专题辅导系列八---导数综合问题的难点剖析
导数难点及技巧-导数常用的一些技巧和结论
导数难点-导数常用的一些技巧和结论（2017 年全国新课标 1·理·21）已知f(x)=ae2x+(a-2)e x-x .（1）讨论f(x)的单调性；（2）若f(x)有两个零点，求a的取值范围.解析：（1）f'(x)=2ae2x+(a-2)e x-1=(2e x+1)(ae x-1)若a ≤0，则 f '( x )<0恒成立，所以 f ( x )在R上递减；若a >0，令 f '( x )=0，得 e x=1a, x =ln1a.当x <ln 1a时， f '( x )<0，所以 f ( x )在⎛-∞, ln1a⎫⎪上递减；⎝⎭当x >ln 1a时， f '( x )>0，所以 f ( x )在⎛ln1a,+∞⎫⎪上递增.⎝⎭⎛1⎫⎛1⎫综上，当 a ≤0时， f ( x )在R上递减；当 a >0时， f ( x )在 -∞, ln⎪上递减，在 ln, +∞⎪上递增.a a⎝⎭⎝⎭（2）f(x)有两个零点，必须满足f(x)min<0，即a>0，且f(x)min⎛ 1 ⎫11= f ln⎪= 1-- ln< 0 .a a⎝ a ⎭构造函数 g ( x )=1- x -ln x ， x >0.易得g'(x)= -1-1< 0，所以g(x)= 1 -x- ln x单调递减. x又因为 g (1)=0，所以11- ln1< 0⎛ 1⎫< g (1)⇔1> 1 ⇔ 0 <a< 1 . -⇔ g ⎪a a a⎝ a⎭下面只要证明当 0 <a<1时，f(x)有两个零点即可，为此我们先证明当x> 0 时，x> ln x.事实上，构造函数 h ( x )= x -ln x ，易得h'(x)=1-1x，∴ h ( x )min= h (1)=1，所以 h ( x )>0，即 x >ln x .当0<a<1时，f(-1)= a + a -2+1=a+ea+(e2-2)>0，e 2e e2⎛ 3 -a⎫⎛ 3⎫ 2⎛ 3⎫⎛ 3⎫3⎛ 3⎫f ln⎪= a - 1 ⎪+( a -2) - 1 ⎪- ln - 1 ⎪=- 1 - ln - 1 ⎪>0，a a⎝⎭⎝ a⎭⎝ a⎭⎝ a⎭⎝ a⎭1 3 -a1⎛ 1 ⎫⎛1 3 -a⎫其中-1< ln， ln> ln，所以 f ( x )在 -1, ln⎪和 ln, ln⎪上各有一个零点.a a a⎝a⎭⎝a a⎭故 a 的取值范围是(0,1).注意：取点过程用到了常用放缩技巧。
导数应用常见九种错解剖析（含5篇）
导数应用常见九种错解剖析（含5篇）第一篇：导数应用常见九种错解剖析导数应用常见九种错解剖析导数作为一种工具，在解决数学问题时极为方便，尤其是利用导数求函数的单调性、极值、最值、和切线的方程，但是笔者在教学过程中，发现导数的应用还存在许多误区。
一、对导数的定义理解不清致错例 1、已知函数 63241)(3 4+-= x x x f，则0(1 x)-(x)lim（）2xf fx∆→+∆∆=∆Ａ－１B 0C12-D 2 错解：Θ 1)1(, 2)(/ 2 3 /-==∴-= f x x x f 原式，从而选；或 0)0(, 2)(/ 2 3 /==∴-= f x x x f 原式剖析：防错的关键是认真理清导数的定义特别是要分清导数定义中“ x ∆”与“ y ∆”的对应形式的多样性。
正解：原式=/0 0(1 x)-(1)1(1 x)-(1)1 1lim lim(1)=2 2(1)1 2 2x xf f f ffx x∆→∆→+∆+∆=⋅=-∆+∆-,从而应选Ｃ。
点评：/()f x =xx f x x fxyx x∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(lim lim0 00 0,函数在某一点x 0 处的导数，就是函数在这一点的函数值的增量与自变量的增量的比值在自变量的增量趋近于零时的极限，分子分母中的自变量的增量 x ∆必须保持对应一致，它是非零的变量，它可以是－2 x ∆，21x ∆等。
在导数定义中应特别注意“ x ∆”与“ y ∆”的对应形式的多样性，但不论哪种形式都应突现“ x ∆”与“ y ∆”的一致性。
二、对“连续”与“可导”定义理解不清致错。
例 2、函数 y=f(x)在 x=x 0 处可导是函数 y=f(x)在 x=x 0 处连续的（）Ａ、充分不必要条件B 必要不充分条件Ｃ、充要条件Ｄ、既不充分也不必要条件错解：认为“连续”与“可导”是同一个概念而错选Ｃ。
或者对充分、必要条件的概念不清而导致错选Ｂ。
剖析：防错关键是（１）理清充分、必要条件的概念；（２）函数 y=f(x)在 x=x 0 处可导必在 x=x 0处连续，函数 y=f(x)在 x=x 0 处连续不一定在 x=x 0 处可导。
《导数的概念》教学重难点
《导数的概念》教学重难点《《导数的概念》教学重难点》这是优秀的教学设计文章，希望可以对您的学习工作中带来帮助！学习主题介绍学习主题名称：导数的概念主题内容简介：本节课是人教A版选修2-2第一章第一单元第三课时，在老师的主导下，学生通过微课的引导，观看视频，填写表格等活动，经过自主探究、观察发现、合作交流，从而归纳总结出导数的概念，并能求出在某一点的导数以及求出函数的余数，在这过程中充分体现了教师的主导作用，充分实现了学生的主体性地位。
在整个教学中始终着眼于培养学生的思维能力，探究意识，体现了素质教育的要求。
学习目标分析1.知识与技能: （1）了解导数的历史背景，体会导数定义的探索过程。
（2）掌握导数的内容，初步会用它进行有关的计算求解。
（3）使学生深刻理解导数的概念，理解导数在几何、物理上的意义，能够根据导数的定义求出数在区间上的导数。
2.过程与方法：（1）在导数定义的过程中，用形象直观的两个实际例子作为引例，培养学生的观察能力，抽象思维能力，体会数形结合的思想。
（2）通过探究导数定义的过程体会数学思维的严谨性。
3.情态与价值：（1）了解导数发展的历史，感受数学知识所蕴含的数学文化，培养学生学习数学，探究数学的兴趣和本领。
（2）在探究过程中，体验用极限方法解决平均变化率逼近某处的变化率的思想，培养学生的探究精神。
学情分析前需知识掌握情况：1、学生已学习掌握了平均变化率以及高台跳水运动中运动员在不同时刻的速度是不同的物理现象的有关内容。
2、学生有一定的自主学习、相互交流、主动构建新知识的能力。
对微课的认识：学生对微课有初步的接触，对于如何使用微课来提高学习效率还不熟练，虽然还不太明白，但比较感兴趣，乐于尝试。
学生特征分析学习态度：大多数学生的基础薄弱，学习缺乏积极性，在传统的教学模式中，很难实现以教师为主导，学生为主体的教学模式，微课作为一种新的形式，增强了学生的学习兴趣，提高学生主动参与学习的积极性，也有利于反复观看、学习，不断加深巩固。
导数难点
导数难点1. 与函数零点有关的参数范围问题函数()f x 的零点，即()0f x 的根，亦即函数()f x 的图象与x 轴交点横坐标，与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图像，讨论其图象与x 轴的位置关系，进而确定参数的取值范围．2. 与曲线的切线有关的参数取值范围问题函数()y f x =在点0x x =处的导数'0()f x 就是相应曲线在点00(,())x f x 处切线的斜率，即'0()k f x =，此类试题先求导数，然后转化为关于自变量0x 的函数，通过求值域，从而得到切线斜率k 的取值范围，而切线斜率又与其倾斜角有关，所以又会转化为求切斜角范围问题．例2. 若点P 是函数)2121(3≤≤---=-x x e e y x x 图象上任意一点，且在点P 处切线的倾斜角为α，则α的最大值是( )A ．65π B ．43π C ．4π D ．6π3.与不等式恒成立问题有关的参数范围问题含参数的不等式()()f x g x >恒成立的处理方法：①()y f x =的图象永远落在()y g x =图象的上方；②构造函数法，一般构造()()()F x f x g x =-，min ()0F x >；③参变分离法，将不等式等价变形为()a h x >，或()a h x <，进而转化为求函数()h x 的最值.3.1 参变分离法将已知恒成立的不等式由等价原理把参数和变量分离开，转化为一个已知函数的最值问题处理，关键是 搞清楚哪个是变量哪个是参数，一般遵循“知道谁的范围，谁是变量；求谁的范围，谁是参数”的原则．3.2 构造函数法参变分离后虽然转化为一个已知函数的最值问题，但是有些函数解析式复杂，利用导数知识无法完成，或者是不易参变分离，故可利用构造函数法．例4．已知函数1ln )1(21)(2>-+-=a x a ax x x f ，． (1)求()f x 的单调区间；(2)若x x a x g ln )2()(--=,)()(x g x f ≥在区间),[+∞e 恒成立,求a 的取值范围．4.与函数单调区间有关的参数范围问题若函数()f x 在某一个区间D 可导，'()0f x >⇒函数()f x 在区间D 单调递增；'()0f x <⇒函数()f x 在区间D 单调递减.若函数()f x 在某一个区间D 可导，且函数()f x 在区间D 单调递增⇒'()0f x ≥恒成立；函数()f x 在区间D 单调递减⇒'()0f x ≤恒成立.4.1 参数在函数解析式中转化为'()0f x ≥恒成立和'()0f x ≤恒成立问题后，利用恒成立问题的解题方法处理4.25.参数在定义域中函数解析式确定，故可先确定其单调区间，然后让所给定义域区间包含在单调区间中例6. 已知二次函数h(x )=ax 2+bx +c (其中c <3)，其导函数()y x '=的图象如图，f (x )=6lnx +h (x )①求f (x )在x =3处的切线斜率；②若f (x )在区间(m ,m +12)上是单调函数，求实数m 的取值范围 ③若对任意k ∈[-1,1]，函数y =kx (x ∈(0,6])的图象总在函数y ＝f (x )图象的上方，求c 的取值范围.5.与逻辑有关的参数范围问题新课程增加了全称量词和特称量词应用这一知识点，并且在考试卷中屡屡出现，使得恒成立问题花样推陈出新，别有一番风味，解决的关键是弄懂量词的特定含义.综合上述五种类型，利用导数求解含参问题时，首先具备必要的基础知识（导数的几何意义、导数在单调性上的应用、函数的极值求法、最值求法等），其次要灵活掌握各种解题方法和运算技巧，比如参变分离法，分类讨论思想和数形结合思想等，涉及极值和最值问题时，一般情况下先求导函数，然后观察能否分解因式，若能则比较根的大小，并与定义域比较位置关系、分段考虑导函数符号，划分单调区间，判断函数大致图像；若不能分解因式，则考虑二次求导，研究函数是否具有单调性.利用导数处理参数范围问题并不可怕，关键在于通过解题不断摸索解题思路，形成一种解题格式和套路.。
高考导数知识点重难点
高考导数知识点重难点中国的高考是每年学生们备战的一场重要战役，而数学作为其中的一门科目，对于许多学生来说，是其中的一个难点。
而在数学中，导数是一个重要的知识点，也是高考中常考的内容之一。
在本文中，我们将探讨高考导数知识点的重难点，帮助学生们更好的备考。
导数的定义是数学中的一项基本定义，它可以用来描述函数在某一点的变化率。
导数的计算方法有很多种，其中一种常见的方法是使用极限。
例如，对于任意一条曲线上的一点P，在积分学中，我们可以通过求取该曲线斜率的极限来得到这一点的导数。
这个极限即为该点的导数值。
由于导数的定义使用了极限的概念，所以在计算导数时需要注意极限运算的性质。
在计算导数时，有一些常见的基本函数的导数需要牢记。
例如常数函数的导数恒为零，可以表示为f(x)=c，其中c为常数；幂函数的导数为指数乘以基数的指数减一，即f(x)=x^n，导数为f'(x)=nx^(n-1)；指数函数和对数函数的导数分别为自身的导数和底数为自然对数e的指数函数与自身相乘，即f(x)=a^x，导数为f'(x)=a^x*ln(a)。
这些基本函数的导数在高考中经常需要用到，所以对它们的记忆是非常必要的。
高考对于导数的应用也是非常多的。
例如，高考常考的一类题目是函数的最值问题。
对于给定的一个函数，我们需要通过求导的方法找到其极值点。
为了求解这类问题，我们需要使用到导数的性质。
首先，我们要找到函数的极值点，这可以通过求函数的导数为零的点来实现。
然后，我们可以通过判定函数的二阶导数的符号来判断这个极值点是极大值还是极小值。
如果二阶导数的符号为正，那么这个点就是函数的极小值；如果二阶导数的符号为负，那么这个点就是函数的极大值。
除了求极值点之外，高考中还经常考察函数的单调性和变化趋势。
对于给定的函数，我们可以通过求导的方法来判断其在某个区间内的单调性。
如果函数的导数在某个区间内恒大于零，那么函数在这个区间内是单调递增的；如果函数的导数在某个区间内恒小于零，那么函数在这个区间内是单调递减的。
导数教学中的问题解决与方法探究教案
尊敬的教育工作者：导数是高中数学中的一个重要内容。
在教学过程中，我们会发现学生对于导数的概念、理解、运算和应用都有一定程度的困难。
这篇文章就导数教学中的问题解决与方法探究来展开探讨。
一、学生导数概念理解不清学生对于导数的概念可能会有所模糊，主要表现为：1、不理解导数的概念和定义，不能准确地描述导数的含义和作用。
2、不知道导数的本质是什么，不能正确地理解导数的本质。
对于这种情况，我们可以在课堂上通过一些具体的例子来让学生模拟计算导数的过程，加深学生的理解。
同时，老师还应该注意培养学生的数学思维，让学生能够较为自主地理解导数。
二、求导方法掌握不足学生由于求导方法掌握不足，往往会出现以下情况：1、忘记求导公式和审题导致公式的应用不当。
2、不能准确地计算一些特殊函数的导数。
在这种情况下，老师可以在课堂上通过讲解具体的例子，让学生更好地掌握求导的技巧和方法。
同时，老师还可以推荐一些优秀的数学题集和练习册，让学生在练习中掌握求导的方法。
三、应用能力不足学生在导数的应用上往往存在问题：1、不会将实际问题与导数的计算方法联系起来。
2、缺乏对实际问题的抽象能力。
如果学生在这方面存在问题，我们可以在课堂上强化实例教学，引导学生将数学知识灵活地应用于实际问题的求解，帮助学生培养学以致用的能力。
四、自主学习能力不足由于国内的高中教育的起点往往较低，学生的数学能力很难真正得到提高。
因此，我们应该注重引导学生自主学习，并给予学生独立思考、自主创新的机会。
教学方法探究：1、注重提高学生的数学素养在导数教学中，我们应该注重提高学生的数学素养，推广一些基础数学概念的普及，加强数量和形式的对比，真正做到让学生在此基础上进行学习和掌握。
2、采用多样化的教学方法教学方法非常关键，我们应该多样化地使用非直接教学方法，如讨论、辩论、探究、实验、模拟等方法，以更好地调动学生的积极性，提高教学效果。
3、自主学习引导在课堂以外的时间，老师还应该加强和指导学生在自主学习方面的培养，推荐优质教学资源给学生，让学生自主学习，自己寻找解题的突破点，并愉悦地坚持下去。
紧扣“细节”,解决高中数学导数难题
紧扣“细节”,解决高中数学导数难题高中数学中，导数是一个非常重要的概念。
导数的定义、求导公式、应用等方面都有一定的难度，给同学们带来了不少困扰。
下面我们将从“细节”方面入手，探讨如何解决高中数学中的导数难题。
一、导数定义的细节导数的定义是有一定难度的，但只要把握好其中的细节，就不会出现太大的困扰。
1.导数的概念导数是一个函数在某一点处的变化率，或曲线在该点处的切线斜率。
2.导数存在的条件函数在该点处必须连续，且在该点处有极限存在。
3.求导的过程（1）将函数化为函数值的极限形式；（2）利用极限运算和熟知的导数公式进行变形得到导数。
4.形式化的表示导数由 f'(x) 表示，其中 f(x) 是被求导的函数。
二、导数的基本公式的细节很多同学只是记住了导数的基本公式，但不知道其中涉及的细节。
下面我们分别从函数的基本性质、导数的运算法则来探讨这些细节。
1.函数的基本性质（1）常数函数的导数为零。
这是由于在常数函数中 x 变化时 y 始终保持不变，即 y 不随 x 的变化而变化，因此其斜率为零。
对于幂函数 f(x)=x^n，当 n 为正整数，f(x) 的导数为 f'(x)=n*x^(n-1)。
当 n 为负整数，f(x) 的导数为 f'(x)=-n*x^(-n-1)。
对于指数函数 f(x)=a^x，其中 a>0，a!=1，那么 f'(x)=a^x*ln(a)。
对于三角函数 f(x)=sinx、cosx、tanx 等来说，其导数为：f'(x)=cosx（sinx 的导数）2.导数的运算法则（1）和、差、积、商的导数。
两个函数之和、差的导数等于各自的导数之和、差的和。
两个函数的积的导数等于各自的导数乘积之和。
两个函数的商的导数等于分子导数与分母导数的比值减去分子原函数乘以分母导函数与分母原函数的乘积之和。
复合函数的导数要用到链式法则，即 f(g(x)) 的导数等于 f'(g(x))g'(x)。
中值定理在导数应用中的难点、疑点及方法剖析
技法点拨摘要：导数是微分学里的重要概念之一，对于函数的研究和曲线性态的理解起到了十分关键的作用。
要想通过导数来对函数的性质进行研究，就需要厘清导数值与函数值之间的内在联系，而中值定理有力地反映了这些联系。
关键词：中值定理；导数应用；疑点难点引言：中值定理是微积分学的重要定理，而导数是微积分的重要内容，也是学好微积分的重要纽带。
在高中阶段的教学中教师只是对罗尔中值定理进行了简单的介绍，要想全面了解中值定理，掌握它们之间的关系与实际应用还需要学生在课外学习中下点功夫。
一、概念难点、疑点以及方法剖析定理1（费马定理）设函数f （x ）在点x 0处可导，若x 0是f （x ）的一个极值点，则f ′（x ）=0。
对于费马定理，函数f （x ）在点y =|x |处可导的条件不能少，费马定理给出的只是极值点的必要条件，而不是充分条件。
定理2（罗尔定理）若f ∈c ［a ，b ］且在（a ，b ）上可导，f （a ）=f （b ），则ξ∈（a ，b ），使得f ′（ξ）=0。
对于罗尔定理，我们借助其几何意义帮助记忆。
如图所示，对闭区间上的连续曲线，若其上每一点（端点除外）都有不垂直于x 轴的切线，且曲线两端点的纵坐标相等，则曲线上至少有一点处的切线平行于x 轴。
定理3（拉格朗日中值定理）若f ∈c ［a ，b ］且在（a ，b ）上可导，则ξ∈（a ，b ），使得f ′（ξ）=f (b )-f (a )b -a 。
（1）对于拉格朗日中值定理，我们可借助其几何意义来帮助记忆：如图所示，f (b )-f (a )b -a为弦AB 的斜率，f ′（ξ）是曲线y =f （x ）在点C 处的切线斜率。
由f ′（ξ）=f (b )-f (a )b -a，ξ∈（a ，b ）知，如果曲线y =f （x ）上除端点外处处具有不垂直于x 轴的切线，那么，曲线y =f （x ）上至少存在一点C ，使得在该点处的切线平行于连接两端的弦。
高中数学导数概念教案的难点及解决方法探析
高中数学导数概念教案的难点及解决方法探析一、难点分析1.导数定义的理解导数是微积分中一个重要的概念，它是描述函数变化率的工具。
但是，学生在初接触这个概念时，往往会感到很抽象。
他们难以理解“极限”、“变化率”、“瞬时速度”概念，导致他们对导数的定义难以准确地掌握。
2.导数基本性质的掌握导数的基本性质是学习导数过程中的另一个难点。
但是，如果学生没有充分掌握这些性质，那么就很难理解后续的推导和应用。
有时候，一些学生会生硬地背诵这些性质，但是背诵并不能帮助他们真正地理解和运用这些性质。
3.导数计算的复杂性导数的计算是学生在学习导数过程中遇到的另一个难点。
虽然这一部分内容看似只是一些简单的公式和套路，但是如果学生没有充分的练习和掌握，他们就无法熟练地应用导数计算方法。
二、解决方法1.强化基础知识的学习为了帮助学生理解导数概念，教师应该从基础知识开始，详细讲解极限的定义和计算方法，帮助学生全面认识极限的概念。
在讲解极限的基础上，再引入导数的概念，并帮助学生理解导数的真正含义，例如变化率、瞬时速度等。
这样学生就可以更好地掌握导数的定义。
2.运用图像帮助学生理解教师可以通过绘制函数的图像，帮助学生更好地理解导数的概念以及导数的基本性质，例如导数的正负性和导函数的单调性等。
这样学生就可以更加直观地感受到导数的作用。
3.提供练习并予以及时反馈为了帮助学生更好地掌握导数计算的方法，教师应当为学生提供大量的练习，帮助他们通过反复练习来加深印象，并及时给予反馈，帮助他们发现并纠正错误。
4.运用案例帮助学生理解教师可以运用一些实际问题来帮助学生更好地理解导数的应用。
例如，通过求出速度的导数来计算某个时刻小车的加速度。
这样不仅可以让学生理解导数的应用，同时也可以增加学生的兴趣，提高学习效果。
学习导数是数学学习中的一个重要环节。
教师应该针对导数学习的难点，采取有效的教学策略，帮助学生更好地掌握导数的相关知识。
导 数 重点难点归纳
导 数 重点难点归纳1. 导数（导函数的简称）的定律：设0x 是函数)(x f y =定律域的一点，如果自变量x 在0x 处有增量x ∆，则函数值y 也引起相应的增量)()(00x f x x f y -∆+=∆；比值xx f x x f x y ∆-∆+=∆∆)()(00称为函数)(x f y =在点0x 到x x ∆+0之间的平均变化率；如果极限xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000存在，则称函数)(x f y =在点0x 处可导，并把这个极限叫做)(x f y =在0x 处的导数，记作)(0'x f 或0|'x x y =，即)(0'x f =xx f x x f x yx x ∆-∆+=∆∆→∆→∆)()(limlim0000. 注：①x ∆是增量，我们也称为“改变量”，因为x ∆可正，可负，但不为零. ②已知函数)(x f y =定律域为A ，)('x f y =的定律域为B ，则A 与B 关系为B A ⊇. 2. 函数)(x f y =在点0x 处连续与点0x 处可导的关系：⑴函数)(x f y =在点0x 处连续是)(x f y =在点0x 处可导的必要不充分条件. 可以证明，如果)(x f y =在点0x 处可导，那么)(x f y =点0x 处连续. 事实上，令x x x ∆+=0，则0x x →相当于0→∆x .于是)]()()([lim )(lim )(lim 000000x f x f x x f x x f x f x x x x +-+=∆+=→∆→∆→).()(0)()(lim lim )()(lim )]()()([lim 000'0000000000x f x f x f x f xx f x x f x f x x x f x x f x x x x =+⋅=+⋅∆-∆+=+∆⋅∆-∆+=→∆→∆→∆→∆⑵如果)(x f y =点0x 处连续，那么)(x f y =在点0x 处可导，是不成立的. 例：||)(x x f =在点00=x 处连续，但在点00=x 处不可导，因为xx x y ∆∆=∆∆||，当x ∆＞0时，1=∆∆x y ；当x ∆＜0时，1-=∆∆xy ，故x yx ∆∆→∆0lim不存在. 注：①可导的奇函数函数其导函数为偶函数.②可导的偶函数函数其导函数为奇函数. 3. 导数的几何意义：函数)(x f y =在点0x 处的导数的几何意义就是曲线)(x f y =在点))(,(0x f x 处的切线的斜率，也就是说，曲线)(x f y =在点P ))(,(0x f x 处的切线的斜率是)(0'x f ，切线方程为).)((0'0x x x f y y -=- 4、几种常见的函数导数：0'=C （C 为常数） 1')(-=n n nx x（R n ∈）x x cos )(sin '= x x sin )(cos '-=x x 1)(ln '=e xx a a log 1)(log '= x x e e =')( a a a x x ln )('=5. 求导数的四则运算法则：''')(v u v u ±=±)(...)()()(...)()(''2'1'21x f x f x f y x f x f x f y n n +++=⇒+++=⇒''''''')()(cv cv v c cv u v vu uv =+=⇒+=（c 为常数）)0(2'''≠-=⎪⎭⎫⎝⎛v v u v vu v u 注：①v u ,必须是可导函数.②若两个函数可导，则它们和、差、积、商必可导；若两个函数均不可导，则它们的和、差、积、商不一定不可导.例如：设x x x f 2sin 2)(+=，xx x g 2cos )(-=，则)(),(x g x f 在0=x 处均不可导，但它们和=+)()(x g x f x x cos sin +在0=x 处均可导.6. 复合函数的求导法则：)()())(('''x u f x f x ϕϕ=或x u x u y y '''⋅= 复合函数的求导法则可推广到多个中间变量的情形.7. 函数单调性：⑴函数单调性的判定方法：设函数)(x f y =在某个区间内可导，如果)('x f ＞0，则)(x f y =为增函数；如果)('x f ＜0，则)(x f y =为减函数.⑵常数的判定方法；如果函数)(x f y =在区间I 内恒有)('x f =0，则)(x f y =为常数.注：①0)(φx f 是f （x ）递增的充分条件，但不是必要条件，如32x y =在),(+∞-∞上并不是都有0)(φx f ，有一个点例外即x =0时f （x ） = 0，同样0)(πx f 是f （x ）递减的充分非必要条件.②一般地，如果f （x ）在某区间内有限个点处为零，在其余各点均为正（或负），那么f （x ）在该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的.8. 极值的判别方法：（极值是在0x 附近所有的点，都有)(x f ＜)(0x f ，则)(0x f 是函数)(x f 的极大值，极小值同理） 当函数)(x f 在点0x 处连续时，①如果在0x 附近的左侧)('x f ＞0，右侧)('x f ＜0，那么)(0x f 是极大值； ②如果在0x 附近的左侧)('x f ＜0，右侧)('x f ＞0，那么)(0x f 是极小值. 也就是说0x 是极值点的充分条件是0x 点两侧导数异号，而不是)('x f =0①. 此外，函数不可导的点也可能是函数的极值点②. 当然，极值是一个局部概念，极值点的大小关系是不确定的，即有可能极大值比极小值小（函数在某一点附近的点不同）.注①： 若点0x 是可导函数)(x f 的极值点，则)('x f =0. 但反过来不一定成立. 对于可导函数，其一点0x 是极值点的必要条件是若函数在该点可导，则导数值为零. 例如：函数3)(x x f y ==，0=x 使)('x f =0，但0=x 不是极值点.②例如：函数||)(x x f y ==，在点0=x 处不可导，但点0=x 是函数的极小值点. 9. 极值与最值的区别：极值是在局部对函数值进行比较，最值是在整体区间上对函数值进行比较.注：函数的极值点一定有意义.导数练习一、选择对的一项1．设函数()f x 在R 上可导,其导函数()f x ',且函数()f x 在2x =-处取得极小值,则函数()y xf x '=的图象可能是2．设函数1()f x x=,2()g x x bx =-+.若()y f x =的图象与()y g x =的图象有且仅有两个不同的公共点1122(,),(,)A x y B x y ,则下列判断正确的是 （ ）A ．12120,0x x y y +>+>B ．12120,0x x y y +>+<C ．12120,0x x y y +<+>D ．12120,0x x y y +<+<3．设函数f(x)=2x+lnx 则 （ ）A ．x=12为f(x)的极大值点 B ． x=12为f(x)的极小值点 C ．x=2为 f(x)的极大值点 D ．x=2为 f(x)的极小值点4．设a>0,b>0,e 是自然对数的底数（ ）A ．若e a +2a=e b +3b,则a>bB ．若e a +2a=e b +3b,则a<bC ．若e a -2a=e b -3b,则a>bD ．若e a -2a=e b -3b,则a<b5．函数y=12x 2-㏑x 的单调递减区间为 （ ）A ．(-1,1]B ．(0,1]C ．[1,+∞)D ．(0,+∞)6．已知32()69,f x x x x abc a b c =-+-<<,且()()()0f a f b f c ===.现给出如下结论:①(0)(1)0f f >;②(0)(1)0f f <;③(0)(3)0f f >;④(0)(3)0f f <.其中正确结论的序号是 （ ）A ．①③B ．①④C ．②③D ．②④7．已知函数1()ln(1)f x x x=+-;则()y f x =的图像大致为8．设a >0,b >0.（ ）A ．若2223a b a b +=+,则a >bB ．若2223a b a b +=+,则a <bC ．若2223a b a b -=-,则a >bD ．若2223a b a b -=-,则a <b9．设函数()f x 在R 上可导,其导函数为()f x ',且函数(1)()y x f x '=-的图像如题(8)图所示,则下列结论中一定成立的是 （ ）A ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(1)fB ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(1)fC ．函数()f x 有极大值(2)f 和极小值(2)f -D ．函数()f x 有极大值(2)f -和极小值(2)f 10．设函数()x f x xe =,则（ ） A ．1x =为()f x 的极大值点 B ．1x =为()f x 的极小值点 C ．1x =-为()f x 的极大值点D ．1x =-为()f x 的极小值点11．设0a >且1a ≠,则“函数()x f x a =在R 上是减函数 ”,是“函数3()(2)g x a x =-在R 上是增函数”的 （ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件12．已知函数33y x x c =-+的图像与x 轴恰有两个公共点,则c =（ ）A ．2-或2B ．9-或3C ．1-或1D ．3-或1二、填空习题13．曲线(3ln 1)y x x =+在点(1,1)处的切线方程为________14．曲线33y x x =-+在点()1,3处的切线方程为___________________. 三、简答题15．已知函数3()f x ax bx c =++在2x =处取得极值为16c -(1)求a 、b 的值;(2)若()f x 有极大值28,求()f x 在[3,3]-上的最大值.16．已知a ∈R,函数3()42f x x ax a =-+(1)求f(x)的单调区间(2)证明:当0≤x ≤1时,f(x)+ 2a ->0.17．已知函数3211()(0)32a f x x x ax a a -=+-->(I)求函数)(x f 的单调区间;(II)若函数)(x f 在区间(2,0)-内恰有两个零点,求a 的取值范围; (III)当1a =时,设函数)(x f 在区间]3,[+t t 上的最大值为()M t ,最小值为()m t ,记()()()g t M t m t =-,求函数()g t 在区间]1,3[--上的最小值.学习就到这里了，最后祝大家逢考必过！！！。
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招考通高三数学假期复习专题系列之提高篇（八）——导数综合问题的难点剖析江苏省海安高级中学——罗湘军导数是函数学习的延续，是高考中的重要内容，常常以函数为载体设置综合题，而往往具有较大的难度，学生难以熟练驾驭.而在解决导数综合问题时，合理挖掘其中蕴含的数学思想是解题的关键，下面借助例题就导数综合问题中的常见的考察形式从数学思想运用的角度做一个深入的分析. 一. 典例分析 1．分类讨论思想例1已知函数32()()f x ax bx b a x =++-（,a b 不同时为零的常数），导函数为()f x '. (1)求证：函数()y f x '=在(1,0)-内至少有一个零点；(2)若函数()f x 为奇函数，且在1=x 处的切线垂直于直线230+-=x y ，关于x 的方程1()4f x t =-在[1,](1)->-t t 上有且只有一个实数根，求实数t 的取值范围.解析：(1) 因为2()32()f x ax bx b a '=++-， (0)f b a '=-，(1)2f a b '-=-，12()33b a f -'-=．由于,a b 不同时为零，所以1()(1)03f f ''-⋅-<，故结论成立．(2) 因为()f x =32()ax bx b a x ++-为奇函数，所以0b =, 所以()f x =ax ax -3，又()f x 在1=x 处的切线垂直于直线230+-=x y ，所以1=a ，即3()f x x x =-．因为33()3(f x x x '=-+ 所以()f x 在33(,),()-∞+∞上是増函数，在33[33-上是减函数，由()0f x =解得1,0=±=x x ，如图所示， 当313-<≤-t 时，1()04f t t ≥-≥，即43t t t -≥-，解得3323-≤≤-t ；当30<<t 时，1()04f t t >-≥ ，解得033<<-t ；当0=t 时，显然不成立； 当330≤<t 时，1()04f t t ≤-<，即43t t t -≤-，解得330≤<t ；当33>t 时，1()04f t t <-<t <<所以所求t 的取值范围是023<≤-t或0t <<分析：分类讨论是导数综合问题中最常见的考察形式，对学生数学思维的要求较高，导数问题中比较常见的讨论是就导函数中系数的正负情况，极值点 的大小比较，极值点与给定区间的位置关系等等展开讨论，解题时要养成良好的习惯，譬如画出导函数的图象，以形助数，将抽象的问题形象化. 2．函数与方程思想的运用，进行合理转化 例2 已知函数f (x )＝x 3－x ，(1)求曲线y ＝f (x )在点M (t ，f (t ))处的切线方程；(2)设a ＞0 .如果过点(a ，b )可作曲线y ＝f (x )的三条切线，证明：－a ＜b ＜f (a ). 解析：(1)求函数f (x )的导数：2'()31f x x =-.曲线()y f x =在点(,())M t f t 处的切线方程为：()'()()y f t f t x t -=-， 即23(31)2y t x t =--(2)如果有一条切线过点(,)a b ，则存在t ，使23(31)2b t a t =--，于是，若过点(,)a b 可作曲线()y f x =的三条切线，则方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根，记32()23g t t at a b =-++，则2'()666()g t t at t t a =-=-. 当t 变化时，()g t ，'()g t 变化情况如下表：由()g t 的单调性，当极大值0a b +<或极小值()0b f a ->时，方程()0g t =最多有一个实数根；当0a b +=时，解方程()0g t =得0t =，32at =，即方程()0g t =只有两个相异的实数根；当()0b f a -=时，解方程()0g t =得2at =-，t a =，即方程()0g t =只有两个相异的实数根.综上，如果过(,)a b 可作曲线()y f x =三条切线，即()0g t =有三个相异的实数根，则()0a b b f a +>⎧⎨-<⎩，即－a ＜b ＜f (a ). 分析：本题的解题的关键在于对“过点(a ，b )可作曲线y ＝f (x )的三条切线”这句话的理解，它等价于“方程32230t at a b -++=有三个相异的实数根”，而方程有三个不等的实根又可被被等价于“函数32()23g t t at a b =-++与x 轴有三个不同的交点”，将一条较为复杂的问题转化为常见的问题，达到了解题的目的. 3．构造函数，以数助形例3 若存在实常数k 和b ，使得函数()f x 和()g x 对其定义域上的任意实数x 分别满足：()f x kx b ≥+和()g x kx b ≤+，则称直线:l y kx b =+为()f x 和()g x 的“隔离直线”．已知2()h x x =，()2ln (x e x e ϕ=为自然对数的底数)．函数()h x 和()x ϕ是否存在隔离直线？若存在，求出此隔离直线方程；若不存在，请说明理由． 解析：令()()()F x h x x ϕ=-，()()()F x h x x ϕ=-= 22ln (0)x e x x ->，22()()()2e x e x e F x x x -+'∴=-=． 当x e =()0F x '=．当0x e <<()0F x '<，此时函数()F x 递减；当x e >()0F x '>，此时函数()F x 递增； ∴当x e =()F x 取极小值，其极小值为0．∴函数)(x h 和)(x ϕ的图象在e x =处有公共点，因此若存在)(x h 和)(x ϕ的隔离直线，则该直线过这个公共点．设隔离直线的斜率为k ，则直线方程为)(e x k e y -=-，即e k e kx y -+=．由)()(R x e k e kx x h ∈-+≥，可得02≥+--e k e kx x 当R x ∈时恒成立．2)2(e k -=∆ ，∴由0≤∆，得e k 2=．下面证明e x e x -≤2)(ϕ当0>x 时恒成立． 令()()2G x x ex e ϕ=-+e x e x e +-=2ln 2，则22()()2e e e x G x e x -'=-=当x e =()0G x '=．当0x e <<()0G x '>，此时函数()G x 递增；当x e >()0G x '<，此时函数()G x 递减； ∴当x e =()G x 取极大值，其极大值为0．从而()2ln 20G x e x ex e =-+≤，即)0(2)(>-≤x e x e x ϕ恒成立． ∴函数()h x 和()x ϕ存在唯一的隔离直线2y ex e =-．分析: 本题中函数()h x 和()x ϕ是否存在“隔离直线”的前提是对两个函数图象的位置关系的判定，通过作差构造函数得到了两个函数图象有且仅有一个公共点，进而猜想“隔离直线”是否为公切线，将问题转化为证明()h x kx b ≥+和()x kx b ϕ≤+的恒成立问题. 二．辅助训练 1．设函数f （x ）＝14x 4＋bx 2＋cx ＋d ，当x ＝t 1时，f （x ）有极小值． （1）若b ＝－6时，函数f （x ）有极大值，求实数c 的取值范围；（2）在（1）的条件下，若存在实数c ，使函数f （x ）在闭区间［m －2，m ＋2］上单调递增，求实数m 的取值范围；解：（1）因为 f （x ）＝14x 4＋bx 2＋cx ＋d ，所以h （x ）＝f ′（x ）＝x 3－12x ＋c ．由题设，方程h （x ）＝0有三个互异的实根．考察函数h （x ）＝x 3－12x ＋c ，则h ′（x ）＝0，得x ＝±2．所以160,160.c c +>⎧⎨-<⎩故－16<c <16．（2）存在c ∈（－16，16），使f ′（x ）≥0，即x 3－12x ≥－c ，（*）所以x 3－12x >－16，即（x －2）2（x ＋4）>0（*）在区间［m －2，m ＋2］上恒成立． …………7分 所以［m －2，m ＋2］是不等式（*）解集的子集． 所以24,22,m m ->-⎧⎨+<⎩或m －2>2，即－2<m <0，或m >4．2．已知函数32()(0,)f x ax bx cx a x R =++≠∈为奇函数，且()f x 在1x =处取得极大值2. （1）求函数()y f x =的解析式； （2）记()()(1)ln f x g x k x x=++，求函数()y g x =的单调区间； （3）在（2）的条件下，当2k =时，若函数()y g x =的图像的直线y x m =+的下方，求m 的取值范围。
解：（1）由32()f x ax bx cx =++（a ≠0）为奇函数，∴()()f x f x -=-，代入得，0b = ，∴2'()3f x ax c =+，且()f x 在1x =取得极大值2.∴'(1)0,30,(1)2, 2.f a c f a c =+=⎧⎧⇒⎨⎨=+=⎩⎩ 解得1a =-，3c =，∴3()3f x x x =-+ （2）∵2()3(1)ln g x x k x =-+++，∴212(1)'()2(1)x k g x x k x x-++=-++=因为函数定义域为（0，+∞），所以（1）当10k +=，1k =-时，'()20g x x =-<，函数在（0，+∞）上单调递减；（2）当1k <-时，10k +<，∵0x >，∴22(1)'()0.x k g x x-++=<∴函数在（0，+∞）上单调递减；（3）1k >-时，10k +>，令'()0g x >，得22(1)0x k x-++>，∵0x >，∴22(1)0x k -++>，得x <<结合0x >，得102k x +<<令'()0g x <，得22(1)0x k x -++<，同上得22(1)x k >+，12k x +>，∴1k >-时，单调递增区间为（012k +12k ++∞）， 综上，当k ≤-1时，函数的单调递减区间为（0，+∞），无单调递增区间；当1k >-时，函数的单调递增区间为（012k +12k ++∞）. （3）当2k =时，2()33ln g x x x =-++，令2()()()3ln 3h x g x x m x x x m =-+=--++-，3'()21h x x x =--+，令'()h x =0，2230x x x--+=，得1x =，32x =-（舍去）.由函数()y h x =定义域为（0，+∞），则当01x <<时，'()0h x >，当1x >时'()0h x <，∴当1x =时，函数()h x 取得最小值1-m . 故m 的取值范围是（1，+∞）.。