，通过提出反问题，可以帮助学生更好地理解微分方程的解法。
三、高等数学中的反例
反例是指在某个命题中，存在的一个对象使得该命题不成立。
在高等数学中，反例的存在可以帮助学生更好地理解概念和定理的适用范围，防止学生片面理解概念和定理。
例如，在极限的求解过程中，通过引入反例，可以帮助学生理解极限存在的条件。
四、反问题和反例在高等数学教学中的应用
在高等数学教学过程中，教师应该注重反问题和反例的教学方法。
通过引入反问题，可以帮助学生更好地理解原问题的解决过程；通过引入反例，可以帮助学生更好地理解概念和定理的适用范围。
同时，教师应该引导学生主动寻找反问题和反例，培养学生的自主学习能力和探索能力。
五、结论
反问题和反例在高等数学教学中具有重要的作用，它们可以帮助学生更好地理解概念和定理，提高学生的运算能力和应用能力。
实践数学教学反例(3篇)
第1篇摘要：本文通过分析实践数学教学中的反例，探讨当前数学教学中存在的问题，并提出相应的改进措施，旨在提高数学教学质量，促进学生全面发展。
一、引言数学作为一门基础学科，在培养学生逻辑思维、空间想象、问题解决等方面具有重要意义。
然而，在实际的数学教学中，我们常常会遇到一些反例，这些问题不仅影响了学生的学习效果，也制约了数学教学的深入发展。
本文将从以下几个方面对实践数学教学中的反例进行分析。
二、反例一：重理论轻实践在数学教学中，有些教师过于注重理论知识的传授，忽视了学生的实践操作能力培养。
这种教学方式导致学生在面对实际问题时，往往束手无策。
以下是一个典型的反例：案例：在讲解“三角形面积计算”时，教师只讲解了公式推导过程，而没有让学生动手操作验证。
当学生遇到实际问题时，如计算不规则图形的面积，他们无法运用所学知识解决问题。
改进措施：教师在讲解理论知识的同时，应注重实践操作环节，让学生通过动手操作、实验探究等方式，加深对知识的理解。
三、反例二：忽视学生个体差异在数学教学中，每个学生都有自己的学习特点和需求。
然而，有些教师忽视了学生的个体差异，采用“一刀切”的教学方式，导致部分学生跟不上教学进度，产生厌学情绪。
以下是一个典型的反例：案例：在讲解“分数乘法”时，教师按照统一进度进行讲解，对于基础薄弱的学生来说，他们很难跟上教师的节奏，导致学习效果不佳。
改进措施：教师应关注学生的个体差异，根据学生的实际情况调整教学进度，采用分层教学、个性化辅导等方式，满足不同学生的学习需求。
四、反例三：过度依赖教材，忽视创新教育在数学教学中，有些教师过度依赖教材，按照教材内容进行讲解，忽视了创新教育的重要性。
以下是一个典型的反例：案例：在讲解“圆的周长和面积”时，教师只讲解了公式推导过程，而没有引导学生进行创新思维训练。
改进措施：教师应关注创新教育，鼓励学生在学习过程中发挥想象力，提出自己的观点和想法，培养学生的创新思维。
五、反例四：忽视数学与其他学科的融合数学与其他学科之间存在着紧密的联系。
反例在中学数学解题中的应用
解题研究２０２３年４月上半月㊀㊀㊀反例在中学数学解题中的应用◉西华师范大学㊀潘叶秋㊀㊀摘要:反例教学是指教师根据教学内容和目标,采用概念和例题的典型错误认识或错误解法组织学生探讨错误的原因,从而达到真正掌握数学概念和性质的一种教学方法．本文中通过论述反例在数学解题教学中的作用,探索如何恰当运用反例,引导学生从反面视角看待问题,提高数学课堂效率和教学质量,从而提升学生的逻辑思维能力与数学核心素养．关键词:中学数学;反例;解题㊀㊀判断一个数学命题的正确性,需要严密的证明,而有时候,往往一个精妙的反例就能确定一个命题是否正确．在数学解题中运用反例,就是对数学猜想进行推翻和反驳的过程,教师若能引导学生使用恰当的反例,就可以化繁为简．在教学实践中,反例的学习还能培养学生的数学逻辑思维与数学知识的建构能力．教师应重视反例教学,运用合理的反例技巧,培养学生的解题能力和思维能力[１]．１利用反例取特殊值选择题是数学考试中的必考题型,由于这种题型的特殊性,很多时候能够利用反例来检验所给选项的真伪,进而进行筛选判断．在时间有限的考试中,特殊值法不失为一种好方法．例１㊀如图１,正方形四个顶点的坐标依次为(１,１),(３,１),(３,３),(１,３)．若抛物线y ＝a x ２的图象与正方形有公共点,则实数a 的取值范围是(㊀㊀)．图１A．１９ɤa ɤ３B ．１９ɤa ɤ１C ．１３ɤa ɤ３D．１３ɤa ɤ１解:观察四个选项,A 与B 选项中都有１９,C 与D 选项中都不含有１９,利用特殊值法,当a ＝１９时,抛物线y ＝１９x ２与正方形有公共点(３,１),可排除C ,D 选项．观察A ,B 选项,此时可考虑a ＝３时的情况．当a ＝３时,抛物线y ＝３x ２与正方形有公共点(１,３),成立,由此排除选项B ．故选项A 正确．２利用反例否定结论要证明一个命题为真命题,也就是说要证明这个命题的所有情况都为真,就必须在一般情形下进行论证;而要否定一个命题的真实性,不需要进行严格的论证,只需要举出反例即可,只要有一个条件不符合,那么此命题即为假命题[２]．如何寻求适当的反例来否定结论,需要学生具有较高的思维能力．在教师的指导下,学生若能掌握运用反例思考问题的方法,不仅能帮助学生解题,还有利于拓展学生的思路．例２㊀已知函数f (x )＝x ２＋a x(x ʂ０,a ɪR ),试判断函数f (x )的奇偶性,并说明理由．解:根据a 的取值情况进行分类讨论．(１)当a ＝０时,f (x )＝x ２(x ʂ０),则f (－x )＝(－x )２＝x ２＝f (x ),所以由定义可知f (x )为偶函数．(２)当a ʂ０时,f (x )＝x ２＋a x,取特殊值,令x ＝１,则f (１)＝１＋a ,f (－１)＝１－a ,从而f (１)ʂf (－１),且－f (１)ʂf (－１),所以f (x )既不是偶函数也不是奇函数．综上所述,当a ＝０时,f (x )为偶函数;当a ʂ０且a ɪR 时,f (x )既不是偶函数也不是奇函数．点评:奇偶性是函数的一个重要性质．本题分别对a ＝０与a ʂ０分情况展开讨论．当a ＝０时,依据偶函数的定义来证明;当a ʂ０时,采用举反例的方法进行说明．３利用反例完善解答探求一个命题在什么条件下成立时,我们往往通过直接论证的方式来解答,但得到的答案不一定准确,它可能包含了不满足的条件,此时,我们可以借助反例这一有用的工具,将不满足的情况剔除,使解答更加完善与准确．０５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.２０２３年４月上半月㊀解题研究㊀㊀㊀㊀例３㊀设函数f (x )＝x ２＋１－a x ,其中a ＞０．试求a 的取值范围,使函数f (x )在区间[０,＋ɕ)上是单调函数．解:在区间[０,＋ɕ)上任取x １,x ２,使x １＜x ２,则㊀㊀㊀f (x １)－f (x ２)㊀㊀㊀㊀＝x ２１＋１－x ２２＋１－a (x １－x ２)㊀㊀㊀㊀＝x ２１－x ２２x ２１＋１＋x ２２＋１－a (x １－x ２)㊀㊀㊀㊀＝(x １－x ２)(x １＋x ２x ２１＋１＋x ２２＋１－a )．当a ȡ１时,由x １＋x ２x ２１＋１＋x ２２＋１＜１,可得x １＋x ２x ２１＋１＋x ２２＋１－a ＜０．又x １－x ２＜０,则f (x １)－f (x ２)＞０,即f (x １)＞f (x ２)．所以,当a ȡ１时,函数f (x )在区间[０,＋ɕ)上是单调递减函数．当０＜a ＜１时,在区间[０,＋ɕ)上存在两个数x １＝０,x ２＝２a１－a ２,满足f (x １)＝１,f (x ２)＝１,即f (x １)＝f (x ２),所以函数f (x )在区间[０,＋ɕ)上不是单调函数．综上所述,当且仅当a ȡ１时,函数f (x )在区间[０,＋ɕ)上是单调函数,且是单调递减函数．点评:学生往往在得出了函数的某一单调区间后,便认为问题已经解答完毕,容易忽略说明在余下区间上的不单调．这时就可借助反例这一工具,来完善解答．４利用反例寻找解题思路有些问题从正面思考可能较困难,这时候可以引导学生举出反例,寻找解题思路．运用反例来思考问题,可以使思维更加严谨,进而提高分析㊁解决问题的能力．反例的提出不是凭空胡乱捏造,而是要随着问题的思考,对所得的结论进行不断地质疑㊁改进．这有利于促进学生思维能力的发展．例４㊀设a n {}是由正数组成的等比数列,S n 是其前n 次的和．试问是否存在常数c ＞０,使得l g (S n －c )＋l g(S n ＋２－c )２＝l g(S n ＋１－c )成立?并证明你的结论．分析:将a n ＝１代入上式,由计算结果得到此时c 不存在,猜想 常数c 可能不存在 ,即思考能否找到矛盾,证明c 不存在．故用反证法解答后续问题．解:假设结论成立,即假设存在常数c ＞０,使得l g (S n －c )＋l g(S n ＋２－c )２＝l g(S n ＋１－c )成立,则㊀㊀S n －c ＞０,㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀㊀①S n ＋１－c ＞０,②S n ＋２－c ＞０,③(S n －c )(S n ＋２－c )＝(S n ＋１－c )２．④ìîíïïïïï由④式,得㊀S n S n ＋２－S ２n ＋１＝c (S n ＋S n ＋２－２S n ＋１)．⑤由均值不等式以及①②③④式联立,得㊀㊀S n ＋S n ＋２－２S n ＋１＝(S n －c )＋(S n ＋２－c )－２(S n ＋１－c )ȡ２(S n －c )(S n ＋２－c )－２(S n ＋１－c )＝０．因为c ＞０,所以c (S n ＋S n ＋２－２S n ＋１)ȡ０,而由已知易证S n S n ＋２－S ２n ＋１＜０,所以⑤式不成立,矛盾．故不存在常数c ＞０,使得l g (S n －c )＋l g(S n ＋２－c )２＝l g(S n ＋１－c )．点评:本题是一个探索性问题,对学生来说难度偏高．解决这类问题时,举反例虽然不能直接证明结论是否成立而达到解题目的,但通过举反例,能让学生找到解决问题的灵感,从而为问题的解决指明一个方向．在利用反例解题的过程中,教师要引导学生变换思路,不直接证明命题的真假性,而是去思考在什么情况下这个命题是假的,如何去找到这个巧妙的反例．在运用举反例进行条件充分性的判断时,一定要注意题干中隐藏的已知条件,注意选用的反例是否恰当以及是否循序渐进地引入．认清反例在解题中的主次．在解题的过程中,反例并不是解答问题的核心,它只是解题的一个辅助性手段．反例有助于学生形成批判意识,学会对命题进行质疑,让学生在 证明 与 反例 这二者的相互比较㊁不断优化中,全面掌握知识,并不断优化结论,最终解决数学问题[３]．参考文献:[１]王太广．巧用反例益处多 初中数学教学中反例的有效运用研讨[J ]．数理化解题研究,２０２１(２６):２０Ｇ２１．[２]张庆大． 反例法 在中学数学解题中的应用[J ]．中学教学参考,２０２０(１７):１４Ｇ１５．[３]曾春燕,姚静．反例作用的实验研究 以高一数学教学为例[J ]．数学教育学报,２０１５(１):７７Ｇ８１．Z １５Copyright ©博看网. All Rights Reserved.。
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反例在数学教学中的应用【摘要】 本文就反例在数学教学中的应用及应用反例教学时应注意的问题提出了几点看法。
【关键词】 反例；反例教学；应用1引言著名的数学家盖儿鲍姆（Gel Baum ）曾说数学由两大类───证明和反例组成。
而数学的发展也是朝着这两个主要目标—提出证明或构造反例。
当某些问题经人们绞尽脑汁去推演却仍悬而未决时（即使这种不彻底的推理并无差错）。
则应允许人们对此命题的真伪产生怀疑，这就需要去寻找符合题设条件而与命题相悖的反例。
反例因其具有简明、直观、说服力强等特点,决定了他在数学教学和数学的发展中起着不可替代的作用。
在教学过程中适当运用反例对提高学生的创造能力有良好的诱导作用，从而也会给数学教学带来美妙的感受和良好的效果。
教师在日常教学中，可经常选择一些发散性强的典型数学知识或问题，通过创设问题情景，引导学生构建反例，引导学生敢于和善于发现问题或提出问题，从而提高学生思维的发散性.那么在教学的过程中反例的运用、构建是猜想、试验、推理等多重并举的一项综合性、创造性活动，是培养学生创新精神、诱发学生创造力的一种很好的载体。
反例教学在数学教学中的重要性已越来越被人们重视和认可. 通过反例教学，加深了学生对数学中概念的理解，同时也解决了教学中的重点、难点问题，使学生在认识上产生了质的飞跃，从而提高了教学的有效性。
2 反例在数学教学中的作用2.1利用反例加深对数学概念的理解数学概念本身是抽象的，引入概念之后，还必须有一个去粗取精、去伪存真的过程，必须在感性认识的基础上对概念作辨证的分析，用不同的方式进一步揭示概念的本质属性。
通过构造反例，往往能够从反面消除一些容易出现的模糊认识，把握概念的要素和本质，从而达到学好的效果。
例2.1 人教版必修1《函数的基本性质》一节中，对函数的奇偶性这样定义：一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f =-那么函数)(x f 就叫做偶函数。
一般地，如果对于函数)(x f 的定义域内任意一个x ，都有)()(x f x f -=-那么函数)(x f 就叫做奇函数。
学生利用定义判断函数的奇偶性时往往忽略“定义域内任意一个x ”，直接去利用)(x f -与)(x f 之间的关系去判断，从而得出错误的结论。
如果教师只是从正面去解释“定义域内任意一个x ”学生就会感觉很抽象。
若教师利用反例会使学生感觉更直、更观容易理解。
例如判断[)2,2)(2-=x x f 的奇偶性。
若忽略“定义域内任意一个x ” 这个大前提就会得到)()()(22x f x x x f ==-=-从而得出此函数是偶函数的结论，而实际2是不在定义域内，所以此函数是非奇非偶函数。
又例如：在等差数列的定义中，举出例子：（1）2，4，6，7，8…… （2）-6，-4，-3，-1，1……让学生理解“第二项起” ，“同一”常数的含义。
2.2反例是理解定理、法则的有利工具例2.2 初中在教三角形全等的判定定理时，三角形三边和三个角六个元素中，一般需要三个元素对应相等（但其中至少有一边）比如两角和夹边（ASA ），两边和夹角（SAS ），三边对应相等（SSS ）两角和一对边（AAS ）。
特别强调 “对应”、“夹边”、“夹角”。
为了对定理的深刻理解可以采用反例教学，去掉“夹角”，如有两边及其其中一边所对的角对应相等(SSA)的两个三角形是否全等。
构造反例可以先固定///,C A AC A A =∠=∠,在此基础上引导学生进一步思考若a C B BC ==//说明//C B BC 或可以通过以下作图方法来画出：以C 或者/C 为圆心，a 为半径画弧，a 只要满足一定的条件，此时所画的弧就很可能与//B A AB 或’所在的直线有两个交点，这是再构造出不全等的三角形就减少了难度。
另外可以进一步讨论去掉“对应”，六个元素中已知三个元素相等能否判断两个三角形全等，六个元素中已知四个元素相等能否判断两个三角形全等，六个元素中已知五个元素相等能否判断两个三角形全等。
六个元素中已知三个元素相等两个三角形全等三角的反例比较容易列举，例如边长不等的两个等边三角形，三个角分别相等但两个三角形不全等。
六个元素中已知四个元素相等两个三角形全等三角的反例也比较容易列举，例如边长为1和边长为2的两个等腰直角三角形，三个角分别相等，斜边与另一三角形的直角边相等但两个三角形不全等。
判断五个元素对应相等的两三角形全等是否正确.对于这个问题，很多初中学生感到模棱两可.反例也较难列举，比如三角形三边分别是,,a b c 和,,b c d 的两个三角形，这里:::a b b c c d ==,则他们相似，故有三个角相等，加之,b c 两边，该三角形共有五个元素分别相等，但是两个三角形却不等.如8,12,18,27a b c d ====．反例的给出让学生对三角形的全等条件有了进一步的了解和掌握，使学生注意到两个全等三角形中“边”相等不是任意给出的.那么在这道题中，反例的及时出现给学生眼前一亮的感觉。
让学生体会到反例在数学教学中的作用是不可忽视的，加深对三角形全等判定定理的理解。
2.3利用反例可以激发学生学习的兴趣，提高教学效果一个问题的解答，通常我们会用各种方式验证结果，反例将会引导我们追寻问题的所在，从反例中修补相关知识，从而获得正确结论和解答.那么恰当的引导学生使用反例可以更好的提高学生学习兴趣。
例2.3 试问：在三角形中，边长越长，面积越大吗？分析：在三角形中若知道其三边，便可以计算其面积，这个事实早在两千多年前已为古希腊学者海伦所发现，他给出公式：))()((c p b p a p p S ABC ---=∆（海伦公式）其中,,a b c 为三角形ABC 三边长，1()2p a b c =++，另外我国数学家秦九韶在《数学九章》中提出的公式---“三斜求积”式实质上是相同的. 2222221()22c a b s a c +-=-（三斜求积式）从两个公式中，均无法明显得出边长越大三角形面积越大的结论.乍一看，很多学生对此毫无疑问，可是考虑下面的例子.已知三角形ABC 的三边a b c <<，又BC 边上高为AD ，在BC 延长线上取'c 使 ''B C BC >，另取'D 使'''BC C D =．若'(1)BC k k BC =>，只需1''A D AD k<，（''A D 为过'D 点'BD 的垂线）， 显然有'''a b c a b c <<<<<，但.///////////21)()1(2121C AB ABC S D A C B D A k C B k AD BC S ∆∆=⋅⋅=⋅⋅⋅>⋅= 具体的例子如：取ABC Rt ∆且3,a =4b =，5c =;又考虑///C B A ∆中（A D ‘’=1），令'6a =,则'37b =,'145c =;显然'''a b c a b c <<<<<，而 36///=>=∆∆C B A ABC S S注1 对于两个锐角三角形来说，若它们的边长满足定理条件，则命题结论一定成立.这也可以用反证法去考虑，如下图两锐角ABC V 和'''A B C V 中，若'''a b c a b c <<<<<，而///C B A ABC S S ∆∆>。
这样，由之则有 sin ''sin 'ab C a b C >，sin ''sin 'ac B a c B >，sin ''sin 'bc A b c A >由设'',ab a b <''ac a c <,''bc b c <故sin sin 'A A >，'sin sin B B >，'sin sin C C >所以'A A >，'B B >，'C C >从而有'''A B C A B C ++>++=0180（矛盾）那么这个题目说明了能够恰当的引用反例在数学教学的过程中还是有很大作用的。
关键是我们能找到说服力强的反例．通过这个反例的讲解让学生再次觉得反例在揭示错误时有特殊的威力，从而能更好的激发他们学习数学的兴趣，达到提高教学质量的效果。
让学生体会到反例在数学教学中的作用是不可忽视的，从而增强了他们学习数学的兴趣，也激发了他们的学习热情。
2.4 反例可以培养学生思维的严密性数学思维就是解决数学问题的心智活动，所以问题是思维的“启发剂”，在数学教学中，举反例也是提出问题的常用方法.运用反例可以增强思维的缜密性，弥补解决问题出现的漏洞，培养思维的批判性，从而去发展学生的逆向思维和发散思维，全面提高思维能力和数学素养.寻找一个反例往往比证明更需要想像力和创造力。
例2.4 若关于x 的方程)lg(2)1lg(2x m x -=-有两个不等的实数解，求实数m 的取值范围.不少学生是这样做的：由2100x m x m x⎧->⎪->⎨=- 可以得到：⎪⎩⎪⎨⎧-=-<<-xm x x 2111 （1） ⎩⎨⎧-=-<<-22)(111x m x x （2） 从而将问题转化为方程221)(x x m -=-，即012222=-+-m mx x ，在)1,1(-内有两相异的根，求m 的取值范围。
乍看这种解法是正确的，但仔细分析便可发现该解法是错误的，这是因为在（1）中0>-x m ，而在（2）中x m -可正可负，即（1）与（2）并非等价，问题就出在x m x -=-21 两边平方后扩大了x m -的取值范围，因此，在解题时必须重视思维的严密性。
通过这个例题可以看出有些题目对学生思维严密性的考查，也有了一定的要求.因此，注重对技巧的实质把握，弄清通性、通法是十分重要的。
学生的模仿能力强，课堂讲授的知识容易接受，但题目一旦改样或时间稍久我们就无所适从.因而在数学教学中，除了高效地传授知识及基本技能外，还要通过一些题目的反例的学习加强学生思维的严密性。
以上的例子说明：反例思想是数学分析中的重要思想，在我们进行问题的研究和论证中都具有不可替代的独特作用.同时在数学教学中利用反例能更好的培养学生们的思维严密性。