微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社_第七章
《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第2章
xn a xn a
由数列极限的定义得 考察数列
即
xn a
lim xn a
n
n n
xn (1) n ，知 lim xn 不存在，而 xn 1 ， lim xn 1 ，
n
xn 0
由数列极限的定义可得 4. 利用夹逼定理证明：
即 xn
即 xn 0
lim xn 0
n
1
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微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案
微积分 复旦大学出版社 曹定华主编 课后答案
又 所以
xn 1 xn xn ( 2 xn ) ，而 xn 0 , xn 2 ， xn 1 xn 0
即
xn 1 xn ，
即数列是单调递增数列。 综上所述，数列 xn 是单调递增有上界的数列，故其极限存在。 （3）由数列 xn 单调递增， yn 单调递减得 xn x1 ， yn y1 。 又由 lim( xn yn ) 0 知数列 xn yn 有界，于是存在 M >0，使 xn yn M ,
即xn 1 xn
所以 xn 为单调递减有下界的数列，故 xn 有极限。 （2）因为 x1
2 2 ，不妨设 xk 2 ，则
xk 1 2 xk 22 2
故有对于任意正整数 n，有 xn 2 ，即数列 xn 有上界，
2
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lim
2n 0 n n !
(微积分)第七章课后习题全解
x x ∂z ∂z x xy y y ∴x + y = x ( y + e ) + y(x + e − e ) ∂x ∂y y x x x x = xy + xe y +xy + ye y − xe y = 2 xy + ye y = xy + z
xz ∂u ∂u ∂u , , 试求 . ∂x ∂y ∂z ∂u ∂u 解： = zf ( yz ) = − zf ( xz ) ∂y ∂x ∂u = yf ( yz ) − xf ( xz ) ∂z
3、求下列极限： 、求下列极限：
xe x ∴ f ( x, y ) = 2 y ye
4 − ( xy + 4) 2 − xy + 4 = lim 1) lim x → 0 xy (4 + x →0 xy xy + 4) y →0 y →0 1 1 = − lim =− x →0 2 + xy + 4 4 y →0 ln( x + e y ) 2) lim = ln 2 x →1 x2 + y 2 y →0 2 kx xy 令y = kx lim 3) lim 2 2 x →0 2 2 x →0 x + (kx) y →0 x +y y →0
OA = 16 + 9 + 25 = 5 2 AX = 9 + 25 = 34 AY = 16 + 25 = 41 AZ = 16 + 9 = 5 4、试证以 A(4,1, 9), B (10, −1, 6), C (2, 4,3), 为 、
顶点的三角形是等腰直角三角形。 顶点的三角形是等腰直角三角形。
2 2
《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第7章
3 . 2
4． 在 xＯy 坐标面上求向量 a，使其垂直于向量 b=4i-3j+5k,且｜a｜=2｜b｜． 解：设向量 a ( x, y, 0) ,由 a b 得 a b 0 即 4x 3y 0 , 由 | a | 2 | b | 得 解方程组
(6,10, 2) (6, 6, 6) (16, 4, 12) (16, 0, 20)
5．已知两点 M1(0，1，2)和 M2(1，-1，0)，求向量 M 1M 2 ，并求 M 1M 2 及与 M 1M 2 平 行的单位向量． 解： M 1M 2 (1 0)i (1 1) j (0 2)k i 2 j 2k (1, 2, 2)
2．试用向量证明：如果平面上一个四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行 四边形． 证： （如上题图） ，依题意有 AM MC , DM MB. 于是 AB AM MB MC DM DC. 故 ABCD 是平行四边形. 3．已知向量 a=i-2j+3k 的始点为(1，3，-2)，求向量 a 的终点坐标． 解：设 a 的终点坐标为( x, y, z ),则
即与 M 1M 2 平行的单位向量为 ,
1 3
2 2 1 2 2 , 或 , , . 3 3 3 3 3
习题 7-3
) 1． 已知 a =2, b =1, (a,b
解： （1） a a | a | 4
2
，求(1) a·a,(2) a·b,(3) (2a+3b)·(3a-b)． 3 ) 2 1 cos π 1 （2） a a | a | | b | cos(a,b 3
微积分(二)课后题答案,复旦大学出版社__第六章
(x)
=
max{1,
x2}
=
⎪ ⎨
1
⎪ ⎩
x2
−2 ≤ x < −1 −1 ≤ x < 1 ,于是 1≤ x≤ 2
∫ ∫ ∫ ∫ 2 max{1, x2}dx = −2
−1 x2dx +
−2
1 1dx +
−1
2 1
x2dx
=
1 3
x3
−1 −2
+
x
1 −1
+
1 3
x3
2 1
=
20 3
∫ ∫ 6.
已知 f(x)连续，且 f(2)=3,求 lim x→2
a i)2
+1,
于是
∑ ∑ n
i=1
f (ξi )Δxi
=
n [(a + b − a i)2 +1] b − a
i=1
n
n
∑ =
(b
−
a)
n i=1
[a2
+
(b
−
a)2
i2 n2
+
2 a(b
−
a)
i n
+1]
1 n
= (b − a)[na2 + (b − a)2 ⋅ 1 ⋅ 1 n(n +1)(2n +1) + 2(b − a)a⋅ 1 ⋅ n(n + 1) + n]⋅ 1
x⎡ 2 ⎢⎣
2 t
f
(u)du
⎤ ⎥⎦
dt
(x − 2)2
.
解
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ ∫ lim
x→2
x⎡ 2⎣
微积分第二版课后习题答案
微积分第二版课后习题答案【篇一：微积分(上册)习题参考答案】0.11.（a）是（b）否（c）是（d）否2.（a）否（b）否（c）否（d）是（e）否（f）否（g）是（h）否（i）是1,2,3},{1,2,4},{1,3,4}, 3.f,{1},{2},{3},{4},{1,2},{1,3},{1,4},{2,3},{2,4},{3,4},{{2,3,4},{1,2,3,4}.4. a?b5. a?b6~15. 略。
16. 证明：先证a-(b-c)?(ab)惹(ac).若x?a(b-c)，则x蜗a,x①如果x?c，则x蜗a,②如果x?c，则x?b，所以x?aa-(b-c)?(ab)惹(ac).再证a-(b-c)惹(ac)?a(b-c).若x￠?(ab)惹(ac)，则，x￠?ab或x￠吻ac.①如果x￠吻ac，有x￠?c，所以，x￠?bc，又x￠?a，于是x￠?a(b-c) ②如果x￠锨ac，x￠?ab，则有x￠?a，x￠?c，x￠?b，所以，x￠?bc，于是x￠?a(b-c). 因此有(a-b)惹(ac)?a(b-c).综上所述，a-(b-c)=(a-b)惹(ac)，证毕. 17~19. 略。
20. cda.21. a?b{(1,u),(1,v),(2,u),(2,v),(3,u),(3,v)};禳1镲xx?r,睚2镲铪参考答案禳禳11镲镲，，a?d-1,-,0,1,2,3,?a-c=睚0,-1,-睚镲镲44铪铪禳1镲a=睚-1,-,0,1,2,7.镲4铪xx危r,1x 2}x3，a?b={，a-b={xx?r,2x3}.b-cb-c;(ac)，因此有b，也有x?(ab)惹a2={(1,1),(1,2),(1,3),(2,1),(2,2),(2,3),(3,1),(3,2),(3,3)};b2={(u,v),(u,v),(v,u),(v,v)}22. a={(x,y,z)}x,y,z危?.0323~25. 略。
《微积分第二篇》第七章习题解答
《微积分第二篇》第七章习题解答【习题7.1】（解答）1、用二重积分表示由圆柱面x 2 + y 2 = 1, 平面z =0, z =2 所围成的平顶柱体的体积.22{(,)|1},2d 2d .DDD x y x y V σσ=+≤==⎰⎰⎰⎰解:设那么所求体积2、用二重积分表示以下列曲面为顶,区域D 为底的曲顶柱体的体积. (1) 曲面 z =x +y +1, 区域D 是长方形：0≤x ≤1, 1≤y ≤2;{(,)|01,12},(++1)d .DD x y x y V x y σ=≤≤≤≤=⎰⎰解:设那么所求体积(2) 曲面 z =x +y , 区域D 是由圆x 2 + y 2 = 1 在第一象限部分与坐标轴所围成.22{(,)|01,0,0},(+)d .DD x y x y x y V x y σ=≤+≤≤≤=⎰⎰解:设那么所求体积3、利用二重积分的性质 (1) 比较()⎰⎰+Dd y x σ2与()⎰⎰+Dd y x σ3的大小,其中D 是由x 轴、y 轴与直线 x + y = 1所围成;()()()()2323,01,,.DDD x y x y x y x y d x y d σσ∀∈≤+≤+≥++≥+⎰⎰⎰⎰解:因故所以(2) 比较()ln d Dx y σ+⎰⎰与()2ln d Dx y σ+⎡⎤⎣⎦⎰⎰的大小,其中 {(,)|35,01}.D x y x y =≤≤≤≤()()()()22,36,1ln ln ,ln d ln d .DDD x y x y x y x y x y σσ∀∈≤+≤≤+≤+⎡⎤⎣⎦+≤+⎡⎤⎣⎦⎰⎰⎰⎰解:因故所以(3) 估计()⎰⎰++Dd y x σ1的值,其中D 是长方形区域：0≤x ≤1, 0≤y ≤2 ；(),114,2,211d ln 1d 4d 48.D D D DDDD x y D S S x y S σσσ∀∈≤++≤==⋅=≤++≤=⋅=⎰⎰⎰⎰⎰⎰解:因而的面积故【习题7.2】（解答）1、画出积分区域D 的图像再计算二重积分:(1)()dxdy y x D⎰⎰+,其中区域D 是由直线x y x y x x 3,,2,1====所围成的闭区域.解： 画出积分区域D ,如图 5.6 所示,区域D 是-x 型的,区间[1,2]上任意取定一()()2313222211d d d d 6d 14.2xxDxx x y x y x x y yy xy dx x x +=+⎡⎤=+==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰⎰x个值.过点作垂直轴的直线,与区域的边界相交,因此解：积分区域D 取为X型：110d d d Dx yσ=⎰⎰⎰{(,)|01,1}.D x y x y =≤≤≤≤那么(3)dy dx e Dy⎰⎰-2,其中区域D 是由直线y x y y 及,,1==轴所围成的闭区域. 解： 如图5.6 所示, D 既是-x 型,也是-y 型的,若先对y 积分,后对x 积分,则dy dx e Dy ⎰⎰-2=dy e dx xy⎰⎰-1102. 由于函数e y 的原函数无法用初等函数表示, 因此累次积分无法进行. 若先对x 积分,再对y 积分,则()2222211110d d d d d 111d 1.22yy y y y Dy ye x y y e x e x yye y e e -----==⎛⎫==-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰⎰⎰⎰(2)，设 D 由曲线与直线 x =0, y=1 所围成的区域.Dσy (17116000111131d (1.2222714yy x x x x ⎡⎤====-=⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰22514632211[(2)]d 2145[2]5.24368y y y y y y y y --=+-=++-=⎰222222211d d d d 2y y yDy xxy y xy x y y σ++--⎡⎤==⎢⎥⎣⎦⎰⎰⎰⎰⎰解：将D 作 Y 型: 2{(,)|12,2}.D x y y y x y =-≤≤≤≤+2d ,2Dxy D y x y x σ==-⎰⎰计算其中是由抛物线及所围成的闭区域.(4) cot cos()d Dx x xy σ⎰⎰2、计算二重积分: , 其中D 是由直线x =1,y =1和x 轴y 轴所围成闭区域.(1)解：将D 作 型区域 D={(x,y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1 }, 于是()111111111000d cot cos()d cot dcos()d()cotsin()d cot cos d cos d sin |sin1.y y x x x xy y x x xy xy x xy x x x x x x x =========⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式e d x xy x σ+⎰⎰，(2)其中D 是由直线x =1,y =1和x 轴y 轴所围成闭区域.解：将D 作 型区域 D={(x,y )| 0≤x ≤1, 0≤y ≤1 }, 于是111110001100d e d 1)2e d 2e 21)(e 1)|e 1.x xy xxyxx x x y x x x +⎫==-=⎪⎭==-=-=-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰原式解：D 取为X 型： 3{(,)|01,1}.D x y x y x =≤≤≤+3,0,11,.DD x x y x y σ===+=其中由直线和曲线(3).420697517232213221d )21(21d ])1()1[(21d 1131d 1d d 110527322310425221122210132122102223=⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=+++++=++++=⎪⎭⎫ ⎝⎛⋅-+=-+=-+⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰++x x x x x x x x x x x x x x x x x x y x x y x x y x x x y x x x x D σ3ln ln332ln 2ln 2ed (,)d d (,)d y xx f x y y y f x y x =⎰⎰⎰⎰211d (,)d d (,)d .xyxy f x y x x f x y y =⎰⎰⎰解：(1) 积分区域D 可表为：(2) 积分区域D 可表为：{(,)|23,ln 2ln }{(,)|ln 2ln3,e 3}.y D x y x y x x y y x =≤≤≤≤=≤≤≤≤所以2{(,)|01,{(,)|01,}.D x y y y x x yx x y x =≤≤≤≤=≤≤≤≤所以3. 设 f (x ,y ) 为二元可积函数，交换下列积分次序： 3ln 2ln 2d (,)d ;x x f x y y ⎰⎰10d (,)d .y y f x y x ⎰ (1) (2)圆周 及其内部.r =1y2r =15π4=.4.,sin ,cos θθr y r x ==解：令则D 的边界线方程分别为r =2R cos ө,ө=0, ө=π/2. 积分区域D 可表示为22{(,)|2,0},0.D x y x y Rx y R =+≤≥>常数⎰⎰=Dy x f σd ),(⎰⎰θθθθcos 202π0d )sin ,cos (d R r r r r f 于是得到.π{(,)|0,02cos },2D r r R θθθ=≤≤≤≤将二重积分⎰⎰Dy x f σd ),(化为极坐标系下的累次积分，其中。
微积分第2版-朱文莉第7章 多元函数微分学习题祥解
习题7.1(A)1、求点(2,1,3)A -关于(1)各坐标面；(2)各坐标轴；(3)坐标原点的对称点的坐标。
解 (1)(2,1,3)--,(2,1,3)--, (2,1,3)；(2)x 轴：(2,1,3)-，y 轴：(2,1,3)---，z 轴：(2,1,3)-； (3) (2,1,3)--。
2、在空间直角坐标系中，指出下列各点在哪个卦限？(4,3,5)A -，(2,3,4)B -，(2,3,4)C --，(2,3,1)D --并求点(4,3,5)A -分别到(1)坐标原点；(2)各坐标轴；(3)各坐标面的距离。
解 A 点在第4卦限； B 点在第5卦限；C 点在第8卦限；D 点在第3卦限。
(1) A =(4,3,5)-(2) A 到x =A 到y =A 到z 5=；(3) A 到坐标面xy 5=；A 到坐标面yz 4=；A 到坐标面xz 3=。
3、在z 轴上求一点M ，使该点与点(4,1,7)A 和(3,5,2)B 的距离相等。
解 因为所求点在z 轴上, 所以设该点为(0,0,)M z , 由题意有MA MB , 即222222(4)1(7)35(2)z z两边平方, 解得149z, 于是所求点为14(0,0,)9M . 4、写出球心在点(1,3,2)--处，且通过点(1,1,1)-的球面方程。
解 由2222000()()()xx yy zz R ，得2222(1())(113())(12)R则3R ，从而球面方程为2222(1)(3)(2)3x yz5、下列各题中方程组各表示什么曲线？(1)2248,8;x y z z(2)2225,3;x y z x(3)2224936,1;x y z y (4)2244,2.x y z y解 (1) 双曲线；(2) 圆；(3) 椭圆；(4) 抛物线。
6、描绘下列各组曲面在第一卦限内所围成的立体的图形。
(1) 0,0,0,1x y z x y z ===++=；(2) 2222220,0,0,,x y z x y R y z R ===+=+=。
文科微积分2习题册_答案
1
y 0
1 lim 不存在 sin y
cos(x 2 ) 2z 2z 2z 6. 求下列函数的 2 , 2 和 ： （3） z ; x y x y y
2 z sin x 2 x 解： , x y
z cos x 2 x y2
2z 1 2sin x 2 4 x 2 cos x 2 2sin x 2 2 2 ( cos x ) 4 x x 2 y y y 2 z 2 x sin x 2 , xy y2 2 z 2 cos x 2 y 2 y3
1 1
左边 x
2
得证.
2 ( x y ) sin 4. 设 f ( x, y ) 0,
1 x y
2 2
, x2 y2 0 x2 y2 0
x 2 sin x 1
，求 f x (0,0), f y (0,0) 。
'
'
解： f x lim
x 0
f x, 0 f 0, 0 lim x 0 x0
x 2 lim x sin 1 0 x 0 x2
5
班级
学号
姓名
f y( 0 , 0 )
y2 f ( 0 ,y ) f (0, 0) lim lim y 0 y 0 y 0 y
y s i n
8. 指出下列方程在平面解析几何中和空间解析几何中分别表示什么图形： （1） x 2 ； （3） x y 4 ；
2 2
（2） y x 1 ； （4） x y 2 x （补充题）
2 2
解：见下表 方程 平面解析几何中 平行于 y 轴的直线 直线 圆（曲线） 双曲线 空间解析几何中 平行于 y0z 面的平面 平行于 z 轴的平面 圆柱面（母线平行 z 轴） 双曲柱面（母线平行 z 轴）
《微积分》课后答案第7章(复旦大学版)解析
第七章
习题 7-1 1. 略. 2． 求点(a,b,c)关于(1) 各坐标面；(2) 各坐标轴；(3) 坐标原点的对称点的坐标． 解：（1）点（a,b,c）关于 xoy 面的对称点是(a,b,-c); 关于 xoz 面的对称点是（a,-b,c）; 关于 yoz 面的对称点是(-a,b,c); （2）点（a,b,c）关于 x 轴的对称点是（a,-b,-c）; 关于 y 轴的对称点是（-a,b,-c）; 关于 z 轴的对称点是（-a,-b,c）; (3)点（a,b,c）关于原点的对称点是（-a,-b,-c）; 3． 自点 P0(x0, y0, z0)分别作各坐标面和坐标轴的垂线，写出各垂足的坐标．
2．试用向量证明：如果平面上一个四边形的对角线互相平分，则该四边形是平行 四边形． 证：（如上题图），依题意有 AM MC, DM MB. 于是 AB AM MB MC DM DC. 故 ABCD 是平行四边形. 3．已知向量 a=i-2j+3k 的始点为(1，3，-2)，求向量 a 的终点坐标． 解：设 a 的终点坐标为( x, y, z ),则
0 ( x0 , y0 , z0 ) 作 xoy 面的垂线，垂足坐标是 ( x0 , y0 , 0) ; 解：自点 P
作 xoz 面的垂线，垂足是 ( x0 , 0, z0 ) ; 作 yoz 面的垂线，垂足是 (0, y0 , z0 ); 自点 P 0 ( x0 , y0 , z0 ) 作 x 轴的垂线，垂线是 ( x0 , 0, 0);
解得 b , c
5 3
38 5 38 ,故所求点的坐标为 0, , . 3 3 3
1
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《微积分》课后答案(复旦大学出版社(曹定华_李建平_毛志强_著))第三章
第三章习题3-11．设s =12gt ２，求2d d t s t =．解：22221214()(2)2lim lim 22t t t g g ds s t s dt t t t →→=-⨯-==--21lim (2)22t g t g →=+=2．设f (x )=1x，求f '(x 0)(x 0≠0)．解：1211()()()f x x x x--'''===00201()(0)f x x x '=-≠3．试求过点（3，8）且与曲线2y x =相切的直线方程。
解：设切点为00(,)x y ，则切线的斜率为002x x y x ='=，切线方程为0002()y y x x x -=-。
由已知直线过点(3,8),得00082(3)y x x -=-(1)又点00(,)x y 在曲线2y x =上，故200y x =(2)由(1),(2)式可解得002,4x y ==或004,16x y ==，故所求直线方程为44(2)y x -=-或168(4)y x -=-。
也即440x y --=或8160x y --=。
4．下列各题中均假定f ′(x 0)存在，按照导数定义观察下列极限，指出A 表示什么：(1)0limx ∆→00()()f x x f x x-∆-∆=A ;(2)f (x 0)=0,0limx x →0()f x x x-＝A ；(3)0limh →00()()f x h f x h h+--=A ．解：(1)0000000()()[()]()limlim ()x x f x x f x f x x f x f x xx →-→--+--'=-=-- 0()A f x '∴=-(2)000000()()()limlim ()x x x x f x f x f x f x x x x x →→-'=-=--- 0()A f x '∴=-(3)000()()limh f x h f x h h→+-- 00000[()()][()()]lim h f x h f x f x h f x h→+----=000000()()[()]()lim lim h h f x h f x f x h f x h h →-→+-+--=+-000()()2()f x f x f x '''=+=02()A f x '∴=5．求下列函数的导数：(1)y；(2)y；(3)y2．解：(1)12y x==11221()2y x x -''∴===(2)23y x-=225133322()33y x x x ----''∴==-=-=(3)2152362y x x xx-==15661()6y x x -''∴===6．讨论函数y在x =0点处的连续性和可导性．解：00(0)x f →==000()(0)0lim lim 0x x x f x f x x →→→--===∞-∴函数y =在0x =点处连续但不可导。