人教A数必修4基础达标训练：3.1.2第2课时 两角和与差的正切公式(含答案解析)[ 高考]
人教A版数学必修四3.1.2第2课时两角和与差的正切公式基础达标(含答案解析)
1．已知α∈(3π2，2π)，cos α＝45，则tan(α＋π4)＝( )A.17 B ．7 C ．－17D ．－7解析：选A.由cos α＝45且α∈(3π2，2π)，则sin α＝－35，∴tan α＝－34.∴tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17.2．已知tan(α＋β)＝35，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π4)等于( )A.1318B.1323C.723D.16解析：选C.tan(α＋π4)＝tan[α＋β－(β－π4)]＝35－141＋35×14＝723.3．若α，β∈(0，π2)，tan α＝43，tan β＝17，则α－β等于( )A.π3B.π4C.π6D.π8解析：选B.由题意，0<β<α<π2，∴0<α－β<π2.因为tan(α－β)＝43－171＋43×17＝1，所以α－β＝π4.4.tan 10°＋tan 50°＋tan 120°tan 10°tan 50°的值应是( )A ．－1B ．1 C. 3 D ．－ 3 解析：选D.∵tan10°＋tan50°＝tan60°－tan60°tan10°tan50°，∴原式＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°＋tan 120°tan 10°tan 50°＝－tan60°＝－ 3.5．锐角△ABC 中，tan A tan B 的值( ) A ．不小于1 B ．小于1 C ．等于1 D ．大于1 解析：选D.由于△ABC 为锐角三角形， ∴tan A ，tan B ，tan C 均为正数．∴tan C >0，∴tan[180°－(A ＋B )]>0，∴tan(A ＋B )<0，即tan A ＋tan B1－tan A tan B<0，而tan A >0，tan B >0，∴1－tan A tan B <0，即tan A tan B >1.6．已知tan α＝12，tan(β－α)＝25，则tan(β－2α)的值为________．解析：tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α] ＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α ＝25－121＋25×12＝－112.答案：－1127．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan 2α＋tan 2β的值为________．解析：∵tan(α＋β)＝4，∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝4，又tan α＋tan β＝2，∴tan αtan β＝12，法一：∴tan α，tan β可看作方程x 2－2x ＋12＝0两根，∴⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝2＋22tan β＝2－22或⎩⎪⎨⎪⎧tan α＝2－22tan β＝2＋22，∴tan 2α＋tan 2β＝3.法二：∵tan 2α＋tan 2β＝(tan α＋tan β)2－2tan αtan β＝22－2×12＝3.答案：38．化简tan (α＋β)－tan α－tan βtan αtan (α＋β)的结果为________．解析：原式＝tan (α＋β)－(tan α＋tan β)tan α·tan (α＋β)＝tan (α＋β)－(1－tan αtan β)·tan (α＋β)tan α·tan (α＋β)＝tan β.答案：tan β9．已知cos α＝1010，且α为第四象限角，求tan(α＋π4)的值．解：∵cos α＝1010，且α为第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－31010.∴tan α＝sin αcos α＝－3.∴tan(α＋π4)＝tan α＋tanπ41－tan α·tanπ4＝－3＋11－(－3)×1＝－12. 10．化简：tan(18°－x )tan(12°＋x )＋3[tan(18°－x )＋tan(12°＋x )]． 解：∵tan[(18°－x )＋(12°＋x )]＝tan (18°－x )＋tan (12°＋x )1－tan (18°－x )·tan (12°＋x ) ＝tan30°＝33， ∴tan(18°－x )＋tan(12°＋x )＝33[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]．于是原式＝tan(18°－x)tan(12°＋x)＋3×33[1－tan(18°－x)·tan(12°＋x)]＝1.。
人教A版数学必修四3.1.2第2课时两角和与差的正切公式基础达标(含答案解析).docx
1．已知α∈(3π2，2π)，cos α＝45，则tan(α＋π4)＝( ) A.17B ．7C ．－17D ．－7 解析：选A.由cos α＝45且α∈(3π2，2π)，则sin α＝－35， ∴tan α＝－34.∴tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17. 2．已知tan(α＋β)＝35，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π4)等于( ) A.1318 B.1323C.723D.16解析：选C.tan(α＋π4)＝tan[α＋β－(β－π4)]＝35－141＋35×14＝723. 3．若α，β∈(0，π2)，tan α＝43，tan β＝17，则α－β等于( ) A.π3 B.π4C.π6D.π8解析：选B.由题意，0<β<α<π2， ∴0<α－β<π2.因为tan(α－β)＝43－171＋43×17＝1， 所以α－β＝π4. 4.tan 10°＋tan 50°＋tan 120°tan 10°tan 50°的值应是( ) A ．－1 B ．1 C. 3 D ．－ 3解析：选D.∵tan 10°＋tan 50°＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°，∴原式＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°＋tan 120°tan 10°tan 50°＝－tan 60°＝－ 3.5．锐角△ABC 中，tan A tan B 的值( )A ．不小于1B ．小于1C ．等于1D ．大于1解析：选D.由于△ABC 为锐角三角形，∴tan A ，tan B ，tan C 均为正数．∴tan C >0，∴tan[180°－(A ＋B )]>0，∴tan(A ＋B )<0，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B<0， 而tan A >0，tan B >0，∴1－tan A tan B <0，即tan A tan B >1.6．已知tan α＝12，tan(β－α)＝25，则tan(β－2α)的值为________． 解析：tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α＝25－121＋25×12＝－112. 答案：－1127．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan 2α＋tan 2β的值为________．解析：∵tan(α＋β)＝4，∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝4， 又tan α＋tan β＝2，∴tan αtan β＝12， 法一：∴tan α，tan β可看作方程x 2－2x ＋12＝0两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＝2＋22tan β＝2－22或⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＝2－22tan β＝2＋22，∴tan 2α＋tan 2β＝3.法二：∵tan 2α＋tan 2β＝(tan α＋tan β)2－2tan αtan β＝22－2×12＝3. 答案：38．化简tan (α＋β)－tan α－tan βtan αtan (α＋β)的结果为________． 解析：原式＝tan (α＋β)－(tan α＋tan β)tan α·tan (α＋β)＝tan (α＋β)－(1－tan αtan β)·tan (α＋β)tan α·tan (α＋β)＝tan β. 答案：tan β9．已知cos α＝1010，且α为第四象限角，求tan(α＋π4)的值． 解：∵cos α＝1010，且α为第四象限角， ∴sin α＝－1－cos 2α＝－31010. ∴tan α＝sin αcos α＝－3. ∴tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan α·tan π4＝－3＋11－(－3)×1＝－12. 10．化简：tan(18°－x )tan(12°＋x )＋3[tan(18°－x )＋tan(12°＋x )]．解：∵tan[(18°－x )＋(12°＋x )]＝tan (18°－x )＋tan (12°＋x )1－tan (18°－x )·tan (12°＋x )＝tan 30°＝33， ∴tan(18°－x )＋tan(12°＋x )＝33[1－tan(18°－x )·tan(12°＋x )]． 于是原式＝tan(18°－x )tan(12°＋x )＋3×33[1－tan(18°－x )·tan(12°＋x )]＝1.。
312第2课时两角和与差的正切公式作业含解析高中数学人教a版必修4.doc
训练案一知能提升活学巧练 跟踪验证[A.基础达标]1. tan 285°的值等于(A. 2+羽C. —2—*^3 解析：选 C.tan 285°=tan(36()°-750) = -tan 75o = —tan(45°+30°)=—严严嘉严尊' 71—tan 45°tan30°1+零厂2. 已知直线厶：x —2y+l=0,倾斜角为次，直线心x+3y —1=0,倾斜角为”，则“一G=()A •扌 c ・Y)B. D. 2-^3 一2+羽解析：选B.山题意可知, B ・4 _ 3兀 D. _才1 Q 1 tan a = 2^ tan p= _亍 所以 0<a<^, ^<P<n. 所以0V0—。
<兀，丄—丄, tan tan a 3 2所以 tan(/?-a)=a =~~Tl = _1'1_3X23兀所以0-a=y.3. 若 lan(u+0) = 3, lan(u —“)=5,4A 〒 B・ C-2D. 则 tan 2a=( ) 4 7 _丄~2解析：选B.根据两角和的正切公式知，tan 2a = tan[(a+/?) + (a —^)]= l^tan(cH-^)Un(a' 然后将 tan(a+〃) = 3, tan(«-^)=5 代入，即可得到 tan 2a=-y.4. 设/, B, C 为三角形的三个内角，且伽儿tan 5是方程3“一5x+l= 0的两个实 根，贝\\/\ABC 为()A.等边三角形C.锐角三角形B.等腰直角三角形D.钝角三角形A. C. -7 1 I ~~B. 7D* ATT丄l 、丄 ,...sin «+cos a 解根选B 因为siz —ex =|,所以 tan«+l 1 tan a — 1 2’. 丄 i tan a+tan 7 解方程得tan«= -3.又= --------------- —tan a~ 1 n ,tan «tan 才一1 = _tan(a+》=*, 所以 tan(a+^)=—JITItan(2a +才)=tan[(« +R+a]tan(«+^)4-tan aTl1 — tan(a+^)tan a-*+(-3) 1—(—*)X( — 3)「匚 sin «+cos am.6-已叫z-z 广3, tank 旳=2,则 ^~2a)=---------------------- A”丄严 I xz 「sin a+cos a tan a+1 解析：由条件知品百亦=时 则 tan a=2.因为 tan(a —0) = 2, 所以 tan(0—a)=—2,故 tan(^— 2a)=tan[(^—a)—a] tan(/?—a) —tan a ___ _4 1 +tan(^_(z)tan a 1+(—2)X2 3° 4 答案：y7. tan 67° — tan 22° — tan 67°tan 22°= _______ 解析：因为 tan 67°-tan 22° = tan(67°-22°)(l +tan 67°tan 22°) = l+tan 67°tan 22°, 所以 tan 67°—tan 22°—tan 67°tan 22° =1 +tan 67°tan 22°-tan 67°tan 22°= 1.解析：选D.因为lan/, tan 5是方程3x 2~5x+l= 0的两个实根，所以tan/+tan 3=号，51 十」 ， tan J +tan B 3 5 十「兀 L/tan?ltan 所以 tan C=_tan(/+B)=_]_口门 川an B= -------- =—㊁所以㊁＜C ＜兀，故_an 3113_1选D.卄 sin ct+cos a 1 '•气in a —cos a 则 tan(2a+^)=(8.已知tan a,则tanfa+/?—^j=兀+tan#—扌答案：1 解析：由于6(+”一扌= 故tan(a+0—扌tan^4-yy) 1 - tan(oc+令)an@-扌)迈+ 2也 5 一1—迈X2迈一一农. 答案：一迈9.化简：tan( 18°-x)tan(12°+x)+^3[tan(18°~x)+tan( 12°+x)]. 解：・.-tan[(18o-x)+(12o+x)]tan(18°—x)+tan(12°+x)解:由AB+BP=PD,得a+BP=yja1 2+(2a-BP/,解得BP=〒a.设ADPC=0,则tan a=~^p=2f tan/?=pc=亍所以tan（« + P）=7^tanatan^= ~ 18.又/APD+a+B= 兀，所以tanZJP£）= 18.[B.能力提升]1.在锐角△〃BC中，lan/tanB的值（）A.不小于1B.小于1C.等于1D.大于1解析：选D•由于为锐角三角形，•\ tan A, tan B, tan C 均为正数，A tan 00, ：.tan[\S0Q-(A+B)]>09tan / +tan B1—tan J tan B而tan A>0, tan B>0,/• 1 — tan A tan B<0,即tan A tan B> 1.1 — tan( 18°—x)tan( 12°+x) = tan 30°=芈，/. tan(18°—x)+tan(l 2° +x) =誓[1 - tan(l 8° -x)tan( 12°+x)]. 于是原式=tan( 18°—x)tan( 12°+x) +^/3 X-^[l — tan( 18°—x)tan( 12° +x)] = 1.10.如图，在矩形ABCD AB=a, BC=2a,在BC 上取一点P 使得AB+BP=PD. 求tanZAPD的值.2.如图，在5个并排的正方形图案中作出一个上/0&=135。
数学人教A版必修4课后集训： 3.1.2两角和与差的正弦、
课后集训基础达标1.若tanα=2,tan(β-α)=3,则tan(β-2α)的值是（ ） A.-1 B.51-C.75D.71 解析：tan(β-2α)=tan ［(β-α)-α］ =7123123tan )tan(1tan )tan(=⨯+-=∙-+--ααβααβ,∴应选D. 答案：D 2.︒-︒-︒-︒50tan 20tan 1)50tan(20tan 的值是（ ）A.-3B.3C.-33D.33解析：原式=330tan 120tan 50tan 150tan 20tan =︒=︒-︒+︒︒.∴应选B. 答案：B3.3tan23°tan97°-tan23°-tan97°等于( )A.2B.23C.3D.0 解析：原式=3tan23°tan97°-(tan23°+tan97°) =3tan23°tan97°-tan120°(1-tan23°tan97°) =3tan23°tan97°+3-3tan23°tan97° =3,∴应选C.答案：C4.在△ABC 中，已知tanA,tanB 是方程3x 2+8x-1=0的两个根，则tanC 等于（ ） A.2 B.-2 C.4 D.-4 解析：∵tanA,tanB 是方程3x 2+8x-1=0的两个根， ∴tanA+tanB=38-,tanA·tanB=-31.∵tanC=tan ［π-(A+B)］=-tan(A+B)=31138tan tan 1tan tan +--=-+-Ba B A =2.∴应选A.答案：A5.若0＜α＜2π,0＜β＜2π,且tanα=71,tanβ=43,则α+β等于（ ） A.6π B.4π C.3π D.43π解析：tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+=437114371⨯-+=1.∵0＜α＜2π,0＜β＜2π,∴0＜α+β＜π.∴α+β=4π.∴应选B. 答案：B 6.tan10°tan20°+tan20°tan60°+tan60°tan10°=_______________. 解析：原式=tan10°tan20°+tan60°(tan20°+tan10°)=tan10°tan20°+tan60°·tan30°·（1-tan20°tan10°)=tan10°tan20°+1-tan20°tan10°=1. 答案：1 综合运用 7.︒+︒-15tan 3115tan 3等于（ ）A.1B.33C.3D.-1 解析：∵tan60°=3， ∴原式=︒∙︒+︒-︒15tan 60tan 115tan 60tan=tan(60°-15°)=1. 答案：A8.已知α+β=π43,则（1-tanα）(1-tanβ)的值等于（ ）A.2B.-2C.1D.-1 解析：tan(α+β)=1tan tan 1tan tan -=∙-+βαβα,∴tanα+tanβ=-(1-tanα·tanβ). ∴(1-tanα)(1-tanβ)＝1-(tanα+tanβ)+tanαtanβ =1+1-tanα·tanβ+tanα·tanβ =2.答案：A9.已知tan(α+4π)=3,则tanα＝____________________. 解析：tanα=tan(α+4π-4π)=.2131134tan)4tan(14tan)4tan(=+-=∙++-+ππαππα 答案：21拓展探究10.已知A 、B 、C 是斜△ABC 的内角，求证： （1）tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC; (2)tan2A tan 2B +tan 2B tan 2C +tan 2C tan 2A =1. 思路分析：(1)考虑到A 、B 、C 是△ABC 的内角，即A+B+C=π,利用tan(A+B)=tan(π-C); (2)考虑到2A +2B =2π-2C ,利用tan(2A +2B )=tan(2π-2C).证明:(1)∵A 、B 、C 是△ABC 的内角， ∴A+B+C=π,即A+B=π-C, 由题知，A 、B 、C 都不为2π,两边取正切，得 tan(A+B)=tan(π-C). ∴BA BA tan tan 1tan tan -+=-tanC.去分母，移项，整理，得tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC.(2)∵2A +2B +2C =2π, ∴2A +2B =2π-2C . ∴tan(2A +2B )=tan(2π-2C ).∴.2tan12tan 212tan2tan C B A an B A =-+ 去分母，移项，整理，得 tan2A tan 2B +tan 2B tan 2C +tan 2C tan 2A =1. 备选习题 11.当α=40°时，)tan()2tan(1)tan()2tan(βαβαβαβα-+--++=____________.解析：原式=tan3α=tan3×40° =tan120°=-tan60°=-3. 答案：-312.已知sinα=53,(90°＜α＜180°),cosβ=1312(270°＜β＜360°),求tan(α+β)和tan(α-β)的值. 解：∵sinα=53,90°＜α＜180°,∴cosα=-54,∴tanα=43-.∵cosβ=1312,270°＜β＜360°,∴sinβ=-135. ∴tanβ=125-.∴tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+3356165167)125)(43(112543-=--=-----=. tan(α-β)=βαβαtan tan 1tan tan +-=6316)125)(43(112543-=--++-. 13.求︒︒︒+︒+︒40tan 20tan 120tan 40tan 20tan 的值.解：原式=︒∙︒︒+︒∙︒-︒40tan 20tan 120tan )40tan 20tan 1(60tan=︒∙︒︒-︒︒︒-︒40tan 20tan 60tan 40tan 20tan 60tan 60tan=︒︒︒∙︒︒-40tan 20tan 40tan 20tan 60tan=-tan60°=-3.14.如下图所示，三个相同的正方形相接，试计算α+β+γ的大小.解：设正方形边长为1，则tanα=31,tanβ=21,tanγ=1,且α、β、γ均为锐角. ∴tan(α+β)=βαβαtan tan 1tan tan -+=.13213121=⨯-+而α+β∈(0,π),∴α+β=4π. 又由tanγ=1及γ∈(0,2π)知γ=4π，∴α+β+γ=2π.15.已知△ABC 中，tanB+tanC+3tanB·tanC=3,且3tanA+3tanB=tanA·tanB-1,试判断△ABC 的形状.解:tanB+tanC+3tanB·tanC=3, ∴3tan tan 1tan tan =∙-+CB CB ,即tan(B+C)=3.①又∵3tanA+3tanB=tanA·tanB-1,∴=∙-+B A B A tan tan 1tan tan -33.∴tan(A+B)=-33.② 又∵A 、B 、C 为△ABC 的内角， ∴B+C=60°,A+B=150°. ∴A=120°,B=C=30°.∴△ABC 为等腰且为钝角三角形. 16.设cosα=-55,tanβ=21,π＜α＜π23,0＜β＜2π.求α-β的值.解法1：∵π＜α＜π23,0＜β＜2π, ∴2π＜α-β＜π23,于是选择α-β的正弦函数值. ∵cosα=-55,π＜α＜π23，∴sinα=-552. ∵tanβ＝31,0＜β＜2π, ∴cos 2β=1099111tan 112=+=+β， 即cosβ=10103,sinβ=1010. ∴sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ =-552×10103-(-55)×1010=-22. ∵2π＜α-β＜π23, ∴α-β=π45.解法2：以上同解法1.∵cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ =-55×10103+(-552)×1010=-22. ∵tanβ=31＜1, ∴0＜β＜4π. ∴π43＜α-β＜π23. ∴α-β=π45.解法3：∵cosα=-55,π＜α＜π23,∴sinα=-552. ∴tanα=55552cos sin --=αα=2.则tan(α-β)=.135353121312tan tan 1tan tan ==⨯--=∙+-βαβα ∵π＜α＜π23,0＜β＜2π,∴2π＜α-β＜π23. ∴α-β=π45.说明：本题选择正弦函数、正切函数都比较简单，因为这两个函数在α-β∈(2π,π23)上是单调的，即求得的角只有一个解，省去缩小角的范围的麻烦，而选择余弦函数，由于它在（2π,π23）上不单调，若不进一步缩小角的范围，就会产生增根.。
高中数学人教A版必修四课时训练：3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 含答案
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二) 课时目标 1.能利用两角和与差的正、余弦公式导出两角和与差的正切公式.2.掌握两角和与差的正切公式及变形运用．1．两角和与差的正切公式(1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________.(2)T (α－β)：tan(α－β)＝______________________________________________________.2．两角和与差的正切公式的变形(1)T (α＋β)的变形：tan α＋tan β＝____________________________________________________________. tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________.tan α·tan β＝______________________________________________________________.(2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝______________________________.tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________.tan αtan β＝______________________________________________________________.一、选择题1．已知α∈，sin α＝，则tan 的值等于( ) (π2，π)35(α＋π4)A. B ．7 C ．－ D ．－7 17172．若sin α＝，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( ) 45A. B ．－ C ．－7 D ．－ 4343173．已知tan α＝，tan β＝，0<α<，π<β<，则α＋β的值是( ) 1213π23π2A.B.C.D. π43π45π47π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( )A ．钝角三角形B ．锐角三角形C ．直角三角形D ．无法确定5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )A ．1B ．2C ．tan 10° D.tan 20°36．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝，则tan A tan B 的值为( ) 233A. B. C. D. 14131253题 号1 2 3 4 5 6 答 案二、填空题7.＝________. 1＋tan 75°1－tan 75°8．已知tan ＝2，则的值为________． (π4＋α)12sin αcos α＋cos 2α9．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则＝________. sin (α＋β)cos (α－β)10．已知α、β均为锐角，且tan β＝，则tan(α＋β)＝________. cos α－sin αcos α＋sin α三、解答题11．在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋tan B tan C ＝，且tan A ＋tan B ＋1＝tan A tan B ，3333试判断△ABC 的形状．12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为，. 210255求tan(α＋β)的值．能力提升 13．已知tan(α－β)＝，tan β＝－，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值． 121714．已知锐角三角形ABC 中，sin(A ＋B )＝，sin(A －B )＝. 3515(1)求证：tan A ＝2tan B ；(2)设AB ＝3，求AB 边上的高．3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案知识梳理1．(1) (2) tan α＋tan β1－tan αtan βtan α－tan β1＋tan αtan β2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－ tan α＋tan βtan (α＋β)(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) －1 tan α－tan βtan (α－β)作业设计1．A 2.C 3.C4．A [tan A ＋tan B ＝，tan A ·tan B ＝， 5313∴tan(A ＋B )＝，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－， 5252∴C 为钝角．] 5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋tan 20°＋ tan 10°33＝(tan 10°＋tan 20°＋tan 10°tan 20°) 333＝tan 30°＝1.]36．B [tan(A ＋B )＝－tan C ＝－tan 120°＝，3∴tan(A ＋B )＝＝，即＝，解得tan A ·tan B ＝.] tan A ＋tan B 1－tan A tan B 32331－tan A tan B3137．－38. 23解析 ∵tan ＝2，∴＝2， (π4＋α)1＋tan α1－tan α解得tan α＝. ∴＝＝＝＝. 1312sin αcos α＋cos 2αsin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2αtan 2α＋12tan α＋119＋123＋1239．－ 32解析 ＝＝＝＝－. sin (α＋β)cos (α－β)sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin βtan α＋tan β1＋tan αtan β31＋(－3)3210．1解析 tan β＝＝. cos α－sin αcos α＋sin α1－tan α1＋tan α∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α.∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1.∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β.∴＝1，∴tan(α＋β)＝1. tan α＋tan β1－tan αtan β11．解 由tan B ＋tan C ＋tan B tan C ＝，33得tan B ＋tan C ＝(1－tan B tan C )．3∴tan(B ＋C )＝＝， tan B ＋tan C 1－tan B tan C 3又∵B ＋C ∈(0，π)，∴B ＋C ＝. π3又tan A ＋tan B ＋1＝tan A tan B ，33∴tan A ＋tan B ＝－(1－tan A tan B )， 33∴tan(A ＋B )＝＝－， tan A ＋tan B 1－tan A tan B 33而A ＋B ∈(0，π)，∴A ＋B ＝，又∵A ＋B ＋C ＝π， 5π6∴A ＝，B ＝C ＝.∴△ABC 为等腰三角形． 2π3π612．解 由条件得cos α＝，cos β＝. 210255∵α，β为锐角，∴sin α＝＝， 1－cos 2 α7210sin β＝＝. 1－cos 2 β55因此tan α＝＝7，tan β＝＝. sin αcos αsin βcos β12tan(α＋β)＝＝＝－3. tan α＋tan β1－tan α·tan β7＋121－7×1213．解 tan α＝tan [(α－β)＋β]＝＝>0. tan (α－β)＋tan β1－tan (α－β)tan β13而α∈(0，π)，故α∈(0，)． π2∵tan β＝－，0<β<π，∴<β<π. 17π2∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝>0， 12∴－π<α－β<－. π2∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan [α＋(α－β)]＝＝1， tan α＋tan (α－β)1－tan αtan (α－β)∴2α－β＝－. 3π414．(1)证明 ∵sin(A ＋B )＝，sin(A －B )＝， 3515∴Error!⇒Error!⇒＝2，所以tan A ＝2tan B . tan A tan B (2)解 ∵<A ＋B <π，sin(A ＋B )＝，∴tan(A ＋B )＝－，即＝－. π23534tan A ＋tan B 1－tan A tan B 34将tan A ＝2tan B 代入上式并整理得，2tan 2 B －4tan B －1＝0.解得tan B ＝，舍去负值，得tan B ＝. 2±622＋62∴tan A ＝2tan B ＝2＋.设AB 边上的高为CD . 6则AB ＝AD ＋DB ＝＋＝. CD tan A CD tan B 3CD 2＋6由AB ＝3，得CD ＝2＋.∴AB 边上的高等于2＋. 66。
2020高中数学人教A版必修四课时训练：3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2 Word版含答案
3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)1．两角和与差的正切公式 (1)T (α＋β)：tan(α＋β)＝_____________________________________________________. (2)T (α－β)：tan(α－β)＝______________________________________________________. 2．两角和与差的正切公式的变形 (1)T (α＋β)的变形： tan α＋tan β＝____________________________________________________________.tan α＋tan β＋tan αtan βtan(α＋β)＝____________. tan α·tan β＝______________________________________________________________.(2)T (α－β)的变形：tan α－tan β＝______________________________. tan α－tan β－tan αtan βtan(α－β)＝____________. tan αtan β＝______________________________________________________________.一、选择题1．已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π2，π，sin α＝35，则tan ⎝⎛⎭⎪⎪⎫α＋π4的值等于( ) A.17 B ．7 C ．－17D ．－7 2．若sin α＝45，tan(α＋β)＝1，且α是第二象限角，则tan β的值是( )A.43 B ．－43 C ．－7 D ．－173．已知tan α＝12，tan β＝13，0<α<π2，π<β<3π2，则α＋β的值是( )A.π4B.3π4C.5π4D.7π44．A ，B ，C 是△ABC 的三个内角，且tan A ，tan B 是方程3x 2－5x ＋1＝0的两个实数根，则△ABC 是( ) A ．钝角三角形 B ．锐角三角形 C ．直角三角形 D ．无法确定 5．化简tan 10°tan 20°＋tan 20°tan 60°＋tan 60°tan 10°的值等于( )A ．1B ．2C ．tan 10° D.3tan 20° 6．在△ABC 中，角C ＝120°，tan A ＋tan B ＝233，则tan A tan B 的值为( ) A.14 B.13 C.12 D.537.1＋tan 75°1－tan 75°＝________. 8．已知tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝2，则12sin αcos α＋cos 2α的值为________． 9．如果tan α，tan β是方程x 2－3x －3＝0两根，则sin α＋βcos α－β＝________.10．已知α、β均为锐角，且tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α，则tan(α＋β)＝________.三、解答题11．在△ABC 中，tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3，且3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ，试判断△ABC 的形状．12. 如图，在平面直角坐标系xOy 中，以Ox 轴为始边作两个锐角α，β，它们的终边分别与单位圆相交于A ，B 两点，已知A ，B 的横坐标分别为210，255.求tan(α＋β)的值．能力提升13．已知tan(α－β)＝12，tan β＝－17，且α，β∈(0，π)，求2α－β的值．3．1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)答案知识梳理1．(1)tan α＋tan β1－tan αtan β (2)tan α－tan β1＋tan αtan β2．(1)tan(α＋β)(1－tan αtan β) tan(α＋β) 1－tan α＋tan βtan α＋β(2)tan(α－β)(1＋tan αtan β) tan(α－β) tan α－tan βtan α－β－1作业设计1．A 2.C 3.C4．A [tan A ＋tan B ＝53，tan A ·tan B ＝13，∴tan(A ＋B )＝52，∴tan C ＝－tan(A ＋B )＝－52，∴C 为钝角．]5．A [原式＝tan 10°tan 20°＋3tan 20°＋ 3 tan 10° ＝3(tan 10°＋tan 20°＋33tan 10°tan 20°)＝3tan 30°＝1.]6．B [tan(A ＋B )＝－tan C ＝－tan 120°＝3，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B1－tan A tan B ＝3，即2331－tan A tan B ＝3，解得tanA ·tanB ＝13.]7．－ 3 8.23解析 ∵tan ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫π4＋α＝2，∴1＋tan α1－tan α＝2， 解得tan α＝13. ∴12sin αcos α＋cos 2α＝sin 2α＋cos 2α2sin αcos α＋cos 2α＝tan 2α＋12tan α＋1＝19＋123＋1＝23.9．－32解析 sin α＋βcos α－β＝sin αcos β＋cos αsin βcos αcos β＋sin αsin β＝tan α＋tan β1＋tan αtan β＝313＝－32. 10．1解析 tan β＝cos α－sin αcos α＋sin α＝1－tan α1＋tan α.∴tan β＋tan αtan β＝1－tan α. ∴tan α＋tan β＋tan αtan β＝1. ∴tan α＋tan β＝1－tan αtan β. ∴tan α＋tan β1－tan αtan β＝1，∴tan(α＋β)＝1. 11．解 由tan B ＋tan C ＋3tan B tan C ＝3， 得tan B ＋tan C ＝3(1－tan B tan C )．∴tan(B ＋C )＝tan B ＋tan C1－tan B tan C ＝3，又∵B ＋C ∈(0，π)，∴B ＋C ＝π3.又3tan A ＋3tan B ＋1＝tan A tan B ， ∴tan A ＋tan B ＝－33(1－tan A tan B )，∴tan(A ＋B )＝tan A ＋tan B 1－tan A tan B ＝－33，而A ＋B ∈(0，π)，∴A ＋B ＝5π6，又∵A ＋B ＋C ＝π，∴A ＝2π3，B ＝C ＝π6.∴△ABC 为等腰三角形．12．解 由条件得cos α＝210，cos β＝255.∵α，β为锐角，∴sin α＝1－cos 2α＝7210，sin β＝1－cos 2β＝55.因此tan α＝sin αcos α＝7，tan β＝sin βcos β＝12.tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan α·tan β＝7＋121－7×12＝－3.13．解 tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan α－β＋tan β1－tan α－βtan β＝13>0.而α∈(0，π)，故α∈(0，π2)．∵tan β＝－17，0<β<π，∴π2<β<π.∴－π<α－β<0.而tan(α－β)＝12>0，∴－π<α－β<－π2.∴2α－β＝α＋(α－β)∈(－π，0)．∵tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tan α＋tan α－β1－tan αtan α－β＝1，∴2α－β＝－3π4.。
高中数学人教版必修四课后练习(含解析)：3.1.2两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)
高中数学学习材料金戈铁骑整理制作3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)班级:__________姓名:__________设计人:__________日期:__________♒♒♒♒♒♒♒课后练习 · 练习案♒♒♒♒♒♒♒基础过关1．已知tanα、tanβ是方程x 2+3√3x +4=0的两个根，且−π2<α<π2，−π2<β<π2，则角α+β的大小为．A.π6B.−2π3C.π6或−5π6D.−π3或2π32．已知sin2α=35(π2<2α<π)，tan(α−β)=12，则tan(α+β)等于 A.−2B.−1C. −211D. 2113．若tan α=3，tanβ=43，则tan(α−β)等于 A.−3B. −13C.3D. 134．tan20º+tan40º+√3tan20ºtan40º的值是____________．5．在△ABC 中，若tanA: tanB: tanC=1:2:3，则A=_______________.6．已知tan(α−β)=12，tanβ=−17，且α，β∈(0，π)，求2α−β的值．7．(2013·广东培正中学检测)已知sin(α+β)=23,sin(α-β)=15,求tanαtanβ的值.8．已知α,β均为锐角，且tanβ=cosα−sinαcosα+sinα，求tan(α+β)的值. 能力提升1．已知sin(α+β)=23,sin(α−β)=34，则tanαtanβ= .2．已知tanα，tanβ是方程6x2−5x+1=0的两根，且0<α<π2，π<β<3π2．求：tan(α+β)及α+β的值．3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式(二)【基础过关】 1．B【解析】本题主要考查了两角和与差的正切函数的化简求值．考查了基础知识的运用. 由题意，知tanα+tanβ=−3√3，tanα⋅tanβ=4>0，∴tanα<0，tanβ<0． 又∵−π2<α<π2，−π2<β<π2，∴−π2<α<0，−π2<β<0，−π<α+β<0．又∵tan(α+β)=tanα+tanβ1−tanαtanβ=√3，∴α+β=−2π3．选B. 2．A 【解析】33sin 22,tan 2,524πααπα⎛⎫=<<∴=- ⎪⎝⎭()tan 2tan ()ααβαβ=++-⎡⎤⎣⎦()()tan()tan 3,1tan()tan 4αβαβαβαβ++-==--+-又()1tan ,tan() 2.2αβαβ-=∴+=-故选A. 3．D 4．√3【解析】tan60º=(tan20º+tan40º)/(1-tan20ºtan40º)= √3,则tan20º+tan40º=√3−√3tan20ºtan40º， 所以tan20º+tan40º+√3tan20ºtan40º=√3 5．π4【解析】本题考查和角公式，诱导公式.令tanA=x (x ≠0),可得tanB=2x ，tanC=3x ；所以−tanA =tan (B +C )=tanB+tanC 1−tanBtanC ，带入可得−x =2x+3x 1−2x×3x ，解得x =1；所以tanA =1，即A =π4.6．解：∵tan(α−β)=12，∴tan2(α−β)=2tan(α−β)1−tan 2(α−β)=43．又∵2α−β=2(α−β)+β，且tanβ=−17， ∴tan(2α−β)=tan2(α−β)+tanβ1−tan2(α−β)tanβ=1，∵α，β∈(0，π)且tanβ=−17<0，tanα=tan(α−β)+tanβ1−tan(α−β)tanβ=13∈(0，1)，∴0<α<π4，π2<β<π，∴0<2α<π2，−π<−β<−π2，∴−π<2α−β<0．而在(−π，0)内使正切值为1的角只有一个，即−3π4，∴2α−β=−3π4．【解析】本题主要考查了两角和公式的正切函数．解题的关键是通过α和β的范围确定2α−β的值。
高中数学人教A版必修四课时训练：3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.2(一) 含答案
24 3
4
3
作业设计
1．A
2．B [原式＝－sin 65°sin 55°＋sin 25°sin 35°
＝－cos 25°cos 35°＋sin 25°sin 35°
1 ＝－cos(35°＋25°)＝－cos 60°＝－ .]
2
4
3
3．C [∵cos α＝ ，cos(α＋β)＝ ，
5
5
3
4
∴sin α＝ ，sin(α＋β)＝ .
＋β)时，不要将 cos(α＋β)和 sin(α＋β)展开，而应采用整体思想，作如下变形：sin βcos(α＋
β)－cos βsin(α＋β)＝sin[β－(α＋β)]＝sin(－α)＝－sin α.
3．运用和差公式求值、化简、证明时要注意，灵活进行三角变换，有效地沟通条件中的角
与问题结论中的角之间的联系，选用恰当的公式快捷求解．
1
3
π
5．B [f(x)＝(1＋ 3tan x)cos x＝cos x＋ 3sin x＝2( cos x＋ sin x)＝2sin(x＋ )，
2
2
6
π ∵0≤x< ，
2
π π 2π ∴ ≤x＋ < .
6 63
∴f(x)max＝2.] 6．C [∵sin C＝sin(A＋B)＝sin Acos B＋cos Asin B＝2cos Asin B
( )π
2
此时，由 sin x＋ ＝－ ，
42
π 解得 x＝2kπ－π 或 x＝2kπ－ ，k∈Z.
2
1
当 t＝
2，即 sin x＋cos x＝
2时，f(x)max＝
2＋ . 2
( ) ( ) π
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1．已知α∈(3π2，2π)，cos α＝45，则tan(α＋π4
)＝( ) A.17
B ．7
C ．－17
D ．－7 解析：选A.由cos α＝45且α∈(3π2，2π)，则sin α＝－35
， ∴tan α＝－34.∴tan(α＋π4)＝tan α＋11－tan α＝17. 2．已知tan(α＋β)＝35，tan(β－π4)＝14，那么tan(α＋π4
)等于( ) A.1318 B.1323
C.723
D.16
解析：选C.tan(α＋π4)＝tan[α＋β－(β－π4)]＝35－141＋35×14
＝723. 3．若α，β∈(0，π2)，tan α＝43，tan β＝17
，则α－β等于( ) A.π3 B.π4
C.π6
D.π8
解析：选B.由题意，0<β<α<π2
， ∴0<α－β<π2
. 因为tan(α－β)＝43－171＋43×17
＝1， 所以α－β＝π4
. 4.tan 10°＋tan 50°＋tan 120°tan 10°tan 50°
的值应是( ) A ．－1 B ．1
C. 3 D ．－ 3
解析：选D.∵tan 10°＋tan 50°
＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°， ∴原式＝tan 60°－tan 60°tan 10°tan 50°＋tan 120°tan 10°tan 50°
＝－tan 60°＝－ 3.
5．锐角△ABC 中，tan A tan B 的值( )
A ．不小于1
B ．小于1
C ．等于1
D ．大于1
解析：选D.由于△ABC 为锐角三角形，
∴tan A ，tan B ，tan C 均为正数．
∴tan C >0，∴tan[180°－(A ＋B )]>0，
∴tan(A ＋B )<0，即tan A ＋tan B 1－tan A tan B
<0， 而tan A >0，tan B >0，
∴1－tan A tan B <0，即tan A tan B >1.
6．已知tan α＝12，tan(β－α)＝25
，则tan(β－2α)的值为________． 解析：tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]
＝tan (β－α)－tan α1＋tan (β－α)tan α
＝25－121＋25×12
＝－112. 答案：－112
7．已知tan α＋tan β＝2，tan(α＋β)＝4，则tan 2α＋tan 2β的值为________． 解析：∵tan(α＋β)＝4，∴tan α＋tan β1－tan αtan β
＝4， 又tan α＋tan β＝2，∴tan αtan β＝12
， 法一：∴tan α，tan β可看作方程x 2－2x ＋12
＝0两根， ∴⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＝2＋22tan β＝2－22或⎩⎪⎨⎪⎧ tan α＝2－22tan β＝2＋22，∴tan 2α＋tan 2β＝3.
法二：∵tan 2α＋tan 2β＝(tan α＋tan β)2－2tan αtan β
＝22－2×12
＝3. 答案：3
8．化简tan (α＋β)－tan α－tan βtan αtan (α＋β)
的结果为________． 解析：原式＝tan (α＋β)－(tan α＋tan β)tan α·tan (α＋β)
＝tan (α＋β)－(1－tan αtan β)·tan (α＋β)tan α·tan (α＋β)
＝tan β. 答案：tan β
9．已知cos α＝
1010，且α为第四象限角，求tan(α＋π4
)的值． 解：∵cos α＝1010，且α为第四象限角，
∴sin α＝－
1－cos 2α＝－31010
. ∴tan α＝sin αcos α
＝－3. ∴tan(α＋π4)＝tan α＋tan π41－tan α·tan π4 ＝－3＋1
1－(－3)×1＝－12. 10．化简：tan(18°－x )tan(12°＋x )＋3[tan(18°－x )＋tan(12°＋x )]． 解：∵tan[(18°－x )＋(12°＋x )]
＝tan (18°－x )＋tan (12°＋x )1－tan (18°－x )·tan (12°＋x )
＝tan 30°＝
33， ∴tan(18°－x )＋tan(12°＋x )
＝33
[1－tan(18°－x )·tan(12°＋x )]． 于是原式＝tan(18°－x )tan(12°＋x )＋3×
33[1－tan(18°－x )·tan(12°＋x )]＝1.。